GERT & Flowgraph Algebra

0
GERT
Graphical Evaluation and Review Technique
И
Flowgraph Algebra
Слайд 1
GERT. MGF и Преобразование Лапласа
33
Производящая функция моментов
(MGF – moment generating function)
MY ( s )  E ( e
M X ( s )( n )
s 0
sY

sY
)    e f ( Y )dY
 n ( X )  M ( X n )
Преобразование Лапласа
L ( s ) E ( e
 sY
  sY
e

) 
MY ( s )  L(  s )
f (Y )dY
GERT. MGF и характеристическая функция 33
Производящая функция моментов
MY ( s )  E ( e
MX ( s )
sY

sY
)    e f ( Y )dY
(n)
s 0
 n ( X )
Характеристическая функция
fY ( s )  E ( e
fX ( s )
jsY

)   e
(n)
n
s 0
jsY
f ( Y )dY
 j n( X )
GERT
p1  p2  p3 1; p4  p5  p6 1
1
GERT
1
GERT
1
GERT
3
Производящая функция моментов
M ij ( s ) E ( e
где
syij
  syij
e

) 
f ( yij )dyij
yij  непрерывная случайная
величина,
f(y ij )  плотность распределения yij
GERT
4
Производящая функция
моментов
для независимых С .В . X и Y
M X Y ( s )  E ( e
 E( e
sX
)E ( e
MX ( s )
sY
s ( X Y )
)
)  M X ( s ) MY ( s )
(n)
s 0
 n ( X )
GERT
5
Пусть X a Const,
тогда
sa
M X ( s ) E ( e ) ,
пусть a 0, тогда M X ( s ) 1
GERT
6
GERT
7
GERT
8
GERT
9
GERT

производящая функция
10
GERT
11
GERT
12
GERT
13
GERT
14
GERT
15
GERT
16
GERT
17
GERT
18
GERT
Коэффициенты пропускания петель
19
GERT
Правило Мейсона для замкнутых
потоковых графов
20
GERT
Правило Мейсона для замкнутых
потоковых графов
21
GERT
Правило Мейсона для замкнутых
потоковых графов
22
GERT
Правило Мейсона для замкнутых
потоковых графов
23
GERT
Правило Мейсона для замкнутых
потоковых графов
24
GERT
Правило Мейсона для замкнутых
потоковых графов
25
GERT
Правило Мейсона для замкнутых
потоковых графов
26
GERT
Расчет мат. ожидания и дисперсии
времени выполнения работ
откуда
27
GERT
28
GERT
29
GERT
30
GERT
31
GERT
Некоторые сведения из
теории вероятностей
32
GERT
33
Производящая функция
моментов

MY ( s )  E ( e
sY
sY
)    e f ( Y )dY
(n)
M X ( s ) s 0  n ( X )
Характеристическая функция
fY ( s )  E ( e
fX ( s )
jsY
(n)

)   e
jsY
f ( Y )dY
n
s 0
 j n( X )
Преобразование Лапласа
*
F ( s ) E ( e
 sY

)   e
 sY
f ( Y )dY
GERT
Связь между производящей
функцией и плотностью

f ( t )   e
jtx
f ( x )dx
1   jtx
f ( x )    e f ( t )dt
2
34
GERT
34
Связь между MGF и плотностью
MGF ( s )  MGF (  s )  L( s ) 
1
 f (t ) L ( s)
GERT с использованием MATLAB
35
GERT с использованием MATLAB
На Ко Вероя
Мат. Диспе
чал не тность ожидан рсия
о
ц
ие
W-функция
1
2
0,3
20,0
16,0
0.3*exp(20*s+8*s^2)
1
3
0,4
35,0
25,0
0.4*exp(35*s+12,5*s^2)
1
4
0,3
14,0
4,0
0.3*exp(14*s+2*s^2)
2
2
0,1
25,0
28,0
0.1*exp(25*s+14*s^2)
2
5
0,9
20,0
16,0
0.9*exp(20*s+8*s^2)
3
3
0,5
20,0
9,0
0.5*exp(20*s+4,5*s^2)
3
6
0,5
37,0
16,0
0.5*exp(37*s+8*s^2)
4
6
1,0
17,0
9,0
1.0*exp(17*s+4,5*s^2)
5
3
1,0
10,0
4,0
1.0*exp(10*s+2*s^2)
37
GERT с использованием MATLAB
Переход к замкнутой сети
36
GERT с использованием MATLAB
38
Упрощение графа (необязательное действие)
GERT с использованием MATLAB
Упрощение графа
39
GERT с использованием MATLAB
Упрощение графа
40
GERT с использованием MATLAB
41
GERT с использованием MATLAB
42
GERT с использованием MATLAB
34
43
GERT с использованием MATLAB
44 34
GERT с использованием MATLAB
45
GERT с использованием MATLAB
WE ( s )  pE M E ( s ); Если s 0 , то M E (0 ) 1,
WE ( s )
тогда WE (0 )  pE . Следовательно, M E ( s ) 
WE (0 )
46
GERT с использованием MATLAB
% Мат. ожидания
M12=20; M13=35;
M14=14; M22=25;
M25=20; M33=20;
M36=37; M46=17;
M53=10;
% Дисперсии
D12=16; D13=25;
D14=4; D22=28;
D25=16; D33=9;
D36=16; D46=9;
D53=4;
47
GERT с использованием MATLAB
48
GERT с использованием MATLAB
49
GERT с использованием MATLAB
Результаты
50
Алгебра потоковых графов
50
Алгебра потоковых графов
qij  pij mij (s )
M 04 ( s )  A 1 ( 51)
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Теорема 3
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Переход от MGF к плотности распределения
MGF ( s )
n!
( n)
 n
s 0
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Переход от MGF к плотности распределения
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Аппроксимация Паде и использование теоремы Хевисайда
для отыскания обратного преобразования Лапласа
Теорема Хевисайда
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Пример отыскания плотности длительности процесса
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Пример отыскания плотности длительности процесса
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Метод максимума энтропии (The Maximum Entropy method)
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Метод максимума энтропии (The Maximum Entropy method)
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Метод максимума энтропии (The Maximum Entropy method)
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Метод максимума энтропии (The Maximum Entropy method)
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Метод максимума энтропии (The Maximum Entropy method)
50
Алгебра потоковых графов С МАТЛАБ
Метод максимума энтропии (The Maximum Entropy method)
50