Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра высшей математики Выпускная квалификационная работа ИЗУЧЕНИЕ ИЗГИБАЕМЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ Работу выполнила студентка 151 группы направления 44.03.05 Педагогическое образование профили «Математика и информатика» Рылова Валентина Сергеевна ________________ подпись «Допущена к защите в ГЭК» Зав. кафедрой теории и методики обучения математике _____________ ___________ дата Научный руководитель: канд. пед. наук, доцент кафедры высшей математики Шеремет Галина Геннадьевна ________________ подпись подпись Пермь 2016 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 4 ГЛАВА 1. МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ИЗГИБАЕМЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ ................ 7 1.1. Обзор понятий «многоугольник» и «многогранник» в школьных учебниках .............................................................................................................. 7 1.2. Определение понятий «изгибаемый многоугольник» и «изгибаемый многогранник» .................................................................................................... 10 1.3. Обзор различных форм внеклассной работы в рамках школьного курса 11 1.3.1. Понятие внеклассной работы, ее цели и задачи ................................. 11 1.3.2. Формы внеклассной работы по математике ....................................... 14 1.4. Технология создания методического средства «Рабочая тетрадь» ..... 16 1.4.1. Основные положения ............................................................................ 16 1.4.2. Типы и виды рабочих тетрадей ............................................................ 18 1.4.3. Требования, предъявляемые к рабочей тетради ................................ 21 ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ИЗГИБАЕМЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ» ................ 24 2.1. Программа курса по выбору «Изгибаемые многоугольники и многогранники» .................................................................................................. 24 2.1.1. Основные положения курса ................................................................. 24 2.1.2. Форма организации занятий на курсе ................................................. 25 2.1.3. Учебно-тематический план .................................................................. 26 2.1.4. Урок «Флексагоны и их классификация» ........................................... 29 2 2.2. Создание дистанционного курса «Изгибаемые многоугольники и многогранники» .................................................................................................. 33 2.3. Создание рабочей тетради .......................................................................... 39 2.3.1. Основные положения рабочей тетради ............................................... 39 2.3.2. Пункт рабочей тетради «Многоугольник: история возникновения и определения различных многоугольников» ................................................. 40 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 56 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................................... 60 Приложение 1 ........................................................................................................ 64 3 ВВЕДЕНИЕ Согласно федеральному государственному стандарту об основном общем образовании учащийся после окончания основной школы должен обладать личными, предметными и метапредметными результатами. Остановимся на некоторых из них, а именно на развитие мотивов и интересов своей познавательной деятельности и развитие пространственных представлений, которые должны формироваться и на уроках математики. Данные компетенции развиваются и на самих уроках, но в рамках данной выпускной работы будет сделан упор на внеклассные мероприятия. Чтобы реализовать развитие этих результатов у школьников в рамках одного предмета, нужно сделать акцент на разделы геометрии, которые не входят в основную программу. Для реализации нашей идеи была выбрана тема «изгибаемые многоугольники (или флексагоны) и изгибаемые многогранники (флексоры)». Эти фигуры не являются предметом изучения ни в одном образовательном учреждении. Флексагоны и флексоры обладают отличительной чертой, как способность изгибаться. поспособствуют формированию интереса к Все эти положения математике в целом и пространственного представления. Объект исследования: внеклассная работа по математике со старшими школьниками. Предмет исследования: содержание темы «Изгибаемые многоугольники и многогранники» как структура некоторой формы внеклассной работы по математике у старших школьников. Целью этой работы является разработка содержания внеклассной работы по математике по теме «Изгибаемые многоугольники и многогранники», ориентированной на развитие мотивов и интересов познавательной деятельности школьника и развитие его пространственных представлений. 4 Чтобы реализовать эту цель были сформулированы следующие задачи: обосновать выбор содержания; провести сравнительный анализ различных форм внеклассной работы; обосновать выбор выбранной формы внеклассной работы (курс по выбору, дистанционный курс); описать содержание выбранной формы и разработать соответствующие программные продукты; определиться со средствами для эффективного обучения по заданной форме внеклассной работы; выбрать форму представления различных средств, адекватных для представленной формы работы со старшими школьниками. Методы исследования: анализ, сравнения, синтез, систематизация, обобщение. Для реализации нашей цели созданы несколько программных продуктов. Данная работа состоит из введения, двух глав, списка литературы, заключения и приложения. Во введении представлены актуальность и структура данной работы. В первой главе описана теория, которая нам необходима для реализации всех задуманных продуктов. Во второй главе представлены этапы создания и представления этих программных продуктов. В заключении рассмотрены итоги проделанной работы, и ее апробация. В приложении представлен диск, полной разработкой курса по выбору; описан сайт, с помощью которого создавалась мультимедийные приложения для дистанционной версии курса по выбору; готовая рабочая тетрадь. По окончании работы созданы различные программные продукты, которые составляют практическую значимость данного исследования, так как могут быть использованы учителями математики для работы с учащимися старших классов. Новизна данной работы определена не в выбранных формах 5 программных продуктов, а в теоретическом содержании их, так как тема «изгибаемые многоугольники и многогранники» не входит в программу обучения. Работа составляет 63 стр., в которой использованы 4 таблицы, 3 схемы и 18 рисунков. При написании работы были использованы различные источники литературы. Всего при написании работы было использовано 32 источника литературы. 6 ГЛАВА 1. МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ИЗГИБАЕМЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Математика – наука о наиболее общих и фундаментальных структурах реального мира – является важнейшим источником принципиальных идей для всех естественных наук и современных технологий. Весь научнотехнический прогресс человечества напрямую связан с развитием математики. Поэтому, с одной стороны, без знания математики невозможно выработать адекватное представление о мире, с другой стороны, математически образованному человеку легче войти в любую новую для него объективную проблематику [30, C. 38]. При описании того, что именно ученик должен знать после окончания основного общего образования, в разделе геометрия указаны простейшие геометрические фигуры, т.е. многоугольники: треугольники, четырехугольники. После изучения всех плоских фигур, начинается изучение многогранников. Для начала «многоугольники важно и разобраться в понятийном многогранники». За вековую аппарате историю темы развития математики появилось множество определений, поэтому нам необходимо опираться на формулировки, которые представлены в учебниках ШКМ. 1.1. Обзор понятий «многоугольник» и «многогранник» в школьных учебниках Для начала рассмотрим несколько определений многоугольников, представленных в школьных учебниках за 5-11 класс. Несмотря на то, что мы рассматриваем изучение определенной темы в старшей школе, важно понять, какие знания сформированы у учеников о геометрических фигурах, 7 какие фигуры знают и как определяют данные фигуры. Все рассмотренные данные мы занесли в таблицу. Таблица 1 Название учебника Автор Класс Математика Виленкин Н.Я. Математика Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б 5 Математика Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. 5 Такие фигуры как, треугольник, четырехугольник и т.д. называются многоугольниками [9]. 5 Фигура, ограниченная замкнутой ломанной без самопересечений, называется многоугольником [5]. Все фигуры, изображенные на рисунке называются многоугольниками [14]. Геометрия Атанасян Л.С., Бутузов С.Ф., Кадомцев С.Б. 7-9 Геометрия Погорелов А.В. 7-9 За основу определение, для изучения представленное Формулировка определения темы в Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков AB,BC,CD,…,EF так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной. Если не смежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником [3]. Простая замкнутая ломанная линия называется многоугольником [25]. многоугольников учебнике для мы 7-9 возьмем классов общеобразовательных учреждений под авторством Погорелова А.В. После изучения плоских фигур, в качестве развития пространственного мышления, а также для обобщения понятия фигура. Для этого в учебниках изучается понятие многогранник. Аналогичную таблицу нами была составлена с различными формулировками понятия многогранник из различных учебников школьного курса математики основного общего образования. 8 Таблица 2 Название учебника Автор Класс Формулировка определения Среди множества геометрических тел есть большая группа многогранников. Они изображены на рисунке [14]. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика Математика Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б Атанасян Л.С., Бутузов С.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия Геометрия За Погорелов А.В. основу определение, для изучения представленное 5 5 7-9 10-11 темы в Среди множества геометрических тел есть большая группа многогранников. Некоторые из них вы видите на рисунке [5]. Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело тоже называется многогранником [3]. Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников [24]. многоугольников учебнике для мы 7-9 возьмем классов общеобразовательных учреждений под авторством Погорелова А.В. При обзоре фундаментального ядра основного общего образования, а также наиболее распространенные учебники по математике, можно сделать вывод, что в них не затрагивается важный класс существующих в мире фигур, а именно изгибаемые многоугольники и многогранники, для которых также существует множество формулировок данных понятий. Проведем обзор данных понятий из различных источников литературы. 9 Определение понятий «изгибаемый многоугольник» и «изгибаемый многогранник» 1.2. Рассмотрим различные определения флексагона, которые являются изгибаемыми многоугольниками. Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. [11, C 10] Флексагон – гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму. Флексагоны – это хитрые головоломки-раскладушки из бумаги. Флексагон – это склеенный из бумаги многоугольник, который, изгибаясь и складываясь, может переходить во все новые и новые состояния [22, C 10]. Таким образом, мы будем называть флексагоном бумажную модель, имеющую форму плоского многоугольника, состоящую из нескольких слоев бумаги, и обладающую возможностью непрерывно изгибаться. Плоский многоугольник, появляющийся на поверхности этой модели договоримся называть гранью флексагона. Теперь рассмотрим несколько определений изгибаемых многогранников. Многогранная поверхность называется изгибаемой, если непрерывным изменением двугранных углов при ее ребрах можно изменить пространственную форму поверхности. Поэтому незамкнутая многогранная поверхность, составленная из двух треугольников, соединенных вдоль одного ребра, является изгибаемой. Изгибанием многогранника называется такая непрерывная его деформация, при которой изменяется хотя бы один из двугранных углов при ребрах, но грани остаются конгруэнтными (равными) исходным. Иначе 10 говоря, в теории изгибаний грани многогранника рассматриваются как абсолютно твердые пластинки, способные вращаться вокруг ребер и вершин. На "инженерном" языке это означает, что вдоль ребер грани имеют шарнирные связи, а вершины многогранника считаются сферическими шарнирами. Если многогранник допускает деформацию такого вида, он называется изгибаемым, в противном случае – неизгибаемым. Так как эти фигуры не входят в школьный курс математики, но они обладают уникальными и необычными свойствами, то их изучение возможно в рамках внеклассной работы по математике. Обзор различных форм внеклассной работы в рамках школьного курса 1.3. Так как формирование познавательного интереса к математике нами будет рассмотрено в рамках внеклассной работы, то важно понять, что подразумевается под понятием внеклассная работа, каковы ее цели и задачи в рамках обучения в школе. 1.3.1. Понятие внеклассной работы, ее цели и задачи Внеклассная работа предоставляет широкие возможности для всестороннего развития учащихся и подготовки их к жизни [32]. Внеклассная работа включает в себя различные виды деятельности и обладает следующими возможностями в обучении и воспитании личности: разнообразная внеурочная деятельность способствует более разностороннему раскрытию индивидуальных способностей ребенка; участие в различных видах внеклассной работы обогащает личный опыт ребенка, его знания о многообразии человеческой деятельности, ребенок приобретает необходимые практические умения и навыки; 11 разнообразная внеклассная работа способствует развитию у детей интереса к различным видам деятельности, желанию активно участвовать в продуктивной, одобряемой обществом, деятельности; в различных формах внеклассной работы дети не только проявляют свои индивидуальные особенности, но и учатся жить в коллективе, то есть сотрудничать друг с другом, заботиться о своих товарищах, ставить себя на место другого человека и пр.; внеклассная работа по математике – это необязательные для всех, но желательно систематические занятия учащихся с учителем во внеурочное время. Сюда может входить: а) работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала, т.е. дополнительные занятия; б) работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности. Основными целями внеклассной работы по математике являются: 1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям. 2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу. 3. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера. 4. Воспитание высокой культуры математического мышления. 5. Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой. 6. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в технике, производстве, быту; о культурно-исторической ценности математики. 12 7. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников. 8. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике: помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими, в пропаганде математических знаний среди других учащихся. 9. Воспитание у учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной [32]. Отношение учащихся к тому или иному предмету определяется различными факторами: индивидуальными особенностями личности (учитель, ученик), особенностями самого предмета, методикой его преподавания и обучения. По отношению к математике всегда имеются различные категории учащихся: учащиеся, проявляющие повышенный интерес к ней; занимающиеся ею по мере необходимости и особенного интереса к предмету не проявляющие; ученики, считающие математику скучным, сухим и вообще нелюбимым предметом. С учетом этих групп учащихся строится методика обучения математике, вырабатываются формы как классной, так и внеклассной работы. Поэтому внеклассная работа по математике призвана решать основные задачи: углубить теоретические знания и развить практические навыки учащихся, проявивших математические способности, повысить уровень математического мышления; 13 способствовать возникновению и поддержанию интереса к математике у большинства учеников, привлечению некоторых из них в ряды любителей математики; организовать досуг учащихся в свободное от учебы время с использованием того богатства математики, которое накоплено человечеством. Внеклассная работа, построенная на добровольных началах, при правильной организации должна способствовать решению сформулированных выше задач. Она должна стать неотъемлемой частью всего педагогического процесса. Надо постоянно воспитывать у детей стремление к труду, учебе, настойчивость в преодолении трудностей и интерес к посильной исследовательской работе. Для всего этого внеклассная работа дает широкое поле творческой деятельности. 1.3.2. Формы внеклассной работы по математике К формам внеклассной работы по математике в современной школе можно отнести следующие: 1. Математические кружки. 2. Математические соревнования, викторины, конкурсы, КВН. 3. Тематические математические часы (беседы, лекции). 4. Математические вечера (утренники). 5. Математические представления. 6. Математические факультативы. 7. Математическая печать. 8. Математические экскурсии. 9. Неделя (декада) математики. 10. Математические рефераты и сочинения. 11. Школьные научные конференции по математике. 14 12. Конструирование и изготовление математических моделей. 13. Курсы по выбору[32]. Проведение внеклассной работы и приемы, используемые в этой работе, должны удовлетворять ряду требований: должны быть разнообразными; выбираться с учетом возрастных особенностей учащихся; должны быть рассчитаны на различные категории учащихся: на интересующихся математикой и одаренных учащихся и на учащихся, не проявивших еще интереса к предмету; должны во многом отличаться от форм проведения уроков и других обязательных мероприятий: работа строится на добровольных началах, проводится или после уроков, или в вечернее время после выполнения домашних заданий, т. е. после многочасового умственного труда [32]. Нередко участие во внеклассной работе по математике может явиться первым этапом углубленного изучения математики и привести к выбору факультатива по математике, к поступлению в математический класс и т.д. Для более продуктивной внеклассной работы с детьми, а также для более наглядного представления заданий решено было создать некоторое пособие, похожее на рабочую тетрадь. Чтобы создать подобную тетрадь, важно понять, как создаются данные пособия, какие виды таких пособий существует и другие теоретические вопросы, касающиеся создание рабочей тетради. 15 1.4. Технология создания методического средства «Рабочая тетрадь» Перед созданием рабочей тетради нужно определиться с видом тетради, типом, а также выбрать цель, задачи и функции рабочей тетради. 1.4.1. Основные положения Рабочая тетрадь – особый жанр учебной литературы, призванный активизировать познавательную деятельность учеников. Рабочие тетради , изданные массовым тиражом, включающие в себя определенным образом выстроенную систему вопросов и заданий, могут и должны быть включены в учебный процесс. Главное – научиться создавать тетради, которая модель такой рабочей бы отвечала современным научным, педагогическим, дидактическим и методическим требованиям [8]. Одними из основных достоинств рабочей тетради являются комплексность и комплектность. Рабочие тетради для учеников отличаются по содержанию, целям, способам представления теоретического содержания, и приемам выполнения действий от рабочих тетрадей для учеников. Цель рабочей тетради – обеспечить пооперационное формирование мыслительных процессов, способствовать повышению эффективности обучения учеников и уровня их творческого развития. Иногда у педагога нет возможности обеспечить пооперационное формирование мыслительных процессов. Объясняя новый материал, он не может быть уверен, что все производят именно те операции, которые нужны, производят их так, как это необходимо, и что эти операции складываются у них в систему, т.е. педагог не имеет возможности достаточно полно управлять Обеспечить течением успешное и формированием пооперационное мыслительной формирование деятельности. мыслительных процессов невозможно без разработки средств пооперационного контроля за течением этих процессов [8]. 16 Внедрение этого пособия в практику учебного процесса должно решать такие задачи: 1. Продолжение развития мышления. 2. Более прочное усвоение теоретических знаний. 3. Приобретение практических умений и навыков решения не только типовых, но и развивающих, творческих заданий. 4. Контроль за ходом обучения учеников конкретной учебной дисциплине. 5. Формирование у учеников умений и навыков самоконтроля (Рис. 1). Рис. 1 Задачи рабочей тетради Наиболее оптимальным средством управления мыслительной деятельностью являются рабочие тетради. В рабочих тетрадях весь процесс мышления расчленен на отдельные операции, ошибка на каждом этапе учебного познания будет замечена и исправлена в том месте, где была совершена. Важно понять, какие рабочие тетради существуют, и какой формат подходит для нашей формы работы. 17 1.4.2. Типы и виды рабочих тетрадей Рабочие тетради имеют особое функциональное назначение: 1. Предполагает формирование у учащихся необходимых знаний, умений и навыков функция обучения. 2. Способствует устойчивому вниманию на уроке: лучше воспринимается материал урока, рациональнее используется время урока. 3. Аккуратность ведения конспекта – третья функция рабочей тетради. Педагогу необходимо добиваться аккуратного заполнения учениками листов рабочей тетради, чтобы избежать нелепых ошибок из-за невнимательности. 4. К основным функциям можно отнести развитие мышления. Для этого в рабочей тетради представлены задания и упражнения творческого характера. 5. Формирование у учеников умений и навыков самоконтроля – пятая функция рабочей тетради, потому что при заполнении листов рабочей тетради они должны сами себя контролировать [8]. 6. Также важна рациональная организация работы школьников. Рабочая тетрадь разработана так, чтобы обучение было организовано рационально, порциями, при этом эффективно используется как время педагога, так и учащихся. 7. Совершение постоянного пооперационного контроля – последняя функция, которую выделим. Материал урока разбит на этапы и педагог, совершая контроль на каждом этапе, может увидеть ошибку и помочь ее исправить [8]. После определения основных функций, можно проводить классификацию по различным основаниям. Для начала рассмотрим рабочие тетради по типу работы в них. 1. Тренинговые тетради. Такие тетради очень часто называют тетрадями для самостоятельной работы. 18 2. Тетради, основанные на принципах графического моделирования. Их основу составляют рисуночно-знаковые познавательные задания. Под познавательными заданиями принято понимать определенные учебные условия, которые требуют от ученика активизации всех познавательных процессов мышления, воображения, речи, памяти, внимания и др. Традиционно выделяют образные (Г.И. Годер), логические или смысловые (И.Я. Лернер, П.С. Лейбенгруб), оценочные (П.В. Гора) познавательные задания [8]. В таких тетрадях построение познавательных заданий основано на использовании рисунка, макета, натуры в процессе графического моделирования. Эти задания многофункциональны, занимательны для школьников, ориентированы, в первую очередь, на невербальное мышление и непроизвольное внимание, позволяют получить быстрые и наглядные результаты (чем короче расстояние между целью учебной деятельности и ее результатом, тем она эффективнее), тренировать память и мышление [8]. 3. Тетради хрестоматии. Авторы таких тетрадей полагают, что учебники содержат недостаточную информацию по всем или многим проблемам и дополняют ее текстами источников, фрагментами из научнопопулярной и художественной литературы. 4. Семиотико-семантические тетради. Их особенность в том, что они основаны на сочетании символов и рисунков, моделей, схем со смысловыми интеллектуальными задачами преобразующего и творческого уровня. Под познавательными задачами понимают такие условия в учебных ситуациях, которые побуждают обучающихся не только к оперированию известными знаниями в новых ситуациях, но и к открытию новых способов действий. Познавательные задачи нередко отождествляют с творческими заданиями (О.М. Бахтина, Г.М. Донской, И.Я. Лернер). Выделяют несколько видов познавательных задач: задача-прогноз, задача-альтернатива, задача-противоречие, задача на поиск недостающих данных, задача-фантазия, задача-размышление и др. [8]. 19 Тетради данного типа весьма эффективны для развития творчества учащихся, так называемого креативного мышления. Существует три вида рабочей тетради (Рис. 2). Рис. 2 Виды рабочих тетрадей Опишем более подробно каждый вид рабочей тетради. 1. Информационный. Этот вид несет в себе только информацию о содержании учебного материала. Информация задает ориентацию в содержании рассматриваемой проблемы. Этот вид рабочей тетради используется тогда, когда нужного учебного материала нет ни в одном учебнике или учебная информация разбросана по нескольким учебникам и тогда возникает необходимость конструировать учебную информацию в рабочей тетради, упрощать формулировку предложений, детально продумывать логику изложения учебной информации. 2. Контролирующий. Этот вид рабочей тетради используется после изучения темы, при этом проводится контроль знаний и умений, а также выявляется уровень сформированности знаний и умений. В этом случае широко применяются тесты или задания для контроля. 3. Смешанный. Он включает в себя информационный и контролирующий блоки. Информационный блок несет в себе информацию об учебном материале, в контролирующий блок входят задания для контроля полученных знаний и умений, и задания для самостоятельной работы. 20 1.4.3. Требования, предъявляемые к рабочей тетради Рабочая тетрадь, как форма печатного издания, имеет свою структуру, которая должна соответствовать определенным требованиям. Рабочая тетрадь должна иметь предисловие, обращение к учащимся. Теоретическая информация должна быть систематизирована и минимизирована. Система вопросов и заданий должна быть построена в соответствии со структурой и логикой формирования соответствующих математических понятий. Связь между заданиями должна прослеживаться и касаться напрямую содержания предмета. Перед автором встает определенная задача: составить работу таким образом, чтобы вести учащегося от темы к теме, от решения простых проблем к более сложным заданиям. Иллюстрации, схемы и таблицы в рабочей тетради должны быть информативными и обучающими. К ним могут ставиться вопросы, требующие объяснения или прилагаться определенные задания. Замысел автора полностью реализуется в структуре рабочей тетради, содержании учебного материала, его объеме и характере вопросов и заданий. После каждого задания должно быть предусмотрено достаточное место для ответов учащихся, а также для возможности исправления допущенных ошибок, неточностей. В конце каждой темы внутри тетради желательна серия контрольных вопросов, что позволяет лишний раз систематизировать знания учащихся. Завершает тетрадь заключение, ориентирующее учащихся на содержание учебного материала, который будет изучаться впоследствии. Еще одним требованием к тетради является полнота т.е. наличие задач на освоение всех изучаемых понятий. Также должна присутствовать связность между блоками и заданиями в целом. Задания должны быть составлены таким образом, чтобы прослеживалось возрастание трудности решения задач и планируемых результатов обучения. Важными требование является целевая достаточность и целевая ориентация. Работа с таким пособием у учеников должна вызывать 21 положительный эмоциональный настрой и психологический комфорт. Учащиеся имеют возможность работать в индивидуальном темпе усвоения содержания учебной информации, проводить самоконтроль [8]. В ходе рассмотрения нескольких вопросов, представленных в рамках первой главы, можно сделать ряд выводов. Для изучения изгибаемых многоугольников и многогранников, нужно определить понятие многоугольник и многогранник. За основу взяли определение из учебника Погорелова А.В., и будем считать многоугольником простую замкнутую ломаную линию, а многогранником – тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Аналогично выбрали определения изгибаемого многоугольника (дальше будем называть его флексагоном) и изгибаемого многогранника. Флексагоном назовем бумажную модель, имеющую форму плоского многоугольника, состоящую из нескольких слоев бумаги, и обладающую возможностью непрерывно изгибаться. Многогранная поверхность называется изгибаемой, если непрерывным изменением двугранных углов при ее ребрах можно изменить пространственную форму поверхности. Для изучения данных понятий было рассмотрено и проанализировано множество форм внеклассной работы и для разработки выбран курс по выбору, потому что это форма используется при работе с учащимися старших классов, в рамках которой можно рассмотреть большой по содержанию теоретический материал. Кроме того курс может быть рассчитан на определенное количество занятий, которые соответствуют выбранному тематическому плану, а также можно использовать различные формы проведения занятий. Поэтому, исходя из выбранной в начале исследования цели, курс по выбору полностью соответствует нашим предпочтениям. Второй программный продукт, который мы разработаем станет дистанционный курс. Его будет целесообразно использовать, если в школе наиболее развито дистанционное обучение как форма дополнительного образования. 22 Еще одним продуктом, реализацией которого займемся, станет рабочая тетрадь, как наиболее подходящее пособие для изучения моделей фигур, различных понятий и классификаций. Рабочая тетрадь будет тренинговой смешанного типа. Рассмотрим разработку данных программных продуктов по выбранной теме. 23 ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ИЗГИБАЕМЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ» После того как мы определились с формой внеклассной работы, важно подробно описать задуманное, что и ляжет в основу второй главы данного диплома. Так как за основу выбран курс по выбору, то стоит уточнить, что в данном случае понимается под этим понятием. Курс по выбору – новый элемент учебного плана, дополняющий содержание профиля, что позволяет удовлетворять разнообразные познавательные интересы школьников. Курс может касаться любой тематики, как лежащей в пределах общеобразовательной программы, так и вне её [10]. Курс по выбору – это новейший механизм актуализации, развития и индивидуализации процесса обучения. Каждый курс представляет собой завершенную дидактическую единицу, нацеленную на получение образовательных результатов. Опишем программу созданного нами курса. 2.1. Программа курса по выбору «Изгибаемые многоугольники и многогранники» 2.1.1. Основные положения курса В девятом классе перед учениками становится выбор, какой профиль им выбрать и по какой специальности они в дальнейшем будут обучаться. Этот курс разработан для учащихся, которые увлекаются математикой, моделированием. Цель курса: познакомить учащихся с двумя классами геометрических фигур, а именно рассказать об многогранниках. 24 изгибаемых многоугольниках и Задачи курса: повторить и обобщить знания о известных многогранниках; познакомиться с изгибаемыми многоугольниками (многогранниками), изучить их классификацию; научиться создавать модели данных фигур; применять задачи на доказательство, опираясь на развертки фигур. Ожидаемые результаты: усвоение необходимых знаний о классах фигур; развитие пространственного мышления; усвоение основных приемов мыслительного поиска плана доказательства; выработка умений: самоконтроля времени выполнения заданий, составления модели различных фигур, проведения самостоятельно опытов и умения анализировать полученные результаты, формирование навыка работы в группах. 2.1.2. Форма организации занятий на курсе Курс рассчитан на 10 занятий. Включенный в программу материал предполагает повторение и изучение следующих разделов: флексагоны и их классификация; тригексафлексагон, его модели и свойства; лист Мебиуса; изгибаемые многогранники и их свойства; модели различных фигур; метод доказательства геометрических задач с использованием развертки. Формы организации учебных занятий 25 Формы проведения занятий включают в себя лекции, практические работы, тренинги по использованию методов поиска решений, лабораторную работу в группах. Каждая тема курса начинается с исторического экскурса. Теоретический материал излагается в форме мини-лекции, с использованием презентаций. После изучения теоретического материала выполняются практические задания для его закрепления. На занятиях для наглядности используется метод оригами. Проводится игра и выступление с докладами для закрепления материала, а также лабораторные работы по самостоятельному изучению свойств фигуры. Занятия строятся с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала. 2.1.3. Учебно-тематический план Учебно-тематический план будет представлен в двух видах: текстовой и табличной. Табличная форма, представленная в таблице 3, описывает все занятия, с указанием количества часов, формы проведения урока и образовательного продукта. Текстовая форма позволяет более подробно расшифровать теоретические вопросы, которые будут рассмотрены на занятиях. Таблица 3 № № 1 Кол-во Тема учебных Форма проведения часов Вводное занятие Игра 1 26 Образовательный продукт Актуализация имеющихся знаний. Продолжение таблицы 3 Кол-во № Тема учебных Форма проведения Образовательный продукт часов 2 Флексагоны и их классификация Ознакомление с Лекция 1 новым классом геометрических фигур Ознакомление с 3 Тригексафлексагон 2 Комбинированный тригексафлексагоном урок и двумя способами сборки этой фигуры 4 Свойства тригексафлексагона 1 Лабораторная Изучение свойств работа листа Мебиуса Изгибаемые 6 многогранники, история создания и Лекция 1 Ознакомление с новым классом фигур виды Умение работать с Изучение свойств 7 изгибаемых 1 Лабораторная научным тестом, работа анализировать его и многогранников делать выводы Создание моделей 8 изгибаемых 1 Практическое Умение создавать занятие модели многогранников Подведение итогов, 9 Заключительное занятие 1 Выступление с систематизация докладами знаний, полученных за время курса Содержание программы Тема 1. Вводное занятие. Определение многоугольника (многогранника), правильного многоугольника, диагонали многогранника; выпуклые четырехугольники; оси симметрии в многоугольниках; имена 27 ученых, которые внесли большой вклад и теорию многоугольников и многогранников; формулы площадей и длин в многоугольниках и др. Тема 2. Флексагоны и их классификация. История создания флексагона. Определение флексагона. Классификация. Тема 3. Тригексафлексагон. Определение тригексафлексагона. Построение модели данной фигуры 2 способами. Тема 4. Свойства тригексафлексагона. Проведение лабораторной работы, которая выявит свойства тригексафлексагона, как сплющенного листа Мебиуса. Тема 5. Решение задач на доказательство. Складываем из бумаги прямоугольный треугольник (двумя способами) и доказываем, что один из его углов равен 60° . Тема 6. Изгибаемые многогранники, история создания и виды. История создания. Теорема Коши. Октаэдр Брикара I типа идея его построения. Тема 7. Изучение свойств изгибаемых многогранников. Самопересечение, объем, симметрия и изгибаемость 5 многогранников: октаэдр Брикара I типа, октаэдр Брикара II типа, зарубка Конелли, многогранник Конелли, многогранник Штефана. Классификация многогранников. Тема 8. Создание моделей изгибаемых многогранников. Создание математических моделей известных изгибаемых многогранников. Тема 9. Заключительное занятие. Выступление учеников с докладами по различным темам. Данная программа курса «Изгибаемые многоугольники и многогранники» отвечает некоторым требованиям, а именно: 1. преемственность с профильным образованием школы; 2. привлекательность названия курса; 3. не создают перегрузку учащихся. 4. не дублируют школьную программу; 5. имеют практическую направленность: знакомят со способами 28 деятельности, необходимыми для успешного освоения программ будущего профиля. Рассмотрим один урок, который является основополагающим данного курса. 2.1.4. Урок «Флексагоны и их классификация» Занятие проходит в форме лекции, лишь на некоторых элементах урока дети выполняют задания самостоятельно. Урок сопровождается презентацией. Класс: 9 Тема: Флексагоны и их классификация Тип урока: Урок изучения нового материала Цель: Познакомиться с понятием флексагона, рассмотреть виды флексагонов Задачи урока Обучающая: усвоение понятия флексагон, изгибаемый многоугольник; развитие умения проводить аналогию и составлять классификацию понятий. Развивающая: развитие письменной и устной речи учащихся; расширение кругозора учащихся; развитие умения анализировать и систематизировать полученные данные. Воспитывающая: воспитание любви к предмету, трудолюбие; воспитание внимательности, аккуратности и усидчивости. Формы работы: фронтальная. 29 Средства обучения: тетради, презентация, карточки с краткой исторической справкой, карточка с классификацией фигур, доска. План: 1) Организационный момент (1 мин) 2) Актуализация знаний (1-2 мин) 3) Изучение нового материала: 3.1. Историческая справка (5-7 мин); 3.2. Формулировка темы урока: «Флексагоны и их классификация» (2 мин); 3.3. Этап целеполагания (2 мин); 3.4. Формулировка определения флексагона(3-5 мин); 3.5 Изучение видов флексагонов (5-7 мин); 3.6 Проведение классификации флексагонов (12-15 мин); 4) Подведение итогов (2 мин). Текст лекционного занятия: Необычное событие произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Стоун, 23-летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, что-бы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Построенные модели были названы гексафлексагонами: “гекса” - из-за их шестиугольной формы, “флексагонами” – из-за их способностями 30 складываться. Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагон, так как у него было три поверхности. Исходя из всего услышанного, сформулируйте, пожалуйста, тему нашего лекционного занятия (Формулировка темы урока). Итак, сегодня мы рассмотрим такое понятие, как флексагоны, а именно, мы сформулируем определение, рассмотрим различные названия данных фигур и составим классификацию. На сегодня известно несколько определений флексагона: Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Флексагон – гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму. Флексагон – это склеенный из бумаги многоугольник, который, изгибаясь и складываясь, может переходить во все новые и новые состояния Какие общие черты у этих определений. Сформулируйте существенные признаки флексагона. Мы будем понимать под флексагоном бумажную модель, имеющую форму плоского многоугольника, состоящую из нескольких слоев бумаги, и обладающую возможностью непрерывно изгибаться. Флексагоны это большой класс различных фигур, каждая из которых имеет свое название. Давайте рассмотрим некоторые из них: тригексафлексагон – многоугольник, в основании которого лежит правильный шестиугольник («гекса»), у которого можно открыть три грани; пентагексафлексагон – шестиугольник при изгибании, которого можно открыть пять различных граней; тетратетрафлексагон- многоугольрник, в основании которого лежит квадрат, открывает четыре поверхности и т.д. 31 Аналогично расскажите о следующих фигурах: тетрагексафлексагон; гексагексафлексагон; гептагексафлексагон; тетрафлексагоны; тритетрафлексагон; гексатетрафлексагон. Сейчас давайте проведем классификацию. Для начала давайте определим основание для классификации. Основанием классификации для начала возьмем форму грани. Схема 1 флексагоны гексафлексагоны тетрафлексагоны Теперь основанием классификации возьмем количество граней. Схема 2 гексафлексагон тетрафлексагон тригексафлексаг он тритетрафлексаго н тетратетрафлексаго н тетрагексафлексаг он пентагексафлексаго н гегкагексафлексаг он октогескафлексагон 32 гексатетрафлексаг он Общая классификация выглядит следующим образом. Схема 3 флексагоны гексафлексагоны триге ксафлек сагон тетраге сафлексаг он пента гекса флек сагон тетрафлексагоны гепта гекса флек сагон геска гекса флек сагон октог ексафлек сагон трите трафлекс агон тетрат етрафлекс агон гекса тетра флек сагон На этом наше занятие заканчивается. Давайте еще раз вспомним, что нового мы узнали на этом занятии (Подведение итогов). Данный курс частично апробирован. На педагогической практике было проведено 3 урока из курса на учениках 9 «а» класса средней общеобразовательной школы №2 с углубленным изучение предметов гуманитарного профиля г. Перми. После создания курса по выбору уже можно переходить к рассмотрению средств поддержки данной внеклассной формы. Нами разработана дистанционная поддержка данного курса. 2.2. Создание дистанционного курса «Изгибаемые многоугольники и многогранники» Если в процессе разрабоки курса мы находимся в рамках такого понятия как образование, то при 33 создании дистанционного курса рассматривается понятие дистанционное обучение, которое реализуется в рамках дистанционного образования. Рассмотрим определения этих понятий. Дистанционное образование – это образование, которое полностью или частично осуществляется с помощью компьютеров и телекоммуникационных технологий и средств. Субъект дистанционного образования удален от педагога, учебных средств и образовательных ресурсов. Дистанционное обучение – новый способ реализации процесса обучения, основанный на использовании современных информационных и коммуникационных технологиях, которые позволяют осуществлять обучение на расстоянии без непосредственного, личного контакта между преподавателем и учащимся. Для реализации задуманного проекта необходимо выбрать из существующих систем дистанционного обучения подходящую систему. Вот некоторые из этих систем: ATutor; BaumanTraining 2.0; Blackboard; Chamilo; Claroline; DoceboLMS; ILIAS; OLAT; Sakai; SharePointLMS; Moodle. Moodle – это программный продукт, позволяющий создавать курсы и web-сайты, базирующиеся в Internet. Это постоянно развивающийся проект, основанный на теории социального 34 конструктивизма. Moodle распространяется бесплатно в качестве программного обеспечения с открытым кодом (Open Source) под лицензией GNU Public License (rus). СДО Moodle предназначена для создания и проведения качественных дистанционных курсов [31]. Возможности, которые Moodle дает пользователям, можно сгруппировать по «ролям» [31]. Ученики: учатся в любое время, в любом месте, в удобном темпе; тратят больше времени на глубокое изучение тем; знания лучше усваиваются [31]. Преподаватели: поддерживают курс в актуальном состоянии; меняют порядок и способ подачи материала в зависимости от работы группы; тратят больше времени на творческую работу и профессиональный рост, потому что рутинные процессы можно доверить СДО; поддерживают обратную связь с учениками, в том числе и после окончания учебы [31]. Администрация: эффективно распределяет нагрузку на преподавателей; анализирует результаты обучения; снижает затраты на управление учебным процессом. В Moodle есть решения для всех возможных задач управления учебным процесса. Если же готового решения пока нет или оно несовершенно, функционал системы можно легко расширить [31]. Рассмотрим элементы этой платформы. При подготовке и проведении занятий в системе Moodle преподаватель использует набор элементов курса, в который входят: глоссарий; ресурс; 35 задание; форум; wiki; лекция; тест и др. [31]. Именно в Moodle будет разработан курс, так как этот программный продукт является основным в дистанционных разработках университета. Чтобы посмотреть курс необходимо пройти регистрацию на Moodle в нашем университете и записаться на курс. После этого вы можете просмотреть весь курс целиком. Фрагмент того, что может увидеть ученик, представлено на Рис. 4. Рис. 4 Фрагмент дистанционного курса Основными элементами, с помощью которых создан дистанционный курс, являются задания, лекции, форум и тесты. Так как в Moodle можно прикреплять различные файлы, то в электронном курсе можно использовать мультимедию. Созданный курс наполнен достаточно сложным для понимания 36 теоретическим материалом. Чтобы увеличить интерес учащихся к этому курсу были созданы 2 игры. Эти игры созданы в приложении https://learningapps.org/ [Приложение 1]. Созданы две игры: сканворд «Изгибаемые многоугольники и многогранники»; игра «Висельник». Правила игры Сканворд «Изгибаемые многоугольники и многогранники» Необходимо найти и выделить слова, написанные справа в столбике. Если правильно выделил слово, то оно выделяется зеленым цветом, если выделил слово неправильно, то ничего не происходит. Такой сканворд является разновидностью филворда. Пример, созданный нами, изображен на рис 5 Рис. 5 Сканворд Правила игры «Висельник». Загадано слово, указано количество букв в нем и дана подсказка. Участник начинает выбирать буквы, чтобы отгадать слово. Если буква есть в слове, то она вписывается на свое место в слово (если таких букв несколько – то вписываются все), а если нет – то рисуется один элемент виселицы с человечком (стойка, перекладина, распорка, верёвка, голова, туловище, 2 37 руки, 2 ноги – всего 10 элементов-попыток). Если отгадывающий не успел угадать слово раньше, чем виселица нарисована полностью, то он считается «повешенным» и он проиграл (Рис 6). Рис. 6 Игра «Висельник Данный курс может быть самостоятельной единицей, предназначенной для освоения темы «изгибаемые многоугольники и многогранники», а также хорошей поддержкой для уже созданного курса по выбору, так как содержит основные теоретические сведения курса и основные задания в электронном виде. Это лишь одна форма поддержки курса по выбору, рассмотрим и другие формы поддержки, такие как рабочая тетрадь. 38 2.3. Создание рабочей тетради Эта еще одна форма поддержки курса. Рабочая тетрадь получила название «В мире многоугольников». Данная рабочая тетрадь смешанного типа, так как в ней представлены не только задания, но и теоретический материал. Это будет первая часть. Планируется создать вторую часть, но уже в рамках реализации данного курса в школе, уже после окончания университета. 2.3.1. Основные положения рабочей тетради Перед тем, как начать создавать содержание рабочей тетради по данной теме, необходимо определиться с ее целью, задачами и структурой. Также необходимо указать, для каких учеников создается эта тетрадь, и ожидаемые результаты. Цели и задачи будут во многом перекликаться с курсом по выбору, так как рабочая тетрадь создается в качестве поддержки созданного курса. Эта тетрадь предназначена для учащихся 9 классов. Цель: систематизировать знания по теме «Многоугольник» в рамках ШКМ, а также изучить класс плоских многоугольников, которые обладают свойством изгибаться. Задачи: повторить и обобщить знания об известных многогранниках; познакомить учащихся с изгибаемыми многоугольниками, изучить их классификацию; научиться создавать модели данных фигур; используя различные задания, поверить усвоение данной темы. Ожидаемые результаты: усвоение необходимых знаний о классах фигур; 39 развитие пространственного мышления; выработка умений: самоконтроля времени выполнения заданий, составления модели различных фигур, проведения самостоятельно опытов и анализирования полученных результатов. Содержание тетради: В рабочую тетрадь вошли три теоретических блока, а именно: история создания многоугольников, понятийный аппарат темы «Многоугольники» в рамках учебника автора Погорелова А.В., а также классификация некоторых многоугольников. Так как нашей целью является познакомить с определениями и классификацией нескольких многоугольников, то история создания объединилась с определением и служит больше для привлечения внимания учеников, нежели для какой-то информативной функции. Для того чтобы понять, какую структуру имеет данная тетрадь, а также иметь представления, какие виды заданий используются, рассмотрим целиком пункт рабочей тетради. 2.3.2. Пункт рабочей тетради «Многоугольник: история возникновения и определения различных многоугольников» История возникновения многоугольников Древнегреческий историк Геродот (около 484 г до н. э. – около 425 г до н. э.) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту с этого и началась геометрия [17]. Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади [17]. Знакомый всем треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, т.е. простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить 40 эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником [17]. В одной из первых теорем «Начал» Евклида (ок. 365 – 300 до н. э ) сформулировано основное свойство равнобедренного треугольника: углы при его основании равны [17]. Доказательство этой теоремы приписывают Фалесу Милетскому, жившему за два века до Евклида. Впоследствии теорема получила название «мост ослов». Объясняют такое название, с одной стороны, тем, что чертеж, использованный Евклидом для ее доказательства, напоминает мостик, а с другой – мнением, будто только ослы не могут этот мостик перейти [17]. Рис. 7 «Мост ослов» История возникновения изгибаемых многоугольников Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Стоун, 23летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были бы разного цвета, то после перегибания видимая поверхность 41 изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями место трех [11]. Рис. 8 Складывание тригексафлексагона Постоянные модели были названы гексафлексагонами: “гекса” - изза их шестиугольной формы, “флексагонами” - из-за их способностями складываться. Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагон, так как у него было три поверхности. Вторая, не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирантматематик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексатона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Таккерман довольно быстро нашёл простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: нужно держать его за какой-либо угол и открывать до тех пор, пока он не перестанет раскрываться, и лишь затем переходить к следующему углу [11]. 42 Определения из темы «Многоугольник» В данном пункте описаны определения, изложенные в учебнике «Геометрия 7-9 класс» Погорелова А.В. Рассмотрим определения в виде таблицы. Таблица 4 Определения многоугольников в учебнике Погорелова А.В. № 1 Понятие Треугольник Изображение 2 Четырехугольник 3 Параллелограмм 4 Прямоугольник 5 Ромб Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны [25]. 6 Квадрат Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны [25]. 7 Трапеция Трапецией называет четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны [25]. 43 Определение Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки [25]. Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек, не лежащих на одной прямой, и четырех последовательно соединяющих их отрезков [25]. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых [25]. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые [25]. 8 Многоугольник Многоугольником называется простая замкнутая ломаная [24]. 9 Выпуклый многоугольник Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону [24]. 10 Правильный многоугольник Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны [24]. Определения из темы «Изгибаемые многоугольники» Рассмотрим различные определения флексагона. Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу [11, C. 10]. Флексагон – гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму. Флексагоны – это хитрые головоломки-раскладушки из бумаги. Флексагон – это склеенный из бумаги многоугольник, который, изгибаясь и складываясь, может переходить во все новые и новые состояния [22, C 10]. Таким образом, мы будем называть флексагоном бумажную модель, имеющую форму плоского многоугольника, состоящую из нескольких слоев 44 бумаги, и обладающую возможностью непрерывно изгибаться. Плоский многоугольник, появляющийся на поверхности этой модели, договоримся называть гранью флексагона. Задания 1. Какие из фигур являются многоугольниками? Ответ:_________________________________________________ 2. Укажите, по каким признакам можно сравнивать следующие понятия: треугольники __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ четырехугольники __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ многоугольники __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ флексагоны __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 45 3. Какие признаки являются общими для данных фигур? Ответ:_____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 4. Укажите существенные признаки следующих понятий: равнобедренный треугольник; трапеция; квадрат; тригексафлексагон. Ответ:_____________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 5. Определите, существует ли объект с указанными признаками? Выпуклый четырехугольник, диагонали пересекаются под прямым углом, равные стороны, не имеет прямых углов. Невыпуклый четырехугольник, равные стороны, количество сторон 5. Выпуклый четырехугольник, диагонали пересекаются под прямым углом, равные стороны, все углы имеют разную градусную меру. Флексагон, в основании восьмиугольник. 46 которого лежит правильный 6. Флексагон имеющий 15 поверхностей. Дополните определение Простая замкнутая ломанная называется ………………, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Параллелограмм – это ………….., у которого противолежащие стороны ………………., т.е. лежат на ….…….прямых. Флексагоном называют бумажную ………. имеющую форму плоского ………….., состоящую из нескольких слоев бумаги, и обладающую возможностью непрерывно изгибаться. …… флексагона называется плоский многоугольник, появляющийся на поверхности этой модели. 7. Какие из фигур являются изгибаемыми многоугольниками? Ответ:________________________________________________________ 47 8. Какие признаки являются общими для данных фигур? Ответ:_____________________________________________________________ __________________________________________________________________ 9. Заполните таблицу треугольник четырехугольник n-угольник Ответ: Ответ: Ответ: флексагон Ответ: 3 7 2 10 8 4 9 10. Установите соответствие между формулировкой определения и понятием. Понятие A) Флексагон B) Плоский многоугольник C) Выпуклый многоугольник D) Правильный многоугольник Формулировка определения 1. выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. 2. многоугольник, лежащий в одной полуплоскости относительно прямой, содержащий его сторону. 3. конечная часть плоскости ограниченная многоугольником 4. бумажная модель, имеющая форму плоского многоугольника, 48 состоящая из нескольких слоев бумаги, и обладающая возможностью непрерывно изгибаться. Сделай сам Тригексафлексагон является самым первым флексагоном, с него и началась история этих фигур. Тригескафлексагон – простейший из семейства гексафлексагонов(если не считать двух первых флексагонов; они не являются полноценными флексагонами, т.к. не складываются). Научимся складывать данную фигуру. Складывание тригексафлексагона Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (Рис. 9а). Эту полоску можно получить нарисовав на листе бумаги и вырезав ее. Полоски перегибают по линии аb и переворачивают (Рис. 9б). Перегнув еще раз по линии cd , расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник наложенным на первый (Рис. 9в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и приклеить к оборотной стороне первого треугольника (Рис. 9г). Рис. 9 49 Кроме этого модель тригексафлексагона можно получить методами модульного оригами. Модульное оригами 1. Возьмем квадрат и согнем его по средней линии. 2. Согнем квадрат по одной диагонали, как показано на рис. 10 под цифрой 2. 3. В правом прямоугольнике сгибаем по диагонали, как показано на рис. 10 под цифрой 3. Рис. 10 Создание тригексафлексагона методом оригами 4. В правом прямоугольнике два сгиба пересекаются в одной точке. Согнем, как показано на рис. 11 под цифрой 4 так, чтобы сгиб прошел через эту точку. 5. Получаем фигуру, изображенную на рис. 11 под цифрой 5. Сгибаем по средней линии прямоугольник слева. 6. Сгибаем, как показано стрелочкой на рис. 11 под цифрой 6. 50 Рис. 11 Создание тригексафлексагона методом оригами 7. Получаем фигуру, изображенную на рис. 12 под цифрой 7 и выворачиваем ее так, как показывает стрелка. 8. Получаем фигуру, в которой есть прямоугольник. Его сгибаем по средней линии, разворачиваем и сгибаем по линии, изображенной пунктиром. 9. Получаем фигуру, изображенную на рис 12. Под цифрой 9, разворачиваем фигуру. Рис. 12 Создание тригексафлексагона методом оригами 10. Получаем вновь прямоугольник, который сгибаем по средней линии (она совпадет с границей двух листов). 11. Получаем прямоугольник поменьше, который сгибаем по линии, изображенной пунктиром. 12. Получаем фигуру, которую вновь сгибаем по линии, изображенной пунктиром. 51 . Рис. 13 Создание тригексафлексагона методом оригами 13. На рис. 14 под числом 13 показан результат предыдущего действия, после которого мы переворачиваем. 14. Сгибаем по пунктирным линиям. 15. Получаем фигуру, изображенную на рис. 14 под числом 15, которую мы полностью разворачиваем. Рис. 14 Создание тригексафлексагона методом оригами 16. Получаем развертку, которую вновь сгибаем по пунктирной линии. 17. Сворачиваем по линии, изображенной пунктиром. 18. Получаем фигуру. И таких фигур мы делаем еще две штуки. Рис. 15 Создание тригексафлексагона методом оригами 52 19. Берем две детали, которые изображены ниже. Вставляем одну в другую, как показано на стрелочке и сгибаем вторую деталь. Рис. 16 Создание тригексафлексагона методом оригами 20. У нас получается одна общая деталь, которая изображена на рис. 17 под числом 20. 21. Проделываем шаг 19, добавляем третью деталь, получаем деталь, изображенную на рис. 17 под числом 21. Прячем «хвостик» внутрь. Рис. 17 Создание тригексафлексагона методом оригами 22. Отсчитать четыре треугольника справа и согнуть по линии. 23. Слева отсчитать три треугольника и согнуть по линии. 24. Прячем в кармашек последний треугольник, тем самым скрепляем фигуру. 25. Получаем готовый тетрагексафлексагон. 53 Рис. 18 Создание тригексафлексагона методом оригами После рассмотрения нескольких теоретических вопросов и разработок некоторых материалов, в конце нашего исследования можно выделить следующие результаты: разработан курс по выбору «Изгибаемые многоугольники и многогранники», созданный для учащихся 9 класса; создана поддержка курса в виде дистанционного курса «Изгибаемые многоугольники и многогранники»; издана рабочая тетрадь «В мире многоугольников» Все материалы по созданному курсу, и изданная рабочая тетрадь представлены в приложениях 2и 3. Используя рассмотренные выше разработки, можно гарантировать, что выбранные нами предметные и метапредметные результаты будут формироваться, потому что содержание их отвечает запланированным результатам: тема «Изгибаемые многоугольники и многогранники» не входит в ШКМ; отличаются флексагоны и флексоры – это фигуры, которые кардинально созданному представлению о многоугольниках и многогранниках в школе, поэтому этим они и привлекают интерес учеников; модели флексагонов, открывающие более трех плоскостей, модели флексоров, а также представление их с помощью компьютерные программ – все это формирует пространственное мышление у учащихся; различные формы занятий курса, мультимедийные задания в дистанционном обучении и красочная рабочая тетрадь способствуют 54 комфортному изучению достаточно сложной темы, тем самым показывая, что геометрия может быть увлекательным и интересным предметом в школе. 55 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Закончив исследование, были сделаны определенные выводы. Проведен анализ литературы по данной теме исследования, список которой составляет 32 наименования. В качестве основных школьных учебников были выбраны учебник Погорелова А.В. «Геометрия 7-9 классы» и Атанасяна Л.С. «Геометрия 7-9 классы». После рассмотрения различных форм внеклассной работы, мы остановились на курсе по выбору, так как он подходит по психологическим и возрастным особенностям для старших школьников, и по форме работы для изложения выбранного нами как основного теоретического материала. Основным средством для эффективной реализации курса стала рабочая тетрадь как средство наглядности, которая создавалась с помощью учебнометодического пособия Е.А. Вержининской «Создание рабочей тетради по дисциплине». Также разработан дистанционный курс «Изгибаемые многоугольники и многогранники» как средство доступности к материалам курса. Содержательная часть курса по выбору и рабочей тетради была составлена из различных источников литературы, но основным является книга М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения». За основные теоретические положения по теме «Изгибаемые многоугольники и многогранники» были выбраны следующие. История создания флексагона. Определение флексагона. Классификация понятия флексагон. Построение Тригексафлексагон. модели данной Определение фигуры двумя тригексафлексагона. способами. Свойства тригексафлексагона, как сплющенного листа Мебиуса. Изгибаемые многогранники, история создания и их виды. Теорема Коши. 56 Изучение свойств флексоров. Самопересечение, объем, симметрия и изгибаемость 5 многогранников: октаэдр Брикара I типа, октаэдр Брикара II типа, зарубка Конелли, многогранник Конелли, многогранник Штефана. Классификация изгибаемых многогранников. Создание моделей изгибаемых многогранников. Данные теоретические положения легли в основу разработанного курса по выбору «Изгибаемые многоугольники и многогранники», программа которого рассчитана на 10 занятий. Включенный в программу материал предполагает повторение и изучение следующих разделов: флексагоны и их классификация; тригексафлексагон, его модели и свойства; лист Мебиуса; изгибаемые многогранники и их свойства; модели различных фигур; метод доказательства геометрических задач с использованием развертки. Формы проведения занятий включают в себя лекции, практические работы, тренинги по использованию методов поиска решений, лабораторную работу в группах. В поддержку этого курса была создана дистанционная поддержка курса в формате курса, разработанного в системе Moodle. Дистанционный курс содержит основные теоретические положения курса по выбору, к каждому из которых представлено задание на проверку усвоения теории, а также итоговый тест, составленный для проверки усвоения и понимания теоретического материала в целом по курсу. Еще одной поддержкой данного курса «Изгибаемые многоугольники и многогранники» стала рабочая тетрадь «В мире многоугольников», которая помогает ученикам в освоении не только изгибаемых многоугольников и классификации флексагонов, но и систематизации знаний по теме «Многоугольники». Рабочая тетрадь смешанного типа. В нее вошли три 57 теоретических блока, а именно: история создания многоугольников, понятийный аппарат темы «Многоугольники» в рамках учебника автора Погорелова А.В., а также классификация некоторых многоугольников. Все задачи, поставленные нами в начале исследования, решены, а, следовательно, можно утверждать, что цель достигнута. Результаты данной работы были представлены в различных формах. Выступления с докладом: «Флексагоны» в рамках весенней научной сессии студентов математического факультета ППГУ в апреле 2013 г.; «Изгибаемые многогранники» в рамках осенней научной сессии студентов математического факультета ППГУ в ноябре 2013 г.; «Сравнение свойств изгибаемых многогранников» в рамках весенней научной сессии студентов математического факультета ППГУ в апреле 2015 г. Опубликованы тезисы «Сравнение свойств изгибаемых многогранников» в сборнике «Вопросы математики, её истории и методики преподавания в учебно-исследовательских работах: матер. межрегион. науч.практ. конф. студентов матем. факультетов» (Пермь, ПГГПУ, 2015 г.) – Вып. 8. – 95 с. Опубликованы тезисы «Многоугольник в школьном курсе математики» в сборнике «Вопросы математики, ее истории и методики преподавания в учебно-исследовательских работах: матер. межрегион. науч.-практ. конф. студентов матем. фак-тов» / ред. кол.: Ю.В. Корзнякова, (Пермь, 2016.) – Вып. 9. – 74 с Опубликованы статьи: «Тригексафлексагон и его свойства» в сборнике научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции. Сборник №9 Часть 1 (г. Воронеж, (ВГЛТУ, 9-12 ноября 2015г. ) С. 280 – 281 58 «Курс «Изгибаемые многоугольники и многогранники»» в сборнике докладов всероссийской научно-практической конференции молодых ученых с международным участием (16-19 мая 2016г., г. Пермь). Разработанный материал может быть полезен учителям математики для организации дополнительных занятий. 59 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Айнгер, М. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней / М. Айнгер, Г. Циглер. – Москва : Мир, 2006. – С 256. 2. Атанасян, Л.С. Геометрия 10-11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – Москва : Просвещение, 2013. – 255с. 3. Атанасян, Л.С. Геометрия 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций: / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 2-е изд. – Москва: Просвещение, 2014. 4. Баранников, А.В. Элективные курсы в профильном обучении/ А. В. Баранников// Первое сентября. – 2004. –№ 102. – С 1–2. 5. Бунимович, Е.А. Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс : учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / [Е.А. Бумимович, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.] ; Рос. акад. Наук, Рос. акад. Образования, изд-во «Просвещение». – 3-е изд. – Москва : Просвещение, 2014. – 223 с. 6. Бунимович, Е.А. Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс : учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. Носителе / [Е.А. Бумимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др.] ; Рос. акад. Наук, Рос. акад. Образования, изд-во «Просвещение». – 3-е изд. – Москва : Просвещение, 2014. – 240 с. 7. Бутузов, В.Ф. Геометрия. 7 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев, В.В. Прасолов; под ред. В.А. Садовничего. – Москва: Просвещение, 2010. – 127с. 8. Вержинская, Е.А. Создание рабочей тетради по дисциплине Учебно-методическое пособие / Составитель Е.А. Вержинская. – Оренбург, ГБОУ СПО «Оренбургский государственный колледж», 2009. – 20 с. 60 9. Виленкин, Н.Я. Математика. 5 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / [Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др.]. – 31-е изд., стер. – Москва : Мнемозина, 2013. – 280 с. 10. Воронина, Г. А. Элективные курсы: алгоритмы создания, примеры программ/ Г.А. Воронина. – Москва : Айрис-пресс, 2006. – С 128. 11. Гарднер, М. Математические головоломки и развлечения/ М. Гарднер - Пер. с англ. Ю.А. Данилова –Москва : "Мир", 1971. – 511 с. 12. Долбилин, Н.П. Жемчужины теории многогранников / Н.П Долбилин – Москва : МЦНМО, 2000. – С 40. 13. Долбилин, Н.П. Три теоремы о выпуклых многогранниках / Н.П. Долбилин. // Научно-популярный физико-математический журнал Квант. – 2001. – № 6. – С. 310. 14. Дорофеев, Г.В. Математика. 5 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос. акад. Наук, Рос. акад. Образования, изд-во «Просвещение». – 12-е изд. – Москва: Просвещение, 2011. – 303 с. 15. Дышинский, Е.А. Игротека математического кружка: пособие для учителя / Е.А. Дышинский. – Москва : Просвещение, 1972. – 144 с. 16. Залгаллер, В.А. Непрерывно изгибаемый многогранник / В.А. Залгаллер // Квант. – 1978. – № 9. – С. 13–19. 17. Каазик, Ю.Я. Математический словарь. – Таллин: Валгус, 1985 – 296 с. 18. Козлова, С.А Математика. 5 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений: в 2 ч. Ч. 2 / С.А. Козлова, А.Г. Рубин. – 2-е изд. – Москва: Баласс, 2013. – 208 с. 19. Логические основы школьного курса геометрии: учебно- методическое пособие / авт.-сост. И.В. Магданова; Перм. гос. гуманит.-пед. ун-т. – Пермь, 2014. – 104 с. 20. Медяник, А.И. Модель многогранника Коннелли / А.И. Медяник // Квант. – 1979. – № 7. – С. 39. 61 21. Орлов, В.А. Типология элективных курсов и их роль в организации профильного обучения/ В.А. Орлов // Интернет-журнал «Эйдос». – 2003. 22. Панов, А. А. Флексагоны. Флексоры. Флексманы/ А. А. Панов// Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». – 1988. – №7. – С 10- 13. 23. Педагогика: педагогические теории, системы и технологии: учебник для студентов высших и средних педагогических учебных заведений / под ред. С.А. Смирнова. – Москва : Академия, 2000. – 512 с. 24. Погорелов, А.В. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. – 9-е изд. – Москва : Просвещение, 2009. – 175 с. 25. Погорелов, А.В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. – 5-е изд. – Москва : Просвещение, 2004. – 224 с. 26. Подласый, И.П. Педагогика: учеб. для студ. высш. учеб. заведений: в 2 кн. / И.П. Подласый. – Москва : ВЛАДОС, 2002. – Кн. 1. – 576 с. 27. Селевко, Г.К. Найди свой путь: Учебное пособие для предпрофильного обучения/ Г.К. Селевко – Москва : Народное образование, НИИ школьных технологий, 2006. 28. Фестиваль открытых педагогических идей [электронный ресурс] / режим доступа: http://festival.1september.ru/outdoors/ (дата обращения: 20.02.2016) 29. Федеральный основного общего государственный образования. образовательный Утвержден приказом стандарт Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» декабря 2010 г. № 1897 [электронный ресурс] / режим доступа: http://fgosvo.ru/ (дата обращения: 1.06.2016) 30. Фундаментальное ядро содержания общего образования: проект / под ред. В.В. Кощлова, А.М. Кондакова. – Москва : Просвящение, 2009. 62 31. Худякова В.А. Проектирование дистанционного курса на платформе Moodle 2.7. Учебно-методическое пособие / Составитель А.В. Худякова. – Пермь, ПГГПУ, 2014. – 32 с. 32. Энциклопедия для детей. Т11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В.Володин. – Москва : Аванта, 2004. – 688 с. 63 Приложение 1 Что такое LearningApps.org LearningApps.org – это приложение для поддержки учебного процесса с помощью интерактивных модулей (приложений, упражнений). Данный онлайн-сервис позволяет создавать такие модули, сохранять и использовать их, обеспечивать свободный обмен ими между педагогами, организовывать работу обучающихся (в том числе, и по созданию новых модулей). Родной язык LearningApps.org – немецкий, но на сайте реализована мультиязычная поддержка. Однако не все фразы нашли своего переводчика. Иногда на сервисе встречаются непереведенные фразы или ошибки в словах. Разобраться с функционалом и навигацией очень просто. Для этого достаточно нажать «все упражнения» в верхней части главной страницы, и перед вами откроется список упражнений, созданных и опубликованных другими пользователями(Рис 1). Рис 1 Для создания и сохранения собственных заданий необходимо зарегистрироваться. После прохождения регистрации, Вам станут доступны 64 шаблоны, которые помогут создать интерактивное упражнение для учеников. Шаблоны сгруппированы по функциональному признаку: выбор – упражнения на выбор правильных ответов; распределение – задания на установление соответствия; последовательность – на определение правильной последовательности; заполнение – упражнения, в которых надо вставить правильные ответы в нужных местах; онлайн-игры – упражнения-соревнования, при выполнении которых учащийся соревнуется с компьютером или другими учениками. Создав задание, Вы можете тут же опубликовать его или сохранить для личного пользования. Доступ к готовым ресурсам открыт и для незарегистрированных пользователей. Вы можете использовать задания, составленные вашими коллегами, скопировав ссылку внизу задания из поля «привязать» и вставить на страницу своего личного сайта, как делают это многие учителя-блогеры. Кроме того, можно создать аккаунты для своих учеников и использовать свои ресурсы для проверки их знаний прямо на этом сайте. 65
