Христиановский В. В., Нескородева Т. В., Полшков Ю. Н. - Экономико-математические методы и модели практика применения в курсовых и дипломных работах - 2012

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ,
МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
В.В. Христиановский,
Т.В. Нескородева, Ю.Н. Полшков
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ:
ПРАКТИКА
ПРИМЕНЕНИЯ В КУРСОВЫХ И
ДИПЛОМНЫХ РАБОТАХ
Учебное пособие
для студентов экономических специальностей
Рекомендовано к изданию Учёным Советом
Донецкого национального университета
Протокол № 1 от 27.01.2012 г.
Донецк ДонНУ 2012
1
УДК 519.86:519.87:330.4
ББКУ 012. 18 в 621.5
Х 935
Рецензенты:
Р.Н. Лепа – д-р экон. наук, проф., заведующий отделом
проблем моделирования экономических систем
Института экономики промышленности НАН Украины.
Е.К. Щетинина – д-р физ.-мат. наук, проф., заведующая кафедры
высшей и прикладной математики Донецкого национального университета
экономики и торговли имени Михаила Туган-Барановского.
Христиановский В.В.
Х 935
Экономико-математические методы и модели: практика применения в курсовых и дипломных работах: учебное пособие / В.В. Христиановский, Т.В. Нескородева, Ю.Н. Полшков; под ред. В.В. Христиановского – Донецк: ДонНУ, 2012. – 324 с.
ISBN 978-966-639-518-7
Учебное пособие представляет собой методики применения экономикоматематических методов в виде примеров решения задач в различных областях
экономики. Пособие также содержит инструкции по использованию современных информационных технологий для решения рассматриваемых задач (в частности офисного приложения MS Excel).
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей, использующих математические методы, модели и информационные технологии
при подготовке курсовых и дипломных работ на бакалаврском и магистерском
уровне обучения.
© Христиановский В.В., 2012
© Нескородева Т.В., 2012
© Полшков Ю.Н., 2012
© ДонНУ, 2012
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ..............................................................................................6
1. МЕТОДИКА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ .......................................................................................... 9
2. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ .............. 14
2.1. Межотраслевой баланс производства и потребления ................. 14
2.2. Отраслевой баланс производства и потребления ........................ 24
2.3. Организация материально-технического снабжения при
условии межпродуктового баланса ................................................................ 29
2.4. Планирование национальных доходов торгующих стран в
сбалансированной системе международной торговли ................................. 37
3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ОРГАНИЗАЦИИ И ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА ......... 42
3.1 Экономические постановки и модели типовых оптимизационных задач ................................................................................................... 42
3.2. Планирование добычи угля на шахтном объединении .....................53
3.3. Задача оптимального раскроя «Сталепрокатный цех» ...................... 61
3.4. Анализ и планирование производства «Корма для рыб» ........... 63
3.5. Планирование макроэкономических показателей бюджета
страны «Индексы цен на молочные продукты» ............................................ 69
3.6. Организация доставки продукции потребителю через склады ........ 74
3.7. Организация доставки нескольких продуктов (случай
альтернативного решения) .............................................................................. 82
3.8. Проектирование размещения складов при условии постоянной цены хранения ....................................................................................... 87
3.9. Проектирование размещения складов при условии возможного изменения цены хранения ....................................................................... 89
3.10. Определение оптимального туристического маршрута ........... 92
3.11. Проектирование размещения фирменных магазинов пивоваренного завода «Евро-бир» в восточном регионе Украины ..................... 99
3.12. Планирование размещения капитала предприятия на
международных фондовых рынках .............................................................. 103
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ПРЕДПРИЯТИИ ........................................................................................112
4.1. Управление техническим обеспечением предприятия.
Определение оптимальной стратегии использования оборудования ....... 113
4.2. Финансовое планирование на предприятии. Распределение
капитальных вложений в расширение предприятий компании ................ 118
5. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА И ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОЕКТОВ ........... 123
5.1. Методика моделирования проектов и модели их оптимизации ........ 123
5.2. Анализ и планирование проекта «Реконструкция гостиницы» средствами программы MS Project ....................................................... 129
3
5.3. Управление проектами на предприятии. Анализ и оптимизация проекта «Разработка и внедрение нового вида продукта» ......................... 135
6. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ТОВАРНЫМИ ЗАПАСАМИ ............. 142
6.1. Общие положения функционирования системы регулирования товарных запасов ................................................................................. 142
6.2. Оптимальное управление объёмами товарных запасов на
заводе холодильников .................................................................................... 149
6.3. Общие положения регулирования объёмами поставок ............. 151
6.4. Задача об экономически выгодных размерах заказа на
складе цемента ................................................................................................ 152
7. ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
В ЗАДАЧАХ МАРКЕТИНГА ....................................................................... 156
7.1. Общие положения о взаимодействии спроса и
предложения .................................................................................................... 156
7.2. Анализ спроса и предложения на продукцию автомобильного концерна .................................................................................................. 164
8. ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАРКЕТИНГОВОЙ СТРАТЕГИИ .................................................................................... 167
8.1. Конечные игры с нулевой суммой ............................................... 167
8.2. Определение стратегии продажи «старых» и «новых»
товаров в супермаркете .................................................................................. 170
8.3. Определение оптимальной стратегии засева площадей
аграрным предприятием ................................................................................ 171
9. ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА
ТОВАРА .......................................................................................................... 175
9.1. Жизненный цикл товара ............................................................... 175
9.2. Моделирование трендовой кривой жизненного цикла товаров бытовой химии ......................................................................................... 177
10. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА РАБОТЫ СИСТЕМ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ ........................................................................................ 180
10.1. Методика моделирования работы систем массового обслуживания (СМО) с применением программных средств ............................. 180
10.2. Анализ и оптимизация работы СМО с неограниченной
очередью «Главпочтамт» ............................................................................... 189
10.3. Анализ и оптимизация работы СМО с ограниченной
популяцией «Станки-автоматы» ................................................................... 193
10.4. Анализ работы СМО с ограниченной очередью «Служба
вызова такси» ....................................................................................................196
11. АНАЛИЗ И ПРОГНОЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ............ 200
11.1. Анализ влияния иностранных инвестиций на объем валового внутреннего продукта Украины ........................................................... 200
4
11.2. Выбор поставщика техники. Задача «Анализ надежности
работы компьютерной техники трех производителей» ............................. 205
11.3. Анализ зависимости выпуска продукции от фонда
оплаты труда на заводах по ремонту шахтного оборудования Донецкой области ..................................................................................................... 209
11.4. Анализ производства сахара на заводах финансово-промышленной группы «Укрсклад» .................................................................. 213
11.5. Анализ влияния факторов на прибыль акционерного
общества «Укр-Сельхоз Холдинг» ............................................................... 219
11.6. Анализ влияния факторов на производительность труда
малых предприятий ........................................................................................ 227
11.7. Проверка гипотезы о гомоскедастичности дисперсии
ошибок ............................................................................................................. 230
11.8. Анализ зависимости между переменными с временными
трендами на примере показателей розничного товарооборота и доходов населения .................................................................................................. 234
11.9 Анализ временных рядов в задачах экономической
динамики .......................................................................................................... 237
12. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ТОВАРНЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
НА ТОРГОВОМ ПРЕДПРИЯТИИ ............................................................... 248
12.1. Системный анализ торгового предприятия .............................. 248
12.2. Адаптивные модели контроля по прецедентам товарного
обеспечения торгового предприятия ............................................................ 255
13. ЗАДАЧИ ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕТА РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ .................................................................... 261
13.1. Системный анализ деятельности, хозяйственных средств
и источников предприятия ............................................................................ 261
13.2. Модели учета результатов деятельности предприятия
на трех уровнях ............................................................................................... 268
14. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ МЕТОДАМИ И СРЕДСТВАМИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ............................. 283
14.1. Основные аспекты имитационного моделирования ............... 283
14.2. Математическое обеспечение имитационного моделирования ............................................................................................................ 287
14.3. Сравнительный анализ современных систем имитационного моделирования ................................................................................... 290
14.4. Назначение и возможности инструментальной среды
AnyLogic. Примеры моделирования средствами программы AnyLogic ...... 292
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................ 302
Приложение А. Статистические данные ............................................ 309
Приложение Б. Статистические таблицы .......................................... 315
5
ВВЕДЕНИЕ
Особенностью нынешнего этапа развития отечественной науки и практики в экономической деятельности является повышение интереса специалистов к научному решению проблем с использованием экономико-математических методов, моделей средствами информационных технологий. Экономико-математические методы дают фундаментальную основу решения
аналитических задач в различных сферах деятельности современных предпринимателей и делают управленческие решения научно обоснованными.
Построение математических моделей в экономике во многих случаях связано
напрямую с анализом статистических данных, получение и обработку которых невозможно эффективно организовать без применения современных информационных технологий. Поэтому решение задач поставленных в курсовых и дипломных работах требует от студентов не только знаний в области
конкретных экономических проблем, но умений применения методов экономико-математического моделирования и информационных технологий при
решении конкретных экономических задач.
В украинских университетах существуют два основных процесса,
которые оказывают непосредственное влияние на развитие научной и инновационной деятельности регионов и страны в целом.
1. Выполнение научно-исследовательских работ и проектных разработок.
2. Подготовка специалистов, в том числе научно-педагогических
кадров высшей квалификации [91].
В этих условиях главное – это обучение студентов умению открывать новые признаки неизвестного, анализировать явления, исследовать
известное и неизвестное, систематизировать, формулировать проблему исследования, определять программу практических действий, предусматривать ход событий и последствия тех или иных этапов. Такие умения могут
быть заложены только в процессе внедрения современных образовательных инновационных систем профессиональной подготовки студентов, и
кредитно-модульная система обучения принадлежит именно к ним [92].
С переходом на кредитно-модульную систему обучения особое место отводится самостоятельной работе студента (СРС). Написание дипломных и курсовых работ – формы СРС, которые являются показателем
качества подготовки специалиста.
Основная цель данного учебного пособия – закрепление системы полученных теоретических знаний, умений и навыков относительно возможности использования методов экономико-математического моделирования
для решения задач в экономических областях знаний. Использование математического моделирования в экономике и управлении позволяет углубить полученные экономические знания, расширить область использования экономической информации, интенсифицировать экономические рас-
6
четы. Разработка экономико-математических моделей является важным
звеном в теоретических и прикладных экономических исследованиях.
Предлагаемое пособие состоит из четырнадцати разделов.
В первом разделе описываются основные положения методики экономико-математического моделирования и типы задач, которые решаются
с применением методов экономико-математического моделирования.
Во втором разделе рассматриваются примеры экономических задач,
решение которых находится при условии выполнения баланса.
В третьем разделе описывается построение моделей оптимизационных задач, их решение и анализ с помощью методов математического программирования средствами программы MS Excel (надстройка «Поиск решения»).
В четвертом разделе приведены примеры решения задач динамического программирования.
В пятом разделе описывается методика анализа и планирования проектов и примеры ее применения для решения практических задач.
В разделах 6–9 рассматривается решение разнообразных задач маркетинга: задачи управления запасами, анализа спроса и предложения, определения жизненного цикла товара.
В десятом разделе приводится методика моделирования и анализа
работы систем массового обслуживания (СМО) и ее реализация при решении задач организации работы СМО.
В одиннадцатом разделе рассматривается практика построения эконометрических моделей для решения задач анализа и прогноза экономических показателей.
Двенадцатый раздел посвящен моделированию управления товарным обеспечением на торговом предприятии.
В тринадцатом разделе описываются подходы к моделированию учета результатов деятельности предприятия.
В четырнадцатом разделе рассматриваются задачи анализа производственных систем, систем массового обслуживания, задач маркетинга
методами и средствами имитационного моделирования (в частности программы AnyLogic).
В пособии подробно излагается методика решения задач математического программирования и корреляционно-регрессионного анализа с
помощью использования встроенных функций, пакетов анализа и поиска
решения программной среды MS Excel. Также описана методика применения надстройки Queue Mods.xlа для решения задач анализа и оптимизации
работы систем массового обслуживания и программы MS Project для решения задач анализа и планирования проектов. Это позволяет успешно
решать не только примеры, приведенные в учебном пособии, но и сложные
экономические задачи, имеющие практическое применение.
Важной особенностью данного пособия является его практическая
направленность. В нем не рассматриваются теоретические положения при7
меняемых математических методов и моделей, а дается только конкретная
ссылка на первоисточники. Студент должен самостоятельно обратится к
теоретическим положениям рассматриваемых задач для восстановления
необходимой информации, которую достаточно легко найти в многочисленных научно-методических изданиях кафедры математики и математических методов в экономике ДонНУ.
Задачи, рассмотренные в пособии, соответствуют научным направлениям курсовых и дипломных работ, которые выполняются на кафедрах
«Экономика предприятий», «Маркетинг», «Управления персоналом и экономика труда», «Менеджмент организаций» экономического факультета
ДонНУ. Эконометрические модели, рассмотренные в одиннадцатом разделе и примеры финансовых задач в третьем разделе, будут полезны также
студентам, выполняющим дипломные работы по направлению «Финансы и
кредит». Модели управления товарным обеспечением и учета результатов
деятельности предприятия, рассмотренные в двенадцатом и тринадцатом
разделах, могут представлять интерес также для студентов специальности
«Экономическая кибернетика».
Данное пособие предназначено помочь студентам ориентироваться в
разнообразии применяемых экономико-математических методов при написании курсовых и дипломных работ. Оно также может быть полезным для
специалистов, желающих углубить практические навыки в применении
разнообразных экономико-математических методов и моделей при проведении анализа и прогноза при решении экономических задач.
Авторы работы выражают глубокую признательность и благодарность всем членам кафедры математики и математических методов в экономике и лично доцентам: О.Г. Кривенчук, С.Н. Иванову, В.Ф. Ходыкину,
В.Д. Породникову, Л.А. Гладковой, В.П. Щербине, которые приняли активное участие в обсуждении содержания и внесли существенные замечания и поправки при подготовке рукописи данного пособия. Глубокую признательность выражаем также заведующим кафедр и всему коллективу
экономического факультета, которые своими советами помогали написанию данного учебного пособия.
8
РАЗДЕЛ 1
МЕТОДИКА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
В применении к объекту исследования метод экономико-математического моделирования имеет ряд характерных особенностей. Выделим
три из них.
1. Исследуется система экономических показателей, при помощи которых дается количественная оценка отдельных сторон хозяйственной деятельности экономического объекта или системы. Каждое экономическое
явление или процесс описывается, как правило, комплексом экономических показателей, которые в зависимости от объекта анализа группируются в подсистемы.
2. Система показателей изучается в их взаимосвязи, взаимозависимости, взаимообусловленности.
Изучение взаимосвязи требует выявления соподчиненности показателей, выделения совокупного, результативного показателя и факторов, на
него влияющих.
В процессе анализа показатели-факторы целесообразно предварительно классифицировать по группам: внешние и внутренние, основные и
не основные, определяющие и не определяющие входные, выходные; соотнести с уровнями управления.
3. Производится количественное измерение влияния факторов на совокупный показатель. Это далеко не всегда можно сделать легко, так как
большинство факторов находится не в прямой функциональной зависимости, а в вероятностной, стохастической. Для того чтобы в последнем случае определить форму связи, следует провести статистическое наблюдение, накопить множество фактов, создать массив информации, обработать
его, построить математическую модель.
Таким образом, применение метода экономико-математического анализа включает в себя несколько последовательных процедур:
1) системный анализ объекта исследования;
2) определение системы показателей, описывающих предмет исследования;
3) установление соподчиненности показателей;
4) выделение групп соподчиненных факторов;
5) выделение в группе факторов основных и второстепенных;
6) установление формы взаимосвязей между показателями;
7) выбор приемов и способов для изучения взаимосвязей.
Совокупность приемов и способов, которые применяются при изучении экономических процессов, составляет методику экономико-математического анализа.
9
Методика анализа имеет свои особенности на различных этапах исследования:
− при первичной обработке информации;
− для изучения состояния и закономерностей развития исследуемых
объектов и систем;
− при определении взаимного влияния показателей-факторов друг
на друга;
− для оценки резервов роста эффективности экономического объекта
или системы;
− при принятии решений.
На каждом этапе применяется определенный перечень приемов и
способов. Так, при первичной обработке информации применяются методы группировки показателей, сравнение, графическое представление анализируемой информации, расчет относительных и средних величин.
Изучение состояния и закономерностей развития исследуемых объектов осуществляется с помощью статистических методов и анализа показателей рядов динамики.
С целью определения взаимного влияния показателей-факторов используется множество приемов и способов, составляющих содержание
факторного анализа.
При оценке резервов роста эффективности экономического объекта
или системы и при принятии решений распространены методы: экономические, матричные, теории производственных функций, теории межотраслевого баланса, оптимального программирования.
Множество методов, применяемых при исследовании процессов и
явлений, протекающих на экономических объектах и системах, может
быть сгруппировано по нескольким признакам:
• научному подходу;
• характеру взаимосвязи между показателями;
• по объектам исследования (методы микро- и макроэкономики);
• оптимизации.
Научный подход позволяет выделить три группы методов: общеэкономические; статистические; математические.
К общеэкономическим методам анализа хозяйственной деятельности
относятся: сравнение, графический, балансовой увязки, цепных подстановок, арифметических разниц, логарифмический, интегральный и др.
Статистические методы можно разделить на две группы: 1) традиционные (средних и относительных величин, индексный, обработки рядов
динамики); 2) математико-статистические (дисперсионно-корреляционный
анализ, регрессионный анализ, кластерный анализ).
Математические методы в обобщенном виде представлены тремя основными группами методов: методы оптимального программирования
(линейное, динамическое, нелинейное); методы исследования операций и
10
принятия решений (теория графов, теория игр, теория массового обслуживания); эконометрические методы.
По характеру взаимосвязи между показателями различают методы
детерминированного и стохастического анализа.
По сложности применяемого инструментария аналитические методы
делятся на методы элементарной математики и высшей математики.
Методы элементарной математики используются в обычных традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов, при балансовых расчетах и т.д. Выделение методов классической высшей математики обусловлено тем, что они применяются не только в рамках других методов, например, методов математической статистики и математического
программирования, но и самостоятельно. Так, факторный анализ изменения многих экономических показателей может быть осуществлен с помощью дифференцирования и интегрирования.
По признаку оптимальности все экономико-математические методы
(задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и не оптимизационные. Если при решении используется критерий оптимальности, то метод относится к оптимизационным, в противном случае, он относится к
группе не оптимизационных методов.
Многообразие перечисленных методов предоставляет экономисту
широкие возможности в выборе инструментария исследования.
Рассмотрим основные методы первичной обработки экономической
информации.
Способ сравнения. Наиболее часто применяется в анализе. Основные
его виды:
− сравнение фактических отчетных показателей с плановыми или нормативными, с целью определения уровня выполнения плана или нормативов;
− сравнение фактических показателей со средними по отрасли (с
другими странами, с мировыми показателями), с целью определения конкурентного положения экономического объекта или системы;
− сравнение показателей в динамике с целью выявления тенденций,
закономерностей в развитии экономического явления.
− сопоставление параллельных динамических рядов для изучения
взаимосвязи исследуемых показателей;
− сопоставление результатов альтернативных управленческих решений с целью выбора оптимального решения;
− сравнение результатов деятельности до и после принятия управленческих решений с целью оценки их эффективности.
В экономическом анализе различают также горизонтальный, вертикальный, трендовый, одномерный и многомерный виды сравнительного анализа.
Горизонтальный сравнительный анализ применяется для определения
абсолютных и относительных отклонений фактического уровня исследуемых
показателей от базового (планового, прошлого, среднего и т.д.); вертикаль11
ный – для изучения структуры экономических явлений и процессов путем
расчета удельного веса частей в целом, соотношения удельных весов, этот
вид широко применяется в финансовом анализе; трендовый анализ – при
изучении относительных темпов роста и прироста показателей за ряд лет к
уровню базисного года, т.е. при исследовании рядов динамики.
При одномерном сравнительном анализе сопоставляются один или
несколько показателей одного объекта или несколько объектов по одному
показателю. При многомерном сравнительном анализе проводится сопоставление результатов деятельности нескольких предприятий по нескольким показателям.
Обязательным условием сравнительного анализа является сопоставимость сравниваемых показателей, предполагающая:
− единство объемных, стоимостных, качественных, структурных показателей;
− единство периодов времени, за которые производится сравнение;
− сопоставимость методики исчисления показателей;
− сопоставимость других факторов, неучтенных при расчете коэффициентов.
Приведение данных к сопоставимому виду для выявления влияния
объемных показателей, структурных сдвигов, ценового фактора, качественных изменений осуществляется в процессе факторного детерминантного анализа.
Группировка. Предполагает определенную классификацию явлений и
процессов, а также причин и факторов, их обусловивших.
Балансовый способ. Может применяться в качестве, как основного,
так и вспомогательного приема анализа хозяйственной деятельности.
В качестве основного балансовый способ используется при изучении
показателей, находящихся в балансовой зависимости, например, при анализе обеспечения предприятия сырьем, материалами, товарами, при анализе бухгалтерского баланса и т.д.
Как вспомогательный, балансовый способ используется для проверки результатов расчетов влияния факторов на совокупный результативный
показатель.
Графический способ. Графики являются масштабным изображением
показателей и их зависимости с помощью геометрических фигур. Графический способ не имеет в анализе самостоятельного значения, а используется для иллюстрации изменений в динамике, структурных сдвигов или
других видов сравнения.
Рассмотренные приемы в основном выполняют вспомогательную
роль в анализе. Для решения более сложных задач таких как: определения
состояния и закономерностей развития исследуемых объектов и систем;
определения взаимного влияния экономических показателей-факторов
друг на друга; оценки резервов роста эффективности экономического объекта или системы; управления экономическими объектами или системами
12
необходимо применение методов экономико-математического моделирования, применение которых основывается на использовании соответствующих моделей.
В общем смысле модель – это система, способная заменить оригинал
(то есть реальную систему) так, чтобы её изучение давало информацию об
оригинале. Модель может полностью или частично воспроизводить структуру моделируемой системы и её функции. Моделирование – процесс построения, реализации и исследования модели, который способен заменить
реальную систему и дать информацию о ней.
Математическая модель – система математических и логических соотношений, которые описывают структуру и функции реальной системы.
Экономико-математическая модель – это математическое описание экономического процесса или явления с целью его исследования и управления.
Методика проведения экономико-математического моделирования:
1) осуществляют экономическую постановку задачи, для чего формулируют объект и цель исследования, выделяют функциональные, структурные элементы и наиболее важные качественные характеристики объекта исследования, словесно, качественно описывают взаимосвязи между
элементами модели;
2) вводят символические обозначения для учета характеристик экономического объекта и формализуют взаимосвязи между ними, то есть составляют математическую модель;
3) с помощью определенных методов проводят расчеты по математической модели и анализируют полученный результат;
4) корректируют построенную модель, если она не дает желаемых
результатов.
На основании разработанных моделей осуществляется процесс принятия решений, который включает следующие этапы:
− предварительное формулирование проблемы;
− определение целей решения и выбор соответствующих критериев
оптимальности;
− выявление и установление ограничений;
− составление списка альтернатив и их предварительный анализ с
целью исключения явно неэффективных;
− сбор экономической информации и прогнозирование изменения
параметров решения в будущем;
− точное формулирование поставленной задачи;
− разработка модели решения;
− анализ и выбор метода решения задачи и разработку алгоритма
решения;
− оценку альтернатив и выбор наиболее эффективных;
− принятие решения.
13
РАЗДЕЛ 2
БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
2.1. Межотраслевой баланс производства и потребления
В методологии планирования пропорций, темпов и объемных показателей ведущее место принадлежит балансовому методу, который позволяет
сравнивать народнохозяйственные потребности с возможностями их удовлетворения. Для анализа межотраслевых связей важное значение имеет построение межотраслевого баланса производства и распределения продукции,
охватывающего движение совокупного общественного продукта с выделением отраслей. Синтезируя в единой таблице частные материальные балансы,
межотраслевой баланс представляет собой систему показателей, дающих
подробную характеристику воспроизводства совокупного общественного
продукта по стоимости и по натурально-вещественному составу как в целом
по народному хозяйству, так и по отдельным отраслям.
По экономическому содержанию и характеру информации выделяют
две основные разновидности межотраслевых балансов: отчетные и плановые. В свою очередь, все межотраслевые балансы можно классифицировать в соответствии с единицами измерения продукции на стоимостные,
натурально-продуктовые и трудовые. Межотраслевые балансы делятся
также на статические и динамические. Статические отражают экономические связи, складывающиеся в пределах определенного периода времени
(обычно года). Динамические описывают динамические связи, складывающиеся в народном хозяйстве и обусловленные характером и способом распределения совокупного продукта на фонды воспроизводства. Наряду с
межотраслевыми разрабатываются региональные балансы.
Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие
баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с
другой – как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями.
Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются
таблицами межотраслевого баланса.
Развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась в трудах экономиста В. Леонтьева (1936 г.). В. Леонтьев создал научно обоснованный метод «затраты
– выпуск», который позволяет анализировать межотраслевые связи в национальном хозяйстве и определять возможные направления оптимизации
отраслевой структуры.
Рассмотрим применение модели Леонтьева на примере задачи отраслевого планирования экономики Украины. Теоретические вопросы, связанные с построением статической n – секторной модели Леонтьева студент может найти в учебном пособии [27].
14
Пример 2.1. На основании таблицы «Затраты – выпуск» Украины за
2006 г. (приложение А) для экономической системы, состоящей из четырех
секторов: сельское хозяйство, промышленность, строительство и отраслей
сферы услуг определить (при условии, что технологии производства останутся неизменными):
1) межотраслевые поставки продукции и заполнить схему межотраслевого баланса;
2) матрицу коэффициентов прямых затрат A
3) матрицу коэффициентов полных затрат B ;
4) проверить продуктивность матрицы A ;
5) определить матрицы коэффициентов косвенных затрат первого A (1) второго A ( 2) и третьего порядка A (3) , сравнить сумму
E + A + A(1) + A( 2) + A(3) с полными затратами B ;
6) изменение вектора конечного потребления Y2007 по сравнению с Y2006
для вектора валового выпуска X 2007 = (115000, 895000, 95000, 600500) ;
7) определить приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно измениться на ∆Y % = (−5 : 15;7;12) по сравнению с Y2006 .
Решение
1. Для определения межотраслевых поставок, конечного и валового
продукта четырех секторов: сельского хозяйства, строительства, промышленности и сферы услуг представленных в приложении А просуммируем
сначала соответствующие столбцы, а затем строки таблицы «Затраты – выпуск» Украины за 2006 г. (приложение А1–А3). Результаты вычислений
сведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1
Схема межотраслевого баланса Украины за 2006 г. (млн грн)
Производящие
отрасли
Потребляющие отрасли
1
2
3
4
34567 25377
87
4270
20588 335545 34439 85900
32
767 785
2054
12722 154639 7673 114956
1
2
3
4
Условно чистая
42415 206905 23672 271161
продукция
Валовой
110324 723233 66656 478341
продукт
Конечный
продукт
46023
246761
63018
188351
Валовой
продукт
110324
723233
66656
478341
544153
1378554
2. Элементы матрицы коэффициентов прямых затрат A определим
по формуле:
15
aij =
X ij
Xj
, i = 1,4 , j = 1,4 ,
где X ij и X j – межотраслевые поставки и валовой продукт соответственно.
Вычисления выполняем в среде Excel (рис. 2.1):
Рис. 2.1 – Вычисление в среде Excel матрицы прямых затрат примера 2.1
3. Коэффициентами полных затрат являются соответствующие элементы матрицы B = ( E − A) −1 (рис. 2.2):
Рис. 2.2 – Вычисление в среде Excel матрицы полных затрат примера 2.1
4. Матрица A продуктивная, так как все элементы матрицы ( E − A ) неотрицательные. Также продуктивность матрицы A прямых затрат можно установить непосредственно анализируя ее значения. Для этого необходимо проверить выполнение достаточного условия:
−1
16
A = max ∑ aij < 1, aij ≥ 0 .
j
i
Легко проверить, что в нашем случае A = 0,741 и aij ≥ 0 .
5. Матрицы коэффициентов косвенных затрат первого A (1) второго
A ( 2) и третьего порядка A (3) определим по формулам (рис. 2.3, 2.4):
A (1) = A ⋅ A , A ( 2) = A ⋅ A (1) , A (3) = A ⋅ A ( 2) .
Рис. 2.3 – Вычисление в среде Excel матриц косвенных
затрат примера 2.1
Вычислим разность между полными и косвенными затратами по
формуле (рис. 2.4):
∆B = B − ( E + A + A (1) + A ( 2) + A (3) )
В результате получим:
∆B =
0,0193
0,1193
0,0008
0,0751
0,0197
0,1434
0,0009
0,0903
0,0189
0,1396
0,0009
0,0879
0,0101
0,0750
0,0005
0,0473
17
Рис. 2.4 – Сравнение матриц полных и косвенных затрат примера 2.1
6. Вектор конечного потребления Y2007 для вектора валового выпуска X 2007 определим по формуле (рис. 2.5):
Y2007 = ( E − A) X 2007
Рис. 2.5 – Определение изменения вектора конечного
потребления ∆Y2007
Анализируя результаты вычислений, делаем вывод, что объемы конечного потребления в секторе сельского хозяйства в 2007 г. сократятся на
8,6% по сравнению с 2006 г., а в секторах производства, строительства и
сферы услуг увеличатся на 22,1%, 43,3% и 27,8% соответственно.
7. Приросты валовых объемов выпуска секторов народного хозяйства определим по формуле (рис. 2.6):
∆X = B ⋅ ∆Y
18
Рис. 2.6 – Определение прироста валовых объемов выпуска ∆X
примера 2.1
Таким образом, прирост валовых объемов выпуска (млн грн) составит:
3844,95
116527,66
∆X =
6838,64
72426,74
Анализируя относительные значения приростов валовых объемов
выпуска, отметим, что, не смотря на плановое сокращение потребления в
секторе сельского хозяйства на 5%, валовые объемы производства в данном секторе должны увеличиться на 3,49%.
Пример 2.1. решен полностью.
Рассмотрим еще одну разновидность балансовой модели, двойственной к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен.
Теоретические вопросы, связанные с построением данной модели студент
может найти в книге [53].
Пусть A – матрица прямых затрат, x = ( x1, x2 ....xn ) – вектор валового
выпуска. Обозначим через p = ( p1, p2 .... pn ) – вектор цен, i -я координата которого равна цене единицы продукции i -й отрасли. Тогда, например, первая
отрасль получит доход, равный p1 x1 . Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме a11 , второй отрасли в объеме a21 , n -й отрасли в объеме an1 т.д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a11 p1 + a21 p2 ... + an1 pn . Следовательно, для выпуска продукции в объеме x1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную
19
x1 (a11 p1 + a21 p2 ... + an1 pn ) . Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, обозначим через V1 (эта часть дохода идет на выплату
зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).
Таким образом, имеет место следующее равенство:
x1 p1 = x1 (a11 p1 + a21 p2 ... + an1 pn ) + V1 .
Разделив это равенство на x1 , получим:
p1 = a11 p1 + a21 p2 ... + an1 pn + v1 ,
V
где v1 = 1 – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоиx1
мости на единицу выпускаемой продукции).
Аналогично для остальных отраслей получаем такие же зависимости,
в результате чего получим следующую систему:
⎧ p1 = a11 p1 + a21 p2 ... + an1 pn + v1
⎪ p = a p + a p ... + a p + v
⎪ 2
12 1
22 2
n2 n
2
,
⎨
..........
..........
..........
..........
..........
⎪
⎪⎩ pn = a1n p1 + a2n p2 ... + ann pn + vn
(2.1)
Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:
p = AT p + v ,
(2.2)
где v = (v1, v2 ....vn ) – вектор норм добавленной стоимости.
Как видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели
Леонтьева с той лишь разницей, что x заменен на p , y – на v , A – на AT .
Зная вектор норм добавленной стоимости равновесные цены можно
определить по формуле:
p = CT v ,
(2.3)
где C T = ( E − AT ) −1 – транспонированная матрица полных затрат.
Если система (2.1) имеет неотрицательное решение p = ( p1, p2 .... pn ) ,
то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной. Это свойство
является двойственным к понятию продуктивности модели Леонтьева в
20
том смысле, что выполнение одного из свойств влечет справедливость
другого. Данное положение является следствием наличия тесной математической связи между взаимно двойственными моделями Леонтьева, которое формулируется в виде следующей теоремы:
Теорема. Для того чтобы модель Леонтьева x = Ax + y ( y – вектор
конечного потребления) была продуктивной, необходимо и достаточно,
чтобы двойственная к ней модель (2.2) была прибыльной.
Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также
позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей. Рассмотрим пример на построение двойственной модели Леонтьева и применение ее для экономического анализа.
Пример 2.2. На основании таблицы «Затраты – выпуск» Украины за
2006 г. (приложение А) для экономической системы, состоящей из четырех
секторов: сельское хозяйство, промышленность, строительство и отраслей
сферы услуг определить равновесные цены при условии, что вектор норм
добавленной стоимости равен: v = (4;10;4;9) . Проанализируйте, как изменятся равновесные цены секторов народного хозяйства, если норма добавленной стоимости в промышленном секторе увеличиться на 10%.
Решение. Равновесные цены определим по формуле (2.3). Используем результаты вычисления матрицы коэффициентов прямых затрат A из
примера 2.1. и выполним необходимые вычисления в среде Excel (рис. 2.7).
Рис. 2.7 – Определение равновесных цен примера 2.1
21
В результате получим следующие значения равновесных цен (рис. 2.7):
p=
16,34
27,18
20,44
18,58
Определим равновесные цены в случае, если в промышленном секторе произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Принимая во внимание, что v = (4; 1,11; 4; 9) получим (рис. 2.8):
Рис. 2.8 – Анализ изменения равновесных цен примера 2.1
∆p =
4,46%
8,57%
6,28%
3,05%
Следовательно, при увеличении нормы добавленной стоимости на
1,11 в промышленном секторе, произойдет увеличение цен во всех секторах от 3,05% до 8,57%. Зная объемы выпуска, можно также подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.
Обобщение модели Леонтьева. Одним из существенных упрощений
модели Леонтьева является отсутствие в ней первичных (невозобновляемых)
факторов производства. Модель будет более близкой к реальности, если наряду с воспроизводимыми (вторичными) ресурсами, описываемыми в модели
произведением Ax , будут учтены и первичные факторы. Предположим, что
товар производится с использованием продукций всех n отраслей и еще m
первичных факторов. Обозначим через bkj количество k -го первичного фактора, необходимого для производства одной единицы товара j . Из определения этих величин следует, что имеет место равенство:
0
bkj
= bkj ⋅ x j , j = 1, n , k = 1, m
22
(2.4)
Суммируя эти уравнения по j , получим зависимости, определяющие
суммарные затраты по всем отраслям объемы затрат вторичных факторов
производства:
n
∑ bkj0 =
j =1
n
∑ bkj ⋅ x j , k = 1, m
(2.5)
j =1
Аналогичное равенство имеет место для вторичных факторов производства:
n
n
0
∑ aij = ∑ aij ⋅ x j , i = 1, n
j =1
j =1
(2.6)
Так как x = ( x1 , x2 ,...xn ) вектор выпуска продукции, используемой
как на производственное так и на конечное потребление, то он должен
удовлетворять условию баланса:
x = Ax + y .
Введем матрицу
⎛ b11 b12
⎜
b22
⎜b
B = ⎜ 21
...
...
⎜
⎜b
⎝ m1 bm 2
... b1n ⎞
⎟
... b2n ⎟
,
... ... ⎟
⎟
... bmn ⎟⎠
которая интерпретируется как технологическая матрица расхода первичных ресурсов. Также предположим, что известен вектор v = (v1,...vm ) запасов первичных ресурсов. Следовательно:
n
∑ bkj0 ≤ vk , k = 1, m .
j =1
В матричной форме последнее условие примет вид:
Bx ≤ v .
Обозначим через p = ( p1, p2 .... pn ) и w = ( w1,...wm ) векторы цен вторичных и первичных ресурсов соответственно.
В результате введенных обозначений, можно определить при каком
векторе выпуска x = ( x1, x2 ....xn ) реализация конечного продукта
23
y = ( y1 , y 2 .... y n ) приведет к максимальному доходу с учетом наличного запаса v = (v1,...vm ) первичных ресурсов.
Обобщенная модель Леонтьева будет иметь вид:
F=
n
∑ p j ⋅ y j → max ,
(2.7)
j =1
x = Ax + y ,
Bx ≤ v ,
x ≥ 0.
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Так как максимизация дохода осуществляется за счет варьирования
вектора выпуска, в целевой функции вектор конечного потребления (спроса) y выразим через вектор выпуска x = ( x1 , x2 ....xn ) .
F = p t ⋅ ( E − A) ⋅ x → max ,
Bx ≤ v ,
x ≥ 0.
(2.11)
(2.12)
(2.13)
К последней задаче (2.11) – (2.13) существует двойственная задача
равновесных цен:
G=
m
∑ wk ⋅ vk → min ,
(2.14)
k =1
BT w ≥ p ( E − A) ,
w ≥ 0.
(2.15)
(2.16)
Задачи (2.11) – (2.16) являются задачами линейного программирования. Решение задачи (2.11) – (2.13) позволяет определить спрос на товары
y = y ( p, w) для различных вариантов цен на первичные и вторичные ресурсы. Решение задачи (2.14) – (2.16) определяет вектор предложения первичных факторов v = v( p, w) .
2.2. Отраслевой баланс производства и потребления
Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие
баланса не только между отдельными отраслями, но и между последовательными периодами производства в одном производственном секторе.
Баланс между производством, потреблением и инвестициями в течение последовательных плановых периодов можно описать с помощью динамических односекторных балансовых моделей В. Леонтьева [53]. Рассмотрим
несколько таких моделей.
24
Модель Леонтьева с дискретным временем. Эта модель определяет случай переменного потребления и основана на следующих предположениях.
1. Рассматривается производственный сектор, производящий и частично потребляющий произведенную продукцию.
2. Сектор работает k плановых периодов ( k – месяц, квартал, год).
3. Валовой выпуск продукции сектора в i -м году равен xi , i = 1, k
( k – натуральное число).
4. Известен выпуск продукции за первый период работы сектора x1 .
5. Известна доля a ( 0 < a < 1 ) выпуска продукции сектора, потребляемая самим сектором.
6. В i -м периоде i = 1, k конечный продукт сектора полностью расходуются на инвестиции I i и потребление Pi , которые определяются по
формулам:
I i = q( xi +1 − xi ) ,
Pi = pxi
(2.17)
(2.18)
где q – доля прироста валового продукта, которая расходуется на инвестиции, p – доля потребления валового продукта.
Требуется найти последовательность выпусков продукции за k периодов: xi , i = 1, k .
На основании предположений 1 – 6 составим балансовое уравнение
модели:
xi − axi = q ( xi +1 − xi ) + pxi , i = 1,2,.... .
(2.19)
Преобразуем уравнение (2.19) к виду:
⎛1 − a − p + q ⎞
⎟⎟ xi
xi +1 = ⎜⎜
q
⎝
⎠
(2.20)
Формула (2.20) задает геометрическую прогрессию с первым членом
1− a − p + q
x1 и знаменателем
. Следовательно:
q
⎛1 − a − p + q ⎞
⎟⎟
xi = x1⎜⎜
q
⎝
⎠
i −1
, i = 1,2,....
(2.21)
Последняя формула позволяет рассчитать последовательность выпусков продукции за k периодов xi , i = 1, k .
25
В случае постоянного потребления Pi = p . Тогда:
xi − axi = q( xi +1 − xi ) + p , i = 1,2,....
Откуда:
⎛1 − a + q ⎞
p
⎟⎟ xi − , i = 1,2,....
xi +1 = ⎜⎜
q
q
⎝
⎠
Для получения зависимости xn от x1 , сделаем замену переменных:
⎧ xi = yi − β ,
⎨
⎩ xi +1 = yi +1 − β
(2.22)
В результате уравнение примет вид:
⎛1 − a + q ⎞
β (a − 1) − p
⎟⎟ yi +
yi +1 = ⎜⎜
, i = 1,2,....
q
q
⎝
⎠
Полагая β =
p
, получим:
a −1
⎛1 − a + q ⎞
⎟⎟ yi , i = 1,2,....
yi +1 = ⎜⎜
q
⎝
⎠
(2.23)
Формула (2.23) задает геометрическую прогрессию с первым членом
1− a + q
y1 и знаменателем
. Следовательно:
q
⎛1 − a + q ⎞
⎟⎟
y n = y1⎜⎜
q
⎝
⎠
n −1
, i = 1,2,....
Откуда учитывая замену (2.22) и равенство β =
p
p ⎞⎛ 1 − a + q ⎞
⎛
⎟⎟
= ⎜ x1 +
xn −
⎟⎜
a −1 ⎝
a − 1 ⎠⎜⎝
q
⎠
26
p
получим:
a −1
n −1
, i = 1,2,....
p ⎞⎛ 1 − a + q ⎞
⎛
⎟⎟
xn = ⎜ x1 +
⎟⎜
a − 1 ⎠⎜⎝
q
⎝
⎠
n −1
+
p
, i = 1,2,....
a −1
(2.24)
Зависимость (2.24) дает возможность найти валовой продукт на последующие n плановых периодов (месяц, квартал, год), если известен валовой
продукт за первый плановый период x1 , и завершает построение модели.
Рассмотрим применение приведенных выше моделей для решения
экономических задач на следующих примерах.
Пример 2.3. На основании данных об объемах производства и потребления Украины за 2006 г. (табл. 2.1) в промышленном секторе определить (при условии, что технологии производства останутся неизменными):
1) долю a ( 0 < a < 1 ) выпуска продукции сектора промышленности,
потребляемую самим сектором и коэффициент p – долю конечного потребления от валового продукта;
2) последовательность выпусков продукции на 2007–2009 гг., если
инвестиции в промышленность в данном периоде будут составлять 20%
прироста валового продукта.
Решение. Для определения доли a ( 0 < a < 1 ) выпуска продукции
сектора промышленности, потребляемой самим сектором, объем промежуточного потребления разделим на объем валовой продукции:
a=
335545
⋅ 100% = 46,40% .
723233
Для определения коэффициента p – доли конечного потребления от
валового продукта, объем конечного потребления разделим на объем валовой продукции:
p=
246761
⋅ 100% = 34,12% .
723233
Последовательность выпусков продукции на 2007–2009 гг. определим по формуле:
⎛1 − a − p + q ⎞
⎟⎟
xi = x1⎜⎜
q
⎝
⎠
i −1
, i = 2,3,4 .
где a = 0,464 , p = 0,3412 , q = 0,2 , x1 = 723233 .
⎛ 1 − 0,464 − 0,3412 + 0,2 ⎞
x2(2007) = 723233⎜
⎟ = 723233 ⋅ 1,974 = 1 427 662 млн грн,
0
,
2
⎝
⎠
27
2
⎛ 1 − 0,464 − 0,3412 + 0,2 ⎞
x3( 2008) = 723233⎜
⎟ = 1 818 205 млн грн,
0,2
⎝
⎠
3
⎛ 1 − 0,464 − 0,3412 + 0,2 ⎞
x4( 2009) = 723233⎜
⎟ = 5 563 136 млн грн.
0
,
2
⎝
⎠
Полученные прогнозные объемы валовой продукции в промышленном секторе (аналогично данные показатели могут быть рассчитаны для
остальных секторов народного хозяйства) при подстановке в формулу
Y = ( E − A) X модели межотраслевого баланса позволяют рассчитать, например, прогнозируемые объемы конечного потребления на 2007–2009 гг.
по секторам народного хозяйства.
Модель Леонтьева с непрерывным временем. Изучаемая модель
основана на следующих предположениях:
1) рассматривается производственный сектор, производящий и частично потребляющий произведенную продукцию;
2) валовой выпуск продукции сектора в момент времени t (t ≥ 0)
описывается функцией x = x(t ) ;
3) известна доля a ( 0 < a < 1 ) выпуска продукции сектора, потребляемая самим сектором;
4) конечный продукт сектора полностью расходуются на инвестиции
I = I (t ) и потребление P = P(t ) , которые определяются по формулам:
I (t ) = qx′(t ) , P = px(t )
с известными коэффициентами q и p .
Требуется найти зависимость от времени выпуска продукции x = x(t ) ,
если известен выпуск продукции в начальный момент: x(0) = x0 .
На основании предположений 1–4 делаем вывод, что в рассматриваемой модели выпуск продукции является решением следующей задачи:
⎧ x − ax = qx′ + px,
⎨
⎩ x ( 0) = x0 .
(2.25)
Эта задача является аналогом задачи Коши, которая решается методами теории дифференциальных уравнений.
Преобразуем задачу (2.25) к стандартному виду:
⎧
⎛1 − a − p ⎞
⎟⎟ x,
⎪ x′ = ⎜⎜
q
⎨
⎝
⎠
⎪ x ( 0) = x .
0
⎩
28
(2.26)
Решением задачи (2.26) является функция
⎛ 1− a − p ⎞
⎟t
⎜⎜
q ⎟⎠
⎝
x(t ) = x0 e
,
(2.27)
определяющая зависимость объема выпуска продукции в зависимости от
времени в случае переменного потребления.
В случае постоянного потребления P(t ) = p остальные предположения модели Леонтьева с непрерывным временем остаются без изменения.
Тогда выпуск продукции является решением следующей задачи:
⎧ x − ax = qx′ + p,
⎨
⎩ x ( 0) = x0 .
(2.28)
Преобразуем задачу (2.28) к стандартному виду:
⎧
⎛1 − a ⎞
p
⎟⎟ x − ,
⎪ x′ = ⎜⎜
q
⎨
⎝ q ⎠
⎪ x ( 0) = x .
0
⎩
(2.29)
Решением задачи (2.29) является функция
⎛ 1− a ⎞
⎜
⎟t
p ⎞ ⎜⎝ q ⎟⎠
+
⎟e
⎛
x(t ) = ⎜ x0 −
1− a ⎠
⎝
p
1− a
(2.30)
определяющая объем выпуска в зависимости от времени.
2.3. Организация материально-технического снабжения при условии межпродуктового баланса
Одной из главных функций маркетинга является производственная,
которая предполагает в первую очередь организацию материальнотехнического снабжения на основе анализа хозяйственных связей. Поэтому
основным видом моделей согласования ресурсов и потребностей в материально-техническом снабжении являются балансовые модели, аналогичные
рассмотренной выше модели МОБ.
Чаще всего используются межпродуктовые балансы в натуральном
выражении, в которых первый раздел отражает источники формирования
ресурсов продукции, а второй показывает направления использования ресурсов на текущее производственное потребление и конечное потребление.
Эти балансы позволяют определить потребность в продукции каждой от29
расли и взаимоувязанные объемы производства продукции, обеспечивают
согласование ресурсов с потребностью на всех стадиях переработки продукции с учетом прямых и косвенных связей.
В общем виде модель межпродуктового баланса имеет вид:
n
X i = ∑ aij X j + Yi , i = 1, n
(2.31)
j =1
что по форме совпадает с моделью межотраслевого баланса в стоимостном
выражении, однако здесь все величины даны в натуральных измерителях.
Для примера приведем значения некоторых коэффициентов прямых материальных затрат aij : на изготовление одного грузового автомобиля расходуется в среднем 2,5 т. стального проката, 0,5 т. чугуна, 2 тыс. кВт. ч электроэнергии, 1 м3 пиломатериалов и т.д.
Рассмотрим решение одной из задач маркетинга на основе модели
межпродуктового баланса. В моделях межпродуктовых балансов в состав
объема конечной продукции Yi входит количество продукции, направляемой на увеличение запасов и резервов. Величина этого прироста по каждой
продукции часто задается вне модели, что определяет общее количество
продукции каждого наименования, идущее на прирост запасов, но не дает
возможности узнать, в каком объеме требуются эти запасы для обеспечения непрерывности производства, какова оптимальная величина совокупных запасов для данной продукции.
Для того чтобы получить ответ на эти вопросы, необходимо наряду с
прямыми затратами отражать величину запасов и резервов в том разделе
баланса, где по строкам показываются производственные связи и затраты
одного вида продукта на все другие виды, а по столбцам – затраты различных продуктов на производство продукта данного определенного вида.
Введём новый термин. Коэффициент запасоёмкости sij показывает,
какое количество запаса продукции i -го вида необходимо при производстве единицы продукции j -го вида. Пусть Sij есть величина запаса продукции i -го вида, используемого для производства j -й продукции, а X j – общий объем производства j -й продукции, то величину коэффициента запасоемкости можно определить по формуле:
sij =
Sij
Xj
, i, j = 1, n
(2.32)
На практике коэффициенты запасоемкости можно рассчитать на основе статистических данных за предыдущие годы.
Если в схему межпродуктового баланса ввести показатели запасоемкости, то уравнение (2.31) с учётом (2.32) примет вид:
30
n
n
j =1
j =1
X i = ∑ aij X j + ∑ sij X j + Yi , i = 1, n
(2.33)
Введём наряду с ранее использованными матричными величинами
матрицу коэффициентов запасоемкости:
⎛ s11
⎜s
S = ⎜ 21
⎜ ...
⎜
⎝ sn1
s12
s22
...
sn 2
... s1n ⎞
... s2 n ⎟⎟
.
... ... ⎟
⎟
... snn ⎠
Модель (2.33) допускает запись в матричном виде
X = AX + SX + Y
(2.34)
откуда выводится следующее соотношение:
X = ( E − A − S ) −1 Y
(2.35)
Матрица B S = ( E − A − S ) −1 аналогична матрице B коэффициентов
полных материальных затрат, но наряду с прямыми и косвенными затратами включает также затраты запасов на единицу конечной продукции.
Балансовые модели могут быть полезны и при реализации сбытовой
функции маркетинга, в частности в вопросах ценообразования. В условиях
формирования рыночных цен они помогают выявить, например, дисбаланс
межотраслевых и внутриотраслевых цен при свободном рыночном ценообразовании. Рассмотрим, прежде всего, задачу расчета системы цен по формуле стоимости на основе МОБ.
Обозначим через t j коэффициент прямых затрат труда в j -й отрасли,
через Pj цену единицы j -го продукта, через Pt денежный эквивалент новой стоимости, созданной в единицу рабочего времени. Тогда в балансе для
каждого j -го продукта должно соблюдаться равенство:
n
Pj = ∑ aij Pj + t j Pt , j = 1, n
(2.36)
j =1
Пусть Vn – нормативная ставка оплаты единицы рабочего времени,
α – норма прибавочного продукта по отношению к необходимому (норма
прибыли). Для величины Pt справедлива формула:
31
Pt = Vn (1 + α )
(2.37)
Считая величину нормативной ставки оплаты единицы рабочего времени (единицы затрат труда) Vn известной, нормировать коэффициент α
можно путем присоединения к системе уравнений (2.36) дополнительного
(n + 1) -го уравнения, используя объемные показатели МОБ. Полагая для
простоты, что сумма доходов населения, не занятого в производственной
сфере, равна нулю, уравнение можно записать в следующем виде:
n
n
j =1
j =1
Vn ∑ X j t j = ∑ PjY j
(2.38)
Это уравнение отражает требование соответствия доходов населения
и общей стоимости товаров конечного потребления.
Кроме определения системы цен по формуле стоимости на базе
уравнений МОБ можно рассчитывать новые перспективные цены и индексы их динамики в сравнении с уровнями базисного года. Показатели нового периода будем обозначать верхним индексом «*». Например, будем рассматривать xij и xij * и т.д.
Введем в рассмотрение коэффициенты распределения продукции
hij =
xij
Xi
, i, j = 1, n
(2.39)
которые показывают долю продукции i -й отрасли, выступающую в качестве текущих затрат на выпуск продукции j -й отрасли.
Если обозначить через ri индекс изменения цены продукции i -й отрасли
*
X i* xij
ri =
=
,
Xi
xij
то очевидны равенства:
hij =
*
xij *
X i*
=
ri ⋅ xij
ri ⋅ X i
= hij
(2.40)
Таким образом, матрица коэффициентов распределения продукции
H не зависит от изменения отраслевых уровней цен.
32
Для полностью сбалансированного МОБ по столбцам первого и
третьего квадрантов должны выполняться следующие соотношения:
n
X j * = ∑ xij * + Z j * , j = 1, n
(2.41)
i =1
С учетом равенств (2.40) имеем соотношения
n
X j = ∑ X i* ⋅ hij + Z j * , j = 1, n ,
*
(2.42)
i =1
которые представимы в матричном обозначениях
X * = X * ⋅ H + Z* ,
(2.43)
где X * = ( X 1* , X 2* ,..., X n* ) – вектор-строка валового выпуска отраслей в ценах будущего периода, a Z * = ( Z1* , Z 2* ,..., Z n* ) – вектор-строка условно чистого дохода в новых ценах.
Решение системы уравнений (2.43) в матричном виде таково:
X * = Z * ⋅ ( E − H ) −1
(2.44)
Рассчитав валовые выпуски отраслей в перспективных ценах, можно получить индексы динамики отраслевых цен в сравнении с базисным годом:
X i*
ri =
, i = 1, n .
Xi
Существует другой метод расчета отраслевых индексов динамики
цен, основанный на модели прямого счёта. Известно, что выполняются
равенства:
X j * = rj ⋅ X j , xij * = rj ⋅ xij .
Следовательно, систему уравнений (2.27) можно переписать в виде:
n
rj ⋅ X j = ∑ rj ⋅ xij + Z j * , j = 1, n .
i =1
33
Формулы xij = aij X j ( i, j = 1, n ) позволяют учесть связь с коэффициентами прямых материальных затрат. Последнюю систему уравнений можно
представить в следующем виде:
n
rj ⋅ X j = ∑ rj ⋅ aij X j + Z j * , j = 1, n
(2.45)
i =1
Разделив левые и правые части уравнений (2.45) на X j , получим:
n
Z j*
i =1
Xj
rj = ∑ rj ⋅ aij +
, j = 1, n
(2.46)
Обозначим через r = (r1 , r2 ,..., rn ) вектор-строку индексов динамики
отраслевых перспективных цен, через G = ( g1 , g 2 ,..., g n ) – вектор-строку,
компонентами которого являются величины g j =
Z j*
Xj
. Тогда система урав-
нений (2.46) представима в матричном виде
r =r⋅ A+G
(2.47)
Решение матричного уравнения (2.32’) таково:
r = G ⋅ ( E − A) −1 = G ⋅ B
(2.48)
где B = ( E − A) −1 – матрица коэффициентов полных материальных затрат.
Пример 2.4. Условная экономическая система состоит из трёх отраслей Информация о ней содержится в матрице коэффициентов прямых материальных затрат и векторе конечной продукции:
⎛ 0,4 0,1 0,4 ⎞
⎛ 100 ⎞
A = ⎜⎜ 0,2 0,4 0 ⎟⎟ , Y = ⎜⎜ 300 ⎟⎟ .
⎜ 0,3 0,2 0,2 ⎟
⎜ 200 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
1. Необходимо найти коэффициенты полных материальных затрат и
вектор валовой продукции, а также заполнить схему межотраслевого материального баланса.
2. Планируется перейти на новые отраслевые цены таким образом,
чтобы условно чистый доход в отраслях в этих ценах составил Z1* = 90 ,
Z 2* = 240 , Z 3* = 300 .
34
Используя модель прямого счёта, надо определить индексы динамики отраслевых цен в сравнении с базисным годом, обеспечивающие достижение запланированных уровней условно чистого дохода во всех отраслях.
Решение. Вычислим предварительно элементы матрицы:
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 0,4 0,1 0,4 ⎞ ⎛ 0,6 −0,1 −0,4 ⎞
0 ⎟⎟ .
E − A = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ − ⎜⎜ 0,2 0,4 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ −0,2 0,6
⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0,3 0,2 0,2 ⎟ ⎜ −0,3 −0, 2 0,8 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
Для операций с матрицами будем использовать функции MS Excel.
Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат, используя функцию МОБР() для вычисления обратной матрицы и округляя все
вычисления до четвёртого знака после запятой:
⎛ 2,6087 0,8696 1,3044 ⎞
B = ( E − A) −1 = ⎜⎜ 0,8696 1,9565 0, 4348 ⎟⎟
⎜ 1,1957 0,8152 1,8478 ⎟
⎝
⎠
C помощью функции МУМНОЖ() определим вектор величин валового продукта трёх отраслей:
⎛ 782,6087 ⎞
X = BY = ⎜⎜ 760,8696 ⎟⎟ .
⎜ 733,6957 ⎟
⎝
⎠
Так как xij = aij X j ( i, j = 1, 3). Поэтому для получения первого столбца
первого квадранта нужно элементы первого столбца матрицы A умножить
на X 1 = 782,6087 , элементы второго столбца – на X 2 = 760,8696 , а третьего
столбца – на X 3 = 733,6957 .
Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учётом формулы как разность между объемами валовой продукции
и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого
квадранта:
3
Z j = X j − ∑ xij , j = 1,3 .
i =1
Четвертый квадрант в нашей задаче состоит из одного показателя и
служит, в частности, для контроля правильности расчёта. Сумма элементов
35
второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать
с суммой элементов третьего квадранта, т.е.
3
3
i =1
j =1
∑ Yi = ∑ Z j .
Результаты расчётов представлены в табл. 2.2.
Матрица коэффициентов полных материальных затрат была найдена
в предыдущем примере:
⎛ 2,6087 0,8696 1,3044 ⎞
B = ⎜⎜ 0,8696 1,9565 0,4348 ⎟⎟ .
⎜ 1,1957 0,8152 1,8478 ⎟
⎝
⎠
Таблица 2.2
МОБ производства и распределения продукции
Производящие
отрасли
1-я
2-я
3-я
Условно чистая продукция
Валовой
продукт
Потребляющие отрасли
1-я
2-я
3-я
313,0435
76,0870
293,4783
156,5217 304,3478
0
234,7826 152,1739 146,7391
Валовой
продукт
782,6087
760,8696
733,6957
78,2609
228,2609
293,4783
600
–
782,6087
760,8696
733,6957
–
2277,174
По формуле g j =
g1 =
Конечный
продукт
100
300
200
Z j*
Xj
( j = 1,3 ) находим составляющие вектора-строки G :
90
240
300
= 0,115 , g 2 =
= 0,3154 , g3 =
= 0,4089 .
782,6087
760,8696
733,6957
В соответствии с формулой (2.48) искомые индексы динамики отраслевых цен в сравнении с базисным годом будут равны:
⎛ 2,6087 0,8696 1,3044 ⎞
r = G ⋅ B = ( 0,115 0,3154 0,4089 ) ⋅ ⎜⎜ 0,8696 1,9565 0, 4348 ⎟⎟ =
⎜ 1,1957 0,8152 1,8478 ⎟
⎝
⎠
= (1,0632 1,0505 1,0427 ) .
36
Таким образом, чтобы достичь запланированных уровней условно
чистого дохода, отраслевые цены в трёх отраслях должны увеличиться соответственно на 6,32%, 5,05%, 4,27%.
Сопоставим запланированные уровни условно чистого дохода Z1* = 90 ,
Z 2* = 240 , Z 3* = 300 с соответствующими уровнями этой величины в действующих отраслевых ценах Z1 = 78,2609 , Z 2 = 228,2609 , Z 3 = 293,4783
(см. табл. 2.2) из третьего квадранта МОБ. Получим, что при определённых
выше индексах динамики отраслевых цен величина условно чистого дохода
(условно чистого продукта) увеличиться в трёх отраслях на 15%, 5,14% и
2,22% соответственно. Это свидетельствует о тесной взаимосвязи цен в межотраслевом (межпродуктовом) балансе.
2.4. Планирование национальных доходов торгующих стран в
сбалансированной системе международной торговли
Структуру международной торговли рассматривают в двух ракурсах:
как торговлю отдельными группами товаров и как систему методов организации реализации товаров на мировом рынке. Товарная структура международной торговли – это доля тех или иных товаров в мировом товарообороте.
Сюда относят основные группы товаров: продовольствие (включая
напитки и табак), сырье, минеральное топливо, продукция перерабатывающей промышленности (машины, оборудование, химические товары,
металлы, текстиль). С помощью модели международной торговли можно
определить, какими должны быть соотношения бюджетов стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной. Теоретические
вопросы, связанные с построением модели международной торговли студент может найти в учебном пособии [27].
Пример 2.5. На основании данных таблицы 2.3. провести анализ изменения структуры международной торговли между основными торговыми блоками мира в 1988 – 1992 гг.
Решение. На основании данных таблицы 2.3. составим баланс международной торговли между основными торговыми блоками мира за 1988
г. и 1992 г. (табл. 2.4, 2.5).
Используя полученные результаты, определим структурные матрицы
торговли A1988 и A1992 . Определим долю импорта в каждую из стран, разделив объемы импорта из каждой страны на суммарные объемы импорта в
данную страну из всех стран.
37
Таблица 2.3
Взаимные торговые потоки между основными торговыми блоками
мира в 1988 – 1992 гг. (млрд долл. США)
Импортер
Экспортеры
Северная Америка
Япония
Западная Европа
Развивающиеся
страны
Восточный блок
Северная
Америка
Западная
Европа
Япония
РазвиваюВосточный
щиеся страны
блок
1988 1992 1988 1992 1988 1992 1988
151 184
45
96
99 112 116
97
102
57
68
85
113 144
25
32 906 1214 149
1992
118
98
185
1988 1992
12
26
14
10
47
68
166
154
72
78
138
148
143
136
39
22
7
9
11
10
56
88
49
29
145
63
Источник: GATT, International Trade, 1988 – 1993.
Таблица 2.4
Взаимные торговые потоки между основными торговыми блоками
мира в 1988 г. (млрд долл. США)
Импортер
Экспортеры
Северная Америка
Япония
Западная Европа
Развивающиеся
страны
Восточный блок
Всего
38
Западная Развиваю- Восточный Всего
Европа щиеся страны
блок
99
116
12
423
57
85
14
253
906
149
47
1240
Северная
Америка
Япония
151
97
113
45
25
166
72
138
143
39
558
7
534
11
153
56
1256
49
542
145
257
268
2742
Таблица 2.5
Взаимные торговые потоки между основными торговыми блоками
мира в 1992 г. (млрд долл. США)
Импортер
Экспортеры
Западная Развиваю- Восточный Всего
Европа щиеся страны
блок
536
112
118
26
278
68
98
10
1643
1214
185
68
Северная
Америка
Япония
184
102
144
96
32
154
78
148
136
22
538
9
593
10
216
88
1630
29
566
63
189
199
3194
Северная Америка
Япония
Западная Европа
Развивающиеся
страны
Восточный блок
Всего
Структурные матрицы торговли пяти основных торговых блоков мира за 1988 г. и 1992 г. соответственно будут иметь следующий вид:
A1988 =
A1992 =
0,28
0,18
0,29
0,00
0,08
0,05
0,21
0,16
0,05
0,05
0,21
0,31
0,02
0,16
0,47
0,07
0,72
0,11
0,04
0,27
0,26
0,09
0,18
0,15
0,56
0,31
0,17
0,44
0,00
0,07
0,04
0,21
0,17
0,14
0,05
0,24
0,26
0,02
0,15
0,36
0,05
0,74
0,09
0,05
0,33
0,24
0,05
0,36
0,12
0,33
Для нахождения собственных векторов X 1988 и X1992 матриц A1988
и A1992 с помощью средств MS Excel (рис. 2.9–2.10) математическую модель международной торговли сведем к задаче линейного программирования следующим образом:
F = x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 → max
при ограничениях:
( A − E) X = 0 ,
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x5 ≤ 2742 (для 1988 г.),
39
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 3194 (для 1992 г.).
x j ≥ 0 , j = 1,5 .
Рис. 2.9 – Организация данных примера 2.3 на рабочем листе Excel
Отсюда следует, что сбалансированность торговли пяти основных
торговых
блоков
мира
достигается
при
векторе
доходов
X 1988 = (1; 0,6; 2,9; 1,4; 0,7) и X 1992 = (1, 0,5, 3,1, 1, 0,4) , т.е. при соотношении доходов торговых блоков 1;0,6 : 2,9 : 1,4 : 0,7 и 1 : 0,5 : 3,1 : 1 : 0,4
соответственно.
Анализируя последние соотношения, делаем вывод, что за период
1988 – 1992 гг. доля доходов развивающихся стран и восточного блока
уменьшилась по сравнению с блоком Северной Америки, а по остальным
блокам соотношение практически не изменилось.
40
Рис. 2.10 – Решение примера 2.3 средствами Excel
Рассмотрим второй способ нахождения средствами Excel собственного вектора модели международной торговли: ( A − E ) X = 0 . Для решения
вторым способом выберем в качестве базы сравнения доход первой страны
(Северной Америки), т.е. первую координату вектора X положим равной
1: x1 = 1 . Остальные координаты вектора X найдем по формуле:
X 1 = ( A1 − E1 ) −1 A0 ,
(2.49)
где A1 − E1 – минор к элементу (1,1) матрицы ( A − E ) ,
A0 – первый столбец матрицы ( A − E ) без элемента (1,1), умноженный
на (-1).
Расчеты по формуле (2.49) в среде Excel для нахождения вектора доходов
пяти основных торговых блоков мира в 1992 г. приведены на рис. 2.11.
Рис. 2.11 – Организация данных примера 2.3 (2-ой способ решения)
Сравнивая полученные результаты со значениями вектора доходов
X 1992 = (1, 0,5, 3,1, 1, 0,4) , полученными первым способом видим, что
результаты совпадают.
Пример 2.5 рассмотрен полностью.
41
РАЗДЕЛ 3
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ОРГАНИЗАЦИИ И ПЛАНИРОВАНИЯ
ПРОИЗВОДСТВА
3.1. Экономические постановки и модели типовых оптимизационных задач
В многообразии экономических оптимизационных задач, которые
встречаются на практике можно выделить основные типы в зависимости от
переменных принятия решений. В свою очередь типовые задачи могут
различаться выбором целевой функции или ограничениями, включенными
в модель. Рассмотрим типовые модели оптимизационных задач.
Задача оптимального выпуска продукции. Пусть предприятием
выпускается n видов продукции P1 , P2 ,… Pn из m видов сырья S1 ,
S 2 ,… S m . Известны запасы сырья b1 , b2 ,… bm , расходы aij ( i = 1, m ;
j = 1, n ) единиц i -го сырья на единицу j -ой продукции и цены c j реализации единицы продукции j -го вида. Составим математическую модель
задачи таким образом, чтобы определить, сколько единиц продукции каждого вида необходимо выпускать предприятию, чтобы доход от реализации всей продукции был максимальным. Данные сведем в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Характеристики выпуска продукции
Сырьё
P1
S1
a11
S2
…
Sm
Цена реализации единицы
продукции
Количество продукции
a21
…
am1
Продукция
Pj
…
…
a1 j
…
…
a2 j
…
…
Pn
Запасы
сырья
a1n
b1
b2
…
bm
…
…
…
amj
…
…
a2n
…
amn
c1
…
cj
…
cm
x1
…
xj
…
xm
Построение модели задачи. Введем переменные: хj (j=1, n ) – количество
единиц продукции j-го вида, которое предполагается выпускать. Тогда c j x j –
стоимость всей выпускаемой продукции j-го вида, Z = c1 x1 + c2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + cn xn –
стоимость всей выпускаемой продукции. ai1 x1 + ai 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ain xn – затраты iго вида сырья на всю выпускаемую продукцию. Затраты не могут превышать
запаса bi , поэтому ai1 x1 + ai 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ain xn ≤ bi . Такие условия необходимо
42
записать по всем видам сырья. По смыслу задачи все переменные должны
быть неотрицательными.
Математическая модель задачи будет следующей:
Z = c1x1 + c2 x2 +⋅⋅⋅ + cn xn → max,
⎧a11x1 + a12 x2 +⋅⋅⋅ + a1n xn ≤ b1,
⎪a x + a x +⋅⋅⋅ + a x ≤ b ,
⎪ 21 1 22 2
2n n
2
⎨
⎪...............................................,
⎪⎩am1x1 + am2 x2 +⋅⋅⋅ + amn xn ≤ bm ,
(3.1)
x j ≥ 0 ( j = 1, n).
Формула (3.1) – модель простейшей задачи оптимального выпуска
продукции. Как правило, предприятие выпускает большой ассортимент
продукции, которая объединяется в группы. В данном случае удобно вводить переменные принятия решений xij , i = 1, I , j = 1, N (i ) с двумя индексами, первый из которых будет соответствовать номеру группы, второй –
номеру продукции в группе. Также задача планирования может решаться
поквартально на год или ежемесячно на квартал и т.д. В данном случае к
переменным необходимо добавить еще один индекс, который будет соответствовать периоду планирования: xijt , i = 1, I , j = 1, N (i ), t = 1, T .
Кроме ограничений по материальным ресурсам, в задачах об оптимальном плане выпуска продукции могут учитываться ограничения по
трудовым и временным ресурсам предприятия. Также в данных задачах
часто возникает необходимость, учитывать ограничения по спросу (сбыту),
которые диктуются заключенными договорами и которые могут иметь вид:
k нj ≤ x j ≤ k вj , j = 1, n ,
N (i )
∑ xij ≥ V i , i = 1, I ,
j =1
где k нj и k вj , j = 1, n – соответственно минимальное и максимальное количество изделия j -го вида,
V i – заданный минимальный объем выпуска по i -й товарной группе.
Также в зависимости от экономического смысла целевой функции могут
быть добавлены ограничения по важнейшим показателям деятельности:
N (i )
∑ sij xij ≤ S i , i = 1, I ,
j =1
43
N (i )
∑ pij xij ≥ P i , i = 1, I ,
j =1
N (i )
∑ cij xij ≥ D i , i = 1, I ,
j =1
где s – себестоимость (переменные издержки) на единицу изделия,
S – контрольное (предельное) значение по себестоимости,
p – прибыль (величина покрытия) на единицу изделия,
P – контрольное значение по прибыли,
c – цена (оптовая) за единицу изделия,
D – контрольное значение по объему продаж (производства).
Целевая функция, кроме максимизации дохода может быть записана
в виде следующих критериев:
Z1 =
I N (i )
∑ ∑ pij xij → max ,
i =1 j =1
I N (i )
xij
i =1 j =1
xij
Z2 =
∑ ∑τ ij xij → min ,
где p – прибыль (величина покрытия) на единицу изделия,
τ – трудоемкость единицы изделия.
Здесь первый критерий – максимизация прибыли производственной
программы, второй – минимизация трудоемкости плана производства.
Задача о рационе. Для откорма животных используют n видов кормов K1 , K 2 ,…, K n . Для рационального откорма каждое животное должно
ежедневно получать не менее чем b1 , b2 ,… bm единиц питательных веществ S1 , S 2 ,… S m соответственно. Известно aij – содержание i-х питательных веществ в одном килограмме j -го корма и цена c j ( j = 1, n ) одного килограмма корма.
Найти оптимальный дневной рацион, чтобы его стоимость была минимальной при необходимой питательности. Данные задачи сведём в табл. 3.2.
Составление математической модели. Введем переменные – x j
( j = 1, n ) – количество корма j-го вида в рационе. Тогда c j x j – стоимость
корма j-го вида в рационе, Z = c1 x1 + c2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + cn xn – стоимость всего корма, включённого в рацион, ai1 x1 + ai 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ain xn – количество питательных веществ i-го вида в рационе. Количество питательных веществ i-го
вида в рационе должно быть не меньше нормы bi , поэтому получим ограничение: ai1 x1 + ai 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ain xn ≥ bi .
44
Таблица 3.2.
Характеристики рациона животных
Питательные вещества
S1
S2
Количество питательных
веществ в единице корма
K1 … K j … K n
a11 … a1 j … a1n
Минимум единиц
питательных
веществ в рационе
…
…
…
a2 j
…
Sm
a21
…
am1
Стоимость единицы корма
c1
Количество корма каждого
вида в рационе
x1
b1
…
amj
…
…
…
a2n
…
amn
b2
…
bm
…
cj
…
cm
---
…
xj
…
xm
---
По смыслу задачи все переменные должны быть неотрицательными.
Следовательно, математическая модель задачи будет иметь вид:
Z = c1 x1 + c2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + cn xn → min,
⎧a11 x1 + a12 x2 + ⋅ ⋅⋅ + a1n xn ≥ b1 ,
⎪a x + a x + ⋅ ⋅ ⋅ + a x ≥ b ,
⎪ 21 1 22 2
2n n
2
⎨
⎪................................................,
⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amn xn ≥ bm ,
x j ≥ 0 (j = 1,n).
(3.2)
Задача о рационе питания (диеты) может также включать ограничения по калорийности рациона:
Dн ≤
n
∑ d j x j ≤ Dв ,
j =1
где d j – калорийность j -го продукта питания,
D н и D в – соответственно нижняя и верхняя граница рациона питания.
Задача о раскрое материала. На раскрой (распил, обработку) поступает однородный материал. Необходимо изготовить из него n разных
изделий длиной s1 , s2 , ... , s j , ..., sn метров. Эту задачу можно рассматривать в двух постановках.
1. Найти оптимальный план раскроя, который обеспечивал бы получение k1 , k2 , ..., k j , ..., kn шт. изделий каждого вида, при минимальном количестве отходов. Количество материала неограниченно.
2. Найти оптимальный план раскроя, обеспечивающий получение максимального числа комплектов изделий, если в каждом комплекте количество
45
изделий пропорционально числам b1, b2 ,..., b j ,..., bn
( b1 : b2 :...: b j : ...: bn ).
На
распил поступает a единиц материала.
При решении задач на раскрой, прежде всего, надо определить способы раскроя. Пусть каждая единица материала может быть раскроена m
разными способами. При использовании i -го способа получается aij единиц j -х изделий. Исходные данные внесем в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Схема раскроя материала
Варианты раскроя
1
Количество изделий разных
Число ед. матеразмеров, длины, получае- Остаток ма- риала, которое
мых при разных способах териала, (м) режется i-м спораскроя, шт.
собом, шт.
a11 a12 … a1 j … a1n
δ1
x1
2
…
a21 a22 … a2 j … a2n
δ2
x2
…
…
…
…
i
ai1
ai 2
…
…
…
m
am1 am 2
s1 s2 …
Размеры изделий
Требуемое количество k
1
изделий, шт.
Остаток изделий, шт. u1
Коэффициенты про- b
1
порциональности
….
…
…
…
… …
aij …
… …
ami …
…
ain
δi
…
…
amn
… sn
sj
δm
xi
…
xm
-
-
k2
…
k j … kn
-
-
u2
…
u j … un
-
-
b2
…
bj
-
-
…
bn
1) обозначим xi – количество единиц материала, которое кроится
i -м способом, Z – общая длина остатков, δ i – остаток материала (м) при
использовании i − го способа раскроя, u j – неиспользованные изделия j -го
вида. Тогда математическая модель имеет вид:
m
n
i =1
j =1
Z = ∑ δ i xi + ∑ u j s j → min,
m
∑ aij xi − u j = k j ,
(3.3)
i =1
xi ≥ 0, u j ≥ 0,
( j = 1, n
)
; i = 1, m .
2) обозначим дополнительно через x количество комплектов, которое надо получить. Тогда математическая модель имеет вид:
46
Z = x → max,
⎧m
⎪∑ aij xi = xb j
⎪ i =1
⎨m
⎪ x = a,
i
⎪⎩∑
i =1
( j = 1, n),
(3.4)
x ≥ 0, xi ≥ 0 (i = 1, m) .
Рассмотренные задачи относятся к задачам раскроя по длине. Существует второй тип задач о раскрое – по площади.
Транспортная задача. Пусть имеется m поставщиков A1 , A2 ,..., Am с
запасами однородного груза a1, a2 ,..., am и n потребителей B1, B2 ,..., Bn с потребностями этого груза b1 , b2 ,..., bn . При этом груз измеряется в одних и тех
же единицах (тонны, штуки, вагоны т.д.). Задача называется закрытой, если
a1 + a2 + ... + am = b1 + b2 + ... + bn . Если a1 + a2 + ... + am ≠ b1 + b2 + ... + bn ,
то задача называется открытой.
Рассмотрим закрытую задачу.
Известны цены (тарифы) перевозок cij единицы груза от i-го по-
ставщика к j -му потребителю. Необходимо составить такой план перевозки груза от каждого поставщика каждому потребителю, при котором вывозится весь груз, удовлетворяются все потребности, и суммарная стоимость
перевозки минимальна.
Обозначим через xij – количество груза, который планируется перевозить от i -го поставщика j -му потребителю, Z – общая стоимость перевозок.
Математическая модель закрытой задачи имеет вид:
m
n
Z = ∑∑ cij xij → min
(3.5)
i =1 j =1
⎧ n
⎪ ∑ xij = ai (i = 1, m),
⎪ j =1
⎨m
⎪ x = b ( j = 1, n),
j
⎪∑ ij
⎩ i =1
xij ≥ 0.
(3.6)
Модификации транспортных задач. Если от k -го поставщика запрещена перевозка к q -му потребителю, то клетку (k , q ) блокируем, т.е.
вместо тарифа ckq пишем большое число М (по большой цене не рационально перевозить груз). Дальше задачу решаем обычным методом.
47
Если от к-го поставщика можно перевозить к q -му потребителю не
более чем bq′ ( bq′ < bq ) груза, то q -й столбец разбиваем на два столбца. В
одном пишем потребность в грузе bq′ , а во втором bq - bq′ . В первом столбце
тарифы оставляем предыдущими, а во втором в k -ой строке вместо ckq
пишем большое число М, т.е. эту клетку блокируем. Другие тарифы во
втором столбце оставляем без изменения. После решения новой задачи эти
столбцы объединяем в один путём сложения соответствующих грузов.
Если общая потребность в грузе больше, чем имеются ресурсы и q -й
потребитель должен удовлетворяться реальным грузом, то в m+1-й строке
пишем нулевые тарифы, а вместо cm +1q пишем большое число M.
Постановку и модель задачи усложняет наличие промежуточных
транспортных узлов, в которых производится обработка груза.
Если в открытой задаче спрос превышает предложение, то для определения рекомендаций наращивания запасов груза у поставщиков добавляют
фиктивного поставщика с тарифами перевозок cm+1 j = min cij j = 1, n . Если
i =1,2,...,m
(
)
xm∗ +1 j > 0 , то рекомендуется наращивать производство у производителя, для
которого cij наименьшее в j -м столбце на величину xm∗ +1 j .
Если в открытой задаче предложение превышает спрос, то для определения рекомендаций наращивания спроса на груз у потребителей добавляют фиктивного потребителя с тарифами перевозок ci n+1 = min cij i = 1, m . Если
j =1,2,..., n
(
)
xi∗ n+1 > 0 , то рекомендуется наращивать потребности потребителей, для которых cij наименьшее в i -й строке на величину xi∗ n+1.
Задача о распределении участков под посев культур. Пусть имеется m участков земли A1 , A2 ,..., Am с площадями a1 , a2 ,..., am и n культур
B1 , B2 ,..., Bn которыми должны быть засеяны b1 , b2 ,..., bn площадей. Задача
называется закрытой, если a1 + a2 + ... + am = b1 + b2 + ... + bn . Если
a1 + a2 + ... + am ≠ b1 + b2 + ... + bn , то задача называется открытой.
Рассмотрим закрытую задачу.
Известны урожайности cij i-й культуры на j-м участке. Необходимо
составить такой план посева площадей каждой культуры на каждом участке, при котором будут засеяны все участки, и будут использованы все семена, и суммарная урожайность будет максимальной.
Обозначим через xij – площадь, которую планируется засеять i-й
культурой на j -м участке, Z – общая урожайность.
В математической модели задачи о распределении участков под посев культур по сравнению с транспортной (3.5), (3.6) изменится только направление целевой функции с min на max .
48
Задача о выборе или о назначениях. Пусть имеется n специалистов и n видов работ. Известна эффективность каждого специалиста при
выполнении каждого вида работ cij ( i = 1, n , j = 1, n ). Каждый специалист
может быть направлен только на одну работу и каждая работа может быть
выполнена только одним специалистом. Необходимо определить направления специалистов на работу, чтобы суммарная эффективность выполнения всей работы была максимальной.
Ограничимся составлением математической модели.
Обозначим через xij направление i-го специалиста на j-ю роботу.
Будем считать, что
⎧1,
xij = ⎨
⎩0,
если i - й специалист направляется на j - ю работу,
если i - й специалист не направляется на j - ю работу.
Математическая модель задачи следующая:
⎧n
⎪∑ xij = 1,
n n
⎪ j =1
Z = ∑∑ cij xij → max, ⎨
n
i =1 j =1
⎪ x = 1,
⎪∑ ij
⎩ i =1
⎧1,
xij = ⎨
⎩0,
( i = 1, n ) ,
( j = 1, n ) ,
(3.7)
если i - й специалист направляется на j - ю работу,
если i - й специалист не направляется на j - ю работу.
Замечание. Модель этой задачи совпадает с моделью транспортной
задачи с ресурсами и потребностями, равными единице. Ее можно решать
как обыкновенную транспортную задачу с запасами и потребностями равными 1 и условием, что переменные принимают только двоичные значения. Также изменится критерий оптимальности – все оценки оптимальности должны быть больше нуля, так как задача решается на max. Задача о
назначении решается также с помощью «венгерского метода».
Теоретические основы, алгоритмы и примеры решения перечисленных задач описаны в пособии [27, с. 32–105].
Составление двойственных задач и их экономическая интерпретация. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной (сопряжённой) по отношению к исходной или прямой задаче. Целевую функцию прямой задачи
принято обозначать Z , переменные – x1, x2 ,..., xn . Целевую функцию двойственной задачи принято обозначать F , переменные – y1 , y2 ,..., ym . Переменные двойственной задачи yi в экономической литературе получили
49
различные названия: учётные, неявные, теневые, объективно обусловленные оценки, двойственные оценки или цены ресурсов. Исходная и двойственная задачи при определении оптимального плана выпуска продукции
могут интерпретироваться следующим образом.
Прямая задача: сколько и какой продукции X = ( x1 , x2 ,..., xn ) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции
c j j = 1, n , объемах имеющихся ресурсов bi i = 1, m и нормах расходов
(
)
(
)
aij максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.
Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого
из ресурсов Y = ( y1 , y2 ,..., ym ) , чтобы при заданных bi , c j и aij минимизировать общую сумму затрат на всю продукцию.
Правила составления двойственной к исходной подробно описаны в
пособии [27].
Прямая и двойственная задачи будут иметь следующий вид.
Прямая задача
Z = c1x1 + c2 x2 +⋅⋅⋅ + cn xn → max,
Двойственная задача
F = b1 y1 + b2 y2 +⋅⋅⋅ + bm ym → min,
⎧a11x1 + a12 x2 +⋅⋅⋅ + a1n xn ≤ b1 ,
⎪a x + a x +⋅⋅⋅ + a x ≤ b ,
⎪ 21 1 22 2
2n n
2
⎨
⎪................................................,
⎪⎩am1x1 + am2 x2 + ⋅⋅⋅ + amn xn ≤ bm ,
⎧a11 y1 + a21 y2 +⋅⋅⋅ + am1 ym ≥ c1 ,
⎪a y + a y +⋅⋅⋅ + a y ≥ c ,
⎪ 12 1 22 2
m2 m
2
⎨
⎪................................................,
⎪⎩a1n y1 + a2n y2 +⋅⋅⋅ + amn ym ≥ cn ,
x j ≥ 0 (j = 1,n) .
yi ≥ 0 (i = 1,m) .
(3.8)
Такие задачи называются сопряжённой парой.
Двойственная задача к двойственной будет исходной.
Анализ чувствительности оптимального решения ЗЛП. Анализ
чувствительности задач, решаемых с помощью симплекс-метода – это исследование влияния изменения параметров ЗЛП (коэффициентов целевой
функции, правых частей ограничений, технологических коэффициентов)
на полученное оптимальное решение (теоретические основы и методика
экономического анализа решения ЗЛП приведены в пособии [27], с. 69-90).
При анализе оптимального решения рассматриваются четыре типа
изменений параметров ЗЛП и их влияние на оптимальное решение задачи:
1) изменение правой части ограничений (изменение объёмов ресурсов);
2) добавление нового вида деятельности;
3) изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной;
4) изменение коэффициента целевой функции при базисной переменной.
Проводимый анализ чувствительности оптимального решения к изменениям основных параметров модели позволяет определить диапазон, в
50
котором могут находиться управляемые параметры, при которых полученное оптимальное решение задачи остается оптимальным.
Задачи дробно-линейного программирования. Среди оптимизационных плановых задач большое значение имеют такие, в которых необходимо экстремизировать удельные экономические показатели, т.е. например
такие, как себестоимость, рентабельность и т.п. Но в таких случаях допустимые условия могут ничем не отличаться от допустимых условий обычной линейной задачи, а вот целевая функция представляет собой дробь, в
числителе и знаменателе которой стоят линейные формы от переменных
x1 , x2 ,..., xn – искомых планов выпуска интересующих нас товаров. Например, рентабельность выпуска этих товаров может быть представлена в виде следующей дробно-линейной функции:
r=
c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn ,
d1 x1 + d 2 x2 + ... + d n xn
где r – рентабельность, x j – искомый план выпуска j -го товара, c j – прибыль от реализации единицы товара j , d j – затраты на производство единицы товара j
( j = 1, n ) .
Общую постановку задачи дробно-линейного программирования
приведем в следующем виде: найти такие значения переменных x1 , x2 ,..., xn ,
которые бы отвечали условиям
xj ≥ 0
n
∑a x
j =1
ij
j
( j = 1, n)
(3.9)
(i = 1, m )
(3.10)
= bi
и приносили нужный экстремум (максимум или минимум в зависимости от
экономического смысла критерия) целевой функции
n
ϕ=
∑c x
j
∑d x
j
j =1
n
j =1
j
j
+ c0
=
+ d0
ϕ1
ϕ2
(3.11)
Задача (3.9)–(3.11) является задачей нелинейного программирования.
В [27, с. 120–129] описаны преобразованиями переменных, с помощью которых задача (3.9)–(3.11) может быть приведена к линейному виду, которую можно решать с помощью симплексного метода или надстройки «Поиск решения».
51
Задачи целочисленного линейного программирования. В целочисленном программировании решаются задачи, в которых оптимальное
решение должно быть представлено в целых числах. Математическая модель целочисленной задачи выглядит следующим образом:
n
Z = ∑ c j x j → opt
(3.12)
j =1
n
∑a x
j =1
ij
j
≤ bi , i = 1, m
x j ≥ 0, j = 1, n, x j – целые, j = 1, k , где k ≤ n
(3.13)
(3.14)
Если условие (3.14) накладывается на все переменные, т.е. k = n , то
мы имеем дело с полностью целочисленной задачей, а если k < n , то частично-целочисленной.
Для решения целочисленных задач используются две группы методов: отсечения и комбинаторные.
Пример решения полностью целочисленной задачи методом отсечений детально описан в пособии [27, с. 130-133].
Задачи нелинейного программирования. В экономических исследованиях реальные ситуации часто описываются нелинейными зависимостями. Например, зависимость общих затрат от объема выпускаемой продукции носит нелинейный характер S = f ( X ) , где f – нелинейная зависимость.
Нелинейности возникают как в ОДЗ, так и в формулировке целевой
функции задачи.
Задача нелинейного программирования в общем виде может быть
сформулирована следующим образом:
≤
gi ( x1 , x2 ,..., xn ) bi , i = 1, m
≥
(3.15)
F = f ( x1 , x2 ,..., xn ) → opt
(3.16)
Здесь x1 , x2 ,..., xn могут быть любые, а функции gi и f , i = 1, m действительные нелинейные, регулярные функции, зависящие от n действительных переменных.
Задачи нелинейного программирования отличаются от задач линейного программирования тем, что:
− ОДЗ задачи может быть невыпуклой, а это значит, что локальный
и глобальный экстремум находятся не в одной точке;
− экстремум целевой функции может достигаться в любой точке
ОДЗ, а не только на ее границе.
52
В нелинейном программировании для решения задач используется
градиентный подход [27, с. 134–137], который состоит в том, что с помощью направляющего вектора целевой функции, указывающего направление максимального возрастания цели для рассматриваемой точки, оптимальное решение ищется в этом направлении.
3.2. Планирование добычи угля на шахтном объединении
Шахтное объединение «Торезантрацит» планирует добычу угля на следующие четыре квартала на 4 шахтах, годовые мощности которых составляют: шахта «№ 3-бис» – 8 млн т., шахта «Киселева» – 10 млн т., шахта «Лутугина» – 5,2 млн т. и шахта «Прогресс» – 12 млн т.
Стоимость добычи угля на шахтах различная вследствие различающихся глубин и геологических условий. Эти стоимости составляют (включая последующую обработку): на шахте «№3-бис» – 500 грн/т., на шахте
«Киселева» – 550 грн/т., на шахте «Лутугина» – 475 грн/т. и на шахте
«Прогресс» – 430 грн/т.
При этом уголь из разных шахт характеризуется разным процентом
зольности (содержанием негорючих примесей). После добычи уголь поступает
на центральную обогатительную фабрику, где обогащается по одному и тому
же технологическому процессу (после обработки остается 75% от массы исходного угля) и для упомянутых выше шахт средний процент зольности составляет 7%, 12%, 5% и 10% соответственно. Из полученного сырья производится энергетический уголь четырех марок (АК, АКО, АО, АМ) с соответствующими процентами зольности 6,7%; 7,4%; 8%; 11%.
Предприятие планирует заключить контракты на поставку четырех марок энергетического угля с энергетическими компаниями. Данные характеризующие контракты приведены в табл. 3.4.
1. Запланируйте добычу угля на четырех шахтах в течение года (поквартально), чтобы максимизировать прибыль шахтного объединения за год.
2. Минуглепром определил две шахты «Лутугина» и «Прогресс» объединения «Торезантрацит» как перспективные, а шахта «Киселева» планируется к поэтапному закрытию в течении года (второй квартал шахта
должна работать не более чем на 75% нормативной мощности, третий –
50%, в четвертом – 25%). Ответьте на вопрос: сможет ли объединение выполнить свои обязательства по контрактам или их необходимо будет пересмотреть.
3. Руководство объединения планирует заключить контракты на четвертый квартал в тех же объемах и пропорциях, что и в третьем квартале.
Рассчитайте, как измениться прибыль и план добычи угля на шахтах.
4. Оцените экономическую целесообразность решения о закрытии
шахты «Киселева», если консервация шахты оценивается в 50 млн грн.
5. На шахте «Прогресс» планируется увеличение мощности на 1 млн т.
в год с 4 квартала текущего года. Как измениться прибыль объединения при
условии 100% спроса на уголь, добытый объединением.
53
Таблица 3.4.
Характеристики контрактов
Марка энер. угля
АК
АКО
АО
АМ
Планируемые суммарные
объемы поставок, млн т.
Пропорции поставок по
контрактам (поквартально)
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
3
2
2
3
4
4,5
4,6
% зольности
Цена энер.
угля грн/т.
6,7
7,4
8
11
950
895
850
800
4,8
Решение. Для того чтобы запланировать добычу угля на объединении необходимо установить плановое количество угля, добываемое на каждой из шахт ежеквартально. Таким образом, переменные принятия решения – это ежеквартальные объемы добычи угля на четырех шахтах:
xij , i = 1,4, j = 1,4 ,
где x – объем добычи, млн т.,
i – индекс шахты,
j – индекс квартала.
Что бы определить целевую функцию задачи – прибыль объединения
за год, необходимо рассчитать издержки по добыче и доход от реализации.
Ежеквартальные издержки объединения по добыче угля на четырех
шахтах равны сумме произведений себестоимости добычи угля на объем
добычи на каждой шахте и составляют:
500 x1 j + 550 x2 j + 475 x3 j + 430 x4 j , j = 1,4 .
Для определения дохода по заключенным контрактам, определим
средневзвешенную цену угля за каждый квартал. Так как нужный процент
зольности энергетического угля добывающая компания получает путем
смешивания угля добытого на четырех шахтах, то весь добытый уголь будет
продан по средневзвешенной цене заключенных контрактов (рис. 3.1, ячейки В15:E15). Также учтем, что количество энергетического угля составляет
75% от добытого. Для определения прибыли объединения за год нужно от
дохода отнять издержки объединения по добыче тонны угля на четырех
шахтах за четыре квартала. Тогда целевая функция прибыли примет вид:
54
4
4
4
4
⎤
⎡
Z = 0,75⎢849,29( ∑ xi1 ) + 862,68( ∑ xi 2 ) + 857,50( ∑ xi3 ) + 861,88( ∑ xi 4 )⎥ −
⎥⎦
⎢⎣
i =1
i =1
i =1
i =1
−
4
∑ (500 x1 j + 550 x 2 j + 475 x3 j + 430 x 4 j ) → min
xij
j =1
(3.17)
Определим ограничения задачи. Для того чтобы записать первую
группу ограничений по мощности, вычислим квартальную мощность каждой шахты, разделив годовую мощность на 4 (рис. 3.1, ячейки В22:C25).
Тогда ограничения по мощности шахт примут вид:
x1 j ≤ 2, x2 j ≤ 2,5, x3 j ≤ 1,3, x4 j ≤ 3,
j = 1,4
(3.18)
Потребуем, чтобы объем добычи угля с учетом, того, что после обработки остается 75% от массы исходного угля (расчет объемов добычи приведен на рис. 3.1, ячейки В16:Е17), равнялся объемам, на которые заключены контракты с энергетическими компаниями. Тогда ограничения по плановой добыче примут вид:
4
4
4
4
i =1
i =1
i =1
i =1
∑ xi1 = 5,33, ∑ xi 2 = 6, ∑ xi3 = 6,13, ∑ xi 4 = 6,4
(3.19)
Объем добычи на шахтах нужно запланировать, таким образом, чтобы средний процент зольности угля после обогащения равнялся проценту
зольности согласно контрактам. Тогда ограничения по проценту зольности
примут вид:
0,07 x11 + 0,12 x21 + 0,05 x31 + 0,1x41 = 9,01 ⋅ 5,33,
0,07 x12 + 0,12 x22 + 0,05 x32 + 0,1x42 = 8,5 ⋅ 6,
0,07 x13 + 0,12 x23 + 0,05 x33 + 0,1x43 = 8,68 ⋅ 6,13,
(3.20)
0,07 x14 + 0,12 x24 + 0,05 x34 + 0,1x44 = 8,73 ⋅ 6,4.
Из физического смысла переменных xij , i = 1,4, j = 1,4 следует условие неотрицательности:
xij ≥ 0, i = 1,4, j = 1,4
(3.21)
Зависимости (3.17) – (3.21) определяют математическую модель задачи планирования годовой добычи угля на шахтах объединения «Торезантрацит».
55
Остается организовать данные в таблице Excel для этой задачи так,
чтобы было удобно задавать условия (3.17)–(3.21) в Поиске решения и
протягивать формулы. Один из вариантов организации данных представлен
на рис. 3.1.
В ячейках B4:E7 отведено место для переменных задачи и отображается результат, полученный с помощью надстройки «Поиск решений» –
ежеквартальные объемы добычи угля на четырех шахтах.
Для удобства вычислений в ячейках снизу перечислены данные
задачи: характеристики контрактов на поставку энергетического угля
(рис. 1, ячейки В10:E13) и характеристики производства (рис. 3.1, ячейки В22:E25).
Формулы для расчета прибыли по формуле (3.17) записаны в строке
B20:Е20. Для ячейки В20 – прибыли за первый квартал эта формула выглядит
следующим образом: =B14*B19*F16-СУММПРОИЗВ (B3:B6; $E$24: $E$27).
Далее формула протянута вправо до ячейки Е20. Соответственно, формула
=СУММ(B20:Е20), записанная в ячейке F20, дает годовую прибыль объединения.
Для задания ограничений (3.18) на предельную выработку для каждой шахты нужно задать в Поиске решения не одно, а четыре ограничения — для каждого квартала отдельно. Для первого квартала ограничение
будет выглядеть следующим образом: В4:В7 <= В22:В25, для второго С4:С7
<= В22:В25 и т.д. (рис. 3.1).
Ограничения (3.20) по плановой добыче в Поиске решения будут
выглядеть следующим образом: В19:E19 = В16:E16.
Последнее существенное ограничение (4) по проценту зольности в
Поиске решения будет выглядеть следующим образом: В18:E18 =
В13:E13.
Для задания условие неотрицательности (3.21) нужно отметить опции
Линейная модель и Неотрицательные значения во вкладке Параметры.
Тогда после запуска надстройки Поиск решения (рис. 3.2) на выполнение получите следующее решение (ячейки B4:E7 рис. 3.1).
1. Анализируя результаты и полученные отчеты, получим оптимальный
план ежеквартальной добычи угля на четырех шахтах (млн т.):
X *план
56
⎛ 0,16
⎜
⎜ 0,87
=⎜
1,30
⎜⎜
⎝ 3,00
1,18 1,05 1,17 ⎞
⎟
0,52 0,78 0,93 ⎟
.
1,30 1,30 1,30 ⎟
⎟⎟
3,00 3,00 3,00 ⎠
57
Рис. 3.1 – Организация данных задачи 1 в таблице Excel и результат работы надстройки «Поиск решений»
Рис. 3.2 – Задание целевой функции и ограничений модели для задачи
«Шахтное объединение»
При этом ожидается получить максимальную прибыль –
Z max = Z ( X *план ) = 4243,09 млн грн.
Из отчета по результатам (рис. 3.1) видно что мощности шахт шахта
«№ 3-бис» и «Киселева» в течении четырех кварталов используются не полностью, а ресурсы шахт «Прогресс» и «Лутугина» являются дефицитными.
2. Рассмотрим случай, если шахта «Киселева» будет сокращать мощности по плану Углепрома.
В данном случае изменятся ограничения модели по мощности шахты
«Киселева» в формулах (3.18) следующим образом:
x21 ≤ 2,5,
x22 ≤ 1,875,
x23 ≤ 1,25,
x24 ≤ 0,625 .
Сделав попытку найти решение при помощи надстройки «Поиск решений» в этом случае получим сообщение, что программа не может найти
подходящего решения. Следовательно, система ограничений противоречива. Поэтому делаем вывод, что в случае если шахта «Киселева» будет сокращать мощности по плану Углепрома то выполнить поставки энергетического
угля согласно контрактам в полном объеме объединение не сможет.
3. Если руководство объединения заключит контракты на четвертый
квартал на уровне объемов предыдущего квартала (и в тех же пропорциях), то в
данном случае объединение выполнить поставки энергетического угля согласно контрактам в полном объеме. План добычи в этом случае будет иметь вид:
58
1
4
A
B
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Шахтное объединение.xls]
Целевая ячейка (Максимум)
5
Ячейка
6
7
$F$19
Прибыль
Изменяемые ячейки
8
Ячейка
9
…
23
24
25
26
$B$2
№ 3-бис 1 квартал
….
….
$D$5
Прогресс 3 квартал
$E$5
Прогресс 4 квартал
Ограничения
Ячейка Имя
средний % зольности
$B$17
1 квартал
средний % зольности
$C$17
2 квартал
средний % зольности
$D$17
3 квартал
средний % зольности
$E$17
4 квартал
кол-во угля, млн т.
$B$18
1 квартал
кол-во угля, млн т.
$C$18
2 квартал
кол-во угля, млн т.
$D$18
3 квартал
кол-во угля, млн т.
$E$18
4 квартал
$B$2
№ 3-бис 1 квартал
$B$3
Киселева 1 квартал
$B$4
Лутугина 1 квартал
$B$5
Прогресс 1 квартал
$C$2
№ 3-бис 2 квартал
$C$3
Киселева 2 квартал
$C$4
Лутугина 2 квартал
$C$5
Прогресс 2 квартал
$D$2
№ 3-бис 3 квартал
$D$3
Киселева 3 квартал
$D$4
Лутугина 3 квартал
$D$5
Прогресс 3 квартал
$E$2
№ 3-бис 4 квартал
$E$3
Киселева 4 квартал
$E$4
Лутугина 4 квартал
$E$5
Прогресс 4 квартал
2
3
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Имя
Имя
C
Исходное
значение
4243,09
Исходное
значение
0,16
…
3,00
3,00
D
E
G
…
…
Результат
4243,09
Результат
0,16
…
3,00
3,00
Значение
Формула
Статус
Разница
9,01
$B$17=$B$13
не связан.
0
8,50
$C$17=$C$13
не связан.
0
8,68
$D$17=$D$13
не связан.
0
8,73
$E$17=$E$13
не связан.
0
5,33
$B$18=$B$16
не связан.
0
6,00
$C$18=$C$16
не связан.
0
6,13
$D$18=$D$16
не связан.
0
6,4
$E$18=$E$16
не связан.
0
0,16
0,87
1,30
3,00
1,18
0,52
1,30
3,00
1,05
0,78
1,30
3,00
1,17
0,93
1,30
3,00
$B$2<=$B$22
$B$3<=$B$23
$B$4<=$B$24
$B$5<=$B$25
$C$2<=$B$22
$C$3<=$B$23
$C$4<=$B$24
$C$5<=$B$25
$D$2<=$B$22
$D$3<=$B$23
$D$4<=$B$24
$D$5<=$B$25
$E$2<=$B$22
$E$3<=$B$23
$E$4<=$B$24
$E$5<=$B$25
не связан.
не связан.
связанное
связанное
не связан.
не связан.
связанное
связанное
не связан.
не связан.
связанное
связанное
не связан.
не связан.
связанное
связанное
1,84
1,63
0
0
0,82
1,98
0
0
0,95
1,72
0
0
0,83
1,57
0
0
Рис. 3.3 – Отчет по результатам надстройки задачи
«Шахтное объединение»
59
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
A
B
Microsoft Excel 11.0 Отчет
по устойчивости
Рабочий лист: [Шахтное
объединение.xls]
Отчет создан: 09.11.2010
13:43:47
Изменяемые ячейки
C
Результ.
Нормир.
Целевой
Допустимое
Допустимое
Ячейка
$B$2
$C$2
$D$2
$E$2
$B$3
$C$3
$D$3
$E$3
$B$4
$C$4
$D$4
$E$4
$B$5
$C$5
$D$5
$E$5
значение
стоимость
Коэффициент
Увеличение
Уменьшение
0,16
1,18
1,05
1,17
0,87
0,52
0,78
0,93
1,30
1,30
1,30
1,30
3,00
3,00
3,00
3,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
5,00
5,00
5,00
5,00
100,00
100,00
100,00
100,00
136,96
147,14
143,12
146,41
86,96
97,14
93,12
96,41
161,96
172,14
168,12
171,41
206,96
217,14
213,12
216,41
3,57
3,57
3,57
3,57
166,67
166,67
166,67
166,67
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
12,50
12,50
12,50
12,50
5,00
5,00
5,00
5,00
100
100
100
100
Ячейка
27
$B$17
28
$C$17
29
$D$17
30
$E$17
31
32
33
34
$B$18
$C$18
$D$18
$E$18
Имя
№ 3-бис 1 квартал
№ 3-бис 2 квартал
№ 3-бис 3 квартал
№ 3-бис 4 квартал
Киселева 1 квартал
Киселева 2 квартал
Киселева 3 квартал
Киселева 4 квартал
Лутугина 1 квартал
Лутугина 2 квартал
Лутугина 3 квартал
Лутугина 4 квартал
Прогресс 1 квартал
Прогресс 2 квартал
Прогресс 3 квартал
Прогресс 4 квартал
Ограничения
Имя
средний % зольности 1
средний % зольности 2
средний % зольности 3
средний % зольности 4
кол-во угля, млн т. 1
кол-во угля, млн т. 2
кол-во угля, млн т. 3
кол-во угля, млн т. 4
D
E
G
H
Результ.
Нормир.
Целевой
Допустимое
Допустимое
значение
стоимость
Коэффициент
Увеличение
Уменьшение
9,01
-53,33
9,01
0,15
0,81
8,50
-60,00
8,50
0,98
0,43
8,68
-61,33
8,68
0,85
0,64
8,73
-64,00
8,73
0,92
0,65
5,33
6,00
6,13
6,4
206,96
217,14
213,12
216,41
5,33
6,00
6,13
6,40
0,62
0,34
0,40
0,34
0,07
0,49
0,44
0,49
Рис. 3.4 – Отчет по устойчивости задачи «Шахтное объединение»
⎛ 0,16
⎜
⎜ 0,87
X *план (2) = ⎜
1,30
⎜⎜
⎝ 3,00
60
1,18 1,05 1,61 ⎞
⎟
0,52 0,78 0,63 ⎟
.
1,30 1,30 1,30 ⎟
⎟
3,00 3,00 3,00 ⎟⎠
При
этом
ожидается
получить
максимальную
прибыль
–
*
Z max (2) = Z ( X план (2)) = 4189,08 млн грн., что на 4243,09 - 4189,08=54,01
млн грн меньше, чем планировалось первоначально.
Сравнивая последний план с исходным, видим, что изменились объемы
добычи в четвертом квартале на первых трех шахтах.
4. При реализации рассмотренных планов добычи прибыль шахты
«Киселева» за год (без закрытия) составляет 288,61 млн грн. (рис. 3.1,
ячейка J5), а при условии поэтапного закрытия – 257,34 млн грн.
Для ответа на вопрос задачи о целесообразности закрытия шахты
«Киселева» в ячейках J4:J7 и K22:K25 рассчитаны прибыль за год по каждой шахте и процент использования мощностей. Как видно из значений в
ячейках J4:J7 ожидаемая прибыль на шахте «Киселева» наименьшая и составляет всего 6,8% от прибыли объединения. Так же процент использования мощностей для данной шахты оказался наименьшим из всех шахт и
составил 31,01% от нормативной мощности.
Так как шахта «Киселева» при реализации рассмотренных планов
добычи дает прибыль (хоть и небольшую) то для ответа на вопрос о целесообразности закрытия шахты «Киселева» необходимо иметь данные о постоянных расходах на обслуживание шахты в период эксплуатации и в законсервированном виде. Так как расходы на ее закрытие оцениваются в 50
млн грн, то убыток при закрытии шахты (без учета расходов на обслуживание шахты) составит: 288,61-257,34+50=81,27 млн грн.
Так как мощности шахты «Киселева» при реализации рассмотренных
планов добычи используются не полностью, то может быть экономически более выгодно, найти новые рынки сбыта и увеличить объемы добычи.
5. Увеличение мощности шахты «Прогресс» на 1 млн т. в год приведет
к увеличению квартальной мощности на 0,25 млн т. в 4-ом квартале. Так как
допустимое увеличение по количеству добычи угля в четвертом квартале равно 0,34 млн т. (ячейка G34, рис. 3.4), то планируемое увеличение мощности
попадает в интервал устойчивости. Следовательно, можно воспользоваться
значением теневой цены ограничения по количеству добычи угля в четвертом
квартале (ячейка D34, рис. 2.15 При условии 100% спроса на уголь, добытый
объединением его прибыль увеличится на 216,41 ⋅ 0,25 = 54,1 млн грн.
3.3. Задача оптимального раскроя «Сталепрокатный цех»
С 2005 г. компания ООО «МЕТАЭКС» осуществляет резку металла
на трех уникальных ленточнопильных станках EVERISING – два горизонтальных (H-8070, H-1010) и один вертикальный (VB-070725). Станки относятся к разряду высокоточного оборудования, позволяющего осуществлять
высокопроизводительную резку практически всех видов металла. Компания получила заказ на стальные листы шириной 0,5 м и длиной 1,6 м,
0,8 м, 0,65 м в количестве 120, 145 и 200 шт. На складе есть листызаготовки длиной 2,5 м, 3м и 5 м.
1. Сколько листов-заготовок, и каким образом компания должна разрезать, чтобы минимизировать отходы?
61
2. Приведите наилучшее решение для случая, когда заказанные размеры листов встречаются при заказах довольно часто, и для случая, когда
полученный заказ совершенно нестандартный.
Решение. Для того чтобы ввести переменные принятия решений в
данной задаче нужно определить способы раскроя листов заготовок. Перебор вариантов раскроя приведен на рис. 3.5: 6 вариантов раскроя листов
длиной 2,5 м, 5 вариантов раскроя заготовок длиной 3 м и 16 – длиной 5 м.
Выбрав в качестве переменных количество листов, раскроенных по
каждому из описанных вариантов, составим модель задачи оптимального
раскроя стальных листов. Целевой функцией будет общее количество остатков. Цель – минимизация остатков при условии исполнения заказа.
x j , j = 1,27,
(3.22)
где x – количество разрезанных заготовок,
i – номер способа раскроя.
Z = 0,1( x1 + x3 + x8 + x9 ) + 0,15( x20 + x25 ) + 0,2( x12 + x13 + x16 + x21 ) +
+ 0,25( x 2 + x 4 + x10 ) + 0,35( x14 + x17 + x 22 ) + 0,4( x5 + x11 ) + 0,45 x27 +
(3.23)
+ 0,5( x18 + x23 ) + 0,55 x6 + 0,6 x7 → min
xj
Определим ограничения задачи. Для случая, когда полученный заказ
совершенно нестандартный потребуем, чтобы количество заготовок, полученных в результате раскроя, равнялось объему заказа. Тогда ограничения
по количеству заготовок примут вид:
⎧ x1 + x2 + x7 + x8 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + 2( x13 + x14 ) + 3 x12 = 120
⎪ x + x + x + x + x + x + x + 2( x + x + x + x + x ) +
5
7
10
14
19
26
4
9
13
18
25
⎪⎪ 1
(3.24)
⎨+ 3( x13 + x17 + x24 ) + 4( x16 + x23 + x24 ) + 5 x22 + 6 x21 = 145
⎪ x + x + x + x + x + 2( x + x + x + x + x + x ) +
4
14
17
22
5
8
9
15
18
23
⎪ 2
⎪⎩+ 3( x6 + x26 ) + 4( x11 + x19 + x24 ) + 5 x25 + 6 x26 + 7 x27 = 200
Из физического смысла переменных x j , j = 1,27, следует условие неотрицательности и целочисленности:
x j ≥ 0, x j − целое, j = 1,27
(3.25)
Так как целевая функция и ограничения описываются линейными
функциями, данная задача относится к типу задач линейной оптимизации.
Так как на все переменные модели наложено условие целочисленности
62
(3.25) – то эта задача целочисленного программирования. Найдем ее решение с помощью надстройки «Поиск решений». Один из вариантов организации данных в таблице Excel представлен на рис. 3.5.
В столбце «количество листов (первый случай)» отображается результат, полученный с помощью надстройки «Поиск решений» – оптимальный
план раскроя листов: x3 = 2, x8 = 2, x12 = 5, x13 = 21, x16 = 12, x19 = 49 , остальные переменные задачи равны нулю. Т.е. необходимо по 2 листа раскроить
третьим и восьмым способом, 5 листов – 12-м способом, 21 лист – 13-м способом, 12 листов – 16-м способом, 49 листов – 19 способом. При этом плане раскроя будет получено минимальное количество остатков – 8-м и общее количество разрезанных стальных листов составит 446 м.
Для того чтобы получить план раскроя для случая, когда заказанные
размеры листов встречаются при заказах довольно часто нужно в ограничениях (3.24) знак равенства заменить на больше-равно. Также нужно потребовать дополнительно, чтобы количество полученных листов не превышало заказанное на некоторое предельное число, скажем на 10%:
⎧ x1 + x2 + x7 + x8 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + 2( x13 + x14 ) + 3 x12 ≤ 132
⎪ x + x + x + x + x + x + x + 2( x + x + x + x + x ) +
5
7
10
14
19
26
4
9
13
18
25
⎪⎪ 1
(3.26)
⎨+ 3( x13 + x17 + x24 ) + 4( x16 + x23 + x24 ) + 5 x22 + 6 x21 ≤ 159
⎪ x + x + x + x + x + 2( x + x + x + x + x + x ) +
4
14
17
22
5
8
9
15
18
23
⎪ 2
⎪⎩+ 3( x6 + x26 ) + 4( x11 + x19 + x24 ) + 5 x25 + 6 x26 + 7 x27 ≤ 220
В столбце «количество листов (второй случай)» отображается результат,
полученный с помощью надстройки «Поиск решений» – оптимальный план
раскроя листов: x1 = 5, x3 = 9, x12 = 5, x12 = 15, x16 = 15, x19 = 55 (шт.), остальные переменные задачи равны нулю. Как вы можете убедиться, во втором
случае общее количество обрезков уменьшиться до 7,4 м, что практически
совпадает с вариантом точного выполнения заказа. Общее количество разрезанных стальных листов составит 460 м, что на 14 м больше чем в первом случае, но при этом будут получены лишние заготовки длиной 0,8 м в
количестве 2 шт. и длиной 0,65 м в количестве 20 шт., которые можно реализовать при следующем заказе.
3.4. Анализ и планирование производства «Корма для рыб»
Компания «Goldfish» производит три вида корма для рыб: Аквариус
– Classic, Аквариус – Gold, Аквариус – Fito из трех ингредиентов И1, И2,
И3 с четырмя добавками D1, D2, D3, D4. Процентное содержание ингредиентов и добавок в каждом виде корма приведено в таблице на рис. 3.6.
(ячейки C2:E8). В этой же таблице приведены данные о средней цене закупки каждого вида сырья (ячейки A2:A8) и средняя цена каждого вида
корма по договорам на поставку (ячейки C8:E8). Известно также, что за63
траты на закупку сырья составляют 75% себестоимости кормов. Запасы
сырья на складе приведены на рис. 3.6. (ячейки G2:G8).
Компания ООО «МЕТАЭКС»
Вариант
раскроя
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Лист проката
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Получено листов
(1 случай)
Заказ
Получено листов
(2 случай)
ограничения (2 случай)
излишки (2 случай)
Размер листа, м
1,6
0,8
0,65
1
1
0
1
0
1
0
3
0
0
2
1
0
1
2
0
0
3
1
1
0
1
0
2
0
2
2
0
1
3
0
0
4
3
0
0
2
2
0
2
1
1
2
0
2
1
4
0
1
3
1
1
2
2
1
1
4
1
0
5
0
6
0
0
5
1
0
4
2
0
3
4
0
2
5
0
1
6
0
0
7
Остаток, м
0,1
0,25
0,1
0,25
0,4
0,55
0,6
0,1
0,1
0,25
0,4
0,2
0,2
0,35
0,5
0,2
0,35
0,5
0
0,15
0,2
0,35
0,5
0
0,15
0,3
0,45
120
120
145
145
200
200
8
Всего, м
120
132
147
159
2
220
220
20
7,4
Число листов
1 случай
2 случай
0
5
0
0
2
9
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
5
15
21
0
0
0
0
0
12
15
0
0
0
0
49
55
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
446
460
разница
14
Рис. 3.5 – Решение задачи оптимального раскроя «Сталепрокатный цех»
64
1. Определите оптимальный план производства данных трех видов
кормов, максимизирующий прибыль в дух случаях:
а) корм может производиться в любом количестве, при условии наличия сырья;
б) корм фасуется в пакеты по 1 кг и производится партиями по 200 шт.
2. Все ли корма выгодно производить? Что можно изменить (технологию или ценовую политику), чтобы производство убыточной смеси стало выгодным?
3. В результате маркетинговых исследований рекомендуются снизить цену на третий вид корма на 5%. При выполнении этого условия, придется изменять производственную программу, или нет?
4. Менеджер предприятия решил сделать запас сырья. Какое сырье
следует покупать в первую очередь?
5. Менеджер решил купить дополнительно 100 кг ингредиента И3 с
целью увеличения объемов производства и прибыли (так как есть возможность заключения дополнительных договоров на поставку кормов). Сможет ли он реализовать свой план?
6. Технолог компании предложил выпускать новый вид корма со
следующим процентным содержанием: И1 (30%), И2 (20%), И3 (40%), D1
(3%), D2 (2%), D3 (5%), D4 (0%). Определите, будет ли выгодно производство нового вида смеси при планируемой цене реализации 2,2 грн.
Решение. Введем переменные принятия решения – объемы производства трех видов корма:
x j , j = 1,3 ,
где x – количество корма (кг),
j – номер вида корма ( j = 1 – Аквариус – Classic, j = 2 – Аквариус –
Gold, j = 3 – Аквариус – Fito).
Что бы определить целевую функцию задачи – прибыль от реализации трех видов кормов, необходимо вычислить прибыль от одного килограмма каждого вида корма. Себестоимость каждого вида корма определим, умножив цену каждого вида ингредиента и добавок на соответствующее процентное содержание в каждом виде корма (результат вычислений в ячейках C9:E9) и разделим на 0,75. Для вычисления прибыли каждого вида корма от цены реализации вычтем соответствующую себестоимость (ячейки C11:E11). Тогда целевая функция прибыли будет иметь вид:
Z = 1,75 x1 + 2,45 x 2 + 1,47 x3 → min
xij
(3.27)
Определим ограничения задачи. Для случая, когда корм может производиться в любом количестве, при условии наличия сырья потребуем, чтобы ко65
личество сырья израсходованного на производство кормов не превосходило
запасов, имеющихся на складе предприятия. Тогда ограничения по запасам
сырья (трех ингредиентов и четырех добавок) примут вид:
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
B
C
D
E
F
G
Цена
Classic
Gold
Fito
Затраты
сырья
Запасы
И1
2,5
И2
3,2
И3
1,2
D1
14
D2
9,5
D3
8
D4
10
себестоимость
цена
Прибыль 1 случай
Прибыль 2 случай
разница 2-1 случай
план 1 случай
план 2 случай
партии
0,4
0,2
0,3
0,05
0,02
0
0,03
4,25
6
1,75
1,75
0,4
0,25
0,2
0,08
0,02
0,03
0,02
5,05
7,5
2,45
2,45
0,15
0,20
0,6
0,02
0,01
0,02
0
3,03
4,5
1,47
1,47
0
0
0
954,5455
800
4
681,8182
600
3
484,09
375,00
600,00
90,00
25,91
42,27
19,09
800
500
600
90
45
60
30
3340
2841,33
-498,67
Рис. 3.6 – Данные задачи «Корма для рыб» в таблице Excel и результат
работы надстройки «Поиск решений»
⎧0, 4 x1 + 0, 4 x2 + 0,15 x3 ≤ 800
⎪0, 2 x + 0, 25 x + 0,2 x ≤ 500
1
2
3
⎪
⎪0,3 x1 + 0,2 x2 + 0,6 x3 ≤ 600
⎪
⎨0,05 x1 + 0,08 x2 + 0,02 x3 ≤ 90
⎪0,02 x + 0,02 x + 0,01x ≤ 45
1
2
3
⎪
⎪
0,03 x2 + 0, 02 x3 ≤ 60
⎪
≤ 30
⎩0,03 x1 + 0,02 x2
(3.28)
Из физического смысла переменных xi , i = 1,3, следует условие неотрицательности:
xi ≥ 0, i = 1,3
(3.29)
а) решая задачу (3.27)–(3.29) с помощью надстройки «Поиск решений» получим следующие результаты (рис. 2.18). Оптимальный план про66
изводства кормов имеет вид: x1* = 0 , x 2* = 954,55 кг, x3* = 681,82 кг. При
этом будет получена максимальная прибыль Z max = 3340 (грн). Таким образом, задача решена в первом случае, если корм производится в любом
количестве, при условии наличия сырья.
б) для того чтобы решить задачу оптимального производства кормов
во втором случае необходимо добавить условие, чтобы производимое количество корма было кратно 200:
xi
– целое, i = 1,3 .
200
Во втором случае оптимальный план производства кормов примет
вид: x1* = 0 , x 2* = 800 кг (4 партии), x3* = 600 кг (3 партии). При этом будет
получена максимальная прибыль Z max = 2841,33 (грн), что на 498,67 грн
меньше, чем в первом случае. Таким образом, задача решена во втором
случае, если корм фасуется в пакеты по 1 кг и производится партиями по
200 шт.
2. Для ответа на второй вопрос из отчета по устойчивости определим
нормированную стоимость каждого вида корма. Как видно из отчета, для
второго и третьего вида кормов она равна нулю, а для первого – 0,6. Пользуясь свойством нормированной стоимости, делаем вывод, что производство первого вида корма убыточно. Чтобы производство убыточной смеси
стало выгодным его цену необходимо увеличить более чем на 0,6 грн.
3. Для ответа на третий вопрос вычислим 5% от цены третьего вида
корма: 1,47 ⋅ 0,05 = 0,074 грн. Следовательно, цену рекомендовано снизить
на 0,074 грн. Из отчета по устойчивости видно, что допустимое уменьшение по цене третьего вида корма составляет 0,18 грн. Следовательно, после
снижения цены на 0,074 грн новая цена попадет в интервал устойчивости и
оптимальное решение не измениться. Следовательно, нет необходимости
менять производственную программу.
4. Менеджер предприятия решил сделать запас сырья. Какое сырье
следует покупать в первую очередь? Пользуясь свойством теневых цен,
которые являются мерой дефицитности сырья, определим, что дефицитным является ингредиент И3 и добавка D2. При этом теневая цена добавки
D2 на порядок больше теневой цены ингредиента И3. Следовательно, в
первую очередь необходимо делать запасы добавки D2.
5. Закупка дополнительно 100 кг ингредиента И3 позволит увеличить
прибыль. Анализируя данные отчета по устойчивости (рис. 3.7) видим, что
допустимое увеличение запаса ингредиента И3 - 500 кг, следовательно, закупка дополнительно 100 кг не приведет к изменению структуры производства кормов, а только к изменению объемов. Так как теневая цена ингредиента И3 равна 1,57 грн/кг, то прибыль увеличится всего на
100 ⋅ 1,57 = 157 грн.
67
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [корм для рыб.xls] Лист 1
Целевая ячейка (Максимум)
Исходное
Ячейка
Имя
Результат
значение
$G$11
Прибыль
3340
Изменяемые ячейки
Исходное
Ячейка
Имя
Результат
значение
$C$13
план Classic
0
$D$13
план Gold
954,55
$E$13
план Fito
681,82
Ограничения
Ячейка
Имя
Значение
Формула
$F$2
И1
484,09 $F$2<=$G$2
$F$3
И2
375,00 $F$3<=$G$3
$F$4
И3
600,00 $F$4<=$G$4
$F$5
D1
90,00 $F$5<=$G$5
$F$6
D2
25,91 $F$6<=$G$6
$F$7
D3
42,27 $F$7<=$G$7
$F$8
D4
19,09 $F$8<=$G$8
Microsoft Excel 11.0 Отчет по пределам
Рабочий лист: [корм для рыб.xls] Отчет по пределам 1
Целевое
Значение
Ячейка
Имя
$G$11
Ячейка
Прибыль
Изменяемое
Имя
план Classic
план Gold
план Fito
Ячейка
$F$2
$F$3
$F$4
$F$5
$F$6
$F$7
$F$8
Имя
И1
И2
И3
D1
D2
D3
D4
0
954,55
681,82
Статус
не связан.
не связан.
связанное
связанное
не связан.
не связан.
не связан.
Значение
0
954,55
681,82
Результ.
значение
484,09
375,00
600,00
90,00
25,91
42,27
19,09
Нижний
предел
Целевой
результат
Верхний
предел
Целевой
результат
0
0,00
0,00
3340
1004,55
2335,45
0
954,55
681,82
3340
3340,00
3340,00
Нормир.
стоимость
Целевой
Коэффициент
Допустимое
Увеличение
Допустимое
Уменьшение
-0,06
0
0
1,75
2,45
1,47
0,06
3,45
5,87
1E+30
0,10
0,18
Ограничение
Правая часть
Допустимое
Увеличение
Допустимое
Уменьшение
800
500
600
90
45
60
30
1E+30
1E+30
500
40
1E+30
1E+30
1E+30
315,91
125,00
375,00
70,00
19,09
17,73
10,91
Теневая
Цена
0,00
0,00
1,57
26,67
0,00
0,00
0,00
Рис. 3.7 – Отчеты надстройки «Поиск решений»
для примера «Корма для рыб»
68
Разница
315,91
125,00
0,00
0,00
19,09
17,73
10,91
3340
$C$13
план Classic
0
$D$13
план Gold
954,55
$E$13
план Fito
681,82
Microsoft Excel 11.0 Отчет по устойчивости
Изменяемые ячейки
Результ.
Ячейка
Имя
значение
$C$13
$D$13
$E$13
Ограничения
3340
6. Определим прибыль, которую может получить фирма при выпуске
четвертого вида корма. Для этого от планируемой цены вычтем сумму произведений теневых цен ингредиентов и добавок на их процентное содержание в новом виде корма. Учитывая, что теневые цены отличны от нуля
только для ингредиента И3 и добавки D1 получим: ∆ 4 = 2,2 − 0,4 ⋅ 1,57 +
+ 0,03 ⋅ 26,67 = 0,3 грн. Следовательно, ожидаемая прибыль от реализации
четвертого вида корма 0,3 грн, что в несколько раз меньше прибыли от первых трех видов корма.
3.5. Планирование макроэкономических показателей бюджета
страны «Индексы цен на молочные продукты»
Правительство страны готовит бюджет на следующий год. Для расчета макроэкономических показателей этого документа необходимо в частности определить индексы цен на молочные продукты: молоко, масло,
творог и сыр. Данные продукты будут получены из сырого молока, произведенного внутри страны. Сырое молоко при переработке разделяется на
жиры и сухое молоко. По оценкам экспертов для внутреннего потребления
на следующий год в стране останется 730 тыс. т. жиров и 900 тыс. т. сухого
молока, которые могут быть использованы для производства молочных
продуктов. Имеются данные об объемах потребления и ценах на молочные
продукты за предыдущий год.
Также на основании статистики прошлых лет имеются оценки ценовых
эластичностей спроса Ε j ( j = 1,4) каждого вида молочных продуктов
(табл. 3.5), которые определены следующим образом:
Εj =−
∆s j
∆c j
, j = 1,4 ,
(3.30)
где ∆s – процент изменения спроса,
∆c – процент изменения цены,
j – индекс молочного продукта ( j = 1 – молоко, j = 2 – масло, j = 3 –
творог, j = 4 – сыр).
Кроме того, известно, что творог и сыр могут выступать продуктамизаместителями друг для друга. Поэтому наблюдается взаимная эластичность спроса на один продукт от изменения цены на второй продукт.
Ε ij = −
∆si
, i ≠ j , i = 3,4,
∆c j
j = 3,4
(3.31)
69
Для данных продуктов оценки взаимных эластичностей равны:
Ε 34 = 0,15 , Ε 43 = 0,25 .
Также правительством установлено предельное увеличение цен на
все молочные продукты в размере 20% от цены прошлого года. Цель –
максимизация дохода от продажи молочных продуктов населению при условии, что стоимость прошлогоднего годового потребления не должна
быть превышена. Составьте модель данной задачи и решите ее.
Таблица 3.5
Объемы потребления, цены на молочные продукты.
Процентное содержание жиров и сухого молока
в молочных продуктах
продукт
показатель
Потребление, тыс. т.
цена, грн/т.
Ценовые эластичности спроса
жиры
сухое молоко
молоко масло творог
5784
653,4
0,35
0,03
0,12
384
1584
2,4
0,72
0,02
252
2310
1,3
0,35
0,3
сыр
84
1793
0,42
0,25
0,6
Решение. Введем переменные принятия решений x j , j = 1,4 – доля
изменения цены по сравнению с предыдущим годом. Тогда индекс цены на
следующий год будет равен: 1 + x j , j = 1, 4 . Прогнозируемые объемы продаж рассчитаем по формуле:
Vt j = Vt −j 1 (1 − Ε j x j ) , j = 1,4 ,
(3.32)
где Vt −j 1 – объемы потребления за предыдущий год,
Vt j – прогнозируемые объемы потребления на следующий год.
Целевая функция дохода от реализации молочных продуктов равна
сумме произведений прогнозируемых объемов потребления на индексированные цены предыдущего года и имеет вид:
70
Z = 653 ⋅ 5784(1 − 0,35 x1 )(1 + x1 ) + 1584 ⋅ 384(1 − 2,4 x2 )(1 + x2 ) + 2310 ⋅ 252 ⋅
(3.33)
⋅ (1 − 1,3x3 − 0,15x4 )(1 + x3 ) + 1793⋅ 84(1 − 0,42x4 − 0,25x3 )(1 + x4 ) → max
xj
Так как, предполагается, что молочные продукты производятся только из сырья полученного внутри страны, то имеем ограничение по запасам
жиров и сухого молока:
0,03 ⋅ 5784(1 − 0,35 x1 ) + 0,72 ⋅ 384(1 − 2,4 x2 ) +
+ 0,35 ⋅ 252(1 − 1,3x3 − 0,15 x4 ) + 0,25 ⋅ 84(1 − 0,42 x4 − 0,25 x3 ) ≤ 730
(3.34)
0,12 ⋅ 5784(1 − 0,35 x1 ) + 0,02 ⋅ 384(1 − 2,4 x2 ) +
+ 0,3 ⋅ 252(1 − 1,3x3 − 0,15 x4 ) + 0,6 ⋅ 84(1 − 0,42 x4 − 0,25x3 ) ≤ 900
(3.35)
Так как правительством установлено предельное увеличение цен на
все молочные продукты в размере 20% от цены прошлого года, запишем
ограничение по предельному изменению индекса цен:
− 0,2 ≤ x j ≤ 0,2 , j = 1,4
(3.36)
Еще необходимо учесть ограничение по стоимости годового потребления на следующий год:
653 ⋅ 5784(1 − 0,35 x1 )(1 + x1 ) + 1584 ⋅ 384(1 − 2,4 x2 )(1 + x2 ) +
+ 2310 ⋅ 252 (1 − 1,3 x3 − 0,15 x 4 )(1 + x3 ) + 1793 ⋅ 84 (1 − 0,42 x 4 − 0, 25 x3 )(1 + x 4 ) ≤
≤ 653 ⋅ 5784 + 1584 ⋅ 384 + 2310 ⋅ 252 + 1793 ⋅ 84
(3.37)
Зависимости (3.33) – (3.37) определяют модель задачи максимизации
дохода от продажи молочных продуктов населению. Целевая функция (3.33) и
ограничение (3.37) являются квадратичными функциями по переменным принятия решений x j , j = 1,4 . Поэтому это задача нелинейного программирования. Для ее решения применим метод сопряженных градиентов. Решение выполним с помощью надстройки «Поиск решений». Один из вариантов организации данных в таблице Excel представлен на рис. 3.8.
71
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
потребление,
тыс. т.
цена, грн т.
эластичность
жиры, %
сухое молоко, %
жиры, тыс. т.
сухое молоко,
тыс. т.
изменение
цены, ед.
индекс цен, ед.
Доход, тыс. грн
% от дохода
прогноз потребления, тыс. т.
% к пред. году
B
молоко
C
масло
D
творог
E
сыр
F
5784
653
0,35
0,03
0,12
169,59
384
252
84
6504
1584
2310
1793 5117940
2,4
1,3
0,42
0,15
0,72
0,35
0,25
0,02
0,3
0,6
211,86 70,21502 18,63725
470,30
678,37
5,8848
730
900
0,0646
0,0974
0,1352
0,1874
-0,2
1,0646
1,0974
1,1352
1,1874
3930127 511474,68 526088,7 150249,5 5117940
76,79%
9,99%
10,28%
2,94%
0,2
294,24 200,6143
76,63%
79,61%
44,7294
0,25
789,18
5653,14
97,74%
60,1843
G
74,55
88,75%
6222,54
95,67%
Рис. 3.8 – Организации данных и результат решения задачи «Индекс
цен на молочные продукты» в таблице Excel
Применение надстройки «Поиск решений» к решению задачи (3.33)
– (3.37) дало следующие результаты (рис. 3.9). Анализируя данные отчетов
надстройки «Поиск решений» для примера «Индекс цен на молочные
продукты» сделаем следующие выводы. Оптимальные значения индексов
цен на молочные продукты на следующий год следующие: на молоко –
1,0646; на масло – 1,0974; на творог – 1,1352; на сыр – 1,1874. При этом
будет получена максимальная прибыль Z max = 5 117 940 000 грн.
Сравнивая прогнозируемые объемы потребления молочных продуктов на следующий год с предыдущим (рис. 3.9), делаем вывод, что при
данной ценовой политике объемы потребления всех видов молочных продуктов уменьшаться (при условии, что доход населения не изменится) и в
среднем составит 95,67% от объемов предыдущего года.
Анализируя отчет по результатам для ограничений, делаем вывод, что не
использованными останутся 259,6981 тыс. т. жиров и 110,8250 тыс. т. сухого
молока и что все индексы цен меньше максимально допустимого значения 1,2.
Анализируя отчет по устойчивости, делаем вывод, что целевая
функция достигает своего максимального значения внутри области допустимых значений задачи, так как все координаты ее градиента в точке экстремума равны нулю.
72
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [молочные продукты.xls]
Целевая ячейка (Максимум)
Ячейка
Имя
Исходное знач.
$F$12
Доход
0
Изменяемые ячейки
Ячейка
Имя
Исходное знач.
$B$10
цена на след. год молоко
0,0000
$C$10
цена на след. год масло
0,0000
$D$10
цена на след. год творог
0,0000
$E$10
цена на след. год сыр тв
0,0000
Ограничения
Ячейка
Имя
Значение
$F$7
жиры
470,30
$F$8
сухое молоко
789,18
$F$12
Доход
5117940
$B$10
цена на след. год молоко
0,0646
$C$10
цена на след. год масло
0,0974
$D$10
цена на след. год творог
0,1352
$E$10
цена на след. год сыр тв
0,1874
$B$10
цена на след. год молоко
0,0646
$C$10
цена на след. год масло
0,0974
$D$10
цена на след. год творог
0,1352
$E$10
цена на след. год сыр тв
0,1874
Microsoft Excel 11.0 Отчет по пределам
Ячейка
Целевое Имя
Значение
$F$12
Доход
5117940
Изменяемое
Ячейка
Значение
Имя
$B$10
цена на след. год молоко
0,0646
$C$10
цена на след. год масло
0,0974
$D$10
цена на след. год творог
0,1352
$E$10
цена на след. год сыр тв
0,1874
Microsoft Excel 11.0 Отчет по устойчивости
Изменяемые ячейки
Результ.
Ячейка
Имя
значение
$B$10
цена на след. год молоко
0,0646
$C$10
цена на след. год масло
0,0974
$D$10
цена на след. год творог
0,1352
$E$10
цена на след. год сыр тв
0,1874
Ограничения
Результ.
Ячейка
Имя
значение
$F$7
жиры
470,30
$F$8
сухое молоко
789,18
$F$12
Доход
5117940
Результат
5117940
Результат
0,0646
0,0974
0,1352
0,1874
Формула
$F$7<=$G$7
$F$8<=$G$8
$F$12<=$F$3
$B$10<=$G$10
$C$10<=$G$10
$D$10<=$G$10
$E$10<=$G$10
$B$10>=$F$10
$C$10>=$F$10
$D$10>=$F$10
Статус
не связан.
не связан.
связанное
не связан.
не связан.
не связан.
не связан.
не связан.
не связан.
не связан.
Разница
259,6981
110,8250
0,0000
0,1354
0,1026
0,0648
0,0126
0,2646
0,2974
0,3352
$E$10>=$F$10
не связан.
0,3874
Нижний
предел
0,0646
0,0974
0,1352
0,1874
Целевой
результат
5117940
5117940
5117940
5117940
Верхний
предел
0,0646
0,0974
0,1352
0,1874
Целевой
результат
5117940
5117940
5117940
5117940
Нормир. градиент
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Множитель
Лагранжа
0,00
0,00
1
Рис. 3.9 – Отчеты надстройки «Поиск решений» задачи
«Индексы цен на молочные продукты»
73
3.6. Организация доставки продукции потребителю через склады
Компания «Евро-окно» по производству металлопластиковых окон имеет в области 5 заводов и три склада для временного хранения изделий. В текущем месяце отдел продаж компании заключил со строительными фирмами договора на поставку 705 шт. металлопластиковых окон. Характеристики договоров приведены в табл. 3.6. В 1 заказ выделены объемы, срок поставок которых – первые две недели месяца (365 шт.), 2 заказ – поставки, которые должны
быть выполнены во второй половине месяца (340 шт.).
Таблица 3.6
Объемы поставок металлопластиковых окон по договорам (в шт.)
клиент 1 клиент 2 клиент 3 клиент 4 клиент 5 клиент 6 клиент 7
1 заказ
60
45
30
50
65
70
45
2 заказ
40
30
45
50
30
25
120
Заводы могут выполнить оба заказа в течении одной недели (распределение объемов производства по заводам приведено в табл. 3.7), а затем
переналадить оборудование для выполнения следующих заказов.
Таблица 3.7
Объемы производства металлопластиковых окон по заводам (в шт.)
Завод
Производство, шт.
1
195
2
110
3
160
4
170
5
70
В этом случае 1 заказ планируется отправить клиентам прямо с завода, а
2 заказ в объеме 340 шт. складировать сначала на складах, а затем доставить
клиентам со склада. Стоимости перевозок заводы-клиенты, а также на склады
компании и со складов – клиентам приведены в таблицах 3.6–3.8.
Таблица 3.8
Стоимость перевозки «заводы – клиенты» (в грн/шт.)
номер клиента
завод
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
18,6
32,3
31,6
20,8
16,2
16,5
20,9
8,6
16,0
9,7
22,1
17,6
17,7
29,6
20,0
40,6
13,7
32,6
30,6
18,8
32,7
16,2
21,4
20,9
12,6
25,4
7,6
24,6
27,2
14,5
34,6
18,4
27,0
25,2
13,9
1. Составьте план перевозок (1 вариант) «заводы – клиенты и склады» и «склады – клиенты», минимизирующий транспортные расходы ком74
пании, если известно, что изготовленные заранее 340 окон можно складировать на складах следующим образом: склад 1 – 140 шт., склад 2 – 90 шт.,
склад 3 – 110 шт.
Таблица 3.9
Стоимость перевозки «заводы – склады» (в грн/шт.)
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Завод 4
Завод 5
склад 1
37,5
13,0
26,5
23,7
18,1
склад 2
8,8
32,0
7,2
22,0
19,4
склад 3
20,7
32,2
10,4
7,4
4,9
Таблица 3.10
Стоимость перевозки «склады – клиенты» (в 10 грн/шт.)
клиент 1 клиент 2 клиент 3 клиент 4 клиент 5 клиент 6 клиент 7
Склад 1
12,7
28,6
28,8
11,4
14,0
21,0
10,7
Склад 2
34,6
10,8
12,1
35,4
21,8
22,4
24,3
Склад 3
19,0
12,0
21,1
25,6
15,0
18,9
20,3
2. Определите, нужно ли изменять план поставок, полученный в первом пункте, если поступила информация, что транспортные расходы по
пути с завода 1 к клиенту 2 уменьшились на 30 грн в связи с тем, что закончился ремонт дороги (ранее машины ездили в объезд).
3. Проверьте, как изменяться транспортные расходы, если оптимизировать задачу по этапам (2 вариант): «заводы – клиенты» а затем «заводы –
склады» и «склады – клиенты».
Решение. Для решения задачи сформулированной в первом пункте,
проверим балансы ТЗ – «производство – заказы», «заказ 2 – запасы на
складах».
Объемы производства на пяти заводах компании составляют:
5
∑ Vi
= 195 + 110 + 160 + 170 + 70 = 705 .
i =1
Объемы поставок по заключенным договорам равны:
7
∑VZ 1j
= 60 + 45 + 30 + 50 + 65 + 70 + 45 = 365 ,
j =1
7
∑ VZ 2j = 40 + 30 + 45 + 50 + 30 + 25 + 120 = 340 ,
j =1
75
7
7
∑VZ 1j +
∑ VZ 2j = 365 + 340 = 705 .
j =1
j =1
Емкость складов равна:
3
∑VS l
= 140 + 90 + 110 = 340 .
i =1
Очевидно, что балансы – «производство - заказы», «заказ 2 – емкость
складов» выполняются:
5
∑Vi =
i =1
7
∑ VZ 1j +
j =1
7
∑ VZ 2j = 705 ,
j =1
3
∑VSl =
i =1
7
∑ VZ 2j = 340 .
j =1
Составим математическую модель задачи «заводы – клиенты и склады». Введем переменные принятия решения:
xij – объем поставки с i -го завода ( i = 1,5 ) j -му клиенту или на
склад ( j = 1,10 ).
Обозначим через A и B матрицы стоимостей перевозок с заводов
клиентам и на склады соответственно, через C – вектор-столбец объемов
производства, D1 – вектор-строка объемов заказов клиентом и емкостей
складов, X – план поставок:
⎛18,6
⎜
⎜ 32,3
A = ⎜ 31,6
⎜
⎜ 20,8
⎜16,2
⎝
16,5 22,1 40,6 32,7 25,4 34,6 ⎞
⎛ 37,5
⎜
⎟
20,9 17,6 13,7 16,2 7,6 18,4 ⎟
⎜13,0
8,6 17,7 32,6 21,4 24,6 27,0 ⎟ , B = ⎜ 26,5
⎜
⎟
16,0 29,6 30,6 20,9 27,2 25,2 ⎟
⎜ 23,7
⎜18,1
9,7 20,0 18,8 12,6 14,5 13,9 ⎟⎠
⎝
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛195 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎛ x11
⎜
1
110
⎜1⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜x
C = ⎜160 ⎟ , I = ⎜1⎟ , J (10×1) = ⎜ ⎟ , X 1 = ⎜ 21
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
…
⎜
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜170 ⎟
⎜x
⎝ 51
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜ 70 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎛ x18 x19 x110 ⎞
⎜
⎟
x
x
x
⎜
⎟
28
29
210
X2 =⎜
, X = X1 X 2 .
⎟
… …
…
⎜
⎟
⎜x
⎟
x
x
59
510 ⎠
⎝ 58
(
76
)
20,7 ⎞
⎟
32,0 32,2 ⎟
7,2 10,4 ⎟ ,
⎟
22,0 7,4 ⎟
19,4 4,9 ⎟⎠
8,8
x12 … x17 ⎞
⎟
x22 … x27 ⎟
,
… … …⎟
⎟
x52 … x57 ⎟⎠
D1 = (60 45 30 50 65 70 45 140 90 110 ) .
Учитывая сделанные обозначения, запишем модель транспортировки
«заводы – клиенты и склады». Целевая функция суммарных затрат на перевозку:
Z = СУММПРОИЗВ ( A B , X ) → min ,
xij
(3.38)
где через СУММПРОИЗВ ( A B , X ) обозначено поэлементное умножение
блочной матрицы A B на матрицу X и суммирование.
Ограничения по объемам производства на заводах:
IT ⋅ X = C
(3.39)
Ограничения по потребностям клиентов и емкости складов:
T
X ⋅ J = D `1
(3.40)
Условие неотрицательности поставок:
X ≥ Ο,
(3.41)
где Ο – нулевая матрица.
Составим математическую модель задачи «склады – клиенты».
Обозначим через E матрицу стоимостей перевозок со складов клиентам, через G – вектор-столбец объемов производства, D2 – векторстрока объемов заказов клиентом и емкостей складов, X – план поставок:
⎛12,7 28,6 28,8 11,4 14,0 21,0 10,7 ⎞
⎛140 ⎞
⎛1⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜ ⎟
E = ⎜ 34,6 10,8 12,1 35,4 21,8 22,4 24,3 ⎟ , G = ⎜ 90 ⎟ , I = ⎜1⎟ ,
⎜19,0 12,0 21,1 25,6 15,0 18,9 20,3 ⎟
⎜110 ⎟
⎜1⎟
⎠
⎠
⎝
⎝
⎝ ⎠
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎛ x11 x12 … x17 ⎞
⎜ 1⎟
⎟
⎜
J (7×1) = ⎜ ⎟ , X 3 = ⎜ x21 x22 … x27 ⎟ ,
⎜ ⎟
⎟
⎜x
⎜ 1⎟
⎝ 31 x32 … x37 ⎠
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
D2 = (40 30 45 50 30 25 120) .
77
Учитывая сделанные обозначения, целевая функция суммарных затрат на перевозку примет вид:
F = СУММПРОИЗВ ( E , X 3 ) → min ,
(3.42)
xij
где через СУММПРОИЗВ ( E , X 3 ) обозначено поэлементное умножение
матрицы E на матрицу X и суммирование.
Ограничения по емкости складов:
IT ⋅ X 3 = G
(3.43)
Ограничения по потребностям клиентов (2 заказ):
X 3 ⋅ J = DT
2
(3.44)
Условие неотрицательности поставок:
X3 ≥Ο,
(3.45)
где Ο – нулевая матрица.
Организация данных в таблице MS Ecxel и решение задач «заводы –
клиенты и склады» (3.38) – (3.41), «склады – клиенты» (3.42) – (3.45) с помощью надстройки «Поиск решений» приведены на рисунке 3.11.
1. Анализируя результаты, полученные с помощью надстройки «По-
иск решений», выпишем оптимальные планы поставок X *1 , X *2 , X *3 «заводы – клиенты», «заводы – склады», «склады – клиенты» и соответствующие им суммарные затраты на перевозку.
⎛ 60
⎜
⎜0
X *1 = ⎜ 0
⎜
⎜0
⎜0
⎝
0
0
0
0
45
0
0
50
0
25
45
30
0
40
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25
0
⎛ 0 0 0 50 0 0 90 ⎞
⎟
⎜
X *3 = ⎜ 0 30 45 0 0 15 0 ⎟ .
⎜ 40 0 0 0 30 10 30 ⎟
⎠
⎝
78
0 ⎞
⎛0
⎜
⎟
0 ⎟
⎜ 35
0 ⎟ , X *2 = ⎜ 45
⎜
⎟
0 ⎟
⎜ 60
⎜0
45 ⎟⎠
⎝
90
0
0
0
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟,
⎟
110 ⎟
0 ⎟⎠
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Стоимость перевозок «заводы – клиенты и склады»
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Зав.1
Зав. 2
Зав. 3
Зав. 4
Зав. 5
кл. 1
18,6
32,3
31,6
20,8
16,2
кл. 2
16,5
20,9
8,6
16,0
9,7
кл. 3
22,1
17,6
17,7
29,6
20,0
кл. 4
40,6
13,7
32,6
30,6
18,8
кл. 5
32,7
16,2
21,4
20,9
12,6
кл. 6
25,4
7,6
24,6
27,2
14,5
кл. 7
34,6
18,4
27,0
25,2
13,9
скл. 1
37,5
13,0
26,5
23,7
18,1
Зав. 1
Зав. 2
Зав. 3
Зав. 4
Зав. 5
поставки
1 заказ
кл. 1
60
0
0
0
0
кл. 2
0
0
45
0
0
кл. 3
0
0
30
0
0
кл. 4
0
50
0
0
0
кл. 5
0
0
40
0
25
кл. 6
45
25
0
0
0
кл. 7
0
0
0
0
45
скл. 1
0
35
45
60
0
скл. 2
90
0
0
0
0
скл. 3
0
0
0
110
0
отгрузка
195
110
160
170
70
произв.
195
110
160
170
70
60
45
30
50
65
70
45
140
90
110
10522,3
705
60
45
30
50
65
70
45
140
90
110
705
Стоимость перевозок «склады – клиенты»
17
18
19
20
21
кл. 1
12,7
34,6
19,0
27
скл. 3
20,7
32,2
10,4
7,4
4,9
План перевозок «заводы – клиенты и склады»
16
22
23
24
25
26
скл. 2
8,8
32,0
7,2
22,0
19,4
Скл. 1
Скл. 2
Скл. 3
кл. 2
28,6
10,8
12,0
кл. 3
28,8
12,1
21,1
кл. 4
11,4
35,4
25,6
кл. 5
14,0
21,8
15,0
кл. 6
21,0
22,4
18,9
кл. 7
10,7
24,3
20,3
Полные издержки (1вариант)
1526,57
План перевозок «склады – клиенты»
Скл. 1
Скл. 2
Скл. 3
Поставк.
2 заказ
кл. 1
0
0
40
кл. 2
0
30
0
кл. 3
0
45
0
кл. 4
50
0
0
кл. 5
0
0
30
кл. 6
0
15
10
кл. 7
90
0
30
140
90
110
Емк.
140
90
110
40
30
45
50
30
25
120
4744,2
340
40
30
45
50
30
25
120
340
Рис. 3.10 – Организации данных и результат решения задачи «Перевозки
поставщик-потребитель через склады (1вариант)» в таблице Excel
Z min = Z ( X *1 X *2 ) = 105 223 (грн), Fmin = F ( X *3 ) = 47 442 (грн),
Z min + Fmin = 105 223 + 47 442 = 152 675 (грн).
Решение задачи «Перевозки поставщик-потребитель через склады
(1вариант)» выполнено полностью.
2. Для ответа на вопрос второго пункта задачи определим нормированную стоимость перевозки с завода 1 второму клиенту. Как видно из отчета по
устойчивости (рис. 3.12) она составляет 35,4 грн. Уменьшение транспортных
расходов с завода 1 к клиенту 2 не превосходит соответствующей нормированной стоимости (30<35,4). Следовательно, оптимальный план поставок задачи
«Перевозки поставщик-потребитель через склады (1вариант)» не измениться.
79
Microsoft Excel 11.0 Отчет по устойчивости
Ячейка
$B$9
$C$9
$D$9
$E$9
$F$9
$G$9
$H$9
$I$9
$J$9
$K$9
$B$10
$C$10
$D$10
$E$10
$F$10
$G$10
$H$10
$I$10
$J$10
$K$10
$B$11
$C$11
$D$11
$E$11
$F$11
$G$11
$H$11
$I$11
$J$11
$K$11
$B$12
….
$G$12
$H$12
$I$12
$J$12
$K$12
$B$13
$C$13
$D$13
$E$13
$F$13
$G$13
$H$13
$I$13
$J$13
$K$13
Имя
Завод 1 кл. 1
Завод 1 кл. 2
Завод 1 кл. 3
Завод 1 кл. 4
Завод 1 кл. 5
Завод 1 кл. 6
Завод 1 кл. 7
Завод 1 склад 1
Завод 1 склад 2
Завод 1 склад 3
Завод 2 кл. 1
Завод 2 кл. 2
Завод 2 кл. 3
Завод 2 кл. 4
Завод 2 кл. 5
Завод 2 кл. 6
Завод 2 кл. 7
Завод 2 склад 1
Завод 2 склад 2
Завод 2 склад 3
Завод 3 кл. 1
Завод 3 кл. 2
Завод 3 кл. 3
Завод 3 кл. 4
Завод 3 кл. 5
Завод 3 кл. 6
Завод 3 кл. 7
Завод 3 склад 1
Завод 3 склад 2
Завод 3 склад 3
Завод 4 кл. 1
….
Завод 4 кл. 6
Завод 4 кл. 7
Завод 4 склад 1
Завод 4 склад 2
Завод 4 склад 3
Завод 5 кл. 1
Завод 5 кл. 2
Завод 5 кл. 3
Завод 5 кл. 4
Завод 5 кл. 5
Завод 5 кл. 6
Завод 5 кл. 7
Завод 5 склад 1
Завод 5 склад 2
Завод 5 склад 3
Результ.
значение
60
0
0
0
0
45
0
0
90
0
0
0
0
50
0
25
0
35
0
0
0
45
30
0
40
0
0
45
0
0
0
….
0
0
60
0
110
0
0
0
0
25
0
45
0
0
0
Нормир.
стоимость
0,00
3,54
0,06
8,99
6,92
0,00
7,48
6,63
0,00
6,13
31,53
25,85
13,49
0,00
8,22
0,00
9,15
0,00
41,07
35,50
17,31
0,00
0,00
5,38
0,00
3,59
4,27
0,00
2,77
0,20
9,39
….
8,91
5,28
0,00
20,37
0,00
10,81
10,00
11,21
0,45
0,00
2,33
0,00
0,46
23,82
3,56
Целевой
Коэффициент
18,62
16,48
22,08
40,57
32,73
25,42
34,56
37,50
8,80
20,70
32,29
20,92
17,64
13,72
16,16
7,55
18,36
13,00
32,00
32,20
31,56
8,57
17,66
32,60
21,44
24,64
26,99
26,50
7,20
10,40
20,85
….
27,16
25,19
23,70
22,00
7,40
16,21
9,72
20,01
18,81
12,59
14,52
13,85
18,10
19,40
4,90
Допустимое
Увеличение
9,39
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
0,06
1E+30
1E+30
2,77
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
0,45
1E+30
2,33
1E+30
0,06
1E+30
1E+30
1E+30
3,54
0,06
1E+30
2,21
1E+30
1E+30
0,20
1E+30
1E+30
1E+30
….
1E+30
1E+30
2,21
1E+30
0,20
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
0,45
1E+30
4,27
1E+30
1E+30
1E+30
Допустимое
Уменьшение
1E+30
3,54
0,06
8,99
6,92
2,77
7,48
6,63
1E+30
6,13
31,53
25,85
13,49
1E+30
8,22
0,06
9,15
0,45
41,07
35,5
17,31
1E+30
1E+30
5,38
0,45
3,59
4,27
0,06
2,77
0,20
9,39
…
8,91
5,28
0,20
20,37
1E+30
10,81
10,00
11,21
0,45
4,27
2,33
1E+30
0,46
23,82
3,56
Рис. 3.11 – Отчет по устойчивости задачи «Перевозки поставщикпотребитель через склады (1 вариант)»
80
3. Решение задачи «Перевозки поставщик-потребитель через склады (2
вариант)» и сравнение с результатами задачи «Перевозки поставщикпотребитель через склады (1 вариант)» приведены на рис. 3.13. Как видно при
решении задачи оптимизации по частям, транспортные расходы увеличились
на 3 911 грн, что составило 2,56% от расходов по первому варианту.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
B
C
D
E
F
G
H
Стоимость перевозок «заводы – клиенты»
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Завод 4
Завод 5
кл. 1
18,6
32,3
31,6
20,8
16,2
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Завод 4
Завод 5
поставки
1 заказ
кл. 1
60
0
0
0
0
60
60
кл. 2
16,5
20,9
8,6
16,0
9,7
кл. 3
22,1
17,6
17,7
29,6
20,0
кл. 4
40,6
13,7
32,6
30,6
18,8
кл. 5
32,7
16,2
21,4
20,9
12,6
кл. 6
25,4
7,6
24,6
27,2
14,5
I
кл. 7
34,6
18,4
27,0
25,2
13,9
J
K
135
0
85
120
0
340
340
отгрузка
195
110
160
170
70
5152,95
705
произв.
195
110
160
170
70
705
скл. 3
45
0
0
65
0
110
110
135
0
85
120
0
5760,5
340
135
0
85
120
0
340
Скл.
0
0
0
0
0
План перевозок «заводы – клиенты»
кл. 2
0
0
45
0
0
45
45
кл. 3
0
0
30
0
0
30
30
кл. 4
0
40
0
0
10
50
50
кл. 5
кл. 6
0
0
0
50
15
65
65
кл. 7
0
70
0
0
0
70
70
Скл.
0
0
0
0
45
45
45
Стоимость и план перевозок «заводы – склады»
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Завод 4
Завод 5
скл. 1
37,5
13,0
26,5
23,7
18,1
скл. 2
8,8
32,0
7,2
22,0
19,4
скл. 3
20,7
32,2
10,4
7,4
4,9
Емк.
скл. 1
0
0
85
55
0
140
140
скл. 2
90
0
0
0
0
90
90
Стоимость перевозок «склады – клиенты»
25
кл. 1
28,6
кл. 3
28,8
кл. 4
11,4
кл. 5
14,0
кл. 6
кл. 7
26
Скл. 1
27
28
Скл.2
34,6
10,8
12,1
35,4
21,8
22,4
24,3
Скл.3
19,0
12,0
21,1
25,6
15,0
18,9
20,3
29
30
31
32
33
34
35
12,7
кл. 2
21,0
10,7
План перевозок «склады – клиенты»
склад 1
склад 2
склад 3
2 заказ
кл. 1
0
0
40
40
40
кл. 2
0
30
0
30
30
кл. 3
0
45
0
45
45
кл. 4
50
0
0
50
50
кл. 5
0
0
30
30
30
кл. 6
кл. 7
0
15
10
25
25
90
0
30
120
120
Полные издержки
(2 вариант)
15 657,6
Полные издержки
(1 вариант)
15 267,5
391,1
Экономия (2-1)
140
140 2,56%
90
90
110
110
4744,19
340
340
Рис. 3.12 – Решение задачи «Перевозки поставщик-потребитель через
склады (2 вариант – оптимизация по частям)» в таблице Excel
81
3.7. Организация доставки нескольких продуктов (случай альтернативного решения)
Менеджер отдела логистики составляет план перевозок продукции фирмы с трех ее складских комплексов База 1, База 2, База 3 к четырем клиентам
двух видов продукции: А, В. Стоимость перевозок для каждого вида продукции, исходя из расстояний и других обстоятельств, запасы товаров на складах и заказы клиентов приведены в таблице 3.11.
1. Составьте план перевозок, минимизирующий транспортные издержки.
Если спрос по отдельным позициям удовлетворить невозможно, руководствуйтесь минимумом издержек для себя.
2. Оцените максимально возможную экономию суммарных затрат на
транспортировку двух грузов при оптимальном плане поставок по сравнению с другими возможными решениями данной задачи.
Таблица 3.11
Характеристики поставок товаров А и В (грн/шт.)
база 1
база 2
база 3
заказы
А
В
А
В
А
В
А
В
Стоимости перевозок товаров А и В
Клиент 1 Клиент 2 Клиент 3 Клиент 4
А
В
А
В
А
В
А
В
62
50
45
43
78
66
64
82
45
54
48
45
74
85
68
58
55
46
52
44
90
75
81
79
15
22
12
32
20
26
22
42
запасы
А
21
В
21
33
42
17
81/71
баланс
57
Баланс
110/120
Решение. Для решения многопродуктовой задачи можно использовать два подхода. Первый – разделить на две транспортных задачи (по
числу перевозимых продуктов) и решать каждую задачу отдельно с помощь надстройки «Поиск решений». Второй подход предполагает получение решения в одной задаче. Он необходим, когда поставки двух продуктов, каким-то образом увязаны друг с другом.
1. Решение первым способом приведено на рис. 3.13–3.16. Как видно
из отчета по результатам на рис. 3.15, транспортная задача (поставки товара А) имеет альтернативный оптимум. Заливкой выделены ячейки, в которых после повторного запуска надстройки «Поиск решений» изменяются
значения – объемы поставок клиентам 3 и 4 с первой базы, клиентам 2 и 4
с третьей базы и объемы недопоставок (поставки от фиктивного поставщика) клиентам 2 и 3.
Таким образом, оптимальный план поставок товара А примет вид:
82
⎛0
⎜
X *A (1) = ⎜15
⎜0
⎝
0
12
0
0
12
0
9 ⎞
⎛0
⎜
⎟
18 ⎟ , X *A (2) = ⎜15
⎜0
5 ⎟⎠
⎝
Стоимости перевозок товара А
Клиент 1 Клиент 2 Клиент 3 Клиент 4
62
50
45
43
база 1
45
54
48
45
база 2
55
46
52
44
база 3
0
0
0
0
ф. база
План поставок товара А
Клиент 1 Клиент 2 Клиент 3 Клиент 4
0
0
12
9
база 1
15
0
0
18
база 2
0
12
0
5
база 3
0
10
0
0
ф. база
15
22
12
32
поставки
15
22
12
32
заказы
0
7
0
0
17
0
отгрузка
21
33
17
10
3184
81
14 ⎞
⎟
18 ⎟ ,
0 ⎟⎠
запасы
21
33
17
10
81
баланс
Рис. 3.13 – Решение задачи «Многопродуктовая транспортная задача
(план поставок товара А)» в таблице Excel
X *A = λX *A (1) + (1 − λ ) X *A (2) , λ = {0,1}.
Транспортные расходы при данном плане поставок товара А будут
минимальными и составят:
FmAin = F ( X *A (1)) = F ( X *A (2)) = 3 184 грн.
Оптимальный план поставок товара В примет вид:
⎛0
⎜
X *B = ⎜ 0
⎜ 20
⎝
0
21
0
0
26
1
0 ⎞
⎟
42 ⎟ ,
0 ⎟⎠
Транспортные расходы при данном плане поставок товара В будут
минимальными и составят:
B
Fmin
= F ( X *B ) = 7 611 грн.
В итоге транспортные расходы при данных планах поставок товаров
А и В будут минимальными и составят:
A, B
A
B
Fmin
= Fmin
+ Fmin
= 3 184 + 7 611 = 10 795 грн.
83
Стоимости перевозок товара В
Клиент 1 Клиент 2 Клиент 3 Клиент 4 Ф.клиент
78
66
64
82
0
база 1
74
85
68
58
0
база 2
90
75
81
79
0
база 3
План поставок товара В
Клиент 1 Клиент 2 Клиент 3 Клиент 4 Ф.клиент отгрузка запасы
0
0
21
0
0
21
21
база 1
0
0
0
42
0
42
42
база 2
20
26
1
0
10
57
57
база 3
20
26
22
42
10
7611
поставки
120
20
26
22
42
10
заказы
120 баланс
Рис. 3.14 – Организации данных и результат решения задачи
«Многопродуктовая транспортная задача (план поставок товара В)»
в таблице Excel
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Целевая ячейка (Минимум)
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат
$H$16
поставки
3184
3184
Изменяемые ячейки
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат
$C$11
$D$11
$E$11
$F$11
$C$12
$D$12
$E$12
$F$12
$C$13
$D$13
$E$13
$F$13
$C$14
$D$14
$E$14
$F$14
база 1 Клиент 1
база 1 Клиент 2
база 1 Клиент 3
база 1 Клиент 4
база 2 Клиент 1
база 2 Клиент 2
база 2 Клиент 3
база 2 Клиент 4
база 3 Клиент 1
база 3 Клиент 2
база 3 Клиент 3
база 3 Клиент 4
ф. база Клиент 1
ф. база Клиент 2
ф. база Клиент 3
ф. база Клиент 4
0
0
7
14
15
0
0
18
0
17
0
0
0
5
5
0
0
0
12
9
15
0
0
18
0
12
0
5
0
10
0
0
Рис. 3.15 – Отчет по результатам задачи «Многопродуктовая транспортная задача (план поставок товара А)» в таблице Excel
Второй способ решения задачи оптимизации поставок двух продуктов
приведен на рис. 3.16, 3.17. Переменные принятия решения в этом случае:
xijA – объемы поставок продукта А,
xijB – объемы поставок продукта В,
84
i – номер базы, i = 1,4 ,
j – номер клиента, j = 1,5 .
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Целевая ячейка (Минимум)
Ячейка
Имя
Исходное значение
$H$12 поставки
Изменяемые ячейки
Ячейка
$C$9
$D$9
$E$9
$F$9
$G$9
..
…
$E$10
$F$10
$G$10
$C$11
$D$11
$E$11
$F$11
$G$11
Имя
база 1 Клиент 1
база 1 Клиент 2
база 1 Клиент 3
база 1 Клиент 4
база 1 Ф.клиент
…
база 2 Клиент 3
база 2 Клиент 4
база 2 Ф. клиент
база 3 Клиент 1
база 3 Клиент 2
база 3 Клиент 3
база 3 Клиент 4
база 3 Ф. клиент
Результат
7611
Исходное значение
7611
Результат
0
0
21
0
0
…
0
0
21
0
0
..
0
42
0
20
26
1
0
10
0
42
0
20
26
1
0
10
Рис. 3.16 – Отчет по результатам «Многопродуктовая транспортная
задача (план поставок товара В)» в таблице Excel
Для того чтобы при вводе формул целевой функции и системы ограничений ссылки на ячейки, в которых находятся переменные принятия
решений, были непрерывными, необходимо ввести «фиктивные» переменные xijBA , xijAB , которые в оптимальном решении должны равняться нулю.
Для удобства ввода ограничений транспортная задача приведена к закрытому типу: добавлен фиктивный клиент с объемом заказов 10 штук товара
В и фиктивная база с объемом запасов 10 штук товара А. Так как направление целевой функции транспортной задачи на минимум, для того чтобы
запретить такие «фиктивные» перевозки необходимо по данному маршруту поставить высокую цену (много больше любой из имеющихся цен). После таких преобразований матрицы цен целевая функция и ограничения
задаются как в обычной однопродуктовой задаче. Вызов надстройки «Поиск решений» приводит к результатам, приведенным на рис. 3.17, 3.18.
Сравнивая с решением, полученным первым способом, видим, что решения двумя способами совпадают.
85
2. Для ответа на второй вопрос задачи, поменяем направление целевой функции данной транспортной задачи с минимума на максимум и найдем ее решение с помощью надстройки «Поиск решений».
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
21
22
23
24
25
D
Клиент 1
А
В
база 1
база 2
база 3
А
В
А
В
А
В
А
62
E
F
G
H
I
J
Стоимости перевозок товаров А и В
Клиент 2
Клиент 3
Клиент 4
А
В
А
В
А
В
1,E+05
50
1,E+05
45
1,E+05
78
45
1,E+05
1,E+05
74
1,E+05
43
1,E+05
66
54
1,E+05
1,E+05
85
1,E+05
1,E+05
64
1,E+05
82
48
1,E+05
45
1,E+05
1,E+05
68
1,E+05
58
55
1,E+05
46
1,E+05
52
1,E+05
44
1,E+05
1,E+05
90
1,E+05
75
1,E+05
81
1,E+05
79
0
0
0
0
0
0
0
0
K
L
M
Отгрузка
Запасы
21
21
33
42
17
57
10
21
21
33
42
17
57
10
10795
В
0
0
0
0
0
0
0
План поставок товаров А и В
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
база 1
база 2
база 3
ф. база
Поставки
заказы
А
В
А
В
А
В
А
Клиент 1
Клиент 2
Клиент 3
Клиент 4
А
0
0
15
0
0
0
0
В
0
0
0
0
0
20
0
А
0
0
0
0
12
0
10
В
0
0
0
0
0
26
0
А
12
0
0
0
0
0
0
В
0
21
0
0
0
1
0
А
9
0
18
0
5
0
0
В
0
0
0
42
0
0
0
Ф.
клиент
В
0
0
0
0
0
10
0
15
20
22
26
12
22
32
42
10
15
20
22
26
12
22
32
42
81
120
А
В
баланс
10
Рис. 3.17 – Организация данных и результат решения задачи
«Многопродуктовая транспортная задача (план поставок
товаров А и В)» в таблице Excel
Для этого модифицируем матрицу цен исходной задачи, изменив цену
«фиктивных» перевозок с 1,E+05 на -1,E+05. Поиск решения дает резульA, B
A, B
= 12 810 грн, что на 18,67% больше Fmin
= 10 795 грн.
тат Fmax
Таким образом, максимально возможная экономия суммарных затрат
на транспортировку двух грузов составляет 2 015 грн в абсолютном выражении или 15,73% от максимальных затрат в относительном выражении.
Решение примера 3.7. выполнено полностью.
86
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Целевая ячейка (Минимум)
Ячейка
Имя
Исходное значение
$M$22
поставки
10795
Изменяемые ячейки
Ячейка
Имя
Исходное значение
$D$15
АА
0
….
…..
…
$G$15
АВ
0
$H$15
АА
7
$I$15
АВ
0
$J$15
АА
14
$K$15
АВ
0
….
…..
…
$E$19
АВ
0
$F$19
АА
17
$G$19
АВ
0
….
…..
…
$L$20
ВВ
10
$D$21
АА
0
$E$21
АВ
0
$F$21
АА
5
$G$21
АВ
0
$H$21
АА
5
….
…..
…
$L$21
АВ
0
Результат
10795
Результат
0
…
0
12
0
9
0
…
0
12
0
…
10
0
0
10
0
0
…
0
Рис. 3.18 – Отчет по результатам «Многопродуктовая транспортная
задача (план поставок товаров А и В)» в таблице Excel
3.8. Проектирование размещения складов при условии постоянной цены хранения
В пункте 3.1 рассматривалась математическая модель оптимального
прикрепления потребителей к поставщикам, которая сводилась к транспортной задаче (ТЗ) линейного программирования (ЛП). В ней предполагалось, что поставщики напрямую отгружают свой товар потребителям.
Рассмотрим более сложную схему поставок. Пусть в регионе имеется
крупная агрофирма, которая производит сельскохозяйственную продукцию и реализует её через сеть своих магазинов. В рамках агрофирмы действуют m поставщиков (сельхозпредприятий) товара (картофеля) с запасами a1 , a2 ,…, am . Товар доставляется на n складов, на которых можно
хранить b1 , b2 ,…, bn единиц товара (тонн картофеля). Известны также cij
( i = 1, m , j = 1, n ) – цены перевозки единицы товара от i -го поставщика на
j -й склад.
Пусть неизвестные величины xij ( i = 1, m , j = 1, n ), обозначают объёмы планируемых перевозок от i -го поставщика на j -й склад. Обозначим
через Z общую стоимость таких перевозок. Если остановиться на такой
87
постановке задачи и стремиться минимизировать Z , то перед нами классическая ТЗ, рассмотренная в пункте 3.1:
m
n
Z = ∑∑ cij xij → min
(3.46)
i =1 j =1
n
n
⎧n
x
a
,
x
a
,...,
=
=
∑ xmj = am ,
1 ∑ 2j
2
⎪∑ 1 j
⎪ j =1
j =1
j =1
⎨m
m
m
⎪ x =b ,
=
x
b
,...,
∑ xin = bn ,
2
⎪∑ i1 1 ∑ i 2
i =1
i =1
⎩ i =1
xij ≥ 0 ( i = 1, m ; j = 1, n )
(3.47)
(3.48)
Пусть товар со складов получают p потребителей (магазинов) с потребностями e1 , e2 ,…, e p . Обозначим через d jk ( j = 1, n , k = 1, p ) совокупные стоимости доставки единицы товара с j -го склада k -му потребителю.
Причём совокупная стоимость d jk включает цену транспортировки и цену
хранения единицы товара на складе.
Предположим, что неизвестные величины y jk ( j = 1, n , k = 1, p ) обозначают объёмы планируемых перевозок с j -го склада k -му потребителю.
Введём W – общую стоимость доставки товара со складов потребителям,
которая включает и общую стоимость хранения товара на складах.
Таким образом, вторую часть модели мы свели к ещё одной ТЗ:
n
p
W = ∑∑ d jk y jk → min
(3.49)
j =1 k =1
p
p
⎧ p
y
b
,
y
b
,...,
=
=
∑ ynk = bn ,
⎪∑ 1k
1 ∑ 2k
2
⎪ k =1
k =1
k =1
⎨n
n
n
⎪ y =e ,
1 ∑ y j 2 = e2 ,..., ∑ y jp = e p ,
j1
⎪∑
j =1
j =1
⎩ j =1
y jk ≥ 0 ( j = 1, n ; k = 1, p )
(3.50)
(3.51)
Очевидно, что решив последовательно ТЗ (3.46) – (3.48) и ТЗ (3.49) –
(3.51) с помощью методов, описанных в пособии [27], удастся определить
оптимальные планы объёмов перевозок xij ( i = 1, m , j = 1, n ) и y jk ( j = 1, n ,
k = 1, p ), которые минимизируют совокупные расходы на транспортировку
и хранение товара, т.е. Z + W .
88
3.9. Проектирование размещения складов при условии возможного изменения цены хранения
Рассматривая линейную модель (3.46) – (3.48), мы предполагали, что
цены хранения единицы товара на складе постоянны и включали их общую
стоимость перевозок. На самом деле цена хранения может быть переменной. Она может возрастать (например, с увеличением времени хранения)
или, наоборот, по каким-то причинам уменьшаться. Такие допущения приводят к задачам нелинейного программирования (НЛП).
Пусть первая часть модели, т.е. (3.46) – (3.48), остаётся неизменной. При
этом, во второй части предположим, что совокупные стоимости доставки единицы товара, включающие цену хранения, зависят от объёмов планируемых
перевозок и определяются выражением d jk + l jk ⋅ y jk ( j = 1, n , k = 1, p ). Здесь
l jk – это коэффициент изменения стоимости, который в зависимости от ситуации может быть как положительным, так и отрицательным.
Например, l jk < 0 может означать следующее. Отгружая большие
объёмы y jk товара со складов, стоимость их хранения уменьшается. А это
влечёт, в свою очередь, к снижению совокупной стоимости расходов на
транспортировку и хранение.
Если же, поступивший на склад товар нуждается в сортировке, первичной переработке, упаковке и т.п., то l jk > 0 . Что приводит к увеличению совокупных расходов.
Целевая функция (3.49) примет вид:
n
p
W = ∑∑ (d jk + l jk ⋅ y jk ) y jk → min .
j =1 k =1
При этом система ограничений (3.50) и условие не отрицательности
(3.51) останутся прежними.
Таким образом, получена задача квадратичного программирования, которая всегда труднее задачи ЛП. Решать такие задачи лучше всего
приближёнными методами (см., например, гл. 12 учебного пособия [19]).
Можно воспользоваться компьютерной математической системой
«WinQSB», которая содержит подсистему «Quadratic and Integer Quadratic
Programming». Однако более эффективным будет применение команды
«Поиск решения» в «Microsoft Excel».
Таблица 3.11 содержит: запасы товара на складах b j (т), j = 1, 4 ; потребности потребителей ek (т), k = 1,4 ; совокупные тарифы хранения и перевозки единицы товара d jk (тыс. грн).
89
Коэффициент изменения тарифа d jk одинаков для всех и составляет
l jk = −0,01 ( ∀ j = 1,4 , k = 1,4 ). Т.е. при увеличении объёма поставки на 1
(т) тариф перевозки снижается на 0,01 (тыс. грн).
Требуется найти оптимальный план объёмов перевозок y jk ( j = 1,4 ,
k = 1,4 ) со складов всем потребителям, который минимизирует совокупные расходы на хранение и транспортировку товара.
Таблица 3.12
Условие транспортной задачи
ek
bj
160
150
160
180
4
3
4
5
4
6
3
4
5
5
4
4
3
5
4
6
200
130
110
210
4
4
Решение. Так как
∑ b j = 650
j =1
и
∑ ek = 650
равны между собой, то
k =1
это закрытая транспортная задача. В противном случае следует вводить
фиктивный склад или фиктивного потребителя (см. [26]).
Запишем модель данной задачи квадратичного программирования.
4
4
W = ∑∑ (d jk − 0,01 ⋅ y jk ) y jk → min
(3.52)
j =1 k =1
4
4
4
⎧4
=
=
=
y
200,
y
130,
y
110,
∑ 2k
∑ 3k
∑ y4k = 210,
⎪∑ 1k
⎪ k =1
k =1
k =1
k =1
⎨4
4
4
4
⎪ y = 160,
150,
160,
=
=
y
y
∑ j2
∑ j3
∑ y j 4 = 180,
j1
⎪∑
j =1
j =1
j =1
⎩ j =1
y jk ≥ 0 ( j = 1, 4 ; k = 1,4 )
Для удобства запишем целевую функцию (3.52) в другом виде:
90
(3.53)
(3.54)
4
4
4
4
W = ∑∑ d jk ⋅ y jk − 0,01 ⋅ ∑∑ ( y jk ) 2 → min .
j =1 k =1
j =1 k =1
Поместим данные нашей задачи в электронную таблицу Microsoft
Excel. Серым цветом (рис. 3.19) выделен массив, в котором будут находиться неизвестные значения y jk оптимального плана объёма перевозок.
Вызываем диалоговое окно Поиск решения из меню Сервис
(рис. 3.20). Вводим данные и нажимаем кнопку Выполнить.
Рис. 3.19 – Данные примера 3.8 в формате Microsoft Excel
Рис. 3.20 – Процесс решения задачи НЛП
91
В итоге, мы получим оптимальный план:
50 ⎞
⎛ 0 150 0
⎜ 0
0 110 20 ⎟⎟
*
⎜
X =
,
⎜ 0
0
0 110 ⎟
⎜
⎟
50
0 ⎠
⎝160 0
для которого Z min = 1453 (тыс. грн).
3.10. Определение оптимального туристического маршрута
Многие практические задачи требуют определения кратчайших
маршрутов. Доставка товаров, туризм, освоение рекреационных ресурсов,
охрана окружающей среды, здравоохранение – это далеко не полный список сфер применения подобных моделей. При разработке соответствующих проектов, как правило, приходится решать задачи комбинаторной оптимизации.
Первый метод решения задач целочисленного программирования был
предложен в 1954 г. американскими специалистами по дискретной математике
Данцигом, Фалкерсоном и Джонсоном. В 1963 г. Мурти – американский математик индийского происхождения – опубликовал результаты о новом методе
ветвей и границ. В этом направлении эффективно работали Литл, Суини, Кэрол. На постсоветском пространстве следует выделить большую группу белорусских учёных – Гринберг, Шестаков, Ковалёв, Писарук, Костевич и др. (см.
библиографию [19]). В последние годы наибольший интерес к вопросам комбинаторной оптимизации проявляли Таха, Немхаузер, Волсей, Салкин, Мазур
и др. (см. библиографию учебника [25]).
Рассмотрим следующую задачу. Турист, имеющий автомобиль, решил выехать из Донецка (D), посетить девять интересующих его городов –
Харьков (Kh), Днепропетровск (Dn), Киев (K), Винницу (V), Черкассы
(Ch), Луцк (L), Николаев (N), Одессу (O), Симферополь (S), не заезжая в
них более одного раза, и вернуться в Донецк. Информация о протяжённости отдельных участков помещена в табл. 3.13.
Требуется разработать такой маршрут, чтобы общее расстояние поездки было наименьшим.
Поставленная задача известна в математике под названием задачи
коммивояжёра. Её впервые сформулировал математик Карл Менгер. Было это 5 февраля 1930 г. на математическом коллоквиуме в Вене. Менгер
называл её «задачей о посыльном». При формулировке задачи коммивояжёра будем придерживаться методики изложения гл. 4, учебного пособия
[19]. Следует также отметить, что практически все серьёзные издания, посвящённые математическим методам исследования операций, затрагивают
подобные проблемы (см., например, [10, 13, 14, 25]).
92
Таблица 3.13.
Расстояние между городами, км
Город D
Kh
D
–
283
Kh
283
–
Dn
250 222
K
729 487
V
812 720
Ch
576 415
L
1138 896
N
579 551
O
713 685
S
571 657
Dn
250
222
–
479
571
326
888
329
463
458
K
729
487
479
–
266
201
398
517
480
852
V
812
720
571
266
–
340
387
466
429
801
Ch
L
N
576 1138 579
415 896 551
326 888 329
201 398 517
340 387 466
–
610 368
610
–
853
368 853
–
453 816 134
649 1188 339
O
S
713 571
685 657
463 458
480 852
429 801
453 649
816 1188
134 339
–
473
473
–
Итак, имеется n городов. Расстояния между ними составляют aij
( i, j = 1, n , i ≠ j ). Если прямого маршрута между городами i и j не существует, то aij = ∞ . Расстояния записывают в виде матрицы (табл. 3.14), где
aii = ∞ .
Коммивояжёр, выехав из какого-либо города, должен посетить все
города, побывав в каждом только один раз, и вернуться в исходный город.
Нужно определить такую последовательность объезда (кольцевой маршрут), чтобы общее расстояние было наименьшим.
Таблица 3.14.
Матрица расстояний
j
i
1
2
…
n
1
2
…
n
∞
a21
…
an1
a12
∞
…
an 2
…
…
…
…
a1n
a2n
…
∞
Пусть городам поставлены в соответствие вершины графа, а соединяющим их дорогам – дуги. Тогда говорят, что задача заключается в определении гамильтонова контура минимальной длины.
Гамильтоновым контуром называется путь, проходящий через все
вершины графа, у которого начальная вершина совпадает с конечной. Название связано с Уильямом Роуэном Гамильтоном (1805-1865) – выдающимся ирландским математиком и физиком, который занимался похожими
проблемами.
93
Для записи задачи коммивояжёра введём булевы переменные:
⎧1, если коммивояжёр переезжает из города i в город j (i, j = 1, n),
xij = ⎨
⎩0, в противном случае.
Целевая функция имеет вид
n
n
Z = ∑∑ aij ⋅ xij → min
(3.55)
i =1 j =1
при выполнении следующих ограничений
n
∑ xij = 1 ,
i =1
n
j = 1, n (въезд в город j )
∑ xij = 1 , i = 1, n (отъезд из города i )
(3.56)
(3.57)
j =1
Задачам (3.55)–(3.57) свойственны простота постановки и трудоёмкость решения, причём – вычислительного характера. Действительно, оптимальный маршрут можно найти, перебрав и сравнив по длине все возможные маршруты. Их количество конечно и составляет N = (n − 1)!.
Метод полного перебора применим при малых n . Например, если
n = 5 , то общее количество маршрутов N = (5 − 1)! = 24 и такая задача решаема даже без компьютера. Однако с увеличением числа вершин графа
она становится невыполнимой. В нашем примере о десяти городах Украины N = (10 − 1)! = 362880 , что делает полный перебор вариантов бессмысленным.
В настоящее время разработано большое число эффективных алгоритмов для решения задачи коммивояжёра. Эти алгоритмы запрограммированы в компьютерных математических системах. Автор данной главы
использует «WinQSB». В этой системе имеется подсистема «Network Modeling» (сетевое моделирование), которая содержит опцию «Traveling Salesman Problem» (задача коммивояжёра). Данная опция позволяет находить
оптимальный маршрут разными методами. Среди них – метод ветвей и
границ и ещё три эвристических метода (метод эвристической ближайшей
вершины и др.).
При решении задачи о туристе и десяти городах Украины с помощью
системы «WinQSB» можно получить информацию об оптимальном маршруте в графическом виде (рис. 3.21).
94
Рис. 3.21 – Граф оптимального решения задачи о туристическом
маршруте
Опишем оптимальный маршрут в более удобном виде, поместив над
стрелками расстояние между городами в километрах и вычислив его общую протяжённость:
250
222
415
Донецк (D) ⎯⎯→
Днепропетровск (Dn) ⎯⎯→
Харьков (Kh) ⎯⎯→
201
266
387
Киев (K) ⎯⎯→
Винница (V) ⎯⎯→
Луцк (L)
Черкассы (Ch) ⎯⎯→
816
134
339
⎯⎯→
Одесса (O) ⎯⎯
→ Николаев (N) ⎯⎯→
Симферополь (S)
571
⎯⎯
→ Донецк (D) = 3601 (км).
Математику недаром называют «царицей наук». Решая какую-то задачу практической или даже абстрактной направленности, исследователяматематика интересует общий метод решения таких задач. Очень часто
оказывается, что одни и те же методы подходят для решения совсем непохожих проблем.
Рассматривая задачу коммивояжёра, мы имели дело с городами и
расстояниями. Заметим, что под «городами» могут пониматься какие-то
состояния объекта. Под «расстоянием» же можно подразумевать стоимость или продолжительность путешествия между ними.
Примером может служить задача о станке. Деталь в процессе обработки подвергается n операциям. При переходе от одной операции к другой станок какое-то время переналаживают. Требуется найти такой порядок проведения всех операций (с возвращением станка в исходное состоя95
ние), при котором суммарные потери времени были бы наименьшими. Понятно, что задача о станке – аналог задачи о коммивояжёре. Таблица потерь времени – это матрица «расстояний». «Городами» будут состояния
станка после различных операций.
К задаче коммивояжёра приводят задачи планирования производства, проектирования линий связи, задачи составления маршрута почтальона
(врача, контролёра и т.д.), задачи проектирования компьютерных систем.
В учебнике [19, гл. 9.3] приведен пример 9.3.1. Дневной график работы предприятия, производящего краски, включает изготовление партий
белой, жёлтой, красной и чёрной красок. Т.к. используется одно и то же
оборудование, то после приготовления краски необходима чистка. Время
чистки между двумя красками известно. Необходимо определить оптимальную последовательность производства красок, которая минимизирует
суммарное время чистки оборудования.
В том же учебнике дано упражнение 9.3.1. Менеджер проектов имеет
10 сотрудников, которые работают над шестью проектами, причём каждый
работает одновременно над несколькими проектами (табл. 3.15).
Таблица 3.15
Распределение проектов между сотрудниками
1
2
3
4
Сотрудники 5
6
7
8
9
10
Проект
1
2
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
3
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
4
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
5
Χ
Χ
Χ
6
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Менеджер должен встретиться с каждым из 10 сотрудников один раз
в неделю для обсуждения их проблем. Беседа с каждым из них длится
примерно 20 минут, т.е. на разговоры со всеми сотрудниками уходит 3 часа 20 минут. Предлагается проводить встречи менеджера с группами сотрудников, работающих над одним и тем же проектом. Менеджер планирует составить график обсуждения проектов так, чтобы уменьшить движение в офисе, т.е. сократить число сотрудников, входящих и выходящих из
комнаты для совещаний.
Имеются также (см. [19, гл. 9.3]) комплексные задачи на составления
расписания работ по строительству торгового центра, на формирования
96
состава спортивных команд, на размещение наружной рекламы, на расположение сервисных центров компаний по оказанию услуг населению.
Как видно, проблемы, сводящиеся к решению задачи коммивояжёра,
весьма разнообразны и заслуживают внимания. Однако их обычно рассматривают в детерминистической постановке. Т.е. фактор случайности не
учитывается совсем.
В научной статье [65] автор предлагает считать расстояния между
городами случайными величинами. Действительно, пользуясь картой или
навигатором, водитель рассчитывает на одно расстояние. Оно же может
оказаться несколько другим. Это связано со следующими обстоятельствами: а) ремонт участка дороги и необходим объезд; б) маршрут проходит
через крупный населённый пункт и водитель, не зная точно направления,
может заблудиться; в) стиль вождения автомобиля и др.
Понятно, что адекватность модели будет зависеть от выбора функции распределения вероятностей случайных величин. Т.к. речь идёт о расстояниях между городами, то это должны быть непрерывные случайные
величины, принимающие свои значения из соответствующих интервалов.
Пусть расстояние между городами – случайные величины aij (ω )
( i, j = 1, n , i ≠ j ), равномерно распределённые на отрезках [α ij ; βij ] . По
смыслу задачи концы отрезка могут быть только положительными числами. Причём, чем меньше участок дороги преподносит неожиданностей,
тем меньше длина отрезка (разброс величины расстояния).
Функция распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [α ij ; βij ] , имеет вид:
⎧0, x ≤ α ij ;
⎪
⎪ x − α ij
F ( x) = P{aij (ω ) < x} = ⎨
, α ij < x ≤ βij ;
β
α
−
ij
⎪ ij
⎪1, x > β .
ij
⎩
Напомним, что функция распределения позволяет вычислять вероятности интересующих нас событий. Её график помещён на рис. 3.22.
Рис. 3.22 – График функции распределения вероятностей
97
Для того чтобы задать такие случайные величины, необходимо определить отрезки распределения. Это можно сделать статистическими методами. Транспортное агентство, регулярно совершающее перевозки на участке от города i до города j , может собрать информацию о пройденных
расстояниях. Определим по статистической выборке наименьшее α ij и
наибольшее βij расстояния. Поступив аналогично с остальными участками
возможных маршрутов (см. табл. 3.16), получим, что случайные величины
aij (ω ) распределены равномерно на отрезках [α ij ; βij ] , где i, j = 1, n , i ≠ j .
Пусть Z (ω ) (км) – общая протяжённость кольцевого маршрута. Стохастическую постановку задачи можно свести к детерминированному случаю, если взять от целевой функции математическое ожидание:
n
n
M [ Z (ω )] = ∑∑ M [aij (ω )] ⋅ xij → min .
i =1 j =1
Таблица 3.16.
Данные об отрезках распределения расстояний
j
i
1
2
…
n
1
2
[α12 ; β12 ]
∞
[α 21 ; β 21 ]
∞
…
…
[α n1 ; β n1 ] [α n 2 ; β n 2 ]
…
n
…
…
…
…
[α1n ; β1n ]
[α 2 n ; β 2 n ]
…
∞
Известно, что математическое ожидание равномерно распределённой
случайной величины aij (ω ) вычисляется как середина отрезка [α ij ; βij ] , т.е.
def
α ij + βij
. Введём обозначение Z / = M [ Z (ω )] .
2
Это позволит нам перейти от модели (3.55) – (3.57) к стохастической
модели. Благодаря тому, что известен тип распределения случайных величин, нам удастся свести стохастическую модель к детерминированной.
В такой постановке, целевая функция будет иметь вид
n
n
Z / = ∑∑
i =1 j =1
α ij + βij
2
⋅ xij → min
(3.58)
при выполнении следующих ограничений
n
∑ xij = 1 ,
i =1
98
j = 1, n (въезд в город j )
(3.59)
n
∑ xij = 1 , i = 1, n (отъезд из города i )
(3.60)
i =1
Новая модель (3.58)–(3.60) является более адекватной, т.к. учитывает
факторы случайности. Кроме того, она является аналогом задачи коммивояжёра. А это, в свою очередь, позволяет применить для нахождения
кратчайшего кольцевого маршрута описанные выше методы оптимизации.
3.11. Проектирование размещения фирменных магазинов пивоваренного завода «Евро-бир» в восточном регионе Украины
Маркетинговые особенности сегментации рынка. Продвигая товар на рынок, специалист в области маркетинга должен хорошо представлять себе, кому он пытается его продать. Он должен уметь наладить контакт с людьми, чтобы продемонстрировать свой продукт и привлечь их.
Есть много возможностей повысить конкурентоспособность предприятия и
увеличить его долю на рынке, но, прежде всего, следует изучить рынок, т.е.
произвести его сегментацию [55, гл. 13].
Сегментация рынка означает разделение общества на различные
категории и определение конкретных групп потребителей, имеющих сходные предпочтения и одинаково реагирующих на предложенный продукт
или на виды маркетинговой деятельности (рекламу, методы сбыта и т.д.).
Сегментация имеет большое значение для определения ёмкости рынка,
преимуществ и недостатков самого предприятия в борьбе за освоение данного рынка с основными конкурентами.
Сегментация проводится с использованием различных критериев.
Первый из них – географический (район, плотность населения, особенности национальных и исторических традиций). Например, горожане и жители сельской местности имеют разные предпочтения при выборе товаров.
Стоит ли размещать большой магазин в малонаселенном районе? Продукты из свинины не будут пользоваться спросом в районах с мусульманским
населением и т.д.
Второй критерий – демографический (возраст, пол, состав семьи).
Возраст во многом определяет привычки людей и характер покупок. Молодая семья приобретает предметы обихода (мебель, посуда, бытовая техника
и т.д.). Супружеская пара старшего возраста уже не так нуждается в предметах обихода. Её интересуют вопросы улучшения быта (экономное отопление, кондиционирование воздуха, полноценный отдых и т.п.). Женщины
покупают парфюмерию и косметику чаще, чем мужчины.
Третий критерий – социально-экономический (общность социальной
и профессиональной принадлежности, уровня образования и доходов).
Маркетинговая программа не может быть успешной, если она не решает
задачи контакта с теми людьми, которые, желая приобрести продукт, имеют для этого достаточные средства.
99
Для правильной сегментации рынка и нахождения своей рыночной
ниши необходима информация о потенциальных покупателях, чтобы знать,
где лучше всего предлагать товары. Чтобы правильно найти место для размещения магазина розничной торговли, нужно провести комплексное маркетинговое исследование. Необходимо учесть престижность района, наличие
учреждений или жилых домов, плотность населения, близость остановки общественного транспорта, интенсивность пешеходного движения, наличие
конкурентов, хороший обзор магазина, удобный подход к нему и т.д.
Моделирование задачи выбора сегментов рынка методами линейного программирования. Остановимся теперь на математических
особенностях моделирования сегментации рынка [14, гл. 14]. Пусть n –
количество возможных сегментов рынка для данного товара ( n ≥ 2 ), N –
количество сегментов, на которых предприятие желало бы предложить
свой товар ( N ≤ n ), P – минимально необходимая выручка от реализации
товара. Обозначим через j ( j = 1, n ) номер сегмента. Положим, что j -й
сегмент характеризуют: k j – предлагаемое количество товара; c j – удельные переменные затраты по реализации единицы товара; d j – совокупные
постоянные затраты по реализации; p j – цена единицы товара.
Пусть Z – совокупные издержки по реализации товара. Искомые неизвестные x j – булевы переменные, принимающие значение 1, если целесообразно работать на данном сегменте, и значение 0 в противном случае.
Т.о. x j = {1;0} ( j = 1, n ).
Математическая модель выбора сегментов рынка записывается как
задача линейного программирования:
n
Z = ∑ (c j k j + d j ) x j → min ,
j =1
⎧ n
⎪ ∑ p j k j x j ≥ P,
⎪ j =1
⎨ n
⎪ x ≤ N,
j
⎪⎩∑
j =1
x j = {1;0} ( j = 1, n ).
Продемонстрируем практические способы решения таких задач.
Пример. Пивоваренный завод «Евро-бир» планирует открыть фирменные магазины по продаже своего пива в стеклянных бутылках в крупных городах восточного региона Украины. Общее количество городов –
двадцать. Финансовые возможности завода позволяют открыть магазины в
пятнадцати городах. Минимально возможная годовая выручка 60 млн грн.
Остальные сведения содержаться в табл. 3.17.
100
Таблица 3.17.
Данные задачи
j
k j , млн шт.
1
0,8
2
0,7
3
0,7
4
0,8
5
0,7
6
0,6
7
0,6
8
0,6
9
0,8
10
0,7
c j , грн
0,5
0,4
0,4
0,5
0,6
0,5
0,5
0,5
0,4
0,5
d j , млн грн
0,2
0,1
0,1
0,3
0,2
0,1
0,2
0,2
0,1
0,1
p j , грн
j
k j , млн шт.
6
11
0,7
5,5
12
0,6
5,7
13
0,9
6
14
0,7
5,8
15
0,6
5,9
16
0,6
5,7
17
0,6
5,6
18
0,8
6
19
0,8
5,9
20
0,9
c j , грн
0,5
0,6
0,5
0,5
0,5
0,5
0,4
0,5
0,6
0,4
d j , млн грн
0,3
0,2
0,1
0,1
0,3
0,2
0,1
0,2
0,2
0,1
p j , грн
5,9
5,9
6
5,8
5,5
5,7
5,9
6
6
5,9
Требуется: 1) составить математическую модель задачи; 2) найти оптимальное решение.
Решение. 1) по условию n = 20 , N = 15 и P = 60 млн грн. Рассчитаем
коэффициенты целевой функции (млн грн):
c1k1 + d1 = 0,5 ⋅ 0,8 + 0,2 = 0,6 , c2 k2 + d 2 = 0,38 ,…, c20 k20 + d 20 = 0, 46 .
Коэффициенты первого ограничения задачи (млн грн) равны:
p1k1 = 6 ⋅ 0,8 = 4,8 , p2 k2 = 5,5 ⋅ 0,7 = 3,85 ,…, p20 k20 = 5,9 ⋅ 0,9 = 5,31 .
Составим математическую модель задачи:
Z = 0,6 x1 + 0,38 x2 + ... + 0,46 x20 → min ,
⎧4,8 x1 + 3,85 x2 + ... + 5,31x20 ≥ 60,
⎨
⎩ x1 + x2 + ... + x20 ≤ 15,
x j = {1;0} ( j = 1,20 ).
2) поместим данные нашей задачи в электронную таблицу MS Excel.
Вызываем диалоговое окно Поиск решения из меню Сервис (рис. 3.23).
Вводим данные и нажимаем кнопку Выполнить.
101
Рис. 3.23 – Процесс решения задачи ЛП
Оптимальный план запишем в виде табл. 3.18. Напомним, что x j * = 1
означает, что в j -м городе следует открыть магазин. В свою очередь,
x j * = 0 означает, что магазин открывать нецелесообразно.
Таблица 3.18
Оптимальный план задачи
j
xj *
j
xj *
1
1
11
0
2
1
12
0
3
1
13
1
4
0
14
1
5
1
15
0
6
1
16
0
7
1
17
1
8
0
18
1
9
1
19
1
10
1
20
1
Из таблицы 3.18 видно, что магазины следует открыть в 14-ти городах. Подставив x j * ( j = 1,20 ) в первое ограничение, получим, что доход от
реализации составит 60,5 млн грн. Причём совокупные издержки по реализации товара будут на уровне Z min = 6,83 млн. грн.
Подведём итоги. В данном параграфе рассмотрена маркетинговая
проблема сегментации рынка. Предложена математическая модель в виде
задачи линейного программирования. Даны рекомендации по решению таких задач на компьютере.
102
3.12. Планирование размещения капитала предприятия на международных фондовых рынках
Основной инвестиционный принцип соответствует житейской мудрос-ти: «Никогда не клади все яйца в одну корзину» [46]. Инвестор не
должен вкладывать капитал только в активы одного вида. Ему необходимы
разнообразие возможностей, диверсификация инвестиций. Поэтому опытный предприниматель формирует инвестиционный портфель.
Всё чаще крупные украинские предприятия, имея в наличии свободные средства, формируют портфели ценных бумаг на международных фондовых рынках. Обычно представителями украинских корпораций за рубежом являются иностранные банки, инвестиционные фонды или брокерские
конторы. В последнее время представители украинских компаний активно
формируют свои портфели на Франкфуртской фондовой бирже (нем.
Frankfurter Wertpapierbörse, сокр. FWB, далее по тексту ФФБ).
ФФБ – это крупнейшая немецкая и одна из наибольших мировых
бирж [49]. Она была основана в 1585 году. Оператором Франкфуртской
фондовой биржи является Deutsche Börse Group. На сегодняшний день
около 90% оборота акций Германии приходится на ФФБ. Из 300 компаний,
участвующих в листинге, 140 являются заграничными компаниями, что
даёт право считать ФФБ международной. На сегодняшний день это самая
крупная фондовая биржа по показателям выручки, прибыли и рыночной
капитализации в мире.
На ФФБ проводят торги по акциям, облигациям, еврооблигациям и
производным финансовым инструментам. Фондовый индекс DAX (нем.
Deutscher Aktienindex) является основным индексом биржи и считается барометром состояния экономики Германии. В настоящее время индекс рассчитывается на основе 30 ведущих немецких компаний, входящих в листинг фондового индекса [50].
Поставим перед собой цель – используя математическое моделирование, сформировать эффективный портфель на ФФБ. Для этого введём
необходимые понятия [38]–[44].
Пусть T – количество временных периодов, в течение которых велось наблюдение за ценными бумагами. На каждом из периодов рассчитывается эффективность R(t ) . Число t = 1,2,..., T характеризует номер периода. Эффективность рассчитывается по формуле
R (t ) =
S (t ) − S (t − 1)
⋅ 100% ,
S (t − 1)
где S (t ) – цена акции в конце t -го периода, S (t − 1) – цена акции в конце
(t − 1) -го периода.
Реализацией случайной величины R является статистическая выборка, которую рассчитывают по ценам данной акции. Эффективность кон103
кретной i -й акции характеризуют оценкой математического ожидания mi
– выборочной ожидаемой эффективностью, выборочной дисперсией Di ,
выборочным средним квадратическим (стандартным) отклонением σ i :
1 T
mi = ∑ Ri (t ) ,
T t =1
1 T
Di = ∑ ( Ri (t ) − mi ) 2 ,
T t =1
σ i = Di .
Если дисперсия эффективности равна нулю, то эффективность не отклоняется от математического ожидания, т.е. нет неопределённости и риска.
Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение, т.е. выше неопределённость и риск. Поэтому величину дисперсии считают мерой риска, а σ i
называют риском i -го актива. Инвестор заинтересован в увеличении ожидаемой эффективности mi . С другой стороны, важно уменьшить риск.
Кроме индивидуальных числовых характеристик mi , Di , σ i , рассчитывают характеристики взаимовлияния активов – выборочные ковариации
эффективностей:
1 T
Vij = ∑ ( Ri (t ) − mi )( R j (t ) − mi ) ,
T t =1
где Vij = V ji и Vii = Di = σ i 2 .
Характеристик mi и σ i достаточно для отбора «перспективных»
ценных бумаг в портфель. Акции с отрицательным показателем mi не
должны включаться в портфель. Оставшиеся ценные бумаги подлежат рассмотрению.
По сути дела, сравниваются пары чисел (mi ;σ i ) . Если какой-то актив
заведомо «проигрывает» другому, то он исключается из портфеля. Такой
способ отбора называют методом парных сравнений [43], [46].
Если имеется возможность выбора между двумя акциями, причем
mi > m j , а σ i = σ j , то инвестор предпочтёт i -ю ценную бумагу. Если же
mi = m j , а σ i > σ j , то инвестор выберет j -ю акцию. В ситуации mi > m j ,
σ i < σ j инвестор предпочтет i -ю ценную бумагу.
Однако, если mi > m j , σ i > σ j (или mi < m j , σ i < σ j ), то однозначного
решения нет и выбор инвестора будет зависеть от его склонности к риску.
Рекомендуется включать в портфель обе акции и уже внутри портфеля решать вопрос о том, какую часть капитала вкладывать в конкретную ценную бумагу [45].
Был проведен статистический анализ за 50 биржевых дней (с
26.07.2010 по 30.09.2010) на ФФБ. С помощью метода парных сравнений в
фондовый портфель были отобраны акции 6 корпораций (табл. 3.19).
104
Заметим, что это высоколиквидные акции известных корпораций,
которые обеспечивали своих владельцев высокой прибылью в течение августа и сентября 2010 г. Кроме этого, они регулярно покупаются и продаются на ФФБ и, являясь ведущими компаниями Германии, входят в фондовый индекс DAX (см. последний столбец табл. 3.19).
Таблица 3.19.
Составляющие фондового портфеля
№ п/п
Компания
Сокращение
1
Fresenius
FRE
2
METRO
MEO
3
5
BMW
BMW
Volkswagen
VOW
Group
Linde
LIN
6
Adidas
4
Отрасль
Доля в DAX
Здравоохранение 0,68%
Розничная тор0,72%
говля
Автомобили
1,9%
Автомобили
4,88%
Газоснабжение
2,4%
Спортивная оде1,25%
жда и обувь
ADS
Немаловажную роль играет тот факт, что отобраны акции компаний
из разных отраслей экономики. Т.о. обеспечивается принцип диверсификации портфеля. Компании выстроены в порядке возрастания риска.
Математическая модель оптимального фондового портфеля. Согласно рассматриваемой модели главная информация заключена в векторестолбце ожидаемых эффективностей m и в матрице ковариаций V :
⎛ m1 ⎞
⎛ V11 V12 ... V1n ⎞
⎜m ⎟
⎜V V
⎟
V
...
2
21
22
2
n
⎟.
m = ⎜ ⎟, V = ⎜
⎜ ... ⎟
⎜ ... ... ... ... ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ mn ⎠
⎝ Vn1 Vn 2 ... Vnn ⎠
Пусть xi ( i = 1, n ) – доля капитала инвестора, вложенная в i -й вид
ценных бумаг. Следовательно,
n
∑x
i =1
i
=1
(3.61)
105
Структуру портфеля ценных бумаг удобно записывать векторомстолбцом:
⎛ x1 ⎞
⎜x ⎟
x =⎜ 2 ⎟.
⎜ ... ⎟
⎜ ⎟
⎝ xn ⎠
Введём вектор-столбец I , состоящий из единиц. Тогда условие
(3.61) может быть записано, как I T x = 1 .
Рассмотрим эффективность фондового портфеля R p , которая является случайной величиной. Её числовой характеристикой является ожидаеn
мая эффективность m p = ∑ xi mi или в матричном виде m p = xT m .
i =1
Характеристикой риска является дисперсия эффективности фондовоn
n
го портфеля D p = ∑∑ xi x jVij или D p = xT Vx .
i =1 j =1
Задача формирования рисковой части оптимального портфеля ставится следующим образом. При заданной эффективности m p найти такую
структуру x , которая обеспечивала бы минимум функции D p , т.е. минимальный риск портфеля. Такая модель была впервые предложена Марковицем в 1951 г. Модель оптимального фондового портфеля записывается в следующем виде:
n
n
D p = ∑∑ xi x jVij → min
(3.62)
⎧ n
⎪∑ xi mi = m p
⎪ i =1
⎨ n
⎪ x =1
i
⎪⎩∑
i =1
(3.63)
i =1 j =1
Иногда налагают условие неотрицательности:
xi ≥ 0 ( i = 1, n )
(3.64)
В матричном виде задача (3.62)–(3.64) выглядит следующим образом:
106
D p = xT Vx → min
(3.65)
⎧⎪ xT m = m p
⎨ T
⎪⎩ I x = 1
(3.66)
x≥0
(3.67)
Задача (3.65)–(3.67) является задачей квадратичного программмирова-ния. Задачу (3.65)–(3.66) можно решить методом множителей Лагранжа,
а затем учесть условие (3.67).
Составим функцию Лагранжа:
L( x, λ1 , λ2 ) = xT Vx + λ1 ( I T x − 1) + λ2 (mT x − m p ) .
Это задача на условный экстремум. Согласно необходимому условию экстремума, получим:
∂L( x, λ1 , λ2 )
1
1
= 0 , 2Vx + λ1 I + λ2 m = 0 , Vx = − λ1 I − λ2 m ,
∂x
2
2
1
1
x = − λ1V −1 I − λ2V −1m .
2
2
Ограничения задачи (3.66) примут линейный вид относительно λ1 , λ2 :
⎧⎪λ1mT V −1 I + λ2 mT V −1m = −2m p
⎨ T −1
T −1
⎪⎩λ1 I V I + λ2 I V m = −2
def
def
Введя дополнительные обозначения mT V −1 I = I T V −1m = A , mT V −1m = B ,
−1
def
I V I = C , получим систему:
T
⎧λ1 A + λ2 B = −2m p
⎨
⎩λ1C + λ2 A = −2
Решим её методом Крамера:
λ1 =
∆1 −2m p A + 2 B
∆ 2 −2 A + 2m p C
λ
=
,
=
=
.
2
A2 − BC
A2 − BC
∆
∆
107
Найденные значения множителей Лагранжа подставим в выражение
для оптимальной структуры:
1 − 2 m p A + 2 B −1
1 −2 A + 2m p C −1
x* = − ⋅
V
I
⋅
−
⋅
⋅V m =
A2 − BC
A2 − BC
2
2
1
= V −1 ⎡⎣( IA − mC )m p + (− IB + mA) ⎤⎦ ⋅ 2
.
A − BC
Для решения задачи (3.65)–(3.67) составляют расширенную матрицу [41]:
⎛ 2V11
⎜ 2V
⎜ 21
⎜ ...
Z =⎜
⎜ 2Vn1
⎜ m1
⎜
⎝ 1
2V12
2V22
...
... 2V1n
... 2V2 n
... ...
m1
m2
...
2Vn 2
m2
1
... 2Vnn
... mn
...
1
mn
0
0
1⎞
1 ⎟⎟
... ⎟
⎟.
1⎟
0⎟
⎟
0⎠
Оптимальная структура рисковой части фондового портфеля x* линейно зависит от m p и записывается в виде
x* (m p ) = am p + b ,
где a и b – матрицы размерности n × 1 . Для нахождения их компонент находят матрицу, обратную матрице Z , т.е.
⎛…
⎜…
⎜
⎜…
Z −1 = ⎜
⎜…
⎜…
⎜
⎝…
… … … a1 b1 ⎞
… … … a2 b2 ⎟⎟
… … … … …⎟
⎟.
… … … an bn ⎟
… … … … …⎟
⎟
… … … … …⎠
Запишем функцию оптимального риска фондового портфеля
σ p* (m p ) = cm p 2 + dm p + e ,
где c = aT Va , d = 2aT Vb , e = bT Vb .
108
Практическая реализация модели оптимального портфеля ценных бумаг. Согласно с рассматриваемыми методами, ожидаемая эффективность портфеля m p = 0, 24% . Структура оптимального фондового портфеля получилась следующей:
⎛ 0,5550 ⎞
⎜ 0,1969 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0,1127 ⎟
x* = ⎜
⎟.
0,1331
⎜
⎟
⎜ 0,0005 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0,0018 ⎠
Предположим, что в портфель инвестируется капитал в 1000000 евро. Поместим информацию в табл. 3.20.
В нашем портфеле ценных бумаг преобладают акции компаний
Fresenius, METRO, BMW, Volkswagen Group. Доли вложения в акции Linde
и Adidas – незначительные (рис. 3.24). Это связано с тем, что на данном
временном интервале цены на эти акции хотя и росли в среднем в цене,
однако испытывали сильные колебания. Последние две акции являются
высоко рискованными, а наш инвестор формирует портфель с допустимым
риском σ p * = 0,8% .
Таблица 3.20
Структура оптимального фондового портфеля
№
п/п
Компания
Сокращение
Доля капитала, %
Доля капитала, евро
1
2
3
4
5
6
Fresenius
METRO
BMW
Volkswagen Group
Linde
Adidas
FRE
MEO
BMW
VOW
LIN
ADS
55,5
19,69
11,27
13,31
0,05
0,18
555000
196900
112700
133100
500
1800
109
VOW; 13,31%
LIN; 0,05%
ADS; 0,18%
BMW; 11,27%
FRE; 55,5%
MEO; 19,69%
Рис. 3.24 – Доли вложения капитала инвестора
Итак, в соответствии с рекомендациями финансового аналитика,
брокер 01.10.2010 приобрёл акции в следующих количествах (табл. 3.21).
Таким образом, общая стоимость портфеля на 01.10.2010 составляет
1000822 евро. Проанализируем динамику стоимости портфеля в последующие 14 биржевых дней (рис. 3.24).
Таблица 3.21.
Информация о сформированном 01.10.2010 портфеле
110
№
п/п
Компания
1
Fresenius
Цена за одну
акцию, евро
59,47
Количество
акций, шт
9330
Стоимость
акций, евро
554855,1
2
METRO
46,125
4270
196953,8
3
BMW
49,3
2290
112897
4
Volkswagen Group
83,36
1600
133376
5
Linde
95,68
10
956,8
6
Adidas
44,585
40
1783,4
1060000
Стоимость, евро
1050000
1040000
1030000
1020000
1010000
1000000
990000
29.9
4.10
9.10
14.10
19.10
24.10
Дата
Рис. 3.25 – Динамика стоимости фондового портфеля
Сформированный фондовый портфель оказался достаточно стабильным. Его стоимость, в среднем, возрастала. Т.о., основываясь на статистике по 50 биржевым дням, нам удалось предсказать рост стоимости в среднесрочной перспективе (как минимум на 14 биржевых дней). Это говорит о
сбалансированности структуры портфеля, в котором снижение цен одних
активов компенсируется ростом других.
Если бы инвестор 21.10.2010 решил продать акции шести компаний,
вошедшие в портфель, то вырученные средства составили бы 1051430 евро. Этот шаг позволил бы получить прибыль в размере 50608 евро. Доходность такой сделки составила бы 5,06%, что можно признать хорошим показателем за столь короткий срок.
Подведём итоги. Предложены статистические методы отбора ценных
бумаг в фондовый портфель. Применена экономико-математическая модель оптимального фондового портфеля. Рассмотренные подходы применены на практике. В качестве торговой площадки выбрана Франкфуртская
фондовая биржа. Сформированный фондовый портфель показал себя с хорошей стороны.
Данные методики позволяют формировать мало рискованные портфели финансовых инвестиций. Они могут быть применены и на других
биржах. Модель можно рекомендовать украинским предприятиям, желающим разместить свободный капитал на международных фондовых рынках.
111
РАЗДЕЛ 4
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ НА ПРЕДПРИЯТИИ
Динамическое программирование представляет собой раздел математического программирования, в котором изучаются задачи, формулирующиеся
как многошаговые процессы решения или такие задачи, которые могут быть
сведены к ним. Решение таких задач разбивается на отдельные этапы, в результате чего одна большая задача со многими переменными заменяется рядом последовательно решаемых задач с существенно меньшим числом переменных. Теоретические основы решения задач динамического программирования студент может найти в учебном пособии [27].
Оптимизация этого многошагового процесса проводится на основе
сформулированного Р. Беллманом принципа оптимальности. Оптимальное
поведение обладает тем свойством, что каковым бы ни было первоначальное состояние и первоначальное управление, последующее управление
должно быть оптимальным относительно состояния, полученного в результате первоначального управления.
Смысл этого принципа состоит в том, что поэтапное планирование
многошагового процесса должно проводиться таким образом, чтобы при
планировании каждого шага учитывалась не выгода, получаемая только на
данном шаге, а общая выгода, получаемая по окончании всего процесса.
Оптимальное управление производится относительно общей выгоды. Выбирая управление на каждом шаге надо делать это «с оглядкой на будущее», иначе возможны серьезные ошибки.
При решении задач методом динамического программирования необходимо ответить на вопрос: как находить оптимальное управление в
многошаговом процессе? Общее правило ответа заключается в сформулированном выше принципе оптимальности Беллмана, т.е. на каждом шаге
управление необходимо выбирать с учетом будущего.
Задачи, решаемые методом динамического программирования,
должны обладать следующими особенностями.
1. Задача должна допускать возможность интерпретировать ее как k шаговый процесс принятия решений (ее можно интерпретировать как процесс поведения некоторой системы во времени).
2. Задача должна быть определена для любого числа шагов и ее
структура не должна изменяться с изменением числа шагов.
3. При рассмотрении k -шаговой задачи должен быть задан параметр,
характеризующий состояние системы. Этот же параметр должен описывать состояние системы при любом количестве шагов.
4. Выбор управления процессом состоит в преобразовании набора
параметров, характеризующих состояние системы на k -м шаге в такой же
набор параметров с другими числовыми значениями на k + 1 шаге.
112
5. Если система в рассматриваемый момент времени (на k -м шаге)
находится в некотором состоянии, то ее поведение в дальнейшем определяется этим состоянием и выбираемым управлением и не зависит от предыстории системы (т.е. от того, в каких состояниях находилась система до
этого момента).
Символически решение задачи методом динамического программирования можно изобразить
( )
Uk
(
)
S X k → S X k +1 ,
где S – система;
X k = ( x1k , x2k ,..., xnk ) – набор параметров, характеризующих состояние
системы на k -м шаге;
x j ≥ 0, j = 1, n – параметры состояния;
U k – управление на k -м шаге;
( )
S X k – состояние системы на k -м шаге.
Чтобы применить принцип Беллмана практически, ему необходимо
дать математическую формулировку, которая записывается в виде формулы рекуррентного соотношения Беллмана:
wk (ξ ) = max { g k ( x ) + wk −1 (ξ − x )} .
0≤ x ≤ξ
(4.1)
Здесь: ξ – параметр, определяющий состояние всей системы,
x – изменяющийся параметр системы на каждом шаге;
g k ( x ) – доход, который получает система на k -ом шаге;
wk , wk −1 – доход, который получает система за k и k − 1 шагов;
ξ − x – функция изменения состояния системы.
4.1. Управление техническим обеспечением предприятия. Определение оптимальной стратегии использования оборудования
Рассмотрим применение метода динамического программирования
на примере задачи определения оптимальной стратегии использования
офисной техники на фирме.
Экономическая постановка задачи. Предприятию необходимо определить оптимальную стратегию использования офисной техники в период времени длительностью m лет таким образом, чтобы прибыль за каждые i лет, i = 1, m от использования офисной техники возраста t лет была
максимальная.
Предполагается, что известны следующие величины: доход от эксплуатации офисной техники возраста t лет, z (t ) – годовые затраты на об113
служивание оборудования возраста t лет, c(t ) – остаточная офисной техники возраста t лет, p – стоимость новой техники.
Построение математической модели.
1. Определение числа шагов. Число шагов равно числу лет, в течение
которых эксплуатируется техника.
2. Определение состояний системы. Состояние системы характеризуется возрастом техники t лет, t = 1, m .
3. Определение управлений. В начале i -ого шага, i = 1, m может быть
выбрано одно из двух решений: заменять или не заменять технику. Следовательно, управление в начале i -ого шага, i = 1, m запишется в виде булевой переменной:
⎧0, если техника возраста t лет не заменяется в начале i -ого шага,
xi (t ) = ⎨
⎩1 если техника возраста t лет заменяется в начале i -ого шага (4.2)
4. Определение функции выигрыша на i -ом шаге. Выигрыш на i -ом
шаге – это прибыль от использования техники к концу i -ого года эксплуатации, t = 1, m , i = 1, m :
⎧ r (t ) − z i (t ),
ϕ i (t ) = ⎨ i
⎩ci (t ) − p + ri (t ) − z ( 0 ),
если xi (t ) = 0 ,
если xi (t ) = 1
(4.3)
Если техника в начале i -ого шага не продается, то прибыль от ее использования – это разность между доходом от эксплуатации и эксплуатационными издержками за i -ый год. При замене техники прибыль равна
разности между остаточной стоимостью и стоимость новой техники, к которой прибавляется разность между доходом и эксплуатационными издержками нового оборудования, возраст которого в начале i -ого шага составляет 0 лет.
5. Определение функции изменения состояния.
⎧t + 1,
f i (t ) = ⎨
⎩1,
если xi (t ) = 0 ,
если xi (t ) = 1
(4.4)
6. Определение функционального уравнения для i = m .
W m (t ) =
114
⎧ rm (t ) − z m (t ),
max ⎨
x m ∈{0 ,1}⎩ c m (t ) − p + rm ( t ) − z ( 0 ),
если xm (t ) = 0 ,
если xm (t ) = 1
(4.5)
7. Определение основного функционального уравнения.
если xi (t ) = 0 ,
⎧ ri (t ) − z i (t ) + W i + 1 (t + 1),
W i (t ) = max ⎨
x i ∈{0 ,1}⎩ c i (t ) − p + ri (t ) − z ( 0 ) + W i + 1 (1),
если xi (t ) = 1
(4.6)
где Wi (t ) – прибыль от использования техники возраста t лет с i -ого шага
(с конца i -ого года) до конца периода эксплуатации;
Wi +1 (t + 1) – прибыль от использования техники возраста t + 1 год с
i + 1 -ого шага до конца периода эксплуатации. Зависимости (4.2) – (4.6)
определяют модель оптимального использования оборудования. Рассмотрим решение данной задачи на примере.
Пример. Определить оптимальную стратегию использования техники, если m = 12 , p = 9 , c(t ) = 0 , r (t ) − z (t ) = φ (t ) . Значения функции φ (t )
приведены в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Значения функции φ (t )
0 1 2
t
φ (t ) 12 11 10
3
9
4
8
5
7
6
6
7
5
8
4
9 10 11 12
3 2 1 0
Для данного примера:
1) так как планирование осуществляется на 12 лет – число шагов
равно 12.
2) возможный возраст техники t от одного до 12 лет, следовательно,
возможные состояния системы t : t = 1,12 ;
3) управления примут вид:
⎧0, если техники возраста t лет не заменяется в начале i -ого шага,
xi (t ) = ⎨
⎩1 если техники возраста t лет заменяется в начале i -ого шага (4.7)
4) функция выигрыша φ (t ) определена в табл. 4.1;
5) определение функции изменения состояния для i = 1,12 ;
⎧t + 1,
f i (t ) = ⎨
⎩1,
если
если
xi = 0 ,
xi = 1
(4.8)
6) функциональные уравнения будут иметь вид для i = 1,12 и
t = 1,12 :
W12 (t ) =
⎧φ (t ),
⎨
x12 ∈{0 ,1}⎩ − p + φ ( 0 ),
max
если x12 = 0 ,
если x12 = 1
(4.9)
115
116
Рис. 4.1 – Организация данных и результат решения задачи «Оптимальная стратегия замена офисной техники»
Рис. 4.2 – Пример ввода формул программы MS Excel для расчета по
функциональным уравнениям (4.9), (4.10)
⎧φ i (t ) + W i + 1 (t + 1),
W i (t ) = max ⎨
x i ∈{0 ,1}⎩ − p + φ ( 0 ) + W i + 1 (1),
если
если
xi = 0 ,
xi = 1
(4.10)
7) управления определяются по следующим формулам:
⎧0, if φ (t ) > − p + φ (0)
⎪
x12 (t ) = ⎨1, if φ (t ) < − p + φ (0)
⎪0 / 1, if φ (t ) = − p + φ (0)
⎩
⎧0, if φ (t ) + Wi +1 (t + 1) > φ (0) − p + Wi +1 (1)
⎪
xi (t ) = ⎨1, if φ (t ) + Wi +1 (t + 1) < φ (0) − p + Wi +1 (1)
⎪0 / 1, if φ (t ) + W (t + 1) = φ (0) − p + W (1)
i +1
i +1
⎩
(4.11)
(4.12)
Этап условной оптимизации начинается с 12 шага и осуществляется
на основании формул (4.2)–(4.12). Результаты данного этапа могут быть
рассчитаны с помощью программы MS Excel и оформлены в виде таблицы
(рис. 4.2).
Следующий этап – безусловная оптимизация. Он начинается с первого шага. Предположим, что на первом шаге i = 1 имеется новое оборудование, возраст
которого 0 лет. Для t = t1 = 0 оптимальный выигрыш равен W1 (0) = 108 , которому соответствует безусловное оптимальное управление x1 (0) = 0 . Экономически оптимальный выигрыш W1 (0) = 108 – соответствует максимальной прибыли
от использования новой техники в течении 12 лет: W * = W1 (0) = 108 .
Для i = 2 по формуле (4.8) получим f 2 (t ) = t1 + 1 = 0 + 1 = 1 . Безусловное оптимальное управление на втором шаге (в начале второго года
117
эксплуатации техники) – не осуществлять замену офисной техники, возраст которой составляет 1 год: x2 (1) = 0 .
Тогда для i = 3 по формуле (4.8) получим f 3 (t ) = t 2 + 1 = 1 + 1 = 2 .
Безусловное оптимальное управление на втором шаге (в начале второго
года эксплуатации техники) – не осуществлять замену офисной техники,
возраст которой составляет 2 года: x3 (2) = 0 . Результаты безусловной оптимизации на всех шагах принятия решений сведены в табл. 4.2.
На рис. 4.2 ячейки содержащие, управления, составляющие оптимальную стратегию управления x* = (0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0) , выделены заливкой. В
данной задаче оптимальная стратегия заключается в замене офисной техники
после 4 лет эксплуатации. При этом будет получена максимальная прибыль от
использования офисной техники в течении 12 лет: W * = W1 (0) = 108 .
Таблица 4.2
Расчеты для этапа безусловной оптимизации
№ шага
Состояние
i =1
i=2
i=3
i=4
i=5
i=6
i=7
i =8
i=9
i = 10
i = 11
i = 12
W1 (0) = 108
f 2 (t ) = t1 + 1 = 0 + 1 = 1
f 3 (t ) = t 2 + 1 = 1 + 1 = 2
f 4 (t ) = t 3 + 1 = 2 + 1 = 3
f 5 (t ) = t 4 + 1 = 3 + 1 = 4
f 6 (t ) = 1
f 7 (t ) = t 6 + 1 = 1 + 1 = 2
f 8 (t ) = t 7 + 1 = 1 + 2 = 3
f 9 (t ) = t8 + 1 = 3 + 1 = 4
f10 (t ) = 1
f11 (t ) = t10 + 1 = 2 + 1 = 2
f12 (t ) = t11 + 1 = 2 + 1 = 3
Безусловное оптимальное управление
x1 (0) = 0
x2 (1) = 0
x3 ( 2) = 0
x4 (3) = 0
x5 ( 4) = 1
x6 (1) = 0
x7 (2) = 0
x8 (3) = 0
x9 ( 4) = 1
x10 (1) = 0
x11 (2) = 0
x12 (3) = 0
4.2. Финансовое планирование на предприятии. Распределение
капитальных вложений в расширение предприятий компании
Руководство компании планирует вложить ресурсы (материалы, оборудование, трудовые ресурсы и т.д.), которые в стоимостном выражении имеют
объем 250 тыс. грн в расширение производства на четырех предприятиях компании. Требуется так распределить имеющиеся ресурсы между четырьмя предприятиями компании, таким образом, чтобы доход (прибыль), полученный от
вложенных средств, был максимальным. Функции f k ( xk ), k = 1,4 , отражающие
доход, который дает k -е предприятие при вложении в него xk грн
118
{
}
( xk ∈ x j , j = 1,6 ) капиталовложений представлена в таблице (для простоты
будем считать объемы капиталовложений кратными 1 000).
Математическая модель задачи о распределении капитальных вложений:
W = f1 ( x1 ) + f 2 ( x2 ) + f 3 ( x3 ) + f 4 ( x4 ) → max
x k , k =1, 4
при ограничениях:
x1 + x 2 + x3 + x 4 = 250000 ,
xk ∈ x j , j = 1,6 , k = 1,4 .
{
}
Таблица 4.3
Функции дохода предприятий
xj
0
50
100
150
200
250
f1 ( x j )
0
12
18
30
38
45
f2 (x j )
0
20
32
48
60
78
f3 ( x j )
0
25
42
56
74
78
f4 (x j )
0
18
35
43
67
92
В качестве управляемого процесса выступает процесс распределения
капитальных вложений между k предприятиями, а в качестве системы S –
предприятия компании.
1. Определение числа шагов. Число шагов равно количеству предприятий – K = 4 , между которыми распределяются средства.
2. Определение состояний системы. Состояние системы характеризуется
ξ k – количеством гривен (средств), выделяемых первым k предприятиям. Фазовое пространство в этом случае: Ω k = {ξ k : 0 ≤ ξ k ≤ 250000}.
3. Определение управлений. Под управлением подразумевается вы-
{
}
деление xk грн ( xk ∈ x j , j = 1,6 ) k -му предприятию: U k = xk .
4. Определение функции выигрыша на k -м шаге. Выигрыш на k -м
шаге – это функция дохода на k -м предприятии: f k ( xk ), k = 1,4 .
5. Определение функции изменения состояния: S k = ξ k − xk .
6. Определение функционального уравнения для i = k .
Wk (ξ ) = max
0 ≤ x k ≤ξ
{ f k ( xk )}
(4.13)
7. Определение основного функционального уравнения для определения выигрыша для условно-оптимальных управлений.
119
Wk (ξ ) = max
0 ≤ x k ≤ξ
{ f k ( xk ) + Wk −1 (ξ − xk )}
(4.14)
На рисунках 4.3, 4.4 показан пример задания формулы (4.14) в программе MS Excel для определения выигрыша W4 (ξ 5 = 250) условнооптимального управления x4 (ξ 5 ) .
⎧ f 4 (0) + w3 (250),
⎪ f (50) + w (200),
3
⎪ 4
⎪⎪ f 4 (100) + w3 (150),
W4 (ξ5 = 250) = max ⎨
⎪ f 4 (150) + w3 (100),
⎪ f 4 (200) + w3 (50),
⎪
⎪⎩ f 4 (250) + w3 (0).
Рис. 4.3 – Решение задачи динамического программирования
«О распределении капитальных вложений»
8. Определение условно-оптимальных управлений.
Так как функция дохода f1 ( x1 ) неубывающая то условно-оптимальные управления на первом шаге определяются по формуле: x1 (ξ ) = ξ .
На следующих шагах k = 2,3,4 условно-оптимальные управления определяются по формулам:
xk (ξ1 = 0) = 0
120
(4.15)
⎧⎪0, if f (0) + w (ξ − 0) > f ( x 2 ) + w (ξ − x 2 ),
k
k −1 2
k
k −1 2
xk (ξ 2 ) = ⎨
⎪⎩ x 2 , else
(4.16)
где ξ 2 = 50,
x1 = 0,
x 2 = 50 .
На рисунке 4.3 показан пример задания формулы (4.17) для определения условно-оптимального управления x4 (ξ 3 ) .
Рис. 4.4 – Пример ввода формул программы MS Excel для расчета по
функциональным уравнениям (4.13), (4.14)
⎧0, ( f (0) + w (ξ − 0) > f ( x 2 ) + w (ξ − x 2 )) ∧
k
k −1 3
k
k −1 3
⎪
⎪∧ ( f k (0) + wk −1 (ξ 3 − 0) > f k ( x 3 ) + wk −1 (ξ 3 − x 3 )),
⎪
⎪
xk (ξ 3 ) = ⎨ x 2 , ( f k ( x 2 ) + wk −1 (ξ 3 − x 2 ) > f k ( x1 ) + wk −1 (ξ 3 − x1 )) ∧
⎪
2
2
3
3
⎪∧ ( f k ( x ) + wk −1 (ξ 3 − x ) > f k ( x ) + wk −1 (ξ 3 − x )),
⎪ 3
⎪⎩ x , else
где ξ 3 = 100,
x1 = 0,
x 2 = 50,
(4.17)
x 3 = 100 . И т.д.
Так как предприятиям дается ресурсов на 250 тыс. грн, поэтому для
получения максимальной прибыли нужно рассматривать только эту величину. Величина 250000 грн. характеризует конечное состояние системы.
Этот условный оптимальный выигрыш является и безусловным выигрышем для системы. Другими словами, распределив оптимальным образом
121
средства в размере 250 тыс. грн между четырьмя предприятиями компания
получит доход в размере 97 000 000.
Найдем теперь безусловное оптимальное управление, зная, что четвертому предприятию будет выделено u *4 = x*4 = 100 тыс. грн (на рис 4.3 безусловные оптимальные управления выделены заливкой). Тогда трем остальным
предприятиям будет выделено средств ξ = 250 − 100 = 150 тыс. грн.
По таблице на рис. 4.4 находим, что третьему предприятию в этом
случае надо выделить 100000 грн u 3* = x3* = 100 тыс. грн.
Тогда двум первым предприятиям будет выделено средств: 250–100–
100= = 50 (тыс. грн).
По таблице на рис. 4.3 находим, что второму предприятию будет выделено 50 тыс. грн, т.е. u *2 = x2* = 50 тыс. грн. Тогда первому предприятию
средств не будет выделено: u1* = x1* = 0 .
Безусловное оптимальное управление примет вид:
U * = (u1* , u 2* , u3* , u *4 ) = (100000, 100000, 50000, 0) при котором будет
получен максимально возможный выигрыш Wmax (U * ) = 97 000 000 грн.
Ответ: Wmax (U * ) = 97 000 000 грн., U * = (100000, 100000, 50000, 0) .
Замечание 1. При решении задачи нет необходимости находить все
условно-оптимальные управления (формулы (4.15)–(4.17)) на первом этапе. Пос-ле определения безусловного оптимального решения достаточно
определить соответствующие им безусловные оптимальные управления на
каждом шаге.
Замечание 2. Формулы (4.15)–(4.17) не учитывают случай, когда условное оптимальное управление не единственное. Поэтому на втором этапе решения задачи, при определении безусловно оптимального решения,
необходимо открыть окно как на рис. 4.4 и проверить сколько раз достигается максимальное значение.
Кроме рассмотренных примеров задач замены оборудования и о распределении капитальных вложений метод динамического программирования применяется для решения задач нахождения кратчайшего пути на сетях, определения оптимальной структуры мероприятий по повышению
эффективности труда [13].
122
РАЗДЕЛ 5
ЗАДАЧИ АНАЛИЗА И ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОЕКТОВ
5.1. Методика моделирования проектов и модели их оптимизации
Проектом называют совокупность операций (заданий, работ), которые нужно выполнить для достижения поставленной цели за ограниченное
время при ограниченных материальных, людских и финансовых ресурсах.
При планировании и управлении проектами менеджерам приходится решать следующие задачи:
1) определять ожидаемое время завершения проекта;
2) возможные отклонения от ожидаемого времени завершения проекта;
3) сроки начала и окончания каждого из этапов, необходимых для
выполнения всего проекта в целом;
4) определять «критические» действия, т.е. те которые должны быть
закончены в точно указанное время, чтобы полностью выполнить требования проекта;
5) время, на которое может задержаться реализация некритических
работ без изменения запланированного срока окончания проекта;
6) как распределить имеющиеся или привлечь дополнительные ресурсы на выполнение работ, что бы ускорить завершение проекта;
7) какие виды контроля и экспертизы необходимо предпринять, чтобы общий бюджет проекта не был превышен.
Сложные проекты могут содержать тысячи работ, требующих различных временных и ресурсных затрат. Также данные работы могут удовлетворять различным условиям относительно последовательности их выполнения: одни работы могут выполняться в строгой последовательности,
другие могут выполняться параллельно. Поэтому управление сложными
проектами затруднительно эффективно организовать без применения специальных методов их количественного анализа и программных средств для
расчета характеристик проектов.
Решение перечисленных выше задач основано на методе сетевого
планирования и управления. Система сетевого планирования и управления
(СПУ) – это разновидность систем организационного управления, предназначена для управления производственной деятельностью предприятия.
Основой метода является сетевой график.
Основные понятия и определения теории сетевого планирования
и управления.
Сетевой график – информационно-динамическая модель, в которой
отражены взаимосвязи и результаты всех работ, необходимых для достижения конечной цели.
Сетевой график содержит два элемента – работу и событие.
Работами в сетевом графике называются целенаправленные действия, процессы, приводящие к определенным результатам (событиям).
123
Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ.
Для моделирования сетевого графика может использоваться ориентированный граф [13].
Сеть – область графа, ограниченная несколькими точками, некоторые из которых не имеют входящих или выходящих дуг.
Сетевая модель – сеть, моделирующая определенный процесс.
Путь – это любая последовательность работ, в которой начало каждой последующей работы совпадает с концом предыдущей.
Критический путь – путь от исходного события до завершающего,
имеющего наибольшую продолжительность.
События и работы, принадлежащие критическому пути, называются
критическими. Суммарное время выполнения работ критического пути называется критическим временем.
Для графического представления информации о проекте также может использоваться Диаграмма Ганта [13].
В настоящее время существует две взаимосвязанные методики количественного анализа проектов – метод критического пути или CPM метод
(английская аббревиатура Critical Path Method) и метод анализа и обзора
проекта или PERT – метод (английская аббревиатура Program Evaluation
and Review Technique), включающий вероятностные аспекты, связанные с
неопределенностью в длительностях отдельных стадий проекта.
Метод критического пути заключается в определении различных
временных характеристик сети, которая моделирует тот или иной процесс,
а также определения критических работ, с целью их последующего анализа и оптимизации.
Введем обозначения основных временных характеристик сетевого
графика:
i( j ) – индексы события,
tij – продолжительность операции от события i до события j ,
ti – ранний срок наступления события,
t i* – поздний срок наступления события,
t kr – продолжительность критического пути,
Ri – резерв времени события,
t ijrn – ранний срок начала выполнения операции,
t ijpn – поздний срок начала выполнения операции,
t ijro – ранний срок окончания выполнения операции,
t ijpo – поздний срок окончания выполнения операции,
Rijp – полный резерв времени операции,
Rijs – свободный резерв времени операции,
124
Rij(1) – частный резерв времени первого порядка,
Rij( 2) – частный резерв времени второго порядка.
Определение временных параметров сетевого графика.
Ранние сроки свершения событий определяются по формулам:
t1 = 0 , t j = max {t i + t ij }, j = 2, n
(i , j ) j
(5.1)
где (i, j ) j – работы сети, входящие в событие j.
Критический путь можно найти, рассчитав продолжительности всех
полных путей и выбрав из них наиболее длинный.
Поздние сроки наступления событий определяется по формулам:
{
}
t n* = t n , t i* = max t *j − t ij , i = 1, n − 1 ,
i ≺( i , j )
(5.2)
где i ≺ (i, j ) – работы сети, исходящие из события i.
Резерв времени, который имеют некритические события, находится
как разница между поздним и ранним сроком наступления события:
Ri = t i* − t i
(5.3)
Ранний срок начала выполнения работы (i, j ) равен ожидаемому
сроку свершения ее начального события:
t ijrn = t i
(5.4)
Ранний срок окончания работы (i, j ) равен сумме ожидаемого срока
свершения ее начального события и продолжительности операции:
t ijro = t ijrn + t ij
(5.5)
Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком наступления конечного события операции (i, j ) :
t ijpo = t *j
(5.6)
Поздний срок начала работы (i, j ) равен разности между поздним
сроком наступления ее конечного события и продолжительностью:
125
t ijpn = t ijpo − t ij
(5.7)
Полный резерв времени показывает, на сколько единиц времени
можно отложить начало выполнения операции (i, j ) или увеличить ее продолжительность, не изменяя раннего срока свершения начального события
при условии, что конечное для данной операции событие свершится не
позднее своего позднего срока и определяется по формуле:
R p = t *j − (t i + t ij )
ij
(5.8)
Свободный резерв времени показывает, на сколько единиц времени
можно увеличить продолжительность операции (i, j ) или отложить начало
ее выполнения при условии, что начальное и конечное для данной операции события свершатся в ранние сроки и определяется по формуле:
R ijs = t j − (t i + t ij )
(5.9)
Частный резерв времени первого порядка – это запас времени, которым можно располагать при выполнении операции (i, j ) , если предположить, что начальное и конечное события свершаются в поздние сроки:
R (1) = t *j − (t i* + t ij )
ij
(5.10)
Частный резерв времени второго порядка – это запас времени, которым можно располагать при выполнении операции (i, j ) , если предположить, что начальное событие свершится в поздний срок, а конечное событие - в ранний срок:
R ( 2) = max(t j − t i* − t ij ; 0)
ij
(5.11)
Типовые модели оптимизации проектов.
1. Нахождение критического пути.
Математическая модель задачи нахождения критического пути имеет вид:
Z = min( xn − x1 ) ,
xj
где x j , j = 1, n – поздний срок свершения события j.
126
(5.12)
При ограничениях:
x j ≥ xi + t ij
(5.13)
x j ≥ 0 , j = 1, n
(5.14)
Целевая функция Z – продолжительность критического пути.
Условие (5.13) отражает связь между сроками свершения начального
и конечного события.
2. Оптимизация комплекса операций по времени с привлечением дополнительных средств.
Требуется определить сроки начала t ijn и окончания t ijo выполнения
операций и дополнительное количество средств xij вкладываемых в каждую операцию (i, j ) , чтобы минимизировать общее время выполнения работ при условии, что задан лимит B дополнительных средств, и время выполнения каждой операции не может быть меньше некоторого d ij .
t kr ⎯t⎯,⎯
→ min
x
(5.15)
∑ xij ≤ B
(5.16)
ij ij
(i , j )∈e
t ijo − t ijn ≥ d ij ,
∀(i, j ) ∈ e
(5.17)
f ij ( xij ) = t ijo − t ijn , ∀(i, j ) ∈ e
(5.18)
t ijn ≥ t ojr , ∀i, ∀j , ∀r ∈ E
(5.19)
t ijn ≥ 0 , t ijo ≥ 0 , xij ≥ 0 , ∀(i, j ) ∈ e ,
(5.20)
где e – множество ребер сетевой модели комплекса операций,
E – множество вершин сетевой модели комплекса операций,
f ij – функция продолжительности выполнения операции в зависимости
от вложенных средств.
3. Оптимизация комплекса операций по объему дополнительных
средств при ограничении по сроку выполнения всех операций.
Необходимо определить объемы дополнительных средств xij , вкладываемых в операции (i, j ) таким образом, что бы общие затраты этих
средств были минимальными при условии, что задан срок выполнения
всех операций T0 и время выполнения каждой операции (i, j ) не меньше
минимально допустимого времени d ij .
127
Z=
∑ xij
→ min
(i , j )∈e
(5.21)
tij , xij
t no−1,n ≤ T0
t ijo − t ijn ≥ d ij ,
∀(i, j ) ∈ e
f ij ( xij ) = t ijo − t ijn ,
t njr ≥ t ijo ,
(5.22)
(5.23)
∀(i, j ) ∈ e
∀i, ∀j , ∀r ∈ E
t ijn ≥ 0 , t ijo ≥ 0 , xij ≥ 0 ,
(5.24)
(5.25)
∀(i, j ) ∈ e ,
(5.26)
где e – множество ребер сетевой модели комплекса операций,
E – множество вершин сетевой модели комплекса операций,
f ij – функция продолжительности выполнения операции в зависимости
от вложенных средств.
4. Оптимизация комплекса операций по времени с перераспределением мобильных средств.
Пусть общая сумма мобильных средств (т.е. тех которые можно перераспределять между операциями) равна B. Для выполнения операции
(i, j ) выделено bij средств. Если с операции (i, j ) снять xij средств, то
время ее выполнения увеличится с t ij до t ij′ = φ ( xij ) > t ij . Если в операцию
(i, j ) вложить средства, xij то время ее выполнения сократится с t ij до
tij′′ = γ ( xij ) < < tij .
Необходимо перераспределить мобильные средства xij , вкладываемые в операции (i, j ) таким образом, чтобы минимизировать общее время
выполнения работ.
∑ tij′ + ∑ tij′′ → min
x
Z=
(i , j )∈µkr
(i , j )∈µkr
ij
t ij′ = φ ( xij )
(5.28)
tij′′ = γ ( xij )
(5.29)
∑
xij
( i , j )∈e
=0
xij ≤ bij , ∀(i, j ) ∈ e
∑
(i , j )∈e
xij ≤ B ,
где e – множество ребер сетевой модели комплекса операций,
E – множество вершин сетевой модели комплекса операций.
128
(5.27)
(5.30)
(5.31)
(5.32)
5.2. Анализ и планирование проекта «Реконструкция гостиницы» средствами программы MS Project
Программа MS Project 2003 позволяет решать задачи, перечисленные
в пункте 5.1. Для удобства будем использовать русифицированную версию
программы MS Project 2003. Основные возможности данной программы
рассмотрим на примере анализа проекта «Реконструкция гостиницы».
Проект содержит следующие основные этапы по подготовке и проведению
строительных работ (табл. 5.1). Каждое из перечисленных мероприятий
может рассматриваться как независимая стадия проекта, требующая собственных материальных, финансовых и людских ресурсов. Для каждой стадии может быть определена длительность проведения работ исходя из
имеющихся ресурсов. Будем предполагать, что эти длительности не подвержены «случайным вариациям», но могут быть уменьшены путем вложения дополнительных средств.
Таблица 5.1
Характеристики проекта «Реконструкция гостиницы»
Этап
Название
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Вывезти мебель и оборудование
Демонтаж окон
Демонтаж коммуникаций
Демонтаж напольных покрытий
Монтаж окон
Установка электропроводки
Подготовка стен для отделки
Выравнивание полов
Монтаж коммуникаций
Монтаж потолка
Отделка стен
Монтаж напольных покрытий
Монтаж дверей
Установка мебели и оборудования
Предшественник
A
A
A
A, B
E
F
E
E
E
G, H, I, J
K
L
M
Длительность, дни
10
15
12
6
18
15
12
8
27
20
10
12
22
15
Для ответа на первый вопрос (сформулированный в пункте 5.1), возникающий при анализе и планировании проекта – о длительности проекта
– необходимо учитывать не только длительность каждого этапа, но и возможность их параллельного выполнения. В табл. 5.1 в столбце «предшественник» указаны соотношения «предшественник-последователь» установленные для всех стадий, которые установлены менеджером проекта, основываясь на знаниях современных строительных технологий. После сбора
данной информации, можно использовать программу MS Project для анализа проекта (для ответа на вопросы 1–5 пункта 5.1).
129
Рис. 5.1 – Ввод данных проекта «Реконструкция гостиницы»
Вызовем MS Project и откроем пустой проект. В столбец «Имя задачи» в
левом окне введем обозначения этапов проекта, а в столбец «Длительность»
их наивероятнейшую продолжительность (рис. 5.1). Для того, чтобы ввести
информацию об этапах, предшествующих данному, нужно сделать двойной
щелчок на названии этапа. При этом появится диалоговое окно, в котором
можно вводить информацию об этапе (рис. 5.2). Далее нужно выбрать вкладку
«Предшественники» (рис. 5.3). При этом можно указать, начинается ли этап
сразу после окончания предшествующего или с некоторым запаздыванием. По
умолчанию последующий этап начинается так рано, как только возможно после окончания предыдущего. После того как все предшественники этапа указаны, нужно нажать кнопку «ОК» и затем вызвать такое же окно для другого
этапа. После того как все предшественники указаны, в правом окне получаем
диаграмму Ганта как на рис 5.4. После того как диаграмма построена, длительность проекта можно посмотреть, используя меню «Проект/Сведения о
проекте» и далее кнопка «Статистика» (рис. 5.5).
Рис. 5.2 – Ввод данных этапов проекта «Реконструкция гостиницы»
130
Рис. 5.3 – Ввод данных о предшественниках этапов проекта
«Реконструкция гостиницы»
Рис. 5.4 – Диаграмма Ганта проекта «Реконструкция гостиницы»
Рис. 5.5 – Получение данных о длительности проекта
«Реконструкция гостиницы»
131
Итак, ожидаемая продолжительность проекта «Реконструкция гостиницы» – 129 рабочих дней. Анализируя диаграмму Ганта можно заметить,
что не все стадии одинаково влияют на длительность выполнения проекта
и соответственно не все стадии нужно стремиться начинать и заканчивать
так рано, как только возможно (т.е. есть критические и некритические этапы проекта, см. определение в пункте 5.1). Для того, чтобы на диаграмме
Ганта отобразить критические этапы необходимо ее отредактировать. Для
этого в меню «Формат» нужно вызвать команду «Мастер диаграмм Ганта».
В появившемся диалоговом окне нужно нажать кнопку «Далее». В следующем окне (рис. 5.6) отметить кнопку-переключатель «критический
путь» и снова нажать кнопку «Далее». В новом окне удобно указать, чтобы
рядом с отрезком, изображающим этап, отображалось его название или
другие характеристики этапа (рис. 5.7–5.9).
Рис. 5.6 – Получение данных о критических этапах проекта
«Реконструкция гостиницы»
Рис. 5.7 – Форматирование диаграммы Ганта для проекта
«Реконструкция гостиницы» (1 шаг)
132
Рис. 5.8 – Форматирование диаграммы Ганта для проекта
«Реконструкция гостиницы» (2 шаг)
Рис. 5.9 – Форматирование диаграммы Ганта для проекта
«Реконструкция гостиницы» (3 шаг)
В результате перечисленных настроек исходная диаграмма Ганта
примет такой вид как на рис. 5.4. На этой диаграмме видно, что этапы C, D,
H, J не являются критическими, остальные этапы – критические и любое
изменение их длительности отразятся на изменении продолжительности
проекта в целом (по умолчанию критические этапы выделяются красным
светом).
Для визуализации критических путей лучше рассматривать сетевую
диаграмму проекта. Для этого нужно в меню «Вид» выбрать пункт «Сетевой график». Для того чтобы сетевой график принял вид, такой как на рис.
5.10, в меню формат выбрать пункт «Макет» и в большом диалоговом окне
отметить, чтобы связи между этапами отображались прямыми («Стиль линий связи») и что нужно скрыть все поля, кроме идентификатора («Параметры диаграммы»).
133
Рис. 5.10 – Сетевая диаграмма проекта «Реконструкция гостиницы»
По сетевой диаграмме видно, что есть три критических пути: (1,5,6,
7,11,12,13,14); (1,2,5,6,7,11,12,13,14); (1,5,9,11,12,13,14).
Для того чтобы получить информацию о временных резервах некритических стадий, необходимо выбрать пункт меню «Вид-Таблица» и в раскрывшемся списке выбрать таблицу виду «Календарный план». Чтобы раскрыть
нужные столбцы, границы окна таблицы нужно отодвинуть вправо (рис. 5.11).
Полученная таблица содержит столбцы с датами раннего и позднего старта и
финиша, и столбцы простой и общий простой (или свободный и полный резервы времени, определенные формулами 5.9, 5.10).
Рис. 5.11 – Получение информации о временных резервах проекта
«Реконструкция гостиницы»
134
Итак, мы рассмотрели, как с помощью программы MS Project получить ответы на первые пять вопросов, сформулированные в начале пункта
5.1. Для ответа на 6-ой необходимо решить оптимизационную задачу (5.15)
–(5.20) в случае привлечения дополнительных средств или задачу (5.27)–
(5.32) в случае перераспределения мобильных средств. Для ответа на 7-ой
вопрос можно использовать решение задачи (5.21)–(5.26).
Рассмотрим, как решаются перечисленные задачи с помощью программы MS Project на конкретных примерах в следующих пунктах.
5.3. Управление проектами на предприятии. Анализ и оптимизация проекта «Разработка и внедрение нового вида продукта»
Менеджер проекта «Разработка и внедрение нового вида продукта» разбил его на основные этапы и исходя из известных норм трудозатрат и тарифов,
рассчитал сроки и затраты для каждого этапа в двух случаях: без использования сверхурочных работ и в случае максимально возможного их использования. Руководство предприятия требует завершить проект за 7 недель.
1. Возможно, ли выполнить требование руководства по срокам? Какие минимальные затраты при этом необходимы?
2. Какова минимальная длительность проекта при условии, что бюджет проекта не может превышать 7000 у.е.?
Таблица 5.2
Характеристики проекта «Разработка и внедрение
нового вида продукта»
Этап
Предшественник
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
A
D
B, D
E
D
Нормальные
Длительность,
дни
Издержки,
у.е
12
6
6
4
14
16
16
6
120
40
50
100
100
200
120
10
Со сверхурочными
работами
Длительность, Издержки,
дни
у.е
8
4
6
3
8
10
9
4
220
100
100
120
190
320
260
20
Решение. Начнем с создания проекта «Разработка и внедрение нового
вида продукта» в MS Project. Для этого внесем из табл. 5.2 данные об этапах
проекта: название, нормальная длительность и предшественники. Также отформатируем диаграмму Ганта для того, чтобы отобразить критический путь.
В результате получим диаграмму Ганта в таком виде как на рис. 5.12. По этой
диаграмме видим, что этапы A, D, E, G являются критическими. Для того что135
бы определить критические пути рассмотрим сетевую диаграмму (рис. 5.13,
как получит сетевую диаграмму описано в пункте 5.2).
Рис. 5.12 – Ввод данных и диаграмма Ганта проекта
«Разработка и внедрение нового вида продукта»
Рис. 5.13 – Сетевая диаграмма проекта «Разработка и внедрение
нового вида продукта»
По сетевой диаграмме видно, что критический путь только один
ADEG. Вызвав меню Проект → Сведения о проекте → Статистика…
можно установить, что длительность проекта при нормальной продолжительности всех стадий составляет 46 рабочих дней или 9 недель и 1 день (5
рабочих дней в неделе).
По условию задачи длительность проекта можно сократить только за
счет сверхурочных работ. Для расчета стоимости сокращенного проекта
определим стоимость сверхурочных работ (табл. 5.3).
Для введения данных в MS Project о нормальной стоимости и стоимости сверхурочных работ проекта сначала зададим ресурсы для каждой
стадии. Назовем их также как и этапы, но малыми буквами. Для этого вызовем диалоговое окно «Сведения о задаче» (вызывается двойным щелчком левой кнопки мыши по названию ресурса), на вкладке «Ресурсы». После ввода ресурсов нужно щелкнуть меню Окно → Разделить.
136
Рис. 5.14 – Получение данных о длительности проекта
«Разработка и внедрение нового вида продукта»
В результате в нижней части экрана откроется окно «Ресурсы и
предшественники», в котором нужно двойным щелчком вызвать контекстное меню и выбрать окно трудозатраты ресурсов (рис. 5.15).
Таблица 5.3
Характеристики проекта «Разработка и внедрение нового вида
продукта»
Нормальные
Эта
п
Со сверхурочными
работами
ДлительИздержность,
ки, у.е
дни
8
220
Нормальные издержки,
у.е./день
Цена
сферхурочных
Рост
цены
10,00
35,00
25,00
Длительность, дни
Издержки, у.е
A
12
120
B
6
40
4
10
6,67
36,67
30,00
C
D
E
F
G
H
6
4
14
16
16
6
50
100
100
200
120
10
6
3
8
10
9
4
10
120
190
320
260
20
8,33
25,00
7,14
12,50
7,50
1,67
--45,00
22,14
32,50
27,50
6,67
--20,00
15,00
20,00
20,00
5,00
137
Рис. 5.15 – Ввод данных о ресурсах проекта «Разработка
и внедрение нового вида продукта» (1 шаг)
В этом окне можно задавать сверхурочную работу в соответствующем столбце. Но сначала нужно задать стоимости ресурсов. Двойной щелчок левой кнопкой мыши по названию ресурса вызовет диалоговое окно
«Сведения о ресурсе» (рис. 5.16). На вкладке «Расходы» этого окна можно
задать стоимости нормальной работы («Стандартная ставка») и стоимости
сверхурочных («Ставка сверхурочных»). После того как все данные о
стоимости ресурсов введены, можно снова посмотреть статистику проекта
(рис. 5.17). Там теперь отображается информация о стоимости проекта при
нормальной продолжительности всех стадий – 5 919,84 у.е. После ввода
данных о назначении сверхурочных работ эти данные будут автоматически
пересчитываться.
Рис. 5.16 – Ввод данных о ресурсах проекта «Разработка
и внедрение нового вида продукта» (2 шаг)
138
Рис. 5.17 – Получение данных о длительности и затратах проекта
«Разработка и внедрение нового вида продукта»
Идея метода определения минимальной стоимости при заданной
продолжительности (7 недель или 35 рабочих дней) состоит в том, что бы
проводить сокращение длительности критических этапов на 1 единицу за
один шаг. При этом на каждом этапе нужно выбирать стадию, сокращение
которой стоит дешевле остальных критических стадий. Сокращение критической стадии сразу на две и более единиц может привести к тому, что
мы не получим оптимальное решение, так как можем пропустить шаг после которого критическая стадия стала не критической и ее сокращение
приведет к бесполезным затратам материальных ресурсов.
Итак, по таблице 5.3 определим, что самая дешевая для сокращения
критическая стадия – E. Отметим также, что ее можно сократить не более чем
до 8 рабочих дней. Отображение данных о ресурсах проекта до начала сокращения проекта показано на рис. 5.18. Результаты пошагового сокращения
приведены в таблице 5.4. Анализируя эти результаты, видим, что стадию E
пришлось сократить на максимально возможный срок – на 6 рабочих дней,
после чего она так и осталась критической. Затем была сокращена стадия D
также на максимально возможный срок – на 1 рабочий день.
На 8-ом шаге, после сокращения стадии G на 1 один день была достигнута минимальная длительность проекта при бюджете 7000 у.е. – 38 рабочих дней (ответ на второй вопрос задачи). На 11 – ом шаге была достигнута длительность проекта – 35 рабочих дней (7 недель) при этом минимальные расходы составили 7 439,84 у.е. (ответ на первый вопрос задачи).
Также отметим, что с первого по 11-ый шаг сокращения проекта критический путь не менялся, а после 12 и 13 шага он изменился, что отражено на
сетевых диаграммах (рис. 5.20, 5.21).
139
Рис. 5.18 – Отображение данных о ресурсах проекта
«Разработка и внедрение нового вида продукта»
Рис. 5.19 – Отображение данных проекта «Разработка и внедрение
нового вида продукта» на 11 шаге сокращения длительности
Рис. 5.20 – Сетевая диаграмма проекта «Разработка и внедрение
нового вида продукта» после 12 шага сокращения длительности
140
Таблица 5.4.
Результаты сокращения проекта «Разработка и внедрение
нового вида продукта»
Шаг
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Сокращаемая
стадия
E
E
E
E
E
E
D
G
G
G
G
G
G
Продолжительность
стадии
проекта
13
45
12
44
11
43
10
42
9
41
8
40
3
39
15
38
14
37
13
36
12
35
11
34
10
34
Затраты
6 039,84 у.е.
6 159,84 у.е.
6 279,84 у.е.
6 339,84 у.е.
6 519,84 у.е.
6 639,84 у.е.
6 799,84 у.е.
6 959,84 у.е.
7 119,84 у.е.
7 279,84 у.е
7 439,84 у.е
7 599,84 у.е
7 759,84 у.е
Рис. 5.21 – Сетевая диаграмма проекта «Разработка и внедрение
нового вида продукта» после 13 шага сокращения длительности
Отметим также, что на 13-ом шаге сокращение критической стадии не
приводит к сокращению длительности всего проекта, так как на данном этапе
имеется уже два критических пути (1-2-6) и (1-4-5-7) (рис.5.20). Путь (1-4-6)
не является критическим, так как его длина составляет 12+3+16=31 день, что
меньше 34 дней – длины вышеперечисленных критических путей.
Таким образом, делаем вывод, что проект может быть завершен за 7
недель и при этом минимальные затраты составят 7 439,84 у.е. Если же
бюджет проекта ограничен суммой в 7000 у.е., то его минимально возможная длительность 38 рабочих дней.
141
РАЗДЕЛ 6
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ТОВАРНЫМИ ЗАПАСАМИ
6.1. Общие положения функционирования системы регулирования товарных запасов
Рассмотрим следующую однотоварную задачу оптимизации [64].
Пусть имеются данные о поставках некоторого товара на склад, спросе на
данный товар, издержках и условиях его хранения. В качестве единицы
измерения времени выберем день. Предположим, что к концу (t − 1) -го дня
на складе имеется запас в количестве xt −1 единиц. Руководствуясь спросом,
сделана заявка на пополнение запаса товара объёмом ht единиц. Следовательно, запас товара на начало t -го дня будет составлять xt −1 + ht единиц.
Пусть потребители нуждаются в St единицах товара, причём этот
объём был зафиксирован в договорах на поставку. Рассмотрим следующую
картину развития событий.
Ситуация 1. Если xt −1 + ht ≥ St , то потребители будут удовлетворены
полностью, а остаток xt = xt −1 + ht − St переходит на следующий (t + 1) -й
день. Пусть c грн/ед. – это стоимость хранения единицы товара за один
день. Тогда издержки по хранению запаса прямо пропорциональны объёму
и составляют cxt = c( xt −1 + ht − St ) .
Ситуация 2. Если же потребители не могут быть удовлетворены в
полном объёме, т.е. xt −1 + ht < St , тогда по отношению к складу применяются штрафные санкции. Обозначим через k грн/ед. размер компенсации за
недопоставку единицы товара за один день. Поэтому размер штрафа, который должен выплатить склад за t -й день, составит k ( St − xt −1 − ht ) =
= −k ( xt −1 + ht − St ) .
Как видно, издержки склада ϕ грн в t -й день зависят от запаса xt −1 ,
его пополнения ht и объёма поставки St . Очевидно, что полные издержки
могут быть записаны в виде:
ϕ ( xt −1 , ht , St ) = max{c( xt −1 + ht − St ); −k ( xt −1 + ht − St )} .
Действительно, если имеет место ситуация 1, то число c( xt −1 + ht − St ) ≥ 0 ,
а число −k ( xt −1 + ht − St ) < 0 . Понятно, что максимальным будет неотрицательное число, т.е. ϕ ( xt −1 , ht , St ) = c( xt −1 + ht − St ) . При ситуации 2 – наоборот
c( xt −1 + ht − St ) < 0 , −k ( xt −1 + ht − St ) > 0 и ϕ ( xt −1 , ht , St ) = −k ( xt −1 + ht − St ) .
К концу t -го дня запас товара на складе может быть либо
xt = xt −1 + ht − St , либо xt = 0 . Поэтому будет справедливым соотношение:
142
xt = max{xt −1 + ht − St ;0}.
Если взглянуть на вопрос несколько шире и допустить возможность
того, что запас может принимать отрицательные значения. Ситуация xt < 0
означает дефицит товара и невозможность его поставки потребителю. С
точки зрения полных издержек имеем:
⎧cxt , xt > 0;
⎪
xt = 0;
ϕ ( xt ) = ⎨0,
⎪
⎩− kxt , xt < 0.
Предположим, что объём дневного спроса на товар St – некоторая
непрерывная случайная величина с заданной функцией распределения вероятностей
F ( s) = P{St < s} ,
плотность распределения которой является производной от функции распределения, т.е.
f ( s) = F / ( St ) .
Так как случайная величина St входит в функцию издержек, то сами
издержки ϕ ( xt −1 , ht , St ) тоже подразумеваются случайными. Введём понятие средних полных издержек склада по данному товару, которые зададим
математическим ожиданием M ϕ ( xt −1 , ht , St ) .
Требуется определить объём пополнения дневного запаса ht таким
образом, чтобы ожидаемые полные издержки были минимальными, т.е.
M ϕ ( xt −1 , ht , St ) → min .
Такая задача оптимального управления товарными запасами считается классической задачей маркетинга и её постановка приводится во многих источниках научной и учебной литературы [55].
Система регулирования товарных запасов. Предположение о том,
что в качестве дневного спроса на товар St можно рассматривать типичные
непрерывные случайные величины, на наш взгляд, является надуманным.
Действительно, если объёмы поставок потребителям оговорены в заключённых контрактах, то числовая величина St утрачивает случайный характер.
Однако полностью отказываться от стохастического подхода, не стоит. Например, какой-то из потребителей обанкротится или возникнет дру143
гая причина отказа от поставки. Подобные ситуации могут вносить элементы случайности в построенную модель. В научной статье [65] автор
данной главы рассматривал эти проблемы.
Наша задача – сформировать адекватную случайную величину, описывающую объём дневного спроса и найти оптимальный объём пополнения дневного запаса, минимизирующий издержки.
Допустим, что имеется выборка достаточного объёма n , которая содержит сведения об объёмах поставок S = {S1 , S2 ,..., Sn } . Найдём выборочные характеристики – выборочное среднее S , выборочную дисперсию
DB ( S ) и выборочное среднее квадратическое отклонение σ B ( S ) :
S=
1 n
1 n
,
(
)
( St − S ) 2 , σ B ( S ) = DB ( S ) .
S
D
S
=
∑
∑
t
B
n t =1
n t =1
Так как дневной спрос St в незначительной мере носит стохастический характер, то значения построенной случайной величины не должны
значительно отличаться от среднего показателя S . Обозначим через ∆
( ∆ > 0 ) отклонение случайной величины St от выборочного среднего S .
Имеет смысл рассмотреть вероятность следующего события:
P{ St − S < ∆} = P{S − ∆ < St < S + ∆} = P{St ∈ ( S − ∆; S + ∆)} .
В силу того, что отклонение не может быть значительным, вероятность данного события должна быть близка к единице, т.е.
P{ St − S < ∆} ≈ 1 .
Следовательно, нам нужно построить непрерывную случайную величину, значения которой в существенной мере концентрируются вокруг
S – статистической оценки математического ожидания MSt . Наиболее
подходящим является нормальное распределение [3, гл. 9].
Случайная величина ξ распределена нормально с параметрами a и
σ (условное обозначение ξ ∼ N (a,σ ) ), если её плотность распределения
вероятностей задаётся формулой
−
1
f ( x) =
e
σ 2π
144
( x − a )2
2σ 2
,
где параметр a равен математическому ожиданию, а параметр σ – среднему квадратическому отклонению: M ξ = а , Dξ = σ 2 . На графике (рис.
6.1) видно, что кривая плотности симметрична относительно прямой x = a .
Рис. 6.1 – График плотности нормального распределения вероятностей
В параграфе 10.2 учебного пособия [9] было доказано, что M S = a .
Поэтому будем полагать a ≈ S . Т.о. первый параметр нормального распределения a зафиксирован и осталось определиться с σ .
Учтём, что вероятность попадания значения непрерывной случайной
величины в заданный интервал вычисляется интегралом
S +∆
P{ St − S < ∆} =
∫
f ( s )ds ,
S −∆
который определяет площадь под кривой плотности (рис. 6.1). Понятно, что
+∞
∫
f ( s )ds = 1 .
−∞
Среди свойств нормального распределения (параграф 5.1 [9]) имеется следующее
⎛∆⎞
P{ St − S < ∆} = 2Φ ⎜ ⎟ ,
⎝σ ⎠
s
1
− x2 / 2
e
dx – интегральная функция Лапласа. Для этой функгде Φ ( s ) =
∫
2π 0
ции имеются подробные таблицы.
145
Итак, мы хотим, чтобы дневной спрос незначительно отличался от
среднего показателя. На практике часто рассматривают событие
St − S < σ , т.е. абсолютное отклонение не превзойдёт среднюю квадратическую характеристику. Оценим вероятность:
⎛σ
P{ St − S < σ } = 2Φ ⎜
⎝σ
⎞
⎟ = 2Φ (1) ≈ 0, 6826 .
⎠
Следовательно, абсолютное отклонение St − S может превысить σ
в 31,74% случаев. На рис. 6.2 – это не заштрихованная область под кривой
плотности.
Рис. 6.2 – Площадь не заштрихованной области 0,3174
Потеря такого количества случаев для нас не приемлема. Надо стремиться к тому, чтобы P{ St − S < ∆} ≈ 1 . Поэтому вспомним правило «трёх
сигм», изложенное в параграфе 5.1 учебного пособия [9]. Действительно,
для нормального распределения выполняется:
⎛ 3σ ⎞
P{ St − S < 3σ } = 2Φ ⎜
⎟ = 2Φ (3) ≈ 0,9974 .
⎝σ ⎠
Такое событие является практически достоверным, т.к. противоположное событие наступает в 0,26% случаев. Этого нам и хотелось бы.
Для того чтобы дневные объёмы поставок потребителям St практически утратили случайный характер, будем считать, что St ∼ N ( S ,σ B ( S ) / 3) . В
этом случае, оценивая вероятность важного с практической точки зрения события, получим:
146
⎛ σ (S ) ⎞
P{ St − S < σ B ( S )} = 2Φ ⎜ B
⎟ = 2Φ (3) ≈ 1.
σ
(
S
)
/
3
⎝ B
⎠
Чтобы показать преимущество построенного нормального распределения N ( S ,σ B ( S ) / 3) перед распределением N ( S ,σ B ( S )) , которое часто используют в учебной и научной литературе, приведём рис. 6.3. Более высокая кривая плотности соответствует N ( S ,σ B ( S ) / 3) , более низкая – N ( S ,σ B ( S )) .
Рис. 6.3 – Сопоставление двух нормальных распределений
Первая поставленная нами задача выполнена. Показано, что нормальное
распределение вероятностей с параметрами a = S и σ = σ B ( S ) / 3 адекватно
описывает поведение величины дневного спроса St .
Оптимальное управление объёмами товарных запасов. Приступим к решению второй задачи. Эта задача представляет собой задачу нахождения оптимального управления – объёма пополнения дневного запаса
ht . При этом ожидаемые полные издержки склада должны быть минимальными, т.е.
M ϕ ( xt −1 , ht , St ) → min .
Решение этой задачи известно (см., например, [38]). Введём обозначение для запаса товара на начало t -го дня: s = xt −1 + ht . Оптимальное значение этого показателя определяется из равенства:
F ( s0 ) =
k
.
c+k
147
Левая часть равенства – значение функции распределения. Правая
часть является характеристикой единицы товара за один день. Как видно,
речь идёт об отношении величины компенсации k за недопоставку к суммарной величине стоимости хранения c и компенсации k .
В силу того, что
0≤
k
≤ 1,
c+k
то эта дробь может играть роль вероятности:
P( St < s0 ) =
k
.
c+k
Напомним, что событие St < s0 означает, что дневной спрос St на товар будет меньше, чем оптимальный объём запаса на складе s0 . Как раз такая ситуация нас устраивает.
Функция распределения F ( s) близка к нормальной функции распределения N ( S ,σ B ( S ) / 3) . Согласно свойству нормального распределения
(см. параграф 5.1 учебного пособия [9]) получим:
⎛ s −S ⎞ 1
k
Φ⎜ 0
.
⎟+ =
σ
+
S
c
k
(
)
/
3
2
⎝ B
⎠
Откуда имеем:
⎛ s −S ⎞
1
k
Φ⎜ 0
− .
⎟=
⎝ σ B (S ) / 3 ⎠ c + k 2
k
1
− опреc+k 2
деляем аргумент z (на рис. 6.4 приведена графическая интерпретация).
Из уравнения
В таблицах функции Лапласа по значению функции
s0 − S
=z
σ B (S ) / 3
находим оптимальный объём запаса
s0 =
148
z ⋅ σ B ( S ) + 3S
.
3
Рис. 6.4 – Определение аргумента функции Лапласа
Зная запас товара xt −1 на конец (t − 1) -го дня, определяем для следующего t -го дня оптимальный объём пополнения дневного запаса:
⎧ s0 − xt −1 , xt −1 < s0 ;
ht (0) = ⎨
xt −1 ≥ s0 .
⎩0,
Применим разработанные методы в конкретных условиях.
6.2. Оптимальное управление объёмами товарных запасов на заводе холодильников
Завод в соответствии с договором реализует со склада холодильники.
Имеется долгосрочная статистика объёмов поставок, по которой оценены
выборочное среднее S = 50 шт. и выборочное среднее квадратическое отклонение σ B ( S ) = 15 шт. Средние издержки хранения одного холодильника
в день составляют c = 6 грн, а штраф за недопоставку одного холодильника
в день равен k = 14 грн. На конец текущего дня запас составляет в среднем
xt −1 = 4 шт.
Требуется определить оптимальный объём пополнения запаса холодильников ht (0) и минимальные ожидаемые полные издержки M ϕ ( xt −1 , ht , St ) .
Решение. С помощью приложений учебного пособия [9] по значению функции Лапласа
k
1
14
1
− =
− = 0,7 − 0,5 = 0,2
c + k 2 6 + 14 2
149
определяем аргумент z = 0,53 . Вычисляем оптимальный объём запаса:
s0 =
z ⋅ σ B ( S ) + 3S 0,53 ⋅ 15 + 3 ⋅ 50
=
= 52,65 .
3
3
Округлив до целого числа, получим s0 = 53 шт.
Так как xt −1 < s0 , то оптимальный объём пополнения дневного запаса:
ht (0) = s0 − xt −1 = 53 − 4 = 49 (шт.).
С учётом того, что
M ϕ ( xt −1 , ht , St ) = ϕ ( xt −1 , ht (0) , S ) ,
оценим минимальные ожидаемые полные издержки:
M ϕ ( xt −1 , ht , St ) = ϕ (4,49,50) = max{6(4 + 49 − 50); −14(4 + 49 − 50)} = 18 (грн).
1
k
− < 0 следует пользоваться нечётностью
c+k 2
функции Лапласа: Φ ( − y ) = −Φ ( y ) . В этом случае окажется, что z < 0 . ПоЗаметим, что при
этому будет выполняться неравенство s0 < S (в отличие от примера с холодильниками, когда s0 = 53 , а S = 50 ). Заметим также, что издержки
M ϕ ( xt −1 , ht , St ) = 18 грн образовались, т.к. 3 холодильника ( s0 − S = 3 ) остались на складе. По условию средние издержки хранения одного холодильника
в день составляют c = 6 грн. Поэтому общие издержки 6 ⋅ 3 = 18 грн. Если же
s0 < S , то s0 − S < 0 и число −( s0 − S ) – это количество недопоставленных
холодильников. Поэтому минимальные ожидаемые полные издержки образуются за счёт штрафных санкций, т.е. M ϕ ( xt −1 , ht , St ) = − k ( s0 − S ) .
Рассмотрение примера окончено.
Подведём итоги. В данном параграфе предложена модель, которая
адекватно описывает поведение величины дневного спроса на товар, отгружаемый со склада. Выведены формулы для нахождения оптимального
объёма запаса товара на складе, объёма пополнения дневного запаса, которые минимизируют ожидаемые полные издержки. Подробно изложена методика применения полученных формул.
150
6.3. Общие положения регулирования объёмами поставок
Пусть имеется склад, на котором хранятся товарные запасы. Запасы
расходуются на снабжение потребителей. В реальной жизни работа склада
сопровождается множеством отклонений от идеального режима. Например, заказана партия одного объёма, а прибыла партия другого. Или, партия товара должна прибыть через неделю, а она пришла через десять дней.
Или, разгрузка партии длилась вдвое дольше обычного.
Таким образом учесть возможные отклонения сложно. Поэтому рассмотрим модель работы склада при следующих допущениях.
1. Расходования запасов со склада осуществляется с постоянной скоростью M (единиц товарных запасов в единицу времени).
2. Объём партии пополнения Q является постоянной величиной
(система управления с фиксированным размером заказа).
3. Время разгрузки прибывшей партии не влияет на работу склада.
Например, разгрузка осуществляется в ночное время.
4. Время ∆t от принятия решения о пополнении до прихода заказанной партии есть величина постоянная. Если нужно, чтобы партия товара
пришла в момент времени t , то её следует заказать в момент времени
t − ∆t .
5. Обозначим через T время между двумя последовательными поставками. Т.к. на складе не происходит систематического накопления или
перерасхода запасов, то Q = M ⋅ T . Т.о. работа склада происходит одинаковыми циклами длительностью T и за время цикла величина запаса изменяется от максимального уровня S до минимального уровня s, т.е.
S − Q = s или S − M ⋅ T = s .
6. С точки зрения уменьшения издержек склада на хранение можно
предположить, что s = 0 . Следовательно, S − Q = 0 , и зависимость величины
запасов y от времени t может быть представлена графически (рис. 6.5).
y
t
Рис. 6.5 – График идеальной работы склада
151
Эффективность работы склада оценивается по его затратам на пополнение запасов и их хранение. Расходы, не зависящие от объёма партии,
называют накладными. К им относятся почтово-телеграфные, командировочные, некоторая часть транспортных и др. расходы. Накладные расходы
обозначим через K .
Издержки хранения запасов будем считать пропорциональными величине хранящихся запасов и времени их хранения. Издержки на хранение
одной единицы запасов в течение одной единицы времени назовём величиной удельных издержек хранения и обозначим через h.
Q
Среднее значение величины запасов составляет
. Затраты склада
2
Z за время T при размере партии пополнения Q оценивают следующим
образом:
ZT (Q) = K + h ⋅ T ⋅
Q
.
2
Величина затрат на пополнение и хранение запасов в единицу времени составит:
Z1 (Q ) =
Z T (Q ) K
Q
K
Q K ⋅M
Q
= + h⋅ =
+ h⋅ =
+ h⋅ .
T
T
2 (Q / M )
2
Q
2
Наша цель – определить такой объём партии пополнения Q , чтобы
затраты Z1 (Q) были минимальными.
6.4. Задача об экономически выгодных размерах заказа на складе
цемента
Для решения поставленной задачи применим необходимое и достаточное условие экстремума. Найдём производную функции:
[ Z1 (Q)]Q
/
/
⎡K ⋅M
Q⎤
K ⋅M h
=⎢
+ h⋅ ⎥ = −
+ .
2 ⎦Q
2
Q2
⎣ Q
Приравняем производную к нулю и найдём стационарную точку
функции. Учтём тот факт, что величина Q не может быть отрицательной:
−
152
K ⋅M h
+ = 0,
2
Q2
Q* =
2 KM
.
h
Если Q * является точкой минимума, то график функции в этой точке
должен быть выпуклым вниз. Следовательно, вторая производная в этой
точке должна быть положительной. Действительно,
[ Z1 (Q)]Q
//
/
⎡ K ⋅M h⎤
2 KM
= ⎢−
+
=
> 0,
2
2 ⎥⎦ Q
Q3
⎣ Q
причём вторая производная положительна не только в точке Q*, но и на всей
области определения. Т.о. график функции y = Z1 (Q) везде выпуклый вниз.
Рассчитаем минимальные затраты:
Z1min
= Z1 (Q*) =
K 2M 2
h
h 2 2 KM
⋅
+
⋅
=
1
2 KM
4
h
KMh
KMh
.
+
2
2
В последнем соотношении возникли два одинаковых слагаемых. Т.е.
при оптимальном размере заказа Q * издержки хранения запаса в единицу
Q
K ⋅M
времени h ⋅ равны накладным расходам
. При этом общие затраты
2
Q
на пополнение и хранение запасов в единицу времени составят
Z1min = 2 KMh .
Рассмотрим на графике функции от переменной Q , т.е. y = f (Q) . ТоQ
K ⋅M
гда прямая y = h ⋅
пересекается с гиперболой y =
в точке с абс2
Q
циссой Q * , которая даёт точку минимума для кривой y = Z1 (Q) (рис. 6.6).
153
Рис. 6.6 – Иллюстрация к задаче о размере заказа
Формулу для оптимального размера заказа
Q* =
2 KM
h
называют формулой Уилсона (R.H. Wilson – английский экономист). Появление формулы относят к началу XX столетия.
Q*
Ясно, что оптимальный средний уровень запаса составит Q* =
.
2
Q*
Оптимальная периодичность пополнения запасов будет T * =
. Для расM
чёта оптимальных средних издержек хранения запасов в единицу времени
используют формулу H 1 = h ⋅ Q *.
Рассмотрим практическую задачу.
Пример. На склад доставляют цемент партиями по 1200 т. В сутки со
склада потребители забирают 40 т. цемента. Накладные расходы по доставке партии цемента равны 4000 грн. Издержки хранения 1 т. цемента в течение суток составляют 0,2 грн.
Требуется определить: 1) длительность цикла, среднесуточные накладные расходы и среднесуточные издержки хранения; 2) оптимальный
размер заказываемой партии и расчётные характеристики работы склада в
оптимальном режиме.
Решение. В условии даны следующие параметры работы склада:
объём партии пополнения Q = 1200 т; скорость расходования запасов
M = 40 т/сут.; накладные расходы доставки K = 4000 грн; удельные издержки хранения h = 0,2 грн/сут.
1. Длительность цикла составляет:
T=
Q 1200
=
= 30 сут.
M
40
Среднесуточные накладные расходы:
K 4000
=
≈ 133 грн/сут.
T
30
Среднесрочные издержки хранения:
154
h⋅
Q
1200
= 0,2 ⋅
= 120 грн/сут.
2
2
2. По формуле Уилсона найдём оптимальный размер заказа
2 KM
2 ⋅ 4000 ⋅ 40
Q* =
=
≈ 1265 т.
h
0, 2
Q*
= 632,5 т.
2
Q * 1265
=
≈ 32 сут.
Оптимальная периодичность пополнения запасов: T * =
M
40
Оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени составят H 1 = h ⋅ Q* = 0, 2 ⋅ 632,5 = 126,5 грн/сут.
Рассмотрение примера окончено.
Оптимальный средний уровень запаса составит Q* =
155
РАЗДЕЛ 7
ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
В ЗАДАЧАХ МАРКЕТИНГА
7.1. Общие положения о взаимодействии спроса и предложения
Как известно, две основные категории рыночных отношений – спрос
и предложение. И то и другое зависит от многих факторов, среди которых
главный – это цена товара. Обозначим цену (анг. price) товара p , объём
спроса (анг. demand) d , величину предложения (анг. supply) s. При малых
p имеем d ( p ) − s ( p ) > 0 (спрос превышает предложение), при больших
p , наоборот, d ( p ) − s ( p ) < 0.
Естественно, что функции d ( p ) и s ( p ) являются математическими
(а точнее, эконометрическими) моделями. Они могут быть найдены с помощью метода наименьших квадратов (см., например, [9], [27]), как однофакторные модели парной регрессии.
Считая d ( p ) и s ( p ) непрерывными функциями, приходим к заклю-
чению, что существует такая цена p0 , для которой d ( p ) = s ( p ) , т.е. спрос
равен предложению. Цена p0 называется равновесной, спрос и предложение при этой цене также называются равновесными [6, пункт 1.12].
Установление равновесной цены – одна из главных задач рынка. Рассмотрим простую модель поиска равновесной цены – паутинную модель.
Она объясняет регулярно повторяющиеся циклы изменения объёмов продажи и цен.
Можно рассмотреть, например, производство сельскохозяйственной
продукции (подсолнечника). Предположим, что решение о величине объёма производства принимается в зависимости от цены товара в предыдущий
период времени. Так площадь, отводимую под сельскохозяйственную
культуру, выбирают в зависимости от ее цены, сложившейся в предыдущем году.
Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 7.1. На горизонтальной
оси отложено в натуральных единицах количество товара q , имеющегося
на рынке. По вертикальной оси отложена цена товара p . С ростом цены p
количество покупаемого товара q уменьшается, поэтому кривая спроса dd
(т.е. модель) является монотонно убывающей. Аналогично, при уменьшении цены количество покупаемого товара увеличивается, поэтому кривую
предложения ss моделируют монотонно возрастающей кривой.
Пусть в начальной точке предложение товара имеет значение q1 и выбрано так в зависимости от цены товара p1 в предыдущий период. Поскольку
эта цена больше равновесной, то на кривой спроса dd ей соответствует объем
покупок q2 . Производителю, исходя из такой информации о состоянии рынка,
156
приходится опустить цену товара до величины p2 . Цена p2 ниже равновесной, поэтому на рынке увеличивается спрос до величины q3 . На кривой предложения ss этой величине соответствует цена предложения p3 и т.д.
Рис. 7.1 напоминает паутину (отсюда и название модели) или спираль, которая «скручивается» в точке рыночного равновесия ( q0 , p0 ) .
Рис. 7.1 – «Скручивающаяся» паутинная модель
Впрочем, описанная «спираль» не всегда «скручивается». В некоторых случаях она может и «раскручиваться», как показывает рис. 7.2.
Рис. 7.2 – «Раскручивающаяся» паутинная модель
157
От каких свойств функций d ( p ) и s ( p ) зависит сходимость или
расходимость описанной выше «спирали»? Этот вопрос достаточно сложен. Рассмотрим его сначала с формальной точки зрения. Скорее всего,
«скручивание» на рис. 7.1 произошло из-за того, что модели спроса и
предложения были выбраны в виде функций с графиками выпуклыми
вверх. На рис. 7.2 кривые dd и ss выпуклы вниз. По-видимому, из-за этого и произошло «раскручивание».
Дадим следующую рекомендацию. Если длительное время на рынке
наблюдается ситуация, при которой количество продаваемого товара q0 и
цена p0 – постоянны, то в качестве математической модели надо выбирать
кривые спроса и предложения выпуклые вверх. Если же цена и количество
продаж претерпевают значительные изменения, то следует моделировать
ситуацию кривыми выпуклыми вниз.
Ценовая эластичность спроса. В физическом смысле термин «эластичность» означает возможность значительной деформации вещества
(растяжение, сжатие, излом и т.п.), после которой оно восстанавливается в
своё первоначальное состояние. В быту эластичными принято считать натуральный каучук, резиновые изделия, мягкие полимеры и т.д.
Понятие эластичности было введено английским экономистом Аланом Маршаллом (1842-1924) в связи с анализом функции спроса [9, пункт
2.8]. По существу, это понятие является чисто математическим и может
применяться при анализе любых дифференцируемых функций. Поэтому
вначале дадим общие понятия об эластичности.
Рассмотрим непрерывную функцию y = f ( x) в окрестности точки
x0 . Незначительное приращение аргумента ∆x = x − x0 приведёт к приращению функции ∆y = y − y0 . Эластичностью функции y = f ( x) в точке x0
называется следующий предел
⎛ ∆y ∆x ⎞
E yx ( x0 ) = lim ⎜
: ⎟.
∆x →0
⎝ y x ⎠
Говорят также, что E yx ( x0 ) – это коэффициент эластичности показателя y по показателю x. Если из контекста ясно, в какой точке определяется эластичность и какая переменная является независимой, то в обозначении эластичности могут опускаться отдельные символы. Мы тоже будем
использовать сокращенные обозначения E y и E yx . Из определения эластичности вытекает, что при достаточно малых ∆x выполняется прибли∆y ∆x
∆y
∆x
женное равенство
.
≈ E y , которое можно записать в виде
:
≈ Ey
y x
y
x
Следовательно, эластичность E y – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x. Если, напри158
мер, показатель x увеличится на один процент, то показатель y приближённо изменится на E y процентов.
Если функция дифференцируема в точке x0 , то эластичность выражается через производную:
E yx ( x0 ) =
x0
x
f / ( x0 ) или E y = y / .
f ( x0 )
y
Какой же геометрический смысл имеет эластичность? Напомним
геометрический смысл производной: f / ( x0 ) – это тангенс угла наклона касательной к графику функции y = f ( x) в точке C ( x0 ; y0 ) . Геометрический
смысл эластичности функции в точке x0 связан с разбиением данной касательной на отрезки точками A , B и C , где A( x A ,0) – точка пересечения
касательной с осью Ox , B(0, yB ) – точка пересечения касательной с осью
Oy (рис. 7.3).
Рис. 7.3 – Функция с положительной эластичностью
Если эластичность положительна, то она совпадает с отношением
длин отрезков BC и AC :
E yx ( x0 ) =
Соотношение E yx ( x0 ) = −
BC
.
AC
BC
выполняется при отрицательной элаAC
стичности (рис. 7.4).
159
Рис. 7.4 – Функция с отрицательной эластичностью
Заметим, что для взаимно обратных функций имеет место свойство:
Exy ( y0 ) =
1
.
E yx ( x0 )
AC
.
BC
Перейдём непосредственно к изучению ценовой эластичности
спроса. Пусть d = d ( p) – спрос (в натуральных единицах) на некоторый
товар при цене p . Т.к. при увеличении цены спрос уменьшается, то эластичность спроса Ed < 0 . Спрос называется эластичным, если Ed > 1, и
Поэтому для рис. 7.4 будет правильным соотношение Exy ( y0 ) = −
неэластичным, если Ed < 1 . Термин совершенно неэластичный спрос
означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому
изменению спроса. В этом случае Ed = 0 . В другом крайнем случае, когда
самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличивать покупки
от нуля до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. Можно считать, что для совершенно эластичного
спроса Ed = ∞ .
Если продавцы обладают достаточными запасами товара, то d = d ( p)
– это не только количество спрашиваемого товара. Одновременно это и
количество проданного товара. В данном случае общая выручка всех продавцов R = p ⋅ d ( p) . Найдём эластичность выручки по цене:
ER =
160
p /
p
d ( p ) + pd / ( p )
p
/
(
)
Rp =
p
⋅
d
p
=
=1+
d / ( p ) = 1 + Ed .
(
)p
R
p ⋅ d ( p)
d ( p)
d ( p)
Следовательно, при эластичном спросе ER < 0 , а при неэластичном
спросе ER > 0 . Этот факт приводит к следующим выводам. Если спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей выручки в противоположном направлении. Если же спрос неэластичен, то изменение общей выручки происходит в том же направлении, что и изменение цены.
Проводя графический анализ эластичности спроса, следует помнить,
что в экономической теории принято ось цен p изображать вертикально, а
ось количества покупаемого товара q – горизонтально. Несмотря на это,
спрос q = d ( p) рассматривается как функция цены p (рис. 7.5).
Рис. 7.5 – Графический анализ эластичности спроса
Ситуация на рис. 7.5 аналогична рис. 7.4. Поэтому выполняется соBC
отношение Edp ( p0 ) = −
. Если спрос эластичный (т.е. Ed < −1 ), то
AC
BC
−
< −1 . Следовательно, BC > AC. Если же спрос неэластичный (т.е.
AC
−1 < Ed < 0 ), то BC < AC .
Рассмотрим случай, когда спрос описывают линейной моделью
d ( p) = kp + b , k < 0 (рис. 7.6). Следовательно, касательная к графику будет
совпадать с прямой спроса.
Рис. 7.6 – Линейная модель спроса
161
Здесь точка M является серединой отрезка AB. В этой точке Ed = −1
и, значит, при увеличении цены на 1%, спрос может предельно снизиться
на 1%. В точках на прямой, расположенных выше точки M (например,
C1 ), спрос будет эластичным. Точки, находящееся ниже M (например,
C2 ), характеризуют неэластичный спрос.
Заметим, что всё сказанное относительно функции спроса d ( p) может быть распространено и относительно моделирования предложения
s ( p) . Предоставляем это проделать читателю самостоятельно.
Динамическая модель взаимодействия спроса и предложения. Американский экономист Пол Самуэльсон (1915-2009) предложил модель, которая
отражает зависимость между ценой товара p, спросом d ( p) и предложением
s( p) . Разность d ( p) − s( p) часто называют неудовлетворённым спросом.
Предполагается, что цена – непрерывная и дифференцируемая функция от
времени t. Время считают тоже непрерывной переменной.
Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены
пропорционально превышению спроса над предложением:
∆p = k (d ( p) − s( p)) ⋅ ∆t ,
где k – коэффициент пропорциональности ( k > 0 ). Совершив предельный
переход, получаем дифференциальное уравнение первого порядка, которое
называют уравнением Самульэсона-Эванса [1, гл. 7]:
dp
= k (d ( p) − s( p)) .
dt
Предполагается, что спрос и предложение задаются линейными
функциями
d ( p) = a − bp ,
s ( p) = −m + np ,
положительные параметры которых a , b , m , n найдены по эмпирическим
данным с помощью метода наименьших квадратов. Тогда дифференциальное уравнение примет вид:
dp
= −k (b + n) p + k (a + m) .
dt
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Его общее решение будет следующим:
162
p(t ) =
a+m
+ Ce− k (b+ n )t .
b+n
a+m
является корнем уравнения d ( p) = s( p) , т.е. равноb+n
весной ценой (рис. 7.7).
Число p =
Рис. 7.7 – Стационарное равновесное решение
Общее решение уравнения Самуэльсона-Эванса порождает семейство интегральных кривых, которые с течением времени t будут асимптотически приближаться к состоянию равновесия p (рис. 7.8).
Рис. 7.8 – Частные решения уравнения Самуэльсона-Эванса
Ранее мы рассматривали дискретную паутинную модель (рис. 1.7.1).
Данную модель можно рассматривать как непрерывный аналог паутинной
модели рынка.
163
7.2. Анализ спроса и предложения на продукцию автомобильного
концерна
Автомобильный концерн восемь лет назад начал выпуск новой марки
автомобиля. Данные представлены в виде табл. 7.1 и 7.2. Цена p указана в
тыс. грн, количество q – в тыс. шт.
Таблица 7.1
Спрос
Год
Количество
Цена
1
41
45
2
36
49
3
34
50
4
33
53
5
31
54
6
30
55
7
29
57
8
23
60
Таблица 7.2
Предложение
Год
Количество
Цена
1
11
45
2
17
49
3
21
50
4
25
53
5
28
54
6
29
55
7
38
57
8
41
60
Требуется: 1) найти линейные эконометрические модели для спроса
d ( p) = a − bp и предложения s ( p) = −m + np ; 2) определить точку равновесия моделей спроса и предложения; 3) записать динамическую модель цены, учитывая данные по спросу за последний год.
Решение. Для вычисления параметров эконометрических моделей
воспользуемся MS Excel.
1. Коэффициент регрессии (наклона прямой) вычисляют с помощью
функции НАКЛОН(), точку пересечения с вертикальной осью вычисляют
функцией ОТРЕЗОК(). Модели спрос и предложения задаются линейными
функциями
d ( p) = 88,99213 − 1,094414 p , s( p) = −84,32573 + 2,091267 p .
Положительные параметры приняли следующие значения:
a = 88,99213 , b = 1,094414 , m = 84,32573 , n = 2,091267 .
2. Равновесная цена составляет:
p=
a+m
= 54,71919 тыс. грн.
b+n
Подставив это значение в любую из моделей d ( p) или s( p), получим q = 30,107 (тыс. шт.). Имеем точку равновесия A(54,71919;30,107) .
3. Общее решение уравнения Сауэльсона-Эванса:
164
p(t ) = 54,71919 + Ce− k ⋅3,185681t .
Оценим значение коэффициента пропорциональности k из соотношения
∆p = k (d ( p) − s( p)) ⋅ ∆t ,
откуда получим k =
∆p
.
(d ( p ) − s ( p )) ⋅ ∆t
Восемь рассматриваемых лет порождают семь временных периодов
длительности ∆t = 1 год. Изменение цены ∆p вычисляют по данным предложениям (табл. 7.2). Например, ∆p1 = 49 − 45 = 4 , ∆p2 = 50 − 49 = 1 и т.д.
Разность d ( p) − s( p) является неудовлетворённым спросом и её находят,
вычитая данные по количеству в табл. 7.1 и 7.2 (вычисления начинают со
второго года). Получаем таблицу 7.3.
Таблица 7.3
Расчётные данные
Временной
период
d ( p) − s( p)
∆p
k
1
2
3
4
19
13
8
3
4
1
3
1
0,2105 0,0769 0,375 0,3333
5
1
1
1
6
7
–9
–18
2
3
–0,2222 –0,1667
Применяя функцию СРЗНАЧ(), вычисляем выборочное среднее
k = 0,22956 . Подставляем это значение k в общее решение:
p(t ) = 54,71919 + Ce−0,73129t .
Осталось определить значение константы C . По условию задачи надо учесть данные по спросу за последний год (задача Коши для дифференциальных уравнений). Имеем p(8) = 60 . Поэтому находим C из уравнения
60 = 54,71919 + Ce−0,73129⋅8 ,
откуда C = 1834,31 . Значит, динамическая модель цены имеет окончательный вид:
p(t ) = 54,71919 + 1834,31e−0,73129t .
165
График этой кривой помещён на рис. 7.9.
Рис. 7.9 – Динамическая модель цены
Пример выполнен полностью.
166
РАЗДЕЛ 8
ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
МАРКЕТИНГОВОЙ СТРАТЕГИИ
8.1. Конечные игры с нулевой суммой
Теория игр – это раздел современной математики, в котором изучаются математические модели принятия решений в условиях неопределённости и конфликтности сторон. Основателями данной науки являются американские учёные Джон фон Нейман (1903–1957) и Оскар Моргенштерн
(1902–1977).
Для простоты изложения рассмотрим игру двух игроков с нулевой
сумой. Игра – это совокупность правил, которые описывают конфликтную
ситуацию и устанавливают:
• выбор способа действий игроков на каждом этапе игры;
• объём необходимой информации, которой располагает каждый игрок в
момент выбора своего способа действий;
• плату каждого игрока после завершения какого-либо этапа игры [39,
пункт 1.5.1].
Чистой стратегией игрока называется совокупность рекомендаций
относительно ведения игры от начала и до конца. Игра называется конечной,
если у каждого игрока имеется конечное количество стратегий. В экономике
результаты решений игрока обычно выражают в денежном эквиваленте. Для
каждой комбинации выбранных игроками чистых стратегий существует соответствующая величина платежа. Говорят, что игра двух лиц имеет нулевую
сумму, если выигрыш первого игрока равен проигрышу второго.
Пусть известна матрица платежей F = ( f kj ) ( k = 1,..., m ; j = 1,..., n ) парной игры с нулевой суммой, где элемент платёжной матрицы f kj – это выигрыш первого (проигрыш второго) игрока при использовании первым игроком своей чистой стратегии sk ∈ S ( k = 1,..., m ), а вторым игроком – своей чистой стратегии θ j ∈Θ ( j = 1,..., n ).
Решить игру – означает найти оптимальную стратегию для каждого игрока. Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая
при многократном повторении игры обеспечивает максимально возможный
средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш). Для нахождения этой пары стратегий используют принцип минимакса.
Матрицу выигрышей первого игрока обозначают F = F + . Первый игрок стремится максимизировать свой гарантированный выигрыш. Поэтому
для каждой своей чистой стратегии он определяет минимальное значение
выигрыша
α k+ = min f kj+ ( k = 1,..., m ).
θ j ∈Θ
167
Среди них первый игрок выбирает стратегию sk0 с максимальным выигрышем
α k+ = α + = max α k+ = max min f kj+ .
0
s j ∈S
s j ∈S θ j ∈Θ
Число α + называется нижней ценой игры, или максимином.
Второй игрок пытается минимизировать свой гарантированный проигрыш. Матрица проигрышей для него обозначается F = F − . Для каждой чистой
стратегии θ j второй игрок определяет величину максимального проигрыша
β j− = max f kj− ( j = 1,..., n ).
s j ∈S
Затем выбирают стратегию θ j0 с минимальным проигрышем
β j− = β − = min β j− = min max f kj− .
0
θ j ∈Θ
θ j ∈Θ s j ∈S
Число β − – верхняя цена игры (минимакс).
Чистые стратегии sk0 и θ j0 являются устойчивыми, т.е. образуют оптимальную пару стратегий, в том случае, если нижняя цена игры равна верхней. Тогда платёжная матрица F содержит элемент f k0 j0 , удовлетворяющий
условию:
f k0 j0 = α + = β − .
Этот элемент будет минимальным в k0 -й строке и минимальным в j0 -м
столбце. Элемент f k0 j0 называется седловой точкой матрицы F (чистой ценой игры):
V * = α + = β − = f k0 j0 .
Если игра не имеет седловой точки, то цена игры удовлетворяет условию:
α+ ≤V ≤ β − .
Следовательно, оптимальных чистых стратегий нет и надо искать
смешанные стратегии.
Пусть P = ( p1;...; pm ) – неизвестное распределение вероятностей для чистых стратегий первого игрока при построении смешанной стратегии sP . Естест168
венно, что
m
∑p
k =1
k
= 1 ( pk ≥ 0 , k = 1,..., m ). Аналогично, Q = ( q1;...; qn ) – неиз-
вестное распределение вероятностей для чистых стратегий второго игрока при
n
∑q
построении смешанной стратегии θQ ,
j
= 1 ( q j ≥ 0 , j = 1,..., n ). Средним
j=1
выигрышем первого игрока (проигрышем второго игрока) является математическое ожидание двумерной дискретной случайной величины, которое вычисляется как
m
n
V = ∑∑ pk q j f kj .
k =1 j =1
Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн доказали основную теорему теории игр (теорему о минимаксе). Она базируется на следующих положениях:
• каждая конечна игра двух лиц с нулевой суммой имеет хотя бы одно
(оптимальное) решение, возможно в смешанных стратегиях;
• если один из игроков использует свою оптимальную смешанную
стратегию, то его выигрыш равен цене игры независимо от того, с какими вероятностями (относительными частотами) второй игрок будет использовать
стратегии, вошедшие в его оптимальную смешанную стратегию.
Согласно теореме о минимаксе, чистую цену игры
m
n
min max ∑∑ ( pk q j f kj ) = V *
P∈∆ p Q∈∆Q
k =1 j =1
находят на множествах всех распределений вероятностей
⎧
∆ p = ⎨ P = ( p1;...; pm ) :
⎩
⎧
∆ Q = ⎨Q = ( q1;...; qn ) :
⎩
⎫
= 1; pk ≥ 0, k = 1,..., m ⎬ ;
k =1
⎭
m
⎫
q j = 1; q j ≥ 0, j = 1,..., n ⎬ .
∑
j =1
⎭
m
∑p
k
m
n
m
n
При этом выполняется неравенство ∑∑ ( pk q*j f kj ) ≤ V * ≤ ∑∑ ( pk* q j f kj ) .
k =1 j =1
k =1 j =1
Подведём итоги.
1. Решить игру означает найти оптимальные чистые стратегии игроков, если игра имеет седловую точку.
2. При отсутствии седловой точки находят оптимальные смешанные стратегии игроков s p* и θQ* , а точнее – векторы P* = ( p1* ;...; pm* ) и Q* = ( q1* ;...; qn* ) ,
удовлетворяющие теореме о минимаксе, и вычислить цену игры V * .
169
3. Игра без седловой точки ( α + < β − ) имеет решение, возможно не
единственное, если хотя бы один из игроков использует оптимальную
смешанную стратегию.
8.2. Определение стратегии продажи «старых» и «новых» товаров в супермаркете
Сеть супермаркетов реализует три вида «старых» товаров s1 , s2 , s3 , спрос
на которые хорошо известен. С определённого момента в продажу поступают «новые» товары θ1,θ 2 ,θ3 , которые могут заменить «старые».
Таким образом «новые» товары снижают спрос на «старые». Исследования рынка дали оценку ежемесячных объёмов продаж «старых» товаров при наличии «новых» товаров (табл. 8.1).
Таблица 8.1
Объёмы продаж «старых» товаров, млн грн
«Новые» товары
«Старые» товары
s1
s2
s3
θ1
θ2
θ3
5
9
7
6
7
5
8
8
6
Платёжная матрица игры имеет вид:
⎛5 6 8⎞
F = ⎜⎜ 9 7 8 ⎟⎟ .
⎜7 5 6⎟
⎝
⎠
+
Находим минимальные значения α k ( k = 1,2,3 ) по каждой строке и
максимальные значения β j по каждому столбцу
αk
Fα+k ,β j =
βj
5 6 8
5
9 7 8
7 .
5
7 5 6
9 7 8
Нижняя и верхняя цена игры, соответственно, равны:
170
α + = max α k = max{5;7;5} = 7 ;
k =1,3
β − = min β j = min{9;7;8} = 7 .
j =1,3
Поскольку
α+ = β− = 7,
то игра имеет седловую точку. Оптимальными стратегиями являются s2 и
θ 2 , которые обеспечивают чистую цену игры V* = 7 млн грн. Эти стратегии – устойчивые в том смысле, что отклонение от них невыгодно для обоих игроков.
Игровые модели и задачи линейного программирования. Более трудными являются игры, у которых седловая точка отсутствует. Рассмотрим
такую задачу.
8.3. Определение оптимальной стратегии засева площадей аграрным предприятием
Аграрное предприятие (первый игрок) может посеять одну из трёх
сельскохозяйственных культур s1 , s2 , s3 . Урожайность зависит, в основном,
от погоды. Поэтому считаем погоду вторым игроком с такими стратегиями: θ1 – год засушливый; θ 2 – год дождливый; θ3 – год нормальный.
В каждом из случаев оценена урожайность культур и будущая цена
реализации. Поэтому предполагаемая прибыль предприятия считается известной (табл. 8.2).
Таблица 8.2
Прибыль аграрного предприятия, млн грн
Погодные условия
Посеянная культура
s1
s2
s3
θ1
θ2
θ3
30
20
–10
0
40
50
20
10
70
Элементы платёжной матрицы могут быть только неотрицательными
числами. Для этого разрешается прибавлять ко всем элементам одно и тоже положительное число c = const . При этом цена игры увеличивается на
величину c, а оптимальные стратегии не меняются.
В нашем случае достаточно прибавить число c = 10 . Платёжная матрица имеет вид:
171
⎛ 40 10 30 ⎞
F + = ⎜⎜ 30 50 20 ⎟⎟ .
⎜ 0 60 80 ⎟
⎝
⎠
Определяем минимальные значения α k ( k = 1,2,3 ) по каждой строке
и максимальные значения β j по каждому столбцу:
αk
40 10 30 10
Fα+k ,β j =
βj
30 50 20 20 .
0 60 80 0
40 60 80
Находим нижнюю и верхнюю цены игры:
α + = max α k = max{10;20;0} = 20 ;
k =1,3
β − = min β j = min{40;60;80} = 40 .
j =1,3
Так как α + < β − , то игра не имеет седловой точки. Аграрному предприятию нужно находить оптимальные смешанные стратегии игроков s p* .
Значит, надо определить неизвестные значения вероятностей P* = ( p1* ; p2* ; p3* ) .
Для этого составим задачу линейного программирования (далее ЛП).
Будем максимизировать цену игры V , предполагая, что V > 0 . Левые
части ограничений – результат произведения неизвестной матрицы-строки
P = ( p1; p2 ; p3 ) на каждый из столбцов платёжной матрицы F + . Причём левые части будут не менее чем V . Искомые вероятности неотрицательные и
в сумме дают единицу.
Модель задачи ЛП имеет вид:
V → max ;
≥V;
⎧40 p1 + 30 p2
⎪10 p + 50 p + 60 p ≥ V ;
⎪ 1
2
3
⎨
⎪30 p1 + 20 p2 + 80 p3 ≥ V ;
⎩⎪ p1 + p2 + p3 = 1;
pk ≥ 0, k = 1,2,3 .
172
1
, для коV
торой будем искать минимум. С учётом четвёртого ограничения
3
1
( ∑ pk = 1), выражение
представим в следующем виде:
V
k =1
Так как V > 0 , то можно перейти к целевой функции Z =
1 p1 + p2 + p3 p1 p2 p3
=
= +
+
= t1 + t2 + t3 ,
V
V
V V V
p1
p
p
, t2 = 2 , t3 = 3 .
V
V
V
В новых обозначениях задача ЛП станет следующей:
где t1 =
Z = t1 + t2 + t3 → min ;
≥ 1;
⎧40t1 + 30t2
⎪
⎨10t1 + 50t2 + 60t3 ≥ 1;
⎪30t + 20t + 80t ≥ 1;
2
3
⎩ 1
tk ≥ 0, k = 1,2,3 .
Поместим данные нашей задачи в электронную таблицу Microsoft
Excel. Серым цветом (рис. 8.1) выделен массив, в котором будут находиться неизвестные значения переменных t1 , t2 , t3 .
Рис. 8.1 – Данные задачи ЛП в формате Microsoft Excel
Вызываем диалоговое окно Поиск решения из меню Сервис
(рис. 8.2). Вводим данные и нажимаем кнопку Выполнить.
173
Рис. 8.2 – Процесс решения задачи ЛП
В итоге, мы получим оптимальный план:
t1* = 0,015493 , t2* = 0,012676 , t3* = 0,003521 ,
для которого Z min = 0,031690141.
Для исходной задачи ЛП получим Vmax =
1
≈ 31,5556 . Совершив
Z min
обратную замену pk* = tk* ⋅ Vmax , рассчитаем оптимальные значения вероятностей:
p1* ≈ 0,49 , p2* ≈ 0,4 , p3* ≈ 0,11.
Вычтем из Vmax прибавленную константу c = 10 . Таким образом,
ожидаемая максимальная прибыль составит 21,5556 млн грн. Для получения такой прибыли аграрному предприятию рекомендуется засеять 49%
поля первой культурой, 40% – второй и 11% – третьей культурой.
Итак, мы рассмотрели наиболее типичную ситуацию, когда у игры с
природой или экономической средой нет седловой точки. В этом случае
находят не чистые, а смешанные оптимальные стратегии. Для этого теоретико-игровую задачу сводят к решению задачи ЛП.
174
РАЗДЕЛ 9
ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ТОВАРА
9.1. Жизненный цикл товара
Под жизненным циклом товара будем понимать общее время его
присутствия на рынке от появления до исчезновения. Жизненный цикл товара характеризуется колебаниями объёма продаж и прибыльностью реализации. На каждой его стадии перед предприятием (фирмой) стоят определённые задачи и имеются различные возможности, связанные с маркетинговой стратегией. Определив, на какой стадии находится товар, можно
разработать соответствующий план маркетинга [55, пункт 14.7].
Жизненный цикл товара условно делят на пять этапов: внедрение,
рост, зрелость, насыщение и спад.
Внедрение – этап появления товара на рынке и постепенного увеличения объёма продаж. Предприятие в это время практически не получает
прибыль вследствие больших издержек, связанных с внедрением товара на
рынок.
Рост – этап признания товара на рынке и заметного увеличения прибыльности его реализации.
Зрелость – этап постепенного замедления темпов роста объёма продаж, т.к. товар уже получил признание большинства покупателей. Прибыль
достигает максимального значения.
Насыщение – этап, на котором объём продаж начинает снижаться.
Прибыль может снижаться ещё быстрее ввиду увеличения затрат на маркетинг с целью укрепления конкурентоспособности товара.
Спад – этап резкого снижения объёма продаж и прибыли. В конце
этапа товар полностью покидает рынок.
Жизненный цикл товара изображают в виде кривой, имеющей очертания колокола. Например, на рис. 9.1. первые три этапа имеют большую
временную длительность, чем последние два. Хотя может быть и наоборот.
Всё зависит от конкретных статистических данных, выбранной модели и
других факторов.
Определить, где начинается и кончается каждый этап, достаточно сложно. Обычно началом нового этапа считается момент, когда увеличение или
уменьшение объёма продаж становится достаточно выраженным. Маркетинговые особенности каждого этапа хорошо описаны во многих учебниках (например, в [55, пункт 14.7]). Остановимся на математических нюансах.
Предположим, что существует трендовая зависимость объёма продаж
y от номера временного периода t. Эту зависимость можно найти как регрессионную функцию y = lf (t ) . Требуется по небольшому количеству факt
тических данных (ti ; yti ) ( i = 1,2,..., n ), характеризующих этапы внедрения и
роста, спрогнозировать весь жизненный цикл товара.
175
Объем продаж
Время
Внедрение
Рост
Зрелость
Насыщение
Спад
Рис. 9.1 – Кривая жизненного цикла товара
Определив аналитический вид зависимости yt = lf (t ) , мы получим
прогноз длительности временного интервала [0;T0 ] присутствия товара на
рынке. Кроме этого, будет найдена точка максимума (вершина кривой)
t ; lf (t ) .
(
0
0
)
Участок [0; t0 ] условно разобьём на интервалы в отношении 1: 2 : 2 . Тогда
⎡ t0 ⎤
⎡ t0 3t0 ⎤
⎡ 3t0 ⎤
характеризует
этап
внедрения,
–
рост,
;
0;
⎢⎣ 5 ⎥⎦
⎢⎣ 5 5 ⎥⎦
⎢⎣ 5 ; t0 ⎥⎦ – зрелость.
Оставшуюся часть цикла [t0 ;T0 ] условно разделим на два участка в пропорции 4 :1 . Т.о. насыщение рынка будет, скорее всего, проходить на временном
4(T0 − t0 ) ⎤
4(T0 − t0 ) ⎤
⎡
⎡
интервале ⎢t0 ; t0 +
,
а
спад
–
на
интервале
t
;T0 ⎥ .
+
0
⎥⎦
⎢⎣
5
5
⎣
⎦
Ещё раз подчеркнём, что такой подход не является догмой. Эти модели должны учитывать обратную связь и корректироваться при поступлении новой фактической информации.
Практические способы моделирования трендовой кривой жизненного цикла товара. Как отмечалось ранее, кривая жизненного цикла
товара должна иметь форму колокола. Поэтому важна удачная спецификация математической модели – аналитический вид функции. На наш взгляд,
наиболее подходит для этой цели экспоненциально-степенная функция.
Модель тренда будет иметь вид:
yi = eati ⋅ ti b ⋅ ε i ,
где y – объём продаж, t – номер временного периода, i – номер фактического наблюдения ( i = 1,2,..., n ), ε i – отклонение, a и b – неизвестные параметры.
176
Так как модель является нелинейной (и, по сути, не сводится к линейной), то оценки параметров a и b лучше всего находить в Microsoft
Excel с помощью команды Поиск решения. В качестве целевой функции
следует выбрать сумму квадратов отклонений:
n
n
Z = ∑ ε i = ∑ ( yi − e ati ⋅ ti b ) 2 → min .
2
i =1
i =1
На практике это выглядит следующим образом.
9.2. Моделирование трендовой кривой жизненного цикла товаров
бытовой химии
Производитель бытовой химии начинает выпуск нового стирального
порошка. Данные о продажах за первые 14 месяцев приведены в табл. 9.1.
Таблица 9.1.
Объём продаж товара, млн грн
Номер месяца
1
2
3
4
5
6
7
Объём продаж
10
15
17
20
24
26
30
Номер месяца
8
9
10
11
12
13
14
Объём продаж
35
39
50
54
61
70
73
Требуется построить модель кривой жизненного цикла товара.
Решение. Возьмём за основу экспоненциально-степенную функцию,
описанную ранее. По данным за 14 месяцев оценим параметры модели
тренда y t = e at ⋅ t b с наименьшей суммой квадратов отклонений. Команда
Поиск решения даст следующие результаты: a = −0,0824 ; b = 2,0584 . Построим на одном графике данные из табл. 9.1 и сглаживающую кривую
(рис. 9.2).
Как видно, модель кривой объёма продаж достаточно хорошо аппроксимирует исходные данные. График функции имеет вид колокола.
Для того чтобы получить прогноз длительности присутствия товара
на рынке, надо решить уравнение:
e−0,0824t ⋅ t 2,0584 = 0 .
Первый корень t = 0 . Второй корень можно найти приближёнными
методами, увеличивая значения t до тех пор, пока левая часть уравнения
не станет примерно равной нулю.
177
Предположим, что производитель готов снять порошок с производства,
если месячный объём продаж будет меньше 2 млн грн, т.е. y t < 2 . При t = 108
получим y ≈ 2,0928 млн грн. Значение t = 109 даст результат y ≈ 1,9642 млн
t
грн. Т.о. T0 = 108 месяцев – прогноз «жизни» данного товара.
t
Рис. 9.2 – Фактические данные и линия тренда y t = e −0,0824t ⋅ t 2,0584
Найдём вершину кривой y t = e at ⋅ t b , воспользовавшись необходимым
условием экстремума. Для этого возьмём производную и приравняем её к
нулю:
(
) ( )
/
/
t
t
( )
/
eat ⋅ t b = eat ⋅ t b + eat ⋅ t b = a ⋅ eat ⋅ t b + b ⋅ eat ⋅ t b−1 ;
at
e ⋅t
b −1
(
t
)
⋅ a ⋅ t + b = 0 .
b
Из последнего равенства получим t0 = − . Для нашей задачи t0 ≈ 25
a
месяцев. Прогноз максимального объёма продаж составит y0 ≈ 96 млн грн.
Временной интервал [0;25] условно разобьём на участки в отношении 1: 2 : 2 . Тогда [ 0;5] характеризует этап внедрения с максимальным объёмом продаж 24 млн грн (фактические данные из табл. 9.1). Участок
[5; 15] – этап роста с прогнозом максимального объёма продаж 76,5735
млн грн. Временной интервал [15; 25] будет этапом зрелости.
178
Оставшуюся часть прогнозируемого жизненного цикла товара
[25;108] условно разделим на два участка в пропорции 4 :1 . Вычислим
границу участков
t0 +
4(T0 − t0 )
4(108 − 25)
= 25 +
≈ 91 .
5
5
Насыщение рынка будет, скорее всего, проходить на временном интервале [ 25; 91] . Спад – на интервале [91; 108] с прогнозом максимального объёма продаж 5,97 млн грн.
Рассмотрение примера окончено.
Подведём итоги. В данном параграфе была предложена экспоненциально-степенная модель жизненного цикла товара. Математические особенности модели рассмотрены достаточно полно. Естественно, что маркетинговые службы фирм не должны слепо доверять любым моделям. Следует руководствоваться экономической ситуацией, опытом работы, здравым
смыслом и, при необходимости, интуицией.
179
РАЗДЕЛ 10
ЗАДАЧИ АНАЛИЗА РАБОТЫ СИСТЕМ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
10.1. Методика моделирования работы систем массового обслуживания (СМО) с применением программных средств
Теория очередей предполагает, что входной поток клиентов (или
заявок на обслуживание) описывается вероятностной моделью, которая называется простейшим или пуассоновским потоком. Чтобы быть пуассоновским потоком, входной поток заявок должен обладать тремя свойствами:
− ординарным,
− стационарным,
− без последействия.
Ординарный – это значит, что все заявки поступают в систему по одной, а не группами.
Свойство стационарности означает неизменность интенсивности потока во времени. Если, например, наблюдая некоторую столовую изо дня в день,
мы обнаружим, что входной поток клиентов (а с ним и очередь) нарастает с
момента открытия в 10 ч утра и достигает максимума в «часы пик» от 12 до 14,
а затем идет на убыль, то свойство стационарности не выполняется.
Свойство отсутствия последействия означает, что вероятность поступления в систему очередной заявки в следующий час или минуту совершенно
не зависит от того, сколько времени прошло с момента поступления предыдущей заявки. Если вы ждете автобус на остановке уже 10 минут (а на табличке
написано, что интервал движения составляет 5 минут), то вероятность того,
что он все-таки придет в следующую минуту возрастает. В движении автобусов есть следы расписания. Применение формул теории очередей к таким процессам (по крайней мере, без всяких поправочных коэффициентов) неправомерно. А вот для потоков клиентов или заявок в системы массового обслуживания отсутствие памяти – это очень характерное свойство. Неважно, когда
поступила предыдущая заявка, вероятность ∆P того, что новая заявка поступит в следующий промежуток времени ∆t будет равна:
∆P ≈ λ∆t ,
(10.1)
где λ — это интенсивность входного потока заявок, т.е. среднее число заявок, поступающих в единицу времени.
Вероятность того, что за время t в систему не поступит ни одной заявки:
P (t ) = e − λt
180
(10.2)
а вероятность того, что за время t в систему поступит хотя бы одна заявка,
выражается формулой:
(10.3)
P≥1 (t ) = 1 − e − λt
Из формулы (10.3) следует, что частотное распределение для промежутка времени между последовательными заявками, поступившими в систему, будет экспоненциальным.
Плотность распределения вероятности для случайной величины –
промежутка времени между приходом последовательных заявок в систему
массового обслуживания имеет вид:
p (t ) = λ e − λ t , t ≥ 0
(10.4)
среднее значение t и стандартное σ отклонение для этого промежутка
времени (см., например, [11]) равны:
t=
1
λ
;σ=
1
λ
(10.5)
p(t)
λ
t, время обслуживания
Рис. 10.1 – График плотности экспоненциального распределения
Формулы (10.1)–(10.5) являются прямым следствием свойств пуассоновского случайного потока. Используя несколько более сложные рассуждения, можно получить вероятность того, что за время T систему поступит
n заявок (см., например, [8, 9]):
PT (n) =
(λ T ) n e − λ T
n!
Гистограмма этого распределения приведена на рис. 10.2.
181
P(n)
Классификация систем массового обслуживания (СМО). Системы
массового обслуживания классифицируются по трем основным признакам.
n, число заявок в системе
Рис.10.2 – Гистограмма распределения Пуассона
I. Популяция потенциальных клиентов (или «резервуар», из которого приходят заявки) и характеристики входного потока.
Популяция может быть бесконечной или конечной:
• бесконечной популяцию можно считать в том случае, если ее размер намного больше любого мыслимого размера очереди, который может
возникнуть в данной СМО. При этом интенсивность входного потока заявок не будет зависеть от того, сколько их уже поступило в систему;
• конечной называется такая популяция, размер которой сравним с
длиной очереди, образующейся в системе. Если, например, наладчик обслуживает 10 станков в цехе и каждый станок останавливается и требует
обслуживания в среднем 1 раз в час, то суммарный ожидаемый поток заявок будет 10 заявок в час. Если, однако, один станок (два или три станка)
остановился и наладчик занимается его обслуживанием, то ожидаемый
суммарный поток новых заявок будет лишь 9 заявок в час (8 или 7), до тех
пор пока остановившиеся станки опять не заработают. Именно поэтому
для конечной популяции в качестве основной характеристики входного
потока рассматривается не интенсивность потока заявок от всей популяции (как в случае бесконечной популяции), а интенсивность потока заявок
от каждого члена популяции (которая остается постоянной независимо от
размера очереди).
Входной поток может быть подразделен на два вида:
• пуассоновский,
• не пуассоновский.
II. Свойства самой очереди
Размер очереди:
• неограниченный,
• ограниченный.
Ограничения на размер очереди могут быть обусловлены технологическими причинами (например, автоматическая телефонная станция не
182
может удержать в очереди больше 10 звонков). Если в то время, когда 10
клиентов ждут ответа оператора, позвонил 11-й клиент, он услышит короткие гудки – «занято». Система отказала ему в обслуживании. Иногда
можно использовать модель ограниченной очереди для описания психологических особенностей клиентов. Если исследования поведения ваших
клиентов показывают, что они редко становятся в очередь, если в ней уже
стоит, скажем, 6 человек, то приблизительно можно описать вашу СМО
как систему с отказами, в которой не могут находиться более 6 клиентов.
Дисциплина очереди:
• первым пришел – первым обслужен («живая очередь»);
• наличие заявок с приоритетом;
• очередь с нетерпеливыми заявками (после некоторого критического
времени ожидания определенная доля заявок уходит, не дождавшись обслуживания).
Модели теории очередей разработаны только для простейшей дисциплины очереди «первым пришел – первым обслужен».
III. Свойства каналов обслуживания
Число каналов:
• один канал,
• несколько каналов.
Пропускная способность каналов:
• одинаковая,
• различная.
Частотное распределение времени обслуживания:
• экспоненциальное распределение,
• произвольное распределение.
Итак, теория очередей может рассматривать лишь модели с абсолютно одинаковыми каналами обслуживания, случайное время обслуживания в которых распределено экспоненциально. Последнее ограничение
особенно нереалистично. В большинстве случаев плотность распределения
времени обслуживания характеризуется кривой с максимумом так, что существует наиболее вероятное время обслуживания, а вероятности того, что
на обслуживание будет затрачено очень маленькое или очень большое
время, понижены. Однако, за исключением самого простого случая неограниченной очереди с одним каналом обслуживания, получить в конечной
форме решения для моделей СМО с иным, кроме экспоненциального, распределением для времени обслуживания не удается.
Заметим в заключение, что в тех случаях, когда невозможно использование конечных формул теории очередей, всегда есть возможность провести компьютерное моделирование системы массового обслуживания путем усреднения по многим реализациям случайного процесса получить все
необходимые характеристики ее работы.
Расчеты характеристик СМО с помощью теории очередей. Формулы и стандартные обозначения:
S – число серверов (каналов обслуживания),
183
λ – средняя скорость прибытия (интенсивность входного потока
заявок),
µ – средняя скорость обслуживания для каждого сервера,
K – максимальное количество клиентов, которые могут находиться
в системе (или число членов конечной популяции),
s – стандартное отклонение времени обслуживания,
Lq – средняя длина очереди (число ждущих, но не обслуживаемых
клиентов),
Ls – среднее число клиентов в системе,
Wq – среднее время ожидания в очереди,
Ws – среднее время пребывания клиента в системе (ожидание плюс
обслуживание),
ρ – коэффициент утилизации (процент загрузки) любого из серверов
системы,
P0 – вероятность отсутствия клиентов в системе,
Pn – вероятность того, что в системе ровно п клиентов.
Ниже в таблицах 10.1 – 10.3 приводятся формулы для основных характеристик СМО [11] и используются общепринятые обозначения для
моделей теории очередей.
Таблица 10.1
Расчет характеристик СМО
Характеристики
СМО
P0
Расчетные формулы
M / M /1
M /M /S
1
λ
1−
µ
Pn
n
⎛λ⎞
⎜ ⎟ P0
⎝µ⎠
Ls
184
s
1 ⎛λ⎞
Sµ
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
S ! ⎝ µ ⎠ Sµ − λ
n = 0 n! ⎝ µ ⎠
Sµ > λ
⎧ (λ / µ ) n
P0 , n ≤ S
⎪
⎪ n!
⎨
2S − n
⎪ (λ / µ )
P0 , n > S
⎪
S −n
S!
⎩ S
∑
λ
λµ (λ / µ ) s
µ −λ
( S − 1)!( Sµ − λ ) 2
Ls − λ / µ
Ls / λ
Lq / λ
λ/µ
λ / Sµ
Lq
Ws
Wq
ρ
s −1 1 ⎛ λ ⎞ n
P0 +
λ
µ
,
Модель M/M/S – это модель неограниченной очереди, заявки в которую поступают из бесконечной популяции, поток заявок пуассоновский,
распределение времени обслуживания экспоненциальное, в системе S серверов (каналов обслуживания). Первая буква M обозначает марковский
процесс для входного потока заявок (синоним пуассоновского потока).
Вторая буква M обозначает, что и поток обслуженных заявок описывается
марковским процессом (время обслуживания распределено экспоненциально). Буква S обозначает, что в системе S каналов обслуживания. Модель M / M / 1 – частный случай модели M / M / S , где число серверов
S = 1.
Как отмечалось выше, для простейшей модели неограниченной очереди с одним сервером известны конечные формулы для средних характеристик очереди и в случае произвольного распределения вероятностей для
времени обслуживания. Эти модели обозначаются как M / D / 1 – для случая пуассоновского входного потока, но постоянного времени обслуживания и M / G / 1 для произвольного распределения вероятностей времени обслуживания.
Таблица 10.2
Расчет характеристик СМО
Характеристики
СМО
P0
Pn
Ls
Lq
Ws
Расчетные формулы
M / D /1
M / G /1
λ
1−
µ
отсутствуют
λ2
λ
+
2µ (µ − λ ) µ
λµ (λ / µ ) s
( S − 1)!( Sµ − λ ) 2
λ
Ls −
µ
Ls
P0 +
λ
µ
λ
Wq
Lq
ρ
λ
λ
µ
185
Таблица 10.3
Расчет характеристики СМО для модели бесконечной популяции
и ограниченной очереди (в системе могут находиться не более
K клиентов) с одним M / M / 1/ K и с S каналами обслуживания
M /M /S/K :
Харак
теристики
СМО
P0
M / M / 1/ K
Расчетные формулы
M /M /S/K
1 − (λ / µ )
1 − (λ / µ ) K +1
Pn
1 − (λ / µ )
1 − (λ / µ ) K +1
Ls
(λ / µ ) n
(λ / µ )
( K + 1)(λ / µ ) K +1
−
1 − (λ / µ )
1 − (λ / µ ) K +1
Lq
Ws
Ls
λ (1 − PK )
Wq
Lq
186
∑
m =1
m!
(λ / µ ) S K ⎛ λ ⎞
+
∑ ⎜ ⎟
S! m= S +1⎝ Sµ ⎠
λ (1 − PK )
λ (1 − PK )
µ
m− S
⎧ (λ / µ ) n
P0 , n ≤ S
⎪
⎪ n!
⎨
n
⎪ (λ / µ ) P , S < n ≤ K
0
⎪ n−S
S!
⎩S
S −1
S −1 ⎞
⎛
Lq + ∑ mPm + ⎜1 − ∑ Pm ⎟
⎟
⎜
m=0
⎝ m=0 ⎠
P0 (λ / µ ) S (λ / Sµ )
Ls − (1 − P0 )
ρ
1+
S (λ / µ ) m
S!(1 − (λ / Sµ ))
2
×
× ⎡1 − (λ / µS) K −S − (K − S)(λ / µS) K −S (1 − (λ / µS))⎤
⎢⎣
⎥⎦
K −1
∑ Pm
m =0
K −1
Lq λ ∑ Pm
m=0
K −1
λ ∑ Pm Sµ
m=0
Ls λ
Таблица 10.4
Расчет характеристик СМО для модели конечной популяции
с числом членов равным K , с одним M / M / 1 // K и с S каналами
обслуживания M / M / S // K
Характеристики СМО
P0
Расчетные формулы
M / M / 1 // K
m⎫
⎧ K
K! ⎛ λ ⎞ ⎪
⎪
⎜⎜ ⎟⎟ ⎬
⎨ ∑
⎪⎩m = 0 ( K − m)!⎝ µ ⎠ ⎪⎭
Pn
n
K! ⎛ λ ⎞
⎜ ⎟ P0
( K − n)! ⎜⎝ µ ⎟⎠
Ls
⎛µ⎞
K − ⎜ ⎟(1 − P0 )
⎝λ⎠
Lq
µ⎞
⎛
K − ⎜1 + ⎟(1 − P0 )
λ⎠
⎝
Ws
Wq
ρ
M / M / S // K
−1 ⎧ S −1
m
m
K
⎛ λ ⎞ ⎫⎪
K! ⎛ λ ⎞
K!
⎪
⎜⎜ ⎟⎟ ⎬
⎜⎜ ⎟⎟ + ∑
1/ ⎨ ∑
m− S ⎝ µ ⎠ ⎪
⎪⎩m=0 (K − m)m!⎝ µ ⎠
m= S (K − m)S!S
⎭
m
⎧
⎛λ⎞
K!
⎪
⎜ ⎟ P0 , 0 < n < S
⎪⎪ ( K − m)m! ⎜⎝ µ ⎟⎠
⎨
m
⎪
⎛λ⎞
K!
⎜⎜ ⎟⎟ P0 , S < m < K
⎪
⎪⎩ ( K − m)! S! S m − S ⎝ µ ⎠
S −1
S −1 ⎞
⎛
Lq + ∑ mPm + S ⎜1 − ∑ Pm ⎟
⎟
⎜
m=0
⎝ m=0 ⎠
K
∑ (m − S ) Pm
m=S
Ls
λ ( K − Ls )
Lq
λ (1 − PK )
1 − P0
λ ( K − LS ) / Sµ
Видно, что формулы в некоторых случаях весьма сложные и громоздкие. Обычных возможностей MS Excel недостаточно для автоматизации вычислений, поскольку в формулы входят суммы, пределы суммирования в которых зависят от параметров модели. Кроме того, некоторые характеристики СМО должны рассчитываться по разным формулам в зависимости от параметров модели. Сейчас в Интернете можно найти сделанные для расчета характеристик СМО специальные надстройки к MS Excel
и наборы формул, расширяющие стандартный список формул MS Excel, и
различные макросы, и даже JAVA-апплеты для интернет-браузеров.
Для расчета характеристик СМО авторами книги [11] была разработана надстройка к MS Excel, Queue Mods.xla. которую можно загрузить с
сайта www.ibs-m.ru/books. Эту надстройку можно использовать как обычный файл MS Excel с макросами, но удобнее всего добавить ее в список
187
надстроек MS Excel. Чтобы использовать Queue Mods.xla как надстройку,
следует переписать ее в папку, где содержатся стандартные надстройки
MS Excel. После того как вы переписали файл в папку Library, следует вызвать в MS Excel меню Сервис \Надстройки… и отметить галочкой появившуюся в списке надстроек новую надстройку Queue Mods (рис. 10.3). В
результате этого в меню Сервис добавится новая строка Расчет параметров CMO. Сама надстройка двуязычная, в русской версии офиса она запускается с русским интерфейсом и выводом, в английской – автоматически переключается на английский интерфейс и вывод. Надстройка корректно работает в версиях MS Office 97, 2000, ХР и 2003.
Рис. 10.3 – Окно списка надстроек MS Excel
При вызове надстройки Расчет параметров СМО появляется следующее диалоговое окно (рис. 10.4).
Рис. 10.4 – Окно надстройки Queue Mods
188
В диалоговом окне надстройки имеется три вкладки:
− неограниченная очередь (модели M / M / S и M / G / 1 );
− ограниченная очередь (модели M / M / S / K , где K – максимальное количество клиентов в системе, ждущих и обслуживаемых, при этом
S < K );
− ограниченная популяция (модели M / M / S // K , где K – количество членов популяции, и снова S < K ).
При вводе требуемых параметров модели необходимо следить за
тем, чтобы количество поступающих в систему заявок за единицу и количество заявок, которые каждый сервер может обработать в среднем за единицу времени, были отнесены к одной и той же единице времени.
При этом после нажатия на кнопки «Выполнить» надстройка сформирует следующий лист MS Excel с характеристиками работы данной модели СМО (рис. 10.5). В левой части листа показаны введенные параметры
модели, а также вычисленное по экспоненциальному распределению (или
введенное для модели M/G/l) стандартное отклонение времени обслуживания σ . В правой части – характеристики работы данной модели СМО в
стационарном состоянии: процент загрузки каждого сервера ρ , среднее
число клиентов в системе Ls , средняя длина очереди Lq , средние времена
пребывания в системе Ws и ожидания обслуживания Wq а также процент
времени, когда все серверы свободны P0 и вероятность того, что в системе
находится ровно n клиентов Pn .
10.2. Анализ и оптимизация работы СМО с неограниченной очередью «Главпочтамт»
В здание Главпочтамта для отправки почты в рабочие дни декабря
заходит в среднем 92 человека в час (предположим, что этот поток приблизительно постоянен в течение всего рабочего времени). Опыт показывает,
что оператор тратит в среднем 5 минут на человека.
1. Сколько нужно задействовать операторов, чтобы обслужить этот
поток?
2. Какая будет при этом очередь? Сколько людей будет ожидать обслуживания (в среднем)?
3. Сколько примерно времени (в среднем) каждый посетитель будет
проводить на Главпочтамте для отправки почты?
4. Какая вероятность, что в очереди будет более 10 человек?
5. Предполагается, что операторы работают весь день с постоянной
скоростью, как машины, если есть посетители. Если посетителей нет, они
отдыхают. Какую долю времени ни будут не заняты?
Решение. Из условия задачи следует, что «Главпочтамт» – СМО с
пуассоновским входным потоком клиентов интенсивности λ = 92 , временем обслуживания, которое имеет экспоненциальное распределение со
189
скоростью обслуживания одним оператором µ = 60 / 5 = 12 чел./час и неограниченной очередью.
Результат расчета характеристик для СМО «Главпочтамт» для случая обслуживания 8-ми операторами ( S = 8 – минимально необходимое
количество операторов для того, чтобы не возникла бесконечная очередь,
так как: 92 ÷ 12 = 7,6667 ≈ 8 ) с помощью надстройки к MS Excel, Queue
Mods.xla. представлен в табл. 10.5. Так как λ1 = 92 – средняя скорость поступления заявок на обслуживания, расчеты характеристик для СМО
«Главпочтамт» выполнены также для случаев незначительного (на 2% и
3%) увеличения интенсивности потока заявок λ2 = 94 и λ3 = 95 .
Таблица 10.5
Результаты расчета характеристик СМО «Главпочтамт»
(8 операторов)
8 операторов; µ = 12
λ1 = 92
λ2 = 94
λ3 = 95
Процент загрузки каждого сервера
95,83%
97,91%
99,0%
Среднее число клиентов в системе
28
52
100
Средняя длина очереди
20
44
92
Среднее время пребывания в системе, ч
0,3
0,55
1,04
Среднее время ожидания в очереди, ч
% времени, когда все серверы свободны
0,21
0,012%
0,46
0,006%
0,96
0,003%
Вероятность более 10 клиентов в отделении
76,52%
87,64%
93,66%
Среднее число клиентов в отделении (ждущих и обслуживаемых)
оказывается 28 человек. Среднее время, которое человек проведет в отделении, составляет более 0,3 ч. Следует отметить, резкое возрастание числа
людей на Главпочтамте и среднего времени, которое они там проводят при
небольшом увеличении интенсивности входного потока клиентов. Если
ввести λ = 96 , т. е. сделать входной поток равным суммарной скорости обслуживания, то по формулам теории очередей длина очереди окажется
равной бесконечности.
Если открыть 9 окошек (табл. 10.6, рис. 10.6.), то длина очереди (3 –
4 человека) и среднее время (7,2 минуты), проведенное в Сбербанке, не будут при этом велики, каждый из операторов почти 15% времени оказывается не загруженным. А ведь это оплаченное рабочее время, и затраты на
оплату труда составляют существенную часть издержек функционирования системы массового обслуживания.
190
Модель: Неограниченная очередь
Пуассоновское распределение для потока заявок
Экспоненциальное распределение времени обслуживания
Расчет по формулам теории СМО
Данные
λ
µ
S
K
σ
Результаты:
92 Процент загрузки каждого сервера ρ =
0,95833
12 Среднее число клиентов в системе L =
27,65915
8 Средняя длина очереди L q =
19,99248
~
Среднее время пребывания в системе W =
0,30064
Среднее время ожидания в очереди Wq =
0,21731
0,0833 % времени, когда все серверы свободны P0 =
0,00012
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в системе
P01 = 0,00094
P02 = 0,00360
P03 = 0,00919
P04 = 0,01761
P05 = 0,02701
…..
……
P>10= 76,52%
Рис. 10.5 – Лист MS Excel с характеристиками работы СМО
«Главпочтамт» (8 операторов)
Таблица 10.6
Результаты расчета характеристик СМО «Главпочтамт»
(9 операторов)
9 операторов; µ = 12
λ = 92
Процент загрузки каждого сервера
85,19%
Среднее число клиентов в системе
Средняя длина очереди
Среднее время пребывания в системе, ч
10,86
3,19
Среднее время ожидания в очереди, ч
0,03
0,12
% времени, когда все серверы свободны
0,03%
Вероятность более 10 клиентов в отделении
40,3%
Так какой же вариант решения следует предпочесть в данном примере: 8 операторов или 9? В рыночной экономике стремление к наилучшему
обслуживанию клиентов продиктовано экономическими соображениями.
Если длинные очереди или большое время ожидания обслуживания отпугивают клиентов от покупки продукта или услуги на предприятиях компании, вследствие чего уменьшается спрос и выручка от продаж, то необхо191
димо оценить эти потери и уменьшить их, вводя новые каналы обслуживания. Если же компания является монополистом в данной области и клиентам «некуда деваться», то экономических причин для увеличения числа
каналов обслуживания нет.
Модель: Неограниченная очередь
Пуассоновское распределение для потока заявок
Экспоненциальное распределение времени обслуживания
Расчет по формулам теории СМО
Данные
λ
µ
S
K
~
Результаты:
92
12
Процент загрузки каждого сервера ρ =
Среднее число клиентов в системе L =
85,19%
10,86
Средняя длина очереди L q =
3,19
Среднее время пребывания в системе W =
0,12
Среднее время ожидания в очереди Wq =
0,03
0,0833
% времени, когда все серверы свободны P0 =
0,03%
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в системе
P01 = 0,00250
P02 = 0,00958
P03 = 0,02449
P04 = 0,04694
P05 = 0,07197
…
…
P>10= 40,3%
σ
9
издержки
Рис. 10.6 – Лист MS Excel с характеристиками работы СМО
«Главпочтамт» (9 операторов)
S, каналы обслуживания
Издержки на содержание каналов
Потери от ожидания
Полные издержки
Рис.10.7 – Баланс издержек
192
Итак, следует соотносить уменьшение потерь от длинных очередей с
увеличением затрат на содержание дополнительных каналов обслуживания. Качественно соотношение между этими издержками можно представить в виде графика представленного на рис. 10.7. Издержки на содержание каналов обслуживания можно считать прямо пропорциональными
числу каналов, а издержки от ожидания клиентов (или сотрудников) в очереди – пропорциональными длине очереди или времени ожидания, которые, согласно формулам теории очередей, резко падают с увеличением
числа каналов обслуживания. В результате можно оценить оптимальное
число каналов обслуживания, минимизирующее полные издержки, связанные с функционированием системы массового обслуживания.
Издержки на содержание каналов обслуживания — это прямые расходы, которые весьма легко оценить. Издержки от ожидания в очереди
клиентов (или сотрудников) — это альтернативные издержки, упущенная
выгода (если, например, клиенту надоело ждать и он ушел) и потери от утраты доброго отношения клиентов (потери от уменьшения будущих продаж). В некоторых случаях (сотрудники стоят в очереди на ксерокс, механики автосервиса ждут в очереди получения необходимой детали со склада) эти издержки могут быть легко оценены. В случае если в очереди стоят
клиенты, оценка издержек от ожидания оказывается более сложной и может быть сделана лишь ориентировочно. Однако в любом случае сначала
нужно установить связь между издержками от ожидания в очереди с длиной очереди или временем ожидания, а затем использовать теорию очередей для оценки этих характеристик в зависимости от интенсивности входного потока, скорости обслуживания и числа каналов обслуживания.
10.3. Анализ и оптимизация работы СМО с ограниченной популяцией «Станки-автоматы»
В цехе находится 15 автоматических станков. В среднем 1 раз в 4 ч каждый станок останавливается и требует замены деталей (случайные моменты остановки соответствуют распределению Пуассона). Когда происходит остановка
станка, техник диагностирует ее причины и производит замену необходимой
детали. Среднее время обнаружения неисправности, нахождения и установки
нужной детали – 40 минут (это время распределено экспоненциально). Оплата
техника составляет 15 грн в час. Простой оборудования – 200 грн в час.
1. Каково среднее число станков, находящихся в ремонте? Среднее
время простоя остановившегося станка?
2. В цехе работают 3 техника. Какие издержки несет цех от простоя
оборудования за смену (8 часов)?
3. Каково оптимальное число техников в цехе?
4. Техники должны иметь в среднем 10 минут на отдых каждый час.
Выполняется ли это требование?
Решение. Из условия задачи следует, что «Станки-автоматы» – СМО с
пуассоновским входным потоком заявок на замену деталей от одного станка
193
интенсивности λ1 = 1 / 4 = 0,25 станков в час, временем обслуживания, которое
имеет экспоненциальное распределение со скоростью обслуживания одним
оператором µ = 60 / 40 = 1,5 станков/час и ограниченной популяцией K = 15 .
Результат расчета характеристик для СМО «Станки-автоматы» для
случая обслуживания 3-мя техниками ( S = 3 ) с помощью надстройки к MS
Excel, Queue Mods.xla. представлен на рис. 10.8.
1. Среднее число станков, находящихся в ремонте Lrem определим
по формуле: Lrem = L − Lq (среднее число станков требующих ремонта
минус станки, которые простаивают и не ремонтируются). Итак:
Lrem = 2,61 − 0,55 = 2,06 станков.
Среднее время простоя остановившегося станка (время ожидания
ремонта и ремонта) равно среднему времени пребывания в системе и согласно результам расчета характеристик для СМО «Станки-автоматы»
(рис. 10.8.) составляет: Wrem = 0,84 ч (около 51минуты).
Модель: Ограниченная популяция
Пуассоновское распределение для потока заявок
Экспоненциальное распределение времени обслуживания
Расчет по формулам теории СМО
Данные
λ
µ
S
K
0,25
1,5
3
15
σ
0,666667
смена
работа
простой
издежки
полные издержки
8
15
200
3531,734
3891,734
Результаты:
68,81%
Процент загрузки каждого сервера ρ =
Среднее число клиентов в системе L =
2,61435
Средняя длина очереди L q =
0,55007
Среднее время пребывания в системе W =
0,84432
Среднее время ожидания в очереди Wq =
0,17765
% времени, когда все серверы свободны P0 =
0,08572
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в системе
P01 =
0,21429
P02 =
0,25000
P03 =
0,18056
P04 =
0,12037
P05 =
0,07356
P06 =
P07 =
P08 =
P09 =
P10 =
P11 =
P12 =
P13 =
P14 =
P15 =
0,04087
0,02043
0,00908
0,00353
0,00118
0,00033
0,00007
0,00001
0,00000
0,00000
Рис. 10.8 – Лист MS Excel с характеристиками работы СМО
«Станки-автоматы» (3 оператора)
194
2. Для оценки издержек от простоя оборудования за смену среднее время
простоя оборудования умножим на среднее число простаивающих станков на
потери от простоя (200 грн) и на 8 часов (длина смены). Тогда издержки от простоя оборудования составят: Z = W ⋅ L ⋅ 200 ⋅ 8 = 0,84 ⋅ 2,61 ⋅ 200 ⋅ 8 = 3 531,734
грн за смену.
Для оценки полных издержек на обслуживание оборудования за смену, к издержкам от простоя прибавим затраты на оплату труда 3-х операторов 3 531,734 + 15 ⋅ 3 ⋅ 8 = 3 531,734 + 360 = 3 891,734 грн.
3. Оптимальное число операторов определим, выбрав в качестве критерия оптимальности функцию F полных издержек на обслуживание станков за смену:
F = [ S ⋅ 15 + 200 ⋅ W ( s )] ⋅ 8 → min ,
s∈{1,15}
(10.6)
где S – количество операторов,
W (S ) – время простоя оборудования.
Для определения оптимального числа операторов определим полные издержки на обслуживание станков 1-м и более операторами. Учитывая, что
функция полных издержек в зависимости от количества операторов является
выпуклой вниз и имеет одну точку минимума (рис.10.7), то при увеличении
количества операторов полные издержки будут сначала убывать, а затем возрастать. Поэтому значение переменной S – количества операторов, после которой полные издержки начинают возрастать и будет оптимальным. Результаты расчетов занесены в таблицу 10.7. Делаем вывод, что минимальные издержки составят 2934,731 грн при работе 5-ти операторов (рис. 3.5). Следовательно, оптимальное число операторов – 5 человек.
Таблица 10.7
Полные издержки СМО «Станки-автоматы»
при вариации числа операторов
Количество операторов
Полные издержки, грн
1
86 699,96
2
10 747,99
3
3 891,734
4
5
3 014,373
2 934,731
6
3 014,181
195
4. Для ответа на четвертый вопрос используем показатель процента
загрузки каждого сервера из отчета надстройки, Queue Mods.xla. представленной на рис. 10.8.: ρ = 68,81% . Тогда свободное время оператора составит 60 ⋅ (1 − 0,6881) = 18,7 ≈ 19 минут. Следовательно, требование, состоящее в том, что техники должны иметь в среднем 10 минут на отдых каждый час выполняется.
Модель: Ограниченная популяция
Пуассоновское распределение для потока заявок
Экспоненциальное распределение времени обслуживания
Расчет по формулам теории СМО
Данные
λ
µ
S
K
0,25
1,5
5
15
σ
0,666667
смена
работа
простой
издежки
полные издержки
8
15
200
2334,731
2934,731
Результаты:
0,42787
Процент загрузки каждого сервера ρ =
Среднее число клиентов в системе L =
2,16394
Средняя длина очереди L q =
0,02459
Среднее время пребывания в системе W =
0,67433
Среднее время ожидания в очереди Wq =
0,00766
% времени, когда все серверы свободны P0 =
0,09859
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в системе
P01 =
0,24647
P02 =
0,28755
P03 =
0,20767
P04 =
0,10384
P05 =
0,03807
P06 =
P07 =
P08 =
P09 =
P10 =
P11 =
….
0,01269
0,00381
0,00102
0,00024
0,00005
0,00001
…..
Рис. 10.9 – Лист MS Excel с характеристиками работы СМО
«Станки-автоматы» (5 операторов)
10.4. Анализ работы СМО с ограниченной очередью «Служба вызова такси»
Автоматическая телефонная система фирмы «Такси по телефону» может поставить в очередь максимум 6 клиентов. Каждый из операторов, работающих в системе, тратит на принятие заказа такси в среднем 45 секунд. Звонки же поступают в среднем 3 раза в две минуты. Распределение времени обслуживания и интервала времени между звонками экспоненциальное. Один
клиент в среднем приносит выручку 30 грн. Если клиент не дозванивается, он
вызывает такси другой компании. Если в данный момент нет свободных такси,
клиент также будет потерян. Данная компания имеет парк из 28 такси, среднее
время обслуживания пассажира – 20 минут (распределено экспоненциально).
Водитель получает 35 грн в час, а оператор 25 грн. В настоящий момент фирма
имеет двух операторов. Какова упущенная выгода фирмы от потери недозвонившихся или не удовлетворенных клиентов?
196
Решение. С точки зрения теории очередей фирма представляет собой две
системы массового обслуживания: телефонную систему приема заказов и парк
машин такси. Выходной поток обслуженных диспетчерской службой клиентов
является входным потоком для второй системы – машин такси. Система приема
заказов – СМО с двумя серверами с неограниченной популяцией потенциальных
клиентов и ограниченной очередью (не более 6-ти ожидающих обслуживания).
Так как серверов в системе 2, то максимальное число клиентов в системе 8 – два
под обслуживанием и 6 ожидающих в очереди. Поток клиентов в расчете на 1
минуту равен λ = 1,5 , а интенсивность обслуживания клиентов каждым из серверов µ = 4 / 3 (в среднем 45 секунд на каждого).
Характеристики СМО «Телефонная система приема заказов», полученные с помощью надстройки Queue Mods.xla. представлены на рис. 10.10.
Можно отметить, что по причине отказа в обслуживании системой
теряется всего около 2% клиентов ( P 06 = 1,815% ). Среднее время ожидания
в очереди достаточно невелико и равно Wq = 0,2622 минут (16 секунд).
Поток клиентов, входящий во вторую систему, будет меньше потока,
входящего в первую систему, за счет клиентов, не дозвонившихся до диспетчера. Так как теряется примерно 2% клиентов, то остается около 98% из
потока λ = 1,5 клиента в минуту или λ2 = 1,47277 клиента в минуту. Интенсивность потока обслуживания, соответствующая времени обслуживания 20 минут, составит µ = 0,05 клиента в минуту.
Вторая СМО «Такси» – тоже система с неограниченной популяцией
клиентов и ограниченной очередью. Правда, длина очереди в ней нулевая,
поэтому максимальное число клиентов в системе равно 28 – по количеству
машин такси.
Модель: Ограниченная очередь
Пуассоновское распределение для потока заявок
Экспоненциальное распределение времени обслуживания
Данные
Результаты:
1,5
λ
Процент загрузки каждого сервера ρ =
1,333333
Среднее число клиентов в системе L =
µ
S
2
Средняя длина очереди L q =
K
6
Среднее время пребывания в системе W =
Среднее время ожидания в очереди Wq =
0,75
% времени, когда все серверы свободны P0 =
σ
0,55229
1,49074
0,38616
1,01220
0,26220
0,28653
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в системе
P01 =
P02 =
P03 =
P04 =
P05 =
P06 =
0,32235
0,18132
0,10199
0,05737
0,03227
0,01815
Рис. 10.10 – Лист MS Excel с характеристиками работы СМО
«Телефонная система приема заказов»
197
Модель: Ограниченная очередь
Пуассоновское распределение для потока заявок
Экспоненциальное распределение времени обслуживания
Расчет по формулам теории СМО
Данные
λ
µ
S
K
σ
Результаты:
Процент загрузки каждого сервера
ρ = 0,87892
Среднее число клиентов в системе
L = 24,60977
Средняя длина очереди
L q = 0,00000
Среднее время пребывания в системе
W = 20,00000
Среднее время ожидания в очереди
Wq = 0,00000
20
% времени, когда все серверы свободны
P0 = 0,00000
Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в системе
P01 = 0,00000
P02 = 0,00000
…
…
P10 = 0,00005
P11 = 0,00014
P12 = 0,00033
P13 = 0,00075
…
…
P25 = 0,12603
P26 = 0,14251
P27 = 0,15517
P28 = 0,16293
1,47
0,05
28
28
Рис. 10.11 – Лист MS Excel с характеристиками работы СМО «Такси»
Как мы можем видеть, около 16% клиентов, прошедших через интервью с диспетчером, обнаружат, что машин нет. Эти клиенты будут потеряны и не принесут прибыли компании.
Рассчитаем общую прибыль компании, в расчете на один час рабочего времени, основываясь на полученных результатах. Сначала вычислим
издержки. Это, плата водителям и диспетчерам. Каждый из 28 водителей
получает 35 грн в час, а каждый из 2 диспетчеров – 25 грн. Итого 1 030 грн
в час.
А сколько составит выручка от обслуживания клиентов? Используем
коэффициент загрузки каждой машины для расчета выручки. Полностью
загруженная работой машина приносит 90 грн за час, так как она может
обслужить максимум 3 клиента в час (по 20 минут на каждого), а один
клиент приносит 30 грн. Если машина загружена не полностью, то она
принесет меньше денег. Коэффициент загрузки ρ = 0,87892 , умноженный
на 90 грн за час, даст реальную среднюю выручку каждой машины – 79,1
грн за час. Итого получаем 2 214,88 грн – выручка от 28 машин. За вычетом издержек останется 1 184,88 грн за час работы.
Если бы были обслужены все клиенты, которые решили позвонить в
компанию, то выручка составила бы 2700 грн (90 клиентов в час по
198
30 грн). Таким образом, потери составляют 2700 – 1184,88 = 1515,12 грн
в час.
Эти деньги теряются и на стадии звонка в компанию, и на стадии
оформления заказа. Стоит ли увеличивать число диспетчеров? Из-за диспетчерской службы теряется только около 2% клиентов. 2% процента от
2700 грн – это 54 грн, а плата диспетчеру равна 25 грн, поэтому наем еще
одного диспетчера может быть выгодным только при условии, что эти 2%
будут обслужены. Но вторая СМО «Такси» отказывает в обслуживании
около 16% клиентам. В этих условиях увеличивать поток заявок на вторую
систему массового обслуживания практически бессмысленно, потому что
подавляющее большинство из добавочных клиентов все равно не будет обслужено. В такой ситуации следовало бы наращивать количество такси.
199
РАЗДЕЛ 11
АНАЛИЗ И ПРОГНОЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
И МОДЕЛЕЙ
11.1. Анализ влияния иностранных инвестиций на объем валового внутреннего продукта Украины
В таблице 11.1 приведены данные за восемь лет (2000-2007 гг.) о
прямых иностранных инвестициях (далее ПИИ) в экономику Украины и
валовом внутреннем продукте (далее ВВП).
Таблица 11.1
Данные задачи
ПИИ x, млрд долл
ВВП y , млрд грн
3,6
170,1
4,2
204,2
5
225,8
6,1
267,3
7,9
345,1
13
441,5
19,3
544,2
25,6
720,7
Требуется:
1) дать обоснование, построить линейное уравнение парной регрессии y от x и объяснить его;
2) на одном графике построить корреляционное поле и линию регрессии;
3) рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и объяснить их;
4) оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F -критерия Фишера и t -критерия Стьюдента при
уровне значимости 0,05;
5) найти доверительные интервалы для параметров, входящих в
уравнение регрессии;
6) рассчитать прогноз показателя y на следующий год при прогнозном
значении показателя x, составляющем 120% от данных прошлого года;
7) оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
Решение. Предположим, что связь между ВВП и ПИИ линейная и
для анализа влияния иностранных инвестиций на объем валового внутреннего продукта Украины используем простейшую модель парной регрессии
– линейную регрессию. Эта модель имеет вид:
y = a +b⋅ x +ε .
Она сводится к нахождению уравнения линейной регрессии:
yx = a + b ⋅ x .
200
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров –
a и b . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (далее МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от
теоретических y x минимальна:
∑(
n
i =1
yi − y xi
)
2
n
= ∑ ε i2 → min .
i =1
Теоретические основы построения таких моделей описаны в учебной
литературе (см., например, [9, 27]). Поставим перед собой цель дать практические рекомендации по формированию линейных моделей парной регрессии с помощью MS Excel.
1. Введём данные о ПИИ в ячейки B15:I15, а данные о ВВП в ячейки
B16:I16. С помощью «Мастера диаграмм» построим точечную диаграмму
– корреляционное поле (рис. 11.1).
800
700
600
y
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
x
Рис. 11.1 – Корреляционное поле для примера 11.1
По графику видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую
линию. С помощью встроенных функций MS Excel рассчитаем параметры
линейного уравнения парной регрессии y x = a + b ⋅ x :
b = НАКЛОН(B16:I16;B15:I15) = 23,5982;
a = ОТРЕЗОК(B16:I16;B15:I15) = 115,017.
201
Получили уравнение:
y x = 115,017 + 23,5982 ⋅ x .
Объясним численное значение коэффициента регрессии b . Т.е. с
увеличением ПИИ на 1 млрд долл. ВВП увеличивается в среднем на
23,5982 млрд грн.
2. Для того чтобы построить на одном графике корреляционное поле и
линию регрессии нужно активизировать левой кнопкой мыши одну из точек
на диаграмме. Затем нажать правую кнопку мыши и выбрать опцию «Добавить линию тренда». Выбрать тип «Линейная» и нажать «ОК» (рис. 11.2).
800
700
600
y
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
x
Рис. 11.2 – Корреляционное поле и линия регрессии
3. Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:
rxy = КОРРЕЛ(B15:I15;B16:I16) = 0,992.
Близость коэффициента корреляции к единице указывает на тесную
линейную связь между признаками. Коэффициент детерминации
rxy2 = 0,9841 показывает, что уравнением регрессии объясняется 98,41%
дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,59%.
4. Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F критерия Фишера. Объём наблюдений n = 8 , количество независимых переменных x составляет m = 1 . Рассчитаем фактическое значение F -критерия:
202
rxy2
F=
⋅ ( n − m − 1) =
1− r
2
xy
0,9841
⋅ 6 = 371,16 .
1 − 0,9841
Количество степеней свободы для критерия Фишера k1 = m = 1 , k 2 =
= n − m − 1 = 6 . При уровне значимости α = 0,05 табличное значение критерия равно
Ftabl = FРАСПОБР( α ; k1 ; k2 ) = 5,9874.
Так как F > Ftabl , то найденная линейная модель является статистически значимой с надёжностью не менее 95% (1 − α = 0,95 ).
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и
корреляции рассчитаем t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы
каждого из показателей. Вычислим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:
∑( y − y
n
2
Sост
=
i =1
i
xi
)
2
n − m −1
ma = Sост ⋅
∑x
= 683,1193 ;
mb =
2
σx ⋅n
= 15,9239 ;
mr =
Sост
= 19,2656 ;
σx ⋅ n
1 − rxy2
n − m −1
= 0,0515 .
Фактические значения t -статистик:
tb =
b
= 19, 2656 ;
mb
ta =
a
= 7, 2229 ;
ma
tr =
rxy
mr
= 19,2656 .
Табличное значение t -критерия Стьюдента при α = 0,05 и числе
степеней свободы k = n − m − 1 = 6 :
ttabl = СТЬЮДРАСПОБР( α ; k ) = 2,4469.
Так как tb > ttabl , ta > ttabl и tr > ttabl , то признаем статистическую
значимость параметров регрессии и коэффициента корреляции с надёжностью не менее 95%.
5. Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b :
a ± ttabl ⋅ ma ,
b ± ttabl ⋅ mb .
Получим, что a ∈[76,053;153,9815] и b ∈[20,601;26,5953] .
203
6. ПИИ в последнем 2007 г. составили xn = 25,6 млрд долл. Предполагается, что прогнозное значение ПИИ в следующем году составит 120%
от xn = 25,6 . Т.о. x p = 1,2 ⋅ xn = 30,72 млрд долл. Точечный прогноз для
ВВП будет следующим:
y p = 115,017 + 23,5982 ⋅ 30,72 = 839,9523 млрд грн.
7. Ошибка прогноза составляет:
1 ( xp − x )
= Sост ⋅ 1 + +
= 37,1029 .
n
n ⋅ σ x2
2
my
p
Интервальный прогноз для y p оценивают по формуле y p ± ttabl ⋅ m y .
p
Поэтому доверительный интервал будет следующим:
749,1648 ≤ y p ≤ 930,7399 .
Пример выполнен полностью.
Замечание. Эконометрическую модель можно считать достоверной,
если построенные с помощью неё прогнозы отклоняются от фактических
данных не более, чем на 10%. Модель из примера 11.1 была построена по
статистическим данным 2000-2007 гг. Фактические данные за 2008 г. составили x = 32,6 млрд долл и y = 948,1 млрд грн. Подставив в найденное
уравнение регрессии x = 32,6 , мы оценим теоретическое (прогнозное) значение y , т.е.
y = 115,017 + 23,5982 ⋅ 32,6 = 884,3169 млрд грн.
Абсолютное отклонение составит:
y − y = 948,1 − 884,3169 = 63,7831 млрд грн.
Относительное отклонение:
∆=
y− y
y
⋅ 100% =
63,7831
⋅ 100% = 6,7275% .
948,1
Так как ∆ ≤ 10% , то построенную модель парной регрессии можно
считать достоверной и пригодной для краткосрочных прогнозов.
204
11.2. Выбор поставщика техники. Задача «Анализ надежности
работы компьютерной техники трех производителей»
Компьютерный клуб в течении последних двух лет закупал технику
трех производителей D, F , G . Менеджер клуба решил проанализировать
надежность работы данной техники. Для этого он собрал данные о возрасте техники m в месяцах и времени h (в часах) безаварийной работы до последней поломки. Выборка наблюдений по 40 единицам техники дала следующие результаты (табл. 11.2).
Постройте модель зависимости времени безаварийной работы компьютерной техники от возраста в двух случаях:
1) без учета фирмы производителя;
2) учитывая фирму производителя.
Сделайте выводы по каждому уравнению в отдельности и сравните
уравнения, полученные в пунктах 1) и 2).
Сформулируйте приоритеты при закупке компьютерной техники
трех производителей, если единственным критерием является время ее
безаварийной работы.
Таблица 11.2
Характеристики техники
№ техники
1
2
3
4
5
производитель
G
G
G
G
G
время безаварийной работы h, часы
201 207 204 214 208
возраст компьютерной
техники m , месяцы
19 19 18 12 15
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
267 251 267 242 234 270 240 272 236 239
13 12 13 16 18 12 17 11 21 18
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
272 282 279 278 258 261 258 270 274 258
12 13 12 12 17 17 20 16 15 18
6
G
7
G
8
G
9
G
10
G
196 186 203 197 185
20 21 17 18 20
21 22 23 24 25
F
F
F
F
D
267 250 258 274 285
14 17 14 12 14
36 37 38 39 40
D
D
D
D
D
272 251 262 267 278
19 20 20 16 16
Решение. Предположим, что зависимость времени h (в часах) безаварийной работы компьютерной техники от возраста m в месяцах линейная: h = a + bm + ε . С помощью пакета «Анализ данных» (функция – «Регрессия») программы MS Excel рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии hˆ = a + bm и характеристики качества модели. Анализируя полученный отчет (рис. 11.3) сделаем следующие выводы. Уравнение регрессии зависимости времени h безаварийной работы компьютерной техники от возраста m имеет вид:
205
hˆ1 = 338,46 − 5,65m
(11.1)
с коэффициентом детерминации R 2 = 0,3273 . Следовательно, полученная
модель объясняет колебания переменной h времени безаварийной работы
всего на 33%. При этом коэффициент b = −5,65 и модель (11.1) являются
статистически значимыми при уровне α = 0,05 , так как значения в ячейках
Значимость F и P-Значение (рис. 11.3) меньше 0,05 . Следовательно, на
основании модели (11.1), можно сделать вывод, что с увеличением возраста компьютерной техники на 1 месяц время безаварийной работы уменьшается (в среднем, при прочих равных условиях) на 5,65 часов.
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R
0,5721
R-квадрат
0,3273
Нормированный
R-квадрат
0,3096
Стандартная ошибка
25,2023
Наблюдения
40
Дисперсионный анализ
df
Регрессия
Остаток
Итого
Y-пересечение
Переменная m
1
38
39
Коэффициенты
338,4631
-5,6521
SS
MS
Значимость F
18,49 0,0001149
F
11742,72 11742,72
24135,93
635,16
35878,64
Станt-стаP-Знадартная
тистика
чение
ошибка
21,6602
15,6261 3,935E-18
1,3145
-4,2998 0,0001149
Нижние
95%
294,61
-8,31
Верхние
95%
382,31
-2,99
Рис. 11.3 – Расчет параметров 1-ой модели (без учета фирмы
производителя) с помощью надстройки «Анализ данных»
программы MS Excel
Для построения второй модели с учетом фирмы производителя введем фиктивные переменные:
⎧1, если производитель фирма D ,
d =⎨
⎩0, в противном случае.
⎧1, если производитель фирма F ,
f =⎨
⎩0, в противном случае.
206
Тогда значения переменных для построения второй модели будут
следующие (табл.11.3).
Таблица 11.3
Значения переменных 2-ой модели
№ h
m d f
1 201 19 0 0
2 207 19 0 0
3 204 18 0 0
4 214 12 0 0
5 208 15 0 0
6 196 20 0 0
7 186 21 0 0
8 203 17 0 0
9 197 18 0 0
10 185 20 0 0
№
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
h
267
251
267
242
234
270
240
272
236
239
267
250
258
274
m d f
13 0 1
12 0 1
13 0 1
16 0 1
18 0 1
12 0 1
17 0 1
11 0 1
21 0 1
18 0 1
14 0 1
17 0 1
14 0 1
12 0 1
№
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
h
285
272
282
279
278
258
261
258
270
274
258
272
251
262
267
278
m d f
14 1 0
12 1 0
13 1 0
12 1 0
12 1 0
17 1 0
17 1 0
20 1 0
16 1 0
15 1 0
18 1 0
19 1 0
20 1 0
20 1 0
16 1 0
16 1 0
С помощью пакета «Анализ данных» (функция – «Регрессия») программы MS Excel рассчитаем параметры линейного уравнения множественно регрессии hˆ = a0 + a1m + a2 d + a3 f и характеристики качества модели. Анализируя полученный отчет (рис. 11.4) сделаем следующие выводы.
Уравнение регрессии зависимости времени h безаварийной работы компьютерной техники от возраста m и фирмы производителя имеет вид:
hˆ2 = 260,54 − 3,34m + 62,61d + 44,24 f
(11.2)
с коэффициентом детерминации R 2 = 0,9494 . Следовательно, полученная
модель объясняет колебания переменной h времени безаварийной работы
почти на 95%. При этом все коэффициенты уравнения и модель (11.2) являются статистически значимыми при уровне α = 0,05 , так как значения в
ячейках Значимость F и P-Значение (рис. 11.4) меньше 0,05 .
На основании модели (11.2) запишем частные уравнения регрессии
для каждого производителя:
hˆ2 (G ) = 260,54 − 3,34m,
hˆ2 ( D) = 260,54 − 3,34m + 62,61 = 323,15 − 3,34m,
207
hˆ2 ( F ) = 260,54 − 3,34m + 44,24 = 304,78 − 3,34m.
Следовательно, с увеличением возраста компьютерной техники на 1
месяц время безаварийной работы уменьшается (в среднем, при прочих
равных условиях) на 3,34 часов. При этом, сравнив значения коэффициентов перед фиктивными переменными в модели (11.2) и свободных членов
последних трех уравнений, делаем вывод, что при одинаковом возрасте
самый большой срок безаварийной работы техники производителя D (на
62,61 часа больше чем у производителя G ). Срок безаварийной работы
техники производителя F на 44,24 часа больше чем у производителя G .
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R
0,9764
R-квадрат
0,9533
Нормированный Rквадрат
0,9494
Стандартная ошибка
6,8228
Наблюдения
40
Дисперсионный анализ
df
Регрессия
Остаток
Итого
Y-пересечение
Переменная m
Переменная d
Переменная f
3
36
39
Коэффициенты
260,5490
-3,3437
62,6090
44,2363
SS
MS
34202,83 11400,94
1675,81
46,55
35878,64
Стандартt-станая ошибка тистика
7,3414
35,4901
0,3881
-8,6147
2,8512
21,9592
3,0808
14,3589
Значимость F
244,92 5,348E-24
F
P-Значение
1,31E-29
2,85E-10
1,94E-22
1,79E-16
Нижние Верхние
95%
95%
245,659 275,438
-4,131
-2,556
56,827
68,391
37,988
50,484
Рис. 11.4 – Расчет параметров 2-ой модели (с учетом фирмы
производителя) с помощью надстройки «Анализ данных»
Для сравнения качества двух моделей на основании данных об остатках двух моделей, поученных в отчете, были рассчитаны средние относительные ошибки по формуле:
n e
Aотн = ∑ i ⋅ 100% .
i =1 yˆ i
В результате были получены значения для первой и второй моделей
1
2
соответственно (рис.11.5): Aотн
= 8,52% и Aотн
= 2,26% .
Следовательно, качество второй модели лучше и ее нужно использовать для дальнейшего экономического анализа.
208
ВЫВОД ОСТАТКА (модель 1)
НаблюПредскаОстатки
дение
занное Y
1
230,73
-30,12
2
228,73
-21,40
3
236,08
-32,13
4
267,84
-53,49
5
252,81
-44,54
6
224,01
-27,98
7
222,30
-36,40
8
242,03
-39,15
9
235,26
-38,54
10
222,98
-38,06
…
…
…
34
250,97
23,24
35
237,50
20,45
36
231,37
40,42
37
223,99
26,84
38
227,47
34,68
39
245,63
21,77
40
247,85
30,54
A1=
Ai
0,1501
0,1032
0,1575
0,2495
0,2138
0,1427
0,1958
0,1930
0,1959
0,2058
…
0,0848
0,0793
0,1487
0,1070
0,1323
0,0814
0,1097
8,52%
ВЫВОД ОСТАТКА (модель 2)
НаблюПредскаОстатки
дение
занное Y
1
196,81
3,80
2
195,63
11,70
3
199,98
3,97
4
218,77
-4,42
5
209,88
-1,61
6
192,84
3,19
7
191,83
-5,93
8
203,50
-0,62
9
199,50
-2,77
10
192,23
-7,31
…
…
…
34
271,40
2,81
35
263,43
-5,48
36
259,80
11,98
37
255,44
-4,61
38
257,49
4,65
39
268,24
-0,84
40
269,55
8,84
A2=
Ai
0,0189
0,0564
0,0195
0,0206
0,0077
0,0163
0,0319
0,0031
0,0141
0,0395
…
0,0103
0,0212
0,0441
0,0184
0,0178
0,0031
0,0318
2,26%
Рис. 11.5 – Сравнение качества двух моделей задачи
В частности, приоритеты при закупке компьютерной техники трех
производителей должны быть следующие: в первую очередь следует покупать технику производителя D , во вторую – производителя F и в последнюю – производителя G . Анализируя первоначальные данные о количестве техники каждого производителя (16, 14 и 10 единиц техники соответственно) делаем вывод, что при закупке техники руководство клуба придерживалось именно этой стратегии.
11.3. Анализ зависимости выпуска продукции от фонда оплаты труда на заводах по ремонту шахтного оборудования Донецкой области
В таблице 11.4 приведены данные по десяти однотипным заводам по
ремонту шахтного оборудования в Донецкой области. Годовой объём выпуска продукции y (млн грн) зависит от фонда оплаты труда x (млн грн).
Требуется:
1) средствами MS Excel построить нелинейные уравнения парной
регрессии y от x ;
2) выбрать лучшую модель.
Решение. Принято различать два класса уравнений нелинейных регрессий. Первый из них включает нелинейные уравнения относительно
объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.
209
Таблица 11.4
Данные задачи
x
y
2,1
6,2
2
5,6
2,2
6,8
1,9
5
3
13
1,9
5,1
2,4
8,2
2,5
8,9
2,1
6,3
2,7
10,5
К ним, например, относятся: многочлены (полиномы) различных степеней y x = a + b ⋅ x + c ⋅ x 2 , y x = a + b ⋅ x + c ⋅ x 2 + d ⋅ x3 и т.п.; равносторонняя гипербола y x = a + b x ; полулогарифмическая функция y x = a + b ⋅ ln x .
Регрессии первого класса приводятся к линейному виду заменой переменных. Дальнейшая оценка параметров производится с помощью МНК.
Например, парабола второй степени y x = a + b ⋅ x + c ⋅ x 2 приводится к линейному виду с помощью замены: x = x1 , x 2 = x2 . В результате приходим к
двухфакторному уравнению y x = a + b ⋅ x1 + c ⋅ x2 , оценка параметров которого при помощи МНК.
Равносторонняя гипербола y x = a + b x может быть использована для
характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от
объёма выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины
товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы (кривая Филлипса), расходов на непродовольственные товары от доходов или общей суммы расходов (кривые Энгеля) и в других случаях. Гипербола приводится к линейному уравнению заменой: z = 1 . Аналогичx
ным образом приводятся к линейному виду зависимости y x = a + b ⋅ ln x ,
y x = a + b ⋅ x и др.
Второй класс нелинейных уравнений – регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. К ним, например, относятся: степенная y x = a ⋅ xb ;
показательная y x = a ⋅ b x ; экспоненциальная y x = ea +b⋅x . Эти модели приводятся к линейному виду логарифмированием.
Покажем, как это делается на примере степенной функции
y = a ⋅ xb ⋅ ε :
ln y = ln ( a ⋅ x b ⋅ ε ) ;
ln y = ln a + b ⋅ ln x + ln ε ;
Y = A + b⋅ X + Ε,
где Y = ln y, X = ln x, A = ln a, Ε = ln ε .
210
Таким образом, мы применяем МНК к преобразованным данным, а
затем потенцированием находим искомое уравнение.
Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является
коэффициентом эластичности.
Такие задачи удобно решать в MS Excel. Для этого нужно выполнить
следующую последовательность действий:
• ввести экспериментальные данные в столбцы (или построчно);
• на основании введённых данных построить точечную диаграмму;
• активизировать данные диаграммы, щелкнув по точкам левой
кнопкой «мыши»;
• в пункте меню «Диаграмма» выбрать опцию «Добавить линию
тренда…»;
• в пункте меню «Тип» выбрать «Полиномиальная (степень 2-6)»
или «Логарифмическая», или «Степенная», или «Экспоненциальная»;
• в пункте «Параметры» – «Показывать уравнение на диаграмме» и
«Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации ( R 2 )».
Для величины достоверности аппроксимации выполняется неравенство: 0 ≤ R 2 ≤ 1 . Формула расчёта R 2 (см. справку MS Excel) содержит
сумму квадратов отклонений. Чем ближе R 2 к единице, тем лучше модель
описывает фактические данные.
1. На рис. 11.6–11.9 поместим корреляционное поле, линию регрессии, уравнение регрессии и величину достоверности аппроксимации R 2 .
Рис. 11.6 – Логарифмическая модель
211
Рис. 11.7 – Полиномиальная модель второй степени
Рис. 11.8 – Степенная модель
212
Рис. 11.9 – Экспоненциальная модель
2. Наибольшую величину достоверности аппроксимации R 2 = 0,9997
имеет полиномиальная модель второй степени (рис. 11.7). Поэтому признаем эту модель лучшей.
Пример выполнен полностью.
11.4. Анализ производства сахара на заводах финансовопромыш-ленной группы «Укрслад»
Финансово-промышленная группа «Укрслад» владеет шестнадцатью
заводами по производству сахара. Имеются данные (табл. 11.5) прошлого
года о выпуске продукции y (млн грн), затратах труда x1 (млн грн) и затратах производственных фондов (ПФ) x2 (млн грн).
Таблица 11.5
Данные задачи
№ завода
y
x1
x2
№ завода
y
x1
x2
1
7,4
2,3
1,1
9
8,4
2,9
1,2
2
10,3
2,9
1,6
10
9,2
2,7
1,4
3
9,9
2,2
1,7
11
10,9
2,7
1,8
4
8,8
2,8
1,3
12
9,1
2,5
1,4
5
8,7
2,2
1,4
13
10,6
2,1
1,9
6
9,4
2,5
1,5
14
9,1
2,2
1,5
7
10,2
2,8
1,6
15
9,8
2,1
1,7
8
7,5
2,3
1,1
16
10,6
2,4
1,8
213
Требуется:
А) Построить производственную функцию Кобба-Дугласа.
Б) Рассчитать характеристики:
1) среднюю производительность труда;
2) среднюю фондоотдачу;
3) предельную производительность труда;
4) предельную фондоотдачу;
5) эластичность выпуска продукции по затратам труда;
6) эластичность выпуска продукции по ПФ;
7) потребность в ресурсах труда;
8) потребность в ПФ;
9) фондовооружённость труда;
10) предельную норму замещения затрат труда производственными
фондами;
11) эластичность замещения ресурсов.
В) Найти прогноз выпуска y p для заданных значений x1 = 3, 2 млн
грн и x2 = 2,1 млн грн.
Решение
Американский экономист Пол Дуглас в 30-е годы ХХ в. наблюдал за
данными перерабатывающей промышленности США на протяжении двадцати лет и заметил зависимость между экономическими показателями. Он
не сумел определить функцию, описывающую эту зависимость, и обратился в 1927 г. к математику Чарльзу Коббу. Кобб предложил следующую
функцию:
a
a
y = a0 ⋅ x1 1 ⋅ x2 2 ,
где y – объём выпущенной продукции; x1 – затраты труда; x2 – затраты
производственных фондов; a0 , a1 и a2 – неизвестные параметры модели,
определяемые с помощью МНК на основе эмпирических данных.
Так появилась производственная функция Кобба–Дугласа, принадлежащая к наиболее известным производственным функциям, широко
применяемым в экономических исследованиях.
А) Для определения неизвестных параметров мультипликативной
степенной модели прологарифмируем левую и правую части функции:
ln y = ln a0 + a1 ln x1 + a2 ln x2 .
Введём замены Y = ln y , A0 = ln a0 , X 1 = ln x1 , X 2 = ln x2 и получим
линейную модель
Y = A0 + a1 X 1 + a2 X 2 ,
214
у которой с помощью МНК будем искать параметры A0 , a1 и a2 . Система
нормальных уравнений имеет вид:
⎧ A0 n
+ a1 ∑ X 1
+ a2 ∑ X 2
= ∑Y ;
⎪⎪
2
+ a2 ∑ X 1 ⋅ X 2 = ∑ X 1 ⋅ Y ;
⎨ A0 ∑ X 1 + a1 ∑ X 1
⎪
2
= ∑ X 2 ⋅Y.
⎪⎩ A0 ∑ X 2 + a1 ∑ X 1 ⋅ X 2 + a2 ∑ X 2
Составим расчётную таблицу 11.6.
Таблица 11.6
Фрагмент расчётов
№
1
…
15
16
∑
X1
Y
2,0014 0,8329
…
…
2,2824 0,7419
2,3609 0,8755
35,6991 14,3983
X2
X 12
0,0953 0,6937
…
…
0,5306 0,5505
0,5878 0,7665
6,2743 13,1596
X 22
0,0091
…
0,2816
0,3455
2,8966
X1 ⋅ X 2 X1 ⋅ Y
X 2 ⋅Y
0,0794 1,6671 0,1908
…
…
…
0,3937 1,6934 1,2111
0,5146 2,0669 1,3877
5,5931 32,1443 14,2852
Для наших данных система нормальных уравнений будет следующей:
+ 14,3983a1 + 6,2743a2 = 35,6991;
⎧16 A0
⎪
⎨14,3983 A0 + 13,1596a1 + 5,5931a2 = 32,1443;
⎪6,2743 A + 5,5931a + 2,8966a = 14,2852.
0
1
2
⎩
Введём в рассмотрение матрицы
14,3983 6,2743 ⎞
⎛ 16
A = ⎜⎜14,3983 13,1596 5,5931 ⎟⎟ ,
⎜ 6,2743 5,5931 2,8966 ⎟
⎝
⎠
⎛ 35,6991 ⎞
⎛ A0 ⎞
X = ⎜⎜ a1 ⎟⎟ , B = ⎜⎜ 32,1443 ⎟⎟
⎜14,2852 ⎟
⎜a ⎟
⎝
⎠
⎝ 2⎠
и запишем систему в матричном виде AX = B . Согласно методу обратной
матрицы X = A−1B .
Обратную матрицу находим с помощью Microsoft Excel. Напомним,
что операции с матрицами желательно завершать нажатием клавиши «F2»
и «Ctrl+Shift+Enter». Итак, имеем:
215
⎛ 4,9926 −4,8301 −1,4878 ⎞
A−1 = МОБР(B78:D80) = A−1 = ⎜⎜ −4,8301 5,0968 0,6212 ⎟⎟ ,
⎜ −1,4878 0,6212 2,3686 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1,7141 ⎞
X = A−1B = МУМНОЖ(B82:D84;J78:J80) = ⎜⎜ 0,2743 ⎟⎟ .
⎜ 0,6892 ⎟
⎝
⎠
Так как A0 = ln a0 , то a0 = e A0 . Значения неизвестных параметров:
a0 = EXP( A0 ) = 5,5515 ,
a1 = 0, 2743 ,
a2 = 0,6892 .
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
y = 5,5515 ⋅ x10,2743 ⋅ x20,6892 .
Б) Рассчитаем основные характеристики производственной функции:
1) средняя производительность труда равна:
µ1 =
y a0 ⋅ x1a1 ⋅ x2 a2 a0 ⋅ x2 a2 5,5515 ⋅ x20,6892
=
= (1−a ) =
.
x1
x11
x10,7257
x1 1
Следовательно, с увеличением затрат труда x1 (при неизменных затратах ПФ x2 ) средняя производительность труда снижается. И, наоборот,
увеличение затрат ПФ (при неизменных затратах труда) ведёт к росту
средней производительности труда;
2) средняя фондоотдача равна:
y a0 ⋅ x1a1 ⋅ x2 a2 a0 ⋅ x1a1 5,5515 ⋅ x10,2743
= (1−a ) =
µ2 = =
.
x2
x21
x20,3108
x2 2
Таким образом, с увеличением затрат ПФ (при неизменных затратах
труда) средняя фондоотдача снижается. Увеличение же затрат труда (при
неизменных затратах ПФ) ведёт к росту средней фондоотдачи;
3) предельная производительность труда:
ν1 =
216
∂y
∂
a ⋅ a ⋅ x a2 1,523 ⋅ x20,6892
=
a0 ⋅ x1a1 ⋅ x2 a2 = a0 ⋅ a1 ⋅ x1( a1 −1) ⋅ x2 a2 = 0 (11−a )2 =
.
∂x1 ∂x1
x10,7257
x1 1
(
)
Следовательно с увеличением затрат труда (при неизменных затратах ПФ) предельная производительность труда снижается. Наоборот, увеличение затрат ПФ (при неизменных затратах труда) ведёт к росту предельной производительности труда;
4) предельная фондоотдача:
∂y
∂
a0 ⋅ a2 ⋅ x1a1 3,8258 ⋅ x10,2743
( a2 −1)
a1
a2
a1
=
a0 ⋅ x1 ⋅ x2 = a0 ⋅ a2 ⋅ x1 ⋅ x2
=
=
ν2 =
.
∂x2 ∂x2
x20,3108
x2(1−a2 )
(
)
Таким образом, с увеличением затрат ПФ (при неизменных затратах
труда) предельная фондоотдача снижается. Увеличение же затрат труда
(при неизменных затратах ПФ) ведёт к росту предельной фондоотдачи;
5) эластичность выпуска продукции по затратам труда:
E y / x1 =
x1 ∂y
x1
=
a0 ⋅ a1 ⋅ x1( a1 −1) ⋅ x2 a2 = a1 = 0, 2743 .
a1
a2
y ∂x1 a0 ⋅ x1 ⋅ x2
(
)
Данный показатель указывает на то, что при увеличении затрат труда
x1 на 1% выпуск продукции y предельно увеличивается на 0,2743%;
6) эластичность выпуска продукции по ПФ:
E y / x2 =
x2 ∂y
x2
=
a0 ⋅ a2 ⋅ x1a1 ⋅ x2( a2 −1) = a2 = 0,6892 .
a1
a2
y ∂x2 a0 ⋅ x1 ⋅ x2
(
)
То есть ПФ на 1% выпуск продукции может предельно увеличиться
на 0,6892%;
7) производственная функция позволяет рассчитать потребность в
одном из ресурсов при заданном объеме выпуска продукции y и заданной
величине другого ресурса.
Потребность в ресурсах труда:
1
a
⎞1
1
a
⎞1
1
a1
1
a
⎞2
1
a2
⎛
⎛ 1
y
y
y 3,6451
=
⋅
=
⋅
x1 = ⎜
0,0019
.
⎜ ⎟
2,5121
a2 ⎟
a2
a
x
⋅
a
x
⎝ 0⎠
2
⎝ 0 2 ⎠
x2 a1
8) потребность в ПФ:
1
a
⎞ 2
⎛ y
x2 = ⎜
a1 ⎟
⎝ a0 ⋅ x1 ⎠
⎛ 1
y
y1,4511
= ⎜ ⎟ ⋅ a = 0,0831 ⋅ 0,3981 .
1
x1
⎝ a0 ⎠
a2
x1
217
9) производственная функция позволяет исследовать вопросы соотношения, замещения, взаимодействия ресурсов. В частности, определяется
важный экономический показатель – фондовооружённость труда:
1
a
⎞2
⎛ y
⎜
a ⎟
x2 ⎝ a0 ⋅ x1 1 ⎠
=
x1
x1
1
⎞ a2
1
a2
⎛1
y
y1,4511
= ⎜ ⎟ ⋅ ⎛ a ⎞ = 0,0831 ⋅ 1,3981 .
1
x1
⎜ +1⎟
⎝ a0 ⎠
⎝ a2 ⎠
x1
10) взаимодействующие в рамках производственной функции ресурсы могут замещать друг друга. Предельная норма замещения затрат труда
x1 производственными фондами x2 равна:
h=
dx2
a x
x
= − 1 ⋅ 2 = −0,3981 ⋅ 2 .
dx1
a2 x1
x1
Предельная норма замещения зависит не только от параметров a1 и
a2 производственной функции Кобба-Дугласа, но и от соотношения объёмов ресурсов. Знак «минус» означает, что при фиксированном объёме выпуска продукции y необходимо при уменьшении одного ресурса увеличивать другой.
11) влияние соотношения объемов ресурсов на предельную норму замещения h находит свое выражение в эластичности замещения ресурсов.
Этот показатель определяется как отношение относительных приращений
фондовооружённости труда и предельной нормы замещения ресурсов:
⎡ ∂ ⎛ x2 ⎞
⎤
⎢ ⎜ ⎟ ⋅ h ⋅ x1 ⎥
∂h x
⎦ = ⎛ − a2 ⎞⎛ − a1 ⎞ = 1.
ω=⎣ ⎝ 1⎠
⎜
⎟⎜
⎟
x2
⎝ a1 ⎠⎝ a2 ⎠
Эластичность замещения ресурсов для производственной функции
Кобба-Дугласа всегда равна единице. Т.е. изменению фондовооружённости труда на 1% соответствует изменение предельной нормы замещения
также на 1%.
В) Найдём прогноз выпуска продукции для заданных значений
x1 = 3, 2 млн грн и x2 = 2,1 млн грн:
y = 5,5515 ⋅ (3,2)0,2743 ⋅ (2,1)0,6892 = 12,7365 млн грн.
Задача решена полностью.
218
11.5. Анализ влияния факторов на прибыль акционерного общества «УкрСельхозХолдинг»
Открытое акционерное общество «УкрСельхозХолдинг» более десяти
лет производит пшеницу в своих тридцати агроцехах, расположенных в разных областях Украины. Имеются данные прошлого года (табл. 11.7) о прибыли предприятия y (млн грн), среднегодовом удельном весе сельскохозяйственных рабочих в составе агроцеха x1 ( 0 ≤ x1 ≤ 1 ), среднегодовой численности персонала x2 (тыс. чел.), среднесуточном времени простоя техники в рабочее время x3 (часы), среднемесячных выплатах за вредность труда на одного работника x4 (грн), среднегодовой текучести кадров x5 (%).
Таблица 11.7
Данные примера
№ агроцеха
y
x1
x2
x3
x4
x5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
-0,66
1,41
-0,79
0,42
-0,24
1,41
1,89
0,36
1,18
2,18
1,44
1,55
0,09
1,9
1,43
2,39
-0,3
1,42
1
0,91
-1,76
1,12
0,03
0,55
-0,76
-0,78
1,72
0,61
0,5
0,61
0,68
0,74
0,66
0,72
0,68
0,77
0,78
0,78
0,81
0,79
0,77
0,78
0,72
0,79
0,77
0,8
0,71
0,79
0,76
0,78
0,62
0,75
0,71
0,74
0,65
0,66
0,84
0,74
0,75
0,75
0,82
0,84
0,67
1,04
0,66
0,86
0,79
0,34
1,6
1,46
1,27
1,58
0,68
0,86
1,98
0,33
0,45
0,74
0,03
0,99
0,24
0,57
1,22
0,68
1
0,81
1,27
1,14
1,89
0,67
0,42
0,05
0,29
0,48
0,41
0,62
0,56
1,76
1,31
0,45
0,5
0,77
1,2
0,21
0,25
0,15
0,66
0,74
0,32
0,89
0,23
0,32
0,54
0,75
0,16
0,24
0,59
0,56
0,63
1,1
128,52
177,84
114,48
93,24
126,72
91,8
69,12
66,24
67,68
50,4
70,56
72
97,2
80,28
51,48
105,12
128,52
94,68
85,32
76,32
153
107,64
90,72
82,44
79,92
120,96
84,6
85,32
101,52
107,64
25,68
18,13
25,74
21,21
22,97
16,38
13,21
14,48
13,38
13,69
16,66
15,06
17,6
15,98
18,27
14,42
22,76
15,41
19,35
16,83
30,53
17,98
22,09
18,29
26,05
26,2
17,26
18,83
19,7
16,87
219
Предполагая, что между переменной y и независимыми переменными x1 , x2 , x3 , x4 , x5 существует линейная зависимость, требуется:
1) найти линейное уравнение множественной регрессии;
2) с помощью алгоритма пошаговой регрессии построить эконометрическую модель с максимальным числом значимых коэффициентов при
уровне значимости 0,05;
3) построить точечный и интервальный прогнозы для y при допущении, что средние показатели по независимым переменным будут превышены на 5%.
Решение. Ввиду чёткой интерпретации параметров наиболее широко
в множественной регрессии используется линейная функция.
В линейной множественной регрессии y x = a + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm
параметры при x называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего
фактора на единицу при неизмененном значении других факторов.
Рассмотрим линейную модель множественной регрессии:
y = a + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm + ε .
Классический подход к оцениванию параметров линейной модели
множественной регрессии основан на МНК:
∑(
i
yi − y xi
)
2
→ min .
В Microsoft Excel имеется пункт меню «Сервис», который содержит
пакет прикладных программ «Анализ данных». В нём выбираем инструмент анализа «Регрессия». Вводим входной интервал для y и входной интервал для x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Т.к. в условии задан уровень значимости
α = 0,05 , то выбираем уровень надёжности 95% (1 − α = 0,95 ). В параметрах вывода отмечаем «Новый рабочий лист» и жмём «ОК». Результаты
вычислений, округлённые до четвёртого знака приведены на рис. 11.10.
1. Столбец «Коэффициенты» содержит найденные параметры уравнения регрессии. Т.о. линейная пятифакторная эконометрическая модель
имеет вид:
y x = −0,7484 + 7,1473x1 + 0,0328 x2 − 1,1373x3 + 0,0002 x4 − 0,1714 x5 .
По коэффициентам регрессии можно давать объяснения. Например,
если текучесть кадров x5 увеличится на 1%, то прибыль предприятия снизится в среднем на 0,1714 млн грн. При этом значения переменных x1 , x2 ,
x3 , x4 должны оставаться неизменными. Значение свободного члена
a = −0,7484 не объясняют.
2. Прокомментируем данные отчета на рис. 11.10.
220
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множествен0,9974
ный R
R-квадрат
0,9948
Нормированный
0,9937
R-квадрат
Стандартная
0,0813
ошибка
Наблюдения
30
Дисперсионный анализ
Регрессия
Остаток
Итого
Y-пересечение
Переменная X 1
Переменная X 2
Переменная X 3
Переменная X 4
Переменная X 5
df
SS
MS
F
5
24
29
Коэффициенты
-0,7484
7,1473
0,0328
-1,1373
0,0002
-0,1714
30,0746
0,1586
30,2332
Стандартная ошибка
0,7651
0,7904
0,0374
0,0462
0,0007
0,0097
6,0149
0,0066
910,4301
Значимость F
1,56E-26
t-стати
стика
-0,9782
9,0427
0,877
-24,6468
0,2286
-17,6183
P-Значение
0,3377
3,38E-09
0,3892
1,5E-18
0,8211
3,12E-15
Нижние
95%
-2,3275
5,516
-0,0444
-1,2326
-0,0013
-0,1915
Верхние
95%
0,8307
8,7786
0,1101
-1,0421
0,0016
-0,1513
Рис.11.10 – Расчёты пятифакторной эконометрической модели
Множественный коэффициент корреляции R характеризует тесноту линейной связи рассматриваемого набора факторов x1 , x2 , x3 , x4 , x5 с
исследуемым признаком y . Границы изменения коэффициента множественной корреляции от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1 (в нашем примере R = 0,9974 ), тем теснее линейная связь результативного признака со
всем набором исследуемых факторов.
Множественный коэффициент детерминации R 2 = 0,9948 , то дисперсия (т.е. разброс) прибыли y на 99,48% объясняется регрессией, т.е. зависимостью от показателей x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Величина 1 − R 2 = 0,0052 (т.е.
0,52%) характеризует долю дисперсии y , вызванную влиянием не учтённых в модели факторов.
В разделе «Дисперсионный анализ» (рис. 11.10) на пересечении
строки «Остаток» и столбца « MS » находится несмещённая оценка дисперсии остатков σˆ ε2 = 0,0066 . Извлекая квадратный корень, получим среднее
квадратическое отклонение – стандартную ошибку σˆ ε2 = 0,0813 . В следующей строке табл. 2.2.6 располагается число наблюдений n = 30 .
Раздел «Дисперсионный анализ» называют ANOVA-таблицей
(analysis of variance). Она содержит обозначение df (degree of freedom) –
221
число степеней свободы. В уравнение регрессии входит m = 5 независимых переменных (строка «Регрессия»), в строке «Остаток» содержится
n − m − 1 = 24 , что в сумме (строка «Итого») составляет n − 1 = 29 .
Значимость уравнения множественной регрессии в целом определяется
с помощью статистического F -критерия Фишера. Вероятность того, что Z
будет меньше фактического значения F , можно оценить по формуле
P(Z < F ) = FРАСП( F ; k1 ; k2 ).
Для нашего примера:
P(Z < 910,4301) = FРАСП(910,4301;5;24) = 1,56E-26 = 1,56 ⋅ 10−26 .
Эту вероятность сравниваем с заданным уровнем значимости α = 0,05 .
Так как P( Z < F ) ≤ α , т.е. вероятность ошибки не превысила 5%, то пятифакторное уравнение регрессии значимо с надёжностью не менее 95%.
Последний раздел отчета на рис.11.10 содержит коэффициенты регрессии a = −0,7484 , b1 = 7,1473 , b2 = 0,0328 , b3 = −1,1373 , b4 = 0,0002 ,
b5 = −0,1714 .
В столбце «Стандартная ошибка» расположены σ ( a ) = 0,7651,
σ ( b1 ) = 0,7904 ,
σ ( b2 ) = 0,0374 ,
σ ( b3 ) = 0,0462 ,
σ ( b4 ) = 0,0007 ,
σ ( b5 ) = 0,0097 .
Для проверки значимости коэффициентов регрессии применяют статистический t -критерий Стьюдента. Пусть T – случайная величина,
имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы
k = n − m − 1 . Вычисляются фактические значения t -критерия Стьюдента:
t (a) =
a
σ (a)
; t (b j ) =
bj
σ (bj )
, j = 1,2,..., m .
Они помещены в столбце « t -статистика»: t (a) = −0,9782 ; t (b1 ) = 9,0427 ;
t (b2 ) = 0,877 ; t (b3 ) = −24,6468 ; t (b4 ) = 0, 2286 ; t (b5 ) = −17,6183 .
Заметим, что свободный член a обычно не проверяется на статистическую значимость. Вероятность того, что T будет меньше фактического
значения t (b j ) ( j = 1,5 ), можно оценить по формуле
P(T < t (b j ) ) = СТЬЮДРАСП( t (b j ) ; k ;2).
Для нашего примера (столбец « P -Значение») имеем:
222
P(T < t (b1 ) ) = СТЬЮДРАСП(9,0427;24;2) = 3,38E-09 = 3,38 ⋅ 10−9 ;
P(T < t (b2 ) ) = 0,3892 ; P(T < t (b3 ) ) = 1,5 ⋅ 10−18 ;
P(T < t (b4 ) ) = 0,8211 ; P(T < t (b5 ) ) = 3,12 ⋅ 10−15 .
Эти вероятности сравниваем с заданным уровнем значимости
α = 0,05 . Так как P(T < t (b2 ) ) > α и P(T < t (b4 ) ) > α , то оценки коэффициентов регрессии b2 = 0,0328 и b4 = 0,0002 не являются значимыми. Т.к.
P(T < t (b1 ) ) ≤ α , P(T < t (b3 ) ) ≤ α и P(T < t (b5 ) ) ≤ α , то оценки коэффициентов регрессии b1 = 7,1473 , b3 = −1,1373 и b5 = −0,1714 значимы с надёжностью не менее 95%.
Среди незначимых оценок наибольшая вероятность ошибки
P (T < t (b4 ) ) = 0,8211 , поэтому переменная x4 должна быть исключена из
модели. Эта процедура повторяется до тех пор, пока все оценки коэффициентов регрессии не будут статистически значимыми.
Такой подход называют алгоритмом пошагового регрессионного
анализа. После завершения алгоритма мы получим уравнение регрессии с
максимальным числом значимых коэффициентов.
На рис. 11.10 в столбцах «Нижние 95%» и «Верхние 95%» содержит
интервальные оценки коэффициентов регрессии. Т.к. среди этих параметров
оказались незначимые, то нет смысла давать объяснения их интервальным
оценкам. Это будет сделано после построения окончательной модели.
Повторяем те же действия, что и в начале решения примера. В
Microsoft Excel в пункте меню «Сервис» выбираем пакет прикладных программ «Анализ данных». Пользуемся инструментом анализа «Регрессия».
Вводим входной интервал для y и входной интервал для x1 , x2 , x3 , x5 при
уровне надёжности 95%. Результаты вычислений округляем до четвёртого
знака и приводим отчет на рис 11.11. Получена линейная четырёхфакторная эконометрическая модель:
y x = −0,7247 + 7,1347 x1 + 0,0297 x2 − 1,1395 x3 − 0,1711x5 .
Данные отчета на рис. 11.11. говорят о следующем. Т.к. множественный коэффициент корреляции R = 0,9974 близок к 1, то наблюдается высокая теснота линейной связи факторов x1 , x2 , x3 , x5 с исследуемым признаком y . Т.к. множественный коэффициент детерминации R 2 = 0,9947 ,
то дисперсия прибыли y на 99,47% объясняется найденной регрессией.
Величина 1 − R 2 = 0,0053 (т.е. 0,53%) характеризует долю дисперсии y ,
вызванную влиянием не учтённых в модели факторов.
Фактическое значение критерия Фишера составляет F = 1182,866 .
Оценена вероятность P( Z < F ) = 4,33 ⋅ 10−28 . Эту вероятность сравниваем с
223
заданным уровнем значимости α = 0,05 . Т.к. P( Z < F ) ≤ α , то четырёхфакторное уравнение регрессии значимо с надёжностью не менее 95%.
Анализируем столбец « P -Значение». Найденная вероятность
P (T < t (b2 ) ) = 0,3901 оказалась больше уровня значимости α = 0,05 .
Оценка коэффициента регрессии b2 = 0,0297 не является значимой, поэтому переменная x2 должна быть исключена из модели.
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множествен0,9974
ный R
R-квадрат
0,9947
Нормированный
0,9939
R-квадрат
Стандартная
0,0797
ошибка
Наблюдения
30
Дисперсионный анализ
df
Регрессия
Остаток
Итого
Y-пересечение
Переменная X 1
Переменная X 2
Переменная X 3
Переменная X 5
4
25
29
Коэффициенты
-0,7247
7,1347
0,0297
-1,1395
-0,1711
SS
MS
30,0742
7,5186
0,1589
0,0064
30,2331
Стандартt-станая ошибка тистика
0,7435
-0,9746
0,7734
9,2255
0,0336
0,8747
0,0443
-25,7321
0,0095
-18,1147
1182,866
Значимость F
4,33E-28
P-Значение
0,3391
1,59E-09
0,3901
1,65E-19
6,89E-16
Нижние
95%
-2,256
5,5419
-0,0397
-1,2307
-0,1905
F
Верхние
95%
0,8066
8,7274
0,0985
-1,0483
-0,1516
Рис.11.11 – Расчёты четырёхфакторной эконометрической модели
Пользуемся теми же инструментами анализа Microsoft Excel. Вводим входной интервал для y и входной интервал для x1 , x3 , x5 при уровне
надёжности 95%. Округляем данные до четвёртого знака и приводим отчет
на рис 11.12.
Линейная трёхфакторная эконометрическая модель имеет вид:
y x = −0,818 + 7,2787 x1 − 1,1414 x3 − 0,1703x5 .
Отчет на рис. 11.12 следующую информацию. Множественный коэффициент корреляции R = 0,9973 близок к 1. Следовательно, наблюдается высокая теснота линейной связи факторов x1 , x3 , x5 с признаком y . Множественный коэффициент детерминации R 2 = 0,9946 . Значит, дисперсия y на
224
99,46% объясняется найденной регрессией. Величина 1 − R 2 = 0,0054 (т.е.
0,54%) характеризует долю дисперсии y , вызванную влиянием не учтённых
в модели факторов.
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множествен0,9973
ный R
R-квадрат
0,9946
Нормированный
0,994
R-квадрат
Стандартная
0,0794
ошибка
Наблюдения
30
Дисперсионный анализ
Регрессия
Остаток
Итого
Y-пересечение
Переменная X 1
Переменная X 3
Переменная X 5
df
SS
MS
F
3
26
29
Коэффициенты
-0,818
7,2787
-1,1414
-0,1703
30,0694
0,1638
30,2332
Стандартная ошибка
0,7325
0,7522
0,044
0,0094
10,0231
0,0063
1591,28
Значимость F
1,44E-29
t-статистика
-1,1168
9,6765
-25,9215
-18,1925
P-Значение
0,2741
4,19E-10
4,2E-20
2,61E-16
Нижние
95%
-2,3237
5,7325
-1,2319
-0,1896
Верхние
95%
0,6876
8,8249
-1,0509
-0,1511
Рис.11.12 – Расчёты трёхфакторной эконометрической модели
Фактическое значение критерия Фишера F = 1591,28 . Получена вероятность P( Z < F ) = 1,44 ⋅ 10−29 . Т.к. P(Z < F ) ≤ 0,05 , то трёхфакторное
уравнение регрессии значимо с надёжностью не менее 95%.
Столбец « P -Значение» содержит вероятности для коэффициентов регрессии b1 = 7, 2787 , b3 = −1,1414 , b5 = −0,1703 (свободный член a = −0,818
не анализируется). Все вероятности оказалась меньше уровня значимости
α = 0,05 . Следовательно, все оценки коэффициентов регрессии значимы.
Алгоритм пошагового регрессионного анализа завершён. Построенная трёхфакторная модель – это уравнение регрессии с максимальным
числом ( m = 3 ) значимых коэффициентов.
В столбцах «Нижние 95%» и «Верхние 95%» содержит интервальные
оценки параметров уравнения регрессии. Они вычислены по данным
столбцов «Коэффициенты» и «Стандартная ошибка»:
−0,818 − 2,056 ⋅ 0,7325 ≤ a ≤ −0,818 + 2,056 ⋅ 0,7325 , −2,3237 ≤ a ≤ 0,6876 ;
5,7325 ≤ b1 ≤ 8,8249 ; −1, 2319 ≤ b3 ≤ −1,0509 ; −0,1896 ≤ b5 ≤ −0,1511 .
225
Численные значения доверительных интервалов объясняют следующим образом. Например, точеная оценка b1 = 7, 2787 с надёжностью не менее 95% может колебаться от 5,7325 до 8,8249.
3. Построим точечный и интервальный прогнозы для прибыли предприятия y при допущении, что средние показатели по x1 , x3 , x5 будут превышены на 5%.
Так как x1 = 0,743 , x3 = 0,572 , x5 = 19,0367 , то предполагаемые значения: x1(0) = x1 (1 + 0,05) = 0,734 ⋅ 1,05 = 0,7802 , x3(0) = 0,6006 , x5(0) = 19,9854 .
Вектор предполагаемых значений:
⎛ 1 ⎞
⎜ 0,7802 ⎟
⎟.
X0 = ⎜
⎜ 0,6006 ⎟
⎜
⎟
⎝19,9854 ⎠
Точечный прогноз для среднего значения прибыли агроцеха:
Y 0 = X 0T
⎛ −0,818 ⎞
⎜ 7, 2787 ⎟
⎟ = 0,77 (млн грн).
⋅ B = (1 0,7802 0,6006 19,9854 ) ⋅ ⎜
⎜ −1,1414 ⎟
⎜
⎟
⎝ −0,1703 ⎠
Вычислим дисперсию прогноза:
σ pr2 = σ ε2 ⋅ X 0T ( X T X ) X 0 = 0,0055 .
−1
Извлекая квадратный корень, найдём среднеквадратическую ошибку
прогноза σ pr = 0,0367 .
Доверительный интервал для среднего значения (математического
ожидания) прогноза зависимой переменной находим по формуле:
Y 0 − tтабл (α ; k ) ⋅ σ pr ≤ M [Y0 ] ≤ Y 0 + tтабл (α ; k ) ⋅ σ pr ,
0,7672 ≤ M [Y0 ] ≤ 0,8453 .
Рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение индивидуального прогноза:
σ pr2 (i ) = σ ε2 + σ pr2 = 0,0068 ,
226
σ pr (i ) = 0,0825 .
Доверительный интервал для индивидуального значения прогноза:
Y 0 − tтабл (α ; k ) ⋅ σ pr ( i ) ≤ Y0 ≤ Y 0 + tтабл (α ; k ) ⋅ σ pr (i ) ,
0,6004 ≤ Y0 ≤ 0,9395 .
Задание примера выполнено полностью.
11.6. Анализ влияния факторов на производительность труда
малых предприятий
Ранее была рассмотрена линейная модель множественной регрессии:
y = a + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm + ε .
При построении такой модели предполагают, что выполняются следующие гипотезы.
1. Спецификация модели:
yi = a + b1 xi1 + b2 xi 2 + ... + bm xim + ε i ,
где i = 1,..., n – номер наблюдения.
2. Числовые значения независимых переменных xi1 , xi 2 ,..., xim являются детерминированными (не случайными) величинами. Векторы
⎛ x1 j ⎞
⎜ ⎟
x2 j
x j = ⎜⎜ ⎟⎟ , j = 1,..., m
...
⎜ ⎟
⎜x ⎟
⎝ nj ⎠
линейно независимыми в пространстве R n .
3. Случайные величины ε i удовлетворяют условиям. Их математические ожидания равны нулю: M (ε i ) = 0 . Дисперсии: D(ε i ) = M (ε i 2 ) = σ 2 .
Причём значения математических ожиданий и дисперсий ошибок не зависят от номера наблюдений i .
4. При k ≠ l ковариации ошибок равны нулю:
cov(ε k , ε l ) = M (ε k ⋅ ε l ) = 0 ,
то есть для разных наблюдений имеет место статистическая независимость
(некоррелированность) ошибок.
227
5. (дополнительная гипотеза). Ошибки ε i являются нормально распределёнными случайными величинами со средним 0 и дисперсией σ 2 :
ε i ∼ N (0,σ 2 ) .
Заметим, что при выполнении гипотез 1 – 5 эконометрическая модель называется нормальной линейной регрессионной моделью.
Важнейшую роль в эконометрическом анализе играет следующая
теорема, формулировка которой приводится без доказательства.
Теорема Гаусса-Маркова. Предположим, что для линейной модели
множественной регрессии выполняются гипотезы 1 – 4. Тогда оценки коэффициентов регрессии a, b1 , b2 ,..., bm , найденные с помощью МНК, являются наиболее эффективными (в смысле наименьшей дисперсии) среди
всех линейных несмещённых оценок.
Заметим, что при невыполнении отдельных гипотез теорема ГауссаМаркова становится неприменимой. Следовательно, и МНК не будет давать достоверных результатов.
Нарушение условия линейной независимости векторов x j (гипотеза
2) приводит к нежелательному явлению, называемому мультиколлинеарностью. Условие независимости дисперсии ошибок от номера наблюдения
(гипотеза 3) называется гомоскедастичностью. Нарушение данного условия называют гетероскедастичностью. Невыполнение гипотезы 4 называется автокорреляцией ошибок.
Мультиколлинеарность означает существование тесной линейной
зависимости, или сильной корреляции, между двумя или более объясняющими переменными.
Она негативно влияет на количественные характеристики эконометрической модели, или делает ее построение вообще невозможным.
Пример. На производительность труда однотипных малых предприятий влияет ряд факторов, среди которых: удельный вес рабочих на предприятии x1 ; премии и другие вознаграждения на одного работника x2 (ден.
ед.); оборачиваемость нормируемых оборотных средств x3 (дни). Исследовать на мультиколлинеарность переменные x1 , x2 , x3 . При наличии мультиколлинеарности предложить меры по её устранению. Статистические
данные по десяти предприятиям приведены в табл. 11.8. Уровень значимости α = 0,05 .
Решение. Исследуем мультиколлинеарность в массиве независимых
переменных при помощи алгоритма Фаррара–Глобера. Расчёты проведём в
Microsoft Excel, округляя числа до четвёртого знака после запятой.
1. Нахождение корреляционной матрицы выполним с помощью
встроенной функции «Корреляция» (Сервиз → Анализ данных → Корреляция), которая позволяет находить коэффициенты корреляции более чем
двух факторов:
228
1
0,5591 −0,9789 ⎞
⎛
1 *T * ⎜
1
r = X X = ⎜ 0,5591
−0,5137 ⎟⎟ .
n
⎜ −0,9789 −0,5137
⎟
1
⎝
⎠
Таблица 11.8
Данные по десяти предприятиям
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1
0,68
0,74
0,66
0,72
0,68
0,77
0,78
0,78
0,81
0,79
x2
0,42
0,05
0,29
0,48
0,41
0,62
0,56
1,76
1,31
0,45
x3
25,68
18,13
25,74
21,21
22,97
16,38
13,21
14,48
13,38
13,69
Её определитель: det(r ) = 0,0276 . При det(r ) = 0 имеется полная
мультиколлинеарность, а если det(r ) = 1 , то мультиколлинеарность отсутствует. В нашем случае 0 < det(r ) < 1 , поэтому продолжим исследование на
наличие мультиколлинеарности.
2. Определение фактического значения критерия «хи»-квадрат Пирсона:
⎡
⎣
1
6
⎤
⎦
χ 2 = − ⎢ n − 1 − (2m + 5) ⎥ ln [ det(r ) ] = 25,7279 .
Фактическое значение критерия χ 2 сравнивается с табличным зна1
чением при (m + 1)m = 6 степенях свободы и уровне значимости α = 0,05 :
2
2
χ t = 12,5916 . Т.к. χ 2 > χ 2t , то в массиве объясняющих переменных существует мультиколлинеарность.
3. Определение обратной матрицы:
⎛ 26,6709 −2,0386 25,0604 ⎞
C = r = ⎜⎜ −2,0386 1,5143 −1,2177 ⎟⎟ .
⎜ 25,0604 −1,2177 24,9056 ⎟
⎝
⎠
−1
229
4. Вычисление F -критериев Фишера по формуле Fk = (ckk − 1)
n − m −1
,
m
где ckk – диагональные элементы матрицы C :
F1 = 51,3419 ; F2 = 1,0286 ; F3 = 47,8112 .
Фактические значения критериев сравниваются с табличным Ft при
m = 3 и n − m − 1 = 6 степенях свободы и уровне значимости α = 0,05 :
Ft = 4,7571 . Т.к. F1 > Ft и F3 > Ft , то независимые переменные x1 и x3
мультиколлинеарны с другими.
5. Нахождение частных коэффициентов корреляции по формуле
−ckj
, где ckj – элемент матрицы C , содержащийся в k -ой строке и
rkj =
ckk ⋅ c jj
j -ом столбце; ckk и c jj – диагональные элементы матрицы C :
r12 = 0,3208 ; r13 = −0,9724 ; r23 = 0,1983 .
6. Вычисление t -критериев Стьюдента по формуле tkj =
rkj n − m − 1
1 − rkj2
:
t12 = 0,8296 ; t13 = −10,1981 ; t23 = 0, 4955 .
Фактические значения критериев сравниваются с табличным tT при
n − m − 1 = 6 степенях свободы и уровне значимости α = 0,05 : tT = 2, 4469 .
Т.к. t13 > tT , то между независимыми переменными x1 и x3 существует
мультиколлинеарность.
Для того, чтобы избавиться от мультиколлинеарности, можно исключить одну из переменных мультиколлинеарной пары x1 и x3 . Удалить
следует переменную x1 , т.к. у неё больше значение F -критерия. Следовательно, она больше влияет на общую мультиколлинеарность модели. Однако этот шаг не должен противоречить экономическому смыслу задачи.
Пример приведен полностью.
11.7. Проверка гипотезы о гомоскедастичности дисперсии ошибок
Условие независимости дисперсии ошибок от номера наблюдения
называется гомоскедастичностью. Нарушение данного условия вызывает
нежелательное явление, называемое гетероскедастичностью.
Часто при исследовании совокупности данных на гетероскедастичность предполагается, что дисперсия остатков пропорциональна квадрату
значений одной из независимых переменных x j .
230
В этом случае наиболее эффективен параметрический тест Гольдфельда-Квандта. Опишем его алгоритм.
Пример. В таблице 11.9 приведены данные по зависимой переменной y и независимым переменным x1 , x2 , x3 . Требуется проверить наличие
гетероскедастичности с помощью параметрического теста ГольдфельдаКвандта при уровне значимости α = 0,05 .
Таблица 11.9
Данные задачи
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
y
-2,66
1,41
-2,79
0,42
-2,24
1,41
1,89
0,36
1,18
5,18
1,44
1,55
0,09
1,9
1,43
5,39
-2,3
1,42
1
0,91
-3,76
1,12
0,03
0,55
-2,76
-2,78
1,72
0,61
0,5
0,61
x1
0,68
0,74
0,66
0,72
0,68
0,77
0,78
0,78
0,81
0,79
0,77
0,78
0,72
0,79
0,77
0,8
0,71
0,79
0,76
0,78
0,62
0,75
0,71
0,74
0,65
0,66
0,84
0,74
0,75
0,75
x2
0,42
0,05
0,29
0,48
0,41
0,62
0,56
1,76
1,31
0,45
0,5
0,77
1,2
0,21
0,25
0,15
0,66
0,74
0,32
0,89
0,23
0,32
0,54
0,75
0,16
0,24
0,59
0,56
0,63
1,1
x3
25,68
18,13
25,74
21,21
22,97
16,38
13,21
14,48
13,38
13,69
16,66
15,06
17,6
15,98
18,27
14,42
22,76
15,41
19,35
16,83
30,53
17,98
22,09
18,29
26,05
26,2
17,26
18,83
19,7
16,87
231
Решение. Применим параметрический тест Гольдфельда-Квандта.
Предположим, что дисперсия остатков пропорциональна квадрату
значений одной из независимых переменных x j . Графически определим
эту переменную. Построим поля парной корреляции (рис. 11.13 – 11.15).
Рис. 11.13 – Корреляционное поле переменных x1 и y
Рис. 11.14 – Корреляционное поле переменных x2 и y
232
Рис. 11.15 – Корреляционное поле переменных x3 и y
Как видно на рис. 11.14 источником гетероскедастичности является,
скорее всего, переменная x2 .
1. Упорядочим наблюдения в соответствии с возрастанием значений
вектора X 2 .
2. Требуется отбросить c наблюдений, содержащихся в середине
c 4
получаем, что c = 8 .
массива данных. Т.к. n = 30 , то по формуле =
n 15
Данные примут вид (табл. 11.10):
3. Построим две эконометрические модели на основе 1МНК по двум
образованным совокупностям наблюдений объёмом n1 = 11 и n2 = 11 . Этот
объём превышает общее количество независимых переменных m = 3 , что и
требуется для теста.
В MS Excel в пункте меню «Сервис» выбираем пакет прикладных
программ «Анализ данных». Пользуемся инструментом анализа «Регрессия». Вводим входной интервал для y и входной интервал для x1 , x2 , x3
при уровне надёжности 95%. Имеем следующие модели:
1) y = −32,90009 + 46, 2564 x1 − 1,734991x2 − 0,013227 x3 ;
2) y = 16,57204 − 6,7803 x1 − 1,855062 x2 − 0,53462 x3 .
4. Найдём сумму квадратов остатков S1 и S 2 для первой и второй
моделей, соответственно: S1 = 12,3884 ; S 2 = 1, 29704 .
5. Вычислим критерий R* = 9,551327 , разделив большую сумму
квадратов остатков на меньшую. Для степеней свободы k1 = 8 , k2 = 8 и выбранного уровня значимости α = 0,05 определим табличное значение критерия Фишера Ft = 3, 4381 .
233
Таблица 11.10
Упорядоченные данные задачи
№
2
16
25
14
21
26
15
3
19
22
5
1
10
4
11
22
28
7
27
6
29
17
18
24
12
20
30
13
9
8
y
1,41
5,39
-5,76
1,9
-3,76
-2,78
1,43
-2,79
1
1,12
-2,24
x1
0,74
0,8
0,65
0,79
0,62
0,66
0,77
0,66
0,76
0,75
0,68
x2
0,05
0,15
0,16
0,21
0,23
0,24
0,25
0,29
0,32
0,32
0,41
x3
18,13
14,42
26,05
15,98
30,53
26,2
18,27
25,74
19,35
17,98
22,97
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
1,41
0,5
-2,3
1,42
0,55
1,55
0,91
0,61
0,09
1,18
0,36
0,77
0,75
0,71
0,79
0,74
0,78
0,78
0,75
0,72
0,81
0,78
0,62
0,63
0,66
0,74
0,75
0,77
0,89
1,1
1,2
1,31
1,76
16,38
19,7
22,76
15,41
18,29
15,06
16,83
16,87
17,6
13,38
14,48
Так как R* > Ft гетероскедастичность имеет место с надёжностью не
менее 95%. Рассмотрение примера окончено.
11.8. Анализ зависимости между переменными с временными
трендами на примере показателей розничного товарооборота и доходов населения
Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Коэффици234
ент корреляции между ε k и ε l , где ε k – остатки текущих наблюдений, ε l –
остатки последующих наблюдений (например, l = k + 1 ), может быть определен как
r (ε k , ε l ) =
cov ( ε k , ε l )
,
σ ε k ⋅ σ εl
то есть по обычной формуле линейного коэффициента корреляции. Если
этот коэффициент окажется существенно отличным от нуля, то остатки автокоррелированы.
Один из наиболее распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона.
Критерий выглядит так:
n
d=
∑ (ε
t =2
t
− ε t −1 )
n
∑ε
t =1
2
,
2
t
то есть величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели
регрессии.
Существует несколько ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона.
1. Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых
переменных лаговые значения результативного признака.
2. Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.
3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только
для больших выборок.
При наличии автокорреляции в остатках классический МНК не применим. Поэтому используют метод Эйткена (обобщённый МНК).
Пример. В табл. 11.11 приведены данные по независимой переменной – годовому доходу населения x (млрд евро). Зависимая переменная –
розничный товарооборот y (млрд евро).
Требуется: 1) построить линейную модель зависимости y от x ; 2)
проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках при уровне значимости α = 0,05 ; 3) при наличии автокорреляции применить методы по
её устранению.
Решение. 1) применив классический МНК (инструмент анализа
«Регрессия»), построим линейную модель зависимости y от x :
y x = −3,0309 + 1,3111x .
235
Таблица 11.11
Данные задачи
Год
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x
2,5
3
3,2
3,5
3,6
3,7
4
4,2
4,5
4,7
4,9
5
5,1
5,5
5,8
y
1,1
1,2
1,3
1,3
1,4
1,5
2
2,2
2,4
2,7
3
3,4
3,9
4,5
5,5
2) рассчитаем вектор остатков ε . Фактическое значение критерия
Дарбина-Уотсона составляет: d = 0,4025 . Сформулируем гипотезы: H 0 – в
остатках нет автокорреляции; H 1 – в остатках есть положительная автокорреляция; H1* – в остатках есть отрицательная автокорреляция. Зададим
уровень значимости α = 0,05 . По таблице значений критерия ДарбинаУотсона определим для числа наблюдений n = 15 и числа независимых параметров модели m = 1 (рассматривается только зависимость от x ) критические значения d L = 1,08 и dU = 1,36 . Т.к. 0 ≤ d ≤ d L , то имеется положительная автокорреляция остатков. Т.о. гипотеза H 0 отклоняется и с надёжностью 1 − α принимается H 1 ;
3) попытаемся применить доступные методы по устранению автокорреляции остатков.
Для применения метода Эйткена сформируем матрицу S , предварительно рассчитав коэффициент автокорреляции остатков 1-го порядка
r1 = 0,7119 . Предполагая, что ρ ≈ r1 , получим:
0,7119 ... 0,0086 ⎞
⎛ 1
⎜ 0,7119
1
... 0,0121 ⎟⎟
⎜
.
S=
⎜ ...
...
...
... ⎟
⎜
⎟
1 ⎠
⎝ 0,0086 0,0121 ...
236
Оператор оценивания обобщённого МНК имеет вид:
−1
⎛ −2,6330 ⎞
B = ( X / S −1 X ) X / S −1Y = ⎜
⎟.
1,2689
⎝
⎠
Поэтому модель получается такой:
y x = −2,6330 + 1,2689 x .
Снова рассчитаем вектор остатков ε . Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона составляет: d = 0,3139 . Т.к. 0 ≤ d ≤ d L , то имеется
положительная автокорреляция остатков.
Итак, с помощью метода Эйткена избавиться от автокорреляции остатков не удалось. Попробуем изменить спецификацию модели с линейной
на параболическую. Такую замену нам может подсказать вид корреляционного поля (рис. 11.16).
Рис. 11.16 – Корреляционное поле, линия регрессии
и уравнение зависимости
Рассчитаем вектор остатков ε . Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона составляет: d = 1,7731. Т.к. dU < d < 4 − dU (1,36<1,7731<2,64).
Следовательно, автокорреляция в остатках не наблюдается.
Задание примера выполнено.
11.9. Анализ временных рядов в задачах экономической динамики
При построении эконометрической модели используются два типа
данных: 1) данные, характеризующие совокупность различных объектов в
определенный момент времени; 2) данные, характеризующие один объект
за ряд последовательных моментов времени.
237
Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа
данных, называются моделями временных рядов.
Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какоголибо показателя за несколько последовательных моментов или периодов
времени. Каждый уровень временного ряда yt формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на
три группы: 1) факторы T , формирующие тенденцию ряда; 2) факторы S ,
формирующие циклические колебания ряда; 3) случайные факторы E .
В качестве примера рассмотрим (табл. 11.12) квартальные данные о
количестве безработных (тыс. чел.) в Украине в 2005–2009 гг.
Таблица 11.12
Пример временного ряда
t
yt
t
yt
1
1601
11
1130
2
1441
12
1205
3
1281
13
1425
4
1361
14
1285
5
1515
15
1141
6
1365
16
1207
7
1220
17
1959
8
1290
18
1773
9
1418
19
1557
10
1281
20
1564
Проиллюстрируем данный табл. 11.12 графически (рис. 11.17).
Рис. 11.17 – Корреляционное поле временного ряда
Рассмотрим воздействие каждого из факторов T , S и E на временной ряд в отдельности.
Большинство временных рядов экономических показателей имеют
тенденцию T , характеризующую долговременное совокупное воздействие
множества причин на динамику изучаемого показателя yt . В совокупности
формируется возрастающая или убывающую тенденция. На рис. 11.17 ряд
238
динамики в течение времени t = 1,...,16 (2005-2008 гг.) имел убывающую
тенденцию T . Начавшийся мировой экономический кризис привёл к росту
безработицы в Украине. Поэтому при t = 17,...,20 (2009 г.) наблюдалась, в
основном, возрастающая тенденция.
Изучаемый показатель yt может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей зависит от времени года. Например,
мороженое и пиво больше приобретают летом, а зимой – меньше. Судя по
рис. 11.17 временной ряд, временной ряд содержит сезонную компоненту
S . Характер роста и снижения уровня безработицы повторяется, в среднем, каждые четыре квартала.
Так как скачки вверх и вниз на рис. 11.17 носят не всегда одинаковый
характер, то данный временной ряд содержит случайную компоненту E .
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда yt можно
представить как сумму или произведение трендовой T , циклической S и случайной компонент E . Если модель представлена суммой, то её называют аддитивной моделью временного ряда, произведением – мультипликативной
моделью. На практике чаще используют аддитивную модель
yt = T + S + E ,
которая будет рассмотрена нами в дальнейшем.
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда yt зависят от предыдущих yt −1 , yt − 2 и т.д. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями
этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Величину сдвига
называют лагом и обозначают буквой τ . В более широком смысле, лаг –
это время запаздывания влияния факторов.
С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается
коэффициент автокорреляции rτ , уменьшается. Для статистической достоверности коэффициентов автокорреляции считается целесообразным использовать правило – максимальный лаг не должен превышать 3n / 4 временных периодов. Например, для данных табл. 11.12 имеем n = 20 , поэтому 1 ≤ τ ≤ 15 .
Коэффициенты автокорреляции rτ удобно подсчитывать в MS Excel.
Для этого данные представляют в ступенчатом виде (табл. 11.13).
Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка r1 измеряет степень тесноты линейной связи между уровнями ряда yt и yt −1 .
Коэффициент r2 характеризует зависимость между yt и yt − 2 , и т.д.
239
Таблица 11.13
Расчёты коэффициентов автокорреляции rτ
1
2
3
4
5
6
7
…
15
16
17
18
19
20
21
22
23
A
B
C
D
E
F
yt
yt −1
yt − 2
yt − 3
yt − 4
t
1
1601
2
1441 1601
3
1281 1441 1601
4
1361 1281 1441 1601
5
1515 1361 1281 1441
1601
6
1365 1515 1361 1281
1441
…
…
…
…
…
…
14 1285 1425 1205 1130
1281
15 1141 1285 1425 1205
1130
16 1207 1141 1285 1425
1205
17 1959 1207 1141 1285
1425
18 1773 1959 1207 1141
1285
19 1557 1773 1959 1207
1141
20 1564 1557 1773 1959
1207
Лаг τ
1
2
3
4
rτ
0,4368 -0,082 0,0173 0,3011
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
P
yt −14
Q
yt −15
…
…
1601
1441 1601
1281 1441
1361 1281
1515 1361
1365 1515
14
15
-0,818 -0,635
Рассчитывают их следующим образом:
r1 = КОРРЕЛ(B3:B21;C3:C21) = 0,4368;
r2 = КОРРЕЛ(B4:B21;D4:D21) = -0,082;
r3 = КОРРЕЛ(B5:B21;E5:E21) = 0,0173;
и т.д.
r15 = КОРРЕЛ(B17:B21;Q17:Q21) = -0,635.
Величину лага τ и соответствующие значения коэффициентов автокорреляции rτ оформим отдельной табл. 11.14.
Таблица 11.14
Коэффициенты автокорреляции
τ
rτ
τ
rτ
240
1
0,4368
9
-0,256
2
-0,082
10
-0,781
3
4
5
0,0173 0,3011 -0,147
11
12
13
-0,4867 0,2165 -0,096
6
-0,6903
14
-0,818
7
-0,417
15
-0,635
8
0,0332
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка
коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой. Построим её
по табл. 11.14.
Рис. 11.18 – Коррелограмма временного ряда
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет
определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная. Естественно, что коэффициент автокорреляции
должен быть значимым по статистическому критерию Стьюдента. Кроме
того, вид коррелограммы позволяет определить периодичность сезонных
колебаний.
На рисунке 11.18 видно, что через каждые четыре квартала значение
коэффициента автокорреляции в среднем повторяется. Наиболее характерны значения r6 = −0,6903 , r10 = −0,781 , r14 = −0,818 . Следовательно, коррелограмма и графика исходных уровней временного ряда (рис. 11.18) позволяют сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных
колебаний периодичностью в четыре квартала.
Распространенным способом моделирования тенденции T временного ряда является построение с помощью МНК аналитической функции
T = f (t ) , характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Этот
способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.
Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для
её формализации можно использовать различные виды функций: 1) линейный
241
тренд T = a + b ⋅ t ; 2) полиномиальные тренды разных порядков
T = a + b1 ⋅ t + b2 ⋅ t 2 + ... + bm ⋅ t m ; 3) гипербола T = a + b ; 4) экспоненциальный
t
a +b⋅t
t
T =e
или показательный T = a ⋅ b тренды; 5) степенная функция T = a ⋅ t b .
Выбор типа тренда осуществляют по внешнему виду точечной диаграммы (t ; Tt ) , t = 1,..., n . Ранее описывалось, как такие задачи удобно решать в MS Excel. Для этого в пункте меню «Диаграмма» выбирают опцию
«Добавить линию тренда…».
Пример. Ранее в таблице 11.12 были приведены квартальные данные
о количестве безработных (тыс. чел.) в Украине в 2005-2009 гг.
Требуется по этим данным:
А) построить аддитивную модель временного ряда yt = T + S + E ;
Б) с помощью найденной модели осуществить прогноз безработицы
в Украине на 2010 г. поквартально.
Решение. А) Аддитивная модель строится в несколько этапов:
1) проведём выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Т.к. период сезонных колебаний – 4, то скользящая средняя
рассчитывается по данным за 4 квартала со сдвигом на один временной
период (третий столбец табл. 11.15). Полученные таким способом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты. Имеем:
1421 = (1601+1441+1281+1361)/4; 1399,5 = (1441+1281+1361+1515)/4
и т.д.;
Приведём эти значения в соответствие с фактическими моментами
времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных
скользящих средних – центрированные скользящие средние (столбец 4
табл. 11.15):
1410,25 = (1421+1399,5)/2; 1390 = (1399,5+1380,5)/2 и т.д.
2) Найдём оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда yt (столбец 2) и центрированными скользящими
средними (столбец 5). Используем эти оценки для расчёта значений сезонной компоненты S . Для этого найдем средние квартальные Si
( i = I,II,III,IV ). Например, для вычисления SI из последнего столбца возьмём числа, соответствующие первому кварталу каждого года. А именно,
t = 5 , t = 9 , t = 13 и t = 17 :
SI = (142,125+127+162,375+387)/4 = 204,625.
Найденные числа поместим в строку 2 таблицы 11.16.
242
В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимно погашаются. В аддитивной модели это
выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Поэтому введём корректирующее число:
k = ( SI + SII + SIII + SIV ) / 4 = 2,5234375 .
Таблица 11.15
Расчёты для примера
№ квартала,
t
Количество безработных (тыс. чел.),
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1601
1441
1281
1361
1515
1365
1220
1290
1418
1281
1130
1205
1425
1285
1141
1207
1959
1773
1557
1564
Скользящая
средняя за
четыре
квартала
–
1421
1399,5
1380,5
1365,25
1347,5
1323,25
1302,25
1279,75
1258,5
1260,25
1261,25
1264
1264,5
1398
1520
1624
1713,25
–
–
Центрированная
скользящая
средняя
–
–
1410,25
1390
1372,875
1356,375
1335,375
1312,75
1291
1269,125
1259,375
1260,75
1262,625
1264,25
1331,25
1459
1572
1668,625
–
–
Оценка сезонной
компоненты
–
–
-129,25
-29
142,125
8,625
-115,375
-22,75
127
11,875
-129,375
-55,75
162,375
20,75
-190,25
-252
387
104,375
–
–
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты
Si = Si − k ( i = I,II,III,IV ) и занесём в последнюю строку табл. 11.16. Если
расчёты правильны, то должно выполниться свойство:
IV
∑S
i =I
i
= 0.
243
Таблица 11.16
Расчёты сезонной компоненты
Показатели
I
Средняя оценка сезонной компоненты для i го квартала, Si
Скорректированная сезонная компонента, Si
204,625
№ квартала, i
II
III
36,40625
-141,0625
IV
-89,875
202,101562 33,8828125 -143,585937 -92,39843
3) формируем таблицу 11.17, поместив в первые три столбца значения t , yt и Si (числа округлены до второго знака после запятой). Исключим влияние сезонной компоненты, вычислив yt − Si (столбец 4).
4) согласно аддитивной модели yt − Si = T + E . Следовательно, столбец 4 содержит только тенденцию и случайную компоненту.
Выберем тип линии тренда по внешнему виду точечной диаграммы
(t ; yt − Si ) , t = 1,...,20 . Более всего подойдёт полином 2-го порядка. Поэтому используем в MS Excel пункт меню «Диаграмма» и выбираем опцию
«Добавить линию тренда…». Уравнение регрессии помещаем на диаграмме (рис. 11.19):
T = 3,958 ⋅ t 2 − 70,936 ⋅ t + 1575, 2 .
Подставляя в это уравнение числа t = 1,...,20 , найдём значения тенденции T (столбец 5 табл. 11.17).
Рис. 11.19 – Кривая тренда временного ряда
244
5) найдём теоретические значения уровней ряда yˆ t = T + Si , полученные по аддитивной модели (столбец 6 табл. 11.17). Определим случайную
компоненту E = yt − yˆ t (столбец 7). Возведём её в квадрат (столбец 8).
Рассчитаем выборочное среднее фактических уровней ряда:
1 n
y = ∑ yt = 1400,95 .
n t =1
Таблица 11.17
Вспомогательные расчёты
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
∑
yt
Si
yt − S i
T
yˆt
E
E2
( yt − y )
1601
1441
1281
1361
1515
1365
1220
1290
1418
1281
1130
1205
1425
1285
1141
1207
1959
1773
1557
1564
–
202,10
33,88
-143,59
-92,40
202,10
33,88
-143,59
-92,40
202,10
33,88
-143,59
-92,40
202,10
33,88
-92,40
-92,40
202,10
33,88
-143,59
-92,40
–
1398,90
1407,12
1424,59
1453,40
1312,90
1331,12
1363,59
1382,40
1215,90
1247,12
1273,59
1297,40
1222,90
1251,12
1233,40
1299,40
1756,90
1739,12
1700,59
1656,40
–
1508,22
1449,16
1398,01
1354,78
1319,47
1292,07
1272,59
1261,02
1257,37
1261,64
1273,82
1293,92
1321,93
1357,86
1401,71
1453,47
1513,15
1580,74
1656,25
1739,68
–
1710,32
1483,04
1254,43
1262,39
1521,57
1325,95
1129,00
1168,63
1459,48
1295,52
1130,24
1201,52
1524,04
1391,75
1309,31
1361,07
1715,25
1614,63
1512,67
1647,28
–
-109,32
-42,04
26,57
98,61
-6,57
39,05
91,00
121,37
-41,48
-14,52
-0,24
3,48
-99,04
-106,75
-168,31
-154,07
243,75
158,37
44,33
-83,28
–
11951,64
1767,60
706,07
9724,81
43,19
1524,53
8280,26
14731,75
1720,22
210,91
0,06
12,10
9808,04
11394,88
28328,78
23738,66
59413,30
25082,07
1965,32
6935,82
40020,00
1604,00
14388,00
1596,00
13007,40
1292,40
32742,90
12309,90
290,70
14388,00
73413,90
38396,40
578,40
13444,40
67574,00
37616,60
311419,80
138421,20
24351,60
26585,30
217340,01
863440,95
2
Находим значения ( yt − y ) в последнем столбце таблицы 11.17. Вычисляем суммы по двум последним столбцам и определяем коэффициент
детерминации:
2
R =1−
2
∑ E2
∑ ( yt − y )
2
=1−
217340,01
= 0,7483 .
863440,95
245
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет
74,83% общей вариации уровней временного ряда. На долю остальных
факторов приходится 25,17%.
На одном графике (рис. 11.20) поместим фактические значения yt
уровней временного ряда и теоретические yˆt , полученные по аддитивной
модели.
Рис. 11.20 – Уровни временного ряда
По рис. 11.20 видно, что теоретические значения yˆt не слишком отличаются от фактических значений yt . Вычислим среднее значение относительных отклонений
⎞
1 n ⎛ yt − yˆt
∆ = ∑⎜
⋅ 100% ⎟ = 5,7958% ,
n t =1 ⎝ yt
⎠
которое можно считать достаточным для достоверных прогнозов.
Б) С помощью найденной модели рассчитаем прогноз безработицы в
Украине на 2010 г. поквартально.
Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Подставляя
t = 21,22,23,24 в уравнение T = 3,958 ⋅ t 2 − 70,936 ⋅ t + 1575,2 , оценим значения тенденции временного ряда. Прибавляя к ним значения сезонных составляющих, получим:
246
F21 = T21 + S I = 2033,12 ; F22 = T22 + S II = 1964,16 ;
F23 = T23 + S III = 1893,87 ; F24 = T24 + S IV = 2060,15 .
Итак, в 2010 г. в Украине уровень безработицы предположительно
составит: в I-м квартале – 2033,12 тыс. чел.; во II-м – 1964,16 тыс. чел.; в
III-м – 1893,87 тыс. чел.; в IV-м – 2060,15 тыс. чел. (рис. 11.21).
Рис. 11.21 – Прогнозы аддитивной модели
Рассмотрение примера завершено.
247
РАЗДЕЛ 12
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ТОВАРНЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
НА ТОРГОВОМ ПРЕДПРИЯТИИ
Современные обстоятельства, бизнес-среда требуют комплексного
усовершенствования инструментария и технологий контроля на всех этапах процесса принятия и реализации управленческих решений. Основным
недостатком существующих методик является отсутствие формализации и
четкого выделения элементов контрольного процесса. Именно это усложняет внедрение методик контроля в практику хозяйствования предприятий
и порядок их реализации. Результат основной деятельности торгового
предприятия существенно зависит от решений по товарному обеспечению.
Конкуренция крупных торговых компаний приводит к тому, что менеджеры стремятся повысить эффективность основной (торговой) деятельности
за счет усиления контроля за принятием и реализацией управленческих
решений.
Рассмотрим пример разработки моделей и методов контроля формирования товарного обеспечения торговых предприятий [60].
12.1. Системный анализ торгового предприятия
Исследование торговой компании как объекта управления позволило
выделить в управлении основной (торговой) деятельностью три уровня:
правление торговой компании (первый уровень); планово-экономический
отдел (второй уровень); отделы реализации готовой продукции и отдел поставок (третий уровень).
Для определения задач контроля принятия решений необходимо определить задачи планирования для каждого из трех уровней. На первом
уровне правлением советом директоров решается задача планирования,
которая заключается в следующем: определить основные направления развития торговой деятельности в зависимости от сложившейся ситуации на
рынке и финансового состояния торговой компании и установить интервалы изменения торговых наценок по j -му виду группы товаров, таким образом, чтобы максимизировать прибыль от основной деятельности P(t ) .
Таким образом, множеством входных переменных XPL1 для первого уровня управления являются показатели Баланса на начало планового периода
Cs (t0 ) ( s − статья Баланса, s = 1, S ), оценки экспертов о состоянии рынка
по группам товаров, а также результаты работы торговой компании за предыдущие периоды времени, а именно, объемы реализации OR j (t − 1) , поставок OS j (t − 1) , торговые наценки Tar j (t − 1) и прибыль P j (t − 1) по
группам товаров и прибыль по всей торговой компании P(t − 1) :
248
}
{
XPL1 = C s (t 0 ),s = 1, S , P(t − 1), OS j (t − 1), OR j (t − 1), Tar j (t − 1), j = 1, nvid ,
(12.1)
где nvid − количество групп товаров.
В качестве выходных переменных YPL1 первого уровня управления
выступают прибыль P пл (t ) , которую нужно получить за плановый период
времени (месяц, квартал, год и т.д.), объемы поставок и реализации в депл
нежном измерении по каждой товарной группе OS пл
j (t ), OR j (t ) интервалы
изменения
торговых
наценок
по
j-й
группе
товаров
[Ta r ′j пл ( t ); Ta r ′j′ пл ( t )] , которые в виде задания поступают на второй
уровень управления:
{
пл
пл
пл
YPL1 = P пл (t ), OS пл
j (t ), OR j (t ), [Tar ′j (t ); Tar ′j′ (t )], j = 1, nvid
}
(12.2)
На вход второго уровня управления поступают сведения о показателях
Баланса на начало планового периода C s (t 0 ) ( s − статья Баланса, s = 1, S ), совокупности поступивших предложений поставщиков Z, действующих договорах поставок D1 , и договорах, по которым истек срок действия D2 , а также
значения выходных переменных YPL1 из первого уровня управления:
{
пл
XPL2 = C s (t 0 ), s = 1, S , Z , D1 , D2 , P пл (t ), OS пл
j (t ), OR j (t ),
[Tar ′j пл (t ); Tar ′j′ пл (t )], j = 1, nvid
}
(12.3)
Задача планирования второго уровня состоит в формировании плана
поставок и реализации таким образом, чтобы прибыль от основной деятельности была максимальной и не ниже плановой P пл (t ) . Множество выходных переменных второго уровня YPL2 управления характеризуется
плановыми заданиями для отделов поставок: обеспечить поставку niпл
( j ) (t )
единиц товара i -го вида ( i = 1, N ( j ) ) в j -й товарной группе, в ценовом интервале [ Ce n ′ пл ( t ); Ce n ′′ пл ( t )] на сумму не более OS iпл
( j ) (t ) и отделам
i( j)
i( j)
продаж по группам товаров: реализовать nriпл
( j ) (t ) единиц товаров i -го вида j-й группы на сумму не менее ORiпл
( j ) (t ) с торговой наценкой
Tar jпл ( t ) ∈ [Ta r ′j пл ( t ); Ta r ′j′ пл ( t )] таким образом, чтобы обеспечить
максимальную прибыль P jпл (t ) по данной группе товаров:
249
{
пл
пл
′ пл
′′ пл
YPL2 = niпл
( j ) (t ), nri ( j ) (t ), [Ceni ( j ) (t ); Ceni ( j ) (t )], Tar j (t ),
пл
пл
ORiпл
( j ) (t ), OS i ( j ) (t ), P j (t ), i ( j ) = 1, N ( j ), j = 1, n vid
}
(12.4)
Выходные переменные YPL2 второго уровня являются входными для
планирования на третьем уровне:
{
пл
пл
пл
XPL3, j = niпл
( j ) (t ), nri ( j ) (t ), Ceni ( j ) (t ), Tar j (t ),
}
пл
пл
ORiпл
( j ) (t ), OS i ( j ) (t ), P j (t ) , j = 1, nvid
(12.5)
Задача планирования третьего уровня заключается в организации работы менеджеров по поставкам и продавцов-консультантов по j -й товарной группе таким образом, чтобы обеспечить выполнение планового задания
второго
уровня
пл
пл
niпл
( j ) (t ), nri ( j ) (t ), Ceni ( j ) (t ) ,
Tar jпл (t ), ORiпл
( j ) (t ),
OSiпл
( j ) (t ) и получить максимальный доход по j -й товарной группе не ни-
же P jпл (t ) рассчитанного на втором уровне.
В качестве решения задачи планирования на третьем уровне выступают задания для k -го менеджера по поставкам ( k = 1, n men , где n men −
количество менеджеров): количество товаров nkпл, i ( j ) (t ) по i( j ) -му виду
товара j -й товарной группы, договора на поставку которых должен заключить k -й менеджер, на сумму не более плановой OS кпл, i ( j ) (t ) , и задания
для s -го продавца-консультанта ( s = 1, nr , где n r − количество продавцовконсультантов): количество товаров по i( j ) -му виду товара j -й товарной
группы, которые должен реализовать s -й продавец-консультант nrsпл
, i ( j ) (t ) ,
на сумму не меньше плановой OR sпл, i ( j ) (t ) . Т.е. множеством выходных переменных третьего уровня при планировании основной деятельности торговой компании является
{
YPL3, j = nkпл, i ( j ) (t ), OS кпл, i ( j ) (t ), k = 1, nmen , nrsпл
, i ( j ) (t ),
}
OR sпл, i ( j ) ( t ), s = 1, n r , i = 1, N ( j ) , j = 1, nvid
(12.6)
В соответствии с разработанным планом менеджеры по поставкам
заключают договора на поставку d m ∈ D1 (где D1 − множество действую250
щих договоров данной торговой компании, m − номер договора), а продавцы-консультанты реализуют план продаж.
Анализ работы внутренних аудиторов, позволил установить, что
цель контроля в плановом режиме – выявление проблем, которые могут
стать причиной невыполнения плановых показателей на трех уровнях
управления YPL1 , YPL2 , YPL3, j , j = 1, nvid и выработка управляющих воз-
{
}
действий, направленных на выполнение плана.
Анализ деятельности торговых компаний показал, что выявление
проблем в плановом режиме осуществляется на основании проверки на наличие прецедентов проблемных ситуаций и аналогий (проблемная ситуация может быть идентифицирована как по отчетным данным так и прогнозным расчетам полученным по результатам экономико-математического моделирования). Последовательность операций контроля разработки решений в режиме планирования − сверху вниз (от первого уровня к
третьему). Сформированная гипотеза о механизме контроля, является основанием для формализации процесса контроля в плановом режиме.
Процесс контроля принятия решений по торговому обеспечению
предприятия осуществляется на основании информации по действующим
договорам, договорам торговой статистики, а также договорам, которые
находятся на стадии согласования.
На основании анализа деятельности торговой компании, нормативно-правовых актов регулирующих заключение договоров были выделены
следующие характеристики договоров и определена их структура.
Обозначим множество всех договоров, по которым хранится информация в базе данных ИТ СППР «Аудит» − D , а договора поставки −
d m , m = 1, M , (где m и M номер и количество договоров соответственно).
{
}
Тогда множество договоров имеет вид: D = d m , m = 1, M . В качестве характеристик договора поставки d m выступают:
m
~
~
m
m
∀d m ∈ D : d m = (c m
,
b
,
b
,
Cen
,
har
,
j
∈
J
,
i
∈
I
i
j
(
)
m
m ( j ),
f i( j ) i( j)
i( j)
~
s m , prbm , nbm , prs m , men km ) ,
ss m , rm , CS m , data m , srm , sr m , ∆sr m , bm , bm , s~
(12.7)
где m − номер договора,
c f − поставщик ( c f ∈ C , где C − совокупность поставщиков компа-
нии, f − номер поставщика);
b − объем поставки по договору;
b = (b1 , b 2 ,...., b
Np
) − партии поставок;
Cen − цена товара;
har = (har1 , har 2 ,...har L ) − характеристики товара;
251
~
J − множество товарных групп, по которым заключен договор;
~
I ( j ) − множество товаров в товарный группе, по которым заключен
договор;
ss − сумма договора;
r − условия оплаты ( r ∈ {0,1,2}, 0 − без предоплаты, 1 − с частичной
предоплатой, 2 − с полной предоплатой);
CS = cs u1 , cs u 2 , u = 1,U − условия скидок ( u и U − номер и количество уровней скидки соответственно, csu1 − объем скидки, csu 2 − минимальный объем поставки для получения скидки u -го уровня);
pr − условия поставки ( pr ∈ {0,1}; pr = 0 , если расходы на формирование, транспортировку товарных ресурсов несет поставщик, в противном случае pr = 1);
data − дата заключения договора;
sr − срок договора ( sr ∈ K , где K − совокупность сроков заключения
договоров);
sr = ( sr1 , sr2 ,...., srNp ) и ∆sr = ( ∆sr1 , ∆sr2 ,...., ∆srNp ) сроки поставок и
{
}
{
}
задержек соответственно ( sr p , p = 1, Np ∈ [ data , data + sr ] ;
1
2
ss = ( ss , ss ,...., ss
Np
Np
) − суммы поставок (
∑ ss p
= ss );
p =1
~
~
b − объем выполненных поставок по договору ( b ≤ b );
s~
s − объем платежей перечисленных по договору ( s~
s ≤ ss );
prb − объем просроченных поставок по договору ( prb ≤ b );
nb − объем невыполненных поставок по договору ( nb ≤ b );
prs − сумма просроченных выплат по договору ( prs ≤ ss );
menk − менеджер, заключивший договор ( menk ∈ Men , где Men −
множество менеджеров торговой компании).
Структура договоров определяется в зависимости от срока их действия и имеет следующий вид:
D = D1 ∪ D2 ∪ Z , D1 ∩ D2 ∩ Z = ∅ ,
(12.8)
где D1 − множество действующих договоров,
D2 − множество договоров торговой статистики,
Z − множество договоров на стадии согласования.
Для определения принадлежности договора d m одному из множеств
Z , D1 , D2 разработаны следующие логико-формальные правила.
1. Если по договору не наступил срок первой поставки, то договор
еще не вступил в силу, и является заявлением на поставку: ∀d m ∈ D :
(sr1 > data0 ) ⇒ d m ∈ Z ( data0 − текущая дата).
252
2. Если по договору закончился срок действия, и нет задолженности
торговой компании по расчетам, то он принадлежит множеству D2 − договоров торговой статистики: ∀d m ∈ D :
(data < (data
0
)
m + srm ∨ ( prs = 0 ) ⇒ d m ∈ D2 .
3. Договор, не являющийся заявлением на поставку и не относящийся к торговой статистике, принадлежит множеству действующих договоров: ∀d m ∈ D : (d m ∉ D2 ) ∧ (d m ∉ Z ) ⇒ d m ∈ D1 .
Структура поставщиков определяется в зависимости от их надежности по объемам и срокам поставок: C =
N kat
∪ C kat , где
kat =1
kat f – номер катего-
рии поставщика, характеризующий его надежность. В зависимости от номера категории поставщик определяется следующим образом:
⎧0, то поставщик не надежный по поставкам;
⎪1, то поставщик не надежный и по срокам и
⎪
⎪ по объемам поставок;
если kat f = ⎨
⎪3, то поставщик надежный и по срокам и
⎪ по объемам поставок;
⎪
⎩2, то поставщик среднего уровня надежности.
Категория поставщика определяется на основании следующих трех коэффициентов надежности: выполнения поставок, по объемам поставок, по
срокам поставок. Коэффициент надежности выполнения поставок, определяется как отношение суммы объемов невыполненных поставок к общей сумме
поставок по всем договорам, заключенным с данным поставщиком:
nad
1
f
⎛
⎞
N ( j)
⎜
m
m ⎟
=⎜ ∑
∑ ∑ nb Ceni ( j ) ⎟
∑ ss m .
⎜ m∈d (c f ) j∈ J i ( j ) =1 i ( j )
⎟ m∈d (c f )
⎝
⎠
Коэффициент надежности по объемам поставок определяется как отношение суммы просроченных поставок к общей сумме поставок по всем
договорам, заключенным с данным поставщиком:
nad
2
f
⎛
⎞
N ( j)
⎜
m
m ⎟
=⎜ ∑
∑ ∑ prbi ( j ) Ceni ( j ) ⎟
∑ ss m .
⎜ m∈d (c f ) j∈ J i ( j ) =1
⎟ m∈d (c f )
⎝
⎠
253
Коэффициент надежности по срокам поставок определяется как отношение суммарного времени задержек поставок к сроку действия по всем
договорам, заключенным с данным поставщиком:
nad
3
f
Np
⎛
⎞
⎜
m⎟
=⎜ ∑
∑ ∆sr p ⎟
∑ srm .
⎜ m∈d (c f ) p =1
⎟ m∈d (c f )
⎝
⎠
Тогда номер категории поставщика, характеризующий его надежность определяется по логико-формальным правилам:
⎧0, если (0,2 ≤ nad 1 ≤ 1);
f
⎪
⎪
2
3
⎪1, если (0,6 ≤ nad f ≤ 1) ∧ (0,6 ≤ nad f ≤ 1);
kat f = ⎨
⎪3, если (0 ≤ nad 2 ≤ 0,3) ∧ (0 ≤ nad 3 ≤ 0,3);
⎪
f
f
⎪
⎩2, в противном случае.
Пределы изменения коэффициента надежности в каждой группе и
количество категорий определяется торговой компанией на основании политики компании по отношению к поставщикам (которая базируется на
анализе рынка предложений по данной группе товаров).
Структура товаров в каждой товарной группе определяется по интегрированному критерию цена-качество. Для определения принадлежности видов товара к товарным группам разработаны логико-формальные правила.
1. Если качество и цена товара высокие, то товар принадлежит к
множеству элитных товаров I1 ( j ) в товарной группе j :
∀i ∈ I ( j ) : (hari1( j ) = 1) ∧ (Ceni ( j ) > Ceni′′( j ) ) ⇒ i ∈ I1 ( j ) ,
где Ceni′(′ j ) < Ceni′(′ пл
j) .
2. Если качество и цена товара низкие, то товар принадлежит к социальной группе товаров:
∀i ∈ I ( j ) : (hari1( j ) = 3) ∧ (Ceni ( j ) < Ceni′( j ) ) ⇒ i ∈ I 3 ,
где Ceni′( j ) > Ceni′(плj ) .
3. Если товар не является ни социальным, ни элитным, то принадлежит к множеству товаров «среднего класса»:
254
∀i ∈ I ( j ) : (i ∉ I1 ) ∧ (i ∉ I 3 ) ⇒ i ∈ I 2 .
Таким образом, структура номенклатуры товарооборота торговой
компании имеет вид:
∪ I ( j ) = ∪ I1 ( j ) ∪ I 2 ( j ) ∪ I 3 ( j ) .
j∈ J
j∈ J
Структура товарных групп определяется в зависимости от скорости
их реализации. Для определения принадлежности товарной группы разработаны логико-формальные правила.
1. Если средний срок реализации товаров данной товарной группы не
превосходит некоторого срока (определенного торговой компанией) srr ′ ,
то товарная группа принадлежит к множеству быстрореализуемых товарных групп:
∀j ∈ J : ( srr j ≤ srr ′) ⇒ j ∈ J 2 .
2. Если средний срок реализации товаров данной товарной группы
превосходит некоторый срок (определенный торговой компанией) srr ′′
( srr ′′ < srr ′) , то товарная группа принадлежит к множеству медленно реализуемых товарных групп:
∀j ∈ J : ( srr j > srr ′′) ⇒ j ∈ J 2 .
3. Если товарная группа не является ни быстрореализуемой, ни медленно, то принадлежит к множеству товарных групп «среднего срока реализации»:
∀j ∈ J :
( j ∉ J1 ) ∧ ( j ∉ J 3 ) ⇒
j ∈ J2 .
Следовательно, структура товарных групп в зависимости от скорости
их реализации имеет вид: J = J1 ∪ J 2 ∪ J 3 .
12.2. Адаптивные модели контроля по прецедентам товарного
обеспечения торгового предприятия
На основании информации по договорам торговой компании на поставку продукции аудитор выявляет проблемы, которые могут быть причиной невыполнения плановых показателей поставок, определенных в
формулах (12.2), (12.4), (12.6). На основании анализа деятельности внутренних аудиторов торговой компании были выделены и формализованы
прецеденты при формировании товарного обеспечения на трех уровнях
управления, начиная с первого. Для их формализации введем индекс про255
блемных договоров, который определяется как соотношение суммы поставок по проблемным договорам l -го вида к плановому объему поставок:
∑
ηl =
ss m ( sr p )
( m∈M l ) ∧ ( sr p ∈[t 0 , t 0 + t ])
n vid
∑
j =1
, l = 1, L ,
(12.9)
OS пл
j (t )
где M l – множество проблемных договоров.
На первом уровне были выделены следующие проблемы.
1–3. Индекс проблемных договоров l -ого вида за плановый период
[t 0 , t + t ] превышает критический уровень url :
ηl > url , l = 1,3 ,
где M 1 – множество проблемных договоров первого вида (с поставщиками,
которые имеют прецеденты нарушения сроков и объемов поставок), которое определяется по правилу: if c f ∈ C \ (C3 ∪ C 2 ) ⇒ ⇒ d m ( c f ) ∈ M 1 ,
M 2 – множество проблемных договоров второго вида (с поставщиками на
условиях предоплаты за товар с низкой скоростью реализации), которое определяется по правилу: if ( j ∈ J 2 ) ∨ ((r = 1) ∧ (r = 2)) ⇒ d m ( j , r ) ∈ M 2 ,
M 3 – множество проблемных договоров третьего вида (без учета затрат на формирование, транспортировку и хранение товарных ресурсов), которое определяется по правилу: if pr = 1 ⇒ d m ( pr ) ∈ M 3 .
4. Объем проблемных договоров трех видов M 4 ( M 4 =
L
∪Ml )
пре-
l =1
вышает критический уровень ur4 :
3
∑η l
l =1
> ur4 .
5. Составление договоров относительно приобретения товаров с поставщиками без определения оптимального соотношения ассортимента,
качества и цен товарной продукции (объемы элитных поставок больше
критического уровня ur5 или объемы социальных поставок ниже критического уровня ur6 ):
(η5 > ur5 ) ∨ (η 6 < ur6 ) ,
где коэффициенты η 5 и η6 , определяются равенством (12.9) для множества M 5 договоров на поставку элитных товаров, и для множества M 6 дого256
воров на поставку социальной группы соответственно, которые, в свою
очередь, определяются по следующим логико-формальным правилам:
M 5 ⊆ Z ∪ D1 : ∀ d m (i) ∈ M 4 ⇒ i ∈ I1 ( j ) ;
M 6 ⊆ Z ∪ D1 : ∀ d m (i) ∈ M 6 ⇒ i ∈ I 3 ( j ) .
На втором уровне были выделены следующие проблемы.
1. Соотношение объемов поставок i( j ) -го вида продукции по проблемным договорам первого вида к плановому объему поставок превышает критический уровень uri1( j ) , i ∈ I 1pr ( j ), j ∈ J 1pr :
∑
( m∈M 1 ) ∧ ( sr p ∈[t 0 , t 0 + t ])
bim( j ) ( sr p )
> uri1( j ) .
niпл
( j ) (t )
2–4. Индекс проблемных договоров l -го вида в j -ой товарной группе превышает критический уровень ur lj , j ∈ J lpr :
η lj > ur lj , l = 1,3 ,
N ( j)
∑
где η lj =
∑
i =1 ( m∈M l ) ∧ ( sr p ∈[t 0 , t 0 + t ])
bim( j ) ( sr p )Cenim( j )
.
OS пл
j (t )
5. Объем проблемных договоров трех видов j -й товарной группе
превышают критический уровень ur j4 , j ∈ J 4pr :
3
∑η lj
l =1
> ur j4 .
6. Составление договоров в j -ой товарной группе без определения
оптимального соотношения ассортимента, качества и цен товара:
(η 5j > ur 5j )∨ (η 6j < ur j6 ).
На третьем уровне были выделены следующие проблемы.
1. Соотношение объемов поставок i( j ) -го вида продукции по проблемным договорам первого вида, заключенных k -м менеджером к его
257
плановому заданию nkпл, i ( j ) (t ) превышает критический уровень urk1,i ( j ) ,
{
}
i ∈ I 1pr ( j ), j ∈ J 1pr , k ∈ 1, n men :
∑
d m ( men k ), ( m∈M 1 ) ∧ ( sr p ∈[t 0 , t 0 + t ])
bim( j ) ( sr p )
nkпл, i ( j ) (t )
> urk1, i ( j ) .
2–4. Индекс проблемных договоров l -го вида в j -й товарной группе,
заключенных k -м менеджером превышает критический уровень urkl , j ,
j ∈ J lpr , l = 1,3 :
η kl , j > urkl , j ,
N ( j)
∑
где η kl , j =
∑
i =1 d m ( men k ), ( m∈M l ) ∧ ( sr p ∈[t 0 , t 0 + t ])
N ( j)
∑ OS kпл, i ( j ) (t )
i =1
bim( j ) ( sr p )Cenim( j )
.
5. Индекс проблемных договоров трех видов в j -й товарной группе,
заключенных k -м менеджером к его плановому заданию превышают критический уровень urk4, j :
3
∑η k4, j
l =1
> urk4, j .
Значения критических уровней оцениваются на основании статистических данных работы торгового предприятия за предыдущие плановые
периоды, или на основании экспертных оценок.
Основываясь на моделях формализации информационного обеспечения контроля управленческих решений и соответствующих расчетах, в основу которых положены алгоритмы (рис. 12.1) подтверждена эффективность использования адаптивной модели за прецедентами расчетами (табл.
12.2) относительно проблемных договоров на поставку сырья на предприятиях агропромышленного сектора. Как показывают расчеты, объем проблемных поставок за счет заключения договоров с учетом критического
уровня проблемности и оптимального соотношения ассортимента, качест-
258
ва и цены товаров уменьшается от 27,84% – 67,69% в зависимости от
уровня контроля.
Правила определения проблемных договоров и их
структуры
Характеристики договоров
Модели структурирования
договоров по сроку действия
Модели проблем первого уровня
Модели проблем третьего
уровня
Модели проблем второго
уровня
Модели структурирования поставщиков по
надежности по срокам,
объемам и качеству
товара
1 …
j
…
1 …
nvid
…
nvid
Товарные группы
Товарные группы
Модели структурирования
товара по критерию «ценакачество»
укладаннядоговорівзурахув
оптимальногоспіввіднош
ення
зменш
уєтьсявід27,84%
-67
контролю
.
1 … k … nmen
Модели структурирования
товара по срокам реализации
Менеджеры
Рис. 12.1 − Схема формализации процесса контроля принятия
решений по управлению товарным обеспечением предприятия
Таблица 12.1
Результаты практического использования адаптивных
моделей в системе контроля поставок товаров
на предприятии ОАО «Фаворит»
месяц
первый уровень
λпл
2010
0,102
0,080
0,074
0,096
0,107
0,085
2011
0,069
0,072
0,065
0,068
0,067
0,050
второй уровень
λ1пл
2010
0,117
0,105
0,099
0,105
0,071
0,149
2011
0,076
0,067
0,068
0,076
0,058
0,043
третий уровень
λпл
2
2010
0,077
0,087
0,076
0,079
0,074
0,078
2011
0,038
0,061
0,067
0,051
0,076
0,048
λ1пл
,1
2010
0,207
0,234
0,183
0,183
0,215
0,196
2011
0,054
0,066
0,059
0,069
0,059
0,086
λ6пл,1
2010
0,123
0,115
0,115
0,112
0,104
0,129
2011
0,085
0,074
0,068
0,079
0,084
0,083
1
2
3
4
5
6
среднее
0,091 0,065 0,108 0,065 0,078 0,057 0,203 0,066 0,116 0,079
значение
2011
k 2010
27,84%
39,81%
27,24%
67,69%
32,38%
259
*
Примечание: λпл = 1 − OS (t ) / OS пл (t ) (где OS (t ) и OS пл (t ) − фактиче-
λпл
− λпл
2011
2010
2011 .
ские и плановые объемы поставок соответственно), k 2010 =
λпл
2010
Таким образом, в данном разделе структурированы договора на поставку, разработаны модели и метод контроля формирования товарного
обеспечения торгового предприятия по прецедентам, который предусматривает возможность выявлять проблемы в товарном обеспечении предприятия на этапе принятия решений. Разработанные модели являются составной частью математического обеспечения информационных технологий в
области внутреннего аудита.
260
РАЗДЕЛ 13
ЗАДАЧИ ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕТА РЕЗУЛЬТАТОВ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ
13.1. Системный анализ деятельности, хозяйственных средств и
источников предприятия
В режиме учета деятельность предприятия представляется в виде операций, которые сгруппированы по их отношению к хозяйственным средствам и
источникам на первом и втором уровне и по отношению множествам операций доходов или расходов на третьем уровне. Поэтому для разработки моделей взаимосвязей характеристик деятельности предприятия на основании методологии системного анализа необходимо осуществить:
− группировку, формализацию множеств хозяйственных средств, их
источников, операций деятельности предприятия и их характеристик;
− формализацию взаимосвязей между множествами операций и их
характеристиками.
Моделирование взаимосвязей характеристик деятельности
предприятия. Структура хозяйственных средств и источников предприятия отображается в отчетной форме Ф1 «Баланс» поэтому формализация
множеств и показателей хозяйственных средств и их источников основана
на структуре данного документа.
Хозяйственные средства отображаются в первой части Баланса – Активе, которая состоит из трех частей Ai , i = 1,3 (табл. 13.1). Вторая часть
Баланса – Пассив, в которой отображаются источники хозяйственных
средств состоит из пяти частей П i , i = 1,5 . Из определения структуры хозяйственных средств и Актива Баланса в Положениях (Стандартах) бухгалтерского учета (П(С)БУ) следуют соотношения:
3
А = ∪ Аi , A j ∩ Ai = ∅, i ≠ j
(13.1)
i =1
Из определения структуры хозяйственных источников и Пассива Баланса в П(С)БУ следуют соотношения:
5
П = ∪ П i , П j ∩ П i = ∅, i ≠ j , A∩ П = ∅
(13.2)
i =1
Так как множество A конечно (каждому элементу множества можно
поставить в соответствие натуральное число: инвентарный номер, код,
учетный номер и т.д.), то система ℜ( A) всех подмножеств множества A
представляет собой кольцо множеств. Аналогично, система множеств
ℜ(П ) всех подмножеств множества П является кольцом множеств.
261
Согласно П(С)БУ характеристикой каждого подмножества E множества A или П является его оценка в денежном измерении µ на определенную дату τ , которую обозначим:
µ (E ) τ , E ∈ ℜ(A) ∨ E ∈ ℜ(П )
(13.3)
Таблица 13.1
Формализация множеств хозяйственных средств и их источников
Статья Баланса
Обозначение
А
А1
Актив
Необоротные активы
Оборотные активы
А2
Расходы будущих периодов
Пассив
Собственный капитал
A3
П1
Обеспечение будущих расходов и платежей
П2
Долгосрочные обязательства
П3
Текущие обязательства
П4
Доходы будущих периодов
П5
П
Из экономического смысла оценки следуют их свойства:
µ (∅) = 0 ,
(13.4)
µ (E) τ ≥ 0 , µ (E) τ ∈ R ,
(13.5)
n
µ (E) τ = ∑ µ (Ek ) τ ,
k =1
(13.6)
n
где E = ∪ E k , E k ∩ Ei = ∅, k ≠ j .
k =1
Из (13.4)–(13.6) следует, что определенная функция множества µ (E ) τ
является мерой, так как удовлетворяет трем условиям определения меры.
Для учета согласно П(С)БУ множества Ai , i = 1,3 , П j , j = 1,5 хозяйственных средств и их источников представляются в виде объединения непересекающихся подмножеств:
262
Аi =
Пj =
Ki
∪ Аk i , i = 1,3 ,
k i =1
Nj
∪
n j =1
Аki ∩ Аli = ∅, k i ≠ l i ,
П n j , j = 1,5 , П n j ∩ П m j = ∅, n j ≠ m j ,
(13.7)
(13.8)
где Аki , П n j – подмножества хозяйственных средств и источников состоящие из экономически однородных элементов (определяются в учетной
политике предприятия) по которым ведется синтетический учет (в денежных единицах).
Обозначим систему подмножеств хозяйственных средств и источников экономически однородных элементов:
{
}
ϑ = Аki , ki = 1, Ki , i = 1,3, Пn j , n j = 1, N j , j = 1,5 = {En , n = 1, N }, (13.9)
где
3
⎧
A
,
n
1
,
Ki ,
=
∑
⎪ n
i =1
⎪
En = ⎨
⎪ П , n = 3 K + 1, 3 K + 5 N ,
∑ i
∑ i ∑ j
⎪ n
i =1
i =1
j =1
⎩
3
5
i =1
j =1
N = ∑ Ki + ∑ N j .
Для учета на аналитических счетах множества экономически однородных элементов En представляются в виде объединения непересекающихся подмножеств E qn , q n = 1, Q n учет которых ведется в натуральных
и денежных единицах измерения:
Qn
En = ∪ Eqn
(13.10)
qn =1
~
Характеристиками подмножеств E qn ⊆ E qn является количество
~
элементов множеств E qn в натуральных единицах, которое обозначим
~
~
V ( E qn ) . Функции V ( E qn ) являются мерами, определенными на кольцах
ℜ( E qn ) , q n = 1, Q n .
~
Мера подмножества E qn ⊆ E qn (в денежных единицах) в момент
времени τ согласно П(С)БУ определяется по формуле:
263
~
~
~
µ ( E qn ) τ = V ( E q n ) c ( E qn ) τ ,
(13.11)
~
где c ( Eqn ) – цена (тариф) за единицу элемента множества E q n .
Таблица 13.2
Формализация хозяйственных операций
Множество операций по видам
деятельности
Основной
Обозначение
Oп1 (t )
Другой операционной
Oп 2 (t )
Финансовой
Oп3 (t )
Инвестиционной
Oп 4 (t )
Чрезвычайной
Oп5 (t )
Для учета деятельности предприятия, последняя представляется в
виде совокупности операций. Группировку и формализацию множеств хозяйственных операций за период t (табл. 13.2) выполним в соответствии со
структурой хозяйственной деятельности предприятия.
Согласно П(С)БУ каждая операция хозяйственной деятельности за период t принадлежит только одному из множеств Oпi (t ) , i = 1,5 , т.е. множества операций за период t удовлетворяют следующим соотношениям:
Oп j (t )∩ Oпi (t ) = ∅, i ≠ j , i = 1,5 , j = 1,5
5
∪ Oпi (t ) = Oп(t ) ,
(13.12)
(13.13)
i =1
где Oп(t ) – множество хозяйственных операций предприятия за период t .
Обозначим хозяйственную операцию:
οnlii (t ) , l i (t ) = 1, Li (t ), i = 1,5 ,
(13.14)
где i – номер множества, которому принадлежит операция,
li (t ) и Li (t ) – номер и количество операций за период t соответственно.
Тогда:
{
}
Oпi (t ) = οnli (t ) , l i (t ) = 1, Li (t ) , i = 1,5
264
i
(13.15)
Из (13.12), (13.13), (13.15) следует, что множество Oп(t ) конечно,
следовательно, система ℜ(Оп(t )) всех подмножеств Oп(t ) является кольцом множеств.
Для моделирования деятельности на первом и втором уровне учета
необходимо выполнить группировку и формализацию множеств и показателей операций каждого вида деятельности за период t по отношению к
хозяйственным средствам и источникам.
Согласно экономическому смыслу каждая операция приводит к дви~
~
жению двух подмножеств E ne ⊆ E ne и E n g ⊆ E n g , ( E ne , E ng ) ∈ ϑ × ϑ (где
ϑ система множеств хозяйственных средств или источников экономически
однородных элементов, определенная в (13.9)), которые имеют равные
оценки в денежном измерении:
~
~
µ ( E ne ) τ = µ( E ng ) τ = δ (τ ) ,
(13.16)
где τ – дата осуществления операции.
Oпi (t ) =
∪
( Ene , En g )∈ϑ
2
Oпi+ (( E ne , E n g ), t ) ∪ Oпi− (( E ne , E n g ), t ) , i = 1,5
(13.17)
где Oпi+ (( E ne , E ng ), t ) , Oпi− (( E ne , E ng ), t ) – множества операций, которые
приводят пары множеств хозяйственных средств и источников
( E ne , E n g ) ∈ ϑ 2 к движению в «прямом» и «обратном» направлении соот-
{
}
ветственно, ϑ 2 = ( E ne , E ng ) ∈ ϑ × ϑ , ne < n g .
При этом:
Oпi± (( E ne , E ng ), t ) =
⎧οn(l ± ((n , n ), t ))), l ± ((n , n ), t ) = 1, L± ((n , n ), t )⎫ ,
⎨
⎬
i
e g
i
e g
i
e g
⎩
⎭
(13.18)
где l i± ((ne , n g ), t ) , L±i ((n e , n g ), t ) − номер и количество операций данных
множеств соответственно.
Показателем операции в денежном измерении является оценка δ (τ )
на дату операции τ подмножеств хозяйственных средств или источников,
движение которых происходит в результате ее осуществления:
m(oп) τ = δ (τ )
(13.19)
265
Из равенства (13.6) и (13.11) следует:
δ (τ ) =
Qn
∑
qn =1
~
~
V ( E qn ) c ( E qn ) τ
(13.20)
Положим по определению:
L (t )
m(Оп ′(t )) = ∑ m(oпl (t ) ) ,
(13.21)
l (t ) =1
{
}
где Oп ′(t ) ∈ ℜ(Оп(t )) , Oп ′(t ) = οnl (t ) , l (t ) = 1, L(t ) .
Из (13.12), (13.16) и экономического смысла операции следует:
m(∅) = 0 , m(Оп(t )) ≥ 0 , m(Оп(t )) ∈ R ,
n
m(Оп(t )) = ∑ m(Оп k (t )) ,
(13.22)
(13.23)
k =1
n
где Оп(t ) = ∪ Оп k (t ) , Опk (t )∩ Оп j (t ) = ∅, k ≠ j.
k =1
Следовательно, определенная функция множества m(Оп(t )) является
мерой, так как согласно (13.22), (13.23) удовлетворяет трем условиям определения меры.
Согласно П(с)БУ характеристика множеств операций Oпi± (( E ne , E ng ), t )
определяется как сумма показателей операций за период t :
m(Oпi± ( E ne
, E ng ), t ) =
L±i (( ne , n g ),t )
∑
li± (( ne , n g ),t ) =1
δ (l i± ((n e , n g ), t )) ,
(13.24)
где δ (l i± ((n e , n g ), t )) = m(οn(l i± ((ne , n g ), t ))) .
Для вычисления результатов по каждому виду деятельности в каждом множестве операций Oп i (t ), i = 1,5 необходимо осуществить группировку операций по отношению подмножествам операций расходов
Oпir ( vid ) (t ) и доходов Oпiд (t ) , i = 1,5 соответственно:
Oпir ( vid ) (t ) ⊂ Oпi (t ), Oпiд (t ) ⊂ Oпi (t ), Oпir ( vid ) (t ) ∩ Oпiд (t ) = ∅, i = 1,5 .
Мера множеств Oпir ( vid ) (t ) и Oпiд (t ) , i = 1,5 определяется по формулам:
266
m(Oпiд (t )) =
m(Oпi+ ( E ne , E ng ), t ) +
∑
Ene ⊂ A,
( Ene , En g )∈ϑi2 ( д )
+
m(Oпi− ( E ne , E ng ), t ) ,
∑
Ene ⊂ П ,
(13.25)
( Ene , En g )∈ϑi2 ( д )
m(Oпir (vid ) (t )) =
+
Ene ⊂ A,
∑
Ene ⊂ П ,
m(Oпi+ ( E ne , E ng ), t ) +
∑
( En , En )∈ϑi2 ( r ( vid ))
e
g
m(Oпi− ( E ne , E ng
), t ) ,
(13.26)
( Ene , En g )∈ϑi2 ( r ( vid ))
где ϑi2 (д) ⊂ ϑ 2 , ϑi2 (r (vid )) ⊂ ϑ 2 , i = 1,5 .
Рассмотрим учет основной и финансовой деятельности предприятия. Показатели дохода от реализации SP(t ) , себестоимости реализованной продукции SS ′(t ) , отчислений от дохода OP(t ) , расходы по краткосрочным кредитам RK (t ) за период t определяются на основании мер
множеств операций получения дохода Oп1д (t ) , производственных расходов
r ( ПР )
периода Oп1
r (OP )
(t ) , отчислений от дохода Oп1
r ( st (U ))
косрочным кредитам Oп 2
(t ) по формулам:
SP (t ) = m (Oп1д (t )) ,
(13.27)
OP (t ) = m(Oп1r (OP ) (t )) ,
(13.28)
r ( st (U ))
RK (t ) = m(Oп 2
r ( ПР )
SS ′(t ) = m(Oп1
(t ) , расходов по крат-
(t )) ,
(13.29)
(t )) + µ( E n′ ) t0 +t - µ( E n′ ) t0 + µ( E n′′ ) t0 +t - µ( E n′′ ) t0 ,
(13.30)
где t 0 – начало периода учета, t – период учета,
µ( E n′ ) – остатки готовой продукции (ден. ед.),
µ( E n′′ ) – незавершенное производство (ден. ед.).
На основании показателей, определенных в формулах (13.27),
(13.28), (13.30) согласно П(с)БУ вычисляется финансовый результат от основной деятельности:
P(t ) = SP(t ) − SS ′(t ) − OP(t )
(13.31)
267
Для вычисления показателей хозяйственных средств и источников в
денежных единицах на конец отчетного периода t 0 + t вычисляются пока-
затели множеств Oп ± (( E ne , E n g ), t ) , где
5
Oп ± (( E ne , E n g ), t ) = ∪ Oпi± (( E ne , E ng ), t ) , ( E ne , E ng ) ∈ ϑ 2 .
i =1
Из (13.19) следует, что:
Oпi± (( E ne , E ng ), t )∩ Oп ±j (( E ne , E ng ), t ) = ∅ , i ≠ j , i = 1,5 , j = 1,5 .
Тогда из свойства аддитивности меры m(Оп(t )) :
5
m(Oп ± ( E ne , E n g ), t ) = ∑ m(Oпi± ( E ne , E ng ), t ) =
i =1
±
5 Li (( ne ,ng ),t )
=∑
∑
i =1li± (( ne ,ng ),t ) =1
δ (l i± ((n e , n g ), t )) =
L+ (( ne ,ng ),t )
∑
l + (( ne ,ng ),t ) =1
δ (l + ((ne , n g ), t )) (13.32)
Значения показателей хозяйственных средств и источников E n ∈ ϑ
e
в денежных единицах на конец отчетного периода t 0 + t согласно П(с)БУ
вычисляются по формулам:
µ ( E ne ) t0 +t = µ ( E ne ) t0
+
+
−
∑ [m(Oп ( E ne , E ng ), t ) − m(Oп ( E ne , E ng ), t )]
En g ∈ϑ
(13.33)
Выполненная группировка, формализация множеств и показателей
хозяйственных средств и источников предприятия, хозяйственных операций и взаимосвязей между ними позволили представить деятельность
предприятия в виде взаимосвязей показателей (13.25)–(13.33), что позволяет использовать их в математическом обеспечении ИТ бухгалтерского учета и аудита.
Для определения предметной области анализа и классификации переменных системы необходимо исследовать особенности учета характеристик деятельности предприятия, определенных зависимостями (13.25)–
(13.33).
268
13.2. Модели учета результатов деятельности предприятия на
трех уровнях
Учет показателей деятельности ведется параллельно в подсистеме
синтетического и аналитического учета.
Исследование особенностей учета характеристик деятельности предприятия в регистрах синтетического учета включает:
− формализацию показателей учетных регистров подсистемы, взаимосвязей между ними и последовательности расчета;
− определение соответствия между характеристиками деятельности
предприятия, определенными в подразделе 13.1 и показателями учетных
регистров подсистемы;
− разработку алгоритмов учета характеристик деятельности предприятия;
− классификацию переменных на трех уровнях учета.
Выполним формализацию показателей учетных регистров подсистемы. Учет в системе ведется на бухгалтерских счетах (табл. 13.3). На счетах
класса K i , i = 1,6 ведется учет наличия и движения хозяйственных средств
и их источников ( En ⊂ A∪ П , табл. 13.1) в результате хозяйственных операций. Вычисление расходов, доходов и результатов деятельности за период t ведется на счетах классов K i , i = 7,9 (счета класса K 8 могут не использоваться).
Таблица 13.3
Структура счетов
Класс счетов
Необоротные активы
Обозначение
K1
Объекты аудита
E n ⊂ A1
Запасы
K2
Средства, расчеты и прочие активы
Собственный капитал и обеспечение
обязательств
Долгосрочные обязательства
K3
K4
E n ⊂ П1 ∪ П 2
K5
En ⊂ П3 ∪ П5
Текущие обязательства
K6
En ⊂ П 4
Доходы и результаты деятельности
K7
Расходы по элементам
K8
Pi (t ) , m(Oп iд (t )), i = 1,5
---
Расходы деятельности
K9
Забалансовые счета
K0
En ⊂ A2∪A3
m(Oп ir ( vid ) (t )), i = 1,5
---
269
Учет хозяйственных средств и источников, которые не отображаются в Балансе предприятия (товары, взятые на комиссию и др.) осуществляется на счетах класса K 0 . Множество всех счетов обозначим K . Из определения классов счетов следуют соотношения:
K=
9
∪ Ki ,
i =0
K j ∩ K i = ∅, i ≠ j , i = 0,9 , j = 0,9 . Каждый счет имеет
номер, который обозначим sek , k = 0,9, e = 0, e* , где k – номер класса счетов, e – номер счета в данном классе. Общее количество счетов обозначим
s* . Для упрощения дальнейших записей индексы e и k будем указывать
только в случае необходимости. Счет состоит из двух частей: дебет d s и
кредит k s , в которых отражают значения сальдо и суммы операций.
Обозначим: op (l eg (t )) – операция перечисления с кредита k s e в дебет d s g в период времени t , s e ≠ s g , se = 1, s* ; s g = 1, s* ;
C s (τ ) – значение сальдо счета с номером s в момент времени τ ,
leg (t ) – номер операции за период времени t с корреспонденцией
( se , s g ) ,
g
Le (t ) – количество операций за время t , с корреспонденцией ( s e , s g ) ;
δ (l eg (t )) – сумма, перечисленная с кредита k s e в дебет d s g в период
времени t.
Формализуем взаимосвязи между показателями учетных регистров
подсистемы и определим последовательность их расчета. Корреспонденцию счетов по учету хозяйственных операций множества Оп(t ) формализуем в виде графа G ( 2) = ( Z ( 2) , R ( 2) ) с вершинами Z ( 2) = ⎧⎨s, s = 1, s * ⎫⎬ , (где
⎭
⎩
*
6
вершина s соответствует счету с номером s = 1, s , s ∈ ∪ K j и ребрами
j =1
R (2) = {ceg = {se , s g }, se ∈{1, s * }, s g ∈{1, s * }}, где каждое ребро отражает
операцию перечисления op (l eg (t )) с кредита k se в дебет d s g ).
Для учета сумм операций применяется правило двойной записи: ее отражают на кредите счета se и дебете корреспондирующего счета s g . После учета сумм операций δ (l eg (t )) , вычисляются значения сумм S eg (t ) , перечисленных с кредита счетов se в дебет счетов s g за период времени t по формуле:
270
S eg (t )
{
}
=
Leg (t )
δ (l eg (t )) , (se , s g ) ∈ R (2)
∑
g
(13.34)
le (t ) =1
Если T = t j , j = 1, r , то:
Leg ( j )
g
SLe ( j) = ∑ δeg (l j )
l j =1
S eg (T ) =
r
g
∑ SL e ( j )
j =1
(13.35)
(13.36)
В конце месяца (декады, суток) вычисляются кредитовые обороты
счетов se , ( se ∈ K ) за время t по формулам:
Oб ske
s*
(t ) = ∑ S eg (t ) , s e ∈ K
s g =1
(13.37)
обороты по дебету каждого счета по формуле:
Oб sde
s*
(t ) = ∑ S eg (t ) , s e ∈ K
(13.38)
se =1
и конечные значения дебетовых и кредитовых сальдо счетов по формулам:
C sk (t 0 + t ) = C sk (t 0 ) − Oб sd (t ) + Oб sk (t )
(13.39)
C sd (t 0 + t ) = C sd (t 0 ) + Oб sd (t ) − Oб sk (t )
(13.40)
соответственно.
Определим соответствие между характеристиками деятельности
предприятия, определенными в подразделе 13.1 и показателями учетных
регистров подсистемы на балансовых счетах (табл. 13.4).
Сальдо основных (балансовых) счетов K i , i = 1,6 в момент времени τ
равны значениям показателей подмножеств экономически однородных хозяйственных средств и их источников в денежном измерении:
C se (τ ) = µ ( E ne ) τ , E ne ∈ ϑ
(13.41)
При этом:
271
[( E ne ⊂ A) ∧ ( µ ( E ne ) τ = C sk (τ ))] ∨ [( E ne ⊂ П ) ∧ ( µ ( E ne ) τ = C sd (τ ))] (13.42)
Между номером счета s e и множеством E ne ∈ ϑ (или показателем
деятельности) существует взаимно однозначное соответствие E ne
se ,
которое определяется Планом счетов.
Множествам операций Oп ± (( E ne , E ng ), t ) ставится в соответствие
корреспонденция (согласно Инструкции по применению Плана счетов),
которая определяется парой чисел ( s e , s g ) и ( s g , s e ) соответственно, где
6
se и s g ( s e , s g ∈ ∪ K j ) – номера корреспондирующих счетов, показатели
i =1
которых изменяются в результате данной операции. При этом сумма операции δ (l eg (t )) равна
m (οn (l (( n e , n g ), t ))) .
значению
меры
хозяйственной
операции
Из равенств (13.36), (13.37), следует, что суммы S eg (t ) , Seg(i ) (t )
6
( se ∈ ∪ K i , s e(i ) – субсчет счета с номером s e ), перечисленные с кредита
i =1
счета se в дебет счета s g за период t равны значениям мер множеств операций с данной корреспонденцией. Из равенства (13.38), (13.39) следуют
два последние соотношения в таблице 13.4.
Формализуем взаимосвязи между показателями учетных регистров подсистемы и определим последовательность их расчета на результативных счетах. Вычисление результатов деятельности предприятия за отчетный период
9
осуществляется на счетах классов
∪ K j , при этом также используется прави-
i =7
ло двойной записи. Для этого определяется (в нормативных документах бухгалтерского учета) корреспонденция операций, принадлежащих множествам
Oпir (vid) (t ) и Oпiд (t ) , i = 1,5 . Корреспонденцию операций расходов по i - ому
виду
деятельности
формализуем
в
{
виде
G ( ri (vid )) = ( Z ( ri (vid )) , R ( ri (vid )) ) с вершинами Z ( ri (vid )) = s, s ∈ S
S
ri ( vid )
⊂
6
∪K j,
графа
ri (vid )
}, где
где вершина s соответствует счету с номером s и ребрами
j =1
g
R ( ri (vid )) = c e (ri (vid )) = ( s e , s g ) , где каждое ребро отражает корреспонден-
{
}
цию операций расходов. При i = 1 vid = {SS ′, OP} , при i = 2 vid = {st (U )} .
272
Корреспонденцию операций доходов по i -ому виду деятельности фор-
{
д
}
мализуем в виде графа G ( дi ) = ( Z ( дi ) , R ( дi ) ) с вершинами Z (дi ) = s, s ∈ S e i ,
где S
дi
6
(д )
⊂ ∪ K j и ребрами R i = {ceg (дi ) = {se , s g }}, где каждое ребро отра-
j =1
жает корреспонденцию операций получения доходов. Структуры преобразования показателей операций при вычислении результатов деятельности предприятия, определенных в формулах (13.27) – (13.31) схематически представлены рис. 13.2–13.5 (табл. 13.5).
Определим соответствие между характеристиками деятельности
предприятия, определенными в подразделе 13.1 и показателями учетных
регистров подсистемы на результативных счетах.
Таблица 13.4
Отображение характеристик деятельности на балансовых счетах
Показатель
балансового
счета
E ne ⊂ A
E ne ⊂ П
C sk (τ )
---
µ ( E ne ) τ
C sd (τ )
µ ( E ne ) τ
---
δ (l eg (t ))
m(оп(l − (( E ne , E ng ), t )))
m(оп(l + (( E ne , E ng ), t )))
δ (l ge (t ))
m(оп(l + (( E ne , E ng ), t )))
m(оп(l − (( E ne , E ng ), t )))
S e (t )
g
m(Oп − (( E ne , E ng ), t ))
m(Oп + (( E ne , E ng ), t ))
S ge (t )
m(Oп + (( E ne , E ng ), t ))
m(Oп − (( E ne , E ng ), t ))
S e(i ) (t ) , i = 1,5
m(Oпi− (( E ne , E ng ), t ))
m(Oпi+ (( E ne , E ng ), t ))
m(Oпi+ (( E ne , E ng ), t ))
m(Oпi− (( E ne , E ng ), t ))
g
S ge (i ) (t ) ,
i = 1,5
Oб ske (t )
Oб sde (t )
Характеристики деятельности
∑ [m(Oп − ( E ne , E ng ), t )]
En g ∈ϑ
∑ [m(Oп + ( E ne , E ng ), t )]
En g ∈ϑ
∑ [m(Oп + ( E ne , E ng ), t )]
En g ∈ϑ
∑ [m(Oп − ( E ne , E ng ), t )]
En g ∈ϑ
273
91
91
c 23
311
631
c311
671
c311
631
631
c371
371
20
c 631
20
301
23
c 20
23
26
c 23
90
c91
90
c 26
26
791
c 90
23
c 66
66
901
791
66
c301
Рис. 13.1 – Граф G (3) = ( Z (3) , R (3) ) преобразования показателей
при вычислении себестоимости реализованной продукции SS ′(t )
311
c361
361
361
c 701
701
311
701
c 791
791
311
c 701
Рис. 13.2 – Граф G ( 4) = ( Z ( 4) , R ( 4) ) преобразования показателей при
вычислении дохода от реализации продукции SP(t )
643
311
641
c311
701
c 643
643
c 641
641
701
c 641
701
791
c 701
791
Рис. 13.3 – Граф G (5) = ( Z (5) , R (5) ) преобразования показателей при
вычислении отчислений от дохода OP(t )
274
311
c3685
`11
685
951
c 685
951
792
c951
792
Рис. 13.4 – Граф G (6) = ( Z (6) , R (6) ) преобразования показателей при
вычислении расходов от использования краткосрочных кредитов RK (t )
Из зависимостей (13.27)–(13.31) и соотношений табл. 13.4 следует,
что обороты и сальдо результативных счетов K j , j = 7,9 отображают
(табл. 13.6) доходы, расходы и результаты деятельности (на начало отчетного периода их значения равны нулю).
Значение оборота по дебету счета 901 «Себестоимость реализации»
отражает себестоимость SS ′(t ) реализованной продукции за период t и
вычисляется согласно зависимости (13.37) для дебетовых оборотов:
d
Oб 901
(t ) = SS ′(t )
(13.43)
Значение оборота по дебету счета 704 «Отчисления от дохода» отражает расходы по выплатам отчислений от дохода OP(t ) :
d
Oб 704
(t ) = OP(t )
(13.44)
Значение оборота по дебету счета 951 «Проценты за кредит» отражает расходы при использовании краткосрочных кредитов:
d
Oб 951
(t ) = RK (t )
(13.45)
Доход от реализации готовой продукции SP(t ) отражает оборот по
кредиту счета 701 «Доход от реализации готовой продукции» и вычисляется согласно зависимости (13.38) для кредитовых оборотов:
k (t ) = SP(t )
Oб701
(13.46)
Вычисление результата основной деятельности на счете 791 «Результат основной деятельности» осуществляется при помощи операций с корреспонденцией (901,791) , (704,791) и (791,701) , при этом суммы операций
равны:
791
d
δ (l 901
(t )) = Oб 901
(t ) ,
L791
901 (t ) = 1 ,
701
k
δ (l 791
(t )) = Oб 701
(t ) , L701
791 (t ) = 1 .
791
d
δ (l 704
(t )) = Oб 704
(t ) ,
L791
704 (t ) = 1 ,
275
Таблица 13.5
Операции основной и финансовой деятельности
Вид
p
Содержание операции
Обозначение
1
Оплата счета поставщика
631
c311
2
Оприходование запасов
20
c 631
3
Отпуск запасов в производство
23
c 20
4
Оприходована на склад готовая продукция
26
c 23
5
Списана производственная себестоимость реализованной продукции
901
c26
6
Поступление денежных средств от покупателя
311
c361
7
Отгружена готовая продукция покупателю
701
c361
8
Поступление авансовых платежей от покупателя
311
c361
9
Налоговые обязательства по НДС
643
c 641
10
Налоговый кредит по НДС
641
c644
11
Перечислена сумма НДС в бюджет
641
c311
12
Перечислены проценты по краткосрочным кредитам
685
c311
13
Начислены проценты по краткосрочным кредитам
951
c 685
23
c91
19
Общепроизводственные расходы включены в производственную себестоимость продукции
Начислена заработная плата работникам основного
производства
Общепроизводственные расходы включены в себестоимость продукции
Списание расходов на уменьшение финансовых результатов
Списание доходов на увеличение финансовых результатов
Списана сумма НДС
20
Закрытие счета 704
791
c704
21
Списание признанных финансовых расходов
792
c951
14
15
16
17
18
276
23
c 66
901
c91
791
c901
701
c 791
704
c641
Таблица 13.6
Отображение результатов основной и финансовой деятельности
на результативных счетах
Показатель подсистемы
синтетического учета
Характеристики основной и
финансовой деятельности
d
Oб 901
(t )
SS ′(t )
d
Oб 951
(t )
RK (t )
d
Oб 791
(t )
SS ′(t ) + OP(t )
k
Oб 791
(t )
SP(t )
k
C 791
(t 0 + t )
P(t )
Вычисление значения сальдо счета 791 «Результат основной деятельности» по формуле (13.39) для кредитовых сальдо отражает вычисление результата основной деятельности по формуле (13.30), откуда и следует последнее соотношение в таблице 6.6.
Обозначим r – количество периодов квантования: сутки (декада месяц) в периоде проверки T . Формализация структуры преобразования операций позволила сформировать алгоритмы расчета показателей, которые
представлены на рис. 13.5, 13.6.
Показатели результатов деятельности обозначим: Rz k , k = 1,4 , где
Rz1 = SS , Rz2 = SP, Rz3 = OP, Rz4 = RK . Графы преобразования операций
по каждому результату деятельности обозначим: G k .
Плановые периоды на трех временных уровнях обозначим: Tm ,
m = 1, Nm ( m – номер планового периода (декады, месяца, квартала) в периоде учета T (квартал, полугодие, год)); t jm , j m = 1, r, ( j – номер планового периода (сутки, декады, месяца) в плановом периоде Tm (декады, месяца, квартала)).
277
1.1
ППТ ( j )
Расходование денежных
средств s = 311
1.2
∆631
311 ( j )
ТНС ( j )
Расчеты с поставщиками
s = 631
1.3
∆201
631 ( j )
ВНС ( j )
Количество сырья
s = 201
1.4
∆23
201 ( j )
ВНП ( j )
Расходы на производство
s = 23
1.5
j≤r
j =1
ТНП ( j )
1.6
∆26
23 ( j )
Учет готовой продукции
s = 26
∆901
26 ( j )
2.1
1.7
j = j +1
БД
∆ge ( j ) = ⎧⎨δ eg (l j ), l j = 1, Leg ( j ) ⎫⎬
⎩
⎭
Рис. 13.5 – Расчет показателей (первый уровень)
278
279
Рис. 13.6 – Расчет показателей (второй уровень)
Учитывая обозначения сделанные выше и сформированные алгоритмы расчета показателей деятельности предприятия, выполнена классификация переменных на трех уровнях учета. Множество входных переменных X 1 первого уровня (табл. 13.7) образуют показатели первичных документов по каждой операции основной и финансовой деятельности:
{
X 1jm = V (Iqn , leg ( jm )), c( Iqn , leg ( jm )), qn = 1, Qn ,
δ(leg ( jm )), (e, g ) ∈ G, leg ( jm ) = 1, Leg ( jm )⎫⎬, jm = 1, r, m = 1, N m ,
⎭
где G =
(13.47)
4
∪G k .
k =1
Множество выходных переменных Y 1 (табл. 13.7) образуют суммы
частичных оборотов за интервалы плановых периодов по операциям основной и финансовой деятельности:
{
}
1 = SL g ( j ), ( e , g ) ∈ G k , j = 1, r , m = 1, Nm , k = 1,4
Ykm
e
m
m
(13.48)
Выходные переменные первого уровня Y 1 поступают на второй уровень учета и на основании их значений рассчитываются значения сумм
частичных оборотов за плановые периоды Tm , m = 1, N m .
Таким образом, на втором уровне множества входных X 2 и выходных переменных Y 2 показателей основной и финансовой деятельности
имеют вид (табл. 13.7):
{
}
2 = SL g ( j ), ( e , g ) ∈ G k , j = 1, r , m = 1, Nm , k = 1,4
X km
e
m
m
(13.49)
2 = S g (T ), (e, g ) ∈ G k , m = 1, Nm , k = 1,4
Ykm
e
m
(13.50)
{
}
Множество выходных переменных третьего уровня учета Y 3 определяется на основании сформированной схемы движения показателей операций на результативных счетах, согласно которой на третьем уровне рассчитываются значения результатов основной и финансовой деятельности
SS ′(t ), OP(t ), SP(t ), P(t ), RK (t ) .
280
Таблица 13.7
Переменные учета деятельности предприятия
Обозначение
(e, g )
Описание
корреспонденция операции
T
период учета
m
номер планового периода
j
номер периода квантования
r
количество периодов квантования в периоде проверки
L
количество операций
l
номер операции
δ
сумма операции
I
индикатор множества хозяйственных средств или источника E
n
вид хозяйственных средств или источника
q
вид подмножества хозяйственных средств или источника
c
цена за единицу (тариф, ставка) подмножества хозяйственных средств или источника
V
объем (натуральные единицы)
δ
сумма операции
S
частичный оборот
SS ′
себестоимость реализованной продукции
SP
доход от реализации
OP
отчисления от дохода
P
RK
валовая прибыль
расходы при использовании краткосрочных кредитов
281
Таким образом, множества входных X 3 и выходных переменных Y 3
на третьем уровне учета имеют вид (табл. 13.7):
{
}
3 = S g (T ), (e, g ) ∈ G k , m = 1, Nm , k = 1,4
X km
e
m
Y 3 = {Rz k (T m ), m = 1, Nm , k = 1,4, Rz k (T )}
(13.51)
(13.52)
Исследование особенностей учета характеристик деятельности предприятия позволило формализовать показатели учетных регистров, взаимосвязи между ними и последовательность расчета, в виде моделей (13.34) –
(13.40), правила отображения показателей деятельности на счетах (табл.
13.4, 13.6), последовательность операций учета характеристик деятельности в виде графов преобразования операций (рис. 13.2. – рис. 13.5) и алгоритмов расчета (рис. 13.6, 13.7), что позволяет использовать их в математическом обеспечении информационных технологий в области бухгалтерского учета и аудита [67].
282
РАЗДЕЛ 14
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ МЕТОДАМИ
И СРЕДСТВАМИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
14.1. Основные аспекты имитационного моделирования
В настоящее время имитационное моделирование является хорошо
развитой технологией компьютерного моделирования, благодаря чему наблюдается устойчивый рост приложений этого метода в самых различных
областях, связанных с управлением и принятием решений экономического,
организационного, социального и технического характера. Поэтому применение методов и средств имитационного моделирования в курсовых и
дипломных работах позволит студентам экономических специальностей
обосновать и проиллюстрировать теоретические выводы, полученные в
работе, а также решать задачи максимально приближенные к их реальной
практической деятельности.
Суть имитационного моделирования. Существует класс объектов, для
которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо
не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью. При моделировании численно оцениваются параметры модели, а затем рассчитываются
характеристики, описывающие реальное поведение системы.
Имитационное моделирование − это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью
описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация − это постижение сути явления, не
прибегая к экспериментам на реальном объекте).
Цель, задачи и область применения имитационного моделирования.
Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами или другими словами –
разработке симулятора исследуемой предметной области для проведения
различных экспериментов.
Эксперименты с моделью позволяют решать задачи, которые дают
ответ на вопросы, как будет вести себя система, если изменить ее структуру или какие-то параметры. Новая политика, управляющие процедуры,
правила принятия решений, организационная структура, потоки информации и т.д. могут быть исследованы без вмешательства в работу реальной
системы. Новые технические средства, планы размещения, программное
обеспечение, транспортные системы и т.п. могут быть опробованы до того,
как деньги, время и другие ресурсы будут потрачены на их приобретение
и/или создание.
283
Имитационное моделирование позволяет проверять гипотезы о причинах возникновения тех или иных наблюдаемых феноменов, рассматривать процессы в различных масштабах времени, выделить переменные,
наиболее важные для успешного функционирования моделируемой системы, и проанализировать имеющиеся между ними связи, выявлять «узкие
места» в материальных, информационных и других потоках. Моделирование дает возможность изучать объекты, о поведении которых имеется недостаточно информации. Одно из основных преимуществ имитационного
моделирования заключается в том, что оно помогает получить ответ на вопрос «что, если...».
Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение
системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели
можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами
и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно
имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми
дороги, невозможны или опасны. С наступлением эпохи персональных
компьютеров производство сложных и уникальных изделий, как правило,
сопровождается компьютерным трёхмерным имитационным моделированием. Эта точная и относительно быстрая технология позволяет накопить
все необходимые знания, оборудование и полуфабрикаты для будущего
изделия до начала производства. Компьютерное 3D моделирование теперь
не редкость даже для небольших компаний.
К имитационному моделированию прибегают, когда:
− дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;
− невозможно построить аналитическую модель: в системе есть
время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;
− необходимо сымитировать поведение системы во времени.
Имитационное моделирование может применяться в различных областях деятельности человека. Выделим задачи экономической деятельности, решение которых средствами имитационного моделирования наиболее эффективно:
− проектирование и анализ производственных систем;
− оценка проектов систем массового обслуживания;
− модернизация различных процессов в деловой сфере;
− определение политики управления запасами;
− анализ финансовых и экономических систем.
Понятие имитационной модели. Особенности аналитических и
статистических моделей. Имитационное моделирование предполагает
создание логико-математической модели сложной системы. При имитационном моделировании логическая структура моделируемой системы адекватно отображается в модели, а процессы функционирования и динамика
взаимодействия ее элементов воспроизводятся (имитируются) на модели.
Поэтому построение имитационной модели включает в себя структурный
284
анализ моделируемой системы и разработку функциональной модели, отражающей динамические портреты моделируемой системы.
Другой важной специфической особенностью имитационного моделирования, как вида моделирования, является то, что методом исследования компьютерной модели здесь является направленный вычислительный
эксперимент, содержание которого определяется проведенными аналитическими исследованиями и соответствующими вычислительными процедурами, реализуемыми как на стадии стратегического планирования эксперимента, так и на стадии обработки и интерпретации его результатов.
В современной литературе есть несколько подходов к определению
имитационной модели [75−90]. На основании вышесказанного остановимся на одном из них. Имитационная модель – логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.
В исследовании операций широко применяются как аналитические,
так и статистические модели. Каждый из этих типов имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают
меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений. Зато результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. А, главное, аналитические модели больше приспособлены для поиска оптимальных решений.
Статистические модели, по сравнению, с аналитическими, более точны и
подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории – неограниченно большое) число факторов. Но и у них –
свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное, крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать «на ощупь», путем догадок и проб.
Наилучшие работы в области исследования операций основаны на
совместном применении аналитических и статистических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контур основных закономерностей. Любые уточнения могут быть получены с помощью статистических моделей.
Подходы к моделированию. Дискретно-событийная методика моделирования используется для построения моделей, отражающих изменение
системы во времени, когда переменные состояния меняются только в конечном или счетном количестве моментов времени. Дискретно-событийное моделирование – подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с
грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений − от логистики и систем
массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот
вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных
процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960-х годах.
285
Второй подход, который применяется в имитационном моделировании – это подход с использованием процессов. Процесс – это упорядоченная во времени последовательность взаимосвязанных событий, разделенных интервалами времени, отражающая «полный жизненный путь» объекта по мере его продвижения в системе. В системе или имитационной модели может быть несколько различных процессов.
Третий подход в имитационном моделировании – иерархическое моделирование. Данный подход позволяет сгруппировать несколько конструктивных основных элементов в новые структурные компоненты более
высокого уровня. Последние структурные компоненты можно повторно
использовать в данной или другой модели.
Системная динамика − парадигма моделирования, где для исследуемой
системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных
влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе
этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего
выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С
помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Джеем Форрестером в 1950 годах.
Агентное моделирование − относительно новое (1990-е–2000-е гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования
децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом
индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей — получить
представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя
из предположений об индивидуальном, частном поведении ее отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент — некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать
решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться.
14.2. Математическое обеспечение имитационного моделирования
Использование абстракций при решении задач с помощью моделей
требует применения математического аппарата. Простейшими математическими моделями являются алгебраические соотношения, а анализ модели в основном сводится к аналитическому решению этих уравнений. Некоторые динамические системы можно описать с помощью систем дифференциальных уравнений и получить решение аналитически. Некоторые
классы систем массового обслуживания можно описать аналитически с
помощью функций распределения вероятностей и рассчитать характеристики их работы. Такое моделирование называется аналитическим. При
аналитическом моделировании анализ функционирования системы выполняется с помощью аналитических преобразований.
286
При имитационном моделировании структура моделируемой системы – ее подсистемы и связи – непосредственно представлена структурой
модели, а процесс функционирования подсистем, выраженный в виде правил и уравнений, связывающих переменные, имитируются на компьютере.
Алгебраические и дифференциальные уравнения (например, в системе имитационного моделирования AnyLogic) решаются численно.
AnyLogic использует современную библиотеку численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (линейных и нелинейных), алгебраических уравнений и любых их комбинаций.
Моделирование случайных событий при разработке имитационных
моделей осуществляется с помощью генерации случайных чисел. Пакеты
имитационного моделирования содержат набор встроенных функций часто
используемых вероятностных распределений. Каждое из распределений
имеет один или несколько параметров связанных с ним. При построении
модели нужно задать эти параметры, чтобы определить распределение в
полном объеме. Для выбора распределения и задания параметров нужно
знать свойства распределений и виды событий для моделирования, которых они используются (табл. 14.1).
Таблица 14.1
Описание основных вероятностных распределений
Название
распределения
1
Равномерное
Вид распределения
Область применения
2
3
⎧ 1
, a ≤ x ≤ b,
⎪
f ( x ) = ⎨ (b − a )
⎪ 0 , в противном случае
⎩
1
(b − a)2 .
18
⎧ x β −1 (1 − x)α −1
⎪
, 0 < x <1
f ( x) = ⎨
B(β , α )
⎪
⎩0, в противном случае
Используется, когда все значения на
конечном диапазоне считаются равновероятными и когда нет никакой
информации, кроме диапазона
MX = (a + b) / 2 , DX =
Бетараспределение
1
где B( β ,α ) = ∫ t β −1 (1 − t )α −1 dt ,
0
MX =
DX =
β
β +α
,
βα
( β + α ) 2 ( β + α + 1)
Из-за своей способности взять на
себя большое разнообразие форм,
это распределение часто используется в качестве грубой модели в связи с отсутствием данных. Кроме того, поскольку спектр бета-распределения от 0 до 1, образец X можно
преобразовать масштабированием к
образцу Y с бета-распределением
диапазона от a до b , используя
уравнение Y = (b − a) X . Распределение часто используется для представления случайных пропорций,
например, доля дефектных изделий
в партии
287
1
Распределение Эрланга
2
3
⎧ β − k x k −1e − x / β
⎪
, x>0
f ( x) = ⎨
,
(k − 1)!
⎪
⎩0, в противном случае
Распределение используется в ситуациях, в которых деятельность происходит в последовательных фазах и
каждая фаза имеет экспоненциальное распределение. Для больших k
распределение Эрланга приближается к нормальному. Распределение
часто используется для моделирования времени, необходимого для завершения задачи. Распределение является частным случаем гамма-распределения, в котором параметр α ,
является целым числом k
Нормальное распределение используется в ситуациях, в которых применяется центральная предельная
теорема; то есть величины, которые
являются суммами других величин.
Он также используется эмпирически
для процессов, которые, как представляется имеют симметричное
распределение. Поскольку теоретический диапазон от -∞ до +∞, то распределение должно использоваться
только для положительных величин,
как время обработки
Распределения Пуассона является
дискретным распределением, которое
часто используется для моделирования числа случайных событий, происходящих в фиксированный интервал
времени. Если интервал времени, между последовательными событиями
экспоненциально распределенный, то
число событий, которые происходят в
фиксированном интервале времени,
имеет распределение Пуассона. Распределения Пуассона также используется для моделирования случайного
объема партии
Треугольное распределение обычно
используется в ситуациях, когда точный вид распределения не известен,
но оценки для минимальных, максимальных и наиболее вероятных
значений доступны. Треугольное
распределение проще в использовании, и в объяснении, чем другие дистрибутивы, которые могут использоваться в этой ситуации (например,
бета-распределения)
MX = kβ ,
DX = kβ 2
Нормальное
⎧ − ( x − µ ) 2 / 2σ 2
⎪e
, x>0
f ( x) = ⎨
σ 2π
⎪
⎩0, в противном случае
MX = µ , DX = σ 2 .
Пуассона
⎧ e−λ λx
⎪
f ( x) = ⎨ x! , x ∈ {0,1,...}
⎪0, в противном случае
⎩
MX = λ , DX = λ .
Треугольное
288
⎧ 2( x − a)
⎪ (m − a)(b − a) , a ≤ x ≤ m,
⎪
⎪ 2(b − x)
f ( x) = ⎨
, m ≤ x ≤ b,
⎪ (b − m)(b − a)
⎪0, в противном случае
⎪
⎩
MX = (a + m + b) / 3 ,
1
DX = (a 2 + m 2 + b 2 −
.
18
− ma − ab − mb)
1
Гаммараспределение
2
3
⎧ β −α xα −1e − x / β
⎪
, x>0
,
f ( x) = ⎨
Г (α )
⎪
⎩0, в противном случае
Данное распределение используется
для представления времени, необходимого для выполнения некоторых
задач (например, время обработки
или времени ремонта машины)
∞
α −1 −1
Г
(
)
α
=
где
∫ t e dt ,
0
MX = αβ , DX = αβ 2 .
Экспоненциальное
⎧ 1 −x / β
, x>0
⎪ e
f ( x) = ⎨ β
⎪0, в противном случае
⎩
MX = β ,
DX = β 2
Логнормальное
⎧ − (ln x − µ ) 2 / 2σ 2
⎪e
, x>0
f ( x) = ⎨
σx 2π
⎪
⎩0, в противном случае
2
MX = e − µ +σ / 2 ,
2
DX = e 2µ +σ (eσ
2
− 1) .
Это распределение часто используется для моделирования количества
событий случайного прибытия и
разрывных процессов, но, как правило, не подходят для моделирования процесса задержки времени. Это
особенно полезно в сервисных приложениях, таких как торговые и
бизнес центры или телефонные
службы, где объем клиентов, изменяется в течение дня
Логнормальное распределение используется в ситуациях, в которых
величина результат большого числа
случайных величин. Оно также часто используется для представления
задач, в которых распределение величин имеет перекос вправо. Такое
распределение связано с нормальным следующим образом. Если X
имеет логнормальное ( µ1, σ1 ) распределение, то ln X имеет нормальное ( µ ,σ ) распределение
Кроме перечисленных математических методов и моделей в пакетах
имитационного моделирования используются математические и логические операции.
14.3. Сравнительный анализ современных систем имитационного моделирования
Классифицировать существующие пакеты имитационного моделирования можно по области применения: универсальные, которые предназначены для различных целей и предметно-ориентированные, которые служат
для решения специальных задач в определенной области деятельности человека, а также по технологическим характеристикам (табл. 14.2)
289
Таблица 14.2
Сравнительные характеристики современных систем моделирования
Система
моделирования
AnyLogic
ARENA
EXTEND
GPSS/
H-PROOF
SIMUL8
TAYLOR
SIMULATION
SOFTWARE
Моделирующая среда и поддержка
Авторское
Поддержка
моделироПроизвоАнимация
ГрафичеПриложения
анализа
вание, продитель ПО
в реальном
ская констрезультаграммировремени
рукция ИМ
тов
вание моделей
Непрерывное
ООО «Экс и дискретноИерархия
Джей Тек- событийное
язык Java
+
+
нолоджис» моделирова- активных
объектов
ние, много(XJ Technologies)
агентный
подход
Производство,
Rockwell
анализ бизнесAutomation
язык
процессов,
Блок-схемы
+
+
(System
SIMAN
дискретное
Modeling
моделироваCorporation)
ние
КомпоноСтратегичевочные
Анализ
ское планиро+
Imagine
блоки, нечувстви+
вание, бизнес
That, Inc.
прерывные язык Modl
тельности
моделироваи дискретние
ные модели
Общего назнаWolverine
чения, произБлок-схемы
+
+
ANOVA
Software
водство, транCorporation
спорт и др.
ОбъектноУниверсальное
ориентисредство имиVisual
+
+
-Thinking
рованное
тации диспрограммиInternational кретных прорование
цессов
Блок-схемы,
Производство,
дискретное
F&H Simuстоимостный
моделироlation Inc.
анализ
вание
Модели системной динаVENSIM
мики
Непрерывное
POWERSI Powersim
моделироваM
Co.
ние
Модели сисExpectation темной динаDYNAMO
Software мики вычислительного типа
Ventana
Systems
290
--
+
+
Потоковые
диаграммы
--
--
--
Потоковые
диаграммы
--
+
--
Блок-схемы
--
--
--
14.4. Назначение и возможности инструментальной среды
AnyLogic. Примеры моделирования средствами программы AnyLogic
Пакет AnyLogic – отечественный профессиональный инструмент нового поколения, который предназначен для разработки и исследования
имитационных моделей. Разработчик продукта – компания «Экс Джей
Текнолоджис» (XJ Technologies), г. Санкт-Петербург; электронный адрес:
www.xjtek.ru. AnyLogic был разработан на основе новых идей в области
информационных технологий, теории параллельных взаимодействующих
процессов и теории гибридных систем.
Программный инструмент AnyLogic основан на объектно-ориентированной концепции. Другой базовой концепцией является представление
модели как набора взаимодействующих, параллельно функционирующих
активностей. Активный объект в AnyLogic – это объект со своим собственным функционированием, взаимодействующий с окружением. Он может включать в себя любое количество экземпляров других активных объектов. Графическая среда моделирования поддерживает проектирование,
разработку, документирование модели, выполнение компьютерных экспериментов, оптимизацию параметров относительно некоторого критерия.
При разработке модели можно использовать элементы визуальной
графики: диаграммы состояний (стейтчарты), сигналы, события (таймеры),
порты и т.д.; синхронное и асинхронное планирование событий; библиотеки активных объектов. При разработке модели на AnyLogic можно использовать концепции и средства из нескольких классических областей имитационного моделирования (рис. 14.1): динамических систем, дискретнособытийного моделирования, системной динамики, агентного моделирования. Кроме того, AnyLogic позволяет интегрировать различные подходы
с целью получить более полную картину взаимодействия сложных процессов различной природы.
AnyLogic поддерживает несколько типов экспериментов: простой
эксперимент, эксперимент для варьирования параметров, оптимизационный и др. С помощью экспериментов задаются конфигурационные настройки модели. На рис. 14.2 показано окно выбора эксперимента.
Простой эксперимент. Задачи вида «что – если» (так называемая
прямая задача имитационного моделирования ИМ) в AnyLogic решаются с
помощью простого эксперимента. Простой эксперимент используется в
большинстве случаев при разработке и анализе моделей, созданных в
AnyLogic.
Оптимизационный эксперимент. Используется для решения задач
количественного анализа (расчет показателей эффективности системы).
Поиск тех значений факторов, которые определяют наиболее предпочтительный вариант решения, называется обратной задачей ИМ.
291
Рис. 14.1 – Окно выбора типа модели программы AnyLogic
Рис. 14.2 – Окно выбора типа эксперимента программы AnyLogic
292
Обратные задачи моделирования отвечают на вопрос о том, какое
решение из области допустимых решений обращает в максимум показатель эффективности системы. Для решения обратной задачи многократно
решается прямая задача. В случае, когда число возможных вариантов решения невелико, решение обратной задачи сводится к простому перебору
всех возможных решений. Сравнивая их между собой, можно найти оптимальное решение. Если перебрать все варианты решений невозможно, то
используются методы направленного перебора с применением эвристик.
При этом оптимальное или близкое к оптимальному решение находится
после многократного выполнения последовательных шагов (решений прямой задачи и нахождения для каждого набора входных параметров модели
вектора результирующих показателей). Правильно подобранная эвристика
приближает эксперимент к оптимальному решению на каждом шаге.
Далее приведены примеры типовых задач, решаемых средствами
программы AnyLogic.
Пример 1. (Моделирование систем массового обслуживания). В
банковском отделении находятся банкомат и стойки банковских кассиров,
которые предназначены для быстрого и эффективного обслуживания посетителей банка. Операции с наличностью клиенты банка производят с помощью банкомата, а более сложные операции, такие как оплата счетов – с
помощью кассиров. Необходимо произвести оценку затрат операций и определить, сколько денег тратится на обслуживание одного клиента и какую
часть этой суммы составляют накладные расходы на оплату работы персонала банка, а какую – на обслуживание посетителей.
Данная задача при известных характеристиках потоков клиентов, количества кассиров, среднего времени обслуживания может быть решена с
помощью имитационной модели представленной на рисунке 14.3.
Рис. 14.3 – Вид модели системы массового обслуживания в среде
AnyLogic
293
Пример 2. Разработка имитационной модели торговой компании. В торговой компании каждые 1-6 минут поступает непрерывный поток звонков от клиентов. Звонки бывают трех типов: очень важные – с ними работает только директор компании, специальные технические звонки в
службу сервис центра – с ними работают специалисты сервис центра, все
остальные звонки (покупка, консультация по покупке) – с ними работают
менеджеры. Звонки разделяются секретарем и поступают к тому, кто будет
с ними работать. Звонков третьего типа поступает больше всего (около
85%). В отделе по продажам работают три менеджера с различным опытом
продаж. Все звонки поступают сначала к первому менеджеру, если он занят, то передаются ко второму, если и первый менеджер и второй заняты,
то задействуется третий менеджер.
Реализовать модель торговой компании. Имеется три типа входящих
звонков, и три типа обработчиков этих звонков. Места обслуживания –
секретарь, директор, сервис центр, три менеджера. Учесть передачу входящих звонков между менеджерами, в случае их занятости в момент поступления заявки.
Пример 3. Модель процесса производства пластиковых окон. Заявки от клиентов непрерывным потоком поступают на предприятие и передаются в отдел планирования. На выходе из данного отдела каждая заявка характеризуется следующими переменными:
– предельное время выполнения заказа, которое клиент согласен ждать;
– время выполнения проекта;
– время ожидания начала выполнения заказа, если предшествующая
очередь заказов не пуста.
1. Далее отдел планирования передает в производственный отдел
план-график по выполнению данного заказа.
2. Производственный отдел разделен на следующие участки с жестко
закрепленными производственными операциями:
а) участок нарезки деталей;
б) участок сварки;
в) участок сборки;
г) участок по изготовлению подоконника, водоотлива и москитной
сетки.
3. Завершающим этапом является установка окна в оконные проемы, которую осуществляет бригада установки.
4. Если на выходе из системы (предприятия) время выполнения проекта превышает предельное время ожидания, то данный заказ считается
невыполненным, т.е. отказом.
Пример 4. Модель супермаркета. В супермаркет приходят покупатели через различные интервалы времени. Выбирают товары с витрин,
которые им необходимы и идут к кассам. В супермаркете имеется 5 касс
для обслуживания покупателей. Каждая может быть в рабочем состоянии
свободна, в рабочем состоянии занята обслуживанием другого покупателя
294
или в нерабочем состоянии. Покупатели стремятся занять рабочую, свободную кассу или с минимумом людей в очереди. Очередь к кассе проходит последовательно. После прохождения кассы покупатели выходят из
магазина. Необходимо реализовать модель работы супермаркета. Обеспечить в процессе моделирования вывод среднего времени ожидания у касс.
Пример 5. (Анализ типичной системно-динамической модели). Модель распространения среди населения инноваций и новых продуктов, разработана Франком Бассом (Frank Bass, 1969). Среди бизнес-аналитиков она
является одной из самых популярных моделей исследования рынка новых
продуктов. Модель представляет собой динамику процесса превращения
потенциальных покупателей нового продукта (Potential_Adopters) во владельцев продукта (Adopters). Изначально продукт никому не известен, и
для того, чтобы люди начали его приобретать, он рекламируется. В итоге
люди покупают продукт либо под воздействием рекламы, либо узнав о нем
от знакомых, по «сарафанному радио». Эффективность рекламы пропорциональна числу людей, на которых она действует, т.е. числу потенциальных покупателей. В свою очередь, эффективность «сарафанного радио»
зависит от числа людей, уже купивших продукт. Иными словами, в данной
модели должна быть отражена структура взаимных зависимостей характеристик и параметров системы.
Данная задача при известных характеристиках эффективности рекламы и «сарафанного радио» а также данных о численности населения и
частоте контактов может быть решена с помощью имитационной модели
представленной на рисунке 14.4.
Рис. 14.4 – Вид модели жизненного цикла товара в среде AnyLogic
295
Расширенная модель жизненного цикла продукта поможет спланировать стратегию выпуска продукта на рынок, сориентироваться на конкретного потребителя и спрогнозировать спрос на продукт для того, чтобы
выработать более рациональную и эффективную рекламную стратегию.
Моделирование повторных покупок учитывает, что со временем
продукт может быть израсходован или прийти в негодность, что вызовет
необходимость его повторного приобретения. Моделирование цикличности спроса используется, если спрос на продукт зависит от текущего времени года.
Пример 6. (Агентный подход моделирования сложных систем). Рассматривается классическая модель распространения инноваций Басса и ее
расширения, которые демонстрируют возможности AnyLogic для создания
агентных моделей.
Главная задача модели распространения продукта – изучение того,
как быстро люди покупают новый продукт. Для этого необходимо подсчитывать число потребителей и потенциальных потребителей продукта, что
можно сделать с помощью функций сбора статистики.
Рис. 14.5 – Вид модели распространения двух видов продукции в среде
AnyLogic
Ниже предлагаются примеры реальных моделей, иллюстрирующие возможности современного компьютерного имитационного моделирования. Все
эти модели разработаны компанией XJ Technologies (http://www.xjtek.com/).
Полный список демонстрационных моделей находится на http://www.xjtek.com/
anylogic/demo_models/ (для запуска моделей с сайта нужно открыть соответствующий раздел в левом столбце и кликнуть на картинку с изображением мо296
дели). Все приведенные примеры моделей реализованы в модельном комплексе AnyLogic, также разработанном компанией XJ Technologies.
Пример 7. Модель «Производство минеральной воды и тоника».
На рис. 14.6 приведены примеры работы модели, имитирующей технологическую линию по производству минеральной воды и тоника, включая
складирование и вывоз готовой продукции. Ссылка на работающую версию этой модели находится на странице http://www.xjtek.com/anylogic/
demo_models/ manufacturing_logistics/ под названием Beverage Production
(здесь же дано описание как запустить модель). Полный исходный код
данной модели включен в дистрибутив AnyLogic 5 (находится в разделе
«Примеры» в подразделе «Manufacturing and Logistics»).
В работающем виде данная модель содержит следующие основные
элементы (см. рис. 14.6):
• анимированное представление всех элементов технологического
процесса производства минеральной воды и тоника, включая индикаторы
текущего состояния каждого элемента;
Рис. 14.6 – Пример модели «Производство минеральной
воды и тоника»
• меню модели, включающее семь изменяемых параметров в виде
ползунка, позволяющее в процессе работы модели менять некоторые условия работы данного технологического процесса (рецептуру минеральной
воды и тоника, количество моющих машин для бутылок, количество подъ297
емно-разгрузочных машин и количество контейнеров, которые они могут
перевозить);
• текстовые пояснения к выводимой информации, а также описание
как переключать анимированное представление работы данного производства на технологическую линию (14.6) или на склад готовой продукции
(рис. 14.7).
Рис. 14.7 – Пример модели «Производство минеральной воды
и тоника». Продолжение
При запуске модели анимированная схема технологического процесса приходит в движение слева направо. Пустые бутылки поступают из
двух источников: новые и уже ранее использованные. Ранее использованные бутылки сначала попадают в мойку (можно задать количество моющих машин). Затем бутылки из обоих источников проходят проверку и
раздваиваются на линию подготовки минеральной воды и тоника. Напитки
готовятся из ингредиентов, запасы которых заданы в модели: вода, углекислый газ, спирт и ромовая эссенция, смешиваемых в заданных пропорциях (пропорции можно менять параметрами «рецептура»). Заполненные
бутылки проходят через два аппарата по наклеиванию этикеток, затем
складываются в ящики. Как только на выходе технологической линии (рис.
14.6) скапливается 5 ящиков напитков, за ними приходит автомобиль, ко298
торый доставляет их контейнером на склад. На складе (рис. 14.7) автомобили разгружаются слева на анимированной схеме склада 2-мя подъемноразгрузочными машинами. Контейнеры с минеральной водой накапливаются в нижней части склада, а с тоником – в верхней. Еще одна подъемноразгрузочная машина доставляет контейнеры на правую сторону склада,
где они забираются автомобилями покупателей. Количество ежедневно закупаемых бутылок напитка также задается в модели (1600 штук).
Модель является прекрасной анимированной презентацией соответствующего производства. Она дает его руководителям простую для понимания и компактную информацию о состоянии всех процессов/элементов
технологической цепочки в заданные моменты времени. Чтобы создать
аналогичный уровень информированности традиционными таблицами и
графиками потребовалось бы гораздо больше усилий, как от руководителей, так и от аналитиков. Настраиваемы параметры модели (выполненные
в виде ползунков) позволяют прямо по ходу ее работы анализировать последствия от изменения некоторых факторов. Например, выход из строя
подъемно-разгрузочных машин, изменения в рецептуре напитков и т.п.
Количество подобных настраиваемых параметров модели может быть при
необходимости увеличено.
Пример 8. Модель «Отделение скорой помощи». На рис. 14.8 –
14.9 приведены примеры работы модели, имитирующей функционирование отделения скорой помощи при крупной больнице, включая детальную
статистику об использовании ресурсов отделения. Ссылка на работающую
версию этой модели находится на странице http://www.xjtek.com/
anylogic/demo_models/ healthcare/ под названием Emergency Department.
Полный исходный код данной модели включен в дистрибутив AnyLogic 5
(находится в разделе «Примеры» в подразделе «Healthcare»).
В книге [83] подробно описан процесс разработки упрощенной версии этой модели (стр. 280), а также история создания полной версии этой
модели (стр. 354).
В работающем виде данная модель содержит те же основные элементы, что и в предыдущей модели. Однако здесь предусмотрено только
два настраиваемых параметра (два ползунка): 1) количество больных, поступающих в отделение в единицу модельного времени (на примере оно
равно 10 человек); 2) процент ходячих больных в их общем потоке.
Модель отделения скорой помощи имитирует обслуживание входного потока больных со случайным распределением у них видов травм и заболеваний имеющимися ресурсами отделения. Ресурсы отделения состоят
из заданного количества специалистов разного вида (рис. 14.9 список в
столбце Staff utilization на нижней картинке Model statistics), количества
специализированных кабинетов и рабочего времени специалистов.
299
Рис. 14.8 – Пример модели «Отделение скорой помощи»
Рис. 14.9 – Пример модели «Отделение скорой помощи». Продолжение
Дополнительным ограничением является организация пространства
отделения, перемещение по которому больных и персонала требует времени, вызывая задержки в обслуживании больных, создавая дополнительные
300
очереди и т.д. Для каждого поступающего больного в зависимости от вида
его заболевания в модели назначается определенная схема обслуживания,
реализация которой визуализируется на анимированной презентации в виде перемещения больного из кабинета в кабинет, в том числе в сопровождении персонала отделения, ожидания в очередях, когда освободится требуемый специалист или кабинет и т.п.
Сводная статистика (рис. 14.9), в том числе, демонстрирует текущие
показатели использования всех ресурсов отделения, среднее время нахождения больных в очередях, общее время, проведенное больными в отделении, включая время, проведенное в кабинетах и т.п.
Подобная компьютерная имитационная модель наглядно демонстрирует функционирование больших/сложных организационных систем, которое практически невозможно представить традиционными способами.
Сложный организационный механизм предстает здесь в виде реалистичной
картины изменения состояния элементов системы и связей между ними.
Руководитель подобной организации может с помощью модели проанализировать фактические и/или возможные причины возникновения очередей в обслуживании и проимитировать доступные ему варианты улучшения ситуации. Возможен анализ различных сценариев развития событий и
поиск наилучших решений (включая решение оптимизационных задач).
Подобная модель может быть полезным информационно справочным ресурсом для пациентов, если она соединена с информационной системой организации и регулярно актуализируется на основе получаемых из
нее реальных данных (занятость специалистов, длина очереди пациентов и
др.). С помощь такой модели пациенты могут получать прогноз времени
ожидания в очереди, оценки общего времени и требуемой им схемы обслуживания и т.п. Родственники больных могут просматривать аналогичную информацию через Интернет.
301
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Элементы высшей математики в экономике
1. Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов /
В.А. Колемаев. – 3-е стереотип. изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 399 с.
2. Красс М.С. Математика в экономике: Основы математики: Линейная алгебра; Математический анализ; Дифференциальные и разностные
уравнения и др.: учебник для вузов / М.С. Красс.– М.: Изд-во: ФБК Пресс.
– 2005.
3. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до
Эконометрики: учебно-справочное пособие: для студентов высш. учебных
заведений, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М Тришин; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2009. – 646 с.
4. Кундышева Е.С. Математика: учеб. пособ. для экономистов / Е.С. Кундышева. – М.: Дашков и К, 2005. – 534 с.
5. Солодовников А.С. Математика в экономике: учебник: в 2-х ч. /
А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов. – М.: Финансы и статистика, 2000. – Ч. 1 – 224 с.
6. Солодовников А.С. Математика в экономике: учебник: в 2-х ч. /
А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. – М.: Финансы и статистика, 1999. – Ч. 2 – 376 с.
7. Породников В.Д. Математика для экономистов [Электронный
ресурс]: электрон. учеб.-метод. комплекс / В.Д. Породников. – Донецк:
ДонНУ, 2009. Режим доступа: dl.donny.edu.ua, ef.donny.edu.ua
Теория вероятностей и математическая статистика
8. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебник для студентов вузов, обучающ. по направлению и спец. «Менеджмент»/ В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 302 с.
9. Теория вероятностей и математическая статистика с применением
информационных технологий: учеб. пособ. / М.И. Медведева, Е.Г. Новожилова, Ю.Н. Полшков, Н.В. Румянцев. – Донецк: ДонНУ, 2002. – 331 с.
Экономико-математическое моделирование
10. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: модели,
задачи, решения: учеб. пособ. / М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. – М.:
ИНФРА–М, 2003. – 444 с.
11. Зайцев М.Г. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: учеб. пособ. / М.Г. Зайцев, С.Е. Варюхин –
2-е изд., испр. – М: Издательство «Дело», АНХ, 2008. – 664 с.
302
12. Иванов С.Н. Математические методы исследования операций:
учеб. пособ. для студентов экон. специальностей вузов: в 2 ч. / С.Н. Иванов. – Донецк: ДонНУ, 2003. – Ч. 1. – 2003. – 316 с.
13. Иванов С.Н. Математические методы исследования операций:
учеб. пособ. для студентов экон. специальностей вузов: в 2 ч./ С.Н. Иванов.
– Донецк: ДонНУ, 2003. – Ч. 2. – С. 317–688.
14. Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента:
учеб. пособ. / В.В. Глухов, М.Д. Медников, С.Б. Коробко. – 3-е изд., стер. –
СПб.: Изд-во «Лань», 2007. – 528 с.
15. Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование: моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности 061800 «Математические
методы в экономике» / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 295 с.
16. Красс М.С. Математические методы и модели для магистрантов
экономики: Математическое программирование и эконометрика; Инфляция и государственный долг; Эколого-экономические системы и др.: учеб.
пособ. для вузов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов – Питер, 2006. – 348 с.
17. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике:
учеб. пособ. для вузов / Е.С. Кундышева; под ред. Б.А. Суслакова. – изд.
3-е, перераб., испр. – М.: Изд-во: Дашков и К, 2007. – 226 с.
18. Кулян В.Р. Математическое программирование: (с элементами
информ. технологий): учеб. пособ. для студентов немат. спец. вузов /
В.Р. Кулян, Е.А. Юнькова, А.Б. Жильцов; Межрегион. акад. упр. персоналом. – К.: МАУП, 2000. – 122 с.
19. Костевич Л.С. Математическое программирование: Информационные технологии оптимальных решений: учеб. пособ. / Л.С. Костевич. –
Мн.: Новое знание, 2003. – 424 с.
20. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования /
Б. Лю; под ред. Ю.В. Тюменцева; пер. с англ. Ю.В. Тюменцева,
Ю.Т. Каганова; – М.: Бином. лаб. знаний, 2005. – 416 с.
21. Математические методы и модели исследования операций: учебник для вузов; под ред. В.А. Колемаева, Т.М. Гатауллин, Н.И. Заичкин. –
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 280 с.
22. Орехов Н.А. Математические методы и модели в экономике:
учеб. пособ. для вузов по экон. спец. / Н.А. Орехов, А.Г. Левин, Е.А. Горбунов; под ред. Н.А. Орехова. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 302 с.
23. Просветов Г.И. Математика в экономике: Задачи и решения:
учебник для вузов / Г.И. Просветов. – изд. 3-е, перераб., доп. – М.: Экзамен. – 2008. – 120 с.
24. Породников В.Д. Математические методы и модели: справочное
пособие для экономистов / В.Д. Породников, А.В. Породников. – Донецк:
Донецкий госуниверситет, 2006. – 85 с.
25. Таха Х.А. Введение в исследование операций / Х.А. Таха – 7-е
издание пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912 с.
303
26. Христиановский В.В. Задачи по математическому программированию: Теория и практика / В.В. Христиановский, В.Ф. Ходыкин, А.А. Преображенский. – Донецк: ДонНУ, 2003. – 250 с.
27. Христиановский В.В. Экономико-математические методы и модели: теория и практика: учеб. пособ. / В.В. Христиановский, В.П. Щербина. – Донецк: ДонНУ, 2010. – 335 с.
28. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике,
финансах, бизнесе: учеб. пособ. для студентов вузов, обучающ. по экон.
спец. / С.И. Шелобаев. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 368 с.
29. Курганова М.В. Экономико-математические методы и модели:
Задачник: учебно-практическое пособие для вузов / М.В. Курганова,
Р.И. Горбунова, С.И. Макаров; под ред. С.И. Макарова, С.А. Севастьяновой М.: КноРус., 2008. – 326 с.
30. Ильченко Е.В. Экономико-математические методы: учеб. пособ.
для вузов / Е.В. Ильченко. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 256 с.
Эконометрия
31. Грубер Й. Эконометрия I: Введение во множественную регрессию и эконометрию. / Й. Груббер; пер. с нем. А.С. Ермоленко; науч. ред.
А.Б. Вороновой, Т.П. Романюк. – Хаген: Fernuniversitat Gesamthochschule,
1993. – Ч. 1. – 220 с.
32. Кулинич Е.И. Эконометрия. / Е.И. Кулинич; пер. с укр. Е.И. Кулинича. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 304 с.
33. Магнус Я.Р. Эконометрика: нач. курс: учеб. пособ. для вузов по
экон. спец. / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. – 6-е изд. – М.:
Дело, 2004. – 576 с.
34. Наконечний С.І. Економетрія: підручник / С.І. Наконечний, Т.О. Терещенко, Т.П. Романюк. –. 4-е вид доп. та пероб. – К.:КНЕУ, 2006. – 528 с.
35. Прикладная эконометрия: учеб. пособ. для студентов экон. спец.
вузов / В.В. Христиановский, А. Москардини, Н.Г. Гузь и др.; Донецкий
гос. ун-т. – Донецк: ДонГУ, 1998. – 172 с.
36. Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов: учеб. пособ. для вузов / Е.П. Чураков – Изд.: Финансы и статистика. –
2008. – 252 с.
Финансовая математика
37. Вітлінський В.В. Ризик у менеджменті: навч. посіб. / В.В. Вітлінський, С.І. Наконечний. – К.: ТОВ “Борисфен-М”, 1996. – 336 с.
38. Дубров А.М. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и
бизнесе: учеб. пособ. / А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталёв; под
ред. Б.А. Лагоши. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 176 с.
304
39. Економічний ризик: ігрові моделі: навч. посіб. / В.В. Вітлінський,
П.І. Верченко, А.В. Сігал, Я.С. Наконечний; за ред. В.В. Вітлінського. – К.:
КНЕУ, 2002. – 446 с.
40. Клебанова Т.С. Теория экономического риска: учеб. пособ. для
студентов вузов / Т.С. Клебанова, Е.В. Раевнева; Харьковский нац. экон.
ун-т. Харьков: ИНЖЭК, 2007. – 207 с.
41. О’брайен Дж. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами:
учеб. пособ. / Дж. О’брайен, С. Шривастава. – М.: ДЕЛО Лтд, 1995. – 207 с.
42. Практикум по прогнозу и риску / В.В. Христиановский, В.П. Щербина, М.И. Медведева, Э. Флетчер. – Донецк: ДонНУ, 2000. – 316 с.
43. Первозванский А.А. Финансовый рынок: расчет и риск: учеб. пособ.
/ А.А. Первозванский, Т.Н. Первозванская. – М.: ИНФРА-М, 1994. – 192 с.
44. Моделирование финансовых потоков предприятия в условиях неопределенности / Т.С. Клебанова, Л.С. Гурьянова, Н. Богониколоси др.;
НАН Украины, Науч.-исслед. центр индустриал. пробл. развития. – Харьков: ИД «Инжэк», 2006. – 312 с.
45. Румянцев Н.В. Финансовая математика и её приложения к теории
инвестиций: учеб. пособ. / Н.В. Румянцев. – Донецк: ДонГУ, 2000. – 227 с.
46. Гранатуров В.М. Экономический риск. Сущность, методы измерения, пути снижения / В.М. Гранатуров. – М.: Дело и Сервис; 2010. – 208 с.
47. Христиановский В.В. Функция полезности: теория и анализ:
учеб. пособ. / В.В. Христиановский, В.П. Щербина; Донец. нац. ун-т. –
Харьков: ИНЖЭК, 2006. – 120 с.
48. Христиановский В.В. Экономический риск и методы его измерения: учеб. пособ. / В.В. Христиановский, Ю.Н. Полшков, В.П. Щербина. –
Донецк: ДонГУ, 1999. – 250 с.
49. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели: монография / А.Н. Ширяев. – М.: ФАЗИС, 1998. – Т. 1. – 512 с.
50. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики.
Теория: монография / А.Н. Ширяев. – М.: ФАЗИС, 1998. – Т. 2. – 544 с.
Другие модели в экономике
51. Ечмаков С.М. Теневая экономика: анализ и моделирование /
С.М. Ечмаков. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 408 с.
52. Вилисов В.Я. Методы выбора экономических решений: Адаптивные модели / В.Я. Виллисов. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 150 с.
53. Леонтьев В. Межотраслевая экономика / В. Леонтьев – М.: Экономика, 1997. – 478 с.
54. Лысенко Ю.Г. Нейронные сети и генетические алгоритмы: учеб.
пособ. для студентов экон. специальностей вузов / Ю.Г. Лысенко,
Н.Н. Иванов, А.Ю. Минц. – Донецк: Юго-Восток, 2003. – 230 с.
55. Маркетинг: учебник для вузов / Н.Д. Эриашвили, К. Ховард,
Ю.А. Цыпкин и др.; под ред. Н.Д. Эриашвили. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИДАНА, 2001. – 623 с.
305
56. Моделирование экономической динамики: учеб. пособ. /
Т.С. Клебанова, Н.А. Дубровина, О.Ю. Полякова и др.; Харьк. гос. экон.
ун-т. – Харьков: ИНЖЭК, 2004. – 243 c.
57. Моделирование финансовых потоков предприятия в условиях неопределенности / Т.С. Клебанова, Л.С. Гурьянова, Н. Богониколоси др.;
НАН Украины, Науч.-исслед. центр индустриал. пробл. развития. – Харьков: ИД «Инжэк», 2006. – 312 с.
58. Моделирование экономических процессов: учебник для вузов по
специальностям экономики и управления (060000) / Е.Н. Лукаш, В.А. Чахоян, Ю.Н. Черемных и др.; под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой,
Ю.Н. Черемных. – Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 350, [1] с.
59. Моделi i методи соцiально-економiчного прогнозування: пiдручник
для студ. вищ. навч. закл. / В.М. Геєць, Т.С. Клебанова, О.I. Черняк та iн.;
Харкiвський нац. экон. ун-т. – 2-ге вид. – Харкiв: Iнжек, 2008. – 394 с.
60. Нескородева Т.В. Логико-формальные правила контроля формирования товарного обеспечения торгового предприятия / Т.В. Нескородева
// Вестник национального технического университета «ХПИ». Сборник научных трудов. Тематический выпуск «Системный анализ, управление и
информационные технологии» – 2010. – № 9. – С. 81–92.
61. Нескородева Т.В. Моделі та інформаційні технології поліваріантного аналізу діяльності підприємства: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спеціальність 05.13.06 „Інформаційні технології” /
Т.В. Нескородева. – Харків, 2008. – 19 с.
62. Полшков Ю.Н. Развитие туризма, стохастическое моделирование
и другие вопросы / Ю.Н. Полшков // Проблемы и перспективы развития
сотрудничества между странами Юго-Восточной Европы в рамках Черноморского экономического сотрудничества и ГУАМ: Сборник научных
трудов. – Стамбул-Донецк: ДонНУ, РФ НИСИ в г. Донецке. – 2010. –
С. 209 – 213.
63. Савиных В.Н. Математическое моделирование производственного и финансового менеджмента / В.Н. Савиных. – М.: Кно-Рус. – 2009. –
190 с.
64. Стерлигова А.Н. Управление запасами в цепях поставок: учебник
/ А.Н. Стерлигова. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 430 с. – (Высшее образование).
65. Полшков Ю.Н. О математических методах оптимального управления товарными запасами // Вiсник Донецького унiверситету. Серiя В.
Економiка i право. – 2010. – № 1. – С. 236–241.
66. Хаустова В.Е. Моделирование маркетинговой стратегии предприятия на рынках продукции производственно-технического назначения /
В.Е. Хаустова, Ю.А. Лидовский. – Харьков: ИНЖЭК, 2004. – 175 с.
306
Информационные технологии в экономике и управлении
67. Нескородева Т.В. Інформаційна технологія СППР «Аудит» /
Т.В. Нескородева // Вісник Донецького національного університету, Серія А: Природничі науки. – 2010. – Вип. 1 – С. 252–258.
68. Цисарь И.Ф. Компьютерное моделирование экономики: учеб. пособ. / И.Ф. Цисарь, В.Г. Нейман М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002. – 304 с.
69. Цисарь И.Ф. Лабораторные работы на персональном компьютере:
Для студентов экон. специальностей / И.Ф. Цисарь. – 2-е изд. – М.: Экзамен, 2004. – 223 с.
70. Информационные технологии управления: учебник для вузов по
экон. специальностям / под ред. Г.А. Титоренко. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ,
2003. – 439 с.
71. Козырев А.А. Информационные технологии в экономике и управлении: учебник / А.А. Козырев – 3-е изд. – СПб.: Изд-во В.А. Михайлова,
2003. – 495 с.
72. Информационные технологии и управление предприятием /
В.В. Баронов, Г.Н. Калянов, Ю.И. Попов, И.Н. Титовский. – M.: Акад.
АйТи, 2006. – 326 с.
73. Исаев Г.Н. Информационные системы в экономике: учеб. пособ. /
Г.Г. Исаев, И.В. Чернышев. – М.: Омега-Л, 2006. – 462 с.
74. Моисеева Н.К. Управление маркетингом: теория, практика, информационные технологии: учеб. пособ. по спец. «Менеджмент организации», «Маркетинг» / Н.К. Моисеева, М.В. Конышева; под ред. Н.К. Моисеевой. – 2-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 416 с.
75. Кельтон В. Имитационное моделирование. Классика CS / В. Кельтон, А Лоу. – 3-е изд. – СПб.: Питер: Киев: Издательская группа BHV, 2004. –
847 с.
76. Томашевский В. Имитационное моделирование в среде GPSS /
В. Томашевский, Е. Жданова – М.: Бестселлер, 2003. – 416 с.
77. Емельянов А.А. Имитационное моделирование экономических
процессов: учеб. пособ. / А.А. Емельянов, Е.А. Власова, Р.В. Дума – М.:
Финансы и статистика, 2002. – 368 с.
78. Хемди А. Введение в исследование операций. Operations Research:
An Introduction / А. Хемди — 7-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. – 912 c.
79. Строгалев В.П. Имитационное моделирование / В.П. Строгалев,
И.О. Толкачева – МГТУ им. Баумана, 2008. — 280 c.
80. Христиановский В.В. Введение в имитационное моделирование с
помощью пакета ARENA / В.В. Христиановский, Э.Д. Флетчер, В.Ф. Ходыкин; Донец. гос. ун-т. – Донецк: ДонГУ, 2000. – Ч. 1. – 127 с.
81. Имитационное моделирование экономических систем: учеб. пособ. / Ю.Г. Лысенко, Г.С. Овечко, А.В. Овечко и др.; под ред. Ю.Г. Лысенко; Донецкий нац. ун-т, каф. эконом. кибернетики. – Донецк: ЮгоВосток, 2007. – 286 с.
307
82. Кострова Е.M. Среда моделирования AnyLogic. [Электронный
ресурс] / Е.M. Кострова. – Режим доступа: http://www.xjtek.ru/anylogic/
83. Карпов Ю.Г. Имитационное моделирование систем. Введение в
моделирование с AnyLogic / Ю.Г. Карпов. – М.: Издательство «BHV»,
2005. – 450 с.
84. Просанов И.Ю. Оптимизация бизнес-процессов. учеб. пособ. /
И.Ю. Просанов. М.: Диалог Мифи, 2002. – 320 с.
85. Гомоненко Е.И. Пакет имитационного моделирования ARENA
[Электронный ресурс] / Е.И. Гомоненко. – Режим доступа: http://www.
interface.ru/sysmod/ARENA.htm
86. Трапезникова Н.В. Оптимизация структурно-функциональных
моделей [Электронный ресурс] / Н.В. Трапезникова – Режим доступа:
http://www.optium.ru
87. Карпов Ю.Г. Имитационное моделирование систем. Введение в
моделирование с AnyLogic 5 / Ю.Г. Карпов. – СПб.: БХВ Петербург, 2006.
– 400 с.
88. AnyLogic User’s Manual. XJ Technologies: [Электронный ресурс].
– Режим доступа: http://www.xjtek.com.
89. Многоподходное имитационное моделирование в AnyLogic.
XJ Technologies: [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.xjtek.ru
90. Имитационное моделирование систем в среде AnyLogic: учебнометодическое пособие / М.В. Киселёва. – Екатеринбург: УГТУ – УПИ,
2009. – 88 с.
Организация учебного процесса в ВУЗе
91. Сучасна економічна освіта: Україна і Болонський процес / за ред.
В.Д. Базидевича. – К.: Знання, 2006. – 326 с.
92. Управління навчальним процесом за кредитно-модульною системою в Донецькому національному університеті. Тематичний збірник для
професорсько-викладацького
складу
/
уклад.
А.М. Кучко,
В.В. Христіановський, О.В. Мазнєв та ін.; за редакцією академіка НАН
України Шевченка В.П. . – Донецьк: ДонНУ, 2008.– Вип. 2. – 292 с.
308
309
Данные «Затраты - выпуск» Госкомстата Украины за 2006 год (млн грн)
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Статистические данные
Таблица А.1
310
Продолжение таблицы А.1
311
Таблица А.2
312
Продолжение таблицы А.2
313
Таблица А.3
314
Продолжение таблицы А.3
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Статистические таблицы
Таблица Б.1
Значения F -критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05
k1
k2
1
2
3
4
5
6
8
12
24
∞
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
2
161,5
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
4,22
4,21
4,20
4,18
4,17
4,12
4,08
4,06
4,03
3
199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,88
3,80
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,38
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,26
3,23
3,21
3,18
4
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,87
2,84
2,81
2,79
5
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,64
2,61
2,58
2,56
6
230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,02
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,54
2,53
2,48
2,45
2,42
2,40
7
233,9
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,44
2,43
2,42
2,37
2,34
2,31
2,29
8
238,9
19,37
8,84
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,38
2,36
2,34
2,32
2,30
2,29
2,28
2,27
2,22
2,18
2,15
2,13
9
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,04
2,00
1,97
1,95
10
249,0
19,45
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,50
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,00
1,98
1,96
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,83
1,79
1,76
1,74
11
254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,57
1,51
1,48
1,44
315
Продолжение таблицы Б.1
1
60
70
80
90
100
125
150
200
300
400
500
1000
∞
2
4,00
3,98
3,96
3,95
3,94
3,92
3,90
3,89
3,87
3,86
3,86
3,85
3,84
3
3,15
3,13
3,11
3,10
3,09
3,07
3,06
3,04
3,03
3,02
3,01
3,00
2,99
4
2,76
2,74
2,72
2,71
2,70
2,68
2,66
2,65
2,64
2,63
2,62
2,61
2,60
5
2,52
2,50
2,49
2,47
2,46
2,44
2,43
2,42
2,41
2,40
2,39
2,38
2,37
6
2,37
2,35
2,33
2,32
2,30
2,29
2,27
2,26
2,25
2,24
2,23
2,22
2,21
7
2,25
2,23
2,21
2,20
2,19
2,17
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
8
2,10
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
2,00
1,98
1,97
1,96
1,96
1,95
1,94
9
1,92
1,89
1,88
1,86
1,85
1,83
1,82
1,80
1,79
1,78
1,77
1,76
1,75
10
1,70
1,67
1,65
1,64
1,63
1,60
1,59
1,57
1,55
1,54
1,54
1,53
1,52
11
1,39
1,35
1,31
1,28
1,26
1,21
1,18
1,14
1,10
1,07
1,06
1,03
1
Таблица Б.2
Значения t -критерия Стьюдента при уровне значимости
0,10; 0,05; 0,01 (двусторонний)
Число
степеней
свободы
d.f.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
316
α
0,10
0,05
0,01
6,3138
2,9200
2,3534
2,1318
2,0150
1,9432
1,8946
1,8595
1,8331
1,8125
1,7959
1,7823
1,7709
1,7613
1,7530
1,7459
1,7396
12,706
4,3027
3,1825
2,7764
2,5706
2,4469
2,3646
2,3060
2,2622
2,2281
2,2010
2,1788
2,1604
2,1448
2,1315
2,1199
2,1098
63,657
9,9248
5,8409
4,5041
4,0321
3,7074
3,4995
3,3554
3,2498
3,1693
3,1058
3,0545
3,0123
2,9768
2,9467
2,9208
2,8982
Число
степеней
свободы
d.f.
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
α
0,10
0,05
0,01
1,7341
1,7291
1,7247
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7081
1,7056
1,7033
1,7011
1,6991
1,6973
1,6839
1,6707
1,6577
1,6449
2,1009
2,0930
2,0860
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0595
2,0555
2,0518
2,0484
2,0452
2,0423
2,0211
2,0003
1,9799
1,9600
2,8784
2,8609
2,8453
2,8314
2,8188
2,8073
2,7969
2,7874
2,7787
2,7707
2,7633
2,7564
2,7500
2,7045
2,6603
2,6174
2,5758
Таблица Б.3
Значения χ -критерия Пирсона при уровне значимости 0,10; 0,05;
0,01
2
Число
степеней
свободы
d.f.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
α
0,10
0,05
0,01
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
Число
α
степеней
свободы
0,10
0,05
0,01
d.f.
18
25,989
28,869
34,805
19
27,204
30,144
36,191
20
28,412
31,410
37,566
21
29,615
32,671
38,932
22
30,813
33,924
40,289
23
32,007
35,172
41,638
24
33,196
36,415
42,980
25
34,382
37,652
44,314
26
35,563
38,885
45,642
27
36,741
40,113
46,963
28
37,916
41,337
48,278
29
39,087
42,557
49,588
30
40,256
43,773
50,892
40
51,805
55,758
63,691
60
74,397
79,082
88,379
120
140,233 146,567 158,950
1000
1057,724 1074,679 1106,969
317
Значения статистик Дарбина-Уотсона d L dU
значимости
n
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
318
m =1
dU
dL
0,61
0,70
0,76
0,82
0,88
0,93
0,97
1,01
1,05
1,08
1,10
1,13
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,27
1,29
1,30
1,32
1,33
1,34
1,35
1,40
1,36
1,33
1,32
1,32
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,45
1,46
1,47
1,48
1,48
1,49
m=2
dU
dL
0,47
0,56
0,63
0,70
0,66
0,81
0,86
0,91
0,95
0,98
1,02
1,05
1,08
1,10
1,13
1,15
1,17
1,19
1,21
1,22
1,24
1,26
1,27
1,28
1,90
1,78
1,70
1,64
1,60
1,58
1,56
1,55
1,54
1,54
1,54
1,53
1,53
1,54
1,54
1,54
1,54
1,55
1,55
1,55
1,56
1,56
1,56
1,57
m=3
dU
dL
0,37
0,46
0,53
0,60
0,66
0,72
0,77
0,82
0,86
0,90
0,93
0,97
1,00
1,03
1,05
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,21
2,29
2,13
2,02
1,93
1,86
1,82
1,78
1,75
1,73
1,71
1,69
1,68
1,68
1,67
1,66
1,66
1,66
1,66
1,65
1,65
1,65
1,65
1,65
Таблица Б.4
при 5%-ом уровне
m=4
dU
dL
0,69
0,74
0,78
0,82
0,85
0,90
0,93
0,96
0,99
1,01
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,97
1,93
1,90
1,87
1,85
1,83
1,81
1,80
1,79
1,78
1,77
1,76
1,76
1,75
1,74
1,74
m=5
d L dU
0,56
0,62
0,67
0,71
0,75
0,79
0,83
0,86
0,90
0,93
0,95
0,98
1,01
1,03
1,05
1,07
2,21
2,15
2,10
2,06
2,02
1,99
1,96
1,94
1,92
1,99
1,89
1,88
1,86
1,85
1,84
1,83
Таблица Б.5
Значения функции Гаусса ϕ ( x) =
x
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,3
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,4
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
ϕ (x)
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3984
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973
0,3970
0,3965
0,3961
0,3956
0,3951
0,3945
0,3939
0,3932
0,3925
0,3918
0,3910
0,3902
0,3894
0,3885
0,3876
0,3867
0,3857
0,3847
0,3836
0,3825
0,3814
0,3802
0,3790
0,3778
0,3765
0,3752
0,3739
0,3725
0,3712
0,3697
0,3683
0,3668
0,3653
0,3637
0,3621
0,3605
x
0,7
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,8
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,9
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
ϕ (x)
0,3123
0,3101
0,3079
0,3056
0,3034
0,3011
0,2989
0,2966
0,2943
0,2920
0,2897
0,2874
0,2850
0,2827
0,2803
0,2780
0,2756
0,2732
0,2709
0,2685
0,2661
0,2637
0,2613
0,2589
0,2565
0,2541
0,2516
0,2492
0,2468
0,2444
0,2420
0,2396
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203
0,2179
0,2155
0,2131
0,2107
0,2083
0,2059
x
1,4
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,5
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,6
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,7
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,8
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
ϕ (x)
0,1497
0,1476
0,1456
0,1435
0,1415
0,1394
0,1374
0,1354
0,1334
0,1315
0,1295
0,1276
0,1257
0,1238
0,1219
0,1200
0,1182
0,1163
0,1145
0,1127
0,1109
0,1092
0,1074
0,1057
0,1040
0,1023
0,1006
0,0989
0,0973
0,0957
0,0940
0,0925
0,0909
0,0893
0,0878
0,0863
0,0848
0,0833
0,0818
0,0804
0,0790
0,0775
0,0761
0,0748
0,0734
0,0721
x
2,1
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,2
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,3
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,4
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,5
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
ϕ (x)
0,0440
0,0431
0,0422
0,0413
0,0404
0,0396
0,0387
0,0379
0,0371
0,0363
0,0355
0,0347
0,0339
0,0332
0,0325
0,0317
0,0310
0,0303
0,0297
0,0290
0,0283
0,0277
0,0270
0,0264
0,0258
0,0252
0,0246
0,0241
0,0235
0,0229
0,0224
0,0219
0,0213
0,0208
0,0203
0,0198
0,0194
0,0189
0,0184
0,0180
0,0175
0,0171
0,0167
0,0163
0,0158
0,0154
1 − x2 / 2
e
2π
x
2,8
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,9
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,1
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,2
3,21
3,22
3,23
3,24
3,25
ϕ (x)
0,0079
0,0077
0,0075
0,0073
0,0071
0,0069
0,0067
0,0065
0,0063
0,0061
0,0060
0,0058
0,0056
0,0055
0,0053
0,0051
0,0050
0,0048
0,0047
0,0046
0,0044
0,0043
0,0042
0,0040
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034
0,0033
0,0032
0,0031
0,0030
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
0,0025
0,0025
0,0024
0,0023
0,0022
0,0022
0,0021
0,0020
x
3,5
3,51
3,52
3,53
3,54
3,55
3,56
3,57
3,58
3,59
3,6
3,61
3,62
3,63
3,64
3,65
3,66
3,67
3,68
3,69
3,7
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
3,76
3,77
3,78
3,79
3,8
3,81
3,82
3,83
3,84
3,85
3,86
3,87
3,88
3,89
3,9
3,91
3,92
3,93
3,94
3,95
ϕ (x)
0,0009
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0007
0,0007
0,0007
0,0007
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
319
Продолжение таблицы Б.5
x
0,46
0,47
0,48
0,49
0,5
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,6
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
ϕ (x)
0,3589
0,3572
0,3555
0,3538
0,3521
0,3503
0,3485
0,3467
0,3448
0,3429
0,3410
0,3391
0,3372
0,3352
0,3332
0,3312
0,3292
0,3271
0,3251
0,3230
0,3209
0,3187
0,3166
0,3144
x
1,16
1,17
1,18
1,19
1,2
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,3
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
ϕ (x)
0,2036
0,2012
0,1989
0,1965
0,1942
0,1919
0,1895
0,1872
0,1849
0,1826
0,1804
0,1781
0,1758
0,1736
0,1714
0,1691
0,1669
0,1647
0,1626
0,1604
0,1582
0,1561
0,1539
0,1518
x
1,86
1,87
1,88
1,89
1,9
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
ϕ (x)
0,0707
0,0694
0,0681
0,0669
0,0656
0,0644
0,0632
0,0620
0,0608
0,0596
0,0584
0,0573
0,0562
0,0551
0,0540
0,0529
0,0519
0,0508
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449
x
2,56
2,57
2,58
2,59
2,6
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,7
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
ϕ (x)
0,0151
0,0147
0,0143
0,0139
0,0136
0,0132
0,0129
0,0126
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
0,0107
0,0104
0,0101
0,0099
0,0096
0,0093
0,0091
0,0088
0,0086
0,0084
0,0081
x
3,26
3,27
3,28
3,29
3,3
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,4
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
ϕ (x)
0,0020
0,0019
0,0018
0,0018
0,0017
0,0017
0,0016
0,0016
0,0015
0,0015
0,0014
0,0014
0,0013
0,0013
0,0012
0,0012
0,0012
0,0011
0,0011
0,0010
0,0010
0,0010
0,0009
0,0009
x
3,96
3,97
3,98
3,99
4
4,01
4,02
4,03
4,04
4,05
4,06
4,07
4,08
4,09
4,1
4,11
4,12
4,13
4,14
4,15
4,16
4,17
4,18
4,19
ϕ (x)
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
Например, требуется определить ординату функции Гаусса в точке
x = 1,33 (рис. Б.1). Имеем (в табл. Б.5 выделено жирным шрифтом):
ϕ (1,33) = 0,1647 .
Рис. Б.1 – Графическая иллюстрация работы с табл. Б.5
Напомним, что функция Гаусса – чётная, т.е. ϕ (− x) = ϕ ( x) . Кроме того,
ϕ ( x) = N (0,1) , то есть является плотностью нормированного нормального
распределения.
320
Таблица Б.6
Значения интегральной функции Лапласа Φ ( x) =
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ (x)
x
Φ(x)
x
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,3
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,4
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0
0,004
0,008
0,012
0,016
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,091
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,148
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,17
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,9
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,2
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,3
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,334
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,377
0,379
0,381
0,383
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,398
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
1,8
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,9
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,1
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,2
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,475
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,4793
0,4798
0,4803
0,4808
0,4812
0,4817
0,4821
0,4826
0,483
0,4834
0,4838
0,4842
0,4846
0,485
0,4854
0,4857
0,4861
0,4864
0,4868
0,4871
0,4875
0,4878
0,4881
0,4884
0,4887
2,7
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
2,8
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,9
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,1
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
0,4965
0,4966
0,4967
0,4968
0,4969
0,497
0,4971
0,4972
0,4973
0,4974
0,4974
0,4975
0,4976
0,4977
0,4977
0,4978
0,4979
0,4979
0,498
0,4981
0,4981
0,4982
0,4982
0,4983
0,4984
0,4984
0,4985
0,4985
0,4986
0,4986
0,4987
0,4987
0,4987
0,4988
0,4988
0,4989
0,4989
0,4989
0,499
0,499
0,499
0,4991
0,4991
0,4991
0,4992
0,4992
0,4992
0,4992
0,4993
3,6
3,61
3,62
3,63
3,64
3,65
3,66
3,67
3,68
3,69
3,7
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
3,76
3,77
3,78
3,79
3,8
3,81
3,82
3,83
3,84
3,85
3,86
3,87
3,88
3,89
3,9
3,91
3,92
3,93
3,94
3,95
3,96
3,97
3,98
3,99
4
4,01
4,02
4,03
4,04
4,05
4,06
4,07
4,08
x
2
1
e − z / 2 dz
∫
2π 0
Φ(x)
0,499841
0,499847
0,499853
0,499858
0,499864
0,499869
0,499874
0,499879
0,499883
0,499888
0,499892
0,499896
0,4999
0,499904
0,499908
0,499912
0,499915
0,499918
0,499922
0,499925
0,499928
0,49993
0,499933
0,499936
0,499938
0,499941
0,499943
0,499946
0,499948
0,49995
0,499952
0,499954
0,499956
0,499958
0,499959
0,499961
0,499963
0,499964
0,499966
0,499967
0,499968
0,49997
0,499971
0,499972
0,499973
0,499974
0,499975
0,499976
0,499977
x
4,5
4,51
4,52
4,53
4,54
4,55
4,56
4,57
4,58
4,59
4,6
4,61
4,62
4,63
4,64
4,65
4,66
4,67
4,68
4,69
4,7
4,71
4,72
4,73
4,74
4,75
4,76
4,77
4,78
4,79
4,8
4,81
4,82
4,83
4,84
4,85
4,86
4,87
4,88
4,89
4,9
4,91
4,92
4,93
4,94
4,95
4,96
4,97
4,98
Φ (x)
0,4999966
0,4999968
0,4999969
0,499997
0,4999972
0,4999973
0,4999974
0,4999976
0,4999977
0,4999978
0,4999979
0,499998
0,4999981
0,4999982
0,4999983
0,4999983
0,4999984
0,4999985
0,4999986
0,4999986
0,4999987
0,4999988
0,4999988
0,4999989
0,4999989
0,499999
0,499999
0,4999991
0,4999991
0,4999992
0,4999992
0,4999992
0,4999993
0,4999993
0,4999993
0,4999994
0,4999994
0,4999994
0,4999995
0,4999995
0,4999995
0,4999995
0,4999996
0,4999996
0,4999996
0,4999996
0,4999996
0,4999997
0,4999997
321
Продолжение таблицы Б.6
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ (x)
x
Φ(x)
x
0,49
0,5
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,6
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,7
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,8
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,1879
0,1915
0,195
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,219
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,258
0,2611
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,291
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
1,39
1,4
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,5
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,6
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,7
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,437
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
2,29
2,3
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,4
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,5
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,6
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
0,489
0,4893
0,4896
0,4898
0,4901
0,4904
0,4906
0,4909
0,4911
0,4913
0,4916
0,4918
0,492
0,4922
0,4925
0,4927
0,4929
0,4931
0,4932
0,4934
0,4936
0,4938
0,494
0,4941
0,4943
0,4945
0,4946
0,4948
0,4949
0,4951
0,4952
0,4953
0,4955
0,4956
0,4957
0,4959
0,496
0,4961
0,4962
0,4963
0,4964
3,19
3,2
3,21
3,22
3,23
3,24
3,25
3,26
3,27
3,28
3,29
3,3
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,4
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,5
3,51
3,52
3,53
3,54
3,55
3,56
3,57
3,58
3,59
0,4993
0,4993
0,4993
0,4994
0,4994
0,4994
0,4994
0,4994
0,4995
0,4995
0,4995
0,4995
0,4995
0,4995
0,4996
0,4996
0,4996
0,4996
0,4996
0,4996
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
4,09
4,1
4,11
4,12
4,13
4,14
4,15
4,16
4,17
4,18
4,19
4,2
4,21
4,22
4,23
4,24
4,25
4,26
4,27
4,28
4,29
4,3
4,31
4,32
4,33
4,34
4,35
4,36
4,37
4,38
4,39
4,4
4,41
4,42
4,43
4,44
4,45
4,46
4,47
4,48
4,49
Φ(x)
0,499978
0,499979
0,49998
0,499981
0,499982
0,499983
0,499983
0,499984
0,499985
0,499985
0,499986
0,499987
0,499987
0,499988
0,499988
0,499989
0,499989
0,49999
0,49999
0,499991
0,499991
0,499991
0,499992
0,499992
0,499993
0,499993
0,499993
0,499993
0,499994
0,499994
0,499994
0,499995
0,499995
0,499995
0,499995
0,499995
0,499996
0,499996
0,499996
0,499996
0,499996
x
4,99
5
5,01
5,02
5,03
5,04
5,05
5,06
5,07
5,08
5,09
5,1
5,11
5,12
5,13
5,14
5,15
5,16
5,17
5,18
5,19
5,2
5,21
5,22
5,23
5,24
5,25
5,26
5,27
5,28
5,29
5,3
5,31
5,32
5,33
5,34
5,35
5,36
5,37
5,38
5,39
Φ (x)
0,4999997
0,4999997
0,4999997
0,4999997
0,4999998
0,4999998
0,4999998
0,4999998
0,4999998
0,4999998
0,4999998
0,4999998
0,4999998
0,4999998
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,4999999
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Например, требуется определить вероятность того, что нормально
распределенная нормированная случайная величина z примет значение в
интервале от 0 до 1,33. Имеем (в табл. Б.6 выделено жирным шрифтом):
P(0 < z < 1,33) = Φ(1,33) = 0,4082 .
На графике это выглядит так (рис. Б.2):
322
Рис. Б.2 – Графическая иллюстрация работы с таблицей Б.6
Полученный результат P(0 < z < 1,33) = 0,4082 можно проиллюстрировать и с помощью функции Гаусса ϕ (x) (табл. Б.5). Число 0,4082 – величина площади криволинейной трапеции, расположенной под кривой плотности нормированного нормального распределения (рис. Б.3).
Рис. Б.3 – Графическая иллюстрация работы с таблицей Б.6
по функции Гаусса
Напомним, что интегральная функция Лапласа – нечётная, т.е.
Φ(− x) = −Φ( x) . Кроме того, эта функция связана с функцией распределения
нормированной нормальной случайной величины
F ( x) =
1
2π
x
∫e
−t 2 / 2
dt
−∞
следующим соотношением:
F ( x) = Φ ( x) + 0,5 .
323
Навчальне видання
Христіановський Вадим Володимирович,
Нескородєва Тетяна Василівна,
Полшков Юліан Миколайович
Економіко-математичні методи і моделі: практика
застосування в курсових і дипломних роботах
Редактор Т.О. Важеніна
Компьютерна верстка Н.Л. Попова
План вид. 2012 р., поз. № 225
Підписано до друку 20.02.2012 р.
Формат 60 х 84/16. Папір офсетний.
Друк – цифровий. Умовн.-друк. арк. 18,83.
Тираж 300 прим. Зам. №203.
Видавництво Донецького національного університету
83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24.
Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи
до Державного реєстру
серія ДК №1854 від 24.06.2004 р.