Практические занятия по тема: Развитие понятия о числе ОУД Математика в рамках освоения ОПОП СПО по профессии Повар, кондитер

Тема 2. Развитие понятий о числе (ПЗ-5)
Практическое занятие
Тема: Арифметические действия над числами.
Цель: Закрепление теоретических знаний при выполнении арифметических действий над
числами.
Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, калькуляторы.
Время выполнения: 1 час.
Содержание:
Вариант №1
1. Записать в виде десятичной дроби:
2. Выполнить действие и записать в виде десятичной дроби:
3. Записать в виде обыкновенной дроби периодическую десятичную дробь 0,(6)
4. Упростить выражение:
Вариант №2
1. Записать в виде десятичной дроби:
2. Выполнить действие и записать в виде десятичной дроби:
3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0,(8)
4. Упростить выражение:
Вариант №3
1. Записать в виде десятичной дроби:
2. Выполнить действие и записать в виде десятичной дроби:
3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0,(6)
4. Упростить выражение:
Вариант №4
1. Записать в виде десятичной дроби:
2. Выполнить действие и записать в виде десятичной дроби:
3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0,(3)
4. Упростить выражение:
Теоретическая часть:
Целые числа – это натуральные числа, противоположные им числа и 0.
Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и т. д.
Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби
, где m и n –
целые числа, n ? 0. Пример: ; ; ; 1,01; 12 и т.д. Все целые числа являются
рациональными.
Над рациональными числами операции сложения, умножения и деления определены
следующим образом:
1. Операция сложения:
.
2. Операция умножения:
.
3. Операция деления:
, то есть, делитель «переворачиваем».
𝑝
Всякое рациональное число 𝑞 представляется в виде бесконечной десятичной
периодической дроби. В этом можно убедиться обыкновенным делением уголком :
1
40
= 0,333 … = 0, (3);
= 1,212121 … = 1, (21) ;
3
33
2
= 0, 285714285714 … = 0, (285714)
7
Оказывается , что справедливо и обратное утверждение : всякая бесконечная периодическая
дробь представляет рациональное число.
В старых учебниках арифметики формулировалось специальное правило перевода
периодической дроби в обыкновенную: надо в её числителе записать период, а в
знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде.
13
Например: 0,(13) = 99 .
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную периодическую
дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число,
стоящее до первого периода, и разделить полученную разность на число, состоящее из
стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр после запятой
до первого периода.
Например: 0,5(13) =
513−5
990
=
508
990
=
254
495
.
Требования к содержанию отчета по работе:
Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия.
В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.
Практическое занятие
Тема: Арифметические действия над числами.
Цель: Закрепление теоретических знаний при выполнении арифметических действий над
числами.
Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, калькуляторы.
Время выполнения: 1 час.
Содержание:
5.
Теоретическая часть:
Как разложить число на простые множители
Последовательность действий при разложении числа на простые множители:
1. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли данное число простым.
2. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы
простых чисел, на которое данное число делится без остатка, и выполняем деление.
3. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым
числом.
4. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы
простых чисел, на которое полученное частное делится нацело, и выполняем деление.
5. Повторяем пункты 3 и 4 до тех пор, пока в частном не получится единица.
П р и м е р . Разложить на простые множители число 120.
Решение:
В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После
разложения в столбик множители следует выписать в строчку:
120 = 23 · 3 · 5.
3
О т в е т : 120 = 2 · 3 · 5.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел – это самое маленькое
натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
П р и м е р . Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое
число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.
Наименьшее общее кратное записывается так: НОК (a, b, ...). Числа в круглых скобках
могут быть указаны в любом порядке.
Как найти НОК
С помощью разложения на простые множители
Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на
простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с
наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.
П р и м е р . Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение:
Разложим каждое из этих чисел на простые множители:
99 = 3 · 3 · 11 = 32 · 11
54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33
Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить
все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны
входить множители и этого числа.
Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем
степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:
2 · 33 · 11 = 594
Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не
делится нацело на 99 и 54.
О т в е т : НОК (99, 54) = 594.
Наибольшим общим делителем (НОД) чисел a и b называется наибольшее число, на
которое a и b делятся без остатка.
Способ нахождения НОД
Разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.
Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18
Сначала разложим оба числа на простые множители и
подчеркнем общие множители:
Теперь перемножим их общие множители. Итак, общими
множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3.
Чтобы получить НОД, эти множители необходимо
перемножить: 2 × 3 = 6
Контрольные вопросы.
1. Понятие действительного числа.
2. Понятие рационального числа.
3. Что такое НОК и НОД?
Значит НОД (24 и 18) = 6
Требования к содержанию отчета по работе:
Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия.
В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.
Практическое занятие
Тема: Нахождение приближенных значений величин и погрешностей
вычислений (абсолютной и относительной).
Цель: в ходе выполнения практической работы применить на практике теоретические
знания по нахождению приближенных значений величин и погрешности вычислений
(абсолютная и относительная).
Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, калькуляторы.
Время выполнения: 1 час.
Содержание:
Теоретическая часть:
Если х - точное значение числа,
а – приближённое значение, то х ≈ а.
ОПР. Разность х – а между точным и приближённым значением числа называется
погрешностью приближения.
ОПР.Модуль разности между точным и приближённым значением числа называется
абсолютной погрешностью приближения ∆а = │х – а│.
ОПР.Некоторая цифра приближённого числа считается верной, если его абсолютная
погрешность
∆а не превышает единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае
цифра называется сомнительной.
Пример.
а = 945,673 ± 0,03
6 – цифра десятых долей, ∆а = 0,03
Проверяем: 0,03 < 0,1 – верное неравенство, значит 6 – верная цифра. Цифры, стоящие
перед 6 тоже верные.
7 – цифра сотых долей
Проверяем: 0,03 < 0,01 – нет, значит 7 – сомнительная цифра.
ОПР. Значащими цифрами десятичной дроби называют все её цифры, кроме нулей,
расположенных левее первой, отличной от нуля цифры
ОПР. Значащими цифрами целого числа называют все его цифры, кроме нулей,
расположенных в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшенных цифр.
0,712 - 3 значащие цифры.
45,03 – 4 значащие цифры
0,0016 - 2 значащие цифры
ОПР. Относительной погрешностью приближённого значения числа а называется
отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю приближённого значения.
∆𝑎
𝜎=
∙ 100%
|𝑎|
Правила подсчёта цифр:
- При сложении и вычитании приближённых чисел в результате сохраняют столько
десятичных знаков, сколько их в наименее точном числе.
- При умножении и делении приближённых чисел в результате сохраняют столько
значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством значащих цифр.
- При возведении в степень в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их
в основании степени.
- При извлечении корня сохраняют столько значащих цифр, сколько их в подкоренном
выражении.
- При выполнении промежуточных действий оставляют на один знак больше, чем
требуют правила, а в результате запасной знак округляют.
- Если в вычислениях точность задана заранее, то вычисления ведут с запасным знаком,
который в результате округляют.
Требования к содержанию отчета по работе:
Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия.
В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.
Практическое занятие
Тема: Сравнение числовых выражений.
Цель:Закрепление теоретических знаний при выполнении заданий на сравнение числовых
выражений
Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, калькуляторы.
Время выполнения: 1 час.
Содержание:
Теоретическая часть:
Требования к содержанию отчета по работе:
Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия.
В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.
Практическое занятие по теме:
Арифметические действия над числами.
Цель:Закрепление теоретических знаний при выполнении арифметических действий с
комплексными числами
Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, калькуляторы.
Время выполнения: 1 час.
Содержание:
Самостоятельная работа
1. Вычислите значение выражения.
2. Изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству.
Теоретическая часть:
Уже простейшие алгебраические операции над действительными числами (извлечение
квадратного корня из отрицательного числа, решение квадратного уравнения с
отрицательным дискриминантом) выводят за пределы множества действительных
чисел. Дальнейшее обобщение понятия числа приводит к комплексным числам.
Замечательным свойством множества комплексных чисел является его замкнутость
относительно основных математических операций. Иначе говоря, основные
математические операции над комплексными числами не выводят из множества
комплексных чисел.
Комплексным числом
(в алгебраической форме) называется выражение
где
условием
– произвольные действительные числа,
.
– мнимая единица, определяемая
Число
называется действительной частью комплексного
числа
, обозначается
число
называется мнимой частью комплексного числа
обозначается
(от латинского «realis»),
и
(от латинского «imaginarius»).
Два комплексных числа
и
равны тогда и только тогда,
когда равны их действительные и мнимые части:
,
. Два
комплексных числа равны либо не равны (понятия «больше» и «меньше» для
комплексных чисел не вводятся).
Комплексно-сопряженным к числу
число
называется
. Очевидно, комплексно–сопряженное число к числу
совпадает с
числом :
.
Арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел
производят по обычным правилам алгебры.
Пусть
. Тогда
,
сумма
,
разность
,
произведение
,
частное (при
)
Пример 1. Заданы комплексные числа
Найти
,
,
,
.
.
Решение.
;
;
.
Пример 2. Найти
,
Решение.
;
,
Замечание. Степени числа
.
.
можно представить в виде таблицы
Пример 3. Перемножить числа
Решение.
и
.
Пример 4. Вычислить а)
Решение.
а) Раскроем квадрат разности:
; б) ;
в)
.
.
б) Раскроем куб суммы:
.
в) По биному Ньютона:
.
Можно было считать так:
Пример 5. Найти частное
Решение.
.
, если
.
.
Пример 6. Вычислить а)
, б)
.
Решение. а)
б)
.
.
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат. Отложим по оси абсцисс
действительную часть
мнимую часть
комплексного числа
. Получим точку с координатами
, а по оси ординат – его
. При этом каждому
комплексному числу
соответствует одна точка плоскости. Верно и обратное: каждой
точке
плоскости можно поставить в соответствие комплексное число ,
действительная часть которого
равна абсциссе точки, а мнимая часть
равна
ординате точки. Таким образом, между комплексными числами и точками плоскости
устанавливается взаимно однозначное соответствие. (Ранее мы говорили о взаимно
однозначном соответствии между действительными числами и точками числовой
прямой).
Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной
плоскостью. Для отличия её от действительной плоскости в правом верхнем углу
пишут букву , обведенную кружком. Ось абсцисс на такой плоскости называют
действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Комплексно-сопряженное число –
это зеркальное отражение заданного комплексного числа относительно действительной
оси. Начало координат называется нуль-точкой. Расстояние комплексного числа от
начала координат называется модулем этого числа:
.
Требования к содержанию отчета по работе:
Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия.
В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.
Список используемой литературы: