ФГБОУ ВО «МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Домашняя работа Задания 11,12,13,14 Вариант №13 По дисциплине: Дискретная математика Выполнил Студент 2 курса Группы 171-362 Цапин Д. М. Проверил ___________Набебин А.А МОСКВА 2018 Задание 11 Условие: В заданном неориентированном графе G из задачи 10 найти все максимальные и все наибольшие внутренне устойчивые (независимые) множества вершин. Решение: Построим граф G = (V,E) по условию из задачи 10. G = (V,E) = (V={1,2,3,4,5,6,7} , E = {(1,2),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)}) Внутренне устойчивые множества вершин графа Подмножество S вершин графа G=(V,E) внутренне устойчиво,если никакие две вершины из S не смежны в G. S является наибольшим,если среди всех внутренне устойчивых множеств вершин в G оно имеет наибольшую мощность. Пусть S - внутренне устойчивое множество вершин графа G=(V,E) Ребро e = (u,v) ∈ E. С каждой вершиной v ∈ V свяжем логическую переменную xv и пусть xv означает,что V ∉ S Алгоритм вычисления всех наибольших внутренне устойчивых множеств вершин графа G = (V,E) 1. Построить формулу F= & (xu V xv) –условие внутренней устойчивости графа G (u,v) ∈ E 2. Построить минимальную ДНФ D формулы F 3. Для каждого дизъюнктивного слагаемого K = xu,xv……xw в D получить соответствующее ему максимальное внутренне устойчивое множество вершин S = V – {u,v………w} 4. Из полученных множеств выбрать все наибольшие Условие внутренней устойчивости графа G: F= & (u V v) (u,v) ∈ E =(1V2)(1V4)(1V5)(2V3)(2V4)(2V5)(3V4)(4V6)(4V7)(5V6)(5V7) Распишем подробно решение: Шаг 1: (1 V 2)(1 V 4)=(1 V 14 V 12 V 24)=(1 V 24),тк единица поглощает все единицы (1 V 24)(1 V 5)=(1 V 15 V 124 V 245)=(1 V 245) Из шага 1 получаем (1 V 245) Шаг 2: (1 V 245)(2 V 3)=(12 V 13 V 245 V 2345)=(12 V 13 V 245) (12 V 13 V 245)(2 V 4)=(12 V 124 V 123 V 134 V 245 V 245)= =(12 V 134 V 245),тк 245 сокращается с 2345 а 12 поглощают все 12 (12 V 134 V 245)(2 V 5)=(12 V 125 V 1234 V 1345 V 245 V 245)= =(12 V 1345 V 245),тк 12 поглощает все 12 ,а 245 сокращается с 245 Из шага 2 получаем (12 V 1345 V 245) Шаг 3: (12 V 1345 V 245)(3 V 4) Из шага 3 получаем (12 V 1345 V 245)(3 V 4) Шаг 4: (4 V 6)(4 V 7)=(4 V 47 V 46 V 67)=(4 V 67),тк 4 поглощает все 4 Из шага 4 получаем (12 V 1345 V 245)(3 V 4)(4 V 67) Шаг 5: (5 V 6)(5 V 7)=(5 V 57 V 56 V 67)=(5 V 67),тк 5 поглощает все 5 Из шага 5 получаем (12 V 1345 V 245)(3 V 4)(4 V 67)(5 V 67) Шаг 6: (4 V 67)(5 V 67)=(45 V 467 V 567 V 67)=(45 V 67),тк 67 поглощает 67 Из шага 6 получаем (12 V 1345 V 245)(3 V 4)(45 V 67) Шаг 7: (3 V 4)(45 V 67)=(345 V 367 V 45 V 467)=(45 V 367),тк 45 поглощает все 45,а 67 поглощает все 67 Из шага 7 получаем (12 V 1345 V 245)(45 V 367) Шаг 8: (12 V 1345 V 245)(45 V 367)=1245 V 12367 V 1345 V 134567 V 245 V 234567= 1245 V 12367 V 1345 V 245 Максимальные внутренне устойчивые множества вершин графа G=(V,E) есть множества: V – {1,2,4,5} = {3,6,7} V – {1,2,3,6,7} = {4,5} V – {1,3,4,5} = {2,6,7} V – {2,4,5} = {1,3,6,7} Выбираем из этих множеств наибольшее.Это {1,3,6,7} Ответ: Множество {1,3,6,7}-наибольшее внутренне устойчивое множество вершин графа G = (V,E) Задание 12 Условие: В заданном ориентированном графе G из задачи 10 найти все максимальные и все наибольшие внутренне устойчивые (независимые) множества вершин. Решение: Преобразуем неориентированный граф G = (V,E) из задачи 10 в ориентированный. G = (V,E) = (V={1,2,3,4,5,6,7} , E = {(1,2),(1,4),( 2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(4,7),(5,1),(6,5),(7,5)}) Внутренне устойчивые множества вершин графа Подмножество S вершин графа G=(V,E) внутренне устойчиво,если никакие две вершины из S не смежны в G. S является наибольшим,если среди всех внутренне устойчивых множеств вершин в G оно имеет наибольшую мощность. Пусть S - внутренне устойчивое множество вершин графа G=(V,E) Ребро e = (u,v) ∈ E. С каждой вершиной v ∈ V свяжем логическую переменную xv и пусть xv означает,что V ∉ S Алгоритм вычисления всех наибольших внутренне устойчивых множеств вершин графа G = (V,E) Замечание: данный алгоритм пригоден и для ориентированных графов 1. Построить формулу F= & (xu V xv) –условие внутренней устойчивости графа G (u,v) ∈ E 2. Построить минимальную ДНФ D формулы F 3. Для каждого дизъюнктивного слагаемого K = xu,xv……xw в D получить соответствующее ему максимальное внутренне устойчивое множество вершин S = V – {u,v………w} 4. Из полученных множеств выбрать все наибольшие Условие внутренней устойчивости графа G: F= & (u V v) (u,v) ∈ E =(1 V 2)(1 V 4)( 2 V 3)(2 V 4), (2 V 5)(3 V 4)(4 V 6)(4 V 7)(5 V 1)(6 V 5)(7 V 5) Распишем подробно решение: Шаг 1: (1 V 2)(1 V 4)=(1 V 14 V 12 V 24)=(1 V 24),тк единица поглощает все единицы Из шага 1 получаем (1 V 24) Шаг 2: (2 V 3)(2 V 4)=(2 V 24 V 23 V 34)=(2 V 34),тк 2 поглощает все 2 (2 V 34)(2 V 5)=(2 V 25 V 234 V 345)=(2 V 345),тк 2 поглощает все 2 Из шага 2 получаем: (1 V 24)(2 V 345) Шаг 3: (1 V 24)(2 V 345)=(12 V 1345 V 24 V 2345)=(12 V 24 V 1345) Из шага 3 получаем: (12 V 24 V 1345) Шаг 4: (12 V 1345 V 24)(3 V 4)=(123 V 124 V 1345 V 1345 V 234 V 24)= =(123 V 1345 V 24) Из шага 4 получаем: (12 V 24 V 1345) Шаг 5: (4 V 6)(4 V 7)=(4 V 47 V 46 V 67)=(4 V 67),тк 4 поглощает все 4 Из шага 5 получаем: (12 V 24 V 1345)(4 V 67) Шаг 6: (5 V 1)(6 V 5)=(56 V 5 V 16 V 15)=(5 V 16),тк 5 поглощает все 5 Из шага 6 получаем: (12 V 24 V 1345)(4 V 67)(5 V 16) Шаг 7: (4 V 67)(5 V 16)=(45 V 146 V 567 V 167)=(45 V 146 V 167) Из шага 7 получаем: (12 V 24 V 1345)(45 V 146 V 167) Шаг 8: (45 V 146 V 167)(7 V 5)=(457 V 45 V 1467 V 1456 V 167 V 1567)= =(45 V 167 V 1456) Из шага 8 получаем: (12 V 24 V 1345)(45 V 167 V 1456) Шаг 9: (12 V 24 V 1345)(45 V 167 V 1456)=1245 V 1267 V 12456 V 245 V 12467 V 12456 V 1345 V 134567 V 13456= 1245 V 1267 V 245 V 12467 V 1345 Максимальные внутренне устойчивые множества вершин графа G=(V,E) есть множества: V – {1,2,4,5} = {3,6,7} V – {1,2,6,7} = {3,4,5} V – {2,4,5} = {1,3,6,7} V – {1,2,4,6,7} = {3,5} V – {1,3,4,5} = {2,6,7} Выбираем из этих множеств наибольшее.Это {1,3,6,7} Задание 13 Условие: В заданном неориентированном графе G из задачи 10 найти все минимальные и все наименьшие внешне устойчивые (доминирующие) множества вершин. Решение: Построим граф G = (V,E) по условию из задачи 10. G = (V,E) = (V={1,2,3,4,5,6,7} , E = {(1,2),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)}) Внешне устойчивые множества вершин графа Множество T вершин графа G=(V,E) внешне устойчиво,если Ɐ v ∉T и каждое u ∈ T (e=(u,v) ∈ E) Число внешней устойчивости графа G: B (G) = min { l T l : T < V и T есть внешне устойчивое множество вершин в G} T является минимальным,если оно не содержит в себе ни одного подмножества,которое является внешне устойчивым.T является наименьшим,если оно имеет наименьшую мощность. Алгоритм вычисления всех наибольших внутренне устойчивых множеств вершин графа G = (V,E) Пусть T - внешне устойчивое множество вершин графа G=(V,E) С каждой вершиной u ∈ V свяжем логическую переменную xu и пусть xu означает,что u ∉ T 1. Построить формулу F= & (xu V ( V xv)) –условие внешней устойчивости графа G (u ∈ V) (u,v) ∈ E 2. Построить минимальную ДНФ D формулы F 3. Для каждого дизъюнктивного слагаемого K = xu,xv……xw в D получить соответствующее ему максимальное внутренне устойчивое множество вершин S = V – {u,v………w} 4. Из полученных множеств выбрать все наименьшие Замечание: Этот алгоритм пригоден и для ориентированных графов Условие внутренней устойчивости графа G: F= & (xu V ( V xv)) (u ∈ V) (u,v) ∈ E == ( 1 V 2 V 4 V 5)(2 V 1 V 3 V 4 V 5)(3 V 2 V 4)(4 V 1 V 2 V 3 V 6 V 7) (5 V 1 V 2 V 6 V 7)(6 V 4 V 5)(7 V 4 V 5) Распишем подробно решение: Шаг 1: (1 V 2 V 4 V 5)(2 V 1 V 3 V 4 V 5)= =(12 V 1 V 13 V 14 V 15 V 2 V 12 V 23 V 24 V 25 V 24 V 14 V 34 V 4 V 45 V 25 V 15 V 35 V 45 V 5)=(1 V 2 V 4 V 5), так как 1,2,4,5 поглощают все 1,2,4,5 Из шага 1 получаем (1 V 2 V 4 V 5) Шаг 2: (3 V 2 V 4)(4 V 1 V 2 V 3 V 6 V 7)= =(34 V 13 V 23 V 3 V 36 V 37 V 24 V 12 V 2 V 23 V 26 V 27 V 4 V 14 V 24 V 34 V 46 V 47)=(2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14),так как 2,3,4 поглощают все 2,3,4 Из шага 2 получаем (1 V 2 V 4 V 5) (2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14) Шаг 3: (6 V 4 V 5)(7 V 4 V 5) =(67 V 46 V 56 V 47 V 4 V 45 V 57 V 45 V 5)= =(4 V 5 V 67 V 64 V 65),так как 4 и 5 поглощают все 4 и 5 Из шага 3 получаем (1 V 2 V 4 V 5) (2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14) (4 V 5 V 67) Шаг 4: (5 V 1 V 2 V 6 V 7)(4 V 5 V 67)= =(45 V 5 V 567 V 14 V 15 V 167 V 24 V 25 V 267 V 46 V 56 V 67 V 47 V 57 V 67)=(45 V 14 V 15 V 167 V 24 V 25 V 46 V 67 V 47) Из шага 4 получаем (1 V 2 V 4 V 5) (2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14)(45 V 14 V 15 V 167 V 24 V 25 V 46 V 67 V 47) Шаг 5: (1 V 2 V 4 V 5) (2 V 3 V 4 V 12 V 13 V 14)= =(12 V 13 V 14 V 12 V 13 V 14 V 2 V 23 V 24 V 12 V 123 V 124 V 24 V 34 V 4 V 124 V 134 V 14 V 25 V 35 V 45 V 125 V 135 V 145)=( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 25 V 34 V 35) Из шага 5 получаем ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 25 V 34 V 35) ( 14 V 15 V 24 V 25 V 45 V 46 V 47 V 67 V 167) Шаг 6: ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 25 V 34 V 35) ( 14 V 15 V 24 V 25 V 45 V 46 V 47 V 67 V 167)= = 124 V 125 V 24 V 25 V 245 V 246 V 247 V 267 V 14 V 145 V 24 V 245 V 45 V 46 V 47 V 467 V 1467 V 124 V 125 V 124 V 125 V 1245 V 1246 V 1247 V 1267 134 V 135 V 1345 Из всех данных множеств выбираем наименьшие по весу: Это множества {1,4},{2,4},{4,5},{4,6},{4,7} Ответ: Все минимальные и все наименьшие внешне устойчивые (доминирующие) множества вершин: {1,4},{2,4},{4,5},{4,6},{4,7} Задание 14 Условие: В заданном ориентированном графе G из задачи 10 найти все минимальные и все наименьшие внешне устойчивые (доминирующие) множества вершин. Решение: Преобразуем неориентированный граф G = (V,E) из задачи 10 в ориентированный. G = (V,E) = (V={1,2,3,4,5,6,7} , E = {(1,2),(1,4),( 2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(4,7),(5,1),(6,5),(7,5)}) Внешне устойчивые множества вершин графа Множество T вершин графа G=(V,E) внешне устойчиво,если Ɐ v ∉T и каждое u ∈ T (e=(u,v) ∈ E) Число внешней устойчивости графа G: B (G) = min { l T l : T < V и T есть внешне устойчивое множество вершин в G} T является минимальным,если оно не содержит в себе ни одного подмножества,которое является внешне устойчивым.T является наименьшим,если оно имеет наименьшую мощность. Алгоритм вычисления всех наибольших внутренне устойчивых множеств вершин графа G = (V,E) Пусть T - внешне устойчивое множество вершин графа G=(V,E) С каждой вершиной u ∈ V свяжем логическую переменную xu и пусть xu означает,что u ∉ T 1. Построить формулу F= & (xu V ( V xv)) –условие внешней устойчивости графа G (u ∈ V) (u,v) ∈ E 2. Построить минимальную ДНФ D формулы F 3. Для каждого дизъюнктивного слагаемого K = xu,xv……xw в D получить соответствующее ему максимальное внутренне устойчивое множество вершин S = V – {u,v………w} 4. Из полученных множеств выбрать все наименьшие Замечание: Этот алгоритм пригоден и для ориентированных графов Условие внутренней устойчивости графа G: F= & (u ∈ V) (xu V ( V xv)) (u,v) ∈ E =(1 V 2 V 4)(2 V 3 V 4 V 5)(3V4)(4 V 6 V 7)(5 V 1)(6 V 5)(7 V 5) Распишем подробно решение Шаг 1: (1 V 2 V 4)(2 V 3 V 4 V 5)=(12 V 13 V 14 V 15 V 2 V 23 V 24 V 25 V 24 V 34 V 4 V 45)=( 2 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 V 4) Из шага 1 получаем ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 ) Шаг 2: (3 V 4)(4 V 6 V 7)=(34 V 36 V 37 V 4 V 46 V 47)=(4 V 34 V 36 V 37) Из шага 2 получаем ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(4 V 34 V 36 V 37) Шаг 3: (6 V 5)(7 V 5)=(67 V 56 V 57 V 5)=(5 V 67) Из шага 3 получаем ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(4 V 34 V 36 V 37)(5 V 67) Шаг 4: (5 V 1)(5 V 67)=(5 V 567 V 15 V 167)=(5 V 15 V 167),так как 5 поглощает все 5 Из шага 4 получаем ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(4 V 34 V 36 V 37)(5 V 15 V 167) Шаг 5: (4 V 34 V 36 V 37)(5 V 15 V 167)= =(45 V 145 V 1467 V 345 V 1345 V 13467 V 356 V 1356 V 1367 V 357 V 1357 V 1367)=( 45 V 356 V 357 V 1367 V 1467) Из шага 5 получаем ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(45 V 356 V 357 V 1367 V 1467) Шаг 6: ( 2 V 4 V 12 V 13 V 14 V 15 V 34 )(45 V 356 V 357 V 1367 V 1467)= =245 V 2356 V 2357 V 12467 V V 45 V 12467 V V 1245 V 12356 V 12357 V 12367 V V 1345 V 1356 V 1357 V 1367 V V 145 V 13457 V 1467 V V 1357 V 345 V 13467 Из всех множеств выбираем наименьшие.Таким является множество {4,5} Ответ: Все минимальные и все наименьшие внешне устойчивые (доминирующие) множества вершин: {4,5}