Проценты в математике Что такое проценты в математике? Как решать задачи на проценты? Эти вопросы всплывают, увы, внезапно… Когда читаешь задание ГИА, ЕГЭ. «Процентам» в школе уделяется несправедливо мало времени. Наша современная жизнь делает задачи на проценты очень актуальными, т.к. их практическое применение расширяется с каждым днем. В газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышения цен, зарплаты, коммунальных услуг, скидки на товары и т.д. Следовательно, без понимания такого рода информации в современном обществе просто трудно было бы жить. Понятие « Проценты» вошло в нашу жизнь не только с уроками математики и с проведением сложных научно – исследовательских работ, не только с выпечкой кулинарных изделий и приготовлением лакомств, солений и варений, оно буквально атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, девальваций. Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Единственно, что нужно запомнить железно – что такое один процент. Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще. Самое главное в задачах на проценты – чѐтко определить, от чего надо считать тот или иной процент. Один процент – это одна сотая часть какого-то числа. И всѐ. Нет больше никаких мудростей. Математическими знаками один процент записывается так: 1%. Запомнив, что такое один процент, легко находишь и два процента, и тридцать четыре, и семнадцать, и сто двадцать шесть! Сколько надо, столько и найдѐшь. А это, между прочим, основное умение для решения задач на проценты. Резонный вопрос – а сотая часть, какого числа? А вот того числа, о котором идѐт речь в задании. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера - килограмм. И так далее. Понятно, что само число, о котором идѐт речь, составляет всегда 100%. А если нет самого числа, то и проценты смысла не имеют. Люди, давно замети, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра. Другое дело, что в сложных задачах само число так запрячут, что и не найдѐшь. Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 * а 5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3. Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д. Соотношения, которые полезно запомнить: 50% числа х – это его половина (0,5х) 25% числа х – это его четверть (0,25х) 20% числа х – это его пятая часть (0,2х) 75% числа х – это его три четверти ( 0, 75х) При решении задач на проценты необходимо помнить важное правило: за принимаем ту величину, с которой сравниваем все данные задачи. Полезные формулы: если величину увеличить на процентов, получим . если величину уменьшить на процентов, получим . если величину получим. увеличить на процентов, а затем уменьшить на если величину дважды увеличить на если величину дважды процентов, получим, уменьшить на получим Основные задачи на проценты Нахождение числа по его процентам Нахождение процентов данного числа Нахождение процентного отношения чисел Правила, необходимые при решении задач на проценты. , процентов, Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь. Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%. Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь. Практические советы: 1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу! 2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу! 3. Закончив решать задачу, читаем еѐ ещѐ раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу! Способы решения задач на проценты. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Арифметический Составление линейных уравнений Составление систем линейных уравнений Составление нелинейных уравнений Составление систем нелинейных уравнений Составление неравенств. Проценты на ЕГЭ. В открытом банке задач ЕГЭ по математике встречается несколько видов задач на вычисление процентов. В ряде задач проценты следует вычислять последовательно несколько раз. Неприятной особенностью этих задач является запутанное условие. 1. В сентябре 1кг винограда стоил 60 рублей, а в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1кг винограда после подорожания в ноябре. Для ее решения достаточно дважды рассчитать стоимость одного килограмма винограда (в октябре, а затем – в ноябре). Стоимость 1 кг винограда в октябре равна: 60+60⋅25%=60+60⋅0.25=60+15=75. В ноябре стоимость 1 кг винограда оказывается равной: 75+75⋅20%=75+75⋅0.2=75+15=90. Таким образом, стоимость винограда в ноябре оказалась равной 90 рублей. Ответ: 90 рублей. 2. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15% детей и подростков, среди взрослых жителей 45% не работают (пенсионеры, студенты, домохозяйки). Сколько взрослых жителей работают. Решим эту задачу двумя способами. 1-й способ Для того чтобы найти число взрослых жителей города, необходимо вычесть из общего числа всех детей и подростков: 20000−20000⋅15%=20000−20000⋅0.15=20000−3000=17000. Далее, из 17000 взрослых жителей следует вычесть всех неработающих граждан: 17000−17000⋅55%=17000−17000⋅0.55=17000−7650=9350. Таким образом, в городе N заняты на работе 9350 человек. Ответ: 9350 жителей. 2-й способ По условию задачи, в городе N 15% детей и подростков, а в условии спрашивается о взрослых жителях. Значит взрослых жителей: 100%−15%=85%. Далее, в условии задачи говорится о том, что 45% взрослых жителей НЕ работает, а спрашивается, сколько взрослых жителей работает? Легко подсчитать, что работает 100%−45%=55% взрослых жителей. С учетом всех замечаний условие задачи можно переформулировать следующим образом. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 85% взрослых жителей. Среди взрослых жителей работает 55%. Сколько взрослых жителей работают? Решение задачи запишем кратко: 20000⋅0.85⋅0.55=9350. Ответ: 9350 жителей. 3. В школе 800учеников, из них 30% - ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучают. По условию задачи нам известен процент учеников начальной школы, а требуется найти количество учеников, изучающих немецкий язык, который изучается только в средней и старшей школе. Поэтому найдем процент учеников средней и старшей школы: 100%−30%=70%. Далее нам никаких предварительных расчетов делать не требуется, так как и в условии задачи дан процент учеников средней и старшей школы, изучающих немецкий язык, и спрашивается о количестве учеников, изучающих немецкий язык. А оговорка о том, что в начальной школе немецкий язык не изучается, говорит о том, что речь в вопросе задачи идет исключительно о средней и старшей школе. Учитывая все замечания, запишем условие задачи в следующем виде. В школе 800учеников, из них 70% - ученики средней и старшей школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников средней и старшей школы изучают немецкий язык. Тогда решение задачи выглядит просто: 800⋅0.7⋅0.2=112. Следовательно, немецкий язык в школе изучает 112 учеников. Ответ: 112 учеников. Рассмотрела задачи, в которых вычисление процентов является только частью решения, необходимо выполнить дополнительные преобразования. Есть задачи, в которых помимо вычисления процентов необходимо найти наибольшее количество товара, которое можно приобрести на имеющуюся сумму. 4. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%. Решение этой задачи сводится к определению новой цены на флакон и расчету наибольшего числа флаконов, которые можно купить за имеющиеся деньги. Новая цена флакона шампуня оказывается равной: 160−160⋅25%=160−160⋅0.25=160⋅(1−0.25)=160⋅0.75=120 рублей. Для расчета наибольшего количества флаконов, которые можно купить за 1000 рублей, поделим эту сумму на цену флакона и отбросим дробную часть: =8,3333 Таким образом, на 1000 рублей можно купить 8 флаконов шампуня, со скидкой 25%. Ответ: 8 флаконов. Следующая задача отличается от разобранной только тем, что цена на товар не уменьшается, а увеличивается на определенное число процентов. 5. Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей. Решение этой задачи сводится к определению розничной цены учебника и расчета наибольшего числа учебников, которые можно купить за имеющиеся деньги. Розничная цена учебника равна: 170+170⋅20%=170+170⋅0.20=170⋅(1+0.2)=170⋅1.2=204 рублей. Для расчета наибольшего количества учебников, которые можно купить за 7000 рублей, поделим эту сумму на розничную цену учебника и отбросим дробную часть: =304,313… Таким образом, на 7000 рублей можно купить 34 учебника по розничной цене. Ответ: 34 учебника. Задачи могут быть усложнены необходимостью учета четного или нечетного количества приобретаемого товара. 6. Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов. Решение этой задачи следующее: вначале нужно вычислить сумму, которая будет потрачена на приобретение цветов, после вычета налога. 700−700⋅13%=700−700⋅0.13=700⋅(1−0.13)=700⋅0.87=609. То есть у студента после вычета налога осталось 609 рублей. Далее, по аналогии с предыдущей задачей находим: =10,15 То есть, на оставшиеся 609 рублей студент может купить 10 тюльпанов. Но учитывая, что букет должен состоять из нечетного числа цветов, в ответ пишем 9 тюльпанов. Ответ: 9 тюльпанов. Очень простой задачей с весьма запутанным условием является задача на расчет дозировки лекарства. 7. Одна таблетка лекарства весит 20мг и содержит 5% активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4мг активного вещества на каждый кг веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребенку в возрасте четырех месяцев и весом 5 кг в течение суток? Вначале найдем требуемое для ребенка количество активного вещества лекарства: 1.4 мг/кг⋅5 кг=7 мг. Затем рассчитаем количество активного вещества в одной таблетке лекарства: 20 мг⋅5%=20⋅0.05=1 (мг). Разделим требуемое количество действующего вещества лекарства на его количество в одной таблетке, находим: 7 мг/1мг =7. Таким образом, врач назначил ребенку 7 таблеток лекарства в сутки. Ответ: 7 таблеток. Внедрение в нашу жизнь системы платежных терминалов и банковских платежей с комиссией привело к появлению задач на « Платежи кратными суммами с комиссией» 8. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала? Решим эту задачу двумя способами: 1. стандартным, основанном на расчете; 2. простым перебором. Так как при решении заданий части В ЕГЭ по математике требуется только записать ответ, то можно решать эту задачу любым способом, который более удобен. 1-й способ Первый способ стандартный основан на вычислении суммы платежа, который после вычитания комиссии в 5% даст, как минимум, 300 рублей на счету телефона. Находим, что на счет телефона зачисляется 100%−5%=95%=0.95 от суммы, внесенной в терминал. Тогда для зачисления 300 рублей на счет телефона необходимо внести 300 0.95=3000095=600019=315,1519 рублей Учитывая, что терминал принимает сумму, кратную 10 рублям, Ане следует внести 320 рублей. Ответ: 320 рублей. 2-й способ Второй способ основан на простом подборе. Вначале определим сумму, зачисляемую на счет телефона с каждых 10 рублей: 10−10⋅5%=10−10⋅0.05=10−0.5=9.5. То есть, с каждых 10 рублей на счет зачисляется 9 рублей 50 копеек. Затем найдем, какое наименьшее число «десятирублевок» следует внести в терминал, чтобы на телефон было зачислено не менее 300 рублей. Очевидно, это число должно быть больше 30, так как 30 «десятирублевок» равны 300 рублям, а платежный терминал еще и берет комиссию. Попробуем вложить 31 «десятирублевку» 31⋅9.5=294.5. Тогда мы получаем сумму, меньше 300 рублей, что не удовлетворяет условию задачи. Для 32 «десятирублевок» имеем 32⋅9.5=304. Это значит, что при внесении в терминал 32 «десятирублевок» на счет будет зачислена достаточная сумма в 304 рубля. Отсюда следует, что в платежный терминал необходимо внести 32 «десятирублевки», то есть, 320 рублей. Ответ: 320 рублей Банковское кредитование получило широкое распространение в настоящее время и неудивительно, что задачи расчета ежемесячного платежа по погашаемому кредиту вошли даже в перечень задач ЕГЭ по математике. 9. Клиент взял в банке кредит 12000 рублей под 16% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? В этой задаче отсутствует однозначность в порядке начисления процентов. Введем дополнительное допущение (которого нет в условии задачи) о том, что проценты на кредит начисляются сразу в момент его получения. Тогда сумма кредита вместе с начисленными процентами оказывается равной: 12000+12000⋅16%=12000+12000⋅0.16==12000⋅(1+0.16)=12000⋅1.16=13920 Поскольку клиент погашает кредит ежемесячно равными платежами, сумма ежемесячного платежа равна: =1160(рублей) Ответ: 1160 рублей. 10. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? На первый взгляд, кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить . Теперь уже эта величина принимается за , и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу: в понедельник утром в понедельник вечером во вторник вечером Стоимость акций По условию, акции в итоге подешевели на хˑ(1+ )ˑ (1- . Получаем, что )=хˑ (1 - Разделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу разности квадратов, получим: (1+ )ˑ (1- 1- =1- )= (1 - p=20, p= - 20 По смыслу задачи, величина Получаем, что . положительна. 11. Четыре рубашки дешевле куртки на рубашек дороже куртки? . На сколько процентов пять Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет от цены куртки, то есть .Стоимость одной рубашки — в раза меньше: , а стоимость пяти рубашек: Получили, что пять рубашек на Ответ: дороже куртки. . 11.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи . сократился бы на . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась…») назовем «ситуация » и «ситуация ». муж жена дочь Общий доход В реальности Ситуация Ситуация Запишем систему уравнений. Что видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти , и по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму . Получим: Это значит, что зарплата мужа составляет от общего дохода семьи. Во втором уравнении вычтем из обеих частей выражение упростим и получим, что Значит, стипендия дочки составляет от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет общего дохода. Ответ: . Задачи на растворы, смеси и сплавы. Они встречаются не только в математике, но и в химии. Основными компонентами этого типа задач являются: а) массовая доля растворенного вещества в растворе; б) масса растворенного вещества в растворе; в) масса раствора. Важно знать а) все получившиеся смеси, и сплавы являются однородными; б) смешивание различных растворов происходит мгновенно; в) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов; г) объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными. Рассмотрим способы решения: Определения и обозначения. Массовая доля растворенного вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе раствора. C mв вa m p pa (1) где С- массовая доля растворенного вещества в растворе; - масса растворенного вещества в растворе; - масса раствора. Формулы: mв вa C p pa (2) mв вa m p pa (3) C Введем обозначения: С1- массовая доля растворенного вещества в первом растворе; С2- массовая доля растворенного вещества во втором растворе; С- массовая доля растворенного вещества в новом растворе, полученном при смешивании первого и второго растворов; m1(в-ва), m2(в-ва), m(в-ва) - массы растворенных веществ в соответствующих растворах; m1(р-ра), m2(р-ра), m(р-ра) - массы соответствующих растворов. Основные методы решения задач на смешивание растворов являются: 1. 2. 3. 4. 5. с помощью расчетной формулы, ―правило смешения”, ―правило креста‖, графический метод, алгебраический метод. С помощью расчетной формулы. 1. Масса полученного при смешивании раствора равна: m(р-ра) = m1(р-ра) + m2(р-ра). 2. Определим массы растворенных веществ в первом и втором растворах: m1(в-ва)= C1 m1(р-ра), m2(в-ва)= C2 m2(р-ра). 3. Следовательно, масса растворенного вещества в полученном растворе вычисляется как сумма масс веществ в исходных растворах: m(в-ва) = m1(в-ва) + m2(в-ва) = C1 m1(р-ра) + C2 •m2(р-ра). 4. Таким образом, массовая доля растворенного вещества в полученном растворе равна: C mв вa m p pa или C C1m1 p pa C2 m2 p pa m1 p pa m2 p pa или C где C1m1 C2 m2 , m1 m2 - массы соответствующих растворов. Замечание: При решении задач удобно составлять таблицу. Иногда таблицу можно заменять схематическим рисунком. 1-й раствор 2-й раствор Смесь двух растворов Масса растворов m1 m2 m1 + m2 Массовая доля растворенного вещества C1 C2 C Масса вещества в растворе C1m1 C2m2 C (m1 + m2) 1.В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим . Первый сосуд содержал литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом: Ответ: . 2.Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку. Получаем: Ответ: . 3. Виноград содержит влаги, а изюм — . Сколько килограммов винограда требуется для получения килограммов изюма? Внимание! Если встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград можно условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме воды и «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось кг изюма. Тогда от от Составим уравнение: решив его найдем х = 190. Ответ: . 4. Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй — никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой . Запишем простую систему уравнений: Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля. Решая, получим, что . Ответ: 6. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания? Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг. Ответ. 50 кг. Задачи банковских систем и сложных процентов. Задача на простой процентный рост. 1. Сколько надо заплатить, если платѐж 5000 р. Просрочен, пеня равна 1 % за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой на 5 дней? Подставляем в формулу простого процентного роста Sn = (1+ pn) S 100 (1+1*5)•5000 = 5250 100 Ответ: 5250 р. 2. Цена телевизора в магазине ежегодно уменьшается на один и тот же процент по сравнению с предыдущим годом. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена телевизора, если, выставленный на продажу 40 000 рублей, через 2 года он был продан за 22 500 рублей. Пусть ежегодно цена телевизора уменьшалась в х раз. Тогда через 2 года цена станет 40 000х2 = 22 500 х2 = 225 400 Х = 15 = 0, 75= 75 %. 20 Значит цена товара уменьшилась на 25 %. По формуле сложных процентов: Sn = S • (1 + р)2 100 22 500 = 40 000 •(1+ р)2 100 2 (1+ р) = 0,5625 100 р = 0, 75 100 р = 25 %. Ответ: 25 %. Решение задачи на проценты с помощью составления системы уравнений. 3. Клиент внѐс 3000 рублей на 2 вклада, один из которых даѐт годовой доход, равный 8%, а другой – 10 %. Через год на 2х счетах у него было 3260 рублей. Какую сумму клиент внѐс на каждый вклад? Пусть х – 1ый вклад, у – 2ой вклад. Тогда 108% – 1ый вклад, 110 % – 2ой вклад. Значит, х+у = 3000, а 1,08х+1,1у=3260. Получаем систему: х+у = 3000 1,08х+1,1у=3260 Выражаем х = 3000 – у 1,08∙(3000-у)+1,1у = 3260 3240 –1, 08у +1,1у = 3260 0,02у = 20 у = 2000 х = 1000 Ответ: 1000 и 2000 рублей. Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения. Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент увеличения к=(1+0,01р). Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р). 4. Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых? Если а (рублей) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25а, а в конце второго года размер вклада составит 1,25 ∙1,25а. Решая уравнение 1,25∙ 1,25а=13125, находим а=8400. Ответ: 8400 руб. Занимательные задачи на проценты. 1. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему? Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда прошел 1,1∙а∙0,9∙в=0,99∙ав, что меньше ав. Ответ: Второй турист идет быстрее. 2.Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%? Если товар стоил А руб, то после двух понижений он стал стоить 0,9∙0,9∙А=0,81А. если цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8∙А, что дешевле. Ответ: Да. 3. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине? Пусть молоко продает магазин по А руб, тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8∙А=25, откуда А=31, 25 руб. Ответ: 31 руб. 25 коп. 4. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий - 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным? Пусть полотна было р . Первый купил 0,25р, осталось (1-0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3∙0,75р=0,225р, осталось 0,75р – 0,225р=0,525р, третий купил 0,4∙0,525р=0,21р, осталось 0,525р0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р. Ответ: 31,5% 5. Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%? АВ- площадь исходного прямоугольника, 1,3∙А∙0,7∙В=0,91АВ – площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного. Ответ: Уменьшится на 9%. 6. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк ¾ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени. А еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке? Решение: Сумма кредита на ситуацию не влияет. Допустим, возьмем у банка 4 рубля (делится на 4). Через год долг банку увеличится ровно в а раз и станет равным (4а) рублей. Поделим его на 4 части, вернем (3а) рублей и останемся должны (а) рублей. Известно, что к концу следующего года придется выплатить (4∙ 1,21) рублей. Известно, что сумма долга за год превратилась из числа (а) в число (а2). Так как долг через два года фермером был полностью погашен, то а2=4∙ 1,21 а=2∙ 1,1 а=2,2 Коэффициент а означает то, что 100% за год превращаются в 220%. А это означает, что процент годовых у банка такой: (220% - 100%) Ответ: 120%
