СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-1 1. Из 35 экзаменационных билетов, занумерованных с помощью целых чисел от 1 до 35, наудачу извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть число, кратное 3? СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-2 1. Какова вероятность того, что наудачу выбранный день одного столетия обладает следующим свойством: число, номер месяца и последние две цифры года записаны с помощью только одной из цифр 1, 2, …,9? 2. Вероятность того, что початки кукурузы имеют 12 рядов, равна 0.49, 14 рядов – 0.37, от 16 до 18 рядов – 0.14. Какова вероятность того, что наудачу выбранный початок будет иметь 12 или 14 рядов? 2. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0.3, вторым – 0.7. Два стрелка стреляют одновременно. Какова вероятность того, что цель будет поражена? 3. Имеются пять винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, без оптического прицела – 0,8. Найдите вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки. 3. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной? 4. Известно, что вероятность прорастания семян данной партии пшеницы 0,95. Сколько семян следует взять из этой партии, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100? 4. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Сколько надо произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,99 в мишени была хотя бы одна пробоина? 5. Вероятность попадания в мишень 0,3. Какова вероятность того, что при 84 выстрелах произойдёт 21 попадание? 5. Известно, что 40% автомобилей, следующих по шоссе, у развилки поворачивают направо, 60% - налево. Какова вероятность того, что из 400 автомобилей, проехавших по шоссе, ровно 250 повернули налево? 6. В коробке 7 карандашей, из которых 4 карандаша синие. Наудачу извлекают 3 карандаша. Какой закон распределения вероятностей имеет случайная величина, означающая число извлечённых синих карандашей. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 6. Вероятность приёма самолётом радиосигнала при каждой передаче равна 0,7. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа принятых сигналов при шестикратной передаче. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; 2 F(x)= x , 0 x 1 ; 1 , x 1. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=10, =4, =2, =13. 0 , x 0; 3 F(x)= x , 0 x 1 ; 1 , x 1. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=8, =1, =4, =9. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-3 1. Из полной игры лото наудачу извлекается один бочонок. На бочонке написаны числа от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что на бочонке написано простое число? 2. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0.3, а вероятность выбить 9 очков равна 0.6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков? 3. Стрельбу в цель ведут 10 солдат. Для пяти из них вероятность попадания 0,6, для трёх – 0,5 и для остальных – 0,3. Какова вероятность поражения цели всеми 10 солдатами одновременно? 4. Событие А происходит с вероятностью ¼. Опыт повторяли независимым образом 8 раз. Найдите вероятность того, что: а) событие А при этом произойдёт не более 2 раз; б) событие А при этом произойдёт хотя бы 2 раза. 5. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины? Предполагается, что в городе число мужчин равно числу женщин. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-4 1. Какова вероятность того, что кость, наудачу извлечённая из полного набора домино, имеет сумму очков, равную 5? 2. Из 30 учащихся спортивной школы 12 человек занимаются баскетболом, 15 волейболом, 5 - волейболом и баскетболом, а остальные - другими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом. 3. Путешественник может купить билет в одной из трёх касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, примерно равна 1/2, ко второй кассе - 1/3, к третьей - 1/6. Вероятности того, что билетов уже нет в кассах, примерно такие: в первой кассе 1/5, во второй 1/6, в третьей 1/8. Путешественник обратился в одну из касс и получил билет. Определите вероятность того, что он направился к первой кассе. 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле из винтовки равна 0,4. Определить вероятность того, что при четырёх выстрелах будет не менее трёх попаданий. 5. Монета бросается 400 раз. Чему равна вероятность того, что герб появится 206 раз? 6. Из партии в 10 деталей, среди которых две бракованные, наудачу выбирают три детали. Составьте таблицу распределения вероятностей числа бракованных деталей среди выбранных деталей. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 1; 2 x x F(x)= , 1 x 2; 2 1 , x 2. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (1,5; 2). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=6, =3, =2, =11. 6. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов, ведёт огонь по мишени до первого попадания или до полного расхода всех патронов. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа израсходованных патронов. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; F(x)= 1 2 3 x 2 x , 0 x ; 3 1 1, x . 3 Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0; 1 ). 6 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=4, =5, =2, =11. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-5 1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера. Найдите вероятность того, что извлечённый на удачу кубик будет иметь ровно две окрашенные грани? 2. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0.2, вероятность выхода из строя второго элемента равна 0.3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать. 3. В мае вероятность дождливого дня равна 0,2. Для некоторой футбольной команды вероятность выиграть в ясный день равна 0,7, но зато в дождливый день эта вероятность равна лишь 0,4. Известно, что команда выиграла матч. Какова вероятность того, что в этот день шёл дождь? 4. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найдите наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 7. Чему равна соответствующая вероятность? 5. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Что вероятнее: отказ четырёх приборов при испытании 20 или отказ шести приборов при испытании 30, если приборы испытываются независимо друг от друга? 6. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составьте закон распределения случайной величины Х, равной числу студентов в наугад выбранной группе. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 2; x F(x)= 1 , 2 x 4 ; 2 1 , x 4. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (3; 4). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=2, =5, =4, =9. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-6 1. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке нового календаря кратно 5? 2. Игральную кость бросают трижды. Какова вероятность того, что цифра 5 выпадет три раза? 3. На участке 6 автоматических и 4 полуавтоматических станка изготовляют детали на общий конвейер. Вычислить вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь стандартна, если автоматический станок даёт 95%, а полуавтоматический – 90% стандартных деталей. 4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,85. Стрелок сделал 25 независимых выстрелов. Найдите наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность. 5. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии превысит суточную норму, равна 0,2. Какова вероятность того, что за 25 рабочих дней будет зафиксирован перерасход электроэнергии: а) в течение пяти дней; б) от пяти до семи дней включительно? 6. При аварии могут сработать три сигнализатора с вероятностями: первый – 0.6, второй – 0.8, третий – 0.7. Построить закон распределения величины числа срабатывающих сигнализаторов при аварии. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; 2 x F(x)= , 0 x 3; 9 1 , x 3. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=9, =5, =5, =14. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-7 1. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке нового календаря равно 29, если в году 365 дней? СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-8 1. Выбирают наудачу число от 1 до 100. Найдите вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 3. 2. Производится 4 независимых выстрела. Вероятность поражения цели стрелком при каждом из выстрелов равна 0,9. Найти вероятность того, что первые два выстрела будут попаданиями, а последующие –промахи? 2. Известно, что при каждом измерении равновероятна как положительная, так и отрицательная ошибка. Какова вероятность того, что при трёх независимых измерениях все ошибки будут положительными? 3. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найдите вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед. 3. Перед эпидемией гриппа 90% студентов были привиты против гриппа. Число заболевших среди привитых составляет 1%, среди не привитых – 81%. Студент заболел гриппом. Какова вероятность того, что он не сделал прививку? 4. При высаживании не пикированной рассады помидоров приживается только 80% растений. Найдите вероятность того, что из десяти посаженых кустов помидоров приживутся не менее девяти. 5. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найдите вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков. 6. Три стрелка попадают в цель с вероятностями: первый – 0.8, второй – 0.6, третий – 0.5. Построить закон распределения величины попаданий, если каждый выстрелил 1 раз. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; 2 x F(x)= , 0 x 2; 4 1 , x 2. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=7, =2, =3, =10. 4. Контрольная работа состоит из 6 задач, причём для успешного её выполнения необходимо решить любые четыре задачи. Если студент будет решать в течение отведённого времени лишь 4 задачи, то вероятность правильного решения любой из них равна 0.8. Если он попробует решить 5 задач, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,7, а если он возьмётся за решение всех шести задач, то эта вероятность снизится до 0,6. Какой тактики должен придерживаться студент, чтобы иметь наибольшие шансы успешно выполнить работу? 5. Предполагается, что вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75? 6. Из колоды в 36 карт извлекают три. Найти распределение вероятности числа тузов. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x ; 2 F(x)= cos x , x 0 ; 2 x 0. 1 , Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале ( 4 ; 0). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=5, =1, =1, =12. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-9 1. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Найдите вероятность того, что взятая на удачу деталь окажется стандартной. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-10 1. На четырёх карточках написаны числа 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что сумма чисел на трёх произвольно выбранных карточках делится на 3? 2. Из двух полных наборов шахмат наудачу извлекают по одной фигуре или пешке. Какова вероятность того, что обе фигуры окажутся слонами? 2. Контрольная работа состоит из трёх задач по алгебре и трёх задач по геометрии. Вероятность правильно решить одну задачу по алгебре равна 0.8, а по геометрии - 0.6. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из предметов? 3. Из 100 студентов, пришедших сдавать экзамен, 80 подготовились к экзамену, а 20 – нет. Вероятность того, что подготовившийся студент сдаст экзамен, равна 0,9. Аналогичная вероятность для не подготовившегося студента равна 0,05. Наудачу выбранный студент сдал экзамен. Какова вероятность того, что он к экзамену был подготовлен? 4. Игральная кость бросается 9 раз подряд. Какова вероятность того, что число очков, кратное трём, выпадет не более двух раз. Каково наиболее вероятное количество выпадений числа очков, кратного трём? Найдите соответствующую вероятность. 5. Баскетболист А забрасывает штрафной примерно с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что все 20 его бросков будут удачными? 6.Найти распределение вероятности числа выпадений герба в серии из 5 подбрасываний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; F(x)= 2 sin x , 0 x ; 6 x . 1 , 6 4. По одному и тому же маршруту в один и тот же день совершают полёт 5 самолётов. Вероятность посадки по расписании для каждого равна 0,7. Найти вероятность того, что: а) три самолёта сделают посадку по расписанию; б) хотя бы один самолёт отклонится от расписания; в) от расписания отклонятся не менее двух и не более трёх самолётов. 5. Вероятность встретить на улице своего преподавателя, допустим, 0,002. Какова вероятность того, что среди 1200 случайных прохожих вы встретите не более трёх своих преподавателей? 6. Участник лотереи из 9 номеров отмечает три. После того, как участник сдал карточку, производится розыгрыш 3-х выигрышных номеров. Найти распределение вероятности того, что будет угадано ровно k номеров. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0; 3. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? ). 12 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=3, =2, =3, =10. 0 , x 3; 4 F(x)= cos 2 x , 3 x ; 4 x . 1 , Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале ( 3 ; ). 4 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=2, =4, =6, =10. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-11 1. Участник из 49 номеров отмечает 6. После того как участник сдал карточку, производится розыгрыш 6-х выигрышных номеров. С какой вероятностью будет угадано три номера? 2. В студенческой группе 0,9 всего состава группы успешно сдали экзамен, причём 0,4 всех студентов получили отметку «отлично». Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент получил отметку «хорошо» или «удовлетворительно»? 3. В тире имеется 9 ружей, из которых пристрелянными являются только 2. Вероятность попадания в цель из пристрелянного ружья равна 0,8, а из непристрелянного – 0,1. Выстрелом из одного выбранного наудачу ружья мишень поражена. Определить вероятность того, что взято пристрелянное ружьё. 4. Контрольная работа состоит из четырёх вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан: а) на 3 вопроса; б) не менее, чем на 3 вопроса? 5. Игральная кость бросается 1200 раз. Вычислите вероятность наиболее вероятного числа выпадений шестёрки. 6. Три стрелка попадают в цель с вероятностями: первый - 0.8, второй - 0.6, третий 0.5. Построить закон распределения числа попаданий, если каждый выстрелил 1 раз. С какой вероятностью будет: а) ровно два попадания; б) не более двух попаданий. Если окажется ровно два попадания, то с какой вероятностью промахнулся первый стрелок, с какой – второй и с какой – третий? 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; F(x)= sin 2 x , 0 x ; 4 1, x . 4 Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0;/8). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=5, =4, =2, =13. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-12 1. В ящике 6 деталей, из них 3 бракованных. На удачу извлечены 2 детали. Найти вероятность того, что среди извлечённых деталей нет бракованных. 2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй экзамен - 0,85, третий - 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст не менее двух экзаменов? 3. В одной студенческой группе обучаются 24 студента, во второй – 36 студентов и в третьей – 40 студентов. По предмету «ТВ и МС» получили отличные оценки 6 студентов первой группы, 6 студентов второй группы и 4 студента третьей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим оценку «отлично». Какова вероятность того, что он учится в первой группе? 4. На пути движения автомашины 4 светофора. Каждый из них с вероятность 0,5 или разрешает или не разрешает дальнейшее движение. Какова вероятность того, что автомашина пройдёт все светофоры без остановки? 5. Игральную кость бросают 72000 раза. Какова вероятность того, что шестёрка появится не менее 12030 и не более 12110 раз? 6. При аварии могут сработать три сигнализатора с вероятностями: первый – 0.6, второй – 0.8, третий – 0.7. Построить закон распределения величины числа срабатывающих сигнализаторов при аварии. С какой вероятностью будет: а) ровно один сигнал; б) не менее одного сигнала. Если сработали ровно два сигнализатора, то с какой вероятностью не сработал первый, с какой – второй и с какой – третий? 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 3; 2 F(x)= 2 x 3 , 3 x 2 ; 2 1 , x 2. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (2,5; 3). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=8, =2, =2, =10. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-13 1. При запуске компьютер запрашивает идентификационный код, состоящий из 4 цифр. Найти вероятность того, что при произвольном наборе четырёх цифр был угадан идентификационный код. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-14 1. Участник из 9 номеров отмечает 3. После того как участник сдал карточку, производится розыгрыш 3-х выигрышных номеров. С какой вероятностью будет угадано два номера? 2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель: для первого стрелка - 0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Какова вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель? 2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в цель? 3. В группе 10 юношей, которые играют, набрасывая кольца на колышек. Для пяти из них вероятность попадания кольца на колышек равна 0,6, для трёх других – 0,5 и для остальных – 0,3. Кольцо, брошенное одним из юношей, попало на колышек. Какова вероятность того, что это кольцо было брошено юношей из первой группы? 3. В каждой из трёх корзин содержится 6 груш и 4 яблока. Из первой корзины наудачу взяли фрукт и переложили во вторую корзину, после чего из второй корзины взяли один фрукт и переложили в третью корзину. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый фрукт из третьей корзины окажется яблоком. 4. Студенту предлагается решить три наудачу выбранные задачи из списка в 40 задач. Известно, что студент умеет решать лишь 30 задач из этого списка. Какова вероятность того, что из 3-х предложенных задач студент решит 2? 4. Вероятность того, что стрелок попадёт в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина? 5. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55? 5. Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не более 17? 6. Три студента готовы сдать экзамен с вероятностями: первый и второй – по 0.8, третий – 0.5. Построить распределение величины числа студентов, сдавших экзамен. С кокой вероятностью экзамен сдаст: а) ровно один студент; б) хотя бы один студент. Если экзамен сдали ровно два студента, то с какой вероятностью его не сдал первый студент, с какой – второй и с какой третий? 6. Событие происходит в первом опыте с вероятностью 0.2, во втором – 0.4, в третьем – 0.5. Построить распределение величины числа событий в трёх опытах. С какой вероятностью в трёх опытах возможно: а) ровно одно событие; б) хотя бы одно событие. Если событие произошло ровно два раза, то с какой вероятностью оно не произошло в первом опыте, с какой – во втором и с какой в третьем? 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 2; F(x)= 0 ,5( x 2 ), 2 x 4; 1, x 4. 0 , x 0; 2 F(x)= x , 0 x 1; 1, x 1. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (2,5; 3,5). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=6, =1, =5, =8. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,25; 0,5). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=6, =2, =2, =8. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-15 1. В урне 20 белых и 5 чёрных шаров. С какой вероятностью из 3-х наугад взятых (без возвращения) шаров один – чёрный? 2. На военных учениях лётчик получил задание «уничтожить» 3 рядом расположенные склада боеприпасов противника. На борту самолёта одна бомба. Вероятность попадания в первый склад – 0.01, во второй – 0.008, в третий – 0.025. Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены? 3. Для контроля продукции из 3-х партий деталей взята для испытаний одна деталь. Какова вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других все годные? Считать, что вероятность выбора детали из каждой партии одна и та же. 4. В квартире 4 электролампочки. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется неисправной в течение года, равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придётся менять не меньше половины лампочек? 5. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830. 6. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на отлично, наудачу извлекают три работы. Составьте таблицу распределения числа работ, оцененных на «отлично» и оказавшихся в выборке. Найдите M ( X ), D( X ), (X) . 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; 1 F(x)= x 3 , 0 x 2 ; 8 1 , x 2. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1,5). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=0, =1, =1, =4. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-16 1. 100 участников соревнования при жеребьёвке тянут из ящика жетоны с номерами. Вычислить вероятность того, что номер, взятый первым участником, не содержит цифры 5. 2. Стрелок ведёт огонь по цели, движущейся на него. Вероятность попадания в цель-при первом выстреле равна 0,4 и увеличивается на 0,1 при каждом последующем выстреле. Какова вероятность получить два попадания при трёх независимых выстрелах? 3. Для сдачи зачёта студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 – на 25 вопросов, 5 – на 20 вопросов и двое на 15 вопросов. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос? 4. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) 2 мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трёх мальчиков. 5. Вероятность того, что саженец ёлки приживётся и будет успешно расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев. Какова вероятность того, что нормально вырастет не менее 250 деревьев? 6. Из 15 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 15, наудачу извлекаются 3 жетона. Составьте таблицу распределения вероятностей для числа выбранных жетонов, номера которых кратны пяти. . Найдите M ( X ), D( X ), (X) . 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; 1 cos x , 0 x ; F(x)= 2 1 , x . Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале ( ; ). 4 2 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=1, =2, =0.5, =3. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-17 1. На пяти карточках написаны буквы «О», «П», «Р», «С», «Т». Вычислить вероятность того, что при случайном взятии по одной карточке без возвращения из поочерёдно появившихся букв сложится слово «СПОРТ». СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-18 1. Замок камеры хранения имеет четыре наборных диска с цифрами от 0 до 9 каждый. Вычислить вероятность того, что замок откроется при наборе случайного четырёхзначного числа. 2. В ящике а белых и в чёрных шаров. Последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба они белые? Чёрные? 2. Из 60 экзаменационных вопросов студент подготовил 50. Какова вероятность того, что в вынутом студенческом билете, состоящем из 2-х вопросов, оба вопроса будут ему известны? 3. В белом ящике лежат 12 красных и 6 синих одинаковых на ощупь шаров. В жёлтом ящике лежат 15 красных и 10 синих одинаковых на ощупь шаров. Бросается игральная кость. Если выпавшее число очков кратно трём, то наудачу вынимают шар из белого ящика. Если число выпавших очков не кратно трём, то наудачу вынимают шар из жёлтого ящика. Какова вероятность вынуть красный шар? 4. Всхожесть данной партии семян некоторого растения составляет 90%. Найдите вероятность того, что из 4 посеянных семян взойдут: а) 3; б) не менее 3. 5. Электростанция обслуживает сеть с 6000 лампочек, вероятность включения каждой из которых за время t равна 0,8. Найдите вероятность того, что одновременно будет включено не менее 4750 лампочек. 6. В шкафу находится 9 приборов. Из них 5 новых и 4 бывших в употреблении. Из шкафа наудачу извлекают 4 прибора. Случайная величина Х – число новых приборов среди вынутых приборов. Постройте ряд распределения случайной величины Х . Найдите M ( X ), D( X ), (X) . 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 1; x 1 F(x)= , 1 x 3; 2 1 , x 3. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (2,5; 3,5). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=1, =2, =0, =3. 3. Студент знает ответы на 15 экзаменационных билетов из 20. В каком случае он имеет большую вероятность сдать экзамен, если он идёт отвечать первым или если – вторым? 4. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8? 5. 80% изделий, поступающих в магазин со склада, высшего сорта. Сколько изделий придётся взять наугад со склада для контрольной проверки, чтобы с вероятностью 0,99 можно было бы утверждать: в магазине изделий высшего сорта от 75% до 85%? 6. Вероятность того, что при трёх выстрелах стрелок попадёт в цель хотя бы один раз, равна 0,992. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа Х попаданий при 20 выстрелах. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 2; F(x)= ( x 2 ) 2 , 2 x 3 ; 1 , x 3. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (2,5; 3,5). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=0.5, =1, =0, =2. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-19 1. Из колоды в 36 карт берут наугад две карты. Найти вероятность того, что обе они не пики. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-20 1. Фирма имеет 36 контрагентов, из них 18 поставщиков и 18 клиентов. Выбираются наугад два контрагента. Найти вероятность того, что наугад выбранные два контрагента – поставщики. 2. В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и одной задаче. Всего составлено 28 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Студент подготовил только 50 теоретических вопросов и сможет решить задачи к 22 билетам. Какова вероятность того, что вынув наудачу один билет, студент ответит на все вопросы? 2. Из колоды в 36 карт наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что: а) вынуты два валета; б) вынут валет и дама. 3. По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолёт сбивается с вероятностью 0,3, при двух - с вероятностью 0,6 и при трёх сбивается наверняка. Какова вероятность сбить самолёт? 3. В продажу поступают телевизоры трёх заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего – 5%. Определить вероятность приобретения исправленного телевизора, если в магазин поступили 30 телевизоров с первого завода, 20 –со второго и 50 – с третьего. 4. Вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 1/8. Какова вероятность того, что из 12 выстрелов не будет ни одного попадания? 4. По цели производится шесть независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле р=0,75. Вычислите: а) вероятность ровно пяти попаданий; б) вероятность не менее пяти попаданий; в) вероятность менее пяти попаданий. 5. Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдёт на пяти веретенах? 6. Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа произведённых выстрелов. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 1; 3 F(x)= ( x 1 ) , 1 x 2 ; 1 , x 2. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (1,5; 3,5). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=1, =1, =0, =3. 5. Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0,015. Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке, выбранной наудачу, не окажется ни одного бракованного сверла. 6. Рассматривается работа трёх независимо работающих технических устройств (ТУ). Вероятность нормальной работы первого ТУ равна 0.2, второго – 0.4, третьего – 0,5. Постройте закон распределения числа работающих ТУ. Найдите M ( X ), D( X ), (X) . 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 1; 3 F(x)= ( x 1 ) / 26 , 1 x 3 ; 1 , x 3. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (1,5; 3,2). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=1.5, =1, =0.5, =2.5. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-21 1. В саду растут яблони 4 сортов. Сколькими способами можно выбрать 7 яблок? (120) 2. Вероятность того, что початки кукурузы имеют 12 рядов, равна 0,49, 14 рядов – 0,37, от 16 до 18 рядов – 0,14. Какова вероятность того, что наудачу выбранный початок будет иметь 12 или 14 рядов? 3. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной? 4. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины? Предполагается, что в городе число мужчин равно числу женщин. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-22 1. В кортеже участвуют 10 автомобилей: 7 – отечественных и 3 – иномарки. Сколько разных кортежей из этих автомобилей может быть, если иномарки не следуют друг за другом? 2. Из колоды в 36 карт наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что: а) вынуты два валета; б) вынуты валет и дама. 3. Имеются пять винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, без оптического прицела – 0,8. Найдите вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки. 4. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Сколько надо 5. Вероятность попадания в мишень 0,3. Какова вероятность того, что при 84 выстрелах произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,99 в мишени была произойдёт 21 попадание? хотя бы одна пробоина? 6. В коробке 7 карандашей, из которых 4 карандаша синие. Наудачу извлекают 3 карандаша. Какой закон распределения вероятностей имеет случайная величина, означающая число извлечённых синих карандашей. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; 2 F(x)= x , 0 x 1 ; 1 , x 1. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=10, =4, =2, =13. 5. Известно, что 40 % автомобилей, следующих по шоссе, у развилки поворачивают направо, 60 % – налево. Какова вероятность того, что из 400 автомобилей, проехавших по шоссе, ровно 250 повернули налево? 6. Вероятность приёма самолётом радиосигнала при каждой передаче равна 0,7. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа принятых сигналов при шестикратной передаче. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; 3 F(x)= x , 0 x 1 ; 1 , x 1. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=8, =1, =4, =9. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-23 В-24 1. В студенческой группе 30 человек. Из них 25 студентов изучают английский язык, 10 1. В студенческой группе 30 человек. Из них 25 студентов изучают английский язык, 10 – немецкий язык и 3 – французский. Сколько человек не изучает ни одного иностранного – немецкий язык и 3 – французский. Сколько человек изучает только один иностранный языка, если 8 студентов изучают английский и немецкий, 2 – английский и французский, 2 – язык, если 8 студентов изучают английский и немецкий, 2 – английский и французский, 2 – немецкий и французский и 1 – все три языка? немецкий и французский и 1 – все три языка? 2. Из 60 экзаменационных вопросов студент подготовил 50. Какова вероятность того, что в вынутом студенческом билете, состоящем из 2-х вопросов, оба вопроса будут ему известны? 3. Стрельбу в цель ведут 10 солдат. Для пяти из них вероятность попадания 0,6, для трёх – 0,5 и для остальных – 0,3. Какова вероятность поражения цели всеми 10 солдатами одновременно? 4. Событие А происходит с вероятностью ¼. Опыт повторяли независимым образом 8 раз. Найдите вероятность того, что: а) событие А при этом произойдёт не более 2 раз; б) событие А при этом произойдёт хотя бы 2 раза. 2. Из 30 учащихся спортивной школы 12 человек занимаются баскетболом, 15 – волейболом, 5 – волейболом и баскетболом, а остальные – другими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только волейболом или только баскетболом. 3. По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолёт сбивается с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью 0,6 и при трёх сбивается наверняка. Какова вероятность сбить самолёт? 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле из винтовки равна 0,4. Определить вероятность того, что при четырёх выстрелах будет не менее трёх попаданий. 5. Монета бросается 400 раз. Чему равна вероятность того, что герб появится 206 раз? 5. Известно, что вероятность прорастания семян данной партии пшеницы 0,95. Сколько семян следует взять из этой партии, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100? 6. Из партии в 10 деталей, среди которых две бракованные, наудачу выбирают три детали. Составьте таблицу распределения вероятностей числа бракованных деталей среди выбранных деталей. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 1; 2 x x F(x)= , 1 x 2; 2 x 2. 1 , Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (1,5; 2). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=6, =3, =2, =11. 6. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов, ведёт огонь по мишени до первого попадания или до полного расхода всех патронов. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа израсходованных патронов. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; F(x)= 2 1 3 x 2 x , 0 x ; 3 1 1, x . 3 Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет 1 значение в интервале (0; ). 6 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=4, =5, =2, =11. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-25 1. В лотерее «Спортлото» 6 из 49 выигрыш пал на шесть не стоящих рядом цифр. Сколько карточек нужно заполнить, чтобы выиграть наверняка? СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-26 1. В экзаменационном билете 3 вопроса программы. Сколькими способами можно составить билет, если в программе 30 вопросов? 2. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0.2, вероятность выхода из строя второго элемента равна 0.3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать. 2. Игральную кость бросают трижды. Какова вероятность того, что цифра 5 выпадет три раза? 3. В мае вероятность дождливого дня равна 0,2. Для некоторой футбольной команды вероятность выиграть в ясный день равна 0,7, но зато в дождливый день эта вероятность равна лишь 0,4. Известно, что команда выиграла матч. Какова вероятность того, что в этот день шёл дождь? 4. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найдите наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 7. Чему равна соответствующая вероятность? 5. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Что вероятнее: отказ четырёх приборов при испытании 20 или отказ шести приборов при испытании 30, если приборы испытываются независимо друг от друга? 6. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составьте закон распределения случайной величины Х, равной числу студентов в наугад выбранной группе. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 3. На участке 6 автоматических и 4 полуавтоматических станка изготовляют детали на общий конвейер. Вычислить вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь стандартна, если автоматический станок даёт 95%, а полуавтоматический – 90% стандартных деталей. 4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,85. Стрелок сделал 25 независимых выстрелов. Найдите наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность. 5. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии превысит суточную норму, равна 0,2. Какова вероятность того, что за 25 рабочих дней будет зафиксирован перерасход электроэнергии: а) в течение пяти дней; б) от пяти до семи дней включительно? 6. При аварии могут сработать три сигнализатора с вероятностями: первый – 0.6, второй – 0.8, третий – 0.7. Построить закон распределения величины числа срабатывающих сигнализаторов при аварии. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 2; x F(x)= 1 , 2 x 4 ; 2 1 , x 4. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (3; 4). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=2, =5, =4, =9. 0 , x 0; 2 x F(x)= , 0 x 3; 9 1 , x 3. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=9, =5, =5, =14. СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-27 1. За круглым столом сидят 10 акционеров предприятия. Сколькими способами можно выбрать председателя, его заместителя и секретаря собрания, если они не должны сидеть рядом? СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» В-28 1. Семь человек взяли из колоды по одной карте. Затем все эти карты перемешали и раздали снова. Сколько существует вариантов раздачи, в которых ни один не получил ту же карту, которую вытащил в начале? 2. Производится 4 независимых выстрела. Вероятность поражения цели стрелком при каждом из выстрелов равна 0,9. Найти вероятность того, что первые два выстрела будут попаданиями, а последующие –промахи? 2. Известно, что при каждом измерении равновероятна как положительная, так и отрицательная ошибка. Какова вероятность того, что при трёх независимых измерениях все ошибки будут положительными? 3. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найдите вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед. 3. Перед эпидемией гриппа 90% студентов были привиты против гриппа. Число заболевших среди привитых составляет 1%, среди не привитых – 81%. Студент заболел гриппом. Какова вероятность того, что он не сделал прививку? 4. При высаживании не пикированной рассады помидоров приживается только 80% растений. Найдите вероятность того, что из десяти посаженых кустов помидоров приживутся не менее девяти. 5. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найдите вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков. 6. Три стрелка попадают в цель с вероятностями: первый – 0.8, второй – 0.6, третий – 0.5. Построить закон распределения величины попаданий, если каждый выстрелил 1 раз. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x 0; 2 x F(x)= , 0 x 2; 4 1 , x 2. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (0,5; 1). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=7, =2, =3, =10. 4. Контрольная работа состоит из 6 задач, причём для успешного её выполнения необходимо решить любые четыре задачи. Если студент будет решать в течение отведённого времени лишь 4 задачи, то вероятность правильного решения любой из них равна 0.8. Если он попробует решить 5 задач, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,7, а если он возьмётся за решение всех шести задач, то эта вероятность снизится до 0,6. Какой тактики должен придерживаться студент, чтобы иметь наибольшие шансы успешно выполнить работу? 5. Предполагается, что вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75? 6. Из колоды в 36 карт извлекают три. Найти распределение вероятности числа тузов. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 7. Случайная величина Х задана функцией распределения: 0 , x ; 2 F(x)= cos x , x 0 ; 2 x 0. 1 , Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале ( 4 ; 0). 8. Известны математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность. m=5, =1, =1, =12.
