Рязанов Г.А. Опыты и моделирование при изучении электромагнитного поля

Г. А. Р Я З А Н О В ОПЫТЫ И М О Д ЕЛ И РО ВАН И Е ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 19 6 6 537 Р99 УДК 538.0 (0.22+075.8) АННОТАЦИЯ Моделирование электромагнитного поля с помощью электро проводной бумаги должно найти широкое применение в учебном процессе. Книга является первым систематическим изложением этого вопроса. Она содержит элементы теории стационарных электри ческих полей в проводящей среде, основы математического моде лирования физических полей по методу сплошных сред, описание измерительных схем и указания по технике эксперимента. В ней приводятся многочисленные примеры и в том числе новые способы электрического моделирования в гидромеханике. К книге приложены листы электропроводной бумаги, с помощью которых читатель может сам поставить ряд интересных опытов. Книга рассчитана на студентов, аспирантов и преподава телей физики. Она будет полезна широкому кругу инженеров и научных работников, интересующихся вопросами электриче ского моделирования. Рязанов Георгий Александрович ОПЫТЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ М., 1966 г., 208 стр. с илл. Редактор Смолянский М. Л. Техн. редактор Шкляр С. Я . Художник Максимов Н. И. Корректор Плетнева Т. С. Сдано в набор 8/1Х 1965 г. Подписано к печати 3/111 1966 г. Бумага 70хЮ81/1в. Физ печ л. 13+8 вкл. и 0,5 вкладка. Условн. печ. л. 19,60. Уч.-изд. л. 16,87. Тираж 10 000 экз Т-01499. Цена книги 82 коп. Заказ № 1302. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Московшая типография М 16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9 П реди слови е.......................................... 5 Глава 7 I. Электрическое п о л е .......................................................................................... § 1. Электрическое поле и з а р я д ы ................................................................ § 2. Основные электрические в е л и ч и н ы ........................................................ § 3. Граничные условия п о л я .............................................................................. § 4. Подобие электрических п о л е й ..................................................................... Гл ава 7 8 18 20 II. Плоскопараллельное электрическое п о л е ........................................... 23 § 5. Теорема Гаусса для плоскопараллельного п о л я ............................... § 6 . Электрическая функция п о т о к а ................................................................. § 7. Дуальность плоских п о л е й .......................................................................... 23 26 31 Глава III. Стационарное электрическое п о л е ........................................................ § 8 . Стационарное электрическое поле в однородном проводнике . . . § 9. Стационарные электрические з а р я д ы ....................................................... § 10. Стационарное электрическое поле в зонально неоднородной прово дящей ср ед е........................................................................................................... § 11. Плоскопараллельное стационарное электрическое п о л е ................. $ 12. Стационарное электрическое поле в зонально неоднородной пластине Глава 35 35 37 41 50 58 IV. Измерение стационарных электрических п о л е й ................................... 62 § 13. Применение электропроводной б у м а г и .................................................... § 14. Прямые измерения в стационарном электрическом поле . . . . § 15. Демонстрационные опыты, основанные на прямых измерениях ста ционарного электрического п о л я ............................................................ § 16. Измерения стационарного электрического поля с помощью компен сационной с х е м ы .............................................................................................. § 17. Применение мостовой с х е м ы ........................................................................ § 18. Построение полной сетки п о л я .................................................................... § 19. Определение сопротивления пластин по сетке п о л я ......................... § 20. Упрощенные модели при изучении симметричных полей . . . . § 21. Безынерционные индикаторы н а п р я ж е н и я ........................................... § 22. Применение лабораторных приборов ................................................... § 23. Демонстрационный с т е н д ............................................................................. 62 65 Глава V. Моделирование плоскопараллельных полей § $ § $ § § 24. 25. 26. 27. 28. 29. § $ § $ $ $ $ $ 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. Выполнение простейших граничных условий на внешнем контуре Применение обращенных м о д е л е й .............................................. 91 Задание на внешнем контуре промежуточных потенциалов . . . . Реализация на контуре функционального распределения потенциала Реализация заданного распределения функции п о т о к а ........ 102 Реализация на контуре функционального распределения нормаль ной составляющей вектора Е ..................................................................... Реализация заданного распределения функции п о т о к а ....... 110 Обращенная модель поля в зонально неоднородной среде . . . . Сложение и вычитание полей по способу М а к с в е л л а ....... 118 Сложение и вычитание полей на электрических моделях . . . . Наложение граничных у с л о в и й ................................................... 121 Выделение наведенного п о л я .................................................................... Моделирование бесконечно протяженных п о л е й .................................. Моделирование осесимметричных п о л е й .................................................. 68 75 76 78 81 82 84 85 86 88 88 94 98 106 114 119 123 126 129 Глава VI. Моделирование электростатических п о л е й ....................................... § 38. Моделирование электростатических полей с помощью стационарного электрического п о л я .......................................................................................... § 39. Поле системы заряженных проводников с общим зарядом, равным нулю (внешняя краевая з а д а ч а ) ............................................................ § 40. Поле, возникающее при контакте разнородных металлов (явление контактной разности потенциалов)............................................................ § 41. Поле системы проводников, общий заряд которых отличен от нуля § 42. Проводники во внешнем п о л е .................................................................... $ 43. Выделение поля индуцированных зарядов методом вычитания полей § 44. Реализация граничных условий индуцированного п ол я ...................... § 45. Электронные л и н з ы ...................................................................................... § 46. Диполь во внешнем однородном п о л е ........................................................ § 47. Электростатическое поле в неоднородном д и эл е к т р и к е .................. Глава V II. Моделирование стационарных электрических полей . . $ 48. Стационарное электрическое поле внутри проводников.................. $ 49. Внешнее стационарное электрическое п о л е ........................................... $ 50. Моделирование электрической ц е п и .................................................... Глава $ § § $ V III. Моделирование в гидромеханике с применением стационар ного электрического п о л я .............................................................................. 51. 52. 53. 54. $ 55. § 56. § 57. $ 58. § 59. § 60. § 61. § 62. Физическое и математическое м о д ел и р о в а н и е................................... Прямая электрогидродинамическая аналогия (ЭГД А ).......................... Косвенная электрогидродинамическая а н а л о г и я ................................... Моделирование потока, вызванного поступательным движением профиля ................................................................................................................ Модель, позволяющая имитировать движение профиля в разных н а п р а в л е н и я х ................................................................................................... Определение присоединенных м а с с ............................................................ Моделирование потока, вызванного вращательным движением про филя ...................................................................................................................... Определение присоединенных моментов и н е р ц и и .............................. Моделирование нестационарного обращенного п о т о к а .................. Моделирование обращенного потока при движении тела вблизи сво бодной поверхности (плоская з а д а ч а )........................................................ Электрогидродинамическая аналогия при решении задач теории ф и л ь т р а ц и и ................. ..................................................................................... Некоторые практические у к а з а н и я .......................................................... 133 133 133 137 138 140 142 143 145 148 149 152 152 155 157 160 160 161 167 169 174 175 177 181 182 187 189 190 Л и т е р а т у р а ................................................................................................................................. 192 П р и л о ж ен и е................................................................................................................................ 193 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая вниманию читателей книга посвящена физическому и математическому моделированию, основанному на измерениях стацио нарного электрического поля в проводящих листах. Стационарное электрическое поле в листе электропроводной бумаги (или фольги), являясь физической моделью плоскопараллельного ста ционарного электрического поля, вместе с тем может служить математи ческой моделью электростатического поля и внешнего стационарного электрического поля, окружающего проводник, несущий ток. Математи ческое моделирование является здесь продолжением эксперимента новыми средствами, основанными на знании уравнений поля, и задача книги — познакомить читателя с его возможностями. С помощью электропроводной бумаги и простых приборов можно продемонстрировать главные закономерности потенциального поля, исследовать конфигурацию полей, применяемых в электронной оптике, изучить внешнее стационарное электрическое поле и т. п. Эти количе ственные опыты дополняют общеизвестные демонстрации электростатиче ских полей и позволяют лучше понять сущность электромагнитных явле ний на основе теории поля. Стационарное электрическое поле в проводящем листе может слу жить математической моделью поля скорости в плоском потоке жидкости, поля градиента температуры в тепловом потоке и некоторых других физических полей, имеющих неэлектромагнитную природу. Эти поля описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и подоб ными граничными условиями, что лежит в основе одного из направлений вычислительной техники. Математическое моделирование физических полей методом сплош ных сред получает широкое распространение в научных исследованиях и должно найти свое отражение в курсах физики и электротехники. В качестве примера в книге рассматривается метод электрогидродинамической аналогии. Поскольку основные понятия теории электромаг нитного поля имеют гидромеханическое происхождение, то этот вопрос представляет для физика особый интерес. Сопоставляя свойства элект рического поля и потока жидкости, лежащие в основе их математи ческой аналогии, можно глубже понять физическую природу электро магнитного поля. Вместе с тем систематическое изложение физических основ математического моделирования с применением стационарного электрического поля будет полезно и гидромеханикам. Книга содержит описание многочисленных демонстраций по теории электромагнитного поля, предназначенных для физических факультетов университетов и педагогических институтов. Они могут быть показаны на лекции, на занятиях кружка или послужить темой для лабораторных работ. Значительная часть материала может быть использована во вту зах и даже в школе. Некоторые демонстрации могут быть использованы в курсах гидромеханики. В первых двух главах напоминаются основные понятия теории элек тростатического поля, закономерности плоскопараллельного поля и прин цип дуальности плоских полей. Третья и четвертая главы посвящены физике стационарного электрического поля в проводящей среде и методике измерений. Особое внимание уделяется понятию о стационарных элек трических зарядах, позволяющему физически интерпретировать гранич ные условия поля. Описываются демонстрационные установки и опыты, иллюстрирующие основные понятия теории поля. Пятая глава содержит основы математического моделирования пло ских полей. В ней изложены способы реализации различных гранич ных условий поля, метод обращенных моделей, сложение и вычитание полей, моделирование бесконечно протяженных полей и т. д. Там же рассматривается моделирование осесимметричных полей с применением слоистых моделей. В шестой главе приведены многочисленные примеры моделирования электростатического поля, в седьмой — опыты по моделированию стацио нарного электрического поля внутри проводящей среды и в окружаю щем ее пространстве, включая опыты с полосками электропроводной бумаги, иллюстрирующие законы электрической цепи. Восьмая глава посвящена электрическому моделированию физиче ских полей, имеющих неэлектромагнитную природу. В ней излагается методика моделирования потоков жидкости и в том числе ряд новых способов электрического моделирования, предложенных автором. Она должна заинтересовать научных работников и инженеров, занимающихся математическим моделированием в гидромеханике. Приведенные расчеты физик может опустить. Описанные в книге установки были разработаны в лаборатории электрического моделирования Ленинградского института водного транспорта; демонстрационные плакаты построены на основе опытных данных, полученных студентами. Часть из них демонстрировалась на первой межвузовской конференции по физическим демонстрациям в МГУ (1961 г.), на четвертой межвузовской научной конференции по примене нию методов подобия, физического и математического моделирования в различных отраслях техники в МЭИ (1962 г.) и на ВДНХ (1962 г.). В книге рассматриваются только потенциальные поля. Физическое и математическое моделирование квазистационарного электромагнитного поля с применением переменных магнитных полей разной частоты и вих ревого электрического поля, а также основанные на них способы матема тического моделирования в гидромеханике и в теории упругости явятся предметом специальной монографии «Электрическое моделирование с при менением вихревых полей», которая выйдет в 1967 г. Там же будет рас смотрено моделирование вихревых полей с применением стационарного электрического поля. Пользуясь случаем, автор приносит благодарность И. М. Гражданову; А. О. Дитману, П. С. Мартыненко, Н. И. Матисен, С. М. Филатову и Н. М. Швец, принимавшим участие в постановке опытов. Автор выражает также искреннюю признательность Н. Н. Малову и А. В. Тиморевой за ценные советы, которые способствовали улуч шению книги. Г. Рязанов § 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЗАРЯДЫ 1. Электрический заряд. В книге рассматривается электрическое поле, строение которого определяется расположением и величиной элек трических зарядов, и мы начнем с определения этого понятия. В классической физике понятие электрического заряда отражает взаимосвязь между двумя видами материи: веществом, имеющим дискрет ное строение, и электромагнитным полем, обладающим непрерывным распределением в пространстве. Если электромагнитное поле не связано с веществом (свободные электромагнитные волны), то при его рассмотре нии понятие электрического заряда не возникает *). Но если эти два вида материи взаимодействуют и взаимно определяют друг друга, то описание поля всегда приводит к понятию заряда. Поле может существо вать без зарядов, но зарядов без поля не бывает. Электрический заряд элементарной частицы (если она им обладает) — ее неотъемлемое свойство, заключающееся в том, что элементарная части ца всегда окружена связанным с ней электрическим полем и испытывает со стороны внешнего электрического поля механическое воздействие. Обозначая тем же термином (зарядом) физическую величину, характери зующую это свойство частицы, мы называем заряд константой ее связи с полем. Существование элементарного заряда отражает дискретность вещества. В отличие от элементарного заряда, макроскопический заряд является свойством, которое тело может как приобрести, так и утратить. Макро скопический заряд возникает вследствие перераспределения элементар ных заряженных частиц и имеет статистический характер. Говоря о расположении зарядов (свободных или связанных), мы имеем в виду распределение избыточных заряженных частиц или тех заряженных частиц, которые входят в состав вещества. Движение макро скопических зарядов всегда обусловлено движением элементарных частиц, которые входят в состав вещества, но не тождественны ему. Напомним, что ничтожное смещение свободных электронов в проводнике длиною в сотни километров вызывает перенос заряда с одного его конца на другой. Замечательно, что в области макроскопических явлений взаимосвязь поля и вещества проявляется в форме, отвечающей старым представле ниям о заряде как о некой электрической жидкости. Понимая, что заряд не является каким-либо третьим видом материи, мы говорим о распреде лении зарядов, об их движении и т. п. так, как если бы они являлись особой субстанцией. Имея в виду взаимосвязь поля и вещества, мы гово *) Мы отвлекаемся от процесса излучения и поглощения электромагнитных волн. рим о связи между полем и зарядами. Эта абстракция отражает природу явлений. Представление о распределении зарядов дополняет картину строе ния поля и позволяет сформулировать закономерности его взаимосвязи с веществом. 2. Электростатическое поле. Если существование электрического поля в присутствии вещества не связано с движением зарядов и не сопрово ждается превращением энергии, то поле называют электростатическим. В этом случае принято говорить о равновесии между полем и зарядами или о равновесии зарядов. Зная величину и расположение электрических зарядов, можно рас считывать напряженность связанного с ними электростатического поля. В этом смысле заряды «создают» поле, являются его «источниками». В свою очередь строение электрического поля позволяет найти распре деление зарядов, и тогда их присутствие рассматривается как следствие существования поля. В действительности заряды тел и окружающее их электростатическое поле возникают одновременно, в результате про цесса, вызывающего перераспределение элементарных заряженных частиц. Они взаимно определяют друг друга, а причинно-следственная связь, в которой мы их рассматриваем, зависит от постановки физической задачи. Так как в проводящей среде электрическое поле вызывает направ ленное движение заряженных частиц, то очевидно, что в условиях равно весия оно не проникает внутрь проводника. Это определяет строение электростатического поля вблизи проводников и исключает существо вание внутри них электрических зарядов. Скопление заряженных частиц, вызывающее появление макроскопического заряда, возможно только на поверхности проводника. 3. Стационарное электрическое поле. Возникновение постоянного тока означает, что равновесие между электрическим полем и веществом нарушено и внутри проводника существует электрическое поле. Направ ленное движение носителей заряда вызывает перенос заряда вдоль про водника и скопления зарядов на его поверхности (§ 9, п. 2), в то время как само вещество проводника (если оно однородно) остается нейтральным. Электрическое поле, существующее внутри проводника, по которому течет ток, и в окружающем его пространстве (§ 9, пп. 2, 3), называется стационарным. Так же как электростатическое поле, оно не изменяется во времени и зависит только от распределения зарядов. Заряды, опреде ляющие его конфигурацию, появляются при установлении тока (§ 9, п. 2 ), являясь одновременно причиной и следствием существования ста ционарного электрического поля. Несмотря на то, что стационарное электрическое поле описывается уравнениями электростатики, оно органически связано с магнитным по лем, окружающим ток. Его существование сопровождается превращением энергии электромагнитного поля во внутреннюю энергию вещества и является одной из сторон сложного электромагнитного процесса. Представ ление о зарядах служит здесь физической интерпретацией граничных условий поля на поверхности проводника (или на границе раздела двух проводящих сред), и мы будем широко пользоваться этим понятием. § 2. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ Напомним читателю некоторые закономерности электростатическо го поля. 1. Напряженность поля точечного заряда. Из закона Кулона следует, что напряженность поля точечного заряда у в однородном диэлектрике равна где г — радиус-вектор, проведенный от заряда д в рассматриваемую точку поля, а е — диэлектрическая проницаемость, равная произведению безразмерной относительной диэлектрической проницаемости (ег) на электрическую постоянную (е0) *): (2 .2 ) е = еге0. Если поле создано системой точечных зарядов, то по свойству нало жения полей его напряженность равна геометрической сумме напряжен ностей, созданных каждым из этих зарядов в отсутствие других: Е = Е± Е2 Е3 (2.3) Прирассмотрении поля, образованного объемным зарядом, про странство, занимаемое зарядом, разбивают на стольмалыеэлементы, что их заряды можно считать точечными, и по формуле (2 . 1 ) находят элементарные напряженности поля, которые суммируются согласно (2.3). 2. Электрические силовые линии. Направленная кривая, касатель ные к которой указывают направление вектора Е , называется электриче ской силовой линией, линией напряженности или линией вектора Е и опи сывается уравнением _ йг / 9 /х Ех ~ Еу - Ег ' ^ Л) Совокупность линий напряженности позволяет судить об изменении направления и величины вектора Е в пространстве, характеризует строе ние электрического поля, или иначе — его конфигурацию. Внутри обла сти, не имеющей особых точек (т. е. точек, где напряженность равна нулю) и не содержащей границы двух диэлектриков, электрические силовые линии — плавныекривые. Они не имеют изломов илиразветвлений, не пересекаются, ичерезкаждую точку поля можнопровести только одну силовую линию. Примером особой точки поля может служить середина отрезка между двумя равными одноименными точечными зарядами. В ней сходятся две силовые линии, совпадающие с прямой, проходящей через эти заряды, и из нее выходит пучок силовых линий, лежащих в плоскости симме трии поля, нормальной к указанной прямой. В электрическом поле, созданном зарядами, не может быть замкнутых силовых линий, так как это противоречило бы закону сохранения энергии. Действительно, переместив заряд по замкнутому пути, поле совершило бы работу, не изменившись само и не вызвав изменений среди окружающих тел. Если поле создано зарядами, то силовые линии либо начинаются и оканчиваются на них, либо, начинаясь на зарядах, уходят в беско нечность, либо начинаются или оканчиваются в особых точках поля. В электростатическом поле касательная составляющая вектора Е на поверхности проводника равна нулю: Д, = 0, (2.5) и, следовательно, силовые линии нормальны к ней. 3. Поток вектора Е . Теорема Гаусса. Вектор 2 >. Проведем в электри ческом поле произвольную поверхность 5 , ограниченную контуром Ьу *) е0 = 8,854-10-1= и зададим на этом контуре произвольное направление. Условимся счи тать положительным то направление нормали к элементу поверхности (181 которое образует с выбранным направлением правый винт (рис. 1 ); обозначим проекцию вектора Е на это направление через Е п. Проинте грировав выражение Епй8 по всей поверхности 5, мы получим величину, суммарно характеризующую поле на этой поверхности, называемую потоком (УУ) вектора Е : N = ^ Епй8 . ( 2 .6) Если число силовых линий, пересекающих единицу поверхности, расположенной нормально к ним, будет всюду равно соответствующей напряженности поля, то общее количество силовых линий, проходящее через поверхность 5, будет равно потоку вектора Е через эту поверх ность. При этом силовые линии, направленные в сторону положи тельной нормали, считаются положи тельными, а линии, направленные в обратную сторону, — отрицатель ными.' Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора Е через любую замк нутую поверхность в вакууме опре деляется только алгебраической сум мой зарядов, расположенных внутри Рис. 1. К определению потока вектора Е этой поверхности: через поверхность, опирающуюся на контур Ь. Положительная внешняя нор маль образует с направлением контура правый винт. § Е п<15 = ± % ° Я1. (2.7) * Хотя поле внутри замкнутой поверх ности существенно зависит от величины и расположения внешних зарядов, но на общий поток вектора Е эти заряды не влияют. Соотношению (2.7) можно придать более общий вид, выразив заряды через объемную плотность ^ Е п аз = ^ - ^ д я ау, 8 ' (2.8) V где интегрирование в правой части производится по всему объему, огра ниченному замкнутой поверхностью 5. Если поле обладает симметрией, то вычисление потока вектора Е упрощается и теорема Гаусса приводит к соотношению между зарядами и напряженностью. Пользуясь теоремой Гаусса, можно получить формулы для вычис ления напряженности ряда конкретных полей, например поля вблизи равномерно заряженной бесконечной плоскости: Е= 2е0, ’ (2.9) где а — поверхностная плотность заряда; вблизи равномерно заряженной бесконечной нити: * (2.10) , Е - ^ ------2 яе0г ’ где х — заряд, приходящийся на единицу длины, а г — расстояние от нити, й т. д. При наличии диэлектриков в алгебраическую сумму зарядов, стоя щую в правой части формулы (2.7), кроме свободных зарядов, входят еще и связанные заряды (д'), возникающие при поляризации вещества: $ Я ,Д $ = ^ - 2 (И + №). 8 ° *, к (2 . 1 1 ) Поскольку величина этих зарядов зависит от конфигурации поля, то соотношение (2.11) не имеет практического значения. Если диэлек трик однороден и заполняет все пространство, в котором локализовано поле, то связанные заряды возникают только на поверхности заряжен ных тел и, не изменяя конфигурации поля, лишь ослабляют его в ег раз *). В этом случае нужно в правой части (2.7) заменить величину е0 на е — диэлектрическую проницаемость вещества: § Е Я0 5 = 4 2 ? ь 8 <2-12) I где под знаком суммы по-прежнему стоят только свободные заряды. Соответственно этому (2 .8 ) принимает вид = 1 8 (2.13) V Введение вектора электрической индукции 1 ), определяемого фор мулой П = гЕ , (2.14) позволяет обобщить теорему Гаусса на случай поля в неоднородном диэлектрике: $ /)„« * $ = 2 И8 I (2.15) Соотношения (2.7) и (2.15) выражают в интегральной форме связь между строением электрического поля и распределением зарядов: пер вое — непосредственно, второе — с помощью вспомогательной расчетной величины I). 4. Дивергенция вектора Е . Вторая теорема Гаусса. Выделим в вакууме достаточно малый макроскопический объем А Г и применим к ограничи вающей его поверхности теорему Гаусса (2.8): $ *$ = - ! - веАЕ, 8 где (>д — среднее значение объемной плотности заряда, откуда ® АЕ - 9я во • (2.16) Предел отношения, стоящего в левой части этого равенства, при стремлении объема А Г к нулю и стягивании ограничивающей его поверх ности в точку называется дивергенцией вектора Е : <$>Еп Ж9 апг Е = 11т § . ДУ->0 (2.17) ♦) Связанные заряды как бы уменьшают величину свободных зарядов в ег раз. Эта величина является пространственной производной вектора Е — она характеризует его изменение в окрестности точки. В декартовых координатах сНу Е находится по формуле: *У Е = ^ + д - ^ + ° ^ . (2.18) Воспользуемся понятием дивергенции вектора и перепишем (2.16): (Ну 2 2 = — (),, (2.19) е0 где — значение объемной плотности зарядов в данной точке. Анало гично (2.19), в неоднородном диэлектрике имеет место соотношение: (Иу2 ) = рд. ( 2 .2 0 ) Понятие дивергенции математически определяет смысл, вкладывае мый в понятие источника векторного поля: отыскание источников элек трического поля сводится к пространственному дифференцированию его напряженности. Заметим, что (Ну X) отлична от нуля лишь в области, где расположены свободные заряды; связанные заряды не являются источниками поля этого вспомогательного вектора. Дифференциальное соотношение (2.19) является наиболее общим количественным выражением взаимосвязи между полем и веществом, отра жаемой понятием электрического заряда. Изменения поля в окрестности точки (описываемые величиной (Ну Е ) определяются объемной плотно стью зарядов, распределение зарядов — строением поля. Воспользовавшись (2.19), можно переписать (2.8) в следующем виде: § Е п<13= ^ Шу-ЕДГ. 8 V (2.21) Эта формула выражает основную теорему векторного анализа, называе мую второй теоремой Гаусса. Соотношение (2.21) описывает взаимо связь между полем внутри данной области и значениями вектора Е на ограничивающей ее поверхности. Вследствие непрерывности поля поток вектора Е через замкнутую поверхность определяется строением поля внутри нее. 5. Изменения нормальных составляющих векторов Е п I) на поверх ности раздела двух сред. Из теоремы Гаусса (2.7) следует, что на заряжен ной поверхности имеет место скачок нормальной составляющей вектора Е : АЕп = Е 2п- Е 1п= - ± , е0 (2.22) где Е 2 и Е х — напряженности в бесконечно близких точках, лежащих по обе стороны от заряженной поверхности, о — поверхностная плот ность ее заряда. Обратно, если на некоторой поверхности обнаруживается скачок нормальной составляющей вектора Е , то эта поверхность покрыта элек трическими зарядами. Если заряженная поверхность является границей двух диэлектри ков, то скачок вектора Е определяется суммарной поверхностной плот ностью свободных и связанных зарядов (а и а'): Е2п — ^ ,„ = -е 10-(ст + (т'). а в отсутствие свободных зарядов (диэлектрик во внешнем поле) — только плотностью связанных зарядов а': Е 2п- Е 1п = -± -о ’ , (2.24) а' = е0 (/? 2л— Ещ). (2.25) с0 откуда В отличие от вектора Е у нормальная составляющая вектора 2 > на поверхности раздела двух диэлектриков, расположенных во внешнем поле, остается непрерывной: Д2„ = » , „ , (2.26) и ее скачок определяется только свободными зарядами. Выразив в (2.26) вектор В через вектор Е , имеем: (2.27) е2^2п = откуда п _ Е 1л (2.28) е2 При переходе в среду с большей диэлектрической проницаемостью нор мальная составляющая вектора Е уменьшается в результате наложения на внешнее поле поля связанных зарядов. Из (2.28) следует, что ^ - ^ „ = ^ „ ( ^ 1— 1 ) , и соотношение (2.25) принимает вид о ' = еоЕт ( - ^ - - 1 ) . (2.29) Применяя (2.22) к поверхности заряженного проводника, располо женного в вакууме, и учитывая, что внутри проводника поля нет, а на его поверхности существует лишь нормальная составляющая вектора Е , имеем: Ел = { - . е<) (2.30) Напряженность поля и поверхностная плотность зарядов здесь взаимно определяют друг друга. Если проводник окружен однородным диэлектриком, то соотноше ние (2.30) принимает вид Еп = ~ . (2.31) 6 . Напряжение электрического поля.Потенциал. Кроме потока вектора Е , существует еще вторая интегральная характеристика элек трического поля — линейный интеграл вектора Е вдоль кривой или напря жение (V) электрического поля вдоль нее (см. рис. 2 ) ^ Е \(11 = 11юз* 1о2 Умножив напряжение на заряд д, мы получим работу, совершаемую полем при перемещении этого заряда по данной кривой: 5 Яе 1<И= § /’г <11 = А 1а2. 1а2 1о2 Следовательно, напряжение электрического поля равно работе при пере мещении по данной кривой единичного заряда: С/1а2= $ . (2.32) 1о2 Линейный интеграл вектора Е по замкнутой кривой § Е хй1 назы вается циркуляцией вектора Е . Эта величина численно равна работе поля при перемещении по замкнутой кривой единичного пробного заряда. Вообще говоря, напряжение вдоль кривой, соединяющей две точки поля, зависит от формы кривой *). Однако в электрическом поле, созданном заряда ми, линейный интеграл вектора Е не зависит от формы кривой, соединяю щей две заданные точки. Его абсо лютная величина определяется только положением этих точек, а знак — на правлением перемещения из одной точки в другую (от этого зависит направление элементов с?/), что позволяет говорить о линейном интеграле или о напряже нии между двумя точками поля. Рис. 2. В поле, созданном зарядами, Действительно, если бы в поле за линейные интегралы вектора Е по любым кривым (1а2 и 1Ь2), соеди рядов линейный интеграл вектора Е няющим заданные точки, имеют зависел от формы кривой, соединяю одинаковое значение. щей заданные точки, то при переме щении пробного заряда из одной точки в другую разными путями поле совершало бы разную работу и при обходе заряда по замкнутому пути (после чего поле принимает исход ную конфигурацию) его работа была бы отлична от нуля. Поле совер шало бы работу, не изменяясь само и не вызывая изменений среди окружающих тел, что противоречит закону сохранения энергии. Таким образом, если 1а2 и 1Ь2 — две разные кривые, соединяющие точки 1 и 2 (рис. 2 ), то \ Ег й1=\ 1а2 Е хй1 (2.33) 162 ИЛИ \ Е хй1 = - \ Е х (11, 261 1п2 откуда следует, что § ,Е к 1 1 = Л Е к 1 1 + ^ Е,сИ = 0, 1о2 (2.34) 261 *) Это имеет место в индукционном электрическом поле, созданном перемен ным магнитным полем. т. е. в электрическом поле, созданном зарядами, циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна нулю. Это свойство электрического поля, созданного зарядами, позволяет ввести скалярную величину, существенно облегчающую его описание и измерение, получившую название электрического потенциала <р, в связи с чем электрическое поле зарядов называется потенциальным. Выберем в электрическом поле «нулевую» точку О. Возьмем произ вольную кривую, соединяющую точки О и М , и вычислим вдоль нее линей ный интеграл вектора Е . Как было доказано ранее, значение интеграла не зависит от пути интегрирования, и, поскольку точка О фиксирована, оно определяется только положением точки М . Следовательно, значение интеграла может служить величиной, характеризующей данную точку поля (М) относительно нулевой точки (О). Эта величина называется потен циалом точки М относительно точки О: о фм,о = ^ м м ^ Е\д1. о (2.35) Из этого определения следует, что говорить о потенциале точки можно только условно, указывая при этом, с какой другой (нулевой) точкой мы ее сравниваем. В действительности потенциал является интеграль ной характеристикой поля в области расположения двух точек (М и О). Соотношение (2.32) позволяет выразить потенциал через работу поля при перемещении пробного заряда из точки М в точку О: флг, о = • (2.36) о Если линейный интеграл ^ Е\й1 и, следовательно, потенциал фм,о м имеют положительное значение, то это значит, что при движении заряда из точки М в точку О поле совершает положительную работу. Если же м положительное значение имеет интеграл ^ а потенциал фм,о отрио цате лен, то работа поля при перемещении заряда из точки М в точку О отрицательна. Иначе говоря, при движении заряда в направлении паде ния потенциала работу совершает поле, а при движении в направлении повышения потенциала — внешние силы (против сил поля). Геометрическое место точек, у которых потенциал имеет одинаковое значение, называется изопотенциальными линиями или изопотенциальными поверхностями. Если при перемещении из точки М в точку О мы о проходим через точку ТУ, то линейный интеграл ^ Е ХЛ1 можно выразить м как сумму двух слагаемых: О N О Егй1= ^ Е{ (11+ ^ ЕгМ, М М N и, учитывая (2.35), имеем: N фм, О ^ м + о> откуда N (2.37) ф м — фл = м или м (2.38) В (2.37) и (2.38) индекс О опущен, поскольку очевидно, что разность потенциалов двух точек не зависит от выбора нулевой точки и, являясь интегральной характеристикой поля, имеет абсолютный смысл. Умножив (2.37) на заряд д, мы получим работу поля при перемеще нии этого заряда из точки М в точку /V: Адг, N — 4 (ф м — Фаг) • 7. Градиент потенциала. элементу кривой <11, имеем: Применяя (2.38) к бесконечно = — Е 1(11, (2.39) малому (2.40) откуда (2.41) Частная производная от потенциала по произвольному направлению равна проекции вектора Е на это направление, взятой с обратным знаком. Соответственно (2.41), нормальная составляющая вектора Е на поверх ности выражается через производную от потенциала по нормали, или нормальную производную потенциала: (2.42) Поверхность, на которой касательная составляющая вектора Е всюду равна нулю (например, поверхность проводника в электростати ческом ноле), является изопотенциальной. Если известно поле потенциала, то, вычислив частные производные по осям координат, мы определим проекции вектора Е на эти оси: (2.43) Отсюда (2.44) где 1 У ^ и к — единичные векторы, направленные по осям координат. Абсолютное значение вектора Е равно Е = У Е 1 + Е 1 + Е1 . (2.45) Векторная величина, стоящая в скобках в правой части (2.44), назы вается градиентом потенциала: 8 га(1<Р= * - ^ + У - ^ + ^ 5 - . (2.46) и соотношение (2.44) принимает вид Е = - 8 гас1 ф*). (2.47) В области, где потенциал имеет постоянное значение, например внутри проводника, расположенного в электростатическом поле, его градиент равен нулю, и,следовательно, электростатическогополя здесь нет. Чтобы задать потенциал, достаточно указать только одно число (вместо трех для напряженности). Вместе с тем, зная распределение потенциала, можно для любой точки поля найти вектор Е или его проек цию на заданное направление. В однородном диэлектрике потенциал точечного заряда д относительно бесконечно удаленной точки равен Ф= ^ ’ (2-48) где г — расстояние данной точки от заряда. В поле системы зарядов находится алгебраическая сумма Ф = 2 Ф«> (2.49) где <р* — потенциал, созданный зарядом д,. Потенциал объемных зарядов равен I2-50» V где интегрирование производится по всему объему, в котором распреде лен заряд. Из (2.47) следует, что силовые линии ортогональны к изопотенциальным поверхностям и напряженность поля равна частной производной от потенциала по касательной к силовой линии. Если известно расположе ние изопотенциальных поверхностей, то можно построить силовые линии. 8 . Уравнения Пуассона и Лапласа. Вернемся квыражению дивер генции вектора Е в декартовых координатах и заменим в (2.18) состав ляющие вектора Е по осям координат частными производными от потен циала (2.43): + + (2-51) Подставив это значение в (2.19), получим дифференциальное уравнение Пуассона, выражающее взаимосвязь между полем и зарядами через поня тие потенциала: - 3 - + 5 - + 5 - - 4 Ь (2-52) В области поля, где нет зарядов, оно принимает вид + ду* + дх* + (2 53) 1^.03) и называется уравнением Лапласа. 9. Изменения касательных составляющих векторов Е и ^ на по верхности раздела двух диэлектриков. Преломление линий векторов Е и В . Из (2.34) вытекает, что в поле, созданном зарядами, касательная *) Знак минус объясняется тем, что градиент потенциала направлен в сто рону быстрейшего возрастания потенциала, а вектор Е — в сторону его быстрейшего падения. 2 Г. А. Рязанов составляющая вектора 2 ?, в отличие от его нормальной составляющей (2 .2 2 ), остается непрерывной на любой поверхности независимо от того, заряжена она или нет, = /, (2.54) где Е\ иЕ 2 —значения вектора Е в двух бесконечно близких точках по обе стороны от этой поверхности. Выразив в этом соотношении напряженность поля через вектор В , мы найдем, что его касательная составляющая испытывает здесь скачок: ^ 1/ __ е1 I е2 ’ откуда % *«-% ■ <2-55> Сопоставляя (2.54) и (2.28), мы убеждаемся втом, что назаряженной поверхности, расположенной во внешнем поле, вектор Е изменяет свое направление и силовые линии испытывают здесь преломление. Пусть <11 и а 2 — углы, образуемые вектором Е с нормалью к поверх ности раздела двух диэлектриков; тогда . Ец *8 «1 = 7 ? ^ . ь 1л Ео1 18 а 2 = -тг~ . ^2 л откуда, в соответствии с (2.54) и (2.28), 18 в 2 _ Е\п _ е2 1304 - /9 слх (2*5()) Ем “ б1 в При переходе в среду с большей диэлектрической проницаемостью силовые линии отклоняются от нормали к поверхности раздела и ча стично обрываются на этой поверхности, так какздесь расположены связанные заряды,плотность которых определяется соотношением (2.29). Линии электрической индукции преломляются по тому же закону, но причиной этого является не уменьшение нормальной составляющей вектора В (она остается постоянной), а увеличение его касательной составляющей. Действительно, у2л откуда, в соответствии с (2.55) и (2.26), Ь% «2 _ # 2/_ =; Ч_ 18 «1 в! (2.58) § 3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПОЛЯ 1. Внутренние краевые задачи. В теории электричества встречается ряд задач, в которых распределение зарядов задано только внутри неко торой области, а за ее пределами могут быть расположены еще и другие заряды. Тогда для определения поля в этой области, кроме заданного распределения зарядов, нужны еще дополнительные сведения о потен циале или о его нормальной производной (или о соотношении между ними) на поверхности, ограничивающей область. Эти граничные условия как бы заменяют данные о распределении внешних зарядов и в отсутствие заря дов внутри области однозначно определяют строение поля *). Различают граничные условия первого, второго и третьего рода. В первом случае на границе области задается распределение потенциала: Ф= М М ) , (3.1) где М — переменная точка на поверхности, ограничивающей область; определение поля по этому условию в отсутствие зарядов внутри области называется внутренней задачей Дирихле. Во втором — задается распределение нормальной составляющей вектора Е , т. е. нормальной производной потенциала: Еп = и ( М ) или - ^ = - / 2 (А/); (3.2) определение поля по этим условиям называется внутреннейзадачей Неймана. В третьем — задается линейная связь между потенциалом и его нор мальной производной (в той же точке): 5 - + /з(М)<р = /4(М ). (3.3) При этом, если / 3 (М ) = 0, мы возвращаемся к условию (3.2). Предполагается, что функции /1 (М), / 2 (Л/), / 3 (М) и / 4 (М) остаются непрерывными на всей поверхности, ограничивающей область поля, причем если внутри области нет зарядов, то, по теореме Гаусса, функ ция / 2 (М ) должна удовлетворять соотношению $ / ,(Л * )А 5 = 0. (3.4) Когда на отдельных участках поверхности заданы граничные усло вия разного рода, задача называется смешанной. Каждое из перечисленных выше граничных условий в принципе позволяет проинтегрировать уравнение Пуассона или уравнение Лапла са, т. е. выразить потенциал искомого поля как функцию точки. Однако точное аналитическое решение получено лишь для частных случаев. 2. Внешние краевые задачи. Если заряды, создающие поле, окру глить замкнутой поверхностью, то существующие на ней граничные усло вия позволяют определить внешнее поле. Распределение потенциала или его нормальной производной на этой поверхности заменяют данные о рас положении зарядов. Если известно распределение потенциала, мы имеем внешнюю задачу Дирихле, а если задано распределение нормальной произ водной потенциала — внешнюю задачу Неймана. С внутренними задачами мы встретимся главным образом при изу чении стационарных электрических полей в проводящей среде, с внеш ними — в электростатике и в гидромеханике. 3. Основные задачи электростатики. Для определения электроста тического поля заряженных проводников в однородном диэлектрике доста точно знать либо их потенциалы (задача А), либо их заряды (задача Б). Так как все точки проводника имеют один потенциал, а внутри негополя нет, то в первом случае нам задано распределение потенциала на поверхностях, ограничивающих область поля изнутри, а во втором — расположение изопотенциальных поверхностей (поверхности провод ников), потенциалы которых неизвестны, и значения интегралов типа *) Напомним читателю, что вторая теорема Гаусса в интегральной форме выра жает связь между строением поля внутри области и значениями вектора Е на огра ничивающей ее поверхности. ф Епй8 у взятых по этим поверхностям. В обоих случаях мы опре деляем поле по его граничным условиям *). То же относится к вычислению напряженности поля по распределению зарядов на поверхности провод ников, поскольку плотность заряда на поверхности проводника и нор мальная составляющая вектора Е взаимно определяют друг друга [см. (2.31)1. При наличии зон с разной диэлектрической проницаемостью гранич ные условия поля должны быть дополнены данными о скачке нормальной составляющей вектора Е на всех поверхностях раздела. § 4. ПОДОБИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 1. Условия подобия полей. Сравним поля двух уединенных равно мерно заряженных сфер, расположенных в однородном диэлектрике, радиусы которых удовлетворяют соотношению (4.1) где А > 1 . Примем за начала координат центры сфер и назовем соот ветственными точки, координаты которых связаны уравнениями: х 2 = кхи у 2 = ку 1, г2 = кги (4.2) В силу (4.2) расстояние между двумя точками первого поля (/4) и рас стояние между соответственными точками второго поля (/2) удовлетво ряют условию (4.3) Если заряды сфер одинаковы, то на равных расстояниях от их цен тров напряженности и потенциалы будут равны **), но в соответстштных точках, определяемых условием (4.3), они в силу (2.1) и (2.48) свя заны соотношениями: К2 _ Л_ (4.4) ~ *= и Ф2_ = ± Ф1 * ’ (4.5) Если же равны не заряды сфер, а их потенциалы, то заряд большей сферы будет в к раз больше и соотношения величин в соответственных точках будут другими: (4.6) (4.7) Рассмотренные нами два поля — простейший пример подобия элек трических полей. В общем случае подобными называются такие поля, в соответственных точках которых напряженности параллельны друг другу и их отношение является постоянным числом. *) Заметим, что пространство, окружающее заряженные проводники, можно рассматривать как область, ограниченную их поверхностью и сферой бесконечно большого радиуса, на которой вектор Е и потенциал обращаются в нуль. **) При вычислении напряженности поля сферического проводника можно счи тать, что заряд расположен в его центре. Постоянные числа, стоящие в правых частях равенств (4.3) — (4.7), выражают отношения одноименных величин в соответственных точках и называются константами подобия этих величин (/V;, УУЕ, УУФ): * .= " Ь * « = • § !-• (4-8) В рассмотренных нами примерах константы геометрического подо бия N I одинаковы, а константы подобия напряженности и потенциала разные. Выразим напряженность поля второй сферы через напряжение, при ходящееся на единицу длины его силовой линии, и воспользуемся соотношениями (2.41) и (4.8): „ _ М/ 2 _ 2“ М2 ” р Д /^ , ” 1 /V/ ’ где Д #! и А[/2— напряжения на соответственных достаточно малых отрезках силовых линий первого и второго поля, откуда <4 - 9 > Это соотношение выражает в безразмерной форме тот факт, что напря женность равна по абсолютной величине градиенту потенциала. Так как строение поля в области определяется граничными усло виями на ее поверхности (§ 3), то для подобия полей необходимо подобие их граничных условий: ограничивающие их поверхности должны быть геометрически подобны, и в принадлежащих им соответственных точках отношения потенциалов и нормальных составляющих вектора Е должны выражаться постоянными числами: Й-** (410) связанными с константой геометрического подобия ТУ/ соотношением (4.9). 2. Способ описания подобных полей. Отнесем величины, характери зующие два подобных поля (длины, напряженности, потенциалы), к их значениям в некоторых соответственных точках: / 10, Б 10, Фю* ) — в первом поле и / 2о» Б 20, ф20 — во втором *). Эти базисные значения удов летворяют равенствам: /20 = ^ 7/ 10» Е2о— N Е/?ю, фго = N Фф10 (4.11) и Я ,0 = + Ч *10 = *20 (4.12) Если каждое из полей создано двумя проводниками, то этими величи нами могут быть: расстояния между ними (с?10 и й20), разности их потен циалов ((/( и ( / 2) и напряженности однородных полей, определяемых соотношениями: <4 1 3 > Получаемые при этом отношения называются приведенными или без размерными величинами (/°, Б°, ф°): ' Ч - <«■*« *) Эти значения выбираются исходя из конкретных физических условий задачи. Из (4.10) и (4.11) следует, что в соответственных точках подобных полей одноименные безразмерные величины равны: яг____ад_ 2 Е 20 (4.15) Мк Е х0 и, следовательно, индекс, указывающий, какое именно поле мы имеем в виду, можно отбросить: /; = /? = *°, Е\ = Е\ = Е\ «р“ = ф!0) = <Р<0>. (4.16) В подобных электрических полях изопотенциальные поверхности и силовые линии геометрически подобны. Определив безразмерные вели чины Е° и ф° в одном поле, можно найти напряженности и потенциалы любого подобного ему поля: достаточно умножить величины Е° и <р° на соответствующие значения Е 0 и <р0: Е = Е°Е0, <р= ф°ф0; (4.17) заметим, что понятие о безразмерных величинах можно положить в основу определения подобия полей: подобными называются поля, в соответ ственных точках которых одноименные безразмерные величины (Е°, <р°) равны. Для подобия физических полей не обязательно, чтобы они имели одну природу. Достаточно, чтобы они описывались одинаковыми диффе ренциальными уравнениями и подобными граничными условиями. В част ности, подобными могут быть любые два потенциальных поля, описывае мых уравнением Лапласа, и тогда одно из них может служить матема тической моделью другого (§ 52). Вместо одноименных величин сопоставляются величины — аналоги. § 5. ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПОЛЯ 1. Понятие нлоскопараллсльного поля. Рассмотрим поле уединен ного прямого бесконечно длинного провода, равномерно заряженного по всей длине и расположенного в однородном диэлектрике. Если его поперечное сечение остается постоянным по всей длине, то силовые линии поля лежат в параллельных плоскостях, расположенных перпендику лярно к оси проводника. Таким же свойством обладают поле системы параллельных бесконечно длинных проводов, поле цилиндрического конденсатора, поле параллельных, равномерно заряженных бесконечных пластин и некоторые другие поля. Во всех этих случаях линии вектора Е лежат в параллельных плоскостях вектора Е , а напряженности и потен циалы зависят только от двух координат. Такие поля называют плоско параллельными или плоскими. Хотя любой реальный прямой провод имеет конечные размеры, вблизи него (на достаточном расстоянии от его концов) поле можно считать плоским. Области, где поле является практически плоским, можно выде лить и во многих других полях. При исследовании таких полей доста точно найти распределение напряженности или потенциала в одной из плоскостей вектора Е . В неоднородном диэлектрике электрическое поле может быть пло ским только при условии, что его диэлектрическая проницаемость также является функцией двух координат. 2. Линейный заряд. В связи с тем, что плоскопараллельное поле существует только вблизи цилиндрических проводников, заряженных равномерно по всей их длине, каждый из них характеризуют не общим зарядом (он предполагается бесконечно большим), а зарядом, приходя щимся на единицу длины образующей. Такие заряды называются линей ными (х): где д — заряд, расположенный на боковой поверхности отрезка про водника длиною Н (рис. 3 ). 3. Линейный поток вектора Е . Рассмотрим плоскопараллельное поле, созданное в однородном диэлектрике проводниками с линейными зарядами х ь х 2, х 3, . . . Проведем две плоскости вектора Е у отстоящие друг от друга на расстоянии й, и опишем вокруг проводников цилиндри ческую поверхность произвольного профиля. Мы получим замкнутую поверхность (рис. 3), внутри которой расположены заряды д2, Яз* равные соответственно: (5.2) Применяя теорему Гаусса (2.12), получим: = = г (5.3) г Так как вектор Е всюду параллелен основаниям полученного цилин дра, то интегрирование выражения Еп<18 нужно произвести только по его боковой поверхности. Учитывая, что на любой прямой, парал лельной образующей, вектор Е имеет постоянное значение, разобьем Рис. 3. К выводу теоремы Гаусса для плоскопараллельного электростатиче ского поля. Внутри замкнутой поверх ности, образованной двумя плоскостями вектора Е и боковой цилиндрической поверхностью произвольного профиля, расположены заряды ди д2 и д3. Рис. 4. Поле точечного линей ного заряда. Пунктиром показа ны линии вектора Е у внешние нормали. Стрелки на контуре указывают направление обхода, при котором линейный поток век тора Е будет Положительным. цилиндрическую поверхность на прямоугольники с высотою к и основа нием й/, площадь которых равна к <11. Это позволит перейти от интегриро вания по боковой поверхности цилиндра к интегрированию по его про филю: § Е п йЗ = к ^ Е п<й = | 2 х , . , 8 I I откуда $Я„<М = 1 2 х ,. (5.4) Соотношение (5.4) выражает теорему Гаусса для плоскопараллель ного поля. Вместо потока вектора Е через замкнутую поверхность (2.7) в него входит интеграл по замкнутой кривой, численно равный потоку вектора Е через боковую поверхность описанного выше цилиндра, отне сенному к единице длины образующей цилиндра. Мы будем называть этот интеграл линейным потоком напряженности через контур и усло вимся при его вычислении обходить контур по часовой стрелке, считая положительным направление внешней нормали. Тогда линейный поток напряженности через контур, окружающий положительный заряд, ока жется положительным (рис. 4). 2 Соответственно интеграл ^ Еп<И, взятый по кривой 2—2, лежащей 1 в плоскости вектора Е , называется линейным потоком вектора Е через эту кривую. В этом случае положительное направление нормали опреде ляется по следующему правилу. Направление элемента кривой (11 (оно указывается последовательностью начальной и конечной точек пути интегрирования) должно составлять с положи тельной нормалью и осью 2 , направленной к читателю, правый винт. Иначе говоря, пово рот кратчайшим путем от элемента кривой (11 к положительной нормали должен происхо дить против часовой стрелки. Нетрудно убе диться, что это правило включает в себя требование обхода замкнутого контура по часовой стрелке. При изменении направления пути интегрирования линейный поток векто ра Е меняет свой знак, но сохраняет абсолют ное значение. Так, например, на рис. 5, а поток вектора Е положителен, а на рис. 5, б — отрицателен. Так же, как и поток вектора Е через по верхность, линейный поток вектора Е являет ся скалярной величиной. 4. Дивергенция вектора Е в плоскопарал лельном поле. Электрическое поле может быть плоскопараллельным и при наличии простран Рис. 5. При изменении на ственных зарядов. Для этого необходимо, правления кривой меняет ся направление положи чтобы их объемная плотность являлась функ тельной нормали к ней и цией двух координат: линейный поток вектора Е е« = /(*> У)- (5.5) через нее изменяет знак. Дадим определение дивергенции вектора Е в этом случае. Окружим точку двумерного поля цилиндром произвольного профиля, основания которого параллельны вектору !? , а образующая перпендикулярна к нему (ср. рис. 3). Поток вектора Е через эту замкну тую поверхность составит § Е пй8 = Н §Е п й1, где интегрирование производится по профилю цилиндра, а ограниченный ею объем равен ДУ = АД5. Подставив эти значения в (2.17), получаем: И у Е ~ \ Ы ^ Е' М А8->0 Д-У (5-6) Таким образом, в плоскопараллельном поле дивергенцию вектора!? можно определить как предел, к которому стремится отношение линейного потока напряженности поля через контур, окружающий данную точку на плоско сти вектора Е , к площади, ограниченной этим контуром (при Д5 -> 0). Так как эта величина определяется объемной плотностью пространствен ных зарядов (2.16), то она также является функцией двух координат. В декартовых координатах имеем: § 6 . ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ПОТОКА 1. Понятие о функции потока в плоскопараллельном поле. Соединим точки 1 и 2 на плоскости вектора Е двумя произвольными кривыми а и Ь (рис. 6 ). Если они составят замкнутый контур, внутри которого нет заряженных проводников, то линейный поток вектора Е через него, по теореме Гаусса (5.4), будет равен нулю: § Е п(11 = 0. (6.1) Наличие внутри этого контура незаряжен ного проводника, поверхность которого по крыта индуцированными зарядами, не имеет значения, так как алгебраическая сумма этих зарядов равна нулю. Интеграл, стоящий в левой части равен ства (6 . 1 ), можно представить в виде суммы линейных потоков напряженности через кри вые 1а2 и 2Ы: Рис. 6 . К введению понятия функции потока в плоском поле. Штриховкой показана область, внутри которой нет замкнутых контуров, окру жающих заряженные провод ники, пунктиром — сечение незаряженного проводника. § Е п <11= ^ ЕНМ + ^ ЕпИ = 0 , 1а2 (6.2) 2Ы откуда ^ ЕпЛ1 = 1а2 ^ Еп<11 = 261 Епй1. (6.3) 162 Таким образом, линейный поток вектора Е через любую кривую, соединяющую две точки, лежащие в плоскости вектора Е , не зависит от ее формы и определяется только положением этих точек. Это свойство двумерных полей позволяет ввести при их описании, кроме потенциала, еще вторую скалярную величину. Выделим на плоско сти вектора Е область, в которой нельзя провести ни одного замкнутого контура, охватывающего заряженные проводники, и отметим в ней «нулевую» точку О. Соеди нив любую точку Л/, лежащую в этой области, с точкой О произвольной кривой (рис. 7) и определив линейный поток вектора через нее, мы, в силу указанного свойства, получим значение, не зависящее от формы кривой и характеризующее только точку М . Произведя такие же вычисления для других точек области, Рис. 7. Копределению функмы сможем каждой из них приписать циипотока впроизвольной определенное Эта скалярная потока: значение интеграла р \ Епй1. точке поля, величина получила название электрической функции м Ъ м , о = \ Е п<11. (6.4) О Так же, как и потенциал (§ 2.6), функция потока является относитель ной характеристикой поля: физический смысл имеет только разность ее значении в двух точках: м фм— Флг — ^ Еп &1. (6.5) Если интеграл, стоящий в правой части этого равенства, положителен, то при перемещении из точки N в точку М наблюдается увеличение функ ции потока *). Напротив, отрицательное значение этого интеграла показы вает, что при переходе из точки N в точку М функция потока убывает («падает») (ср. рис. 5). Приписывая точкам поля определенные значе ния функции ф, мы всегда сравниваем их с ее значением в произвольно выбранной «нулевой» точке, условно считая, что функция потока равна в ней нулю. Без указания «нулевой» точки понятие о функции потока теряет смысл, так же как и понятие потенциала. Поскольку функция потока определяется через понятие линейного потока напряженности, имеющее смысл только для плоских полей, то очевидно, что в трехмерных полях такой функции не существует. 2. Линии функции потока. Так как вектор Е направлен по касательной к силовой линии, то линейный поток напря женности поля через любой отрезок сило вой линии равен нулю. Поэтому все точки силовой линии характеризуются одним значением функции потока, и каж дая силовая линия в плоскопараллельном поле является линией функции потока, описываемой уравнением Рис. 8 . К определению значения ф=СОП81. (6 . 6 ) функции потока на силовой линии относительно произвольно вы бранной нулевой линии. Выбрав «нулевую» силовую линию и воспользовавшись соотношением (6.5), можно приписать другим силовым линиям определенные значения функции потока. При этом в каждом случае для вычисления инте грала ^ Епд,1 удобно брать отрезок изопотенциальной линии между данной силовой линией и «нулевой», на котором вектор Е имеет только нормаль ную составляющую (рис. 8 ). Изопотенциальные линии являются линиями быстрейшего изменения функции ф. 3. Изменение функции ф на поверхности незаряженного проводника. На поверхности проводника, расположенного в электрическом поле, нормальная составляющая вектора Е отлична от нуля, и при его обходе мы будем наблюдать плавное изменение функции потока. Рассмотрим, как изменяется функция ф на профиле незаряженного проводника, поверхность которого покрыта только индуцированными зарядами (рис. 9). Выберем нулевую силовую линию и определим относи тельно нее значение функции ф в точке Л/, где поверхностная плотность индуцированных зарядов обращается в нуль. Перемещаясь из точки М по часовой стрелке вдоль кривой МаМ, покрытой отрицательными заря дами, мы обнаружим уменьшение функции потока, так как нормальная составляющая вектора Е здесь отрицательна. В точке Аг, где поверхно стная плотность зарядов обращается в нуль и меняет знак, функция ф достигает минимального значения, а затем, при движении по кривой *) Полезно сравнить (6.5) с (2.38). N6111, растет до максимального значения в точке М . Подчеркнем, что при определении значений функции ф на профиле проводника направле ние его обхода не имеет значения. При движении из точки М в точку N против часовой стрелки по кривой МЪN изменится направление положительной нормали, и мы снова обнаружим, что функция ф имеет максимум в точке Л/, а минимум — в точке N. Перемещаясь от точки М к точке N по кривой а или по кривой Ь, мы в обоих случаях будем наблюдать «падение» функции потока, и притом независимо от выбора нулевой СИЛОВОЙ ЛИНИИ. 4. Неоднозначность функции ф вблизи заряженного проводника. Выберем нуле вую точку в поле уединенного поло жительного линейного заряда и начнем обходить этот заряд в направлении ча Рис. 9. К изменению функции совой стрелки по изопотенциальной ли потока на профиле незаряженно го проводника, помещенного во нии (рис. 10). Положительная нормаль внешнее электрическое поле. Мак будет совпадать с направлением вектора симум и минимум лежат в точ Е , и мы обнаружим увеличение функции ках М и А , где поверхностная потока. плотность индуцированных заря дов равна нулю. Однако все изопотенциальные линии, окружающие заряженный проводник, яв ляются замкнутыми кривыми, и, перемещаясь по любой из них, мы вернемся в исходную точку. Поскольку на всем пути наблюдается увеличение функции потока, то, в соответствии с (5.4), мы должны будем приписать исходной точке новое значение функции ф, равное ~ . Повторив обход провода в том же направлении и снова наблюдая лишь увеличение функции ф, мы припишем точке О значение, равное 2 , и т. д. Напротив, при обходе линейного заряда х из точки О против часовой стрелки обнаружим уменьше ние функции потока и, сделав полный оборот, найдем, что в исходной точке она равна — ^ (теперь положительная нормаль будет направ лена противоположно вектору Е ). Сделав в том же направлении два оборота, мы получим * и т. значение 2о — е Рис. 10. К неоднозначнос Итак, рассматривая все пространство, за ти функции потока. нимаемое полем *), мы должны приписать исходной точке О не одно значение функции ф, равное нулю, а мно жество значений. В этом общем случае функция ф является многозначной: Фо = ± п - (га = 0 , 1 , 2 , 3, . . . ) . Знак фо определяется направлением обхода заряженного проводника. *) Напомним, что в п. 1 мы ограничились рассмотрением области поля, где не существует замкнутых контуров, охватывающих заряженные проводники. Соответственно для любой точки М мы будем иметь: фм — Фм, о ± п » (6*7) где фм, о “ значение, найденное при первом обходе. Более того, если мы даже исключим полные обороты вокруг провода, то и в этом случае функция останется двузначной. Допустим, что, перемещаясь из точки О в точку М (рис. И ), мы сначала обходим линейный заряд по часовой стрел ке (кривая а), а затем против нее (кривая Ь). Очевидно, что мы получим для точки М два разных значения функции потока: ф '= ^ Еп(Н и ф” = ОаМ ^ Еп(Н, ОЬМ причем первое из них будет положительным, а второе — отрицательным. Учитывая, что 5 Еп й1= ОЬМ ^ Еп й1, мьо имеем: я|/-Ч>"= 5 Епс11+ § Епс11 = <§Епс11 ОаМ ( 6 .8 ) МЬО и, в соответствии с (5.4), получаем: ф '-ф '= ^ . (6.9) Рис. 11. В зависимости от пути перехода из точки О в точку М (дуги ОЬМ и ОаМ) функция ф в точ ке М принимает разные зна чения. 5. Устранение многозначности функции ф. Многозначность функции ф в поле линейного заряда связана с тем, что в пространстве, окружаю щем проводник, существует два класса замкнутых контуров. Контуры первого класса не охватывают линейных зарядов, и линей ный поток напряженности через любой из них равен нулю: § Е п(11 = 0, аконтуры (6.10) второго класса охватывают линейный заряд х, и линейный поток напряженности через каждый из них отличен от нуля: § Е П (11 = ± (6 . 1 1 ) Область, в которой можно провести только контуры первого класса, назы вается односвязной. Здесь могут быть расположены только незаряженные проводники, и в ней определена одно значная функция потока. Пространст Рис. 12. Условная перегородка, обеспе во, в котором существуют оба класса чивающая односвязность пространства, окружающего заряженный провод. контуров, называется двухсвязным, и функция потока в нем неоднозначна. Чтобы функция ф стала однозначной во всем пространстве, окружаю щем проводник, нужно исключить существование в нем контуров второго класса. Представим себе, что вдоль одной из силовых линий, уходящих в бесконечность, расположена бесконечно тонкая перегородка (рис. 1 2 ). Форма этой перегородки может быть любой, но она должна касаться поверхности проводника и уходить в бесконечность. Тогда при обходе провода мы не сможем вернуться в исходную точку и многозначность функции ф исчезнет. Положив функцию потока на одной стороне перего родки равной нулю и обойдя положительный линейный заряд по часовой стрелке, мы обнаружим, что на другой стороне перегородки функция ф принимает максимальное значе- / *п 4 <±н ф-тах ф -0 \ {е ^ X > у Рис. 13. Условная перегородка, с помощью которой пространство, занимаемое полем ли нейного диполя, становится односвязным. ние, равное — . Значения функ ции ф в бесконечно близких точ ках, разделенных перегородкой, будут отличаться на цикличе скую постоянную ~ . Если поле создано системой линейных зарядов, то окружаю щее их пространство будет мно госвязным *) и многозначность функции ф примет более сложный харак тер. Однако и в этом случае условные перегородки позволяют превратить занимаемое полем пространство в односвязное. Так, например, в поле линейного диполя достаточно одной перегородки (рис. 13), в поле трех произвольных линейных зарядов нужно провести три условные перего родки (рис. 14) и т. д. Форма перегородок может быть любой, но они должны касаться поверхности проводников, чтобы исключить возмож ность проведения замкнутых конту ров, охватывающих линейные заряды. Подчеркнем, что однозначную функцию потока можно ввести только в отсутствие пространственных заря дов, т. е. при условии, что в рас сматриваемой области поля диверген ция вектора Е всюду равна нулю: <НуЕ = 0 . (6 . 1 2 ) В области, где существуют про странственные заряды, линейный по Рис. 14. Условные перегородки, обеспе ток напряженности через любой замк чивающие односвязность пространства, нутый контур будет отличен от нуля, занимаемого полем трех линейных за рядов. и понятие функции потока теряет смысл. Такие плоскопараллельные по ля описываются только с помощью одной скалярной функции — потенциала. 6 . Определение составляющих вектора Е в плоскопараллелыюм поле. Проведем на плоскости вектора Е силовую и изопотенциальную линии и выделим на них элементы длины йп и (11 (рис. 15). Пусть направление элемента йп совпадает с направлением силовой линии, а элемент И повернут относительно элемента йп на 90° по часовой стрелке. При таком направлении элемента <11 положительная нормаль к нему совпадает с направлением силовой линии, и при движении по изопотенциальной линии мы будем наблюдать увеличение функции потока. Заметим, что направление (II вместе с направлением силовой линии йп и осью г обра зует правый винт. По определению потенциала его приращение на *) В нем будет существовать несколько классов замкнутых контуров, отличаю щихся значением интеграла ^>Еп (11. расстоянии дп составляет с?Ф — — Е дп, где знак минус означает, что падение потенциала происходит в направ лении силовой линии. В свою очередь по определению функции потока (6.5) ее приращение на расстоянии д 1 равно й^ = Е(И, (6.14) откуда Е= - дф дп Е= дф Ж (6.15) Напряженность поля численно равна падению потенциала на единицу длины в направлении силовой линии и увеличению функции потока на еди ницу длины изопотенциальной линии в направлении, образующем с на- ф-С0П81 / Рис. 15. К соотношению между вектором Е и функцией потока. Рис. 16. К установлению соотно шения между составляющими век тора Е и производными .функций ф и ф. правлением силовой линии и осью ъ правый винт. Силовая линия указы вает направление быстрейшего падения потенциала, а изопотенциальная (если ей приписать указанное направление) — направление быстрей шего возрастания функции потока. Рассмотрим теперь произвольную направленную кривую, лежащую в плоскости вектора Е , и найдем положительное направление нормали к ней в некоторой точке (рис. 16). При смещении по этой кривой на расстояние д 1 в направлении, отмеченном стрелкой, мы обнаружим приращение функции потока с?ф = Еп(II, а при смещении на расстояние дп в направлении положительной нор мали — приращение потенциала с1ц>= — Епдп, откуда Я» = 4 ? - ’ (6 Л 6 ) § 7. ДУАЛЬНОСТЬ ПЛОСКИХ ПОЛЕЙ 1. Понятие о сопряженном поле. Допустим, что нам известны: напряженности плоского поля, расположение его силовых и изопотенциальных линий (в том числе «нулевых», от которых производится отсчет функций ф и ф) и направление быстрейшего увеличения функции потока (рис. 17, а). Повернем вектор Е в каждой точке на 90° против часовой стрелки *), не изменяя его величины. Полученное при этом новое поле а) $ Д р> 0 ; Дф^О Рис. 17. К установлению понятия о сопряженном поле. При переходе от исходного поля (а) к сопряженному (б) путем поворота вектора Е на 90° силовые и изопотенциальные линии меняются местами. Функция потока ф становится потенциалом <р*, а потенциал <р — функцией потока, взятой с обратным знаком (—ф*). называется сопряженным по отношению к исходному полюу и все величины, характеризующие его, отмечаются звездочкой (рис. 17, б). Очевидно, что силовые линии сопряженного по ля совпадут с изопотенциальными лини ями исходного поля, а изопотенциальные линии — с исходными силовыми ли ниями. Проведем произвольную кривую / и, определив направление положительной нормали к ней, разложим каждый из век торов Е и Е * на нормальную и касатель ную составляющие (рис. 18). Из построе ния видно, что имеют место равенства: Е Г = ~ Е п. Рис. 18. К установлению соотно шений между составляющими на пряженностей исходного и сопря женного полей. (7.1) Следовательно, линейный поток на пряженности сопряженного поля через любую кривую, лежащую в плоскости вектора Е и соединяющую точки 1 и 2, будет равен линейному интег ралу напряженности исходного поля: (7.2) а линейный интеграл вектора Е * — линейному потоку вектора Е 9 взятому с обратным знаком: 1а2 1а2 ♦) Такой поворот вместе с направлением оси 2 образует правый винт. Заменив интегралы, стоящие в (7.2) и (7.3), соответствующими прираще ниями функций ф, ф, ф* и ф* в соответствии с (6.5) и (2.38), получим: ч> ; - ч>г = - < < р* - ф.). «й - фг - ъ - ъ . (7.4) Таким образом, потенциалом сопряженного поля ф* служит функция потока исходного поля ф, а его функцией потока ф* — исходный потен циал ф, взятый со знаком минус. Стрелки на изопотенциальных линиях исходного поля (рис. 17, а), соответствующие увеличению функции потока ф, теперь (рис. 17, б) указывают направления быстрейшего уве личения потенциала ф*, т. е. направлены противоположно силовым линиям сопряженного поля. В свою очередь стрелки на исходных силовых линиях, соответствующие быстрейшему падению потенциала ф, в сопря женном поле показывают направления быстрейшего увеличения функ ции ф*. Следовательно, отсчитывая потенциал ф* от линии с нулевым значением функции потока ф, а функцию потока ф* — от линии с нуле вым значением потенциала ф в направлениях, указанных стрелками, мы имеем равенства: ф * = — ф, ф* = ф. (7.5) Так как стрелки на силовых линиях сопряженного поля оказались направленными противоположно вектору Е , то для завершения картины сопряженного поля их следует повернуть на 180°. Если, кроме поворота вектора Е в каждой точке, мы еще увеличим его в к раз, то соотношения (7.1) и (7.5) примут вид Е* — кЕг, Е Г = - к Е п, (7.6) ф* = — Ачр, ф* = Лф. (7.7) Сетка поля останется прежней, но масштаб интервалов потенциала и функ ции потока между силовыми и изопотенциальными линиями уменьшится в к раз. Если в исходном поле циркуляция вектора Е вдоль любой замкнутой кривой и его линейный поток через любой замкнутый контур равны нулю: §Ек11 = 0 и § Е пс11 = 0, (7.8) т. е. поле является потенциальным (§ 2 ), и в нем нет пространственных зарядов (§ 6 ), то в силу соотношений (7.1) теми же свойствами будет обладать и сопряженное поле: § Е, 41 = 0, § Е М 1 = 0. (7.9) Такимобразом, система любых ортогональных кривых изображает одновременно два плоскопараллельных поля, напряженности которых повернуты друг относительно друга на 90°. Это свойство плоских полей называется их дуальностью. Дуальность плоскопараллельных полей имеет место и в тех случаях, когда в исходном поле не существует функции потока ( § 6 , п. 5): соответствующее ему сопряженное поле не имеет потенциала. 2. Граничные условия плоскопараллельных полей. Плоское поле внутри области, ограниченной контуром, однозначно определяется кон турными значениями потенциала или нормальной составляющей 3 Г. А. Рязанов вектора Е . При этом граничные условия исходного поля, выраженные через нормальную составляющую вектора Е у совпадают с граничными условиями сопряженного поля, выраженными через его потенциал <р*. Зная распределение величины Бп, можно найти распределение на контуре функции потока ф, которая служит потенциалом сопряженного поля ф*. Вместе с тем в плоском поле существует еще один вид граничных условий. Поскольку для вычисления потенциалов на контуре, расположенном в плоскости вектора Е у достаточно иметь контурные значения касатель ной составляющей вектора Б/, то распределение этой величины на кон туре определяет поле внутри области. К этому же выводу можно прийти, исходя из принципа дуальности. Если на контуре задано распределение касательной составляющей исход ного поля (Б/), то, в силу соотношения (7.1), известно распределение нормальной составляющей напряженности сопряженного поля (Б5), что однозначно определяет это поле, а вместе с тем и исходное поле. Как мы увидим, это свойство плоских полей широко используется при их моделировании. $ 8 . СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОМ ПРОВОДНИКЕ Установим закономерности стационарного электрического поля в одно родной проводящей среде. 1. Граничные условия стационарного электрического поля, сущест вующего в проводящей среде. Известно, что плотность тока в каждой точке однородного изотропного проводника связана с напряженностью поля соотношением, выражающим закон Ома в его дифференциальной форме: Л= (8 . 1) где р — удельное сопротивление проводника, откуда следует, что траек тории движения носителей заряда в проводящей среде (линии тока) сов падают с силовыми линиями стационарного электрического поля, под держивающего этот ток. Очевидно, что при установившемся режиме Рис. 19. Если бы линии тока обрыва лись или начинались внутри проводни ка, то здесь возникали бы скопления электрических зарядов, положительных (а) или отрицательных (б). Рис. 20. Если бы линии тока начинались (а) или оканчивались (б) на поверхности проводника, то на ней возникали бы за ряды, и стационарный режим был бы не возможен. постоянного тока линии тока не могут обрываться внутри проводника (рис. 19) или на его поверхности (рис. 20). В противном случае на этих участках цепи происходило бы непрерывное накопление зарядов, что изменяло бы электрическое поле, и постоянный ток был бы невозможным. Тем же свойством обладают и силовые линии стационарного электриче ского поля: ни одна из них не может оборваться внутри проводника или пересечь его поверхность. Мы должны заключить, что внутри проводника и на его границе с диэлектриком нормальная составляющая напряжен ности стационарного электрического поля обращается в нуль. Напряжен ность поля в проводящей среде имеет на этой границе только касатель ную составляющую, и силовые линии совпадают с поверхностью про водника. Для стационарного электрического поля, существующего внутри проводника,поверхность проводника служит как бы стенкой, направляю щей егосиловые линии. Если проводник имеет постоянное сечение, то стационарное электрическое поле внутри него строго однородно. Сравнивая граничные условия электростатического поля, окружаю щего проводник, и стационарного электрического поля внутри провод ника, несущего постоянный ток, имеем: в электростатическом поле Еп = ^ ~ , <р| 8 = с о п з 1 ; (8 .2 ) в стационарном электрическом поле Еп = 0 , вгаа <р|8 = — Я), (8.3) - где буквой 5 обозначена поверхность проводника. Если в первом случае все точки проводника имеют один потенциал, то во втором — на поверхности проводника происходит падение потен циала в направлении тока. Так как изопотенциальные поверхности перпендикулярны к сило вым линиям, то внутри проводника они подходят перпендикулярно к его поверхности. В цилиндрическом д проводнике постоянного сече ния изопотенциальные поверхности представляют собой паЛ -1_________ ~ ____________ -------раллельные плоскости, перпен^ дикулярные к его оси. 2. Стационарное электричеРис. 21. Зависимость напряженности стациоское поле в проводнике перемен парного электрического поля от площади ногосечения. На рис. 21 показан поперечного сечения в проводнике. Силовые участок цепи постоянного тока, линии стационарного электрического поля, „ идущие внутри проводника, не могут выйти состоящий из двух цилиндрииз него, ипотоки вектора Е черезсечения ческих проводников разного п ^ равны. диаметра, ограниченный сече ниями и 8 2- Так как на поверхности проводника выполняется условие (8.3), то поток напряжен ности электрического поля через замкнутую поверхность, ограничиваю щую эту область проводящей среды, составит N= — (8.4) Поскольку в однородной проводящей среде при стационарном режиме зарядов нет, то, по теореме Гаусса (2.7), этот поток напряженности равен нулю: Е 28 2— Е\8\ = 0 , откуда 1/ 2Г )1 = Ф -- (8.5) При последовательном соединении цилиндрических проводников с оди наковым удельным сопротивлением напряженности поля в них обратно пропорциональны площадям их поперечных сечений. Силовые линии стационарного электрического поля не могут пересекать поверхность проводника, и если его поперечное сечение уменьшается, то их густота возрастает. Учитывая, что напряженность электрического поля равна по абсо лютной величине градиенту потенциала, мы приходим к выводу, что в более тонком проводнике потенциал надает быстрее. Эта закономерность становится понятной без обращения к закону Ома. Внутри проводника переменного сечения (см. рис. 21) силовые линии и соответственно изопотенциальные поверхности, как правило, искрив лены. На границе проводника силовые линии всегда совпадают с ней, а изопотенциальные поверхности нормальны к границе. § 9. СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ 1. Распределение зарядов, создающих в проводнике стационарное электрическое поле. Напомним, что однородное электростатическое поле существует только вблизи равномерно заряженной бесконечной плоско сти или между двумя такими параллельными плоскостями, заряженными + с + + Е ► V7 II II Рис. 22. Однородное электростатическое поле вблизи равномерно за ряженной плоскости. Рис. 23. Если плоскость заря жена неравномерно, то век тор Е вблизи нес наклонен в сторону убывания поверх ностной плотности зарядов. разноименно (внутри плоского конденсатора в отсутствие краевого эффек та). Возникает вопрос: где расположены заряды, создающие однородное стационарное электрическое поле в цилиндрическом проводнике? Начнем с общих соображений. Очевидно, что эти заряды не могут находиться ни внутри проводника, ни вне его (поле внешних зарядов не проникает в проводник и вызывает лишь явление электростатической индукции). Они не могут располагаться и на его концах, так как при достаточной длине проводника их можно было бы считать точечными, а поле точечных зарядов неоднородно. Остается заключить, что заряды расположены на самой поверхности проводника, несущего ток. Покажем, что в этом случае поле в проводнике действительно может быть однородным. Известно, что напряженность поля вблизи заряженной плоскости нормальна к ней лишь в том случае, когда эта плоскость заряжена равно мерно (рис. 22). Если же поверхностная плотность ее заряда о убывает в каком-нибудь направлении, то вектор Е наклонен в ту же сторону (рис. 23). Соответственно этому, если имеются две одноименно заряженные параллельные плоскости, то при постоянном значении величины о напря женность поля между ними равна нулю (рис. 24). Но если величина о на обеих плоскостях убывает в одном и том же направлении, то суммарная напряженность поля между ними будет отличной от нуля и вектор Е будет иметь направление, противоположное градиенту поверхностной плотности заряда (рис. 25). Нетрудно видеть, что при определенном распределении величины о поле между одноименно заряженными плоско стями может быть однородным. Аналогичная картина должна наблю даться и в том случае, когда заряженная поверхность имеет форму цилиндра. Рис. 24. Между двумя равномерно ^ одноименно заряженными пло скостями поля нет. Рис. 25. Если поверхностная'плотность зарядов двух одноименно заряженных плоскостей убывает в каком-либо на правлении, то между ними существует электрическое поле, направленное в ту же сторону. Пока она заряжена равномерно, поля внутри нее нет. Но если поверх ностная плотность заряда убывает в направлении образующей, то элек трическое поле должно существо вать не только вне этой поверхно / сти, но и внутри нее. + + + + + Можно ожидать, что при опре деленном распределении поверхност ной плотности заряда это внутреннее поле будет однородным. Вернемся к рассмотрению про водника, по которому течет постоян ный ток. Поскольку известно, что в Рис. 26. Если в цилиндрическом про проводнике существует однородное воднике течет постоянный ток, то его электрическое поле, то мы должны поверхность покрыта электрическими зарядами, поверхностная плотность заключить, что вся его поверхность которых убывает в направлении тока. покрыта зарядами, поверхностная Эти заряды могут быть как положи плотность которых убывает в на тельными (о), так и отрицательными (б). правлении вектора Е . При одном и том же направлении поля эти заряды могут быть как положительными, так и отрицательными *) (рис. 26): вели чина и направление вектора Е определяются градиентом поверхностной плотности зарядов. 2. Возникновение стационарных зарядов на поверхности несущего ток проводника. Остается выяснить, каким образом при возникновении в цепи электрического тока поверхность проводника покрывается заря дами и почему их распределение будет таким, что поле в проводнике постоянного сечения оказывается однородным. Установление стационарного режима в цепи является сложным электромагнитным процессом, и мы рассмотрим лишь его упрощенную * )|В этом случае абсолютное значение плотности зарядов в направлении поля не убывает, а возрастает. схему. Предположим, что в вакууме на некотором расстоянии друг от друга расположены два разноименно заряженных шарика, создающих электрическое поле. Если мгновенно заполнить все окружающее их пространство проводящей средой, то электрическое поле вызовет дви жение носителей заряда (электронов или ионов), и заряды шариков быстро исчезнут, а вместе с ними исчезнет и электрическое поле. Однако если заряды шариков непрерывно пополнять (соединив их с источником тока), то, несмотря на наличие тока, в проводящей среде сохра нится прежнее электрическое поле. Его строение не изменится, поскольку рас пределение зарядов, создающих его, остается прежним, а новые заряды не появляются. Так, например, погрузив в большой сосуд с электролитом два метал лических шарика, подвешенных на тон ких, хорошо изолированных проводах, и Рис. 27. Если заряженные шарики поддерживая между ними разность потен соединить цилиндрическим про циалов постоянной, можно воспроизвести водником, то в первый момент силовые линии будут пересекать поле электрического диполя в вакууме. его поверхность. Рассмотрим теперь другой мыслен ный опыт. Допустим, что заряженные шарики мгновенно соединяются цилиндрическим проводником. Тогда в первый момент часть силовых линий будет пересекать его поверхность, и на ней начнут накапливаться электрические заряды: положитель ные — там, где напряженность поля в проводнике имеет нормальную составляющую, направленную к его поверхности, и отрицательные — там, где эта составляющая направлена внутрь проводника (рис. 27). Появ ление этих зарядов приведет к изме нению строения поля как внутри про водника, так и в окружающем его пространстве. Заряды будут накапли ваться до тех пор, пока силовые линии внутри проводника не изменят свою форму настолько, что окажутся парал лельными его поверхности, и поле в нем станет однородным (рис. 28). Необ ходимое для этого распределение заря Рис. 28. Строение электрического дов устанавливается «автоматически» поля в проводнике и окружающем пространстве после установления вместе с режимом постоянного тока. стационарного режима. Возникая под действием поля, ток вызывает появление новых зарядов, что влияет на строение поля. Электрическое поле внутри проводника как бы приспосабливается к его форме и становится однородным. Хотя реальный процесс установления стационарного режима значительно сложнее, итог получается таким же, как и в рассмотренной нами упрощенной схеме: проводник заряжается. Если мы согнем проводник, то для того, чтобы силовые линии внутри него повторяли его форму, потребуется новое распределение зарядов, и оно также «автоматически» устанавливается в самом процессе тока. Таким образом, при подключении к источнику тока линии передачи протяженностью в сотни километров ее провода заряжаются по всей их длине. Именно эти поверхностные заряды и создают поле, поддержи вающее ток постоянной силы на всех участках цепи, как бы направляя силовые линии внутрь проводников и не давая им выйти наружу. Силовые линии стационарного электрического поля внутри провод ника, несущего ток, не исходят из зарядов, создающих это поле и являю щихся его «источниками», а проходят мимо них. Подчеркнем, что заряды, покрывающие поверхность проводника, по которому течет постоянный ток, возникают в результате скопления заряженных частиц, участвующих в процессе переноса заряда и непре рывно сменяющих друг друга. Однако их движение не изменяет распре деления зарядов на поверхности проводника. Это распределение непре рывно восстанавливается в процессе протекания тока. Заряды, «создающие» стационарное электрическое поле и существую щие только при наличии постоянного тока, называются стационарными. 3. Внешнее стационарное электрическое поле. Стационарные элек трические заряды, покрывающие поверхность проводника, несущего ток, создают электрическое поле не только внутри него, но и в окружающем его пространстве (рис. 28). В отличие от поля внутри проводника, сило вые линии этого внешнего поля начинаются на тех участках поверхности проводника, где расположены положительные заряды, и оканчиваются на участках, заряженных отрицательно. Если внутри проводника нор мальная составляющая вектора Е на границе с вакуумом или диэлектри ком равна нулю [см. (8.3)], то во внешнем стационарном поле она отлична от нуля и определяется поверхностной плотностью стационарных заря дов. Таким образом, на поверхности проводника имеет место скачок нормальной составляющей вектора Е (2.5): 77ВНСIII Ьп — откуда, учитывая (8 .2 ), имеем: (9.1) и соответственно (9.2) Измерив на поверхности проводника значения нормальной составляющей напряженности внешнего стационарного электрического поля, можно найти распределение стационарных зарядов. С другой стороны, в силу основного свойства потенциального элек трического поля (§ 2) касательная составляющая вектора Е на поверх ности проводника остается непрерывной: (9.3) На поверхности толстых металлических проводников, внутри которых даже при больших токах напряженность поля очень мала, касательная составляющая напряженности внешнего стационарного поля, как пра вило, на несколько порядков меньше его нормальной составляющей. Поэтому силовые линии внешнего стационарного поля подходят к по верхности проводника почти нормально, и это поле мало отличается от электростатического *). Вместе с тем факт наклона вектора Е у обусловленный наличием его касательной составляющей (падением потенциала вдоль проводника), *) Исключением являются те участки проводника, где поверхностная плотность стационарных зарядов меняет знак (рис. 28). имеет принципиальное значение. Как уже отмечалось (§ 1), стационар ное электрическое поле органически связано с магнитным полем и его существование является одной из сторон электромагнитного процесса, в результате которого происходит перенос энергии вдоль проводов. Как доказывается в теории поля, касательная составляющая вектора обу словливает поток энергии, направленный из окружающего пространства внутрь проводника, что обеспечивает непрерывное пополнение энергии электрического поля, расходуемой в процессе протекания тока. Непрерывность касательной составляющей вектора Е на поверх ности проводника используется при измерении стационарного поля внутри проводника, несущего ток. Измеряя касательную составляющую напряженности внешнего стационарного поля на поверхности проводника, можно, в силу соотношения (9.3), получить значение вектора Е вну три проводника. Аналогичные соображения применимы при измерении потенциалов, поскольку распределения потенциала на поверхности проводника и внутри него (в непосредственной близости от границы) совпадают. Если диаметр проводника достаточно мал по сравнению с радиусом кривизны, то стационарное поле в нем будет практически однородным и, независимо от формы проводника, его напряженность определяется по формуле (9.4) где ф! — ф2 — разность потенциалов на концах участка длиною /. В то же время распределение стационарных зарядов, создающих поле, и строение внешнего стационарного поля существенно зависят от формы проводника. Любое изменение формы проводника, несущего ток, сопровождается перераспределением стационарных зарядов на его поверхности и соответствующей перестройкой окружающего его внешнего стационарного электрического поля, но при этом изменяется только нормальная составляющая вектора Е. На стр. 36 отмечалось, что поверхность проводника играет роль стенки, ограничивающей стационарное поле в проводнике. Теперь мы можем уточнить это сравнение: роль стенки по отношению к электриче скому полю в проводнике играют стационарные заряды, расположенные на его поверхности. § 10. СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ЗОНАЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ 1. Стационарные заряды на поверхности раздела двух проводников. Рассмотрим участок цепи постоянного тока, состоящий из двух цилин дрических проводников одного диаметра, но отличающихся удельным сопротивлением. При стационарном режиме силовые линии в этих про водниках параллельны их общей оси и плотность тока в них одинакова: ( 10 . 1) /1 = Ь откуда на основании (8 . 1 ) имеем: /'-I __ 1-2 01 02 или Еч (>2 ^1 0| ( 10. 2 ) При последовательном соединении проводников с одинаковым попе речным сечением напряженности стационарного электрического поля в них пропорциональны удельным сопротивлениям. Представление о ста ционарном поле позволяет понять, почему в цепи, составленной из разных проводников одного сечения, падение потенциала на единицу длины пропорционально удельному сопротивлению. Из соотношения (10.3) вытекает, что на поверхности раздела двух проводников с разными удельными сопротивлениями, где плотность тока остается непрерывной, имеет место скачок напряженности стационарно го поля: АЕ = Е 2 - Е 1 = Е 1 ^ - 1 у (Ю.4) Это означает ( § 2 ) , что граница между двумя проводящими средами покрыта стационарными зарядами, поверхностная плотность которых, в соответствии с (2 .2 2 ), равна а = е 0Е 1 (- Й — 1 ) * ) . (10.5) Если ток течет из среды с меньшим удельным сопротивлением в среду о большим удельным сопротивлением, то поверхность раздела заряжается положительно. При обратном направлении тока она будет заряжена отрицательно. Подставив в (10.5) значение Е х имеем: о = еов1 ( - ^ — 1 ) / , - (Ю. 6 ) Таким образом, поверхностная плотность стационарных зарядов, существующих на границе между проводниками с разным удельным сопротивлением, пропорциональна плотности тока в цепи. Если удельное сопротивление второй среды много больше удельного сопротивления первой (р2 > д4), то Б 2 > Е х и соотношение (10.4) прини мает вид ДЕ ж Б2, (10.4а) о = е0Е2 = е0<22] 2. (10.5а) откуда Стационарные заряды на границе двух сред возникают вследствие скопления здесь заряженных частиц при установлении стационарного режима (ср. § 9, п. 2) и затем непрерывно обновляются в процессе про хождения тока. Хотя одни частицы заменяются другими, заряд, еже секундно притекающий к поверхности раздела, равен заряду, ежесекундно отходящему от нее, и в среднем поверхностная плотность стационарных зарядов на поверхности раздела проводников сохраняет постоянное значение. Однако не следует думать, что заряды, возникающие на поверхности раздела двух проводников, являются единственной причиной различия напряженности поля в проводниках с разным удельным сопротивлением на всей их длине.Как было показано, поле в проводнике создается заря дами,расположенными на всей его поверхности, и, следовательно, большая напряженность в проводнике с ббльшим удельным сопротивле нием обусловлена соответствующим распределением этих поверхностных *) Относительную диэлектрическую проницаемость проводников мы считаем равной единице. зарядов. Заряды, существующие на поверхности раздела двух сред, обу словливают изменение поля только в непосредственной близости от этой границы, создавая на ней скачок нормальной составляющей вектора Е . На рис. 29 изображено стационарное электрическое поле в цепи, составленной из проводников, имеющих разное удельное сопротивление, причем густота силовых линий пропорциональна напряженности поля. На поверхностях раздела, покрытых стационарными зарядами, часть из них обрывается. Скачок напряженности стационарного электрического поля на по верхности раздела двух сред можно рассматривать как результат нало жения на внешнее однородное поле Е 0, которое существовало бы в отсут ствие стационарных зарядов на границе сред, поля, созданного этими а) * * - т А б) вккахаиек А Рис. 29. Стационарное электрическое поле в про воднике, состоящем из участков с разным удельным сопротивлением (д2 > 61). зарядами Е \ В среде с большим удельным сопротивлением это поле совпадает по направлению с полем Е 0, а в среде с меньшим удельным сопротивлением направлено противоположно ему. 2. Статистический характер понятця о стационарных электрических зарядах. Найдем поверхностную плотность стационарных зарядов на границе между медным и железным проводниками (р! = 1,7-10 ~ 8 ом-м; л г\а Л р 2 = 1 Ю ~ 7 ом-м) при плотности тока, равной 1 — 2 или 1 0 е По формуле (8 . 1 ) напряженность поля в меди будет равна стационарного а электрического Д, = У,е1 = 10М ,7 -1 0 - —а- ом-м = 1,7-10 2 — М2 м и в соответствии с (10.5) находим: «X ф а = 8,85• Ю~12•1,7• 1 0 “ 2 1 1 -- = 8 ,2 .1 0 -» -^ Разделив это значение на элементарный заряд (1,6-10“ 19 к), мы най дем число избыточных электронов (нли ионов), приходящихся на 1 м2 поверхности раздела: а _ 8,2.1 0 -1 3 _ е ~ 1 ,6 -1 0 -» = ! ’ 1и мг ;5,1 1 М М 2 При менвщих плотностях тока это число может оказаться меньше единицы, что .ушзывает на статистический характер величины а. Ста ционарные заряди на поверхности раздела двух проводящих сред суще ствуют и в том жлучае, если избыточные заряженные частицы задержи ваются здесь тжлько на короткие промежутки времени. Вместе с тем представление о стационарных зарядах имеет принципиальное значение: оно необходимо для физического истолкования скачка напряженности стационарного электрического поля на границе двух разнородных про водников. 3. Преломление силовых линий на поверхности раздела двух сред с разным удельным сопротивлением. Выделим на поверхности раздела двух сред произвольной формы участок Д5 столь малый, чтобы его можно было считать плоским, и окружим его ци линдрической поверхностью высотой А (рис. 30). Будем считать, что ток течет из первой среды во вторую и что положитель ная нормаль к поверхности раздела имеет такое же направление. При стационарном режиме поток век тора плотности тока через эту замкнутую цилиндрическую поверхность, т. е. общий ток / , вытекающий из нее, равен нулю: 1 = § 1 п с18 = 0 . Выразим его через нормальные составляю щие плотности тока в обеих средах: Рис. 30. К доказательству не прерывности нормальной со ставляющей плотности тока на границе раздела двух про водящих сред. I = (Ы — Нп)А8 + / ' , где Г — ток, вытекающий через боковую поверхность цилиндра. При достаточно ма лой высоте цилиндра А величиной Г можно пренебречь и мы имеем: 0*2п 7т ) = 0» откуда /2л = 7т (10.7) и, в соответствии с (8 . 1 ), _ Е 1л 62, (1 0 .8 ) что является обобщением зависимости (10.3). Итак, на поверхности раз дела двух сред нормальная составляющая плотности тока остается непре рывной, а нормальная составляющая напряженности стационарного электрического поля изменяется пропорционально удельному сопротив лению, испытывая скачок: ДЕп = Е 2п - Е 1п = Еьп ^ - \ ) (1 0 .9 ) что указывает на присутствие стационарных зарядов, поверхностная плотность которых равна о = е0Е т че, или а = е 0Е 2 п ( 1 - ^ - ) . *) Эта формула служит обобщением формулы (10.5). (10.10) Вместе с тем, поскольку стационарное электрическое поле является потенциальным (§ 2), касательная составляющая вектора Е на поверх ности раздела двух сред остается непрерывной: Е 21 = Еи. (10.11) Сопоставляя (10.11) с (10.8), мы видим, что в общем случае на поверх ности раздела вектор Е изменяется не только по величине, но и по на правлению и силовые линии должны здесь преломляться. Пусть и а 2 — углы, образуемые век тором Е в бесконечно близких точках, рас положенных по обе стороны от поверхности раздела двух сред, с нормалью к ней (рис. 31). Тогда к 1л и а2 “ ко п откуда, учитывая ( 1 0 .8 ) и ( 1 0 . 1 1 ), имеем: <^а3 ^ Е{п ^ б; ( 10 . 12 ) 18 «1 Е2п " ' В среде с большим удельным сопротивлением вектор Е больше по величине и образует Рис. 31. К изменению направ меньший угол с нормалью к поверхности ления вектора К на границе двух проводящих сред. раздела. Это изменение вектора Е является результатом наложения на внешнее поле ( Е 0) поля, созданного стационарными зарядами ( Е ) , появившимися на поверх ности раздела сред при установлении стационарного режима (рис. 32). Соотношение (10.12) представляет собой закон преломления силовых линий стационарного электрического поля. При входе в среду с большим удельным сопротивлением *) они при ближаются к нормали и , поскольку вектор Е увеличивается, их густота возрастает. Это происходит в резуль тате появления новых линий, берущих начало у стационарных зарядов, покры вающих поверхность раздела. Напро тив, при переходе в среду с меньшим удельным сопротивлением силовые ли нии отклоняются от нормали и их густота уменьшается, так как часть линий обрывается у стационарных зарядов. Преломления силовых линий не Рис. 32. Изменение вектора Е на гра происходит в двух случаях: если гра нице двух проводящих сред происхо ница сред совпадает с силовыми линия дит вследствие наложения на внешнее поле Во поля Е \ созданного местными ми поля (на ней выполняется условие стационарными зарядами. Еп = 0 ), или если она является изопотенциальной поверхностью (где имеет место равенство = 0). В первом случае стационарные заряды не появ ляются, во втором — их поверхностная плотность и соответственно скачок вектора Е максимальны. Из соотношения (10.12) следует, что *) Направление силовых линий не имеет значения. Если отношение удельных сопротивлений сред достаточно велико, то угол а 2 близок к нулю и можно считать, что вектор Е в среде с большим удельным сопротивлением всюду нормален к поверхности раздела, неза висимо от его направления в первой среде. В этом случае, рассматривая поле в среде с большим удельным сопротивлением, можно считать, что поверхность раздела сред является изопотенциальной. Хотя на этой поверхности касательная составляющая вектора Е отлична от нуля, она настолько мала по сравнению с его нормальной составляющей, что паде нием потенциала вдоль любой линии, проведенной на поверхности раз дела, можно пренебречь. Примером может служить стационарное поле то т т т ш т ш ж о Рис. 33. Строение поля вблизи границы двух сред. Приведенные числовые значения позволяют судить о распределении потенциала, о2 : 01 = 100. в электролите, удельное сопротивление которого на несколько порядков превышает удельное сопротивление электродов. Падение потенциала в электродах составляет ничтожную часть общего напряжения на ванне, и при рассмотрении стационарного поля в электролите можно считать их поверхности изопотпенциальными, независимо от того, где подклю чены подводящие провода. Однако в среде с меньшим удельным сопро тивлением, где стационарное электрическое поле гораздо слабее, поверх ность раздела выглядит иначе. Нормальная составляющая вектора здесь сравнима с его касательной составляющей, и пренебречь распределением потенциала на поверхности раздела при рассмотрении этого поля уже нельзя. В качестве примера на рис. 33 показано расположение изопотенциальных поверхностей вблизи синусоидальной границы двух сред, для которых отношение ^ равно 100 (случай плоскопараллельного поля). Мы видим, что в среде с большим удельным сопротивлением изопотен циал ьные поверхности, расположенные вблизи границы, практически повторяют ее форму, как если бы она служила изопотенциал ьной поверх ностью. Напротив, в среде с меньшим удельным сопротивлением они пересекают границу под значительными углами. В связи с тем, что в среде с большим удельным сопротивлением поле гораздо сильнее, интервал, с которым проведены изопотенциальные поверхности, здесь в 40 раз больше, чем в среде с меньшим удельным сопротивлением, и по отноше нию к нему границу можно считать изопотенциальной. Это обстоятельство широко используется при моделировании полей. Применяя электроды, удельное сопротивление которых достаточно мало по сравнению с той проводящей средой, поле в которой служит моделью, можно обеспечивать постоянство потенциала на любой заданной поверхности. 4. Преломление линий тока. Так как в изотропной проводящей среде плотность тока совпадает по направлению с напряженностью поля, то на поверхности раздела двух сред она так же, как и напряженность, изменяет свое направление: линии тока прело мляются вместе с силовыми линиями. Это обу словлено тем, что касательная составляющая вектора плотности тока испытывает на поверх ности раздела сред скачок, в то время как его нормальная составляющая остается по стоянной. Действительно, учитывая (10.11) и (8.1), имеем: / 1/61 —/ 2/02 » откуда /21 /и 0_1_ 02 (10.14) В результате вектор плотности тока при входе в среду с большим удельным сопротивлением, так же как и вектор Е , приближается к нор Рис. 34. На поверхности мали (рис. 34). Сопоставляя (10.14) с (10.7), мы видим, раздела двух проводящих сред вектор Э изменяет свое что, несмотря на увеличение напряженности направление вследствие поля, плотность тока при переходе в среду с изменения его касательной составляющей. ббльшим удельным сопротивлением в общем случае уменьшается *). Если поверхность раз дела расположена нормально к силовым линиям поля, то имеет место равенство 7*1/ = / 2/ (10.15) и вектор плотности тока на этой границе не изменяет ни направления, ни величины. 5. Преломление силовых линий стационарного электрического поля на границе цилиндрической области. На рис. 35 показано строение ста ционарного электрического поля в окрестности цилиндрической области с ббльшим удельным сопротивлением ((4 : р 2 = 1 : 5) на достаточном расстоянии от внешних границ проводящей среды при условии, что невозмущенное поле однородно. Стационарные заряды, расположенные на поверхности раздела, усиливают поле внутри цилиндра, не изменяя в нем конфигурации силовых линий, и вместе с тем перестраивают поле в окружающем пространстве. Они как бы отталкивают внешние силовые линии, а внутри зоны дают начало новым силовым линиям. В результате *) Напряженность поля растет медленнее удельного сопротивления, и, в соот ветствии с (8 . 1), плотность тока убывает. внешние силовые линии (и линии тока) стремятся обогнуть зону с ббльшим удельным сопротивлением. С увеличением отношения 62 (по мере 01 У//////^/////Л '///////////"//А//АА/А/Л /////А/А/У/У"АУААААААААА/ У//////////,'////////////, УА/АА//ААА/УААААААААААААА/ У ////////// '/ / / / / / / / / / / / *А/ААА/АА/у 'УААААА//ААА '/АА/ААА//у 'ААА///А//А '/АА/АААу '////А ///Л Рис. 35. Стационарное электрическое поле в проводя щей среде при наличии цилиндрической зоны с боль шим удельным сопротивлением (д 4 : д2 = 1 : 5)-***). того как поверхностная плотность стационарных зарядов растет) эта тен денция увеличивается. В предельном случае (р2 = оо, и зона является полостью) поверхностная плотность наведенных ста ционарных зарядов дости гает максимального зна чения и нормальная со ставляющая напряженно сти созданного ими поля Е ' полностью компенсирует нормальную составляю щую напряженности внеш него поля: Е п = - До*. (Ю.16) Все внешние силовые ли нии (и линии тока) огибают полость (рис. 36), и на ее границе в проводящей сре де выполняется условие, совпадающее с (8 .2 ): Д1П= 0. (10.17) Здесь существуют только касательные составляю щие векторов Е и При этом внутри по лости нормальная состав ляющая вектора Е 2 будет связана с поверхностной плотностью стационарных зарядов на ее границе соотношением, аналогич ным (9.2): Рис. 36. Стационарное электрическое поле при нали чии в проводящей среде цилиндрической полости, образующая которой нормальна к силовым линиям невозмущенного поля. о = г0Е2л. (10.18) В случае, если удель ное сопротивление зоны меньше удельного сопро тивления окружающей среды, стационарные заряды, возникающие на поверхности раздела сред, ослабляют поле внутри зоны **) и в то же время как бы притягивают к себе внешние силовые линии, часть кото *) Заметим, что напряженность однородного электрического поля в полости ровно вдвое больше напряженности невозмущенного внешнего поля. **) При переходе в зону напряженность поля уменьшается медленнее, чем удельное сопротивление, и, в соответствии с (8 . 1), плотность тока возрастает. ***) На рпс. 35, 36, 37, 38 внешняя рамка изображает контур демонстрационного чертежа. рых оканчивается на них (рис. 37). Силовые линии как бы стремятся войти в область с меньшим сопротивлением, но частично обрываются на ее поверхности. Напротив, все линии тока, вошедшие в зону, проходят внутри нее, и плотность тока в ней оказывается большей, чем в невозмущенном поле. Эта тенденция проявляется особенно резко, когда р2 при ближается к нулю и стацио нарные заряды почти пол ностью компенсируют внутри зоны внешнее поле. При д2 = 0 внешние силовые ли нии стационарного поля под ходят к поверхности раздела нормально *), и, в соответ ствии с (10.10), вектор Е { связан с поверхностной плот ностью стационарных заря дов соотношением сг= — е0Б 1п. (10.19) Рис. 37. Стационарное электрическое поле в про водящей среде при наличии цилиндрической зоны с меньшим удельным сопротивлением. Если зона с другим удельным сопротивлением расположена вблизи границы проводящей среды с вакуумом или диэлек триком, то характер внешних силовых линий сохраняется. Однако теперь т т а) Г///А '///////, ггГГ*.г ****** Гг Г***Г, ******** 111111= *****--******** ******** ****** ****** ******** ’*****, ***** *" '"Ж*** * * * "'' б Рис. 38. Поле вектора Э в проводящей пластине при наличии цилиндрической зоны с большим (а) и с меньшим (б) удельным сопротивлением. В обоих случаях поле внутри зоны неоднородно. Диаметр цилиндрической зоны равен толщине пластины. поле наведенных стационарных зарядов Е ' будет влиять на распреде ление стационарных зарядов, создающих внешнее поле ( Е 0). Действи тельно, на поверхности однородного проводника всегда существует *) Это используется при моделировании электростатических полей. 4 г. А. Рязанов такое распределение стационарных зарядов, при котором выполняется условие Дод = 0 , (Ю. 2 0 ) где Е 0 — напряженность поля, созданного этими зарядами. При нали чии указанной зоны поле будет создано не только внешними стационарными зарядами, но также и зарядами, расположенными на поверхности раз дела сред. Следовательно, на внешней границе проводника должно выпол няться условие Е0п + Еп = 0, (10.21) Еоп= ( 10. 22) откуда Еп, что указывает на перераспределение внешних стационарных зарядов и изменение внешнего поля (Е 0). Рассматривая стационарное поле на поверхности раздела сред как сумму двух полей (Е 0 и Е ), нельзя ото ждествлять внешнее поле Е 0 с невозмущенным стационарным полем в одно родном проводнике. Если невозмущенное поле было однородным, то при наличии указанной зоны внешнее поле Е 0 будет заведомо неоднородным. Чем ближе расположена зона к поверхности проводника, тем больше искажается внешнее поле; это искажение становится наибольшим, когда поверхность раздела пересекает внешнюю границу проводящей среды или касается ее. Соответственно изменяется и строение поля внутри зоны (рис. 38). Поле в зоне теперь уже не будет однородным. § 11. ПЛОСКО ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 1. Примеры плоскопараллельного стационарного электрического ноля в проводящей среде. Допустим, что призматический сосуд прямоуголь ного сечения наполнен электролитом с высоким удельным сопротивлением и в нем расположены два плоских металлических электрода, включен ных в цепь постоянного тока (рис. 39, о). Поскольку удельное сопротив ление металла на несколько порядков меньше удельного сопротивления а) б) Рис. 39. К получению однородного стационарного электриче ского поля в электролите. электролита, то поверхности электродов будут изопотенциальными поверхностями (§ 1 0 , п. 3) и поле в электролите будет однородным (рис. 39, б). Если электроды повернуть, сохраняя их вертикальное положение (рис. 40, а), то поле в электролите станет неоднородным (рис. 40, б). Однако его силовые линии будут лежать в горизонтальных плоскостях и оно останется плоским относительно дна сосуда. Легко понять, что, расположив электроды так, как показано на рис. 41, а, мы создадим Рис. 40. Пример неоднородного плоского стационарного электрического поля, в кото ром плоскости вектора Е параллельны дну сосуда. Очевидно, что при вертикальном положении электродов (рис. 40, а) понижение уровня электролита в сосуде не повлияет на строение суще ствующего в нем стационарного электрического поля. Последнее опре деляется только профилем электродов, и его конфигурация не изменится даже в том случае, если в Рис. 41. Пример плоскопараллслыюго поля, в котором плоскости вектора Е парал лельны боковым степкам сосуда. парного поля в проводнике достаточно взять проводящую пластину того же очертания и включить ее в цепь с помощью линейных электродов соот ветствующей формы. Так, например, поле, существующее в сосуде, пока занном на рис. 42, а, может быть изучено на пластине, изображенной на рис. 42, б. 2. Стационарное электрическое поле в проводящих пластинах. Мы видели, что в трехмерном проводнике стационарное электрическое поле может быть плоскопараллельным только при определенных условиях. В отличие от этого стационарное поле, возникающее в тонком проводя щем слое, всегда является плоским. На рис. 41 показано строение неоднородного поля в сосуде с наклоненными электродами, не являющегося плоским относительно дна. Однако при понижении уровня электролита влия ние наклона электродов постепенно уменьшается, силовые линии «выравни ваются» все ближе к элек тродам, и в достаточно тонком проводящем слое поле окажется плоским относительно дна. В частности, при изу Рис. 42. Для изучения стационарного электриче чении плоскопараллель ского поля в электролитической ванне можно вос пользоваться тонким проводящим слоем. ных полей на электропро водной бумаге (§ 13) элек тродами служат медные проволочки или полоски фольги, которые при жимаются к бумаге или приклеиваются к ней электропроводным клеем. Хотя вблизи электродов существует область, где Л стационарное поле еще не -------------1— является плоским (рис. 43), ширина этой зоны порядка толщины бумаги, и ею можно пренебречь. Рассмотрим строение стационарного поля в ис кривленной пластине, тол щина которой сравнима с ее радиусами кривизны Рис. 43. Строение стационарного электрического (рис. 44). поля в проводящем листе у электрода. Расположение изопотенциальных линий пока зывает, что напряженности поля на поверхностях пластины заметно отличаются друг от друга. Однако при уменьшении толщины проводящего слоя это различие уменьшается и в тонкой пластине (электро проводная бумага, фольга) прак тически исчезает. В этом отно шении стационарное поле в тон ком проводящем листе анало гично полю в тонкой проволоке, внутри которой напряженность не зависит от формы проводника и равна отношению разности потенциалов на его концах к его длине [см. (9.4)]. Изгиб тон кого проводящего листа, если это не нарушает однородности проводящей среды, практически Рис. 44. Стационарное электрическое поле не изменяет стационарного по внутри искривленной пластины. ля внутри него. В процессе установления стационарного режима обе поверхности пластины заряжаются до тех пор, пока внутри нее не будет выполне но условие (8 .3 ), вследствие чего конфигурация стационарного поля в х ' / / \ V к ' А /п \ \%:— 'Г. \Ч ' ' п \ \ Х \ / / / / / / Ф Рис. 45. Силовые линии стационарного электрического поля, окружающего прово дящую пластину, соединяющую две параллельные шипы, (б) и полная сетка этого поля (а). Внешняя окружность — граница демонстрационного плаката. проводящем листе определяется только его очертанием и расположением электродов. Поэтому, измеряя на пластине потенциалы или касательные составляющие вектора Е у можно рассматривать ее поверхность (незави симо от того, является ли она плоской или имеет кривизну) как плоскость вектора Е . Накрыв модель из электропроводной бумаги с электродами из тон кой медной проволоки листом обыкновенной бумаги (для изоляции), можно свернуть его в рулон, и это практически не изменит строения существующего в нем ста ционарного электрическо го поля. 3. нарное электрическое поле, окружающее проводящую пластину. На рис. 45, а показано строение внеш него стационарного поля в плоской проводящей пластине, замыкающей две параллельные шины *). Приблизительно такую же конфигурацию имеет поле, Рис. 46. Распределение потенциала (о) и поверхно окружающее лист электро стной плотности стационарных зарядов (б) в попе речном сечении 1пластины, показанной на рис. 45. проводной бумаги, вклю ченный в цепь с помощью двух медных проволочек. Соответствующая эпюра распределения поверх ностной плотности зарядов приведена на рис. 46. В приложении [см. приложение (рис. I, II, III)] приведены чертежи, показывающие различные случаи расположения стационарных зарядов и конфигурации внешнего поля. 4. Закон Ома для проводящей пластины. Рассмотрим проводящий лист, включенный в цепь постоянного тока. Возьмем на его поверхно сти две произвольные точки 1 и 2 и соединим их произвольной кривой. Сила тока, протекающего через соответствующее этой кривой попереч ное сечение листа, будет равна 2 Л ,2 = *Д * 2 ^ Ял<М= ^-0152 — М . = е I ( 1 1 -1 ) 8 где Н — толщина листа, у — его удельное сопротивление, /п и Еп — соот ветственно нормальные составляющие плотности тока и напряженности стационарного электрического поля, а ф — функция потока. Отношение ^ характеризует электропроводность проводящего листа и называется его удельным поверхностным сопротивлением или сопро тивлением на квадрат N3 . Оно равно сопротивлению квадратного листа независимо от его размеров (рис. 47): С1 1 -2 ) Величина /?□ имеет размерность сопротивления и измеряется в омах. *) Предполагается, что их удельное сопротивление мало по сравнению с удель ным сопротивлением пластины и границу этих сред можно считать изопотенциальной ($ 2 , п. 6 ). Методика эксперимента приведена в § 49. Используя (11.2), перепишем (11.1): = (И.З) Это соотношение является новой интегральной формой закона Ома (8.1) для кривой, лежащей в плоскости вектора Е , и выражает закономерность распределения тока в проводя щих пластинах. Сравнив (11.3) с законом Ома для участка цепи, мы ви дим, что в нем роль падения потенциала играет приращение функции потока, а роль сопро тивления проводника — удель ное поверхностное сопротивле Рис. 47. К введению понятия об удельном ние. Если известна сила тока, поверхностном сопротивлении проводящей пластины. протекающего через любое по перечное сечение листа между точками 1 и 2 , и удельное поверхностное сопротивление проводящего листа, то можно найти линейный поток вектора Е через любую кривую, соединяющую эти точки, и приращение на ней функции потока: 2 $ Еп 41 = \|>2— ф, = / ,,2Я о (11.4) 1 Знак силы тока, проходящего через кривую, определяется знаком линей ного потока вектора Е . Так, например, если нормальнаясоставляющая вектора Е совпадает по направлению с положительной нормалью к отрезку сИ, то силу тока, протекающего через него, нужно считать положительной. Соответственно этому имеем: Ла2 = — ^2а1• (11.5) 5. Линейные стационарные заряды. Допустим, что один из электро дов расположен в середине проводящего листа (рис. 48), и опишем около Рис. 48. К определению стационарного заряда на электроде, прижатом к проводящей пластине. Показана замкнутая поверхность, к которой применяется теорема Гаусса. него направленный замкнутый контур Ь. В соответствии с (11.3) сила тока, протекающего через него, будет равна (11.6) По теореме Гаусса ( § 5 , п. 3) внутри этого контура должен быть расположен линейный стационарный заряд х = г 0§ Е п <11, (11.8) а общий заряд, находящийся внутри замкнутой цилиндрической области (см. рис. 48), определяется по формуле д = хЛ = воЛ^ Еп(11 = е0/ р. (11.9) Заметим, что описанная выше замкнутая поверхность должна проходить всюду внутри проводящего листа, кроме окрестности электрода, где она Рис. 49. должна иметь выступ, расположенный в самом электроде и охваты вающий поверхность раздела сред (рис. 49). Поскольку напряженность поля внутри электрода близка к нулю, то потоком вектора Е через этот выступ можно пренебречь, и полный поток будет равен потоку через боко вую поверхность цилиндра. Если удельное сопротивление электрода исчезающе мало по срав нению с удельным сопротивлением проводящего листа, как это имеет место в случае электропроводной бумаги, то стационарный заряд, опре деляемый соотношением (11.9), реально существует и расположен на поверхности электрода, граничащей с проводящим листом *). Однако при возрастании удельного сопротивления напряженностью поля внутри электрода пренебречь уже нельзя, и поток вектора Е через указанную замкнутую поверхность, а значит, и заряд на поверхности электрода будут уменьшаться. Если же ток входит через проводник с удельным сопротивлением, равным удельному сопротивлению листа, то описан ная выше замкнутая поверхность будет расположена в одной проводя щей среде (рис. 50, а) и внутри нее не может быть зарядов. Вместе с тем, если исключить из рассмотрения область, прилегающую к электроду, то представление о линейном заряде внутри контура Ь можно сохранить, ибо поле в пластине имеет такое же строение, как если бы в области элек трода действительно находился пространственный заряд (рис. 50, б), опре деляемый соотношением (11.9). Таким образом, материал электрода не имеет значения, существенно лишь наличие тока, входящего через него в проводящий лист. Во всех подобных случаях можно считать, что поле в пластине создано не внешними стационарными зарядами, расположен ными на ее поверхности (§ 1 1 , п. 3), а воображаемым линейным стационар ным зарядом, существующим внутри проводящей среды. Это обстоятель*) Напомним читателю, что внутри однородной проводящей среды стационарные заряды существовать не могут (§ 8 ). ство широко используется при моделировании плоских электрических полей. В частности, подводя ток к проводящему листу через отдельные каналы, распределенные на его поверхности, можно воспроизвести пло ское поле, существующее при любом заданном распределении простран ственного линейного заряда (§ 5). + + + + + + + + 4) Рис. 50. Реальное распределение поля вблизи электрода (а) можно заменить воображаемым (б). 6. Взаимосвязь между распределением тока в проводящей пластине и стационарным электрическим полем внутри нее. Применив (11.1) к эле менту кривой д\ на поверхности проводящего листа: йф = Епд1 = <//, имеем: Еп = В{ й! □ -гг = ( 11. 10') где г — контурная плотность тока, представляющая собой ^векторную величину, совпадающую по направлению в изотропном проводнике с век тором Е . Ее проекция на нормаль к кривой определяется выражением (П_ (II ’ ( 11. 11) и она связана с силой тока соотношением / Ю2— ^ 1а2 (11. 12) Выразив контурную плотность тока через напряженность поля (11.9), Еп * о ’ (11.13) Еп — ^пП^. (11.14) /п — Таким образом, по распределению тока вдоль контура можно судить о распределении нормальной составляющей вектора Е . Обратно, зная распределение нормальной составляющей вектора Е у можно найти рас пределение тока. Регулируя на контуре проводящего листа распределе ние тока, входящего в него извне, можцо задавать нужное распределение величины Еп ^ или иначе д<р дп ) Применив (11.10') к поверхности электрода, удельное сопротивление которого настолько мало по сравнению с удельным сопротивлением про водящего листа, что напряженностью поля в нем можно пренебречь, и учитывая (2 .2 2 ), имеем: Еп о 1п А■ Го (,1Л5> где о — поверхностная плотность стационарных зарядов на границе между электродом и проводящим листом, откуда а = 1„е0Дс . (11.16) Следовательно, по распределению тока, входящего в проводящий лист через шину, расположенную вдоль его края, можно найти распределе ние стационарных зарядов на его границе. При этом, независимо от пло щади контакта между шиной и листом, можно считать, что поверхность раздела сред представляет собой полоску, ширина которой равна тол щине пластины А. Во всех случаях строение стационарного поля в про водящем листе, за исключением облас ти, непосредственно прилегающей к электроду, одинаково. § 12. СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ЗОНАЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЕ 1. Преломление изопотенциальных линий на границе двух проводящих сред. В зонально неоднородной среде стационарное электрическое поле мо жет быть плоским только в том случае, если поверхности раздела сред с раз ным удельным сопротивлением цилинд рические и их образующие параллель ны образующим электродов. В этом случае соотношение ( 1 0 . 1 2 ) дополняется законом преломления изопотенциаль Рнс. 51. К преломлению изопотен ных линий. циальных линий на границе двух проводящих сред в плоском поле. На рис. 51 прямая аЪ изображает след поверхности раздела двух сред, а ломаная сН — силовую линию, преломляющуюся в точке с?. Соот ветственно пунктирная ломаная рЛт изображает след изопотенциальной поверхности, проходящей через точку й и образующей с нормалью к поверхности раздела углы и 02. Так как силовые линии перпендику лярны к изопотенциальным поверхностям, то а 1+ Р 1= 90°, а 2-}- Р 2= 90°, Подставив эти значения в соотношение (10.12), выражающее закон пре ломления силовых линий, получим закон преломления изопотенциальных линий: *8р! ^ 91 ( 12.1) *8 Р2 92 При входе в среду с ббльшим удельным сопротивлением изопотенциаль ные линии отклоняются от нормали к поверхности раздела и вследствие этого сближаются (рис. 52). Если отношение удельных сопротивлений 5! достаточно ма ло, то при входе во вторую среду все изопотенциальные линии, пересекающие границу, практически сливаются и сов падают с линией раздела. Таким образом, при рассмотрении поля во второй среде линию раздела можно считать изопотенциальной (см. рис. 33). 2. Преломление силовых линий стационарного электри ческого поля на границе двух проводящих пластин. Пусть два Рис. 52. Картина стационарного электриче проводящих листа разной тол ского поля в квадратной пластине, состоящей из двух зон (С2 * 01 = 2 : 1). щины и с разным удельным сопротивлением соприкасаются друг с другом. Очевидно, что нормальная составляющая контурной плот ности тока на линии контакта этих листов остается непрерывной и в бес конечно близких точках 1 и 2 , лежащих по обе стороны от нее, имеет одно и то же значение: Пп = *2п(12.2) Перепишем это равенство, воспользовавшись (11.13): Е\п ЛП1 или Т?2л ВгСГ2 я,□I Е\п Е ~ я Л2П Яд2 ■ (12.3) ( 1 2 -4) Сопоставив (12.4) с равенством, выражающим непрерывность касатель ной составляющей вектора Е : Е ц = Е 21, мы получим законы преломления силовых и изопотенциальных линий, аналогичные ( 1 0 . 1 2 ) и ( 1 2 . 1 ): Я,□I 18 «1 (12.5) □2 □2 18 Рг (12.6) Я,□ 1 18 01 в которых роль удельного сопротивления среды играет удельное поверх ностное сопротивление проводящего листа. Из (11.13) следует, что преломление силовых линий наблюдается и в том случае, если листы имеют одинаковое удельное сопротивление, но отличаются по толщине. Это обстоятельство широко используется при моделировании плоских полей в зонально неоднородных средах. Так, например, прижав к поверхности одного листа другой такой же лист, мы вдвое уменьшим на этом участке удельное поверхностное сопро тивление и можем наблюдать преломление линий на границе сред, удель ные сопротивления которых относятся, как 1 : 2. В плоской электролити ческой ванне изменение удельного поверхностного сопротивления дости гается изменением толщины слоя электролита. Профилируя дно ванны слоем парафина (рис. 53), можно добиться плавного изменения вели чины /?□ по любому наперед задан ному закону. Контакт проводящих листов мож но осуществлять не только встык (рис. 54, а), но и внахлестку (рис. 54,6). Если ширина шва будет Рис. 53. Электролитическая ванна с профилированным дном; 1 — электро достаточно мала, то его можно исклю лит, 2 — слой парафина. чить из рассмотрения *). Значения контурной плотности тока по обе стороны от такого шва будут одинаковы, и, повторив приведенные выше рассуждения, мы придем к соотношению (12.1), как если бы линия раздела сред проходила посередине шва. При этом можно считать, что а) Рис. 54. Различные формы контакта двух проводящих пластин. листы с разным удельным поверхностным сопротивлением имеют одина ковую толщину и мы имеем границу сред с разными удельными сопротив лениями: $2 61 я,□ 2 я,□ 1 (12.7) Таким образом, определив скачок вектора Е на границе этих листов, можно по формуле (10.10) найти поверхностную плотность стационарных зарядов на поверхности раздела сред, удельные сопротивления кото рых удовлетворяют (12.7): □1 (12.8) Если листы отличаются лишь толщиной к: Я:□ 2 (12.9) Д01 *2 ’ то границы двух сред вообще не существует и вместо скачка напряжен ности, созданного стационарными зарядами, расположенными внутри проводящей среды, происходит плавное изменение вектора Е , обуслов *) Его удельное поверхностное сопротивление будет меньше наименьшего. ленное внешними стационарными зарядами. Однако и в этом случае представление о внутренних стационарных зарядах на границе листов отвечает реальной картине поля и может быть сохранено как вспомога тельное понятие. Если расслоить один из листов по всей площади, сохранив контакт между слоями только по линии раздела, то поле в каждом из них оста нется плоским и его строение не изменится. Это существенно упрощает изготовление моделей. Нужное соотношение удельных поверхностных сопротивлений можно подобрать, накладывая листы друг на друга и затем склеивая их или прижимая их друг к другу только по линии раздела сред и на электродах. На всей остальной площади листы могут приходить в контакт только под нажимом зонда. Общее сопротивление на квадрат для стопы листов находится по фор муле параллельного соединения проводников ( 12. 10) Имея листы с разным удельным сопротивлением, можно воспроизвести границу сред с любым заданным отношением удельных сопротивлений. § 13. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ БУМАГИ 1. Жидкие и твердые модели. Исследование трехмерных стационар ных электрических полей является сложной задачей. Оно требует изме рений потенциалов во всем пространстве, занятом проводящей средой, с помощью зонда, который перемещается внутри нее. В твердом провод нике такие измерения невозможны, и изучить существующее в нем ста ционарное поле можно только с помощью жидкой модели. Сосуд из ди электрика, геометрически подобный проводнику, наполняется электро литом и с помощью соответствующих электродов включается в цепь (ср. рис. 39—41). Зондом может служить тонкий металлический стержень, хорошо изолированный по всей длине, кроме самого конца. Значительно проще исследовать плоское стационарное поле. В этом случае нет необходимости вводить зонд внутрь проводящей среды. По тенциалы измеряются на поверхности проводящей пластины (§ 9, п. 3), имеющей профиль данного проводника и являющейся его моделью. Про водящей средой для плоских моделей могут служить слой электролита, фольга и электропроводная бумага. Наиболее однородной средой является электролит, но измерения в электролитической ванне осложняются электролизом и представляют значительные технические трудности. Твердые модели, т. е. модели, выполненные из фольги или электропроводной бумаги, обладают элек тронной проводимостью. При их применении получается меньшая точ ность, но существенно упрощается эксперимент. Особые преимущества при моделировании имеет электропроводная бумага, обладающая боль шим удельным сопротивлением, так как при этом можно применять зна чительное напряжение. Фольга, хотя и более однородна и, будучи наклеена на бумагу *), удобна в обращении, но требует применения переменного напряжения, что осложняет измерительную схему. Моделирование поля в зонально неоднородных средах осуществляется, как правило, только при помощи электропроводной бумаги. 2. Электропроводная бумага. Обычная бумага в сухом виде является хорошим диэлектриком. Однако если при ее изготовлении ввести в бумаж ную массу электропроводные частицы сажи или графита так, чтобы они соприкасались друг с другом, образуя проводящие мостики, то бумага окажется проводящей и механизм ее электропроводности будет электрон ным [1 ] **). Чем больше проводящего вещества содержится в бумаге и чем она плотнее, тем меньше ее удельное сопротивление. *) Такая фольга называется кашированной на бумаге. ♦*) Список литературы приведен в конце книги. Как всякая проводящая пластина, электропроводная бумага харак теризуется удельным поверхностным сопротивлением (§ 11, п. 4). Удель ное поверхностное сопротивление электропроводной бумаги может изме няться от нескольких десятков омов до нескольких мегомов, в зависи мости от способа ее изготовления. Для сравнения укажем, что удельное поверхностное сопротивление алюминиевой фольги толщиной в 12 микрон, вычисленное по формуле (11.2), составляет 2 ,5 -10~3 ом. При изготовлении электропроводной бумаги с высоким удельным поверхностным сопротивлением (от нескольких килоомов до мегомов) в качестве электропроводного наполнителя используется сажа. Ее части цы адсорбируются волокнами бумажной массы и равномерно покрывают их. Для изготовления электропроводной бумаги с меньшим удельным поверхностным сопротивлением (десятки и сотни омов) применяется графит. Электропроводная бумага обладает отрицательным температурным коэффициентом сопротивления — с повышением температуры ее удельное сопротивление уменьшается. При колебании температуры оно обнаруживает своеобразный гисте резис. При повышении влажности окружающего воздуха удельное сопро тивление электропроводной бумаги несколько увеличивается. Заметим, что некоторые сорта черной оберточной бумаги, в которую заворачивают фотоматериалы, обладают достаточной электропроводно стью и могут быть использованы как высокоомная электропроводная бумага с удельным поверхностным сопротивлением порядка 1 мегома. Электропроводным наполнителем в данном случае является сажа. 3. Включение моделей в цепь. Модели из электропроводной бумаги включаются в цепь с помощью металлических шин. Прямолинейными Рис. 55. Устройства, позволяющие прижимать к электропроводной бумаге медную проволоку (а) или полоску латуни (б): 1 — деревянная доска, 2 — планка из оргстекла, 3 — полоска латуни; 4 — полоска сукна или резины. 5 — элект ропроводная бумага, 6 — шайбы. шинами могут служить медные проволочки или полоски латуни. Их хорошо зачищают и плотно прижимают к электропроводной бумаге с по мощью устройств, показанных на рис. 55 (см. также [2]). Для амортиза ции под бумагу подкладывают полоски сукна или листовой резины. Фигурные шины приготавливаются из отожженной, а затем хорошо зачи щенной медной проволоки диаметром 0,5— 1,0 мм или из фольги и при клеиваются к электропроводной бумаге электропроводным клеем сле дующего состава [21: эмалит — 25 г, ацетон — 10 мг, сажа газовая — 5 г. Склеивание производится последовательно, отдельными участками, которые затем покрываются обыкновенной бумагой и плотно прижимаются. Листы электропроводной бумаги можно склеивать между собой электропроводным клеем следующего состава [21: клей БФ-2 (один тюбик) — 30 г, спирт ректификат — 25 млу сажа газовая — 3—4 г. Тюбик клея БФ -2 переворачивают колпачком вниз и ножницами обрезают его заглушенную сторону. Затем клей выливают в банку, разводят спиртом и добавляют сажу, тщательно перемешивая до получения однородной массы. Клей хранится в закупоренном сосуде и перед употреблением хоро шо перемешивается. Он наносится на бумагу кисточкой, так, чтобы шири на шва составляла несколько миллиметров. Склеенные участки покры ваются обыкновенной бумагой и тщательно приглаживаются рукой или валиком. Электропроводную бумагу можно склеивать также тушью, причем лучше применять морозоустойчивые сорта *). 4. Слоистые модели. Если сложить вместе два листа электропроводной бумаги, осуществив контакт между их краями (§ 1 2 , п. 2 ), то это будет равносильно увеличению толщины бумаги вдвое и общее удельное поверх ностное сопротивление окажется вдвое меньше, чем для одного листа. При изучении поля в неоднородном проводнике, имеющем зоны с раз ным удельным сопротивлением, модель склеивают из нескольких листов электропроводной бумаги, подобранных так, чтобы отношение их удель ных поверхностных сопротивлений соответствовало заданному отношению удельных сопротивлений моделируемых сред: : Б С 2 *7?г]з = 6 1 : 6 г •вз- (13.1) Для реализации наиболее простых соотношений удельных сопротив лений (1 : 2 , 1 : 3) применяются стопы из нескольких листов одного и того же сорта бумаги, причем листы склеиваются не по всей площади, а только краями и по линии раздела моделируемых сред (§ 1 2 ). Для осуществления контакта между стопой листов электропроводной бумаги и питающей шиной используются либо слоистые шины, либо пате фонные иглы. В первом случае между листами бумаги прокладываются полоски фольги, соединенные между собой; во втором — модель разме щается на деревянной доске, вдоль ее края выкладывается полоска фольги, наклеенной на бумагу, и в нее забиваются патефонные иглы, осуществляю щие контакт фольги со всеми листами. В связи с тем, что электропроводная бумага обладает некоторой анизотропией (ее проводимость в направлении волокон отличается от про водимости в поперечном направлении), для точных количественных опытов применяются двухслойные модели, составленные так, чтобы направления волокон в нижнем и верхнем листах электропроводной бумаги были взаимно перпендикулярны. Листы скрепляются только своими краями, свободно соприкасаясь по всей поверхности. По существу, опыт произ водится одновременно на двух разных моделях при одинаковых гранич ных условиях. Вследствие анизотропии и неоднородности электропровод ной бумаги распределение потенциала на них будет различным. Прижимая к поверхности верхнего листа зонд, мы приводим обе модели в контакт и за счет этого измеряем некоторый средний потенциал. Очевидно, что удельное поверхностное сопротивление для двухслойной модели вдвое меньше, чем для одинарной. Как будет показано в § 37, слоистые модели из электропроводной бумаги применяются также и при моделировании осесимметричных полей. На электропроводной бумаге можно непосредственно строить сетку поля, проводя силовые и изопотенциальные линии цветными карандашами или гуашевой краской, смешанной со столярным клеем. Можно приго товить большие действующие модели для лекционных демонстраций. *) На эту возможность нам любезно указал В. А. Бушманов. § 14. ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ В СТАЦИОНАРНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 1. Измерения потенциалов. Как уже отмечалось (§ 8), стационарное электрическое поле, существующее в проводящей среде, органически свя зано с наличием электрического тока. Это позволяет измерять потенциалы значительно проще и точнее, чем это возможно в электростатическом поле, используя приборы, потребляющие ток. Начнем с измерений, которые легко осуществить в аудитории. Для определения разности потенциалов между точками А и В, находящимися на поверхности проводящей пластины, нужно прикоснуться к ним двумя зондами, подключенными к гальванометру. Зонд представляет собой металлический стержень, покрытый снаружи изоляцией до самого острия. Вместо зондов можно использовать цанговые карандаши. Если сопротивление гальванометра достаточно велико, то ответвление тока в измерительную цепь будет незначительным и не вызовет заметных искажений в распределении тока в пластине и, следовательно, не изменит и стационарное электрическое поле, поддерживающее этот ток. При этом условии можно считать, что отклонение стрелки гальванометра пропор ционально искомой разности потенциалов, а отсутствие тока в нем озна чает, что потенциалы исследуемых точек одинаковы. Установив один зонд неподвижно и перемещая другой по поверх ности пластины, можно найти точки с потенциалами, равными потенциалу исходной точки, и, соединив их плав ной кривой, начертить изопотенциальную линию. Построив ряд таких линий и проведя ортогонально к ним силовые линии, мы получим полное представ ление о конфигурации поля. 2. Определение проекций вектора Е . Укрепив в планке из изолятора на не большом расстоянии (/) друг от друга два металлических острия, мы получим Рис. 56. К измерению проекции век двойной зонд с постоянной базой (база —- тора Е на заданное направление с расстояние между его иглами), позво помощью двойного зонда. Кружками показаны иглы зонда. ляющий сравнивать напряженности в разных точках неоднородного стацио нарного поля. Действительно, если база зонда / достаточно мала, а сило вые линии поля не слишком искривлены, то стационарное поле в окрест ности зонда можно считать однородным. При этом условии напряжение между иглами зонда Л(7 можно выразить через проекцию напряженности поля в средней точке зонда на прямую, проходящую через его иглы (рис. 56): (7 = 5 ,/, откуда = 4 -. (14.1) Напряжениена зондеV равно произведению числа делений, отсчитанных по шкале гальванометра (/V), на цену одного деления (а), которая известна или может быть определена заранее: (7 = <хА, (14.2) и окончательно имеем: где р — постоянная, равная 5 г. А. Рязанов Для определения знака проекции вектора Е на заданное направление необходимо условно отметить на зонде (стрелкой 1 ) положительное направ ление и соответственно перенумеровать его иглы (см. стрелку 1 на рис. 57). Первую иглу нужно соединить с положительным зажимом гальванометра, а вторую — с отрицательным. Тогда отклонение стрелки гальванометра вправо будет означать, что потенциал первой иглы выше потенциала второй иглы и проекция вектора на направление, указывае мое стрелкой 7, положительна. Напротив, отклоне ние стрелки гальванометра влево будет указывать, что эта проекция отрицательна. С помощью двой ного зонда можно определять значения нормальной и касательной составляющих вектора Е в любой точке заданной кривой (Еп и Е х). Располагая иглы зонда сначала вдоль оси х, а затем вдоль оси у, можно найти проекции вектора Е на оси координат — Ех и Е уу а затем определить модуль вектора Е: Е = У Е * Х+ Е * Ч (14.5) и его направляющие косинусы: сов а = Рис. 57. Двойной зонд со стрелкой, указывающей направ ление, на которое проектируется век тор К (оно соответ ствует нумерации игл). , сок р = - у - . (14.6) При демонстрациях величины Ех, Е у и Е выра жаются непосредственно в делениях шкалы гальва нометра (/V) и откладываются в удобном масштабе на самой модели. 3. Построение силовых линий с ного зонда. Укрепим на двойном зонде вторую стрел ку, перпендикулярную первой, проходящую через его середину и направленную так, чтобы поворот к ней от стрелки 1 (крат чайшим путем) происходил по часовой стрелке. Это позволит находить направление вектора Е в точках поля без определения его составляющих и строить силовые линии поля без предварительного построения изопотенциальных линий. Начнем с определения направления вектора Е . Совмещаем середину зонда с заданной точкой поля и, поворачивая зонд около нее, находим положение, при котором стрелка гальванометра устанавливается на нуле. Это будет означать, что иглы зонда расположились вдоль изопотенциальной линии и вектор Е лежит на прямой, совпадающей со стрелкой 2. Остается установить, совпадает ли направление стрелки 2 с направ лением вектора Е или противоположно ему. Для этого слегка повернем зонд по часовой стрелке и заметим, в каком направлении отклонилась стрелка гальванометра. Отклонение вправо (рис. 58, а) будет означать, что падение потенциала в окрестности исследуемой точки происходит в направлении стрелки 2 и, значит, в исходном положении эта стрелка указывала направление вектора Е. Напротив, отклонение стрелки галь ванометра влево покажет, что падение потенциала в окрестности зонда происходит в обратном направлении и вектор Е направлен противополож но стрелке 2 (рис. 58, б). Определив направление вектора Е в исходной точке, передвинем зонд в этом направлении и повторим опыт. Затем опять сместим зонд в направлении вектора Е и определим его направление в третьей точке и т. д. Линия, вдоль которой будет перемещаться средняя точка зонда, покажет расположение силовой линии, проходящей через исходную точку А (рис. 59). Так как при каждом новом шаге мы несколько отрываемся от силовой линии в сторону ее выпуклости, то построение следует повторить в обрат ном порядке, приняв за исходную точку конечную точку пройденного а) Рис. 58. К определению направления вектора Е большого поворота двойного зонда. путем не пути В (рис. 60). Это позволит оценить ошибку и исправить построенную кривую. Между построенными линиями ЛВ и ВС проводят вспомогатель ную линию ВО и смещают ее параллельно самой себе так, чтобы она прошла через точку А (АЕ). д Рис. 59. Построение силовых линий с помощью двойного зонда. Рис. 60. Уточнение формы силовой линии, проходящей через точку А . За истинную кривую принимается линия А Е . 4. Построение силовых линий путем измерений проекций вектора Е на оси координат. Поместим зонд в исходную точку и направим стрелку 1 Рис. 61. Построение силовой линии путем измерений проекций вектора Е на оси координат. сначала параллельно оси ж, а затем параллельно оси у. Показания гальва нометра N x и N у откладываются в удобном масштабе непосредственно 5* на самой модели и складываются геометрически. Построив отрезок, про порциональный вектору Е , переносим зонд в его конечную точку и повто ряем измерения. Соединив точки, в которых производились измерения плавной кривой, мы получим линию, близкую к искомой силовой линии (рис. 61). Заметим, что измерения пространственных стационарных электриче ских полей в глубокой электролитической ванне принципиально не отли чаются от измерений плоских полей. Там также возможны прямые изме рения проекций вектора Е на оси координат с помощью двойного зонда и соответствующее построение силовых линий. § 15. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ СТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 1. Измерения вектора Е . Берем прямоугольный лист низкоомной электропроводной бумаги с сопротивлением порядка 100 ом на квадрат, размерами, например, 60 X 80 см, и с помощью электропроводного клея (§ 13, п. 3) наклеиваем вдоль его противоположных сторон шины. Модель подключается через селеновый столбик к лабораторному автотрансформа тору или к потенциометру, включенному в сеть переменного тока. Подво дящие провода соединяются с шинами с помощью лабораторных зажимов («крокодилов») или зажимов из пластмассы. Демонстрационный двойной зонд с базой в 2—3 см снабжается двумя стрелками из диэлектрика, имеющими длину порядка 10 см и окрашенными в разные цвета, чтобы их было хорошо видно в аудитории. Стрелки крепятся так, чтобы их можно было легко снимать. Двойной зонд подключается к демонстрационному нуль-гальванометру с чувствительностью 10~б— 10*6 ^ или к зеркальному гальвано метру, имеющему переменный шунт. Идущие к гальванометру соедини тельные провода должны быть разного цвета и подключаются к гальва нометру так, чтобы отклонение его стрелки вправо соответствовало паде нию потенциала в направлении стрелки 2 (§ 14, п. 1). Напряжение на модели и сопротивление шунта гальванометра под бираются с таким расчетом, чтобы при расположении игл зонда вдоль силовых линий поля стрелка гальванометра отклонилась бы на всю шкалу. Начнем с рассмотрения демонстрации существования в электропро водной бумаге стационарного электрического поля (на зонде укрепляется только стрелка 1). Прикасаясь зондом к поверхности модели, обнаружи ваем отклонение стрелки гальванометра, что указывает на существование разности потенциалов между его иглами. Поворачивая зонд так, чтобы его иглы все время касались модели, находим направление быстрейшего падения потенциала, являющееся направлением вектора Е . Иллюстри руем понятие градиента потенциала (§ 2, п. 1). Опыт показывает, что вектор Е всюду параллелен свободным краям модели, причем, пока стрелка 1 направлена от положительной шины к отрицательной, стрелка гальванометра отклоняется вправо. Если зонд расположен перпендикулярно к силовым линиям поля и стрелка 1 совпа дает с изопотенциальной линией, то стрелка гальванометра стоит на нуле. Проводим на модели гуашевой краской с помощью транспортира и рейсфедера две направленные прямые, образующие с вектором Е углы в ± 6 0 °. Расположив зонд так, чтобы стрелка 1 совпала с одной из них (рис. 62), мы обнаружим, что показание гальванометра вдвое меньше максимального и соответствует проекции вектора Е на направление стрелки 1. Это происходит потому, что при постоянной базе зонда изме ряемое им напряжение пропорционально проекции вектора Е на прямую, проходящую через его иглы и направленную от иглы 1 к игле 2. Если стрелка гальванометра отклоняется вправо, то проекция вектора Ж на на правление стрелки 1 положительна. При отклонении стрелки прибора влево она отрицательна. Располагая зонд вблизи шин, а затем вблизи свободных краев модели, убеждаемся в том, что в первом случае нормаль ная составляющая вектора Е всюду имеет постоянное значение и равна вектору Е у а во втором — всюду равна нулю. Прикрепляем к зонду стрелку 2 так, чтобы поворот от стрелки 1 к стрелке 2 осу ществлялся по часовой стрелке, и демонстри руем правило определения направления век тора Е (§ 14, п. 3). Установив зонд так, чтобы стрелка гальванометра встала на нуль, по ворачиваем его по часовой стрелке и заме чаем, в каком направлении отклоняется стрелка гальванометра (отклонение вправо Рис. 62. Измерение проекции вектора Е на заданное направ будет означать, что вектор Е совпадает по ление. При повороте зонда на направлению со стрелкой 2). Поворачиваем 60° показания прибора умень шаются вдвое. зонд на 180° и, применив то же правило, на ходим для вектора Е прежнее направление. Переходим к опытам в неоднородном поле. Взяв снова прямоугольный лист электропроводной бумаги, наклеиваем вместо левой шины полу круглый электрод из фольги (рис. 63). Напряжение на модели и чувстви тельность измерительной цепи регулируем так, чтобы при измерениях поля вблизи электрода стрелка галь ванометра не выходила за пределы шкалы. Отметив на модели направления осей координат, измеряем проекции на них вектора Е в некоторой точке. Выбрав удобный масштаб, откла дываем на модели с помощью уголь ника отрезки, пропорциональные величинам Ех и Е у, и строим вектор Е . Повторяем измерение проек Рис. 63. Построение вектора Е в неод ций вектора Е и его построение в. нородном поле. других точках поля и сравниваем по лученные результаты. Можно изме рить нормальную составляющую вектора Е вблизи прямолинейной шины и убедиться, что здесь поле почти однородно. Полезно сравнить напря женности в двух точках при разных напряжениях на модели. Опыт пока зывает, что направления векторов и отношения их величин не изменяют ся. Напряжение не влияет на характер граничных условий, определяю щих строение поля: значения вектора Е изменяются пропорционально ДРУГ другу. 2. Построение изопотенциальных линий. Установив зонд в исходной точке, поворачиваем его до тех пор, пока стрелка гальванометра не вста нет на нуль, и отмечаем на модели мелом положение острия стрелки 1 . Так как в этом положении зонда стрелка 1 касательна к изопотенциал ьной линии, то можно считать, что найденная точка лежит на изопотенциальной линии, проходящей через исходную точку. Переносим в нее зонд и, повторив опыт, находим третью точку с тем же потенциалом и т. д. (рис. 64). Соединив эти точки плавной кривой, мы получим линию, близкую к изопотенциальной линии. Для контроля располагаем зонд так, чтобы стрелка 1 была направлена по касательной к ней. Стрелка гальвано метра должна при этом стоять на нуле. Изопотенциальные (и силовые) линии можно проводить на бу маге мелом и стирать клочком ваты, после чего модель может быть использована для новых опытов. 3. с помощью стрелки 2 . Поместив зонд в исходную точку и отыскав положение, при котором стрелка гальванометра устанавливается на нуле, отмечаем мелом положение острия стрелки 2. Так как стрел ка 2 в этом положении касательна к силовой линии, то можно счи тать, что найденная точка лежит Рис. 64. Положения двойного зонда при на искомой силовой линии. Пере построении изопотенциальной линии. носим зонд в эту точку и повто ряем все сначала (см. рис. 59). Отыскав ряд точек, соединяем их плавной кривой и отмечаем направ ление, соответствующее линии вектора Е . Для контроля построения устанавливаем зонд так, чтобы стрелка 2 была направлена по касатель ной к этой линии; стрелка прибора при этом должна стоять на нуле. Проследив пересечения изопотенциальных и силовых линий, убеждаемся в том, что они ортогональны. 4. Демонстрация теоремы Гаусса. Возможность измерять нормальную составляющую вектора Е позволяет иллюстрировать теорему Гаусса для плоского поля (§ 5). Проведем на описанный выше модели прямую аЬ и рассмотрим контур аЬсда (рис. 65). Поскольку в однородной проводя щей среде нет зарядов, то линейный поток вектора Е через этот контур должен быть равным нулю. Прове ряем это на опыте. Так как нормальная составляю щая вектора Е на свободных краях Ъс и да всюду равна нулю, то доста точно найти линейные потоки векто Рис. 65. К демонстрации теоремы Гаус ра Е через линии аЬ и сд. Разбив са. Линейный поток вектора Е через прямую аЬ на 10 равных отрезков, прямую аЬ оказывается равным линей ному потоку вектора Е через шину сс/. измеряем величины Еп в средних точ ках каждого из них, располагая зонд так, чтобы стрелка 1 указывала направление внешней нормали. Напря жение подбирается таким, чтобы при измерениях в области наиболее сильного поля стрелка гальванометра не выходила за пределы шкалы. Напряженности выражают непосредственно в делениях шкалы прибора. Взяв сумму произведений ЕпА 1, равную ^ Е пМ = М У 1Еп = Е ^ Е п, аЬ пЬ аЬ где /> — длина прямой аЬ, мы получим значение, близкое к линейному потоку вектора Е через прямую аЬ. Так как направление внешней нормали на этой прямой противоположно направлению тока, то этот линейный поток будет отрицательным. Затем находим значение вектора Е вблизи шины ей, где поле можно считать однородным, и, умножив его на длину отрезка Ь, получаем линейный поток вектора Е через этот участок кон тура. Поскольку вектор Е на линии ей совпадает по направлению с внеш ней нормалью, то его линейный поток через нее будет положительным. В пределах точности опыта оба потока оказываются равными по абсолютной величине: Еп I ^ /> |Еп |Сс/, 10 аЬ ИЛИ аЬ Следовательно, общий поток через поверхность, ограничивающую участок модели между сечениями аЬ и ей, равен нулю. В соответствии с (11.1) равенство линейных потоков вектора Е через линии аЬ и ей означает равенство сил тока, протекающего через соответствующие сечения модели. Вариантом описанного опыта может служить определение линейного потока вектора Е через прямоугольный кон тур атпка. 5. Определение дивергенции векто ра Е . Для определения величины с11у Е в плоском поле (5.7) достаточно опре делить частные производные А [ \Е = ~ х' + дх дЕх дх дНу дУ Рис. 66. К определению дивергенции вектора Е\ в отсутствие распределен ных зарядов она равна нулю. ду Выбираем точку Л/, лежащую в обла сти с резко выраженной неоднород ностью поля, и проводим через нее прямые, параллельные осям координат (рис. 66). На каждой из этих прямых отмечаем по две точки, отстоя щие от точки М на равных расстояниях Д: точки а и Ь — на прямой, параллельной оси X, и точки с и й — на прямой, параллельной оси У. Измерив проекции Е х в точках а и Ь, взяв их разность и разделив ее на длину Д, мы получим величину, близкую к значению производной д х ** в точке М: дх Г дЕх ^ !‘ Ьх V дх ) м ^ах Д Р № ь х ~ М ах), (15.1) где Аг/,л. и Л7их — соответствующие показания прибора, а р — константа, определяемая соотношением (14.4). Соответственно измерив проекции Е у в точках с и й, можно опреде лить величину производной Г оеу \ ( —^— ) : V ду У м : (15.2) Взяв сумму выражений (15.1) и (15.2), мы найдем значение дивергенции вектора Е в точке М. Опыт показывает, что, в соответствии с (5.7), оно равно нулю: (КЬх - N ах) + (Пеу - Мау) = 0. (15.3) Полученный результат не зависит от выбора системы координат. Повер нув исходную систему координат на произвольный угол и повторив опыт, мы получим тот же результат. 6. Измерение линейного потока вектора Е . В описанных выше опытах (§ 15, п. 4) линейный поток вектора Е через заданную кривую вычис ляется приближенно, путем измерений нормальных составляющих век тора Е в отдельных точках. Между тем в некоторых случаях определение этой величины можно свести к одному измерению. Допустим, что один из питающих модель электродов установлен в середине модели, а последовательно с ним включен прямоугольный лист Рис. 67. Определение линейного потока через замкнутый контур Ь путем измерения напряженности однородного поля в прямо угольном листе, включенном последова тельно с электродом, питающим модель. Рис. 68. К определению линей ного потока вектора Е через кри вую 1 . электропроводной бумаги с тем же удельным поверхностным сопротивле нием и шириною / (рис. 67). Поскольку сила тока, протекающего через электрод, равна силе тока в прямоугольном листе, то линейные потоки вектора Е через контур Ь, окружающий электрод, и через прямую аЬ, проведенную на прямоуголь ном листе, равны. Учитывая, что поле в прямоугольном листе однородно (Е 0), имеем: § Е п<11= Е01. (15.4) Определение потока вектора Е сводится к измерению напряженности однородного поля в прямоугольном листе. Таким же способом можно определить потоки вектора и через кривую, окружающую электрод на модели, показанной на рис. 68, и т. п. Применение вспомогательного прямоугольного листа позволяет оце нить точность непосредственного измерения линейного потока путем измерений нормальных составляющих вектора Е . 7. Измерение линейного интеграла вектора Е . Возможность опреде лять проекции вектора Е на заданные направления позволяет продемон стрировать основное свойство потенциальных электрических полей (2.34). Отметим на модели две произвольно выбранные точки 1 и 2 и соединим их двумя ломаными 1 а2 и 1 Ъ2 (рис. 69), затем разобьем каждую из них на 10 равных участков и измерим в их средних точках проекции Е г. Тогда приближенные значения линейных интегралов вектора Е для обеих ломаных можно найти по формуле ^ ,< й ® » р Д /2 ^ ,. (15.5) Определив суммы 2 ^ 1 и 2 мы можем сравнить линейные инте1о2 162 гралы ^ Е хд1 и Е гд 1. Опыт показывает, что в пределах точности изме рз 162 рений они равны; линейный интеграл вектора Е вдоль кривой, соединяю щей две точки поля, созданного заря дами, не зависит от ее формы. 8. Измерение потенциалов с по мощью двух одинарных зондов. Заме нив двойной зонд двумя одинарными, переходим к непосредственному изме рению потенциалов. Один зонд укреп ляется неподвижно в произвольно выбранной нулевой точке, а второй — пе ремещается по поверхности модели. Отыскивая точки с одинаковыми *зна Рис. 69. При определении линейных чениями потенциала, можно строить интегралов Е по двум ломаным (1а2 изопотенциальные линии. Такой способ и 1Ь2), соединяющим две точки ста значительно проще и точнее, чем по ционарного электрического поля, строение изопотенциальных линий с получаются одинаковые значения. помощью двойного зонда. Изопотен циальные линии можно строить с постоянным интервалом потенциала, что придает картине поля большую наглядность. На обращенной модели (§ 7) таким способом можно намерять функцию потока и строить сило вые линии, разбивающие область поля на трубки равного потока напря женности. 9. Демонстрация закономерностей стационарного электрического поля в зонально неоднородной проводящей среде. Наклеим на большой прямо угольный лист низкоомной электропроводной бумаги кружок диаметром в 20 см из той же бумаги (клеем смазываются только края кружка), а вдоль краев модели — полоски фольги или проволочные шины. Ясно, что величина /?□ у склеен ного участка будет вдвое меньше, чем на остальной части листа, и мы сможем исследовать плоское стационарное электрическое поле в зонально неоднородной среде. Рис. 70. К демонстрации граничных усло Проведем светлой гуашевой вий вектора Е на линии раздела двух пла стин с разными удельными поверхност краской отрезки радиальных пря ными сопротивлениями. мых, изображающих нормали и поверхности раздела (см. рис. 70), и проследим, как изменяются нормальная и касательная составляющие вектора Е . Располагая двойной зонд по обе стороны от границы, так, чтобы стрелка 1 совпадала с нормалью к границе, мы обнаружим, что нормальные составляющие вектора Е в разных точках контура имеют разные значения, но отношение их, в соответствии с (12.4), всюду равно двум. Наличие скачка нормальной составляющей вектора Е означает, что поверхность раздела двух сред покрыта стационарными электрическими зарядами. Затем зонд располагается так, чтобы стрелка 1 была направлена по касательной к поверхности раздела, и сравниваются касательные составляющие вектора Е. Хотя величина составляющей 5 / зависит от по ложения точки на контуре, ее значения в двух близких точках, располо женных по обе стороны от поверхности раздела, всюду одинаковы. Экспе риментально можно показать, что значения составляющих Еп и Е ь внутри кружка в точках, лежащих на прямой, образующей угол в 45° с направ лением внешнего поля, равны между собой и, следовательно, вектор Е внутри кружка имеет такое же направление, как и в невозмущенном поле. Легко убедиться, что поле здесь однородно, совпадает по направлению с невозмущенным полем у шин *), но слабее его. Это объясняется тем, что дополнительное поле, созданное стационарными зарядами, покрываю щими поверхность раздела, внутри зоны с меньшим удельным сопротив лением направлено противоположно внешнему полю (§ 10). Переходим к исследованию поля вне кружка. Измерив здесь состав ляющие вектора Еп и Е г (на той же прямой), мы обнаружим, что первая из них больше второй и, следовательно, вектор Е наклонен здесь к центру кружка. Силовые линии стационарного поля как бы втягиваются в среду с меньшей проводимостью, но частично обрываются на поверхности раздела. Совсем иначе выглядит распределение тока. Так как на поверхности раздела двух сред нормальная составляющая вектора плотности тока остается непрерывной, то все линии тока, подходящие к поверхности раздела, входят во вторую среду. Напряженность поля в кружке умень шается в меньшей степени, чем удельное поверхностное сопротивление, и при переходе в зону с меньшим удельным поверхностным сопротивле нием плотность тока возрастает: линии тока как бы втягиваются внутрь кружка. Приготовим новую модель. Для этого вырежем в прямоугольном листе низкоомной электропроводной бумаги круглое отверстие диаметром в 20 см и наклеим этот лист на такой же сплошной лист. Края отверстия аккуратно смазываются электропроводным клеем и прижимаются к ниж нему листу; питающие шины располагаются по краям модели так же, как и в предыдущем опыте. В этом случае удельное поверхностное со противление в кружке будет вдвое больше, чем на остальных участках модели, и мы сможем исследовать поле в проводящей среде, со держащей цилиндрическую область с вдвое ббльшим удельным сопро тивлением. Снова убеждаемся в том, что нормальная составляющая вектора Е испытывает скачок на поверхности раздела двух сред, а его касательная составляющая остается непрерывной. Далее опыт показывает, что и в этом случае поле в кружке однородно. Однако напряженность поля внутри него больше, чем в невозмущенном поле вблизи шин, так как здесь поле стационарных зарядов, покрывающих поверхность раздела, совпадает по направлению с внешним полем. Сравнив нормальную и касательную составляющие вектора Е в точ ках, расположенных вне кружка, мы обнаружим, что вектор Е отклоняет ся здесь в сторону от его центра. Силовые линии стационарного поля как бы стремятся обойти область, занятую средой с ббльшим удельным сопротивлением (§ 10). Так как *) Строго говоря, поле будет здесь однородным только при условии, что диаметр круга достаточно мал по сравнению с шириною модели (рис. 38). линии тока совпадают с силовыми линиями, то и они стремятся обойти область с бблыиим удельным сопротивлением: плотность тока в кружке меньше, чем в невозмущенном внешнем поле вблизи шин. Увеличение напряженности поля внутри кружка не может скомпенсировать увеличе ние удельного поверхностного сопротивления. § 16. ИЗМЕРЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ КОМПЕНСАЦИОННОЙ СХЕМЫ 1. Измерительная схема. Прямые измерения стационарного электри ческого поля очень просты и наглядны, но имеют один существенный недостаток. Они сопровождаются ответвлением тока в измерительный прибор, что искажает строение поля. Поэтому при точных количественных опытах напряжение между иглами двойного зонда или между двумя одинарными зондами измеряется компенсационным методом, т. е. сравнивается с другим известным напряже нием; при этом ответвления тока в прибор не происходит. В измерительную цепь, содержащую двой ной зонд ДЗ (рис. 71), вводится участок низ коомного реохорда Я 0, включенного последова тельно с магазином сопротивлений /?, в цепь постороннего источника тока. Напряжение на этом участке цепи зависит ют его длины, и, перемещая движок реохорда Б , можно вклю чать в измерительную цепь любое напряжение, в пределах от нуля до полного напряжения, существующего на реохорде, которое в свою очередь можно изменять с помощью магазина сопротивлений. Таким образом, в цепи гальва Рис. 71. Компенсационная нометра как бы действуют два источника тока: схема для измерения на роль одного играет двойной зонд, роль дру пряжений, снимаемых двой гого — участок реохорда АО. Измерение заклю ным зондом или двумя одинарными зондами. чается в компенсации их напряжений. ДЗ — двойной зонд, 7?0 — Если, перемещая движок реохорда Б вправо реохорд, /*! — магазин со от точки А (т. е. удлиняя участок А), мы наблю противлений, П— переклю даем увеличение показаний гальванометра, то чатель, III — шунт к гавальванометру. ток, вызванный напряжением на реохорде, сов падает по направлению с током, вызванным напряжением на зонде, и компенсация этих напряжений невозможна. Тогда с помощью переключателя П изменяют направление тока, вызван ного разностью потенциалов на зонде. Исчезновение тока в гальвано метре означает, что напряжение на зонде равно напряжению на участке реохорда АО. Полное напряжение на реохорде составляет т т __ и *с ~ Н{ + Я 0 ' где /?! и Но — соответственно сопротивления магазина и реохорда, а # — ЭДС источника тока. Шкала реохорда обычно содержит 1000 равных интер валов, и если при компенсации напряжений его движок стоит против деления N 1 то напряжение на зонде равно 8Я0А ДI/ - — - N = ■ 1000 1000 (Я, + Д0) где а — постоянная, зависящая от параметров схемы: а = 1000(я0+Д) * (16е2) При компенсации указанных напряжений ответвления тока из модели в измерительную цепь не происходит, и процесс измерения не искажает стационарного поля. То положение переключателя П, при котором напряжение на рео хорде компенсирует положительное напряжение на двойном зонде (паде ние потенциала между иглами зонда происходит в направлении стрелки 2), заранее отмечается знаком плюс, а другое его положение — знаком минус. Это позволяет определять знак напряжения АV и, следовательно, знак проекции вектора Е на направление, указанное стрелкой 2. Так, напри мер, если компенсация напряжений на зонде достигается в положении переключателя 27, отмеченном знаком плюс, то это означает, что искомая проекция вектора Е положительна. Величина сопротивления подбирается в зависимости от интервала измеряемых напряжений с таким расчетом, чтобы напряжения на рео хорде хватило для компенсации наибольших напряжений, снимаемых зондом. Вместе с тем, по соображениям точности, значения N должны быть достаточно большими. Оптимальное значение величины В 1 опре деляется после нескольких пробных измерений. 2. Измерения при разных значениях величины а. Если напряжения на зонде изменяются в широком интервале, то их измеряют при разных сопротивлениях магазина. Соответствующие значения постоянной а определяют либо по формуле (16.2), либо путем измерений одного и того же напряжения при разных значениях величины 2?1е Допустим, что при изме рении напряжения на зонде для двух значений величины /?1 сделаны отсчеты по шкале реохорда N 1 и /У2. Выразив это напряжение через постоянные а 4 и а 2 по формуле (16.1), мы получим равенство = а2Аг2 и, зная е*!, можем найти а 2: «2 = 0 , - ^ . (16.2') При отыскании нужного положения переключателя П и подборе опти мальной величины сопротивления 7?! используют переменный шунт Ш. Вместо двойного зонда в схему можно включить два одинарных, предназначенных для измерения разностей потенциалов. Описанная выше схема после некоторых дополнений используется и при измерении на переменном токе. В этом случае модель и реохорд измерительной цепи подключают к обмоткам одного и того же трансформатора. § 17. ПРИМЕНЕНИЕ МОСТОВОЙ СХЕМЫ 1. Измерение потенциалов. Модель подключается параллельно к рео хорду, на котором поддерживается постоянное напряжение, например в 4 в (рис. 72). Одна из клемм гальванометра соединяется с движком 2), скользящим вдоль реохорда 2?0» а другая — с измерительной иглой И (одинарный зонд). Реостат 7?! позволяет регулировать напряжение. Если прикоснуться иглой к поверхности модели, то образуется проводящий мостик, переброшенный от одной параллельной ветви к другой, и при разности потенциалов на его концах гальванометр покажет ток. Схема аналогична мостику Уитстона. Так как поперечное сечение реохорда постоянно, то в нем происходит равномерное падение потенциала, и потенциалы его точек имеют значения, промежуточные между потенциалами его концов. Такие же потенциалы имеют и точки модели. Измерение потенциалов производится следующим образом. Коснувшись иглой точки модели, перемещаем движок реохорда до тех пор, пока стрелка гальванометра не встанет на нуль. Это будет означать, что потенциал движка равен потенциалу исследуемой точки, и нам остается прочесть соответствующее деление шкалы реохорда N . Потенциалы можно выражать непосредствен но в делениях шкалы реохорда, принимая потенциал его левого конца равным 1000, а потенциал правого — за нуль. Это будут безразмерные потенциалы относительно пра вого конца реохорда при базисном значении напряжения (§ 4, п.2), равном от общего напряжения. Абсолютные значения потенциалов опре деляются по формуле С <Р — 1000 лт ’ (17.1) Рис. 72. Мостовая схема для измерения потенциалов и по где 1000 цена Деления ш калы р еохор да. строения изопотенциал ьных 2. Построение изопотенциальных линий. линий. В — реохорд, Л* — рео Отыскание точек, имеющих заданный потен стат, И — измерительная игла, циал, и построение изопотенциальных линий В — движок реохорда, Ш — шунт к гальванометру. производится в обратном порядке. Уста новив движок реохорда на деление, соответ ствующее заданному потенциалу, перемещаем иглу по поверхности моде ли, добиваясь исчезновения тока в мостике. Нулевое показание гальвано метра будет означать, что потенциал точки модели, в которой находится измерительная игла, имеет нужное значение. Отметив ряд таких точек на модели легким нажатием иглы и соединив их плавной кривой, мы полу чим изопотенциальную линию с заданным потенциалом. Таким же обра зом строятся изопотенциальные линии, соответствующие другим значе ниям потенциала. После небольшой тренировки измерение потенциала или отыскание точки с заданным потенциалом занимает лишь несколько секунд. Так как ширина рулонов бумаги составляет 50—100 см, то модели, предназначенные для демонстраций, м о ж н о делать достаточно большими. Точки, имеющие заданный потенциал, отмечают мелом, и они хорошо видны всей аудитории. Изопотенциал ьные и силовые линии проводят мелками разных цветов. Совокупность изопотенциальных линий, отли чающихся на постоянный интервал потенциала, полностью характеризует строение электрического поля в проводнике. На тех участках модели, где они расположены гуще, разность потенциалов, приходящихся на единицу длины силовой линии, и, следовательно, напряженность поля больше. По изменению расстояния между изопотенциальными линиями можно проследить, как изменяется величина напряженности при переходе от одной точки к другой. Так как напряженность поля направлена перпендикулярно к изопотенциальным линиям и в сторону убывания потенциала, то, зная распо ложение изопотенциальных линий, можно сразу представить, как направ лен вектор Е в разных точках поля. Для определения напряженности в точке поля нужно провести через нее перпендикулярно к изопотенциальным линиям отрезок силовой линии. Если интервал потенциала Дф, с которым проведены изопотенциальные линии, достаточно мал и поле в окрестности этой точки (между ближай шими к ней изопотенциальными линиями) можно считать практически однородным *), то, измерив длину отрезка силовой линии Д/, ограничен ного смежными изопотенциальными линиями и, применив соотношение (2.41), мы получим: Зная цену деления шкалы реохорда и выразив напряжение Дф в воль тах, а длину Д/ в метрах, мы получим напряженность поля в вольтах на метр. На демонстрационных плакатах значение вектора Е в разных точках поля изображают стрелками соответствующей длины. Для большей наглядности картины строения поля на поверхности модели проводят от руки несколько силовых линий, следя за тем, чтобы они пересекали изопотенциальные линии под прямыми углами. На этих линиях ставят стрелки, указывающие направление быстрейшего падения потенциала. При выполнении лабораторных работ линии сначала намечаются на поверхности модели легкими штрихами простым карандашом (при исправлениях эти штрихи легко стираются), а затем обводятся цветными карандашами. Если модель должна служить демонстрационным плака том, то силовые и изопотенциальные линии обводятся гуашевой краской разного цвета. Примером может служит демонстрационный плакат, приведенный в приложении (рис. IV), на котором кроме изопотенциальных линий, отличающихся на постоянный интервал потенциала, проведены силовые линии, образующие с ними криволинейные квадраты (§ 18), и показано построение вектора Е в различных точках поля на основании прямых измерений его проекций на оси координат. Плакат выполнен из низко омной электропроводной бумаги и представляет собой действующую модель, которая включается в цепь с помощью электродов, сделанных из фольги. На лекции можно быстро проверить расположение изопотен циальных и силовых линий, а также сравнить напряженности в тех точ ках, где построен вектор Е . § 18. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНОЙ СЕТКИ ПОЛЯ 1. Трубки равного потока напряженности. Для большей наглядности картины поля и упрощения некоторых рассуждений силовые линии про водят по определенному правилу. Пусть в области трехмерного электрического поля, лишенной заря дов, имеется произвольный замкнутый контур Ь. Проведя через все его точки силовые линии, мы получим трубчатую поверхность (рис. 73), обладающую важным свойством: поток напряженности поля через любое ее сечение будет иметь постоянное значение. Действительно, проведя два произвольных поперечных сечения этой поверхности ^ и 8 *, мы получим замкнутую поверхность, не содержащую электрических зарядов, и по теореме Гаусса общий поток напряженности через нее будет ра вен нулю. Представив этот поток как сумму потока через боковую * Об этом можно судить по форме изопотенциальных линий. поверхность N 0 и потоков через сечения и ТУз2, имеем: Лг81+ А 82 = А б = 0. (18.1) Поскольку боковая поверхность образована сйловыми линиями, то нор мальная составляющая вектора Е на ней всюду равна нулю и N с -- 0. Подставив это значение в (18.1), мы получим: А 81 = - А 52. (18.2) Различие знаков этих величин объясняется тем, что внешние нормали к основаниям и б'о имеют противоположные направления: одна из них совпадает с направлением силовых ли ний, а другая направлена противопо ложно им. Область пространства, ограничен ная указанной поверхностью, называет ся трубкой потока напряженности. Так как поверхность проводящей среды совпадает с силовыми линиями сущест вующего в ней стационарного электри ческого поля, то каждая полоска элек Ь тропроводной бумаги, ограниченная двумя силовыми линиями, представляет Рис. 73. Трубка равного потока, собой трубку потока напряженности. образованная силовыми линиями, проходящими через контур Л. Вместе с тем в изотропной и однородной проводящей среде эта полоска будет являться и трубкой тока, через любое сечение которой проходит одна и та же сила тока. Картина строения поля становится наиболее наглядной, если силовые линии разбивают модель на трубки равного потока напряженности так, что силы тока в ограниченных ими полосках одинаковы. Они образуют вместе с изопотенциальными линиями, отличающимися на постоянный интервал потенциала, полную сетку поля. Там, где ячейки этой сетки мельче, напряженность поля больше, а вместе с тем больше и плотность тока. 2. Криволинейные квадраты. Для построения полной сетки ноля в однородном поле, где изопотенциальные линии параллельны друг другу, достаточно провести ряд прямых, перпендикулярных к изопотенциальным линиям, отстоящих друг от друга на равных расстояниях. В неоднород ном поле построение полной сетки сложнее и требует предварительных разъяснений. При пересечении силовых и изопотенциальных линий в неоднородном поле образуются фигуры, стороны которых являются отрезками ортого нальных кривых. Однако, проведя достаточное количество промежуточ ных изопотенциальных и силовых линий, можно разбить любую такую фигуру на прямоугольники. Если эти дополнительные линии разбивают ее смежные стороны на одинаковое число отрезков и с увеличением их чис ла получаются ячейки, все более похожие на квадраты, то фигуру назы вают криволинейным квадратом. В качестве примера на рис. 74 показан криволинейный квадрат, образованный пересечением двух концентриче ских окружностей и двух радиальных прямых. С помощью дополнитель ных окружностей и прямых его можно разбить на квадраты, причем вдоль каждой из сторон укладывается одинаковое число квадратов. Расположив гибкие изогнутые шины вдоль противоположных сторон криволинейного квадрата, вырезанного из электропроводной бумаги, можно считать, что мы имеем смешанное соединение из п полбсок, соеди ненных последовательно, каждая из которых содержит п квадратиков, соединенных параллельно. Так как общее сопротивление такого соедине ния равно сопротивлению одного прямолинейного квадрата, которое не зависит от его размеров (11.2), то, очевидно, все криволинейные квад раты независимо от их формы и раз меров имеют одно и то же сопротив ление, равное удельному поверхно стному сопротивлению проводящей пластины В^. 3. Если мы хотим, чтобы силовые линии разбили модель на трубки равного потока напряженности, совпадающие в однородной среде с трубками равРис. 74. Пример криволинейного квад- ного тока, то их нужно проводить рата. Он разбит на 100 ячеек, которые с таким расчетом, чтобы образуюможно считать квадратами. щиеся при этом ячейки являлись криволинейными квадратами и, сле довательно, имели равные сопротивления. Поскольку изопотенциальные линии построены с постоянным интервалом потенциала Аф, то на гра ницах этих ячеек будут существовать одинаковые напряжения и ^силы а) б) в) Рис. 75. Построение силовой линии: а) построение первого криво линейного квадрата; б) контроль путем приведения дополнительных квадратов; в) построение второго криволинейного квадрата. тока в них будут равны. За первую силовую линию принимается свобод ный край модели или линия симметрии поля. Построение выполняется в следующем порядке. С помощью изме рителя находят среднее расстояние д между двумя соседними изопотен циальными линиями в окрестности исходной точки О и проводят отрезок второй силовой линии так, чтобы она отстояла от первой в среднем на таком же расстоянии (рис. 75, а). Полученную фигуру пробуют разбить на четыре квадрата (рис. 75, б), и, если это не удается, исправляют построе ние. В сомнительных случаях каждый из полученных четырех квадратов в свою очередь разбивается на четыре более мелких квадратика. После того, как первый криволинейный квадрат построен, переходят к построе нию второго квадрата и т. д. (рис. 75, в). Если построение нового криво линейного квадрата оказывается несовместимым с уже построенными криволинейными квадратами, то силовую линию исправляют по всей ее длине. Сначала силовые линии только намечают, а затем «подгоняют» друг к другу. В процессе этой работы иногда приходится слегка «пере двигать» и сами изопотенциальные линии, внося таким образом поправки в данные опыта, которые содержат погрешности вследствие неоднород ности электропроводной бумаги или фольги. Таким образом, построение сетки поля служит контролем опыта и позволяет проверить правильность расположения найденных изопотенциальных линий. Если они проведены неверно, то построение криволинейных квадратов на одних участках модели окажется несовместимым с построением сетки поля на других участках. О результате работы можно судить только после построения всей сетки поля. На участках с резко выраженной неоднородностью поля криволиней ные квадраты могут иметь сильно искаженную форму, и тогда «на глаз» проводят промежуточные изопотенциальные линии с интервалом потен циала меньше основного интервала вдвое или вчетверо. Подчеркнем, что целое число трубок равного тока, как правило, не получается и послед няя из них обычно содержит меньший ток. Чтобы определить отношение этого тока к току в полной трубке, нужно сравнить трубки по их ширине. § 19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПЛАСТИН ПО СЕТКЕ ПОЛЯ 1. Связь между сопротивлением пластины и конфигурацией стацио нарного электрического поля. Понятие о сетке поля позволяет рассмо треть вопрос о зависимости сопротивления проводящих пластин от их формы, а также от способа включения их в цепь. Пусть интервал потен циала, с которым построены изопотенциальные линии, составляет часть общего напряжения на реохорде. Тогда каждая трубка будет состоять из п квадратов с сопротивлением 2?с , соединенных последовательно, и ее сопротивление будет равно пВ Если число трубок тока, соединенных между собой параллельно, равно т , то общее сопротивление модели составит л/?! 1 Г) П = ~пГ == -,п (19Л ) Таким образом, для определения сопротивления модели нужно знать числа п и т . Число п выбирают заранее. Обычно его берут равным 10 или 20. Число т находится из опыта. При этом нет необходимости строить сетку поля на всей модели и даже не нужно проводить все изопотенциаль ные линии. Достаточно найти расположение двух соседних изопотен циальных линий, одной из которых можетслужить питающая шина, и разбить ограниченнуюими полоску на квадраты.Очевидно, что число этих квадратов будет равно т . В случае прямоугольной модели отношение — равно отношению длины модели / к ее ширине д и мы получаем формулу Д = 4 - Дп- (19.2) При изучении сетки поля становится ясным, что сопротивление пластины определяется строением поля, которое в свою очередь зависит от ее формы. Построив сетку поля, легко установить, какие именно участки модели в основном определяют ее сопротивление и каких изменений сопротивления пластины можно ожидать при том или ином изменении ее формы. 6 Г. А. Рязанов 2. Контроль результата непосредственным измерением. Вернувшись к модели, приведенной в приложении (рис. IV), и определив для нее число равных интервалов потенциала (п) и число трубок равного тока (тп), можно вычислить ее сопротивление. Результат легко проверить на опыте. Для этого модель соединяют последовательно с квадратным листом, выре занным из такой же бумаги, и подключают параллельно к реохорду мостовой схемы. Определив потенциал средней точки, мы будем знать отношение напряжений на модели и на квадратном листе, равное отноше нию их сопротивлений. При обсуждении связи между сопротивлением проводника и сеткой поля следует подчеркнуть, что она позволяет понять физический смысл зависимости сопротивления проводника от его формы в самом общем случае. С этой точки зрения, изучение сеток поля имеет практическое значение. После некоторой тренировки можно «на глаз» определять расположение трубок равного тока в различных моделях и оценивать их сопротивление. § 20. УПРОЩЕННЫЕ МОДЕЛИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СИММЕТРИЧНЫХ ПОЛЕЙ 1. Использование линий симметрии. Если заранее известно, что сетка поля в исследуемой модели обладает симметрией, то эксперимент можно существенно упростить. В этом случае нет необходимости иссле довать всю поверхность модели и можно ограничиться только частью, ограниченной ее краем и ли нией симметрии или двумя линиями симметрии. Затем, чтобы получить полную кар тину поля, эту часть сетки поля перекалывают на новый лист в различных положе ниях относительно осей симЬ мстрии. Легко понять, что шш=* линией симметрии поля мо жет быть либо силовая ли ния, либо изопотенциальная линия. Только в этих слу чаях, повернув сетку поля относительно нее на 180 , мы не получим излома силовых и изопотенциальных линий (§ 2 ). 2. Примеры симметричных долей. Рассмотрев мо дель, показанную на рис. 76, можно сразу сказать, что средняя л и н и я тока будет прямой и разделит модель на две одинаковые части, соединенные параллельно. Действи тельно, модель симметрична относительно прямой аб, и у нас нет никаких оснований считать, что линия тока, вышедшая из середины шины перпендикулярно к ней, отклонится вверх или вниз. Следовательно, если мы разрежем модель по линии аЬ, то это не изменит строения поля в каждой из половин модели. Далее, можно заранее сказать, что линия ей должна быть изопотенциальной линией с относительным потенциалом, равным 500. Эта линия также делит модель на две одинаковые части, и если бы она не являлась изопотенциальной, то строение поля в этих половинах модели было бы различным, однако для такого предположения нет никаких оснований. Рис. 76. Стационарное электрическое поле, нмеющее две линии симметрии аЬ и Ы. Поскольку эти две половины модели соединены последовательно, то паде ния потенциала на них должны быть равными, и если наклеить по линии ей медную проволоку, то она примет потенциал 500, нисколько не изме нив строения поля. В каждой из этих половин модели мы можем изучать поле независимо от другой. Таким образом, можно приготовить упро щенную модель, представляющую собой четверть полной модели, ограни ченную линиями симметрии аЬ и ей. Интервал потенциала в 10 деле ний шкалы реохорда на такой модели будет соответствовать интервалу в пять делений на полной модели. Если требуется сделать демонстрационный плакат, то сетка поля перекалывается на лист, имеющий форму полной модели, в четырех различных положениях относихс тельно линий аЬ и ей. Переход из одного положения в другое осуществляется путем поворота Рис. 77. Еще один пример симметрии поля. Стрелками показаны значения вектора Е . Рис. 78. Упрощенная модель, с по мощью которой можно построить несколько картин поля (см. приложе ние рис. V, VI, VII). на 180°, сначала около линии аЪ, затем около линии ей и, наконец, снова около линии аЪ. Работу можно упростить, взяв лист, сложенный вчет веро, и приложив к нему упрощенную модель так, чтобы линии излома бумаги совпали с линиями симметрии. Таким же способом можно упрос тить изучение модели, показанной на рис. 77: осевая линия аЬ здесь является линией тока, а линия ей — изопотенциальной линией. В более сложных случаях, когда симметрия поля не очевидна, можно начать с полной модели, а затем, убедившись в существовании симметрии, перейти к упрощенной. На рис. 78 показана упрощенная модель, пользуясь которой можно построить разные сетки поля [см. приложение (рис. V, VI, VII)]. Во всех случаях число трубок равного тока т вдвое меньше соответ ствующего числа интервалов потенциала, и, следовательно (§ 19), сопро тивление каждой из моделей вдвое больше удельного поверхностного сопротивления. Справедливость этого заключения полезно проверить на опыте, так как оно часто вызывает удивление. Обычно кажется, чтоширокая прорезь в середине листа (рис. VI) или глубокие надрезы по» его краям (рис. VII) должны увеличить сопротивление квадратной пла стины не вдвое, а раз в десять! Здесь важно уяснить, что изменение гранич ных условий на одном участке модели вызывает перестройку поля во всеш области: поле как бы приспосабливается к новым граничным условиям. $ 21. БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ ИНДИКАТОРЫ НАПРЯЖЕНИЯ 1. Применение электронного осциллографа. Инерция подвижной системы стрелочного или зеркального гальванометра затрудняет много кратные измерения, и для демонстраций желательно иметь безынерцион ный прибор. Многие из описанных выше опытов (§ 19) можно показать, работая с переменным током, используя в качестве индикатора напряже ния электронный осциллограф. Так как осциллограф не потребляет тока, то измерения, проводимые с его помощью, не искажают поля. Величина удельного поверхностного сопротивления электропроводной бумаги не имеет значения, можно применять высокоомные сорта. Экран осциллографа снабжается демонстрационной шкалой, и о вели чине напряжения судят по ширине светлой полосы, оставляемой элек тронным лучом. Подводящие провода от зондов должны проходить внутри заземленных экранов. Питание модели осуществляется непосредственно от сети или через лабораторный автотрансформатор. Однако прямые измерения с помощью осциллографа не позволяют определять знак разности потенциалов и, следовательно, знак проекции вектора Е на заданное направление. Поэтому его применение наиболее целесообразно при контрольных измерениях на действующих демонстра ционных плакатах с заранее построенной сеткой поля. Подключив осцилло граф к двойному зонду или к двум одинарным зондам, можно быстро проверить правильность расположения изопотенциальных и силовых линий, сравнить значения вектора Е в разных точках поля и т. п. Кроме того, осциллограф может быть использован как индикатор нуля в мостовой и компенсационной схемах (§§ 16 и 17). 2. Звуковой индикатор нуля. Если в качестве источника напряжения использовать звуковой генератор и проводить опыт на частоте в несколько сот герц, то безынерционным индикатором нуля может слу жить динамик, включенный в измерительную схему через уси литель мощности. 3. ний. Для определения знака проекции вектора Е на заданное направление с помощью элект ронного осциллографа можно воспользоваться следующим прибором (рис. 79). На верти кальной подставке укрепляется прямоугольный лист электро проводной бумаги Л, в середине которого помещается вспомога Рис. 79. Компенсатор напряжений, позво ляющий определять знак напряжения на тельный двойной зонд Д З г, зонде при измерениях на переменном токе. снабженный длинной стрелкой. Л — прямоугольный лист электропроводной Лист Л через реостат В и пере бумаги, Д32— вспомогательный двойной зонд, ключатель П подключается к В — реостат, П — переключатель, позволяю щий изменять фазу напряжения на 180°. специальной обмотке трансфор матора, питающего модель, и в нем возбуждается однородное электрическое поле. Деления шкалы про порциональны значениям косинуса угла между направлением стрелки и вектором Е , и, следовательно, они пропорциональны напряжению между иглами зонда. Вспомогательный зонд Д 3 2 включается в цепь осциллографа последовательно с рабочим зондом Д З Х(рис. 80), и, вращая его в ту или другую сторону, можно добиться компенсации напряжений в цепи осциллографа (оба напряжения изменяются синфазно). Это будет означать, что измеряемое напряжение равно по ампли Ю'Ху» туде напряжению на вспомогательном зонде, о вели чине которого можно судить по отклоненщо его стрелки. С помощью переключателя П устанавливает ся такая полярность включения листа, при которой отклонение стрелки вправо соответствует положи тельным значениям измеряемого напряжения. Опти мальное напряжение на листе Л подбирается с помо щью реостата П. $ 22. ПРИМЕНЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ ПРИБОРОВ 1. Измерительные приборы. Описанные в § 15 опыты можно выполнить значительно точнее с по мощью лабораторных приборов. Хорошие результаты дает применение портативного зеркального микро вольтметра М-198, обладающего большим внутренним сопротивлением и высокой чувствительностью. Двой ной зонд с базой в 8—10 мм плотно прижимается Рис. 80. Измеритель к бумаге с помощью свинцового груза (см. рис. 81). ная цепь, содержащая напря Если удельное поверхностное сопротивление компенсатор жения и осциллог бумаги составляет несколько сот ом, то прямые раф. Д #1 — рабочий измерения напряженности электрического поля в зонд, Д 3 2 — вспомо этом случае практически не искажают поля. Так, гательный зонд, Д — Я — пере например, измерив в однородном поле несколько реостат, ключатель. проекций вектора Е на направления, образующие с линиями поля заданные углы, мы обнаружим, что показания прибора изменяются пропорционально косинусам углов. Возможен и другой контроль. Измерив в некоторой точке проекцию вектора Е на направление, указываемое стрелкой 7, установим рядом второй двойной зонд, замкнутый на сопротивление, равное сопротивле нию прибора. Опыт показывает, что ответвление тока во второй зонд (рав ное ответвлению тока в прибор) не изменяет показаний прибора и, сле довательно, не искажает поля. Напряжение на модели можно варьировать от долей одного вольта до нескольких десятков вольт. Как индикатор нуля в мостовой или компенсационной схеме прибор пригоден и для высокоомных сортов электропроводной бумаги с удельным поверхностным сопротивлением до Рис. 81. Двойной зонд. 100 ком и более. Еще большие воз можности дает применение зеркаль ного гальванометра М-21. Однако в обращении с этим прибором требу ется большая осторожность, что осложняет эксперимент. Используя лабораторные приборы для прямых измерений напря женности стационарного поля потенциала и функции потока, можно поставить ряд лабораторных работ по теории электромагнитного поля. Если вместо электропроводной бумаги использовать фольгу и измере ния проводить с помощью переменного тока промышленной частоты, то индикатором напряжения, или нуль-прибором, может служить вибрацион ный гальванометр. 2. Лабораторный реохорд. Лучше всего изготовить лабораторный реохорд самим. Калиброванный провод наматывают на барабан из орг стекла диаметром в 10—25 см и присоединяют к укрепленным в нем массивным латунным стержням. Контакт с ними осуществляется с помо щью прижатых к ним толстых латунных пластин. Движком реохорда служит колесико, перемещающееся вдоль тонкого стержня, расположен ного перед барабаном. Барабан делится на 100 делений, и при 10 витках общее число делений шкалы будет равно 1000. Сотни отсчитываются по шкале, вдоль которой перемещается колесико. Общее сопротивление реохорда порядка 10 ом, допустимое напряжение порядка 10 в. Для улучшения стабильности раооты реохорда необходимо следить за чистотой поверхности провода и всех скользящих контактов. По мере нужды их необходимо промывать спиртом 23. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ СТЕНД Для демонстраций с применением электропроводной бумаги полезно изготовить специальный стенд (рис. 82). На деревянном щите укрепляются два демонстрационных реохорда 1 и 2 (высокоомный и низкоомный), ^ 8 Рис. 82. Демонстрационный стенд. их шкала 3, стрелочный гальванометр 4 (можно воспользоваться измери тельным прибором от термопары), лабораторные автотрансформаторы 5 и 6, декады от магазинов сопротивлений 7 и 8 . потенциометр 9, планки с полосками высокоомной бумаги 10 и ряд клемм 11 , позволяющих состав лять различные варианты измерительной схемы. С помощью откидной рамки 12 на стенде укрепляются различные модели. На задней стороне щита укрепляются два селеновых столбика, через которые осуществляется питание модели и измерительной цепи в режиме компенсационной схемы. Высокоомный реохорд 1 и потенциометр 9 приготавливаются из низ коомной бумаги с удельным поверхностным сопротивлением в несколько сот ом. Для этого широкие листы электропроводной бумаги сворачиваются в тонкие рулоны. Они обладают сопротивлением в несколько сот ом и вы держивают напряжение до 100 в, что упрощает питание и повышает чув ствительность измерительной схемы. В качестве движков используются зажимы из пластмассы с укрепленными на них металлическими пластин ками и стрелками. Модели наклеиваются на листы картона одинаковых размеров. Электроды выполняются из фольги и включаются в цепь с помо щью лабораторных зажимов или зажимов из пластмассы. Применяя гибкие соединительные провода разных цветов, можно составить схему прямых измерений, мостовую схему, компенсационную схему, а также ряд других схем, которые будут рассмотрены ниже. Зало жив под рамку 12 несколько моделей, можно быстро сменять их на лек ции и переходить от одной измерительной схемы к другой. § 24. ВЫПОЛНЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ВНЕШНЕМ КОНТУРЕ Стационарное электрическое поле в проводящем листе может служить моделью любого плоского поля. 1. Смешанная краевая задача. Пусть моделируемая область поля, внутри которой нет зарядов, ограничена только внешним контуром, состоя щим из четырех участков (рис. 83, а), два из которых (аЬ и ей) совпадают с изопотенциальными линиями: фаЬ = ф1, фс<* = ф2> (24.1) а два других (Ьс и йа) — с силовыми линиями: ф</а = фц фьс = ф2» (24.2) причем разность потенциалов ф! — ф2 имеет заданное положительное значение, а разность функции потока \|?1 — ф2 остается неизвестной. Рис. 83. К реализации на внешнем контуре модели простейших граничных условий: область поля огра ничена двумя изопотенциальными и двумя силовыми линиями. С такими граничными условиями мы уже встречались при рассмотрении стационарного поля в электролитической ванне *) (§ 11). Очевидно, что условия (24.1) и (24.2) можно переписать в следую щем виде: 5 //аЬ = 0, Ецса = 0, (24.3) Еп/ьс = 0, Еп/(ла = 0. (24.4) *) Строго говоря, они выполняются в электролите приближенно, так как на электродах ванны существуют скачки потенциала, зависящие от природы электролита, вещества электродов и плотности тока. Чтобы воспроизвести это поле на модели, нужно вырезать из элек тропроводной бумаги лист, геометрически подобный данной области, наклеить вдоль краев аЬ и ей медные проволочки или полоски фольги (края Ьс и йа оставляются свободными) и подключить эти электроды к источнику тока (рис. 83, б). Поскольку граничные условия (24.3) и (24.4) выполняются при любом напряжении между электродами аЬ и ей, то значение напряжения не влияет на строение поля. При изменении внешнего напряжения потен циалы и напряженность стационарного поля в проводящем листе изме няются пропорционально их базисным значениям и безразмерные вели чины остаются постоянными. Внешнее напряжение влияет только на чув ствительность измерений. 2. Распределение функции потока. Обойдем контур модели по часо вой стрелке и проследим за изменением функции потока. При таком дви жении положительная нормаль всюду совпадает с внешней нормалью к контуру, и на участке аЬ, где ток входит в модель, нормальная состав ляющая вектора Е , а значит, и контурная плотность тока Ьбудут отрица тельны. Напротив, на участке ей, где ток вытекает из модели, обе эти величины положительны. Следовательно (§ 6), на участке аЪ происходит уменьшение функции потока, а на участке ей — ее увели чение, и соответственно силу тока, входящего в модель через край аЬ, нужно считать отрицательной, а силу тока, выходящего из нее через край ей,— положительной. На свободных краях Ьс и йа, совпадающих с силовыми линиями поля, нормальная составляющая вектора Е равна нулю и функция потока остается постоянной. Воспользуемся (11.3) и выразим приращение функции ф на участке аЬ через силу тока, протекающего через него: Уь — Ца = Во1аь, (24.5) где /?□ — удельное поверхностное сопротивление проводящего листа. Повторяя те же рассуждения применительно к участку ей, получим: Фа — фс = 7?п Поскольку при стационарном режиме алгебраическая сумма сил токов, входящих в модель, равна нулю, то 7аЬ = 7 С (1 и приращения функции ф на участках аЬ и ей должны быть равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку: Фб — Ф а = — (Ф<*— Фс). Обойдя контур по часовой стрелке и вернувшись в точку а, мы обнаружим в ней исходное значение функции потока. На участке йа оно достигает максимального значения (ф^, а на участке Ьс — минимального (ф2). Разность этих значений определяется силой тока, протекающего через модель: ф4- ф 2= |/|7?с> (24.5') Выразив силу тока в амперах, а удельное поверхностное сопротивление в омах, мы получим разность функций потока в вольтах. Подчеркнем, что при постоянном внешнем напряжении приращения функции потока на участках аЬ к ей ив зависят от величины /?□, характеризующей про водящий лист, из которого выполнена модель. Чем больше удельное поверхностное сопротивление модели, тем меньше (во столько же раз) сила тока в ней, а значит, произведение остается постоянным. Подобно потенциалу, функция потока характеризует стационарное электрическое поле независимо от свойств проводящей среды: ее относительное распре деление определяется только конфигурацией поля в данной области, а численные значения — внешним напряжением. 3. Геометрическое сопротивление. Выразив силу тока, текущего в модели, через изменение функции потока на шинах аЬ и ей (24.5), можно представить сопротивление модели в виде произведения двух множителей: п = - Ы 2 = 1 1 = 5 2 1{ = Д до |/ | ЧЧ—Ф2 . (24.6) Первый из них, /?□, характеризует материал, из которого выполнена модель, а второй, 7?°,— строение стационарного электрического поля в данной области: до = 11=<Г2 (24.7) ЧЧ— Ч'2 Эта безразмерная величина называется геометрическим сопротивлением модели. Применив соотношение (24.6) к квадратной модели, сопротивле ние которой равно удельному поверхностному сопротивлению (§ 11), мы обнаружим, что геометрическое сопротивление квадрата равно единице. Очевидно, что сопротивления геометрически подобных моделей, обла дающих одинаковым удельным поверхностным сопротивлением, должны быть равны. 4. Изменение функции потока в присутствии дополнительного элек трода. Предположим, что на контуре описанной выше модели имеется участок тп (рис. 84, а), где требуется осуществить дополнительные гра ничные условия: фтт» = С01151, (24.8) N>7»— Фп=0. (24.9) Для реализации условия (24.8) вдоль участка тп приклеивают полоску фольги, а для реализации условия (24.9) достаточно изолировать ее Рис. 84. К реализации на участке тп граничных условий (24.8) и (24.9). от подводящих проводов, т. е. исключить ответвление через нее тока, протекающего по модели (рис. 84, б). Приведенный потенциал этой шины зависит от положения участка тп и его длины. В общем случае потенциал находится опытным путем. Если поле обладает симметрией (рис. 85), то потенциал электрода тп равен среднему значению (*?1-^~-(*>2 . Обратим внимание на то, что шина тп образует на контуре модели изопотенциальную линию и нормальная составляющая вектора Е здесь должна быть отличной от нуля. Следовательно, функция потока на этом участке не может оставаться постоянной, как на свободном крае модели, и претерпевает изменения. Проследим их и покажем, что они не противо речат условию (24.9). Так как удельное сопротивление шины на много порядков меньше удельного сопротивления электропроводной бумаги, то в нее ответвляется значительная часть тока, теку щего в модели. Этот ток входит в шину тп на участке тО и выходит из нее на участке Оп, где О — промежуточная точ ка. Поэтому па первом из этих участков вектор Е направ лен к шине, а на втором — от нее *), и при обходе конту ра по часовой стрелке мы обна ружим, что на участке тО функция потока возрастает, а на участке Оп падает. Посколь ку сила тока, входящего в шину, равна силе тока, выходящего из нее, то эти приращения функ ции потока равны по абсолют Рис. 85. Сетка поля в случае, если шина тп Ф1+ ф2 ной величине и ее общее прира имеет потенциал . щение на участке тп равно нулю в соответствии с условием (24.9). В точке О нормальная и касательная составляющие вектора Е равны нулю, и отсюда берет начало изопотенциальная линия, имеющая потен циал шины тп. Это особая точка поля: слева от нее силовые линии и линии тока направлены к шине, а справа — от шины. Заметим, что подключение шины к свободному краю модели (как дополнительного электрода) всегда уменьшает ее сопротивление. Если условия (24.8) и (24.9) выполняются на нескольких участках контура, то каждый из них содержит особую точку, в которую упирается соответствующая изопотенциальная линия, и распределение функции ф на нем аналогично рассмотренному выше. § 25. ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ 1. Обращение граничных условий в смешанной краевой задаче. При моделировании плоских полей широко используется их дуальность (§ 7 ). При этом по граничным условиям исходного поля находят гранич ные условия сопряженного ему поля и вместо первого моделируют второе (§ 7). Определение граничных условий сопряженного поля называется обращением исходных граничных условий, а соответствующая модель — обращенной по отношению к прямой модели. В дальнейшем мы будем всегда считать, что прямая и обращенная модели геометрически равны. Вернемся к примеру, рассмотренному в § 24 (рис. 83), и обратим граничные условия (24.1) и (24.2). *) Участок тО покрыт отрицательными стационарными зарядами, а участок Оп — положительными. В сопряженном поле участки аЬ и ей будут совпадать с силовыми линиями: = Ч& = 1>2. (25.1) а участки Ьс и йа — с изопотенциальными: ф5о = фь фьс = ф2(25.2) Следовательно, на обращенной модели края аЬ и ей нужно оставить сво бодными, а вдоль краев Ьс и йа — установить шины, соединенные с источ ником тока (рис. 86). Тогда все силовые и изопо тенциал ьные линии, расположенные внутри об ласти, поменяются местами и напряженность в каждой точке повернется на 90°. Чтобы этот пово рот произошел против часовой стрелки, ток в обращенной модели должен течь от шины йа к шине Ьс. При этом условии изменение функции ф* на контуре обращенной модели будет соответ ствовать изменению функции ф на контуре пря мой модели. При движении по часовой стрелке мы обнаружим, что на участке аЬ обе величины падают, на участке ей — возрастают, а на участ Рис. 86 . К обращению ках Ьс и йа — остаются постоянными. граничных условий на 2. Соотношение между электрическими вели модели, показанной на рис. 83. чинами на прямой и обращенной моделях. Най дем отношение напряженностей исходного и сопряженного полей, если к прямой и обращенной моделям приложены равные напряжения: (25.3) фаЬ фс<* — ф5а фбс — & • Введем обозначение: Е* = А. Е Тогда, в соответствии с (7.6) (7.7) и (7.4), имеем: Е„ = кЕь Е* — — кЕп, Ч>2 — ^ 1 = — А(<Р2 — ф (), ф 2 — фТ = * ( 4 ’2 (25.4) (25.5) где 1 и 2 — две произвольные точки поля. Выразив силу тока, текущего в обращенной модели /* , через линей ный поток вектора Е* (ср. стр. 54): / • = д1- 5 Е м и Ьс и заменив величину Еп произведением кЕг, получим: (25.6) откуда, учитывая равенство приложенных напряжении, □ ло (25.7) П* где К* — сопротивление обращенной модели. Если ввести понятие гео метрического безразмерного сопротивления обращенной модели: V Пй« н* /ос ох то соотношение (25.7) принимает вид (25.9) Зная число к и применив (25.4) и (25.5), можно по составляющим напряженности сопряженного поля Е* и Е* найти составляющие вектора Е в исходном поле Е\ и Еп, а по значениям величин <р* и ф* — значения функции потока ф и потенциала <р. Если отнести величины Е и Е* к их базисным значениям Е 0 и _Е*, которые в свою очередь связаны соотношением Е * = к Е 0, то обнаружится, что в соответственных точках моделей безразмерные напряженности Е° и Е*° равны, независимо от значения числа к: (25.10) Это заключение относится также к величинам <р*° и ф*°, поскольку при определении их базисных значений выбираются соответственные точки поля: отношения соответственных падений потенциала <р* на обра щенной модели и функции потока ф на прямой модели к их базисным значениям будут равны: (25.11) (25.12) 3. Соотношение между геометрическими сопротивлениями прямой и обращенной моделей. Установим соотношение между геометрическими сопротивлениями прямой и обращенной моделей Я 0 и В*0. Для этого выразим силу тока в прямой модели через линейный поток вектора Е и воспользуемся соотношениями (25.4): /= $ 1пй1 ад $ Е п й1 ^ ЕГ41 ва к $ и V (25.13) аЬ откуда Я = Нс к (25.14) и (25.15) Геометрическое сопротивление прямой модели приобретает новый смысл: оно показывает, во сколько раз увеличится напряженность поля при обращении граничных условий, если общее напряжение останется прежним. Сопоставляя (25.9) и (25.15), находим: Я°Я*° = 1. (25.16) Чтобы перейти к размерным величинам, нужно умножить обе части этого равенства на квадрат удельного поверхностного сопротивления проводящего листа: ЯЯ* = Яц. (25.17) Таким образом, измерив сопротивление прямой модели, можно определить сопротивление обращенной модели, и наоборот: по сопротивлению обра щенной модели можно найти сопротивление прямой. При измерениях выбор делается в пользу той модели, на которой проще осуществить заданные граничные условия. 4. Обращенная модель при наличии дополнительного электрода. Вернемся к модели, показанной на рис. 84, и обратим граничные условия (24.8) и (24.9): фтп = сопз! (25.18) и фт фп= 0. (25.19) Следовательно, на обращенной модели участок тп должен быть свобод ным краем, а шины, расположенные по краям Ьт и пс, соединены вместе (рис. 87). Тогда, перемещаясь от точки т к точке п, мы обнаружим, что касательная составляющая вектора Е* отрицательна на участке тО и положительна на участке Оп. На первом из этих участков потенциал сопряженного поля <р* будет возрастать, принимая максимальное значе ние в точке О, а на втором — падать до прежнего значения. Как и следовало ожидать, изменения ф* совпадают с изменениями функции ф на прямой модели. Таким образом, проследив за изменением потенциала на обращенной модели, можно найти распределение функции потока ф вдоль участка тп на прямой модели. Это позволяет сравнить силу тока, ответвляющегося на прямой модели в шину тп, с общим током: Рис. 87. К обращению граничных условий на модели, показанной на рис. 84, а. — ф& _ Фт — фо __ /т а Фа— Фь / аЬ /9 5 20) * Силовая линия сопряженного поля, подхо дящая к точке О, разветвляется на две, идущие к точкам т и п (ср. линии на рис. 86), и служит линией раздела: ток, текущий слева от нее, отводится через шину Ьт, а ток, текущий спра ва,— через шину пс. Эта линия может быть построена на прямой модели как изопотенциальная, имеющая потенциал шины тп. Обращение граничных условий расширяет возможности моделиро вания плоских полей и может существенно упростить эксперимент. На электропроводной бумаге (и на фольге) очень просто выполнить гра ничное условие Еп = 0: граница области вычерчивается непосредственно на проводящем листе, и он обрезается по этому контуру. В то же время реализация условия Е ь = 0 требует приклеивания полосок фольги или применения фигурных шин, что значительно сложнее. Поэтому, если участки контура, на которых нужно выполнить условие Е г = 0 , имеют более сложную форму, чем те края модели, где требуется осуществить условие Еп = 0, то вместо исходного поля моделируют сопряженное ему. § 26. ЗАДАНИЕ НА ВНЕШНЕМ КОНТУРЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 1. Принудительный способ задания потенциалов. Допустим, что контур, ограничивающий область поля, содержит пять участков (рис. 87а), имеющих потенциалы ф а > ф 1> ф 2> ф з > ф Ъ , (26.1) удовлетворяющие соотношению (фа — фи) : (фи— фь) ; (ф ь— фз) • ( ф з — Ф1) : (Ф1 — фа) = ( 4 : С2 : С3 I С 4 : С5, (26.2) где С 1, С2, С3, С4 и С5 - заданные числа (С4 и С 2 — положительные, а С3, С4 и С5 — отрицательные), и нам известна наибольшая разность потенциалов (фа-<Рь) = 17, (26.3) что позволяет выразить заданные потенциалы в безразмерном виде: О Ф1 — ФЬ т0 Ф2 ФЬ то фз—Фь [/ (26.4) На промежуточных участках выполняется условие Бд = 0. (26.5) Ф1 V ф2 = 1, V фь = 0. Фз Чтобы воспроизвести поле в указанной области, нужно вырезать геометрически подобный ей лист электропроводной бумаги, установить на его контуре соответствующие шины и подключить их к потенциометру Рис. 87а. К заданию на участках внешнего контура промежуточных потенциалов; Н0 — реохорд, Г — гальванометр, П — потенциометр. (рис. 87а). Шины а и Ъ, между которыми должна существовать наибольшая разность потенциалов V, соединяются с концами потенциометра, а шины 7, 2 и 3, где нужно задать промежуточные потенциалы ф4, ф2 и ф3,— с подвижными контактами К^, К 2 и К 3. Необходимые значения потен циалов устанавливают с помощью мостовой схемы. Та же схема используется при измерении потенциалов на самой модели, для чего параллельно потенциометру подключается реохорд 7?0, шкала которого разбита на 1000 делений, и между ними перебрасы вается мостик, содержащий гальванометр Г (см. рис. 87а). Один зажим гальванометра присоединяется к движку 7>, скользящему вдоль рео хорда, а другой — поочередно к контактам потенциометра. Интервалы шкалы реохорда соответствуют тысячным долям напряжения II, и мы легко найдем положения движка, соответствующие безразмерным потен циалам (26.4). Установив движок В против деления, соответствующего потенциалу ф®, перемещают контакт К и отыскивая для него положение, при котором стрелка гальванометра устанавливается на нуле. Исчезновение тока в мостике покажет, что контакт и присоединенная к нему шина 7 имеют заданный потенциал ф®. Затем перемещают движок О в положение, соответствующее потенциалу <р!|, и, соединив гальванометр с контактом А'2, устанавливают на шине 2 потенциал <р° и т. д. Если удельное поверхностное сопротивление электропроводной бума ги недостаточно велико по сравнению с сопротивлением потенциометра и в модель ответвляется заметная часть текущего тока, то операцию повторяют несколько раз. В этом случае перемещение любого из контактов вызывает перераспределение потенциала в потенциометре, и, передвинув один контакт, мы изменим потенциалы других. Так, например, устанав ливая на контакте К 2 потенциал <р°, мы изменим потенциал контакта К и а подбирая на контакте К 3 потенциал <р°, изменяем потенциалы контактов К 2 и К х. Повторная настройка требует уже меньших поправок, и после нескольких настроек распределение потенциалов (26.2) будет установлено. Взаимное влияние контактов потенциометра зависит от соотношения между величинами Вп (сопротивление потенциометра) и /?□: чем меньше Нп отношение ,тем меньшие токи ответвляются из потенциометра в модель ЛП и их влияние на распределение потенциалов в потенциометре уменьшается. При достаточно большом значении величины й ^ потенциометром может служить реохорд мостовой схемы, имеющий несколько подвижных контактов. Установив эти контакты против делений шкалы, соответ ствующих заданным потенциалам, мы сразу получим нужное распреде ление потенциалов на шинах. Так, например, если удельное поверхност ное сопротивление бумаги составляет 10 ком, а сопротивление реохорда 10 ом, то при параллельном соединении такого реохорда с квадратным листом электропроводной бумаги сила тока в последнем составит 0,1% от силы тока в реохорде. Отношения токов, входящих в модель (рис. 87, а) через шины 1 , 2 и 3, к общему току в реохорде *) будут еще меньше, и их влиянием на распределение потенциала вдоль реохорда можно прене бречь. Такой способ задания потенциалов, не требующий последователь ных приближений, называется принудительным', он широко применяется при моделировании с помощью электропроводной бумаги. 2. Распределение функции потока. Обойдем контур модели (см. рис. 87, а) по часовой стрелке и проследим за изменением функции потока. На свободных краях, совпадающих с силовыми линиями стационар ного электрического поля, функция потока остается постоянной, но на шинах, через которые протекают токи (где нормальная составляющая вектора Е отлична от нуля), функция ф возрастает или убывает. Так как потенциал шины а является максимальным и ток, протекающий через нее, направлен в сторону модели, то на этом участке происходит падение функции ф. Напротив, на шине Ъ с минимальным потенциалом, через которую ток вытекает из модели, происходит повышение функции ф. Направления токов, протекающих через шины 1, 2 и 3, нам неизвестны, и установить характер изменения функции потока на этих участках можно только опытным путем, измеряя потенциалы на контуре обращен ной модели. Если потенциал данной шины выше того потенциала, который установился бы на ней, если бы она была отключена от потенциометра, то проходящий через нее ток втекает в модель и на этом участке контура происходит падение функции ф. 3. Обращенная модель. Рассмотрим, как решается задача с промежу точными потенциалами на обращенной модели. Чтобы обратить граничные условия (26.2) и (26.5), нужно оставить свободными те участки контура, где на прямой модели (рис. 87, а) были ♦) Они зависят от конфигурации стационарного электрического поля и могут быть определены только опытным путем. расположены шины а, 1, 2, 3 и Ъ, и установить шины вдоль ее свободных краев (рис. 88). Далее, так как распределению потенциала исходного поля в сопряженном поле соответствует распределение функции ф*, то на обращен ной модели вместо потенциалов нужно за дать токи, протекающие через шины, устано вленные на ее контуре. На тех участках, где в исходном поле имело место падение потен циала ф, в сопряженном поле должно про исходить повышение функции потока ф*, и, следовательно, здесь токи должны вытекать из модели. Напротив, через шины, располо женные на участках, где в исходном поле происходит повышение потенциала, токи должны входить в обращенную модель. рис. 88. К обращению граничВ первом случае их нужно считать положи- ных условий для модели, по тел ьными, а во втором — отрицательными. казанной на рис. 87а. Воспользуемся формулами (25.4) и (25.5) и выразим разность потенциалов между шинами а и 2 на прямой модели через силу тока на том же участке обращенной модели: <Ра-ф2= ^ Я | < й = 4 $ а! 2 = (26.6) а ,2 Написав аналогичные выражения для других участков и подставив их в (26.2), мы получим: : П .ъ : П. з : / 5 , 1 : 7Г,« = С1 : С2 : С3 : С, : Съ. (26.7) Распределение токов на обращенной модели должно соответствовать распределению падении потенциала на прямой модели. При этом абсо лютные значения токов могут быть любыми — от этого зависит лишь число А, которое находится из (26.6): к = Нг' * ' 2 . (26.8) <Ра— <Р2 ' Для определения величины к достаточно измерить силу тока, протекаю щего через одну из шин обращенной модели. Для безразмерных величин Е° и Е*°, ф° и ф°, ф*° и ф*°, независимо от значения числа А, имеют место равенства (25.10)—(25.12) *). 4. Обращение граничных условий, выраженных через функцию потока. Взаимосвязь между паденияци потенциала на контуре модели и токами, протекающими через соответствующие участки обращенной модели [см. (26.6)), используется при обращении граничных условий, выраженных через функцию потока, т. е. через распределение токов, втекающих в модель. Допустим, чтоинтересующая нас область поля ограничена контуром, содержащим участки 7 ,2 , 3, 4 и 5 (рис. 89, а), на которых функция потока принимает постоянные значения, причем (ф, — ф,) : (фз — '(-'г) : (Ф4— Фз):(Фа — ф4):(Ф 1— Ф5) = С ,:С 2:С з :С 4 :С 5, (26.9) где С{, С2, С3, С4 и Съ — заданные числа (положительные или *) Базисными значениями функций ф, ф, ф* и ф* могут служить, например, их приращения на участке а — 2 . Г. А. Рнзамоо отрицательные), а на промежуточных участках выполняется условие ф= С01181. (26.10) При рассмотрении прямой модели участки 1, 2, 3 , 4 и 5 нужно было бы оставить свободными и между ними установить шины (рис. 89, б). Поскольку к* Рис. 89. К обращению граничных условий, выраженных через распределение функции потока: а) участки контура, на которых функция имеет постоянное значение; б) рас положение шин на прямой модели; в) расположение шин на обращенной модели. изменения функции потока на шинах пропорциональны токам, выте кающим через них, то соотношение (26.9) принимает вид Л,2 : 12,з : Аз,4 : Л,5 : 75)1 = С 1 : Со : С3 : С4 : СЪ л (26.11) и задача сводится к реализации на контуре модели заданного распределе ния токов (§ 28). Однако вместо этого можно обратить граничные условия (26.9) и (26.10). Расположим шины на участках 2, 2, 3 , 4 и б (рис. 89, в) и, в соот ветствии с (26.6), зададим на них потенциалы ф*, ф*, ф*, ф* и ф*, удовле творяющие соотношению (ф !_ ф * ) : (ф *_ф *) : (ф*_ф*) : (ф* _ ф*) : ( ф * _ ф*)==с 1 . с\ : С3 : С4 : Съ. (26.12) При этом условии распределение потенциала на контуре обращенной модели будет соответствовать распределению функции потока на прямой модели. На тех участках, где ток должен выходить из прямой модели, будет происходить повышение потенциала ф*, а там, где по условию (26.11) он должен входить в нее,— падение потенциала ф*. Разности потенциа лов, входящие в соотношение (26.12), относят к наибольшей из них и эти приведенные потенциалы задают принудительным способом. Измерив на такой модели величины Е* и Е*, можно найти составляю щие напряженности исходного поля Еп и Е и а построенные на ней изонотенциальные линии явятся его силовыми линиями. Измерения потенциала ф и построение изопотенциальных линий исходного поля выполняются на прямой модели. § 27. РЕАЛИЗАЦИЯ НА КОНТУРЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА 1. Применение полосок низкоомной бумаги. Рассмотрим способы реализации на контуре модели непрерывного распределения потенциала. Пусть на прямолинейном участке длиною Ь нужно воспроизвести распре деление потенциала по линейному закону где а — величина, имеющая смысл касательной составляющей напряжен ности поля, фо — потенциал в начальной точке (измеренный относительно нулевой точки), а / — расстояние от нее. Иначе говоря, на концах участка задана разность потенциалов, равная аЬ, и требуется осуществить равномерное падение потенциала. Граничные условия за пределами этого участка не имеют значения, и мы будем условно считать, что в непосредственной бли зости к нему нормальная составляющая векто ра Е равна нулю. В этом случае модель вырезают из высокоом Рис. 90. Реализация на участке ной бумаги (Лд 1 « 100 ком) и вдоль края, где прямолинейном контура линейного нужно выполнить условие (27.1), наклеивают деления потенциалараспре с по полоску низкоомной бумаги (Лг 2 = 200 ом) мощью полоски низкоом строго постоянной ширины (рис. 90). С помощью ной электропроводной бу контактов, установленных на ее концах, под маги; модель вырезана из высокоомной электропро ключают ее к источнику напряжения. водной бумаги. При указанном соотношении величин /?г 4 и Л(з2 и при достаточной ширине полоски ответвление тока в модель будет мало по сравнению с током в самой полоске и падение потенциала в ней будет происходить почти равно мерно, так, как если бы она была изолирована от модели. Вместе с тем существующее в модели стационарное электрическое поле будет подчи нено граничному условию (27.1); это условие задается принудительным способом. Для большей точности измерений применяется зеркальный гальванометр с чувствительностью 10~8— 10 10 дел и повышается общее напряжение. Если контур модели имеет криволинейный участок, то низкоомной полоске придают соответствующую форму. В некоторых случаях с помощью полосок низкоомной бумаги можно воспроизвести и нелинейное распределение потенциала. Так, Рис. 91. Реализация на например, придав полоске форму усеченного прямолинейном участке сектора круга (рис. 91), можно реализовать контура логарифмического распределения потенциала. распределение потенциала, выраженное лога рифмической функцией. 2. Контрольный опыт. Рассмотрим опыт, позволяющий проверить описанную методику и оценить точность измерений. Выделим в однород ном поле область, ограниченную прямоугольным треугольником АВС (рис. 92, а). Спроектировав его вершины на одну из силовых линий (опу щенные перпендикуляры совпадут с изопотенциальными линиями), можно найти отношение разностей их потенциалов Фа— фв . АЧВ' Фв— Фс : В ’С' (27.2) и по этим данным воспроизвести указанную область поля. Модель вырезается из высокоомной бумаги, и по ее сторонам наклеи ваются полоски низкоомной электропроводной бумаги. В вершинах А, В и С располагают электроды (рис. 92, б) и между ними устанавливают разности потенциалов, удовлетворяющие соотношению (27.2). Построив с помощью мостовой схемы изопотенциальные линии, мы обнаружим однородное поле. 3. Реализация произвольного функционального распределения потен циала. В общем случае функциональное распределение потенциала удается воспроизвести лишь приближенно. Опишем один из таких приемов. Построив график заданной 4 [| О|а 4 функции, проводят семей~ ство равноотстоящих прямых, параллельных оси Ох. Они разобьют кривую распреде ления потенциала на участ ки с равными интервалами Дер, л, определив абсциссы пограничных точек, можно найти соответствующие им точки на контуре модели. $ Затем по контуру наклеи Рис. 92. Получение в треугольном проводящем вают полоску низкоомной листе [однородного поля, имеющего заданное бумаги постоянной ширины направление: а) определение падений потенциа и с помощью электродов, ла на сторонах треугольника; б) подключение модели к потенциометру. подключенных к потенцио метру, задают в отмеченных точках найденные потенциалы (рис. 93). Хотя на каждом из участков изменение потенциалов происходит по линейному закону, его распределе ние вдоль контура воспроизводит заданную функцию (тем точнее, чем меньше интервал Дф). В качестве потенциометра можно использовать несколько соединенных параллельно константановых или манганиновых проволок, применив в качестве пере движных контактов лабораторные зажимы или клеммы. Шкалы мож но приготовить из миллиметровой бумаги. Потенциалы электродов устанав ливают принудительным способом. Сначала контакты размещаются про тив соответствующих делений на шкалах потенциометра (грубая на стройка), а затем их положения уточняются с помощью мостовой схе мы. Для * этого, поставив движок реохорда на соответствующее деле ние шкалы, касаются измерительной иглой контакта потенциометра и Рис. 93. К реализации на контуре мо дели функционального распределения перемещают его до тех нор, пока потенциала. А — полоска низкоомной стрелка гальванометра не устано бумаги, В — высокоомная бумага, Э — электроды, П —потенциометр, вится на нуле. Г — гальванометр, Используя в качестве контак В 0 — реохорд, К — передвижные контакты. тов потенциометра клеммы со сто порными винтами, можно заранее закрепить их в точках, соответствующих равным интервалам по тенциала. В этом случае для изготовления потенциометра нужно намотать константановый или манганиновый провод толщиною в 0,5—1,0 мм на де ревянный барабан с диаметром в 10— 15 см, по бокам которого укреплены две рейки (рис. 94). Клеммы устанавливают через каждые полвитка там, где провод не прилегает к барабану, и с помощью мостовой схемы закрепляют их в нужных положениях. При достаточном числе витков такой потенциометр выдерживает напряжение в несколько десятков вольт и позволяет достичь большой точности. Имея в распоряжении 100—200 таких клемм, можно быстро и точно реализовать заданное распределение потенциала. Электродами, с помощью которых потенциалы передаются на электро проводную бумагу, могут служить короткие (5—10 мм) трубочки диамет ром в 3—4 мм *), внутрь которых вставляются тонкие гвоздики. Забивая гвоздики в доску, на которой выложена модель, можно осуществить надежные контакты с электропроводной бумагой. Трубочки заранее Рис. 94. Потенциометр, клеммы которого закреплены в положениях, соответствующих равным интервалам потенциала. припаивают к соединительным проводам, а под шляпки гвоздиков подкладывают резиновые шайбы. Очевидно, что в этом случае требование посто янства ширины низкоомной полоски становится менее жестким. Более того, если не требуется большая точность, полоску низкоомной бумаги можно заменить слоем графита, который равномерно, шириною в 3— 4 мм, наносится по контуру модели мягким карандашом 6М. В некоторых случаях можно ограничиться одними точечными контактами. Если проводимая работа требует высокой точности, то вместо полосок низкоомной бумаги или слоя графита применяются линейные прутковые шины |2] из тонкого манганинового провода диаметром 0,1—0,2 мм, навитого на медный эмалированный провод диаметром 1—2 мм по прин ципу рояльной струны. Их пропитывают для изоляции клеем БФ-2, про сушивают и зачищают до блеска. В узловых точках прикручиваются отводы, и с помощью электропроводного клея шины приклеиваются к электропроводной бумаге по контуру модели. Прутковые шины можно прижимать к электропроводной бумаге с помощью устройств, показанных на рис. 55, а. 4. Моделирование однородного поля. Контрольным опытом может служить моделирование однородного поля в области, ограниченной кон туром произвольной формы. Начертив этот контур на миллиметровой бумаге так, чтобы ее линии воспроизводили сетку поля, и отметив на нем точки с равными интервалами Дф (рис. 95, а), мы получим шаблон для изготовления модели. Она вырезается из высокоомной электропроводной *) Их можно приготовить из имеющихся в продаже медицинских игл. бумаги, ее края затушевываются мягким карандашом, и в отмеченных точках устанавливаются электроды. Электроды с равными потенциалами соединяются вместе с по мощью тонких многожиль ных проводов и лаборатор ных зажимов (рис. 95, б). 5. Реализация заданного распределения касательной составляющей вектора Е . Поскольку распределение по тенциала вдоль кривой связа но с распределением касатель ной составляющей вектора Е , то, задавая на контуре по тенциалы, мы воспроизводим определенное распределение касательной составляющей ве ктора Е: Е, = Н1). (27.3) Рис. 95. Получение в проводящем листе произ вольного очертания однородного электрического поля, имеющего заданное направление. можно найти Обратно, зная распределение на контуре касательной составляющей вектора Е, соответствующее ему распределение потенциала: м м Ф а ю = ~ \ е 1<11 = / (I) <11, (27.4) О о где О — точка контура, потенциал которой принимается за нуль. В дальнейшем мы встретимся с такими задачами, в которых требуется по распределению касательной составляющей вектора Е найти распре деление его нормальной составляющей или, соответственно, по распре делению потенциала — распределение функции потока. Непосредственное измерение нормальной составляющей напряжен ности поля у края модели с помощью двойного зонда не может дать точных результатов вследствие местных искажений поля вблизи наклеенной поло ски низкоомной бумаги или зоны, заштрихованной мягким карандашом, и приходится искать косвенных путей. В принципе эти величины (Еп и ф) можно найти, применив соотношение между величиной Еп и контурной плотностью тока (11.10) или аналогичное соотношение между функцией потока ф и силой тока (11.3). Однако рассмотренные выше способы питания модели исключают возможность измерения контурной плотности тока, ответвляющегося в модель из низкоомной полоски. Эта задача решается с применением обращенной модели по способу, изложенному в § 29. § 28. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ПОТОКА 1. Реализация заданного распределения токов. Чтобы на участке контура модели имело место приращение функции потока ф2 — фь нужно через этот участок пропустить ток, определяемый соотношением Таким образом, если граничные условия поля выражены через функцию потока, то задача сводится к реализации соответствующего распределения тока, втекающего в модель через ее края. Рассмотрим простейший случай: токи входят в модель через отдель ные электроды, и распределение нормальной составляющей вектора Е на них не имеет значения. На рис. 96 показана модель, на контуре которой осуществляется распределение токов, удовлетворяющее условию А : А :А : А : А = С, : С2 : С3 : С4 : С5, (28.2) где числа С4, С4 и Съ отрицательные, а числа С 2 и С 3 положительные. Чтобы токи / 4 и / 5 входили в модель, а токи / 2 и 1 3 выходили из нее, нужно соединить шины 2, 4 и 5 с положительным полюсом ак кумулятора, а шины 2 и 3 — с отрицательным. Последователь но с каждой из них включается амперметр с набором шунтов и переменное сопротивление В к, я, а в общую цепь — реостат В. Если вместо аккумулятора ис пользуется выпрямитель, его нужно подключить к автотран сформатору, включенному в сеть через стабилизатор напряжения. Регулировку положитель ных и отрицательных токов производят раздельно, руковод ствуясь соотношениями / , : / 4 : / $ = С1 : С 4 : С 5 (28.3) И А : А = С2 : С 3. (28.4) Рис. 96. Схема, позволяющая регулировать Начинать надо с той группы, втекающие в модель через отдельные которая содержит максималь токи, электроды: А — микроамперметры, Г — галь ный ток, сохраняя при этом ванометр, В 0— реохорд, В — общий реостат, 2?4 сопротивления в другой группе и В 2 — магазины сопротивлений, В к — пере менное сопротивление каналов. неизменными (приборы шунти руют и на их показания не обра щают внимания). Изменение токов осуществляется с помощью переменных сопротивлений В к и реостата в общей цепи В. Допустим, что максимальный ток — отрицательный. Установив его значение таким, чтобы стрелка соответствующего прибора отклонялась на всю шкалу, переходим к установлению второго по величине отрица тельного тока. Так как изменение тока в одном из каналов вызывает пере распределение потенциалов в цепи и влияет на токи в других каналах, то, регулируя второй ток, необходимо следить за показаниями двух при боров и поддерживать прежнее значение максимального тока. Затем под бирают третий ток и подстраивают первые два тока *). Заданное распре *) Устанавливая этот наименьший ток, мы вводим наибольшее сопротивление и поэтому меньше влияем на общее распределение потенциала в цепи. Именно поэтому регулировку токов начинают с максимального из них. деление токов достигается после нескольких повторных обходов всех трех каналов. Методика подбора положительных токов не отличается от описанной выше. Если их регулировка изменяет распределение отрица тельных токов, то вся операция повторяется еще раз в той же последо вательности. Измерения потенциалов производят с помощью мостовой схемы, для чего к точкам С и В подключается реохорд В 0, соединенный последо вательно с двумя магазинами сопротивлений В х и Я 2. Их сопротивления подбирают с таким расчетом, чтобы падение потенциала на реохорде соответствовало интервалу потенциалов на модели. 2. Применение одного измерительного прибора. Описанная выше схема (рис. 96) после незначительного изменения позволяет регулировать токи с помощью одного измерительного прибора, что повышает точность модели рования. Для этого в каналы питания включаются телефонные гнезда. Чтобы выключение прибора не разрывало цепи, а его включение не изменяло соотношения между сопротивлениями каналов, к гнез дам подключаются сопротивления, равные сопротивлению прибора. При включении штекера в канал эквивалентное сопротив ление отключается, и ток проходит через прибор. 3. Принуди токов. Остановимся на причинах взаим ного влияния токов, входящих в модель через отдельные каналы. По закону Ома сила тока в каждом из них определяется Рже. 97. Эквивалентная схема соединений каналов питания при его сопротивлением и разностью потен достаточно малом удельном по циалов на его концах, которая зависит от верхностном сопротивлении моде потенциала электрода, прижатого к мо ли (последняя рассматривается дели. Регулируя силу тока в одном как узел): Я 0 — реохорд, 7?! и Н 2 — магазины сопротивлений, канале, мы изменяем граничные условия Лк — сопротивления каналов. на контуре модели, что вызывает пере распределение поля и изменяет потенциалы других электродов, а следовательно, и протекающие через них токи. Чтобы уменьшить взаимное влияние каналов, нужно увеличить напряжения в них по сравнению с наибольшим падением потенциала на модели. Для этого в каналы питания модели, кроме переменных, включают постоянные сопротивления, на порядок превышающие удель ное поверхностное сопротивление бумаги, и соответственно увеличивают напряжение источника тока. В результате, не изменяя падения потенциала на модели, мы увеличиваем напряжения в каналах питания, и изменения потенциала электродов будут играть меньшую роль. В этих условиях нужное распределение токов достигается значительно быстрее. Если сопротивления каналов питания будут на 3—4 порядка превы шать удельное поверхностное сопротивление электропроводной бумаги, из которой выполнена модель, то взаимное влияние токов практически исчезает. В этом случае падение потенциала на модели *) составляет доли процента от напряжения в каналах питания, и, прослеживая распределе ние потенциала в цепи, модель можно считать узлом, разделяющим две группы параллельно соединенных проводников (рис. 97). Применив *) Имеется в виду наибольшая разность потенциалов между двумя точками модели. к каждой из них закон параллельного соединения, можно установить соотношение между сопротивлениями каналов, необходимое для выполне ния условий (28.3) и (28.4): (28.5) (28.6) При небольшом числе каналов можно воспользоваться магазинами сопротивлений. В каждой группе сопротивления рассчитывают незави симо, исходя из максимального сопротивления, которое может быть набрано в магазине. Такой способ задания токов называется принудительным: установив в каналах сопротивления, рассчитанные по формулам (28.5) и (28.6), можно быть уверенным, что нужное распределение токов задано. Сами токи при этом даже не измеряются. Абсолютные значения сопротивлений каналов (если они достаточна велики) могут быть любыми, но от них зависит ширина интервала, в кото ром будут распределены потенциалы на модели, и его место в общем рас пределении потенциала в цепи. Поскольку этот интервал составляет небольшую долю от общего напряжения между точками В и С, то однога реохорда в мостовой схеме недостаточно, и последовательно с ним вклю чаются два магазина сопротивлений 2?! и В 2. Они позволяют установить на реохорде интервал потенциала, соответствующий распределению потен циала на модели, и обеспечить наибольшую точность измерений. Сопротивления В 1 и В 2 рассчитывают следующим образом. Сначала модель рассматривают как узел и по закону параллельного соединения проводников определяют общие сопротивления обеих групп каналов (В' и Н У (28.7) Затем сопротивление модели полагают равным удельному поверхностному сопротивлению проводящего листа /?□ и находят отношение сопротивле ний, образующих ветвь, содержащую модель (/?' : /?□ : Я "). Таким же должно быть и отношение сопротивлений в измерительной ветви: Я 4 : В 0 : В 2 = В ' : /?□ : 2Г\ (28.8) откуда (28.9) Набрав в магазинах эти сопротивления, переходят к пробным измере ниям потенциалов на модели и на основании опыта уточняют значения величин 2?! и В 2. Заметим, что при увеличении сопротивлений 2?4 и В 2 падение потен циала на реохорде уменьшается, а при их уменьшении — возрастает. Если же увеличить сопротивление В { и настолько же уменьшить сопротивление Я 2, то это, не изменив интервала потенциалов на реохорде, сместит этот интервал в сторону меньших потенциалов. Напротив, уменьшение первого из них и увеличение второго смещает интервал потенциалов на реохорде в сторону больших потенциалов. Таким образом, если измерения покажут, что потенциалы в точках модели не соответствуют потенциалам на рео хорде, то интервал падения потенциала можно сместить в нужную сторону. При этом сумма 2?! + В 2 должна соответствовать наибольшей чувстви тельности схемы. Если напряжение между точками В и С (рис. 96) равно II, а шкала реохорда содержит 1000 делений, то цена одного деления составит Свс (28.10) 1000 (Я 4“ -7?2 + 7?о) ’ и, приняв это напряжение за базисное значение, можно выражать безраз мерные потенциалы непосредственно в деле ниях шкалы реохорда. Для определения абсолютных значений токов в отдельных каналах нужно найти общую силу тока, протекающего через модель. Принимая сопротивление модели равным В^, имеем: т __ В [\ Ввс С _____ “ - Т?2+ Яц (28.11) Распределение этого тока между отдельными каналами происходит в соответствии с (28.3) и (28.4). Описанный выше способ включения мо дели в цепь, позволяющий реализовать заданное распределение как отрицательных, Рис. 98. Схема включения ка налов при одностороннем ре так и положительных токов, называется двухсторонним. Если нужно задать токи жиме питания: Ш — шина, заменяющая вторую группу только одного направления, в то время как каналов питания. другую группу каналов заменяет одна шина, принимающая весь ток, то режим питания модели называется односторонним. В этом случае последовательно с реохордом включают только один магазин сопротивления (рис. 98) и эксперимент соответственно упрощается. § 29. РЕАЛИЗАЦИЯ НА КОНТУРЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ВЕКТОРА Е 1. Первый вариант методики с принудительным заданием токов. Пусть на участке контура требуется выполнить граничное условие Еп = /( /) , (29.1) где / (/) — непрерывная функция дуги. Поскольку нормальная составляющая вектора Е на контуре прово дящего листа связана с контурной плотностью тока г соотношением (11.10), то для выполнения условия (29.1) нужно осуществить вдоль края листа соответствующее распределение контурной плотности тока. Модель иссле дуемой области поля вырезается из низкоомной электропроводной бумаги, ее включают в цепь с помощью отдельных каналов, токи в которых регу лируют независимо друг от друга с помощью переменных сопротивлений, значительно превышающих величину Силы токов в каналах задают в зависимости от условий задачи — либо по графику нормальной состав ляющей вектора Е (первый вариант), либо по распределению на контуре функции потока ф (второй вариант). В первом варианте основания каналов должны иметь одинаковую ширину (А/), а токи в них должны быть пропорциональны значениям величины Еп в их средних точках. Действительно, если контур разбит на достаточно малые отрезки, то изменение величины Еп на каждом из них можно считать линейным, и, умножив соотношение (11.10) для средней точки основания канала на его ширину Д/, мы получим: Епк Д/ = 1пк 7*0 Д/ = Д/д Я^, где Д/д — сила тока в канале, откуда (29.2) М к = ^ Е пк. Принципиальная схема такого дискретного питания модели по ее внешнему контуру показана на рис. 99. Токи подводятся с помощью точечных электродов (§ 27, п. 3), кото рые устанавливаются в средних точках равных участков. Необходимое соотношение токов зада ют принудительным способом (§ 28, п. 3), причем сопротивления каналов Яд рассчи тывают следующим образом. Учитывая (29.2), имеем: V СВг 1 (29.3) Я д = 7-7- = —АI г! Ьпк А/ а где 11 — общее напряжение. Разделив значения величин Епк на максимальное из них (Еп0), перейдем к безразмерным величинам кпк кпО (29.4) Рис. 99. Схема, позволяющая дискретным способом реализовать на контуре модели функциональ ное распределение нормальной составляющей вектора Е (контур разбит на равные участки): М — модель, В 0 — реохорд, В 1 и В 2 — магазины сопротивлений, В к — сопротивления каналов. Из (29.3) и (29.4) следует, что макси мальному значению величины Е°пк (рав ному единице) должно соответствовать минимальное сопротивление (Ят1п), че рез которое можно выразить сопротивления Яд = Я,ш!п 1 остальных каналов: (29.5) Епк Тогда общая проводимость группы каналов, подключенных к одному зажиму источника тока, составит //0 1 пк (29.6) ВI I I I П ш1п и их общее сопротивление будет равно (29.7) Я к Принимая падение потенциала на модели равным одному проценту от напряжения на каналах, а сопротивление модели — равным удельному поверхностному сопротивлению бумаги Я г, имеем: ^ 0" - : Я с = 100, 2а ь пк к откуда Япип — Ю0ЯС (29.8) Епк* Сопротивления остальных каналов находят по формуле (29.5), и наи большее из них составит Ятях — Ят !п 100Я□ ^Е°пк (29.9) Еп т т Формулы (29.8) и (29.9) позволяют определить диапазон требуемых сопротивлений по заданной величине Яа или значение последней по заданным сопротивлениям. Желательно, чтобы значение 2?тах не превы шало верхнего предела сопротивлений, выпускаемых промышленностью. 2. Измерительная схема. Измерение потенциалов производится с помощью мостовой схемы (§ 28, п. 3). При работе на электропроводной бумаге используют переменные высокоомные сопротивления типа СПА, причем в каждый канал включаются по два со противления: основное и под строенное. Если величина /?□ составляет несколько сот омов, то первое из них должно быть порядка мегома, а второе — по рядка 100 ком. При регулировке этих сопротивлений их с помо щью телефонных гнезд и штеке ра поочередно выключают из схемы и подключают к мосту постоянного тока (рис. 100). При двухстороннем режиме за мыкаются выключатели В 1 и В 3, а при одностороннем — вы ключатели В {, В 2 и В4. Общее напряжение можно довести до 25—30 в *). Гальванометр дол жен иметь чувствительность 10~9—10_1° Рис. 100. Принципиальная схема установки с применением дискретного питания моделей: М — модель, Э — электроды, В 0 — реохорд, В { и В 2 — магазины сопротивлений, В к — со противления каналов, В { — В 5 — выключа тели, Шх II ш 2 — Ш И Н Ы . дел Во время эксперимента нуж но избегать колебаний темпера туры и возникновения ее гра диентов, что может быть вызвано настольной лампой, близостью окна или двери и т. п. Так как падение потенциала на модели составляет доли процента от общего на пряжения, то самые незначительные изменения сопротивлений каналов, не влияя на строение поля в модели, могут заметно изменить потенциалы ее точек относительно нулевого деления шкалы реохорда. Поэтому при точных опытах на модели выделяют контрольную точку и периодически измеряют ее потенциал. Если окажется, что он изменился, то с помощью магазинов и В 2 восстанавливают его прежнее значение **). *) При больших напряжениях сопротивления СИЛ слегка нагреваются. **) Описание контрольного опыта приведено в § 30, п. 3. 3. Задание токов путем нескольких последовательных приближений. При расчете сопротивлений каналов по формуле (29.3) модель рассматри вают как узел, игнорируя существующее в ней распределение потенциала, считая, что основания всех каналов имеют равные потенциалы. Это допу щение возможно только при достаточно малом удельном поверхностном сопротивлении бумаги, например, если оно порядка 1 0 0 ом, а величина 7?пип — порядка 1 0 0 ком. Если это условие не выполняется, то необходимо учесть различие в паденияхпотенциала наразных каналах и уточнить значения их сопро тивлений путем ряда последовательных приближений. Рассмотрим односторонний режим питания модели (рис. 98). Устано вив в каналах сопротивления, рассчитанные по формуле (29.3) (нулевое приближение), измеряют средние потенциалы участков контура относи тельно потенциала шины (А*). Умножив значения на цену деления шкалы реохорда, мы получим разности потенциалов: ^ ‘ - ■ а д г Ь м <2 9 Л 0 > ' 7 или Дф * = У АСС/, (29.11) где постоянная С равна с " " м оЙ +ад • <29л2> В нулевом приближении мы пренебрегли величинами ДфА и теперь должны внести соответствующие исправления. Значение Вт1п остав ляется прежним, но сопротивления всех других каналов определяются по формуле Я'к = ■- у *ф* (29.13) в предположении, что при переходе к сопротивлениям В'к величины ДфА сохраняют прежнее значение. Из соотношений (29.2), (29.4) и (29.13) следует, что А Т А 7 Ы к — Е пк А / т а х = Ь п к ( Е А ф о) д-------------- , ■*т 1п ^/ (2 9 .1 4 ) Л где Аф0 — разность потенциалов между основанием канала с макси мальным током и общей шиной. Подставив это значение А1к в (29.13): Д' — Бщ1п к Афд) Епк (V — Афо) ’ и учитывая (29.11), получим: Д' — ^га!п (С *Е?пк ( V— ХкСЦ) _ Ят |П 1 НкС Еа пН С' >2 д у 1 > где N о — отсчет по шкале реохорда при определении величины Аф0. Рассчитав по формуле (29.15) сопротивления всех каналов питания, кроме канала с максимальным током, и реализовав распределение на моде ли, мы значительно приближаемся к реализации условия (29.1). Чтобы перейти к следующему (второму) приближению, нужно учесть изменения величин ДфА, вызванные изменением сопротивлений каналов. Измерив потенциалы в основаниях каналов (Л^) и опять оставив неиз менным сопротивление канала с максимальным током, пересчитывают остальные сопротивления по формуле, аналогичной (29.15): <2 9 | 6 > Опыт показывает, что переход от первого приближения ко второму требует уже меньшей перестройки сопротивлений. Еще меньшие исправле ния потребуются при переходе к третьему приближению. Сопротивления регулируют до тех пор, пока найденные поправки не окажутся за предела ми точности измерений. Результаты измерений и вычислений записы ваются в таблицу 1 . Таблица 1 м кана ла Нулевой шаг «А л' а 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Первый шаг «А л’ а Второй шаг к И Т . Д. | ЛА ! 1 | § 30. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ПОТОКА 1. Применение каналов с равными сопротивлениями. Если на контуре задано распределение функции потока, то его разбивают на участки с равными интервалами Дф0. Для этого, построив график функции ф на миллиметровой бумаге, проводят параллельно оси Ох равноотстоящие прямые. Расстояние между ними должно быть достаточно малым, и оно выбирается с таким расчетом, чтобы число участков, на которые разби вается кривая, оказалось целым и четным. Затем находят абсциссы точек пересечения кривой с нечетными прямыми и в соответствующих им точках контура устанавливают точечные электроды. Основной интервал функции потока Дф0 соответствует расстоянию между соседними четными прямы ми, и, следовательно, электроды делят каждый из выделенных участков контура на отрезки с интервалами Это обеспечивает наиболее плавное распределение функции ф. Сила тока, втекающего в модель через каждый отдельный электрод Д /А, и величина интервала функции потока Аф0 связаны соотношением Дфо = Д/д‘]Дс . (30.1) Поэтому, чтобы воспроизвести на участках контура равные интервалы функции потока, нужно включить в их каналы равные сопротивления. Их величина определяется с таким расчетом, чтобы общее сопротивление каждой группы каналов на два порядка превышало удельное поверх ностное сопротивление бумаги / ? г > -п- * : « □— 1= 1 0 =,’ где п — число каналов в каждой группе, откуда Вк = 102п/?с . (30.2) При этом наибольшее падение потенциала на модели будет порядка процента от напряжения в каналах, и можно считать, что токи задаются принудительным способом. Если известны напряжение источника тока (/, величина /?□ и сопро тивление каналов В к, то можно найти интервал функции потока Дф0Действительно, считая модель узлом, разделяющим две группы парал лельно соединенных проводников, общие сопротивления которых равны, можно переписать (30.1) в следующем виде: (30.3) и, учитывая (30.2), имеем: (30.4) Таким образом, величина интервала функции потока определяется только общим напряжением и числом каналов в группе: удельное поверхностное сопротивление бумаги и сопротивления каналов не имеют значения. Среднее значение величины Еп на каждом участке контура может быть найдено по формуле где А/ — длина участка. В качестве сопротивлений каналов можно использовать постоянные сопротивления типа ВС или МЛТ. Имея в распоряжении достаточное количество таких сопротивлений разных номиналов и измерив их с по мощью моста постоянного тока, можно составить последовательные соединения (2—3 сопротивления), сопротивления которых будут отли чаться друг от друга не более чем на 0,5%. Смонтировав на щитках две группы таких сопротивлений, припаяв к ним многожильные соедини тельные провода с электродами на концах и закрыв щитки тепловой изоляцией, мы получим прибор, позволяющий воспроизводить на контуре любое заданное распределение функции потока. Если число каналов в одной группе более 20, а общее напряжение достигает 25—30 в, то, используя бумагу с удельным поверхностным сопротивлением в несколько сот омов, можно воспользоваться портатив ным милливольтметром типа М-198, что значительно упрощает экспе римент. 2. Измерение потенциалов на контуре модели. Очевидно, что, исполь зуя точечные электроды, нельзя точно воспроизвести моделируемое поле у самых границ области. Однако дискретность питания модели сказывается только в непосредственной близости от электродов и за пределами этой узкой зоны поле отвечает заданным граничным условиям. Если требуется измерить потенциалы на самом контуре, то выбирают точки между электродами, разбивающие контур на участки с интервалами потока , и по этим данным строят график распределения потенциала на всем контуре. В качестве примера на рис. 101, а сплошной линией показано истинное распределение потенциала на дуге окружности, вдоль которой установлены 1 0 электродов, а пунктиром — кривая, построен ная по значениям, найденным в промежуточных точках, и практически совпавшая с теоретическим решением. Контур был разбит на участки с равными интервалами функции потока. Схема включения модели приведена на рис. 1 0 1 , б, где положения электродов отмечены кружками. Построив график распределения потенциала на контуре модели, можно найти приращения потенциала на единицу длины и, следовательно, рас пределение касательной составляющей вектора Е . Применение точечных электродов, включенных в цепь через большие сопротивления, имеет еще одно важное преимущество. Эта методика Ф Рис. 101. К измерению потенциалов на контуре'модели: а) распределение потенциала при точном выполнении граничного условия (пунктирная кривая) и при его реализации дискретным способом (сплошная линия); на оси абсцисс отмечены положения электродов; б) схема включения модели. позволяет воспроизводить на электрической модели одновременно несколь ко полей с разными граничными условиями. Если по условиям задачи на поле, созданное точечными электродами, требуется наложить еще внешнее поле, то, независимо от способа реализации последнего (сплош ные ‘ ш и н ы , новая система точечных электродов, переменное магнитное поле), присутствием этих электродов можно пренебречь. Их каналы содержат столь большие сопротивления, что ответвление внешнего тока в них практически не происходит, и на контуре, где они размещены, нор мальная составляющая внешнего поля будет равна нулю. 3. Контрольные опыты. Опишем опыты, позволяющие проверить способы реализации заданного распределения величин Еп и ф и оценить размеры зоны искажения поля вблизи электродов. Для этого достаточно воспроизвести однородное поле области произвольного очертания. Для проверки методики, описанной в § 29, вырезают модель в форме прямоугольного треугольника (рис. 102, а). Стороны треугольника раз бивают на равные участки (их длины будут относиться, как 3 : 4 : 5 ) и в средних точках устанавливают электроды (рис. 102, б). Затем выбирают направление вектора Е (рис. 102, а) и определяют углы, образованные вектором Е с внешними нормалями, проведенными к каждой из сторон треугольника (аь а 2 и а 3). Так как нормальные составляющие вектора Е пропорциональны косинусам этих углов: Е П1 : Б „ 2 : Епг = соз а* : соз а2 : соз а3, (30.0) то сопротивления каналов, питающих электроды, должны быть связаны соотношением В к1 : В к2 : В кг = |соз а 3 1 : |соз а 2 1 :| соз а 4'. (30.7) Их величины должны обеспечивать принудительное задание токов, направления которых определяются знаками косинусов. В Р и с. 102. К моделированию однородного электрического поля в треугольном проводя щем листе: а) определение соотношения между нормальными составляющими вектора Е на сторонах треугольника; б) реализация граничных условий дискретным способом. Построив на такой модели изопотенциальные линии, мы обнаружим, что ширина зоны искажения — порядка шага решетки электродов. 10 ф Рис. 103. Моделирование однородного электрического 1 поля в проводящем листе произвольного очертания: а) определение граничных условий; б) их реализация дискретным способом. Для проверки способа реализации заданного распределения функ ции ф вырезают лист электропроводной бумаги произвольной формы и накладывают его на миллиметровую бумагу так, чтобы ее линии совпали с сеткой моделируемого поля (рис. 103, о). Размеры контура выбираются 8 Г. А. Рязанов так, чтобы его проекция на направление, нормальное к полю, содержала целое и четное число сантиметров. Отметив на контуре листа точки его пересечения с линиями милли метровой бумаги, параллельными вектору Е и отстоящими друг от друга на равных расстояниях, мы разобьем его на участки с равными интерва лами функции потока. Электроды устанавливаются в точках пересечения нечетных прямых и включаются в цепь через равные сопротивления (рис. 103, б). 4. Реализация заданного распределения потенциала путем обраще ния граничных условий. Возможность реализации заданного распределе ния функции ф позволяет обратить краевую задачу, в которой гранич ные условия выражены через распределение потенциала: Ф= /(0 » (30.8) или касательной составляющей вектора Е . Так как потенциал исходного поля является функцией потока в сопряженном поле, взятой с обратным знаком, то условие (30.8) при нимает вид Г = -/(/). (30.9) Построив график этой функции, легко разбить контур на участки с рав ными интервалами Дф* и реализовать условие (29.1) на обращенной модели. Если приобходеконтура по часовой стрелке на данномучастке происходит падениепотенциала <р, то функция ф*здесь возрастает, и сила тока в соответствующем канале должна быть положительной: ток на этом участке должен выходить из модели. Проследив распределение потенциала сопряженного поля <р*, мы будем знать распределение функции потока исходного поля ф и, определив (графически) ее приращения на единицу длины, получим значения нор мальной составляющей вектора Е. Таким образом, по распределению касательной составляющей вектора Е можно найти распределение его нормальной составляющей (§ 27, п. 5). § 31. ОБРАЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ПОЛЯ В ЗОНАЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 1. Выбор удельных поверхностных сопротивлений. Как уже отме чалось (§ 13), при изучении плоских стационарных электрических полей в зонально неоднородной проводящей среде используют проводящие листы, для которых отношение удельных поверхностных сопротивлений равно отношению удельных сопротивлений моделируемых зон. Устано вим те требования, которым должны удовлетворять обращенные модели, выполненные из различных сортов электропроводной бумаги. На рис. 104, а показана прямая модель поля, содержащая две зоны, для которых отношение удельных поверхностных сопротивлений задано и равно /: (31.1) Допустим, что на ее контуре аЬсйа выполнены граничные условия (24.1) и (24.2) и построим обращенную модель этого поля. Очевидно, что обра щения граничных условий только на контуре аЬсйа в этом случае недо статочно и нужно еще обратить условие (12.5), существующее на границе раздела ОР: * 8 « 2 . Я,□ 1 *8 «1 Я,□ 2 Как видно из рис. 104, б, переход к сопряженному полю коренным образом изменяет характер преломления силовых линий на границе двух проводя щих сред. Если при переходе из пер вой среды во вторую вектор Е при ближается к нормали, то вектор Е * будет удаляться от нее. Рис. 104. К моделированию поля в зонально неоднородной среде: а) модель, содержащая две зоны с разными удельными сопротивлениями; б) изменение векторов К и Е * на границе раздела проводящих сред (ЯС 2 '> Яа 1 ). Легко убедиться, что силовые линии сопряженного поля подчиняются закону преломления изопотенциальных линий исходного поля ( 1 2 .6 ). Действительно, из рис. 104, б следует, что <*1 + О* = 90°, <*2 + <*2 = 90°, и, учитывая (12.5), имеем: 18 а? _ 18 а? Яр Я,□ 1 (31.2) что совпадает с ( 1 2 .6 ). Воспользовавшись равенством Е*{ = Е*ь которое выполняется на обра щенной модели, находим, что нормальные составляющие вектора Е * на поверхности раздела удовлетворяют соотношению Е2п __ Я р 1 __ 1 Е Тп Я,0 2 (31.3) Для реализации условий (31.2) и (31.3) на обращенной модели необ ходимо, чтобы соотношение между удельными поверхностными сопротив лениями ее зон было обратным (31.1), для чего нужно поменять местами сорта электропроводной бумаги. Однако, построив на такой модели (ср. рис. 105) изопотенциальные линии с постоянным интервалом потенциала Д<р* (совпадающие с линиями вектора Е ), мы увидим, что для каждой зоны интервал функции пото ка Дф имеет свое значение. Вместо увеличения напряженности исходного поля при переходе во вторую зону, с ббльшим удельным поверхностным сопротивлением, мы обнаружим ее уменьшение, поскольку на обращенной модели этой зоне соответствует меньшее удельное сопротивление. Для того чтобы этот интервал функции потока исходного поля имел одно и то же значение в обеих зонах, нужно провести изопотенциал ьные линии в них с разными интервалами потенциала <р*. Необходимое соотно шение между ними можно найти, выразив силу тока, протекающего через линию раздела (рис. 104), в соответствии с (11.3): 1ОР (Фр — ФоЬ _ (Фр— Фо)2 □1 ВП ■ 2 где индексами 1 и 2 отмечены величины, относящиеся соответственно к зонам 1 и 2 , откуда ДР1 (Фр— ФоЬ (31.4) /. (Фр — Фо)1 ЯП2 Мы видим, что приращение функции потока испытывает на линии раздела зон с разным удельным поверхностным сопротивлением скачок (так же как и нормальная составляющая вектора Е ) и во второй зоне на отрезке РО укладывается в I раз больше интервалов функции ф, чем в первой. Следовательно, чтобы удовлетворить условию (31.4) и получить единую карти ну строения поля, нужно взять интервал потенциала ф* во второй зоне в / раз меньше интервала в первой зоне: Аф^ "Лф? (31.5) Тогда изопотенциальные линии, построенные на обращенной моде ли, совпадут в обеих зонах с си Рис. 105. Изопотенциал ьные линии, по ловыми линиями исходного поля, строенные с равными интервалами потен циала на прямой и обращенной моде отличающимися на одинаковый лях зонально неоднородной области интервал функции ф. (Т?а 2 : # а1= 2 : 1). 2. ла к. На обращенной модели зоны с разными удельными поверхностными сопротивлениями отличаются значением числа к (§ 25). Напишем для исходного поля условие (2.54): Ец = Б2ь и выразим в нем касательные составляющие вектора Е через нормальные составляющие вектора Е * (25.4): Еы е 1п откуда Егп (31.6) Е*п Для зоны с большим удельным поверхностным сопротивлением (прямая модель) число к имеет меньшее значение. На рис. 106 показаны прямая и обращенная модели области поля, ограниченной квадратом и состоящей из двух прямоугольных зон, удель ные поверхностные сопротивления которых относятся, как 2 : 1 (1 — 2 ). Предположив, что на них подается одно и то же напряжение, можно наити отношения ЕТ и Е* и проверить соотношение (31.6). Вместе с тем читатель убедится в спра ведливости (31.5). Чтобы определить зна чения чисел кх и к2, в об щем случае нужно приме нить соотношение (25.5) и к линии раздела ОР (см. рис. 104, а): ) ш (фо— <рр) = М 5 0 — Ф;>) = а 1 / откуда р Я ж ж \° Ф □1 Для определения числа кх нужно измерить силу тока, протекающего через шину аЬ на прямой модели, и раз ность потенциалов сопря женного поля на том же участке обращенной модели *). Затем по формуле (31.6) можно определить число к2: к — — /Со 1 • (31.8) 3. Моделирование об ласти, содержащей более двух зон. Если прямая мо дель содержит три зоны с в) разными удельными поверх ностными сопротивлениями Рис. 106. Пример зонально неоднородной обла ^ □ 1 •Ер2 : Дпз - 1Х: 12 : / 3, (31.9) где 1и / 2 и / 3 — любые ложительные числа, то, пп. 1 и 2 ) для каждой на обращенной модели сти, позволяющий проверить соотношение (31,6): а) прямая модель; б) обращенная модель; в) сетка поля (ЯС 2 = 2 * ^ ) . по повторяя приведенные выше рассуждения (§ 31, границы между ними, мы придем к выводу, что должно выполняться условие ^ □ 1 : Р р 2 •/?03 = /з : ^2 : (31.10) При этом значения числа к будут удовлетворять соотношению : к2 : к3 = /3 : / 2 : / 4. (31.11) Определив абсолютное значение одного из них, мы найдем значения остальных. Аналогичные соотношения можно написать для любого числа зон. *) Приложенные к моделям напряжения должны быть равными. $ 32. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛЕЙ ПО СПОСОБУ МАКСВЕЛЛА 1. Математическое сложение полей. При наложении электрических полей, как правило, изменяется распределение их источников и резуль тирующее поле сложным образом зависит от исходных полей. Однако в некоторых случаях, например при сближении точечных зарядов, когда явлением электростатической индукции можно пренебречь, потенциал общего поля равен алгебраической сумме потенциалов слагаемых полей. В этом смысле можно говорить о «математическом» наложении этих полей. В этих случаях изопотенциальные линии результирующего поля можно построить графически по способу Максвелла. Начертив изопотенциальные линии слагаемых полей, переносят затем один из чертежей на кальку и совмещают оба чертежа так, чтобы точки, относительно кото^ рых определены потенциа лы и контуры, ограничи вающие область наложе ния полей, совпали. Тогда в точке пересе чения двух исходных изо потенциальных линий с потенциалами <р4 и <р2 результирующее поле бу дет иметь потенциал, рав ный их алгебраической сумме: Рис. 107. Графическое сложение полей по способу Максвелла. Пунктиром показаны изопотенциаль ные линии слагаемых полей, сплошными линиями — изопотенциальные линии результирующего поля. ф — ф1 + фг* (32.1) Соединив плавной кривой все те точки, где сумма потенциалов имеет одина ковые значения, мы получим изопотенциальную линию результи рующего поля. Таким способом можно построить систему изопотенциаль ных линий результирующего поля с постоянным интервалом потенциала (рис. 107). Сложив два поля, можно наложить на них третье поле и т. д. Этот способ позволяет строить изопотенциальные поверхности и при на ложении трехмерных полей. Если слагаемые поля являются плоскими и расположение их силовых линий известно, то, отмечая точки пересечения, соответствующие одина ковым значениям суммарной функции потока ф = ф 1 + ф2> (32.2) можно построить силовые линии результирующего поля. 2. Вычитание полей. Рассматривая одно из двух полей как результат наложения второго на некоторое другое, неизвестное нам поле: Е 1-- Ео + Ех, (32.3) мы придем к понятию вычитания полей. При отыскании поля Е х первое поле Е\ является уменьшаемым, а второе Е 2 — вычитаемым: Е х = Е { — Е 2. (32.4) Если известны потенциалы первого и второго полей относительно одной и той же нулевой точки, то потенциалы разностного поля находятся по формуле Ф = Ф, — ф2. (32.5) Построив изопотенциальные линии исходных полей, можно графи чески найти изопотенциальные линии разностного поля. Так же как и при сложении полей, линии одного поля вычерчивают на кальке и накла дывают на сетку второго поля, затем отмечают те точки пересечения, у которых разность потенциалов ф4 — ф2 имеет постоянное значение. Варьируя это построение, можно найти систему изо 111 потенциальных линий ис 1 1 1 б ) ------------------------------ 5 I 1 I комого поля с постоянным | 1 I интервалом Дф. Построе 151 ^1 ние силовых линий раз I 1 -2 ностного поля производит м м -/ |||| ся аналогично, на основа -------------------------- - О м м нии значений функции ! I I I потока ф4 и ф2. Рис. 108 5 4 3 2 1 0 иллюстрирует сложение и вычитание двух взаимно перпендикулярных одно родных нолей с одинако в) вой напряженностью. § 33. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛЕЙ НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ 1. Принципиальная схема установки. Изопо е = б 1+бг ; <р=р,+рг б = е 2- е г; р=рГ Рг тенциальные и силовые линии результирующего Рис. 108. Сложение п^вычитание по способу Мак поля можно найти экспе свелла двух однородных полей: а) и б) слагаемые, риментально, без построе в) сумма, г) разность. Числа соответствуют значениям потенциалов. ния сеток исходных полей. Для этого каждое из сла гаемых полей воспроизводят независимо от другого на соответствующей модели по заданным граничным условиям и обе модели размещают рядом на рабочем столе. Их нужно ориентировать так, чтобы налагаемые области поля можно было совместить, перемещая одну из моделей парал лельно самой себе. На каждой модели отмечаются соответственные точки (01 и 0 2), потенциалы которых принимаются за нуль, и в них устанавли ваются контакты, соединенные между собой гибким проводником (рис. 109, а). Для сложения или вычитания потенциалов применяется специальный двойной зонд. Он представляет собой планку А с двумя иглами (0 ! и 0 2), укрепленными на расстоянии, равном расстоянию между нулевыми точками. Эта планка с помощью рейсшины (рис. 109, б) перемещается, оставаясь параллельной самой себе, и, таким образом, иглы зонда все время касаются соответственных точек моделей. Из рис. 109, а видно, что напряжение между иглами зонда, в зави симости от положения переключателя П 2, равно сумме или разности потенциалов соответственных точек, т. е. потенциалу суммарного или разностного поля относительно нулевой точки. Это напряжение изме ряется компенсационным способом и выражается в делениях шкалы реохорда. Переключатель П х позволяет изменять направление компен сирующего напряжения и определять знак потенциала. Чтобы найти положение переключателя Я 2, соответствующее сложе нию полей, нужно порознь измерить потенциалы ф! и <р2 в какой-либо точке, где их значения заданы. При измере нии потенциала ф! игла V 2 соединяется гибким проводом с контактом, установленным в нуле вой точке; при измерении потенциала <р2 с нулевым контактом соединяется первая игла. Если окажется, что знаки потенциалов соот ветствуют заданным значениям или оба протн- б) Рис. 109. К сложению и вычитанию двух полей с применением электрических моделей: а) принципиальная схема, V х и 1/2 — измерительные иглы, А — планка для крепле ния игл, П х и П 2 — переключатели, Я х и Я 2 — потенциометры, Я 0 — реохорд ком пенсационной схемы, Ох и 0 2 — нулевые точки, В — выключатель, используемый при контроле шкалы реохорда; пунктирные линии а и Ь изображают провода, используемые при]раздельном измерении потенциалов ф1 и <р2; б) расположение планки с измеритель ными иглами относительно рейсшины. воположны им, то это значит, что при данном положении переключателя Я 2 мы будем складывать поля; другое положение переключателя П 2 будет означать вычитание полей. 2. Построение сетки суммарного или разностного поля. Построение изопотенциальных линий результирующего поля производится следую щим образом. Скомпенсировав напряжение на зонде, отмечают положение измерительной иглы на одной из моделей. Затем смещают рейсшину параллельно самой себе и, перемещая вдоль нее двойной зонд, отыскивают вторую точку с тем же значением суммарного потенциала <р. Снова смещают рейсшину и находят третью точку с тем же значением потенциала и т. д. Найденные точки соединяются плавной кривой. Сместив движок реохорда на другое деление шкалы, можно построить новую изопотенциальную линию, отличающуюся от исходной на заданный интервал потенциала Д<р, и т. д. Построив сетку изопотенциальных линий суммарного поля на первой модели и повторив опыт при другом положении переключателя Я 2, можно построить на второй модели сетку изопотенциальных линий разност ного поля. Обратив граничные условия на обеих моделях, можно тем же способом строить силовые линии результирующего поля с постоянным интервалом его функции потока. Интенсивности слагаемых полей регулируют с помощью потенцио метров /?! и В 2 по заданному отношению потенциалов ф! и ф2 в соответ ственных точках (эти потенциалы измеряются с помощью проводни ков а и Ь). § 34. НАЛОЖЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ Если внутри области, занимаемой потенциальным полем, нет его источников (зарядов), то это поле полностью определяется граничными условиями, и, следовательно, в этом случае «математическое» наложение полей на электрической моде ли можно осуществить путем наложения их граничных усло вий. Алгебраическое сложение потенциалов или их нормаль ных производных на границах области определяет геометри ческое сложение напряжен ностей и алгебраическое сло жение потенциалов внутри нее. 1. Наложение граничных условий, соответствующих за даче Дирихле Допустим, что Рис. 110. К наложению двух однородных вза в области, ограниченной квад имно перпендикулярных полей [случаи а) и б)) на одной электрической модели. ратом, нужно сложить два плоских однородных поля, напряженности которых равны и взаимно перпендикулярны (рис. 1 1 0 ), их максимальные разности потенциалов равны ф1 — ф2 = #\ а нулевой точкой в обоих случаях служит точка с. Результирующее поле должно быть однородным. Очевидно, что осуществить «математическое» наложение этих полей с помощью сплошных электродов невозможно. Соединив шины так, как это показано на рис .1 1 1 (оставив между ними промежутки в точках Ь и й, чтобы не получить короткого замыкания), мы получим неоднородное поле. Однако модель результирующего поля и в этом случае можно построить. Напишем граничные условия этих полей в форме, отвечающей задаче Дирихле, выразив их через касательную составляющую вектора Е : *) Ец/аь = 0» Ец/ъс= , (34.1) Е21 , а Ь ^ ^ = ^ , Е21/Ьс= О и сложим их: . ЕуаЬ — Ф1 ^ Ф2 Е\ . — Ф1 Ф2 I *) Обход контура производится по часовой стрелке. • ПА - * ОХ Соответственно для сторон ей и йа имеем: Ерц г Л — Ф1 I* Ерп и п Ф2 '1 Ф1 — Ф2 1 (34.3) I Таким образом, для получения результирующего поля нужно осуще ствить на контуре квадратного листа равномерное падение потенциала между точками а и с. Модель вырезается из высокоомной бумаги, и вдоль ее краев наклеи ваются полоски низкоомной бумаги (§ 27), которые соединяются с помощью контактов (рис. 112). Из (34.1) и (34.2) следует, что максимальная разность по тенциалов суммарного по ля должна быть вдвое боль ше, чем в каждом из исход ных полей. Поэтому, если модель подключена к прежнему источнику на пряжения, то цену деления Рис. 112. К наложению гра ничных условий двух одно родных нолей (ср. рис. 110 ), выраженных в форме, отвечаю щей задаче Дирихле. Равно мерное падение потенциала между точками а п с осущест вляется с помощью полосок низкоомной бумаги. Рис. 111. При попытке осуществить математиче ское наложение двух однородных стационарных электрических полей, созданных с помощью сплош ных шин, получается неоднородное поле. шкалы прибора или реохорда, но которой отсчитываются потенциалы или напряженность, нужно удвоить. 2. Наложение граничных условий, соответствующих задаче Нейма на. Рассмотрим второй вариант решения той же задачи. Выразим гра ничные условия слагаемых полей через нормальную составляющую вектора Е и снова сложим их: Я , „ /пЬ = , - Ещ Ьс = 0, Е г п » ь 0, = Е 2п/Ьс = , (М . 4) где ф! — ф2 — максимальная разность значений функции потока, откуда для результирующего поля имеем: Еп/ аЬ р — Е п / с й _— 5■',—52 1 Ф| ^ Ф2 ) р /^п/Ьс — Ф1 ^ Фг_ / д/ г\ (*>1.«)) и аналогично » Е П 1Д а _ 51—52 ^ — . /о/, п\ ( о ч . О) При этой постановке задачи на участке й а Ъ необходимо осуществить равномерное падение функции потока, а на участке Ь с с1 — ее равномерное повышение. Это выполняется по способу дискретного питания с принуди тельным заданием токов (§ 30). Посколь ку токи в каналах должны быть равны, то можно воспользоваться полосками высокоомной бумаги одинаковой дли ны (рис. 113). Описанная методика применяется и в случаях, когда потенциал или его нормальная производная выражаются более сложными функциями. Нужно определить результирующие гранич ные условия и дискретным способом реализовать их на модели. § 35. ВЫДЕЛЕНИЕ НАВЕДЕННОГО ПОЛЯ Рис. 113. К наложению граничных условий двух однородных полей (ср. рис. 110 ), выраженных в форме, отвечающей задаче Неймана. Пита ние модели осуществляется через равные полоски высокоомной бумаги. Всякое изменение граничных усло вий поля означает перераспределение его источников и немедленно возму щает поле. Можно считать, что это изменение поля происходит в резуль тате наложения на исходное или невозмущенное поле дополнительного наведенного ноля. Вычитая исходное поле из общего поля, можно вы делить наведенное поле и построить его сетку. Рассмотрим несколько примеров. 1. Случай, когда строение невозмущенного ноля неизвестно. Допу стим, что в обтекаемой током однородной проводящей среде возникла полость, изменившая стационарное электрическое поле. Чтобы выделить наведенное поле, созданное стационарными зарядами, возникшими на поверхности этой полости (§ 1 0 ), приготовим из низкоомной электро проводной бумаги модель исходного поля и, включив ее в мостовую схему, построим изопотенциальные линии, отмечая их карандашом. Затем выре жем в проводящем листе отверстие в форме исследуемой полости и, повто рив опыт, найдем границы зоны искажения. Если искажение наблюдается вплоть до внешних границ модели, то нужно приготовить новую модель с меньшим отверстием. После этого переходят к измерениям наведенного поля с помощью двух зондов, присоединенных к милливольтметру (рис. 114). Один из них устанавливают в невозмущенной области, а другой перемещают по соответствующей изопотенциальной линии до тех пор, пока прибор не покажет напряжение, равное установленному интервалу потенциала Дер. Эта точка отмечается на модели карандашом другого цвета. Так как оба зонда расположены на одной и той же изопотенци альной линии невозмущенного поля, то разность напряжения между ними может быть обусловлена только наведенным полем, а поскольку второй зонд находится за пределами последнего, то в найденной точке потенциал наведенного поля относительно бесконечно удаленной точки равен Д<р. Переставляем «неподвижный» зонд на соседнюю изолинию невозму щенного поля и, перемещая вдоль нее подвижный зонд, находим вторую точку с потенциалом наведенного поля, равным Д<р, и т. д. Обойдя таким образом все изопотенциальные линии невозмущенного поля и соединив отмеченные на них точки плавной кривой, мы получим изопотенциальную линию наведенного поля с потенциалом, равным Дер. Повторив опыт при удвоенном напряжении, можно построить изопотенциальную линию наведенного поля с потенциалом 2Дср и т. д. Силовые линии наведенного поля строятся на обращенной модели. 2. Вычитание поля, строение которого заранее известно. Экспери мент существенно упрощается, если форма изопотенциальных линий невозмущенного поля заранее известна. Допустим, что оно однородно Рис. 114. К отысканию точек, в которых потенциал наведен ного стационарного электрического поля имеет заданное значение. Зонд 1 располагается в невозмущенной области, а зонд 2 перемещается по изопотенциальной линии невоз мущенного поля. и моделью служит прямоугольный лист электропроводной бумаги, содер жащий отверстие произвольной формы. Этот лист располагают на чертеж ной доске с рейсшиной так, чтобы последняя была параллельна изоли ниям исходного поля, и перемещают вдоль нее один из двух зондов. Рис. 115. К построению изопотенциальных линий наведенного поля в случае, если внешнее поле одно родно: 1 — подвижный зонд, 2 — неподвижный. в то время как другой установлен у края модели. Вместо рейсшины можно воспользоваться линейкой, расположенной вдоль силовых л и н и й невоз мущенного однородного поля, и большим треугольником (рис. 115). Для построения силовых линий область выреза заклеивают фольгой и изменяют расположение внешних шин. Если изопотенциальные линии невозмущенного поля являлись кон центрическими окружностями (поле точечного линейного заряда), то при построении изопотенциальных линий наведенного поля подвижный зонд крепится к ножке циркуля (рис. 116). Установив вторую ножку циркуля в центре симметрии невозмущенного поля, мы сможем перемещать под вижный зонд по той изопотенциальной линии невозмущенного поля, на — " ^ У Рис. 116. К построению изопотенциальных линий наведен ного поля в случае, когда изопотенциальные линии невоз мущенного поля имеют форму концентрических окружностей: крепление подвижного зонда 1 к одной из ножек циркуля. которой установлен неподвижный зонд (рис. 117). Переход к следующей изолинии достигается изменением раствора циркуля и переносом непод вижного зонда. При измерениях на обращенной модели, где изолиниями являются ра диальные прямые, подвижный зонд перемещается по линейке, расположен ный радиально, а неподвижный устанавливается у края модели (рис. 118). Рис. 117. К отысканию точек с равными значениями потенциала ф'. Рис. 118. К построению силовых линий наведенного поля на обращенной модели в слу чае, если силовые линии не возмущенного поля являются радиальными прямыми. 3. Решение внешних краевых задач. Как было показано в § 10, на границах полости в обтекаемой током проводящей среде выполняется условие Дп= о. Рассматривая поле как сумму внешнего невозмущенного поля Е 0 и поля стационарных зарядов, наведенных им на границах полости Е ', имеем: Еп= />0п* Если невозмущенное внешнее поле однородно и вектор Е 0 параллелен оси х , то это граничное условие для наведенного поля принимает вид Е'п = — Е0п = — #осов (х, п). (35.1) Следовательно, если при решении внешней краевой задачи требуется воспроизвести на контуре граничное условие то нужно создать в проводящем листе однородное стационарное электри ческое поле, вырезать по заданному контуру отверстие и методом вычита ния исследовать поле наведенных стационарных зарядов. Допустим теперь, что мы наклеили на электропроводную бумагу, в которой существовало однородное стационарное электрическое поле, лист фольги. Тогда на границах фольги будет выполняться условие Д* = 0, (35.3) откуда следует, что поле наведенных стационарных зарядов удовлетворяет на этом контуре граничному условию Е \ = - Е 01. (35.4) Если внешнее поле однородно и вектор Е параллелен оси х, то (35.4) принимает вид Е\ = — Е0 соь(х, I), (35.5) Вычитая из общего поля внешнее однородное поле, мы получим поле, удовлетворяющее граничному условию (35.5). Описанный способ можно применить для реализации более сложных граничных условий, отвечающих задачам Неймана и Дирихле. Нужно лишь подобрать соответствующую конфигурацию внешнего поля. Он при меняется также и при решении пространственных задач. § 36. МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННЫХ ПОЛЕЙ 1. Качественные опыты. При решении внешней краевой задачи (§ 3 ) поле определяется граничными условиями на поверхностях, огра ничивающих данную область изнутри, в то время как внешних границ не существует и в бесконечности вектор Е стре мится к нулю. Примером может служить элек тростатическое поле заряженных проводников или внешнее стационарное электрическое поле, окружающее линию передачи. В плоском варианте этой задачи поле определяется по граничным условиям на внутренних контурах. При моделировании такого поля проводя щий слой не должен иметь свободных границ, где могут возникать стационарные заряды. Кроме того, если общий линейный поток вектора Е через внутренние контуры отличен от нуля и ток нужно отводить из модели с помощью внешних электродов, то послед ние не должны искажать строение поля в рабо Рис. 119. К моделированию бесконечно протяженных чей области модели. полей при проведении каче При качественных опытах применяют боль ственных опытов (общий шие круглые листы электропроводной бумаги, линейный поток вектора Е по периметру которых наклеивают шины. Если через контуры электродов равен нулю). общий линейный поток вектора Е через вну тренние контуры равен нулю (токи, втекающие через одни электроды, вытекают через другие), то внешняя шина оставляется изолированной от цепи (рис. 119). Внутренние границы поля должны быть расположены в средней части листа, для того чтобы влия ние его внешних границ было бы незначительным. Опыт показывает, что искажения, вызванные присутствием шины, на которой выполняется граничное условие Е х = 0, и свободным краем, где имеет место равенство Еп = 0, носят противоположный характер. Следовательно, построив изопотенциальные линии с заданным потен циалом при наличии внешней шины и без нее, можно утверждать, что изопотенциальная линия неискаженного поля лежит между ними. Это позволяет оценить и отчасти исправить допущенную погрешность. Если по условиям задачи общий ток, входящий в, модель через элек троды, отличен от нуля, то внешняя шина подключается к одному на зажимов источника тока. 2. Модели, обеспечивающие точное решение. Два круглых листа электропроводной бумаги (желательно, чтобы каждый из них был двух слойным (§ 13)) изолируют друг от друга по всей пло щади листом обыкновен ной бумаги, картона или тонким круглым листом фанеры, а края склеивают электропроводным клеем или плотно прижимают друг к другу, чтобы полу чить надежный контакт между ними. Прижимным устройством может слу жить деревянное кольцо, к внутреннему торцу кото рого крепится латунная лента, с легка выступающая над его плоскостью. С по мощью болтов оно прижи мается к стенду, на кото ром размещается модель. Для амортизации под ли сты электропроводной бу маги подкладывают поло Рис. 120. Внешний вид двойной круглой модели. ску сукна или листовой Видна прокладка из кальки, изолирующая латун ную полоску от электропроводной бумаги. резины, а для изоляции от латуни их накрывают полоской кальки, вырезанной в форме кольца. О контакте между листами бумаги можно судить по вмятине, которая остается на них после опы та. Внешний вид устройства показан на рис. 120 *). Края листов можно также соединить между собой дискретным способом с помощью гвоздиков или патефонных игл, забивая их в доску, на которой выложена модель. Рабочим является верхний лист — на нем устанавливают электроды, с помощью которых реализуются граничные условия на внутренних кон турах области поля, а нижний лист устраняет влияние краев верхне го листа. Действительно, в этом случае проводящий слой оказывается замкну тым и лишенным свободных краев, где могли бы возникнуть скопления наведенных стационарных зарядов; строение поля остается невозмущен ным на всей поверхности верхнего листа. Внутренние контуры могут ' иметь значительные размеры при небольших габаритах модели. *) Аналогичное устройство предложено А. Ф. Фокиным и Л. В. Ницецким (см. также [3]). б) Рис. 121. Расположение трубок равного потока напряженности на верхнем и нижнем листах двойной модели, воспроизводящей поле линейного диполя, а) Центр «диполя» совпадает с центром модели; б) центр «диполя» смещен относительно центра модели. На рис. 121 показано расположение трубок равного потока на верх нем и нижнем листах, полученное при моделировании поля линейного диполя (см. ниже § 39, п. 1) в случаях, когда его центр совпадает (а) и не совпадает (б) с центром модели. Благодаря нижнему листу силовые линии пересекают края верхнего листа так, как если бы он являлся частью бесконечно протяженного проводящего слоя, и замыкаются через нижний лист. Нижний лист заменяет отсутствующую внешнюю область. В теоретическом курсе доказывается, что каждой точке внешней области, лежащей на некотором луче, соответствует определенная точка нижнего листа, лежащая на том же луче (рис. 1 2 2 ), причем их расстояния от центра модели связаны соотношением Г>г2 = г1 (36.1) выражающим собой конформное преобразова ние («инверсию») внешней области на круг. Стационарное электрическое поле в нижнем листе (являясь конформным отображением поля во внешней области) замыкает поле, суще ствующее в верхнем листе, не нарушая его строения. При этом всем бесконечно удаленным точкам соответствует центр нижнего листа. В нем удобнее всего установить электрод, Рис. 122. К теории двойных отводящий ток из модели. Если поле обладает круглых моделей. Точка N, принадлежащая нижнему одной или двумя линиями симметрии, то листы листу, заменяет точку М, двойной модели могут иметь форму полукругов лежащую на том же луче и квадрантов. Когда линия симметрии совпа вне проводящей области. дает с силовой линией, соответствующие края Их расстояния от центра верхнего и нижнего листов остаются свобод (г, и г2) и радиус модели г0 связаны соотношением ными; если же она является изопотенциальной (36.1). линией, то вдоль краев верхнего и нижнего листов наклеивается сплошная полоска фольги. Чтобы обратить граничные условия на полной модели, необходимо предварительно построить изопотенциальные линии на верхнем и нижнем листах прямой модели, а затем разрезать оба листа по этим линиям и в соот ветствии с условиями задачи установить фигурные шины. § 37. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛЕЙ Если в электрическом поле существует прямая, обладающая тем свойством, что любая плоскость, проходящая через нее, является пло скостью вектора Е , то это поле называется осесимметричным. Примерами могут служить: поле точечного заряда, поле диполя, поле любой системы точечных зарядов, расположенных на одной прямой, поле плоского кон денсатора, обкладками которого служат две круглые пластины, поле цилиндрического конденсатора и т. п. Поскольку нормальная составляющая вектора Е в любой меридио нальной плоскости равна нулю, то для моделирования области осесимме тричного поля нет необходимости применять объемный электролитический бак. Достаточно заполнить проводящей средой пространство, ограничен ное двумя меридиональными плоскостями, угол между которыми может быть любым. Для получения такого клинового проводящего слоя, имею щего треугольное сечение, применяют клиновую электролитическую ванну с наклоненным дном (рис. 123) или стопу, составленную из листов элек тропроводной бумаги (рис. 124), что упрощает эксперимент. 9 Г. А. Рязанов Контакт между листами по всей их поверхности осуществляется либо с помощью электропроводного клея [2 ], либо с применением прижимного устройства. Клиновидная стопа листов электропроводной бумаги выкладывается с постоянным шагом ( 1 —3 см) основанием вверх на шлифованной стальной плите, покрытой листовой резиной или сукном, и накрывается второй плитой таких же размеров, содержащей круглые отверстия, просверлен ные в ней в шахматном порядке. Изоляция верхней перфорированной плиты от поверхности бумаги осуще ствляется с помощью обычного тонкого картона, приклеенного к ее поверхности. Верхняя пли та прижимается к нижней с помощью струбцин или болтов, Рис. 123. Электролитическая ванна с на клоненным дном для моделирования осесим метричных полей. Граничные условия реа лизуются так же, как и в случае плоского поля. Рис. 124. Стопа листов элек тропроводной бумаги, образую щая проводящий слой с тре угольным поперечным сечением. расположенных по краям, вследствие чего между листами электропро водной бумаги осуществляется надежный контакт. Электроды, с помощью которых реализуют заданные граничные условия, выполняются из полосок тонкой фольги, которые прокладываются Рис. 125. К моделированию осесимметричных полей. Стальные плиты, с помощью которых осуществляется контакт между листами электропроводной бумаги, образующими клиновидную стопу (одна из них перфо рирована). между листами бумаги. Измерение потенциалов и построение изопо тенциальных линий осуществляется через отверстия в верхней плите. При переходе к следующему опыту верхний лист заменяется новым. На рис. 125 показана установка с плитами размером 300 X 400 ммг причем верхняя из них содержит 600 отверстий диаметром по 15 мм. Для получения моделей больших размеров контакт между листами стопы осуществляется с помощью нескольких пар таких плит, распо ложенных рядом. В другом варианте контакт между листами электропроводной бумаги, образующими клиновидную стопу, осуществляется с помощью патефон ных игл. Стопа выкладывается на фанере, и иглы забиваются с помощью шаблона, сделанного из оргстекла и содержащего отверстия, высверленные с шагом в 1 см. На таких моделях, кроме измерения потенциалов, воз можна реализация более сложных граничных условий. Используя их, можно поставить ряд демонстрационных опытов. Устройство может быть выполнено в виде щита, в котором иглы укреплены заранее. Листы электропроводной бумаги накалываются на Таблица 2 Клиновидная стопа с применением стальных плит, г 0 = 0,27 с м фэнсп Г + см Го, 0,1 0 ,2 0 ,3 0,4 0,5 ^теор 0,095 0,196 0,304 0,403 0,508 3/| 4,4 5,7 7,3 9 ,5 % ф ^эксп 5 2 1,3 0 ,7 1,6 г+ 0,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1,0 Го, см ^тсор 0,605 0,705 0,802 0,915 1,0 12,1 15,4 19,7 25,4 32,0 0 ,8 0,7 0,25 1,6 0 иглы последовательно один за другим с помощью губки. Вместе с листами бумаги прокалываются полоски фольги, расположенные между ними для реализации граничных условий. Затем стенд переносится на рабочий стол, и модель включается в схему. Таблица 3 Клиновидная стопа с применением патефонных игл, г 0 = 0,25 с м |ф 1 Ч ЭКСП : 0,1 0 ,2 0,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1,0 1Г I + г0, см 3,35 4,5 6 ,0 8 ,0 10,9 14,7 19,7 26,5 35 ,7 46,5 ^теор 0,1 0 0,2 01 0 ,3 0 0 ,3 9 8 0 ,5 0 2 0 ,6 0 5 0 ,7 07 0,801 0 ,9 1 0 1 ,0 Г + го, V ' * см Е Е теор Е * /е 0 0 ,5 5 10 15 20 25 30 35 40 88,5 43,6 29,4 22,1 17,5 14,94 13,01 11,2 89,6 44,8 29,87 22,4 17,93 14,93 12,8 11,2 1,2 2 ,7 1,56 1,36 2,46 0,07 1,4 0 — 0 ,5 0 ,4 0,83 1 0,125 1,1 Контрольный опыт. Для оценки точности измерений берется прямо угольная модель аЪсй, и питающие шины располагаются вдоль ее сто рон аЬ и ей. Построив изопотенциальные линии с интервалом в 1/10 от общего напряжения, измеряют расстояния от них до шины ей, располо женной вблизи оси симметрии поля. Измерив расстояния двух изолиний и г2), отношение потенциалов которых равно 2 , можно вычислить расстояние от шины ей до оси симметрии ноля по формуле г = —Г Л— ° г2— 2 г 1 и затем найти теоретические значения потенциалов построенных линий. Величина г 0 фиксирует положение оси симметрии поля для данной стопы. В качестве примеров, позволяющих судить о точности моделирования, в таблицах 2 и 3 приведены результаты опытов на двух установках: с при менением стальных плит (табл. 2 ) и патефонных игл (табл. 3). При моделировании с применением игл, кроме потенциалов, изме рялись напряженности поля. Их экспериментальные значения, выражен ные в делениях шкалы реохорда (применялась компенсационная схема), сравнивались с теоретическими, при вычислении которых использовалось значение величины г0. § 38. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ СТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 1. Применение слабо проводящей среды. Как уже отмечалось (§ 9), заполнение всего пространства, занимаемого электростатическим полем, однородной, слабо проводящей средой само по себе не изменяет поля, и если заряды проводников (или их потенциалы) поддерживать неизмен ными, то стационарное электрическое поле в проводящей среде может слу жить моделью электростатического поля. Стационарные заряды, возни кающие на поверхности электродов, соответствуют зарядам, создающим электростатическое поле. Их величину можно регулировать изменением силы тока (§ И). В качестве проводящей среды используется электролит или элек тропроводная бумага. Удельное сопротивление металлов столь мало по сравнению с удельным сопротивлением применяемых электролитов или электропроводной бумаги, что силовые линии стационарного элек трического поля внутри области подходят нормально к поверхности раздела (§ 1 0 , п. 3) и каждый электрод, независимо от его формы, всюду имеет один потенциал. 2. Определение поверхностной плотности зарядов. Измерив двойным зондом распределение напряженности стационарного электрического поля Е на контуре электрода, имитирующего проводник, можно по фор муле (9.2) найти распределение поверхностной плотности электрических зарядов. Однако на прямых моделях зонд располагается нормально к про филю электрода, и мы не можем определить значения векторав'Е н а самом электроде. Большая точность при изучении плоских полей достигается на обращенных моделях. В этом случае моделью проводника служит отверстие в листе электропроводной бумаги и при измерениях напряженно сти сопряженного поля Е * иглы зонда располагаются вдоль его краев. § 39. ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ С ОБЩИМ ЗАРЯДОМ, РАВНЫМ НУЛЮ (ВНЕШНЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА) 1. Поле линейного диполя. Линейным диполем называются два раз ноименно заряженных бесконечно длинных параллельных проводника (рис. 126, а), линейные заряды которых равны по абсолютной величине. Очевидно, что в плоскости вектора Е этого поля имеются две линии сим метрии (рис. 126, б), одна из которых (сд) служит изопотенциальной линией, а другая (аЬ) совпадает с тремя с и л о в ы м и л и н и я м и . Следователь но, достаточно воспроизвести только заштрихованную область. Имитируя заряды с помощью электродов, имеющих конечные раз меры, мы образуем контуры, на которых выполняется граничное условие <р = сопз 1 , т. е. имеем внешнюю краевую задачу. Поскольку поле не имеет внешних границ, применяются двойные модели (§ 36, п. 2). Верхний и нижний листы прямой модели показаны на рис. 127, а, шины аЬ и ей Рис. 126. а) Линейный диполь, б) Поле линейного диполя имеет на плоскости вектора Е две линии симметрии (аЬ и сд), и на электрической модели достаточно воспроизвести заштрихованную область. Представляют собой одну сплошную полоску фольги. Обращенная модель приведена на рис. 127, б. Здесь из одной полоски фольги выполнены шины ей и //. Для построения полной картины поля обе сетки перекалы ваются на круглый лист, сложенный вчетверо. 1 а) б) Рис. 127. К моделированию поля линейного диполя (ср. рис. 126): а) прямая модель; б) обращенная модель. Увеличив радиус электрода на прямой модели и соответственно вырез на обращенной, мы получим модель поля двух проводов конечного сече ния (рис. 128) и можем проследить распределение зарядов на их поверх ности. Точки, в которых пересекаются продолжения силовых линий, соответствуют электрическим осям проводов. Определяя их опытным путем, можно не только проверить теоретическое решение, но и оценить точность эксперимента. 2. Поле плоеного конденсатора. Если конденсатор образован бес конечно длинными параллельными пластинами, то его поле будет плоским Рис. 128. Поле двухпроводной линии передачи. Сило вые линии разбивают область ноля на трубки равного потока, в основаниях которых расположены равные заряды; их продолжения пересекаются в точках, соот ветствующих э л е к т р и ч е с к и м ос я м проводов. и моделируется аналогично полю линейного диполя. Прямая и обращен ная модели приведены на рис. 129. Полученная с помощью этих моделей а) Рис. 129. К моделированию поля плоского конденсатора: а) прямая модель; б) обра щенная модель. полная картина двумерного поля конденсатора приведена в приложении (рис. V III). Приведенный демонстрационный плакат может служить действующей моделью, на которой можно продемонстрировать методику измерения стационарных электрических полей (гл. IV). Приготовив несколько моделей, можно изучить зависимость краевого эффекта от рас стояния между пластинами конденсатора [см. приложение (рис. IX) 1. Расположение трубок равного потока позволяет судить о распределении зарядов на внешних поверхностях пластины конденсатора. Для построе ния эпюры распределения поверхностной плотности зарядов используются обращенные модели (§ 38, п. 2). 3. Поле системы из четырех линейных зарядов. Пусть четыре беско нечно длинных параллельных провода заряжены так, как это показано а) Рис. 130. б) Поле, образованное четырьмя линейными зарядами (а), имеет на плоскости вектора Е четыре линии симметрии (б). на рис. 130, а. Тогда на плоскости вектора Е будет существовать четыре линии симметрии (рис. 130, б), и достаточно воспроизвести поле в области, а) б) Рис. 131. К моделированию поля системы четырех линейных заря дов: а) прямая модель; б) обращенная модель. ограниченной двумя из них. Прямая и обращенная модели показаны на рис. 131. Полная картина поля приведена в приложении (рис. X). § 40. ПОЛЕ, ВОЗНИКАЮЩЕЕ ПРИ КОНТАКТЕ РАЗНОРОДНЫХ МЕТАЛЛОВ (ЯВЛЕНИЕ КОНТАКТНОЙ РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ) 1. Два проводника. На рис. 132 показан демонстрационный плакат, изображающий электрическое поле, образовавшееся при контакте двух разнородных проводников прямоугольного сечения. Предполагается, Рис. 132. Сетка ноля, образовавшегося при контактной электри зации двух прямоугольных стержней из разных металлов (после того, как их раздвинули на некоторое расстояние). ~л а) б) Рис. 133. Прямая (а) и обращенная (б) модели для построения сетки поля, показан ной на рис. 132. что после контакта они были разведены на некоторое расстояние; именно этот процесс разъединения проводников, требующий механической работы, и явился причиной возникновения окружающего их поля. Это поле обладает двумя плоскостями симметрии. Прямая и обра щенная модели показаны на рис. 133. Используя обращенную модель, можно проследить распределение поверхностной плотности зарядов. Оно соответствует распределению трубок равного потока напряженности. 2. Три проводника. На цветной вклейке 1 приведена сетка поля, возникающего при раздвижении трех разнородных проводников, состав лявших замкнутую цепь. Моделируются металлы, контактные разности потенциалов которых при обходе контура по часовой стрелке удовлетворяют соотношению (ф | — ф з ) : (ф з — Ф з ) : (ф з — ф | ) = 1 : 3 : — 4. (40.1) Поле лишено симметрии, и поэтому применяются полные модели. Прямая модель показана на рис. 134, а — проводникам соответствуют полоски фольги, распределение потенциалов задается принудительным способом Рис. 134. Прямая (я) и две обращенные модели (б) и (в ) , с помощью которых можно построить сетку поля, показанную на вклейке Л° 1. / / — потенциометр, 1{{ и Н2 — высокоомные сопротивления. (§ 26, п. 1 ). Заметим, что в этом случае мы одновременно решаем две краевые задачи: определяем поле внутри и вне контура. Обращенная модель состоит из двух частей: на одной (рис. 134, б) исследуется поле вне контура, а на другой (рис. 134, в) — поле внутри него. В обоих случаях на контуре необходимо осуществить распределение функции потока, соответствующее (40.1): (Ф* - Фг): (фг - Фз) :!(фз - ФТ) = - 1 : - Э Д , (40.2) что достигается методом принудительного задания токов (§ 28, п. 3 ) с применением низкоомной электропроводной бумаги. § 41. ПОЛЕ СИСТЕМЫ ПРОВОДНИКОВ, ОБЩИЙ ЗАРЯД КОТОРЫХ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ 1. Поле уединенного проводника. На рис. 135 показан профиль уединенного проводника, имеющий одну линию симметрии. Соответ ствующие ему прямая и обращенная модели приведены на рис. 136. Ток, входящий в верхний лист через электрод, имитирующий проводник, отводится с помощью точечного электрода, расположенного в центре нижнего листа. Рис. 130. К моделированию [ноля уединенного проводника (см. рис. 135): а) прямая модель; б) обращенная модель. Рис. 137. Поле двух одноименных нравпых линейных зарядов имеет в плоскости вектора Е две линии симметрии (аЬ и сд). Рис. 138. К моделированию поля двух одноименных линейных зарядов (ср. рис. 137). 2. Поле двух равных одноименных линейных зарядов. Если два одно именных линейных заряда равны по величине, то в плоскости вектора Е существует две линии симметрии (рис. 137), совпадающие с силовыми линиями (их пересечение является особой точкой поля). Прямая и обра щенная модели приведены на рис. 138. 3. Поле двух одноименных линейных зарядов, разных по величине. Если два линейных заряда не равны по величине, то в плоскости вектора Е существует только одна линия симметрии. На прямой модели, выполнен ной из низкоомной электропроводной бумаги, заряды моделируют токами. П 'Л Я Рис. 139. К моделированию поля двух одноименных линейных зарядов разной величины: а) прямая модель; б) обращенная модель; Я х и Я 2 — высоко омные сопротивления, П — потенциометр. втекающими через электроды верхнего листа (рис. 139). Они задаются принудительным способом, причем сопротивление каналов определяется соотношением <4 1 л > Соответственно этому на шинах обращенной модели (рис. 139, б) принуди тельным способом устанавливают потенциалы, удовлетворяющие соот ношению = _*!_ (41.2) Ф2—Фз *2 Очевидно, что на линии симметрии этого поля существует особая точка, положение которой легко рассчитать теоретически. Отыскав ее на прямой и обращенной моделях с помощью двойного зонда, можно оценить точ ность эксперимента. § 42. ПРОВОДНИКИ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 1. Плоская пластина в однородном поле. Допустим, что в однородном электростатическом поле параллельно его силовым линиям расположена бесконечно длинная пластина, образующая которой перпендикулярна вектору Е , так что окружающее ее поле остается плоским (рис. 140). Считая, что возмущение внешнего поля индуцированными зарядами суще ствует только в окрестности проводника, и учитывая симметрию поля, приготавливаем модель в форме прямоугольного листа и устанавливаем шины так, как это показано на рис. 141. Распределение индуциро ванных зарядов исследуется на об ращенной модели (рис. 141) (§ 38, п. 2 ). Из рассмотрения рис. 141 видно, что на границах моделируемой облас ти поля ширина трубок равного по тока напряженности и расстояние между изопотенциальными линиями, проведенными с постоянным ин тервалом потенциала, неодинаковы. Это означает, что при данных разме рах пластины проводящий лист мень ше зоны искажения ноля и опыт сле дует считать лишь качественным. Для получения точной картины поля нуж но увеличить размеры проводящего листа. 2. Цилиндр в неоднородном поле. Рис. 140. Электростатическое поле вблизи Пусть между двумя параллельными пластины, помещенной во внешнее одно цилиндрическими проводниками, ли родное иоле параллельно его силовым линиям. нейные заряды которых равны по величине, но противоположны по знаку, расположен симметрично тре тий незаряженный параллельный им цилиндрический проводник. Очевид но, что окружающее эти проводники поле будет плоским и в плоскости Рис. 141. К построению сетки поля, показанной на рис. 140. вектора Е существуют две линии симметрии. Прямая (а) и обращенная (6 ) модели показаны на рис. 142. Распределение индуцированных зарядов изучается на обращенной модели (§38, п. 2 ). 3. Эллиптический цилиндр вблизи точечного линейного заряда. В этом случае в плоскости вектора Е может быть только одна линия сим метрии и моделирование осуществляется с помощью полукруглой сдвоен ной модели (§ 36, п. 2). Полная сетка приведена в приложении (рис. X I). 4. Эллиптический цилиндр вблизи двух цилиндрических проводников, заряженных разноименно. В этом случае поле лишено симметрии и моде лирование осуществляется на полной сдвоенной модели с помощью устрой ства, показанного на рис. 120. Поскольку общий заряд проводников равен нулю, то нижний лист свободен от электродов. Полная картина поля приведена на цветной вклейке 2. Положение изопотенциальной линии, имеющей потенциал проводника, показано пунктиром. Эпюра индуцированных зарядов, показанная желтым цветом, была построена на прямой модели. Рис. 142. К построению сетки поля: а) прямая модель; б) обращенная модель. Приведенный плакат является одновременно действующей моделью, которую можно включить через понижающий трансформатор в сеть. Используя в качестве индикатора напряжения электронный осциллограф (§ 2 1 ), можно с помощью двойного зонда проследить распределение индуцированных зарядов и сравнить значения вектора Е в различных точках поля. Мостовая схема позволяет определить относительный потен циал незаряженного проводника, проверить положение соответствующей изопотенциальной линии и т. п. § 43. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ИНДУЦИРОВАННЫХ ЗАРЯДОВ МЕТОДОМ ВЫЧИТАНИЯ ПОЛЕЙ Описанный в § 35 способ вычитания полей позволяет выделить из общего электростатического поля, созданного внешними зарядами, поле индуцированных зарядов на поверхности проводника. 1. Поле зарядов, индуцированных во внешнем однородном поле. В этом случае моделируется прямоугольная область, стороны которой параллельны соответственно силовым и изопотенциальным линиям внеш него однородного поля, причем размеры проводящего листа выбираются с таким расчетом, чтобы искажением поля у его границ можно было пре небречь (ср. § 35, п. 2). Изопотенциальные линии поля индуцированных зарядов строят на прямой модели, имитируя проводник с помощью листа фольги. Питающие шины располагаются вдоль краев, соответствующих изопотенциал ьным линиям (рис. 143, а). Для отыскания точки, в которой потенциал индуцированного поля имеет заданное значение, применяются два зонда, подключенные к милли вольтметру. Один из них устанавливается у края модели, а другой с по мощью линейки и треугольника перемещается вдоль изопотенциальной линии невозмущенного однородного поля до тех пор, пока прибор не пока жет нужное напряжение. Затем треугольник смещается вдоль линейки, и опыт повторяется несколько раз. Соединив найденные точки, мы полу чим изопотенциальную линию индуцированного поля. Задаваясь новыми значениями потенциала <р\ построим ряд линий с постоянным интервалом потенциала. Они будут пересекать профиль проводника. Для построения силовых линий индуцированного поля используют обращенную модель (рис. 143, б), имитируя проводник отверстием в прово дящем листе. Зонды располагаются вдоль силовых линий невозмущенного поля, и показания прибора соответствуют значениям функции потока а) Рис. 143. К моделированию поля индуцированных зарядов: а) построение изопотен циальных линий на прямой модели; б) построение силовых линий на обращенной моде ли; И — измерительные иглы. индуцированного поля. Линии, построенные с постоянным интервалом функции ф, разобьют модель на трубки равного потока, по распределению которых можно судить о плотности наведенных зарядов. Ее распределение будет соответствовать эпюре, построенной с помощью двойного зонда (§ 38, п. 2) в общем поле. Силовые линии наведенного поля пересекают профиль проводника под различными углами, отличными от 90°. 2. Поле зарядов, индуцированных в неоднородном поле. Если внеш нее поле неоднородно, то для выделения индуцированного поля нужно сначала построить сетку невозмущенного внешнего поля (§ 35, п. 1). Однако в случае, рассмотренном в § 42, п. 3, внешнее поле образовано точечным линейным зарядом и сетка невозмущенного поля заранее изве стна. Изопотенциальные линии индуцированного поля строятся на пря мой модели с применением циркуля (ср. рис. 116), а силовые линии — на обращенной с помощью линейки (ср. рис. 117). Полученная таким спо собом сетка индуцированного поля приведена в приложении (рис. X II). Пунктиром показана эпюра поверхностной плотности наведенного заряда. § 44. РЕАЛИЗАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ИНДУЦИРОВАННОГО ПОЛЯ 1. Построение изопотенциальных линий. Если известны граничные условия индуцированного поля, то его можно моделировать непосред ственно. Сформулируем граничные условия поля зарядов, индуцированных на поверхности проводника во внешнем однородном поле (рис. 144, а). По свойству наложения полей потенциал поля <р в присутствии проводника можно рассматривать как алгебраическую сумму потенциала внешнего однородного поля ф0 и потенциала поля индуцированных зарядов ф': ф = фо + ф/ . (44.1) Примем .за нулевую точку О, в которой одна из изопотенциальных поверхностей внешнего поля касается проводника, и направим ось х -X \?>0= С0Л81 а) Рис. 144. К определению граничных условий поля [зарядов, индуци рованных на поверхности проводника во внешнем однородном электри ческом поле. вдоль силовой линии этого поля. Тогда на поверхности проводника будут выполняться следующие равенства: ф = 0, Фо= — Е 0х, (44.2) где Е о — напряженность внешнего однородного поля. Подставив эти значения ф и ф 0 в (44.1), мы получим граничные условия индуцированного поля на поверхности провод ника: ф' = Е0х. (44.3) Если можно считать, что это поле не имеет внешних гра ниц, то при реализации усло вия (44.3) в плоских задачах используется двойная круг лая модель (§ 36, п. 2). В ее верхнем листе делается вы рез, геометрически подобный профилю проводника, и его контур разбивается на участ ки семейством прямых, па раллельных оси у (рис. 144, б) и отстоящих друг от друга на равных расстояниях. Рис. 145. Реализация граничных условий поля ® силу (44.3) падения иотениндуцированных зарядов (ср. рис. 144) на прямой циала ф на этих участках модели. контура должны быть равны. Это распределение потенциа ла воспроизводят принудительным способом (§ 27) с применением точечных электродов (рис. 145). На такой модели можно построить изо потенциальные линии индуцированного поля. 1. Электростатическое поле, возникающее при контакте трех металлов (они показаны разными цветами). Плакат построен с применением моделей, изо браженных на рис. 134. 2. Действующая модель электростатического поля. Белым цветом показаны электроды, желтой линией— распределение поверхностной плотности инду цированных зарядов. 2. Построение силовых линий. Силовые линии индуцированного поля строятся на обращенной модели. Из (44.3) следует, что в сопряженном поле на профиле, имитирующем проводник, должно выполняться гранич ное условие ф'* = — Е\х (44.4) и на описанных выше участках нужно осуществить равные приращения функции потока. Так как при обходе профиля на прямой модели по часо вой стрелке на дуге аЬс происходит падение потенциала, а на дуге еда — его повышение, то приращения функции по тока на этих участках должны иметь разные знаки. Это распределение функции ф'* вос производится принудительно с применением тех же точечных электродов (§ 30). Таким образом, и на обращенной модели провод нику соответствует отверстие в проводящем листе, но электроды устанавливают не по краям участков, на которые разбивают про филь, а в их средних точках; при этом в каналах задают равные токи (рис. 146). Описанный метод можно применить и в случае неоднородного внешнего поля. Начер тив профиль проводника на сетке этого поля, можно найти распределение потенциала <р' на контуре проводника и непосредственно воспроизвести его на модели. Затем на том же контуре воспроизводится аналогичное распределение функции ф'*. 3. Пластина в однородном поле. Приме няя (44.3) к пластине, расположенной в од нородном внешнем поле так, что ее нормаль образуете вектором Ео произвольный угол а, Рис. 146. Реализация гранич мы получим: ф' = Е0х соз а. (44.5) ных условий поля индуциро ванных зарядов на его обра щенной модели. Пунктиром по казан контур нижнего листа. Из этого граничного условия следует, что поворот пластины влияет па индуцирован ное поле так же, как изменение величины вектора Е 0. Относительное распределение индуцированных зарядов п конфигурация наведенного поля при этом не изменяются. Чтобы проверить это заключение, можно построить сетку наведенного поля при разных положениях электрода, имитирующего пластину. Во всех случаях конфигурация найденного поля будет одинаковой. Ряд примеров моделирования электростатических полей приведен в приложении (рис. X I I I — X V III). §145. ЭЛЕКТРОННЫЕ ЛИНЗЫ 1. Несимметричная линза. На рис. 147, а показана электронная линза, образованная двумя металлическими цилиндрами, между которыми поддерживается разность потенциалов. Рассмотрим ее плоский вариант (рис. 147, б). В плоскости вектора Е этого поля существуют две линии симметрии аа' и 6 6 ' (рис. 148, а). Для упрощения задачи ограничимся моделированием заштрихованной области. Ее прямая и обращенная модели приведены на рис. 148. Незначительным искажением граничных 10 Г. А. Рязанов условий поля между цилиндрами и на их внешних основаниях можно пренебречь. Общая картина поля приведена в приложении (рис. XV III). Допустим, что электрон движется слева направо. Тогда поле сооб щает ему ускорение, направленное вдоль оси линзы. В то же время поле отклоняет электрон (при движении в первой половине линзы) вниз, а затем вверх. Так как первую половину линзы электрон пролетает с меньшей средней скоростью, чем вторую, то его отклонение вниз будет преобладать а) О' Е ф Рис. 147, а) Несимметричная электронная линза, б) Ее плоский вариант. над отклонением вверх и в общем он отклонится к оси линзы. Параллель ный пучок электронов, пройдя линзу, станет сходящимся и соберется в ее фокусе. Такая электронная линза действует, как система из двух а) Рис. 148. К моделированию поля электронной линзы (рис. 147): а) линии симметрии в плоскости вектора Е (воспроизводится только заштрихованная область); б) прямая модель; в) обращенная модель. оптических линз — собирательной и рассеивающей, имеющих разные оптические силы. Однако ее действие на электрон зависит от направления его движения, и она имеет два главных фокусных расстояния. 2. Симметричная линза. Чтобы получить электронную линзу, имею щую одинаковые главные фокусные расстояния для обоих направлений движения электронов, нужно взять две описанные линзы и расположить их одну за другой, как это показано на рис. 149, а. Этот же эффект можно получить, если воспользоваться тремя металлическими диафрагмами, из которых две крайние соединяются вместе (рис. 149, б). Средняя из них заряжается положительно, а крайние — отрицательно (или наоборот). Прямая и обращенная модели такой линзы в ее плоском варианте и пока заны на рис. 150. Общая сетка поля приведена в приложении (рис. X X ). а) б) Рис. 149. Симметричные электронные линзы: а) линза, составленная из двух несим метричных линз; б) линза, состоящая из трех диафрагм. Рис. 150. К моделированию поля симметричной электронной линзы: а) прямая мо дель; б) обращенная модель. + Рис. 151. Изопотенциальные линии поля несимметричной электронной линзы в пло ском поле (сплошные линии) и в осесимметричном поле (пунктирные линии). 3. Осесимметричный вариант. Применяя слоистую модель треуголь ного сечения (§ 37) и реализуя на ней граничные условия, показанные на рис. 148, б, мы получим расположение изопотенциальных поверхно стей в пространственном варианте задачи. На рис. 151, кроме изопотен циальных линий осесимметричного поля, показано их расположение в плоском варианте. Их сравнение позволяет судить об искажении поля, которое мы допускаем, решая пространственную задачу в плоском варианте. § 46. ДИПОЛЬ ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 1. Построение сетки общего поля. На рис. 152 показано строение поля, окружающего линейный диполь, расположенный во внешнем однородном поле, направление которого совпадает с осью диполя. Сетка Рис. 152. К наложению поля линейного диполя на внешнее однородное поле. В плоскости вектора Е существуют две особые точки, где происходит раз ветвление силовой линии, идущей к центру диполя. Ее ветви образуют окружность. этого поля может быть построена по способу Максвелла (§ 32) или опытным путем с применением прямой упрощенной модели, показанной на рис. 153 *). Проводящий лист должен быть достаточно большим, чтобы *) Используя материал §§ 26 и 28, читатель может построить обращенную модель этого поля. вблизи свободных краев и у шин возмущением поля можно было пренебречь. Используется высокоомная электропроводная бумага. Схе ма питания позволяет в широких пределах измерять относительный потенциал электрода, имитирующего линейный заряд. Квадратные листы Л 1 и Л 2 предназначены для срав нения линейных потоков вектора Е (§ 14, п. 6 ), соответствующих не возмущенному внешнему полю (Л^) и линейному заряду (А 2). Измеряя падения потенциала на этих лис тах и перемещая движки Д { и Д 2 вдоль потенциометра, можно подо брать нужное соотношение величин N. и ЛГ2. Построив с помощью мостовой схемы сетку изопотенциальных ли ний и проведя силовые линии (§ 18), мы обнаружим существование двух особых точек поля О и О', в которых Рис. 153. Модель, с помощью которой напряженности внешнего поля и построена сетка поля, показанная на рис. 152. ноля диполя равны по величине, но противоположны по направлению. В каждой из них встречаются четыре силовые линии, из которых две на правлены по прямой, совпадающей с осью диполя, а две другие образуют окружность. 2. Вычитание внешнего поля. Построив изопотенциальные линии общего поля, можно на той же прямой модели осуществить вычитание внешнего поля так, как это было описано в § 35, п. 2 . Найденные изо потенциальные линии будут соответствовать полю линейного диполя. $ 47» ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В НЕОДНОРОДНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ 1. Аналогия между электростатическим полем в неоднородном ди электрике и стационарным электрическим полем в проводящей среде. Сравнивая эти поля, мы обнаружим подобие их граничных условий. В обоих случаях касательная составляющая вектора Е на поверхности раздела сред остается непрерывной, а его нормальная составляющая испы тывает скачок, определяемый соотношениями (2.28) и ( 1 0 .8 ): С2л ~ЕХп - К1 е2 ’ Е 2п _02_ Е Хп * //7 \ \ I * ' - 1* С другой стороны, существует подобие граничных условий для векто ров Л и связанных с вектором Е соотношениями: 1 ) = вЕ, б= (47.2) Их нормальные составляющие остаются на поверхности раздела сред непрерывными: - О щ = -О 2п> / т = /*21и (^ 7 .3 ) а касательные испытывают скачок, определяемый соотношениями (2 .5 5 ) Кроме того, если в диэлектрике нет свободных зарядов, а внутри проводящей среды — электродов, подводящих ток, то имеют место соотношения: В 1у Б = 0, В1у / = 0. (47.5) Условие В 1у / = 0 эквивалентно первому закону Кирхгофа. Таким образом, если с вектором ^ сопоставить вектор I), а с удельной проводимостью ^ — диэлектрическую проницаемость е, то мы увидим, что между этими полями существует математическая аналогия и одно из них может служить моделью другого. В плоских полях аналогом вектора В служит вектор г (§ 11, п. 6 ), а аналогом диэлектрической проницаемости — величина 1 . “о В силу (47.2) потоку вектора В через замкнутую поверхность соответ ствует ток, входящий в модель через соответствующий электрод. Легко убедиться, что аналогом емкости двух проводников служит проводи мость проводящей среды, и в случае плоских полей о ней можно судить по сетке поля (ср. § 19). Вместе с тем физическая природа явлений, опре деляющих граничные условия электрического поля в диэлектрике и в про водящей среде, различна: связанные заряды появляются вследствие поля ризации вещества, а стационарные — в процессе тока. 2. Преломление силовых линий на границе двух диэлектриков. Рас смотренная выше аналогия используется при моделировании электроста- Рис. 154. Расположение линий вектора X) при наличии в однородном поле кольцевой области с большей диэлектрической проницаемостью (е 4 : е 2 = 1 : 10). Внешняя рамка соответствует границам демонстрационного плаката. тического поля в неоднородном диэлектрике. Возвращаясь к опытам, описанным в § 15, п. 9, мы можем дать им новую, «электростатическую» интерпретацию. Применяя слоистые модели, а также различные сорта электропро водной бумаги, можно моделировать зонально неоднородный диэлектрик. Преломление линий тока, наблюдаемое на границе двух проводящих сред (с применением обращенной модели), имитирует преломление линий вектора Ъ. Примером может служить картина ноля, изображенная на рис. 154, где кольцо имитирует область с большей диэлектрической проницаемостью. Она построена с помощью обращенной модели, показанной на рис. 155. Мы видим, что при входе в кольцо линии век тора 1>, а следовательно и силовые линии, отклоняются от нормали. Читатель без труда установит электростатический смысл сетки поля, показанной на рис. 37. 3. Более сложные задачи. Методы моде лирования плоских полей, изложенные в пятой главе, позволяют решать и более сложные задачи электростатики. Можно осуществлять сложение н вычитание различных полей, имити ровать любые распределения источников поля, Рис. 155. Обращенная мо реализовать на контуре любое распределение дель, с помощью которой нормальной составляющей вектора Е или потен построена сетка поля, по циала, исследовать области поля, где функция казанная на рис. 154. Удельное поверхностное потока многозначна. сопротивление заштрихо Ряд задач может быть решен в осесимме ванной области в 10 раз тричном варианте с применением слоистых больше удельного поверх ностного сопротивления ос моделей (§ 38). листа. Линиям век Большой методический интерес представ новного тора V соответствуют изо ляют опыты, иллюстрирующие понятие ди потенциальные линии ста вергенции вектора Е (ср. § 14, п. 5) и ционарного электрическо го поля. смысл введения вектора I), а также Изуче ние поля в окрестности «пещерок» первого и второго вида, с помощью которых феноменологическая теория опреде ляет векторы Е и 1 ), и т. п. В главе IV мы привели несколько примеров строения стационарного электрического поля в проводящей среде. Знакомство с методикой модели рования плоских полей (гл. V) позволяет рассмотреть этот вопрос более подробно. § 48. СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ВНУТРИ ПРОВОДНИКОВ 1. Электролитическая ванна с цилиндрическим катодом. Процесс элек тролиза сопровождается поляризацией, и, определяя граничные условия поля в электролитической ванне, необходимо учитывать распределение потенциала на самих электродах, которое зависит от распределения плот ности тока. Взаимосвязь между потенциалом и плотностью тока представ ляет собой граничное условие третьего рода ( § 3 ) : Дф = /(/».) -г а, (48.1) где Д<р — скачок потенциала, возникающий на поверхности электрода при прохождении тока, )п — нормальная составляющая плотности тока, связанная с нормальной составляющей вектора Е соотношением (8.1), и а — постоянная. Функция / (;п) зависит от природы электрода и электролита и обычно приводится в виде графика, получившего название поляри зационной кривой. Однако при решении задачи в первом приближении поляризационную кривую можно не учитывать, и тогда мы имеем краевую задачу с простей шими граничными условиями. Изучив на обращенной модели распределе ние нормальной составляющей вектора Е вдоль профиля катода (ср. § 38, п. 2 ), мы будем знать распределение плотности тока и сможем судить об относительной толщине осаждаемого слоя металла [см. приложение (рис. X X I )]. На рис. 156 и 157 приведены модели для изучения стационарного электрического поля в прямоугольной электролитической ванне с плоским анодом и профилированным катодом. Соответствующие сетки ноля при ведены в приложении (рис. X X I I , X X I I I ). 2. Разветвление тока на два равных тока. На рис. 158 показано строение стационарного электрического поля вблизи узла. Прямая и обра щенная модели приведены на рис. 159. При построении сетки поля исполь зуется мостовая схема. Положение особой точки О находится на обращен ной модели при построении и зопотенциа л ьной линии с потенциалом, равным потенциалу шины В, и может быть проверено на прямой модели с помощью двойного зонда. Опыт начинают с построения силовых линий на обращенной модели, что позволяет выбрать на прямой модели интервал потенциала, необхо димый для получения криволинейных «квадратов». а) Рис. 156. К построению сетки поля, показанной на рис. X X II (см. приложение): а) прямая модель; б) обращенная модель. а) б) Рис. 157. К построению сетки поля, показанной иа рис. X X II I (см. приложение): а) прямая модель; б) обращенная модель. О Рис. 158. Строение стационарного поля при разветвлении тока на два равных О — особая точка поля. ока; б) Рис. 159. К построению сетки ноля, показанной на рис. 158: а) прямая модель; б) обра щенная модель. 3. Разветвление тока на два неравных тока. Модель вырезают из низкоомной бумаги и с помощью достаточно больших сопротивлений (используют магазины сопротивлений) принудительным способом (§ 28) Рис. 160. К построению сетки стационарного поля при раз ветвлении тока на два неравных тока: а) прямая модель; б) обращенная модель. устанавливают нужное соотношение токов в ветвях (рис. 160, а). Сопро тивления каналов должны удовлетворять отношению _ /2 Д2 ““ Л • Обращенная модель показана на рис. 160, б. Она вырезается из высокоомной бумаги и подключается к низкоомному потенциометру. Распределение потенциала <р* на контуре этой модели должно соответ ствовать распределению функции потока ф на контуре прямой модели: Фа Фв _ Ф в— Фс Фа — Фд _ _Л_ Ф в — Фс /2 ’ и устанавливается принудительным способом с помощью потенциометра. Картины поля для случаев, когда силы тока в ветвях относятся, как 2 : 1 и 9 : 1, приведены в приложении (рис. X X IV ). Так же, как в п. 1 , опыт начинается с построения силовых линий. Обращает на себя внимание незначительное перемещение особой точки О. 4. Разветвленный участок цепи. На рис. 161 показан демонстра ционный плакат, изображающий строение стационарного электрического поля в разветвленном участке цени. Он представляет собой действующую Рис. 162. К построению сетки поля, показанной на рис. 161: а) пря мая модель; б) обращенная модель. модель и выполнен из низкоомной бумаги. При включении его в сеть с напряжением в 1 2 0 в можно с помощью термистора обнаружить неравно мерное нагревание его различных участков и сопоставить это с густотой сетки поля. Прямая и обращенная модели показаны на рис. 162. Модели узлов, в которых сходятся четыре, пять и шесть токов, при ведены в приложении (рис. X X V — X X V II). § 49. ВНЕШНЕЕ СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 1. Принцип моделирования. В основе моделирования внешних ста ционарных электрических полей лежит та же идея, что и при моделиро вании электростатических полей. Если металлический проводник с током погрузить в слабо проводящий электролит или приклеить его к листу электропроводной бумаги, то ответвление тока из цепи будет незначитель ным и практически не изменит распределения потенциала вдоль этого проводника. Следовательно, не изменится и распределение стационарных зарядов на его поверхности, создающих внешнее стационарное электри ческое поле (§9 ). Но теперь поле существует в проводящей среде и стано вится доступным для измерений (§ 14). Трехмерные поля моделируют в электролитическом баке, плоскопараллельные — на проводящих листах. Полоски из низкоомной электропроводной бумаги, имеющие очерта ния проводников, наклеивают на большие листы высокоомной электро проводной бумаги и включают в цепь источника тока. Таким способом был построен демонстрационный плакат, показанный на рис. 45. Поскольку исследуемое поле не имеет внешних границ, то необходимо устранить влияние свободных краев модели проводящего листа. В этих целях при меняются двойные круглые модели (§ 36, п. 2). 2. Реализация граничных условий. Моделирование внешнего ста ционарного электрического поля представляет собой внешнюю задачу Дирихле (§ 3). Имитируя проводник полоской низкоомной электропровод ной бумаги, мы задаем на контуре области то распределение потенциала, которое устанавливается в этой полоске при прохождении тока. Если распределение потенциала на профиле проводника заранее известно, то его можно воспроизвести дискретным способом. Моделью служит лист из высокоомной электропроводной бумаги, вдоль контура проводника уста навливают точечные электроды и подключают их к потенциометру (§ 27, п. 3). Так можно моделировать внешнее стационарное электрическое поле при наличии в цепи скачков потенциала и т. п. Чтобы построить обращенную модель, нужно заменить распределение потенциала тождественным распределением функции потока. В этом случае применяется низкоомная электропроводная бумага и последова тельно с точечными электродами включают высокоомные сопротивления (§ 29, п. 4). Измерив на обращенной модели распределение касательной составляющей напряженности сопряженного поля Е *, мы будем знать распределение нормальной составляющей вектора Е на прямой модели и, следовательно, распределение поверхностной плотности стационар ных зарядов (9.2). Так было найдено распределение стационарных заря дов, показанное на рис. 46. 3. Ноле вблизи высокоомного участка с однопроводной линией. Предположим, что существует уединенная бесконечно длинная проводя щая плоская пластина такой ширины, что поле вблизи нее можно считать А О В 1Ш1ГПТГ1Тггт1т Рис. 163. Распределение потенциала на высокоом ном участке однопроводной линии. плоским, и пусть ее удельное сопротивление, за исключением участка А В , бесконечно мало. Распределение потенциала вдоль нее показано на рис. 163. При моделировании этого поля учитывают его симметрию. Рис. 164. К моделированию внешнего стационарного электрического поля вблизи высокоомного участка однопроводной линии (ср. рис. 163). Прямую модель (а) выполняют из высокоомной бумаги, а участок цепи АО имитируют полоской низкоомной бумаги. Обращенная модель (б) выпол няется из низкоомной бумаги, и участку цепи АО соответствует полоска высокоомной бумаги. На рис. 164 показаны прямая и обращенная модели, полученные путем применения полосок электропроводной бумаги. На рис. 165 приведены модели, основанные на реализации граничных условий дискретным способом. Измерив распределение потенциала <р* вдоль участка АО (рис. 165, б) на обращенной модели и определив на основании этих дан ных распределение касательной составляющей напряженности сопряжен ного поля 1 ?*, мы найдем (п. 2 ) распределение плотности стационарных зарядов. Рис. 165. К моделированию внешнего стационарного электрического поля вблизи высокоомного участка однойроводной линии передачи (ср. рис. 163) с применением дискретных моделей: а) прямая модель (выполняется из высо коомной бумаги), П — потенциометр; б) обращенная модель (выполняется из низкоомной бумаги), В к — равные высокоомные сопротивления. Модели строения двумерного поля вблизи участков цепи, где в резуль тате действия сторонних сил происходит резкое падение и повышение потенциала, приведены в приложении (рис. X X V II I, X X IX ). Модель внешнего стационарного электрического поля вблизи узла, в котором ток разветвляется на два равных тока, приведена в приложе нии (рис. X X X ). § 50. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ В заключение этой главы опишем простые опыты, в которых провод никами, образующими электрическую цепь, служат полоски электропро водной бумаги. Их можно поставить, используя проволочные сопро тивления; однако применение электропроводной бумаги упрощает экспе римент и придает ему большую наглядность. 1. Распределение потенциала в цепи гальванического элемента. С помощью полосок из электропроводной бумаги и элементов от батарей ки карманного фонаря можно приготовить действующую модель цепи элемента Даниэля (рис. 166, а) и проследить распределение потенциала в ней при разных режимах. Внутренний участок элемента, сопротивле ние которого (г) можно считать равным сопротивлению электролита, изо бражается полоской Ьсй; внешнее сопротивление цепи (В) — полоской В1аА. Между ними размещаются элементы от батарейки для карманного фонаря, имитирующие скачки потенциала внутри двойных слоев *). Их собственные внутренние сопротивления ничтожно малы по сравнению с сопротивлением полосок бумаги, и падением потенциала на них можно пренебречь. Шина А служит отрицательным зажимом элемента Даниэля; однополюсная вилка К, соединенная с положительным зажимом элемента, включенного между точками й и В ,— положительным. Чтобы замкнуть цепь, нужно вставить вил у К в гнездо, имеющееся в шине В. *) То обстоятельство, что в элементе Даниэля они неодинаковы, а на модели будут равны, для наших целей несущественно. Чтобы получить распределение потенциала на внешнем и внутреннем участках, достаточно измерить потенциалы в точках а, А, Ь, с, й, В и I. Точки а и I выбираются так, чтобы участки аА и В1 были вдвое короче участка Ьй и их общее сопротивле ние было равно внутреннему сопро- 1) Я=оо тивлению г. Это позволяет изучить а А,& с с(В ш ЛШ 1 а В) Я =г с а'.,В 1 тттггт^Ш ППттгттгтг,Л й 1,вПШ г а А,Ь а АГЬ 4)Я =0 а) А,д 1 с ИИьъ^.. с а'.В - 1 с Ф Рис. 166. К моделированию электрической цепи: а) модель гальванического элемента; б) графики распределения потенциала при разных режимах в цепи. Рис. 167. К демонстрации второго закона Кирхгофа: а) установка; б) рас пределение потенциала, полученное в одном из опытов. распределение потенциала в случае, когда В = г. На реохорд подается напряжение, превышающее сумму ЭДС обоих элементов, и шина А , с которой соединяется отрицательный полюс первого элемента, соединя ется с правым концом реохорда, потенциал которого принимается за нуль (этот конец соединен с отрицательным полюсом внешней батареи). На рис. 166, б показаны графики распределения потенциала на участ ке аАЬсйВ1 при различных режимах в цепи. 2. Демонстрация второго закона Кирхгофа. Составляем из полосок электропроводной бумаги и элементов от батареек для карманного фонаря модель сложной разветвленной цепи (рис. 167, а). Узлы А, В, Б и С при соединяются к потенциометру, подключенному ко внешнему источнику тока, и на них принудительным способом задают произвольные значения потенциа лов. Измерив с помощью мостовой схемы потенциалы точек А , а, 6 , В, с, В, к, /, т, п, /, е, й, можно построить графики распределения потенциала (рис. 167, б) и вместе с тем выразить электродвижущие силы элементов в делениях шкалы реохорда. Выбрав направление обхода и составив на основании этих данных алгебраическую сумму падений потенциала для любого замкнутого контура, мы убедимся в том, что она равна алгебраи ческой сумме электродвижущих сил, включенных в этот контур. Изменив потенциалы узлов А , В, С и В , мы получим другое распределение потенциа ла, но равенство, выражающее второй закон Кирхгофа, сохранится. § 51. ФИЗИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Моделирование с применением стационарного электрического поля широко используется при изучении различных физических полей. Напом ним, что при «физическом» моделировании модель и натура имеют одну и ту же природу, характер эксперимента сохраняется, но изменяются геометрические размеры и выбирается наиболее удобный диапазон изме нения физических параметров. Полученные результаты пересчитываются на основании теории подобия (ср. § 4). Так моделируют обтекание судна в опытовом бассейне, обтекание самолета в аэродинамической трубе и т. п. Но модель может и отличаться от натуры по своей физической при роде. Дело в том, что закономерности разных физических явлений часто описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и граничными условиями и это тождественное математическое описание позволяет заме нить сложное исследование одного явления простым экспериментом в другой области. В этом случае говорят о «математическом» моделиро вании. Описанные выше опыты по изучению стационарного электрического поля в проводящих листах могут служить примером физического модели рования плоского стационарного электрического поля в проводящей среде. Исследуя на листах электропроводной бумаги строение поля в электро литической ванне или в массивном твердом проводнике, мы имеем дело с явлением одной и той же природы. С другой стороны, изучение на элек тропроводной бумаге электростатического поля в диэлектрике является математическим моделированием, так как стационарное электрическое поле в проводящей среде существенно отличается от электростатического: оно связано с магнитным полем, и его существование сопровождается превращениями энергии. Математическое моделирование по аналогии служит продолжением эксперимента над натурой, но с применением новых средств, основанных на знании закономерностей этого явления. Вместе с тем оно представляет собой одно из направлений современной вычислительной техники. Модели рующие устройства — это, по существу, интеграторы для решения опре деленных дифференциальных уравнений. Подчеркнем, что в некоторых случаях опыты на электрических моделях с успехом заменяют применение мощных цифровых вычислительных машин. Моделирование с применением стационарного электрического поля в проводящей среде отличается большой наглядностью и возможностью построения всей картины поля. Мы покажем это на примере некоторых плоских задач гидромеханики. § 52. ПРЯМАЯ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ (ЭГДА) 1. Уравнения, описывающие поле скорости в идеальной жидкости. При движении твердого тела в жидкости к нему приложены нормальные силы давления и касательные силы вязкости. Эти силы зависят от распре деления скоростей частиц жидкости, и поэтому решение задач гидромеха ники начинается с изучения поля скоростей в потоке жидкости. Так как внутреннее трение проявляется лишь в тонком пограничном слое, то в нервом приближении считают, что жидкость лишена вязкости. Затем можно оценить толщину пограничного слоя и уточнить расчеты. Покажем, что при определенных условиях поле скорости в идеальной жидкости, так же как электрическое поле, созданное зарядами, описывается уравне нием Лапласа, а его граничные условия аналогичны граничным условиям стационарного электрического поля в проводящей среде. Наличие этой математической аналогии позволяет изучать поле скорости в потоке жидкости на электрических моделях. Напомним, что поток вектора скорости через поверхность 5 равен объему жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени, и называется расходом (): < ? = $ У „ <*$*). (52.1) Если жидкость несжимаема, то поток вектора скорости через любую замкнутую поверхность, не содержащую источников и стоков, должен быть равен нулю: § и п <18 = 0. (52.2) Следовательно, будет равна нулю и дивергенция вектора V (ср. § 2, п. 4): <Иур = 0 (52.3) или в декартовых координатах: ^ + ^ + ^ - 0 . (52.4, При этом, еслй в данной области отсутствуют вихри, то циркуляция ско рости по любой замкнутой кривой будет равна нулю: ^ VI й 1 = 0 , и в этой области можно ввести потенциал скорости Р , связанный с векто ром V соотношением у = 8 гац ? (52.5) или равенствами: д? е* ~ ~ д Г ' дГ ЭР ХЗг~ ~ дГ ' Подставив (52.6) в (52.4), мы получим уравнение Лапласа: д*Р , д*Р , д*Р л дх* ду* дг* ~ (52.6) (52.7) Соотношения (52.4)— (52.7) тождественны соотношениям (2.18), (2.47), (2.43) и (2.53) для электрического поля, созданного зарядами **). *) Понятие потока вектора было впервые введено в гидродинамике, чем объяс няется происхождение этого термина. **) Отсутствие в правой части равенства (52.5) знака минус не имеет существенного значения, поскольку потенциал является относительной характеристикой поля ($ 2 , п. 6 ). 11 Г. А. Рязанов Далее, при описании плоского потока несжимаемой жидкости (неза висимо от того, существует потенциал или нет) можно ввести функцию тока V, определяемую соотношением 2 у 2 - у 1 = ^ ип41 (52.8) 1 и представляющую собой линейный поток вектора V, т. е. расход жидко сти, отнесенный к единице длины, или, иначе, линейный расход. Аналогом этой величины в электрическом поле служит функция потока ф (§ 6 ). 2. Прямая электрическая модель обращенного потока. При равно мерном поступательном движении тела в неподвижной жидкости вызван ное им течение часто рассматривают в системе отсчета, связанной с телом, называя его обращенным. Оно соответствует обтеканию неподвижного тела однородным поступательным потоком. Обращение потока, вызванного поступательным движением тела, озна чает переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущей ся относительно первой со скоростью тела, и согласно принципу относи тельности Галилея не может изменить сил взаимодействия между телом и жидкостью. Вместе с тем, если обращенное движение будет установив шимся *), то определение сил, приложенных к телу, существенно упро щается, так как в этом случае можно применить уравнение Бернулли. Во многих задачах изменением гидростатического давления можно пренебречь, и тогда давление жидкости на поверхность р* тела опре деляется по формуле Р1+ ~ = Р о + Я^ , (Г>2.9) где р— плотность жидкости, V} — скорость жидкости на поверхности тела, а Ко ир 0 ™ соответственно скорость и давление вневозмущенном потоке, откуда для безразмерного избыточного давления (Ар?) имеем: Ар‘ = П р Г " = 1 - ( у ')г’ ~2~ (52Л0) где (52.11) Значения величины Ар? в соответственных точках геометрически подоб ных тел равны. Так как твердое тело непроницаемо для жидкости, то на его поверхно сти нормальная составляющая скорости жидкости в обращенном потоке равна нулю, и в плоской задаче функция тока имеет постоянное значение (условие непротекания): оп = О, V = соп 81 , (52.12) что соответствует граничному условию стационарного электрического поля на поверхности раздела между проводящей средой и диэлектриком (8.3). Следовательно, погрузив модель тела, выполненную из диэлектрика, в электролитическую ванну, где с помощью электродов создано однород ное стационарное электрическое поле (см. рис. 39), мы получим матема тическую модель обращенного течения жидкости. Если ванна достаточно *) Это имеет место при движении тела (или системы тел) в безграничной жидко сти, параллельно твердой стенке, в трубе произвольного сечения с прямолинейной образующей параллельной ее оси и параллельно свободной поверхности жидкости. велика, а модель тела находится в ее средней части, то стационарное электрическое поле в электролите будет подобно полю скоростей, возникаю щему при обтекании тела неограниченным потоком. Напряженность элек трического поля явится аналогом скорости течения жидкости. При меньших размерах ванны мы будем иметь модель ограниченного потока, причем ванна должна иметь удлиненную форму, чтобы поле вбли зи электродов оставалось неискаженным. Моделью плоского обращенного течения жидкости, возникающего при поступательном движении цилиндрического тела, может служить стацио нарное электрическое поле в прямоугольном проводящем листе, имеющем а) Рис. 169. Сетка обращенного ограниченного потока, возникающего при симметрич ном (а) и несимметричном (б) движении цилиндрического тела, профиль которого соответствует ватерлинии в судне. отверстие, геометрически подобное профилю тела. Линии вектора Е обхо дят его контур, так же как струи идеальной жидкости огибают погружен ное в нее цилиндрическое тело (ср. рис. 36). В качестве примеров на рис. 168 показана картина обтекания пластины, а на рис. 169 — обращен ный поток при симметричном и несимметричном движении судна в канале (плоский вариант задачи). Чтобы установить количественное соответствие между натурой и мо делью, воспользуемся безразмерными величинами. При этом скорости частиц жидкости нужно отнести к скорости набегающего потока р 0 (52.10), а значения вектора Е — к напряженности невозмущенного стационарного электрического поля Е 0: Е° = - к - <5 2 л з > В свою очередь потенциалы скорости Р относят к произведению ско рости набегающего потока на характерный размер тела Ь, а электрические потенциалы — к произведению напряженности внешнего однородного ноля на соответственный линейный размер отверстия, имитирующего про филь I: *• = - 1 г - <52Л4> Значения соответственных безразмерных величин в соответственных точках модели и натуры будут равны у« = Е°, Р° = фО, (52.15) и, следовательно, измерения на электрической модели позволяют находить скорость и ее потенциалы в соответственных точках потока, причем и раз меры тела, и скорости набегающего потока могут быть произвольными: у = у0у0 = 5°у0, р = р о и 0Я = ф О у ^ . (52.16) Таким образом, по данным, полученным на электрической модели, можно найти распределение избыточного давления на поверхности тела (52.10): Др? = 1 _ (у !)* = 1 _(Я ?)*. (52.17) Измерив напряженности электрического поля двойным зондом с при менением компенсационной схемы, можно найти распределение давлений по корпусу судна при его симметричном и несимметричном движениях Таблица 4 Поле скорости в обращенном потоке при поступательном движении тела или при обтекании неподвижного тела однородным потоком Стационарное электрическое поле в проводящей среде Потенциал скорости: Р . Соотношение между скоростью и ее потенциалом: *; = 8 га(1 Р. Напряженность электрического поля: Е . Напряженность невозмущенного (одно родного) электрического поля: Е 0. Электрический потенциал: <р. Соотношение между напряженностью электрического поля и его потенциалом: Е — — $гас1 ф. Функция тока в плоском поле: V. Относительная скорость: Функция потока в проводящем слое: ф. Относительная напряженность поля: Скорость течения жидкости: V. Скорость невозмущенного потока: г 0. у0 = — . "о Безразмерный потенциал скорости: р .. р о = —г , где Ь — характерный линеи- Безразмерный электрический потенФ циа л: сро= , где 1—соответственный пым размер тела. характерный линейный размер на элек трической модели. Граничное условие на поверхности мо дели тела и на внешней границе прово дящей среды с диэлектриком, парал лельной напряженности невозмущенного поля: Е п = 0 , ф = сопз1. Граничное условие на поверхности тела и у твердой стенки, ограничива ющей жидкость извне (параллельной скорости набегающего потока): 1>п = 0 , У = сопзЬ. Плоское поле. в канале (см. рис. 169). Для наглядности величины-аналоги и соотноше ния между ними приведены в таблице 4. 3. Прямая электрическая модель вызванного потока. Если течение жидкости описывается в системе отсчета, связанной с достаточно удален ными покоящимися частицами жидкости или с неподвижной твердой стен кой, относительно которой движется тело, то его называют абсолютным п Рис. 170. К определению граничного условия поля вызван ной скорости при поступательном движении тела. или вызванным. Мы будем отмечать скорости и потенциалы вызванного течения штрихами ( г ' , I 1'). При абсолютном течении жидкости одна сторона движущегося тела отбрасывает частицы жидкости, а другая увлекает их^за собой, вследствие этого на поверхности тела выполняется равенство Уп = »0п, (52.18) где V' — вызванная скорость, а 1>0 — скорость точки на поверхности тела. При поступательном движении тела, когда все его точки имеют одну скорость у*,, это граничное условие принимает вид Уп = 1>осоз(!>о, п), (52.19) где п — внешняя нормаль к поверхности тела в данной точке (рис. 170). Подчеркнем, что при перемещении тела скорости течения жидкости в точках пространства все время изменяются как по величине, так и по направлению, и, следовательно, абсолютное давление жидкости является неустановившимся. Однако поскольку мгновенное поле скорости опреде ляется его граничными условиями и равенство (52.19) выполняется на поверхности теланезависимо от его положения впространстве, то при неизменных внешних границах потока изменение движения частиц жидкости происходит так, как если бы поле скорости перемещалось вместе с телом. Это имеет место при движении тела в неограниченной жидкости, параллельно твердой стенке, в трубе и параллельно свободной поверх ности жидкости (ср. стр. 162). При движении тела к стенке его перемещение изменяет очертание области потока и влияет на мгновенное распределение поля вызванной скорости. В этом случае каждое положение тела определяет новую задачу. Соотношение (52.18) аналогично граничному условию: (10.16) в поле стационарных зарядов, наведенных внешним однородным полем на грани це полости в проводящей среде (§ 1 0 , п. 5 ), и, следовательно, это наведен ное электрическое поле может служить математической моделью вызван ного потока. Аналогами вызванной скорости V' и ее потенциала Р ' являют ся, соответственно, напряженность Е ' и потенциал <р' наведенного стацио нарного электрического поля. Скорости течения жидкости относят к скорости тела, а напряженности наведенного электрического поля — к напряженности внешнего однород ного поля. Величины-аналоги приведены в таблице 5. Таблица Мгновенное поле скорости в потоке жидкости, вызванном поступательным движением тела Скорость вызванного течения жидко сти: V 0. Скорость движения тела: г 0. Потенциал вызванной скорости: Р 0. Поле стационарных электрических зарядов, наведенных внешним однородным электриче ским полем на границах полости в однород ной проводящей среде Напряженность поля наведенных ста ционарных зарядов: Е 0. Напряженность внешнего однородного поля, взятая с обратным знаком: —Е0Потенциал наведенных зарядов: <р'. Соотношение между величинами V 0 Соотношение между и <р': Е 0 — — дга<1 ф'. и Р 0: V 0 =дга(1 Функция тока вызванного течения жидкости: V '. Безразмерная скорость: 5 величинами Е0 Функция потока наведенного поля: ф \ Безразмерная напряженность: = —. "0 Безразмерный потенциал вызванной Р0 скорости: /"О — где Е — характер Безразмерный электрический иотенФ' циал: ф'° = ^г^-, где 1 — соответственный ный линейный размер тела. Граничное условие на поверхности тела: Vп = V^^,оъ(V^, п ) . линейный размер на электрической мо дели. Граничное условие на поверхности по лости: Е п = — Е 0 соз ( Е 0, п ) . Условие на твердой стенке, огра ничивающей поток извне: 1^ = 0 , Г '= с о п з 1. Условие на внешней границе проводя щей среды с диэлектриком: Е п — 0 , ф '= с о п з 1. Для моделирования потока, вызванного поступательным движением тела, можно воспользоваться описанной выше прямой моделью обращенного потока и методом вычитания полей выделить поле наведенных стационар ных зарядов. При изучении плоских полей используется устройство, описанное в § 35. Оно позволяет измерять наведенные потенциалы и стро ить сетку изопотенциальных линий наведенного поля. В качестве примера на цветной вклейке 3 приведена сетка вызванного течения жидкости при поступательном движении пластины, которую можно получить на электрической модели обращенного потока (ср. рис. 168), вычитая внеш нее однородное поле. Другой путь основан на непосредственной реализации граничного условия (52.19) дискретным способом (§ 30), что позволяет получить пря мую модель вызванного течения без применения внешнего поля (см. § 54). Так, например, при движении цилиндрического тела с образующей, параллельной оси Я, в направлении оси У нужно осуществить на контуре отверстия в проводящем листе условие # д ~ с о з ( У , п). (52.20) При этом аналогом скорости тела г 0 будет служить отношение с~ 08^? ~ ^ * постоянное для всех точек контура. Мы вернемся к этому вопросу в § 54. § 53. КОСВЕННАЯ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ 1. Косвенная электрическая модель обращенного потока. При изу чении плоских потоков часто применяют их обращенные *) электрические модели (§ 25). По заданным граничным условиям поля скорости определя ют граничные условия стационарного электрического поля Е на прямой модели, а затем обращают их и воспроизводят на кон туре проводящего листа. При этом условию непротекания будет соответствовать равен ство нулю касательной со ставляющей вектора Е , т. е. постоянство потенциала ф: Уа Е* 0 , ф* = соп 81 , (53.1) а) а набегающий поток должно имитировать электрическое поле, напряженность кото Рис. 171. Косвенная электрическая модель (а) обращенного потока (б). рого Е * повернута относи тельно вектора у 0 на 90° про тив часовой стрелки. Следовательно, чтобы перейти от прямой модели к обращенной, нужно изменить расположение внешних шин и заменить отверстие в проводящем листе областью высокой проводимости, т. е. установить здесь дополнительный электрод (рис. 171). На такой косвенной электрической модели нормальной составляющей вектора V соответствует касательная составляющая вектора Е *, взятая со знаком минус, а касательной составляющей вектора V — нормальная составляющая вектора Е * (§ 7): — Е*, У, - > Е*п. (53.2) Разность электрических потенциалов ф* служит аналогом разно сти значений функции тока, а разность значений функции потока — разности потенциалов скорости. Аналогом циркуляции скорости вдоль замкнутой кривой явится линейный поток вектора Е , равный произве дению силы тока, протекающего через этот контур, на удельное поверх ностное сопротивление проводящего слоя (//?□ ), аналогом расхода жид кости — взятая с обратным знаком циркуляция вектора Е . Аналогичные величины сопоставлены в таблице 6 . При моделировании на электропроводной бумаге электродом, с по мощью которого имитируют профиль, может служить лист фольги или шаб лон из толстой фанеры, по периметру которого укреплена полоска лату ни. Фольга приклеивается к электропроводной бумаге проводящим кле ем, а шаблон прижимается с помощью шурупов или специального уст ройства. На одном проводящем листе можно изучить обтекание профиля при разных углах атаки или на разных расстояниях от границы потока. 2. Косвенная электрическая модель вызванного потока. Из (52.19) следует, что в косвенной электрогидродинамической аналогии граничное условие, определяющее поле вызванной скорости при поступательном движении профиля в направлении оси х , соответствует условию Б* = — Б$соз(х, /), (53.3) *) Не смешивать понятие обращенной модели с понятием обращенного потока. Таблица Поле скорости в обращенном потоке при поступательном движении тела или при обтекании неподвижного тела однородным потоком Составляющие жидкости: скорости в Стационарное электрическое поле в косвенной модели потоке Составляющие напряженности электрическом поле:—/?*, Е * . Напряженность внешнего поля: Е%. Скорость набегающего потока: у0. в невозмущенного Функция потока: ф*. Потенциал скорости: Р. Циркуляция скорости: ф 6 Линейный поток вектора Е: <11. §Е*п а 1 = 1 * К п . Функция тока: V. Линейный расход кривую: ф ип й1. Потенциал: ср*. через замкнутую Граничное условие на профиле твер дого тела: у д = 0 , V = сопзЪ. Циркуляция вектора Е: — ф Е* XI. Граничное условие на контуре об ласти с высокой проводимостью: Е * = 0, <р* = сопзЪ. совпадающему с уравнением (35.5). Следовательно, косвенным аналогом вызванного потока может служить поле стационарных электрических зарядов, наведенных внешним однородным полем на электроде, имити рующем профиль тела на косвенной модели обращенного потока, описан ной в п. 1. Соответственные величины приведены в таблице 7. Поскольку наведенное стационарное электрическое поле вместе с тем является ана логом поля зарядов, индуцированных на проводнике в однородном элек тростатическом поле (§ 38, § 42), то при рассмотрении плоских задач возТаблица Мгновенное поле скорости ж идкости, вызванное поступательным движением тела Составляющие вызванной скорости: 01- 7 Поле наведенных стационарных электриче ских зарядов на косвенной электрической модели обращенного потока Составляющие напряженности наведен ного поля: - / ? * ' , / ? * ' . Напряженность невозмущенного внеш него поля, взятая с обратным знаком: Скорость тела: о • Функция потока наведенного поля: ф *'. Потенциал вызванной скорости: Р ' . Наведенный потенциал: Функция тока: V ' . Граничное условие тела: г'п = и0 соз ( к 0> п). на профиле = Граничные условия на твердой стенке, ограничивающей поток извне: г?п = 0 , Т’ / = сопз1. ф '. Граничное условие на контуре элек трода, имитирующего профиль: Е * = — Е% соз (Е%, 1). Условие на внешней границе проводя щего слоя: Е * ' — 0 , ф * ' = сопз1. 3. Поток, вызванный движением пластины в направлении, указанном стрелкой. 4. Действующая модель фильтрационного потока под плотиной. !Голубым цветом показаны электроды, ширина которых соответствует уровням воды в верхнем и ниж нем бьефах, белым— шпунтовые стенки, желтым— плотина. можна аналогия (косвенная) между потоком идеальной жидкости и электростатическим полем. При исследовании вызванного потока с применением косвенной электрогидродинамической аналогии либо используют косвенную модель обращенного потока (см. п. 1) и вычитают внешнее поле (§ 35), либо непо средственно воспроизводят граничное условие (53.3), создавая на конту ре соответствующее распределение потенциала (ср. § 44, п. 1). Моделируя одним из этих способов плоский поток, вызванный посту пательным движением бесконечно тонкой пластины в неограниченной жидкой среде, мы убедимся, что в этом случае строение поля вызванной скорости не зависит от угла атаки. Это свойство пластины определяется граничным условием (52.19) и соответствует закономерности поля инду цированных зарядов, рассмотренной в § 44, п. 3. Косвенные электрические модели облегчают построение линий тока и позволяют решать ряд новых задач (§ 60). $ 54. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКА, ВЫЗВАННОГО ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПРОФИЛЯ Пусть цилиндрическое тело с образующей, параллельной оси г, движется поступательно в направлении оси у. В этом случае вызванное течение жидкости определяется гранич ным условием 1>П= Го С 0 8 (у, п) (54.1) и соответственно функция тока V' на профиле тела изменяется пропорцио нально абсциссе рассматриваемой точки: V' = о0х. (54.2) Поэтому, если параллельно оси у про вести равноотстоящие прямые (рис. 172), то они разобьют профиль на участки с равными приращениями функции то ка Д V': А У' = М , (54.3) Рис. 172. профиля функции движение К определению участков с равными *интервалами потока. Воспроизводится профиля в направлении оси у. где й—- расстояние между прямыми. В свою очередь, если задана величина АУ', соответствующая расстоянию й, то можно определить величину у0: ДГ' Vо = ~ - . (54.4) Приведенный способ определения участков контура с равными при ращениями функции тока АУ' позволяет легко цоспроизвести условие (54.2) с помощью точечных электродов (§ 30, п. 1). В листе электропроводной бумаги вырезают отверстие, изображающее профиль тела, и, подложив под него миллиметровую бумагу, отме чают точки пересечения контура с равноотстоящими прямыми, параллель ными направлению движения тела (рис. 172). Размеры выреза или рас стояние между прямыми выбираются так, чтобы число участков на кон туре оказалось целым и четным. Электроды устанавливают в точках пересечения профиля с нечетными прямыми (пунктирные линии на рис. 172) и в их каналы включают равные сопротивления, объединяя их в группы в зависимости от знака приращения функции ф при обходе контура в одном направлении. В качестве примеров (на рис. 173 и рис. 174) показаны модели для исследования движения эллиптического цилиндра в неограниченной жидкой среде и в канале. В обоих случаях симметрия поля упрощает эксперимент — моделируют только заштрихованные области. Рис. 173. К моделированию вызванного потока при движении цилиндрического тела в неограниченной жидкости. В соответствии с (54.4) скорости тела соответствует отношение интервала функции потока Дф0 к расстоянию 4 между теми прямыми, с по мощью которых контур был разбит на участки. Это отношение имеет смысл ш ш к ш ш Рис. 174. К моделированию вызванного потока при дви жении цилиндрического тела в канале. величины напряженности внешнего однородного поля Ео, которое ими тирует набегающий поток при моделировании обращенного течения, и в силу (30.3) равно <5 4 '5 > Электрические потенциалы определяются с помощью мостовой схемы, показанной на рис. 100, и вычисляются по формуле ^ = 1000(Я1 + Я2+ До) Л ’ *54'^ где N — отсчет по шкале реохорда (ср. (28.10)). Отличие этих измерений от эксперимента, описанного в § 30, заклю чается лишь в том, что теперь электроды устанавливают на внутреннем контуре проводящего листа. Разделив найденные потенциалы <рна величину Е 0 (54.5) и на характер ный размер модели профиля 10, найдем безразмерные единичные потенциалы Рис. 175. Вызванный поток при движении цилиндра внутри цилиндра, вызванной скорости Е'у° в соответственных точках потока жидкости: . Е01о : 2Н0Нкд 1000 (Л1+ Я2+ Л0) Но 10■ЛГ, (Г,4.7) соотгде Ь — характерный линейный размер профиля в натуре, а I ветственный размер по электриче ской модели. Та же мостовая схема позво ляет строить линии с равными зна чениями потенциала <р. В качестве примера на рис. 175 приведена сетка поля вызванной скорости при движении кругового профиля внутри круга. При моделировании потока, вызванного движением нескольких профилей, методика остается той же. Так как условие (52.19) вы полняется независимо от присут ствия других профилей, то каж дый профиль разбивают на уча стки с помощью прямых, парал Рис. 176. Расположение электродов при лельных его скорости, и принуди моделировании потока, вызванного движе тельным способом устанавливают нием двух тел в неограниченной жидкости. в каналах равные токи. Если расстояние между прямыми выбрано для всех профилей одинаковым, то сопротивления их каналов должны быть обратно пропорциональны скоростям тел. Электроды, имитирующие ту сторону профиля, где жид кость отбрасывается телом, подключаются к одному зажиму источника тока, а электроды, имитирующие его противоположную сторону,— к другому. В качестве примера на рис. 176 приведена модель для изучения неограниченного потока, вызванного движением двух эллиптических профилей. Контур нижнего листа, устраняющего влияние границ моде ли (§ 36), условно показан пунктиром. На рис. 177 показаны сетки 4) в) г; Рис. 177. Сетки вызванного течения жидкости при движении в канале двух цилиндрических тел, профили которых соответствуют ватерлиниям судов, а скорости одинаковы (плоский вариант задачи). вызванного течения жидкости, возникающего при сближении и расхожде нии двух судов, движущихся с равными скоростями в канале (плоский вариант задачи). Обращает на себя внимание тот факт, что значительная часть трубок тока, берущих начало у носовой части одного судна, закан чивается на корме другого судна. Интересно также перемещение особой точки поля, возникающего между судами. На рис. 178 показаны сетки вызванного течения жидкости в разные моменты времени при обгоне большим судном меньшего. Опыты проводи лись описанным выше способом, но на переменном токе и с применением фольги, более однородной, чем электропроводная бумага. Электродами служили те же латунные трубки, но сопротивления каналов составляли 2 ом. Положения электродов показаны на рисунках точками. Рис. 178. Сетки вызванного течения жидкости, возникающего при обгоне ббльшим судном меньшего (Р 4 = 1,572). Плоский вариант задачи. § 55. МОДЕЛЬ, ПОЗВОЛЯЮЩАЯ ИМИТИРОВАТЬ ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ В РАЗНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 1. Нахождение общего решения. Описанный в § 54 способ модели рования вызванного потока позволяет имитировать движение профиля в любом направлении. Так, например, если профиль движется в напра влении осих, то края отверстия в проводящем листе разбиваются на участки прямыми, параллельными оси х, и т. д. Более того, можно одновременно реализовать два распределения электродов, одно из которых будет соответствовать движению профиля вдоль оси у, а другое — его движе нию вдоль оси х (рис. 179). Включая ту или другую группу каналов, мож но на одной и той же модели иссле довать два вызванных потока. Опре делив в каждом из этих случаев без размерные вызванные скорости и их потенциалы, мы сможем вычислять их значения для любого заданного направления движения профиля. Допустим, что скорость профиля V составляет с осью х произволь ный угол а. Это значит, что профиль одновременно движется в направле Рис. 179. К моделированию вызванных потоков, возникающих при движении нии оси х со скоростью V соз а и тела в разных направлениях. 11о конту в направлении оси у со скоростью ру устанавливаются две системы элект V 8ш а, вызывая в жидкости соот родов, позволяющие имитировать дви жение тела в направлении оси х (крес ветственно два поля скорости (н1Х) и тики) и в направлении оси у (точки). н(У)). По свойству наложения реаль но существующее поле скорости явится суммой этих полей. Найденные в каждом из описанных выше опытов безразмерные скорости (у®*) и 1>®У)) умножают соответственно на косинус и синус угла а и складывают геометрически: 1*0 = |>®,)С08 а + I>(у) 8111 а *). (55.1) Безразмерные потенциалы Б®*) и Б®у) умножают на те же функции угла а и складывают алгебраически: Б° = Б® соз а + Бу 8 *1и а. (55.2) Применяя этот способ получения общего решения к поступательному движению бесконечно тонкой пластины, мы обнаружим, что в этом случае можно ограничиться одной системой точечных электродов. Действительно, если выбрать систему координат так, чтобы ось у совпадала с нормалью к пластине, то прямые, параллельные оси х, не будут пересекать пласти ну и формулы (55.1) и (55.2) принимают вид ®0 = »(„), /-’» = / ’?„). (55.3) 2. Построение сетки поля. Так как сопротивления каналов достаточно велики, то обе группы электродов можно включить одновременно, и, ре гулируя напряжения источников тока (используя выпрямители, подклю ченные к лабораторным автотрансформаторам), можно создавать в одном *) Индекс, указывающий, что речь идет о скорости вызванного течения, здесь опущен. и том же проводящем листе электрические поля, которые подобны пото кам, вызванным движениями тела в разных направлениях. Это позволяет строить соответствующие сетки поля скорости. На одной модели можно проделать несколько опытов. § 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС 1. Присоединенная масса и коэффициент присоединенной массы. Если тело движется ускоренно, то вместе с его скоростью растет и ско рость вызванного им течения жидкости. Однако поскольку безразмерное граничное условие вызванной скорости на поверхности тела сохраняет свой вид: Гп =С05 (1>о, п), (56.1) то структура мгновенного поля скорости не изменяется. Возрастая про порционально скорости тела, скорости вызванного течения жидкости, рассматриваемого в системе отсчета, связанной с телом, сохраняют свои направления. Очевидно, что увеличение общей кинетической энергии жидкости тре бует работы внешних сил и для сообщения телу в жидкости заданного ус корения нужно приложить к нему большую силу, чем при его движении в вакууме. Все происходит так, как если бы инертная масса тела возросла на некоторую величину, получившую название присоединенной массы. Очевидно, что присоединенная масса тела должна зависеть от плот ности жидкости и от размеров тела. Кроме того, существенное значение имеют форма тела и направление его движения, поскольку от них зави сит строение мгновенного поля скорости. В гидромеханике доказывается, что присоединенная масса цилиндри ческого тела, отнесенная к единице длины образующей (параллельной оси г), при его поступательном движении в направлении оси у выражает ся произведением \У= Ы\КУУ, (56.2) где 6 — плотность жидкости, Ь 0 — характерный линейный размер тела, а К Уу — безразмерный коэффициент присоединенной массы. Величина К уу зависит от формы профиля и может быть выражена через безразмерные потенциалы вызванной скорости: Куу = — <§ Г°уС08(у, п)(1Ь°, (56.3) где йЬ° — отношение элемента длины к характерному размеру профиля Ь0: = (56.4) ь0 а интегрирование производится по всему профилю. Зная величину К уу для данного профиля, можно найти по формуле (56.2) присоединенную массу любого цилиндрического тела с подобным профилем при его движении в любой жидкости. Применив (56.3) к движению круглого цилиндра, можно показать, что его присоединенная масса определяется выражением 1 у = Кх = 6 г 2 0п, (56.5) где г о — радиус цилиндра, и равна массе жидкости в объеме тела. Следо вательно, коэффициент К в этом случае равен л. Если жидкость ограничена извне и тело движется так, что это изме няет очертания области потока, то вместе с полем вызванной скорости будет изменяться и присоединенная масса тела. Теоретическое определение коэффициента присоединенной массы для произвольного профиля при любом ограничении потока является слож ной математической задачей, и решение ее методом ЭГДА имеет большое практическое значение. 2. Определение коэффициента присоединенной массы по данным эксперимента на электрической модели. Приготовив прямую электриче скую модель вызванного потока, выбирают нулевую точку так, чтобы зна чения потенциалов <р на контуре, имитирующем профиль тела, были одного знака. Учитывая дискретный способ реализации граничного усло вия (56.1), потенциалы измеряют в точках пересечения контура с четны ми прямыми (ср. рис. 101), причем во время опыта потенциал нулевой точки поддерживается неизменным (§ 29, п. 2). Полученные отсчеты по шкале реохорда позволяют найти безразмерные потенциалы ф°, равные безразмерным потенциалам вызванной скорости Б°. Подставив их зна чения (54.7) в выражение для коэффициента присоединенной массы (56.3) и выразив безразмерный элемент длины по формуле <№ = 4Ео- = 4*Iо - (56.6) где / 0 — соответственный линейный размер контура на электрической модели, мы получим*): К >. = 1000 (Я, + ^ № 008 « ,) "> Л ~ (5 б Л ) Произведение соз (л, у) й1 равно проекции элемента й1 на ось Ох: (П соз (у, п) = (II соз (х, 1 )= й х , (56.8) и интеграл, стоящий в правой части (56.7), принимает вид ^ N соз (у, п) (И = ^ N йх. (56.9) Поскольку проекции участков контура на ось Ох равны й, то при ближенное значение интеграла (56.9) можно найти, как произведение величины й на алгебраическую сумму соответствующих отсчетов по шка ле реохорда: ^А </х = < * 2 (56.10) г где значения /V* должны соответствовать нечетным точкам, в которых установлены электроды. Однако поскольку суммирование производится по замкнутому контуру, то значения N 1 можно заменить отсчетами N к в промежуточных точках, лежащих на пересечении профиля с четными прямыми. При составлении этой суммы на контуре отмечают определен ное направление и знаки величин Мк выбирают так, чтобы они соответ ствовали знакам проекций участков контура на ось Ох. Если тело движется в направлении оси х, то коэффициент присоеди ненной массы (К хх) определяется аналогично. Величина определяется сразу же после измерения потенциалов, для чего в наиболее ответственной области модели (вблизи электродов) вырезают прямоугольный лист и измеряют его сопротивление. Опыты с применением низкоомной бумаги В^ = 400 ом и постоян ных сопротивлений типа МЛТ или ВС на 250—500 ком показали, что *) Двойной индекс уу служит для обозначения коэффициента присоединенной массы при движении тела в направлении оси у. при любом ограничении потока коэффициенты присоединенных масс могут быть определены с точностью в 1—2% . На рис. 180, а показаны теорети ческая кривая значений присоединенной массы для круга при его дви жении к стенке и экспериментальные значения, полученные на электри ческой модели. По оси ординат отложены величины присоединенной массы, Рис. 180. К вопросу о точности моделирования: а) теоретическая кривая значений присоединенных масс для круга при его движении к стенке и экспериментальные значения, полученные на электрической модели; б) экспериментальная кривая зави симости присоединенной массы круга при его движении в круге от соотношения их радиусов (по оси ординат отложены отношения присоединенной массы в ограниченном потоке к ее значению в безграничной жидкости). отнесенные к ее значению в безграничной жидкости (Асо)» по оси абсцисс — параметры ограничения потока. Экспериментальная кривая, показанная на рис. 180, б, дает представление об изменении присоеди ненной массы круга при движении кругового профиля, движущегося внутри круга, в зависимости от соотношения их радиусов (рассматриваются моменты времени, когда центры кругов сов падают). $ 57. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКА, ВЫЗВАННОГО ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПРОФИЛЯ 1. Первый вариант методики. Рассмат ривая вращение цилиндрического тела около оси, параллельной его образующей, в системе отсчета, связанной с удаленными неподвиж ными частицами жидкости или с неподвиж Рис. 181. К определению гра ной твердой стенкой, мы обнаружим, что на ничного условия в потоке, профиле тела выполняется граничное условие вызванном вращением тела ип = 11п = (дгсоБ(Ц, п), (57.1) (плоская задача). где II — линейная скорость точки тела, со — угловая скорость, а п — внешняя нормаль (рис. 181); следовательно, приращение функции тока на участке й1 при обходе профиля в направлении вращения составляет йУ = ип(11= - ( о г й г . (57.2) Воспользуемся этим соотношением и установим способ, позволяющий разбить симметричный профиль при симметричном положении центра вращения на заданное число участков с равными интервалами функ ции потока АУ0. 12 Г. А. Рязанов Опишем около центра вращения профиля две концентрические окру жности, касательные к нему в точках а и 6 (рис. 182), и найдем для них разность значений функции тока: У а - Г Ь= - (57.3) $ <»Г</Г = -у ( Г 1 - Г \ ), где га и гь — радиусы окружностей. Чтобы разбить дугу профиля между этими точками на п участков с равными приращениями функции тока АУ0: АТ/ 9) / а УЬ 2\ (57.4) ДУ0 = - ^ — = 2 ^ ( г ь - г 0), нужно провести промежуточные окружности, радиусы гт которых опреде ляются уравнением ® /„2 - 9 " ( ?т ,2\ _ та) /_2 2х г а) — 2п ' 6 а '* откуда Г т = 1 / ^ Г,Ь + ( 1 — Т ) Г"- (57'5> Переходя к электрической модели, имеем: о |й, „ Рис. 182. К определению на профиле заданных размеров участков с равными приращениями функции^тока, если поток вызван вращением тела. ^ / ^ г 7 7 3 ^ , (57.6) у _ велИчины, соответствую1ДО * э щие радиусам га, Г5 и гт . Число п выоирают четным, а электроды устанавливают в точках пересечения профиля с нечетны ми кругами, что соответствует вдвое большему интервалу функции тока: Д У != 2 А У 0 = = ( г г - г ! ) . (57.7) Выразив абсолютное значение угловой скорости о> через величину ДУ#: Ю= <57-8) можно установить ее аналог на электрической модели. Достаточно заме нить в выражении (57.8) величины ДУо, гь и Л» соответствующими им величинами Дф, § 1, 62 и воспользоваться (30.3) иппп Аф» _ (57.9) 2Дк (еЕ—еа) Сь- "6а Это позволяет найти безразмерные потенциалы скорости*): г К = ф2дА(е5 ь -е ^ ) (I 2Д0Д6 ( е ? - е 1 > * _ ' 1 0 0 0 ^ + В2+ Я 0)Н о п11’ (57.10) где Ь 0 — характерный размер профиля в натуре, / 0 — соответствующая величина на электрической модели, а N отсчет по шкале реохорда при измерении потенциала ф. *) Потенциалы скорости, вызванные вращением тела, обозначают индексом <о. Заметим, что формула (57.6) пригодна и для несимметричного профиля при любом положении центра вращения. Однако в этом случае числоучастков может оказаться нецелым, и тогда сопротивление канала, пита ющего неполный участок, должно быть соответственно бблыпим. 2. Второй вариант методики. Если размеры профиля на электриче ской модели можно варьировать, то вместо определения величин От, по формуле (57.6) проводят на кальке семейство концентрических окруж ностей, радиусы которых относятся, как квадратные корни из чисел натурального ряда: 0т = С1 (57.11) и максимальный радиус-вектор профиля полагают равным одному из этих чисел (четному). По этим данным строят профиль на проводящем листе и, наложив на него кальку так, чтобы центр окружностей совпал с центром вращения, отмечают точки пересечения с нечетными кругами; в них устанавливаю! электроды (рис. 183). Действи тельно, рассматривая течение жид кости в системе отсчета, связан ной с вращающимся телом, мы обнаружим, что скорость на бегающего потока растет пропор ционально расстоянию: 1/ = о)г (57.12) и, отсчитывая в этом поле скорос ти функцию тока от центра вра щения, получим: Уг = ^ <ог</г = ^ . (57.13) Рис. 183. К определению участков с рав ными приращениями вызванной функции тока на профиле, максимальной радиусвектор которого вычислен по формуле (57.11). По такому же закону будет изменяться на профиле и функция тока вызванного течения (условие непротекания), и, следовательно, окружности разобьют профиль на участ ки,. имеющие равные приращения V. Основным считается интервал функции тока между ближайшими четными кругами АV *. Подставив в (57.13) значение г2, найденное по формуле, аналогичной (57.11), имеем: (57.14) откуда со = АР* г\ (57.15) На электрической модели этой величине соответствует отношенйе (0- А ф _ ипг ■ад- (5716) Как правило, число участков профиля получается нецелым и сопротив ление канала, питающего неполный участок, берется соответственно бблыпим. Рис. 184. Модель для изучения потока, вызванного вращением двуугольника в неограниченной жидкости при^симметричном положении центра вращения. Рис. 185. Модель для исследования потока, вызванного вращением двуугольника в неограниченной жидкости при несимметричном положении центра вращения. Рис. 186. Сетка движения жидкости, вызванного вращением эллиптического профиля, построенного на упрощенной электричес кой модели (ср. рис. 184). На рис. 184 и 185 приведены две модели, позволяющие имитировать поле скорости, вызванное вращением двуугольника при симметричном и несимметричном положениях центра вращения (поток не ограничен). В первом случае поле имеет две линии симметрии, совпадающие с изо потенциал ьными линиями, потенциал которых относительно бесконечно удаленной точки равен нулю. Эта симметрия позволяет ограничиться моде лированием поля внутри квадранта, причем обе шины соединяются вместе — они отводят ток, входящий в модель через точечные электроды. Во втором случае поле имеет только одну линию симметрии, и, разбив профиль на участки с равным приращением функции потока так, как это было описано выше, мы обнаружим, что режим дискретного питания модели должен быть двухсторонним, причем сумма токов, выходящих из модели через отдельные каналы, должна быь меньше суммы токов, входящих в нее. Избыточный ток отводится через шину, на которой с помо щью сопротивлений В 3 и Д4 поддерживается средний потенциал, что обеспечивает равенство напряжений на всех каналах. Сетка поля, постро енная для случая вращения эллиптического профиля, приведена на рис. 186. Сетки движения жидкости, возникающего при вращении призмы квадратного сечения, а также двух и трех жестко связанных пластин (плоские задачи), приведены в приложении (рис. X X X I —X X X I I I ). Описанная выше методика позволяет моделировать поток, вызван ный поступательно-вращательным движением тела. § 58. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ Кажущееся увеличение инерции тела при его вращательном движе нии в жидкости около заданной оси характеризуют присоединенным моментом инерции (ср. § 56, п. 1). Эта величина зависит от плотности жидкости, от размеров тела и его формы, а также от выбора оси вращения. В случае вращения цилиндрического тела около оси, параллельной его образующей, присоединенный момент инерции, отнесенный к единице длины тела (Хю), выражается аналогично (56.2): К = Щ Кт (58.1) где 6 — плотность жидкости, Ь 0 — характерный размер профиля, а — коэффициент присоединенного момента инерции. Величина является безразмерной и может быть выражена через безразмерные потенциалы вызванной скорости (Р%) на профиле тела: К и>= - § Р Ц Х ° соз (п, У) - У0 соз (га, X)] <11°, (58.2) где Х ° и У0 — безразмерные координаты точек профиля. Учитывая равенства: Х в= - ^ = у - , Ь о уо = -/1 = Х *о 6 0 (58.3) *0 где х и у — координаты соответственных точек на электрической модели, а также соотношения (56.6), (56.8) и (57.10), имеем: 2/?о #ж ((> * К « ед ) = 1000(Д| + Д2 + Л0) р ... М . ч , ч* ,• [ХС° 8 <” ♦ У ) - У с о з (” . *)]<"• /-о /\ И - 4) Входящий в это выражение интеграл можно представить в виде раз ности двух интегралов: <§ N [хсоз(п , у) — у с о з (п, х)\(П =<^ К х йх — ^ М уй у, где йх и йу — проекции элементов профиля. (58.5) При вычислении первого из этих интегралов профиль с помощью координатного устройства или миллиметровой бумаги разбивается на элементы, проекции которых на ось Ох равны й, а при вычислении второго — — на элементы, имеющие такие же проекции на ось Оу, и приближен ное значение (58.5) находится по формуле ^ Л’х с?2 — $ Ду (/у « 6? 2 г — 2 -МаУа ] , (58.6) к где N 1 и /V* — отсчеты по шкале реохорда для средних точек указан ных элементов профиля. Значения N 1 и N 1 определяют по графикам, построенным на основании измерений потенциала в точках профиля, расположенных между электрода ми, приписывая им знаки проекций участков на оси Ох и Оу при заранее выб ранном направлении обхода профиля. Абсциссы х и ординаты у опреде ляются на чертеже профиля (начало координат — центр вращения). § 59. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОБРАЩЕННОГО ПОТОКА 1. Требования, предъявляемые к электрической модели. Используя прямоугольный проводящий лист и сплошные электроды, можно построить прямую модель обращенного течения жидкости при условии, что тело движется поступательно в безграничной жидкости или при его дви жении параллельно границам потока, т. е. в тех случаях, когда обра щенное течение будет стационарным. Если же тело движется в ограни ченной жидкости так, что очертания области течения все время изменяют ся и обращенный поток является нестационарным, то применение сплош ных электродов исключается. С их помощью нельзя создать однородное поле в листе произвольного очертания, и, кроме того, их присутствие несовместимо с выполнением в наведенном поле условия Еп = 0 (59.1) на внешних границах листа. Рассматривая обращенный поток как наложение поля вызванной скорости на внешнее однородное ноле, можно сформулировать следующие требования, предъявляемые к электрической модели: 1. Проводящий лист должен иметь очертания области потока, и в нем до образования отверстия, имитирующего профиль, должно быть создано однородное электрическое поле. 2. Присутствие электродов, создающих это поле, не должно нару шать условия (59.1) в наведенном поле. Заметим, что, применяя сплошные электроды для получения внеш него однородного поля в случае движения тела к плоской твердой стенке, мы можем выполнить только первое условие. Чтобы преодолеть эти затруднения, нужно воспользоваться дискрет ным питанием модели с помощью точечных электродов. Это позволяет создавать однородное электрическое поле в проводящем листе любого очертания (§ 30, п. 3), и при этом в наведенном поле на внешнем контуре листа будет выполнено условие (59.1). Появляется возможность модели ровать нестационарное обращенное течение жидкости при любом огра ничении потока. 2. Модель обращенного потока в ограниченной области. Допустим, что в области, ораниченной контурами Ь, 1Х и / 2 (рис. 187), существует однородное электрическое поле, и проведем параллельно вектору Е прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии й. Они разобьют контуры Ь, 1Хи / 2 на участки с равными интервалами функции потока откуда следует, что для получения в данной области однородного электри ческого поля нужно установить на указанных участках точечные электроды и включить их в цепь через каналы с равными сопротивлениями (рис. 188). Чтобы установить полярность включения электродов в цепь, нужно обойти внешний контур Ь по часовой стрелке, а внутренние 1Х и / 2 — против часовой стрелки и установить знаки приращения функции ф на всех участ ках, считая положительной внешнюю нормаль. Токи должны выходить в проводящий лист там, где функция ф убывает. При этом условии токи, про ходящие через электроды, установлен ные на контурах 1Х и / 2, в среднем Рис. 187. К определению граничных компенсируют стационарные заряды, условий на внешнем и внутреннем наведенные на краях электропроводной контурах области, внутри которой существует однородное поле. бумаги внешним полем, связанным с токами, протекающими через контур Ь. Сняв электроды с контура / 4, мы получим модель обращенного тече ния жидкости при движении этого профиля внутри области, ограниченной Рис. 188. Схема питания модели, позволяющая создать в области произволь ного очертания однородное электрическое поле (ср. рис. 102). Его напряжен ность определяется путем измерения напряженности поля в прямоугольном листе Л. контуром Ь, и вблизи неподвижного профиля / 2. Напряженности поля измеряются двойным зондом с помощью компенсационной схемы где С — постоянная, зависящая от базы зонда и параметров измеритель ной схемы, а N — отсчет по шкале реохорда. Для определения относительных скоростей последовательно с кана лами питания внешнего контура включают прямоугольный лист Л шири ной Б (рис. 188) с тем же значением удельного поверхностного сопротив ления. Измерив напряженность существующего в нем однородного поля (Е л), можно найти напряженность внешнего поля (Е0): Б (59.4) Ео — Е л дп где п откуда число каналов в одной из групп; питающих внешний контур Ь, „О _ VI _ &\ (59.5) ж г где N 1 и N п — отсчеты по шкале реохорда при измерении величин Еь и Ел. Если снять электроды с контура / 2, сохраняя их на контуре 1и то мы получим модель обращенного течения жидкости при движении профиля / 2 внутри той же области и вблизи неподвижного профиля / х. Х)к ~ у 0 " Е 0 Рис. 189. К моделированию нестационарных обращенных потоков: а) модель, позво ляющая имитировать движение профиля в канале под углом в 45 ° к его стенкам; показано расположение изопотенциальных линий невозмущенного потенциального потока; положение профиля отмечено пунктиром; Е к — равные сопротивления; б) расположение изопотенциальных линий в проводящем листе того же очертания при наличии сплошных электродов. Сняв электроды одновременно с обоих контуров 1Х и / 2, мы будем иметь модель обращенного течения жидкости при движении этих профи лей в одном направлении внутри области, ограниченной контуром Ь. В качестве примера на рис. 189, а показано расположение изопотен циальных линий невозмущенного поля на модели, предназначенной для изучения обращенного потока при движении тела между двумя парал лельными стенками в направлении, образующем с нормалью к одной из них угол в 45°. Для сравнения на рис. 189, б показано расположение изопотенциальных линий в том же проводящем листе при наличии сплош ных шин. Другим примером может служить модель обращенного потока при движении круга в круге (рис. 190), иллюстрирующая получение одно родного поля в проводящем листе произвольного очертания. Измерив Рис. 190. Модель, позволяющая воспроизвести обра щенный поток жидкости при движении круга в круге. напряженность электрического поля в прямоугольном листе электро проводной бумаги Л , включенном последовательно с каналами питания и имеющем ширину й, можно оп ределить напряженность невозму щенного однородного поля: Е0 = Ел ^ г , (59.6) где г — радиус внешнего круга. Построенная на этой модели сетка поля показана на рис. 191. Моделирование обращенного течения жидкости при любом огра ничении потока позволяет осущест вить контроль измерений по спо собу, описанному в § 54. Установив электроды одновременно на кон туре, имитирующем профиль тела, и на внешних границах проводя щего листа и поочередно включая р нс ^ сетка поля, построенная с поих в цепь, можно найти вызванные мощью модели, показанной на рис. 190. потенциалы скорости не только непосредственным измерением, но и путем измерения потенциалов возмущенного поля, вычитая из них потенциалы внешнего поля, изменяю щиеся по линейному закону. 3. Моделирование потока, обращенного по отношению к одному из двух тел, имеющих разные скорости. Если течение жидкости вызвано движением двух тел, скорости которых г х и г 2 различны, то движение жидкости можно рассматривать в трех системах отсчета: в системе, свя занной с удаленными покоящимися частицами жидкости (или с твердой стенкой, если жидкость ограничена), и в системах, связанных с каждым из тел. В первом случае мы будем наблюдать вызванное течение жидкости, моделирование которого было рассмотрено в § 54, а в остальных — поток, обращенный по отношению к первому или второму телу. а) УгК -у* Рис. 192. К моделированию потока жидкости, возникающего при сближении двух профилей в канале: а) расположение тел и скорости их движения; б) модель потока, обращенного по отношению к первому профилю; в) модель потока, обращенного по отношению ко второму профилю. Моделируя течение жидкости в системе отсчета, связанной с первым телом, нужно имитировать движение второго тела с относительной ско ростью **2: г 2 = 1*0— 1*!. (59.7) Для этого второй профиль разбивают на участки с помощью прямых, параллельных вектору 1>2 и отстоящих друг от друга на расстоянии, соот ветствующем его величине. На рис. 192, б показано расположение электро дов при моделировании сближения двух цилиндрических тел в канале (рис. 192, а), если поток обращается по отношению к первому из них. По ток, обращенный по отношению ко второму профилю, воспроизводится аналогично (рис. 192, в). § 60. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАЩЕННОГО ПОТОКА ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ (ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА) 1. Условие малых волн. При равномерном движении тела в жидкости параллельно ее свободной поверхности (рис. 193) на последней возникает волна, перемещающаяся вместе с телом. Обращенный поток будет уста новившимся, но его свободная поверхность окажется возмущенной, и на линии, соответствующей невозму щенной свободной поверхности, выполняется «условие малых волн»: 2 д2Р дР л - <27 ,лЛ . х уо *а^2" — & ~ду ” (60.1) где у<> — скорость тела, # — уско рение силы тяжести, а Р — потен циал скорости течения жидкости, причем ось х направлена проти воположно движению тела, а ось Рис. 193. К моделированию обращенного потока при движении тела вблизи свобод у — вверх. ной поверхности. Заменив производные потен циала Р проекциями скорости течения жидкости V и перейдя к безразмерным величинам (базисным значёнием длины служит хорда профиля Ь), имеем: дх° — V0 (60.2) Гг где дх° = дх (60.3) V % = V: а Гг — так называемое число Фруда: (60.4) Гг = 4 . & На прямой электрической модели граничному условию (61.2) соот ветствует подобное ему, соотношение между безразмерной производной от составляющей вектора Е по оси х, взятой по тому же направлению, и без размерной составляющей вектора Е по оси у: дЕ* _ 1 /Г» дх® “ Тг (60.5) где рп _—~гГ~ , Еи ра ______ у Пу — , ох дх° = —— ь, , (60.6) а Е 0 и Ь' — напряженность невозмущенного стационарного электриче ского поля и хорда профиля на модели. Соответственно в косвенной электрогидродинамической аналогии дол жно выполняться равенство 2. Первый вариант методики. Условие (60.7) можно реализовать следующим образом. Допустим, что имеется прямоугольный лист электро проводной бумаги аЪсй, включенный в цепь с помощью электродов, рас положенных вдоль краев аЪ и ей. Проведем линию тп, параллельную линии аЬ и отстоящую от нее на расстоянии к, а затем разрежем область аЬпт на узкие полоски (рис. 194, а), изолировав их друг от друга листом обыкновенной бумаги. Поскольку линии разреза совпадают с силовыми линиями стационарного электрического поля, то его строение не изменится Рис. 194. К реализации «условия малых волн» на косвенной элек трической модели. Область авпт разрезается на узкие полоски. и линия тп по-прежнему будет служить изопотенциал ьной линией. Одна ко если внутри области тпей расположить электрод «9, имитирующий про филь тела (рис. 194, б), то однородность поля нарушится и линия тп уже не будет совпадать с изопотенциальной линией. При этом, если отноше ние ширины полосок А/ к их длине к достаточно мало: 4 г « 1. (60.9) то электрическое поле в каждой полоске можно считать однородным по всей ее длине и его напряженность, независимо от строения поля в обла сти тпей, будет равна Е* = ^ , (60.10) где ф * — потенциал в средней точке основания полоски на линии тп, определенный относительно шины аЬ. Поскольку эта напряженность равна среднему значению величины в основании полоски на линии тп, то соотношение (60.1) принимает вид Е1 = ^ . (60.11) Полагая ширину полосок бесконечно малой и дифференцируя выра жение (60.11), имеем: 1 дх Й Г -Т 1 Г - ~ или в безразмерном виде: У дх<> Н* 1р* Е* /я*) 4 что совпадает с (60.7). Очевидно, что соотношение (60.13) должно при ближенно выполняться и при конечной, но достаточно малой ширине полосок, причем линия тп соответствует невозмущенной свободной поверхности жидн кости, а отношение р - служит аналогом ь0 числа Фруда: Ег = Л ьг (60.14) 3. Второй вариант методики. Вместо полосок электропроводной бумаги шири ною А/ можно воспользоваться точечными электродами, подключенными к источнику тока через эквивалентные сопротивления (рис. 195), величина которых Вк опреде ляется соотношением Вк = /?□ (60.15) М Рис. 195. К реализации «усло вия малых волн» на косвенной электрической модели. Поло ски электропроводной бумаги заменяются равными сопротив лениями Я к. где /?□ — удельное поверхностное сопро тивление электропроводной бумаги, и тогда аналогом числа Фруда будет служить Ег- ВкМ Дг-Л' ' выражение (60.16) где А/ имеет смысл шага решетки электродов. Используя переменные сопротивления, можно имитировать любые значения числа Фруда и, следовательно, движение профиля с любой заданной скоростью. Возможно применение электролитической ванны. § 61. ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ ПРИ РЕШЕНИИ 'ЗАДАЧртЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ Математическое моделирование с применением стационарного элек трического поля в проводящей среде широко используется при изучении фильтрации жидкости в пористом грунте. В этом случае учитывается вязкость жидкости и электрогидродинамическая аналогия принимает новую форму: аналогом скорости фильтрации V служит уже не вектор Е , а плотность тока I . Подобно тому как плотность тока связана с градиентом потенциала законом Ома [ср. § 8, п. 1]: 3 = —-у^гадф, (61.1) где у — удельная проводимость среды, скорость фильтрации связана с градиентом давления р законом Д ’Арси V = — к &гас! р, (61.2) где к — коэффициент фильтрации, зависящий от вязкости жидкости и «гидравлической проницаемости» пористой среды. Разность потенциа лов, поддерживающая ток в электрической модели, соответствует разности давлений, вызывающих фильтрацию жидкости *), сила тока, протекаю щего через ее сечение,— фильтрационному расходу жидкости, а общее *) В соответствии с (61.2) аналогом потенциала скорости Р служит произведе ние уф. сопротивление электрической модели — общему фильтрационному сопро тивлению натуры, причем условие /п = 0Г (61.3) на границе проводящей среды с диэлектриком выражает условие непротекания на границе пористой среды. Если задача является плоской (фильтрация воды под плотиной, имеющей удли ненную форму), то, применяя листы электропроводной бумаги с разным удельным сопротивлением, можно исследовать поток в зонально неоднородной среде, что имеет большое практическое значение. В настоящее время эта методика широко применяется при строительстве гидротехнических сооружений [4]. На цветной вклейке 4 показан демонстрационный плакат, изображающий плоский фильтрационный поток под плотиной (бетон) в области, ограниченной водоне проницаемым грунтом (глина). Он выполнен из электропроводной бумаги и является действующей моделью. Приложенная к ней разность потенциалов имитирует разность уровней в верхнем и нижнем бьефах; сетка поля позволяет судить о распределении давлений и скоростей. Измерив геометрическое сопротивление этой модели (§ 24, п. 3) или определив его по сетке поля (§ 19), можно найти общий фильтрационный расход, приходящийся на единицу длины плотины при заданных значениях & и Я , а изменяя форму вырезов, имитирующих шпунтовые стенки, можно изучить влияние последних на строение потока и найти их оптимальные размеры. Рассмотрев еще раз рис. 33, 35, 37, 45, 52, 154, читатель без труда установит их смысл в теории фильтрации. Подчеркнем, что электрогидродинамическая аналогия в теории фильтрации является более полной математической аналогией, чем в рассмотренных выше задачах гидромеханики, связанных с понятием идеальной жидкости (ср. § 52, п. 1). Здесь не требуется исключать из рассмотрения пограничный слой, делать допущение о безот рывном характере потока и т. п. Рассмотрение других примеров математического моделирования потенциальных физических полей с применением стационарного электри ческого поля, а также методов, основанных на конформных отображениях, читатель найдет в специальных монографиях [2]— [9] (см. список реко мендуемой литературы). В монографии [2] читатель найдет также до полнительные сведения по технике эксперимента с электропроводной бумагой. $ 62. НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К книге приложены листы низкоомной электропроводной бумаги, разумно используя которые читатель может выполнить десятки доста точно точных количественных опытов. Материалом для электродов могут служить полоски листовой латуни, алюминиевая фольга, кнопки и т. п. (см. § 13, п. 3, § 27, п. 3), источ ником тока — батарейка для карманного фонаря, реохордом — про градуированный с помощью мостика Уитстона реостат, индикатором на пряжения — гальванометр с чувствительностью порядка 10"6 а/дел, измерительной иглой — цанговый карандаш и т. п. При питании от сети (через понижающий трансформатор) гальванометр можно заменить радио наушниками. Каждый лист бумаги можно использовать несколько раз, отмечая найденные изолинии карандашами разного цвета и «перекалывая» их на листы обыкновенной бумаги для построения полной сетки поля. При моделировании запально неоднородной среды края листов склеивают тушью. Электропроводную бумагу можно затушевывать мяг ким карандашом, придавая ей анизотропные свойства. Так как прилагаемые листы имеют небольшие размеры, то лучше выбирать задачи, в которых заранее известно, что поле имеет одну или две линии симметрии, и применять вместо полных моделей упрощен ные. В этом случае при решении внешней краевой задачи сдвоенная модель может иметь форму полукруга или квадранта (§ 36). Она выклады вается на гладкой доске и края листов соединяются с помощью патефон ных игл (их забивают с интервалом 5—10 мм), причем нижний лист можна использовать многократно. Чтобы определить удельное поверхностное сопротивление бумаги, достаточно измерить сопротивление полоски, имеющей постоянную ширину й: где I — длина. Однородность электропроводной бумаги проверяется путем построе ния сетки поля на прямоугольном листе. Небольшое значение величины /?□ позволит читателю воспроизвести на контуре любое распределение нормальной составляющей вектора Е (§§ 29, 30). В то же время, наклеивая полоски такой бумаги на листы черной бумаги, в которую заворачивают фотоматериалы (§ 13, п. 2), можно реализовать распределение потенциала, необходимое для модели рования внешнего стационарного электрического поля (§ 4 0 ). В этом случае применяется зеркальный гальванометр. Таким образом, читателю предоставляется возможность повторить значительную часть описанных в книге опытов или осуществить новые задуманные им эксперименты. ЛИТЕРАТУРА 1. Б. Б. Г у т м а н , Электропроводная бумага, Журнал бумажной промыш ленности, вып. 6 , 1956. 2. П. Ф. Ф и л ь ч а к о в, В. И. П а н ч и ш и н , Интеграторы ЭГДА. Моделиование потенциальных полей на электропроводной бумаге, Изд-во Академии наук гкраинской ССР, Киев, 1961. 3. И. М. Т е т е л ь б а у м , Электрическое моделирование, Физматгиз, М., 1959. 4. Н. И. Д р у ж и н и н , Метод электрогидродинамических аналогий и его применение при исследовании фильтрации, ГЭИ, М., 1956. 5. У. К а р п л ю с , Моделирующие устройства для решения задач теории поля, ИЛ, М., 1962. 6 . О. В. Т о з о н и, Математические модели для расчета электрических и маг нитных полей, Киев, 1964. 7. Н. Н. С у н ц о в, Методы аналогий в аэрогидродинамике, Физматгиз, М«» 1958. 8 . Л. В. Н и ц е ц к и й, Аналоговые и разностные методы решения внешних краевых задач, Ученые записки Рижского политехнического нн-та, т. XII, вып. 2, Рига, 1965. 9. Б. А. В о л ы н с к и й , В. Е. Б у х м а н , Модели для решения краевых задач, Физматгиз, М., 1960. § ПРИЛОЖЕНИЕ Рис. Рис. 1. Стационарное II. Стационарное поле, окружающее изогнутую пластину *). электрическое поле в случае переменной толщины проводящей пластины. *) При рассмотрении рисунков необходимо учесть: 1. Сетки ноля, показанные на рисунках I, II, УIII, IX, X, X I, XII и X X X , построены с применением сдвоенных моделей (§ 36), предназначенных для решения внешних краевых задач. Внешний круг изображает контур верхнего рабочего листа. 2. На рисунках Х Х У Ш , X X I X , X X X I , X X X II и X X X III внешняя рамка изоб ражает контур демонстрационного плаката. Рис. III. Стационарное электрическое поле, окружающее изогнутую плас тину. Белыми линиями показано сечение пластины и поле внутри нее. фио летовым цветом— электроды. Рис. IV. Плакат, являющийся действующей моделью и предназначенный для демонстрации плоского стационарного электр; ческого поля (ср. рис. 82). Желтые стрелки изображают вектор и его составляющие. Фиолетовым цветом показаны электрод: Рис. V. Стационарное электрическое поле в пластине, вклю ченной в цепь с помощью коротких тин. Рис. VI. Стационарное электрическое поле в квадратной пластине с разрезом посередине. Рис. VII. Стационарное электрическое поле в квадратной пластине, надрезанной по краям. Р и с . VIII. Сетка поля плоского конденсатора, постро енная с применением моделей, показанных на рис. 129. Рис. IX. К изучению краевого эффекта конденсатора с применением обращенных моделей (ср. рис. 129). Построив силовые линии с постоянным интервалом функции потока, можно найти распределение по верхностной плотности зарядов. Рис. XI. Поле точечного линейного заряда в присутствии незаряженного проводника. Рис. X II. Сетка поля зарядов, индуцированпыхт на эллиптическом цилиндре вблизи точечного линей ного заряда, построенная по способу вычитания полей (ср. рис. XI). Распределение индуцирован ных зарядов показано пунктиром. Рис. X III. Сетка электрического поля Земли, построенная с применением обращенной модели. Предполагается, что поле можно считать плоским. Рис. XIV. Обращенная модель электрического поля Земли вблизи Алек сандрийской колонны на Дворцовой площади в Ленинграде (плоский вариант задачи). Пунктиром выделена область, подлежащая более деталь ному изучению на новой модели. Рис. XV. Прямая модель области поля, выделенной пунктиром, на рис. XIV. Рис. XVII. Сетка поля заряженного электроскопа (плоский вариант).1 Построена с применением обращенной сдвоенной модели. Поле внутри электроскопа изучается на отдельной модели. + Рис. XVIII. Сетка поля электронной линзы (ср. рис. 147). Стрелками показаны силы, приложенные к летящему электрону, и их составляющие. + + + + Рис. XXI . Сетка поля симметричной электронной линзы (ср. Рис. XXI I. Стационарное электриче ское иоле в электролитической ванне при различных положениях катода а) и б). рис. 150). Рис. XXIII. Сетка стационарного электрического поля в электролити ческой ванне с профилированным катодом. Пунктиром показано рас пределение нормальной составляю щей вектора Е, определяющей тол щину слоя осаждаемого металла и дополнительные силовые линии. (Кроме торца обращенного к аноду.) Рис X IX . Сетка электрического поля Земли у вершины Александрийской колонны на Дворцовой площади в Ленинграде, построенная с применением моделей, изображенных на рис. XIV, XV и XVI (плоский вариант задачи). Желтой линией показано распределение поверхностной плотности зарядов. Рис. X X . Сетка стационарного электрического поля в электролитической ванне с профилированным катодом. Желтыми линиями показано распределе ние нормальной составляющей вектора Е , определяющей толщину слоя осаж даемого металла. Рис. XXIV. Сетки поля, построенные для случаев, когда отношение токов в ветвях равно 2 (а) и 9 (б). Рис. XXV. Стационарное поле в пластине, где схо дятся четыре равных тока. Рис. XXVII . Стационарное поле в узле, где сходятся 6 токов: 1Х : / 2 : / 3 : / 4 : / 5 : / в = = — 10 : 6 : 8 : — 10 : 4 : 2. Рис. XXVIII. Внешнее стационарное электрическое иоле (показано полу пространство) вблизи участка цепы, где действуют сторонние силы, совпадающие но направлению с током, а) Сетка поля; б) график падения потенциала; в) график распределения поверхностной плотности стацио нарных зарядов. Рис. XXI X. Внешнее стационарное электрическое поле (показано полу пространство) вблизи участка цепи, где действуют сторонние силы, направление противоположно току, а) Сетка поля; б) график распре деления потенциала; в) график распределения поверхностной плотности стационарных зарядов. Рис. XXX. Внешнее стационарное электриче ское поле, окружающее узел, в котором ток раз ветвляется на два равных тока. В основаниях трубок равного потока расположены равные стационарные заряды. Рис. XXXI . Поток, вызванный вращением призмы прямоугольного сечения в неограниченной жидкости (против часовой стрелки). Рис. XXXI I . Сетка неограниченного движения жидкости, вызванного вращением двух жестко связанных пластин (а), и распределение на них вызванного потенциала (б). (Пунктиром выделена моделируемая область.) б) Рис. XXXI I I . Картина неограниченного потока, вызванного вращением трех жестко связанных пластин (а), и распределение на них вызванного потенциала (б). (Пунктиром выделена моделируемая область.)

Рязанов Г.А. Опыты и моделирование при изучении электромагнитного поля

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Рязанов Г.А. Опыты и моделирование при изучении электромагнитного поля

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib