А. В. ПАНОВ
ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЫ
Рассматривается система уравнений механики двухфазной среды: смеси газа
и мелких частиц. Температурными эффектами пренебрегаем. Роль свободного элемента выполняет давление. Найдена основная группа симметрий системы. Спецификации свободного элемента, дающие дополнительные симметрии, отсутствуют.
Для полученной алгебры Ли найдены оптимальные системы подалгебр.
Kлючевые слова: группа симметрий уравнения, групповой анализ, алгебра Ли, оптимальная система подалгебр, уравнения механики двухфазной среды.
Введение
Рассмотрим систему уравнений
∂ρ1 ∂(ρ1 u1 )
+
= 0,
∂t
∂x
∂ρ2 ∂(ρ2 u2 )
∂t + ∂x = 0,
∂u1
∂u1
∂P (ρ1 , ρ2 )
ρ2 (u1 − u2 )
ρ1
+ u1
=−
,
+ m1
∂t
∂x
∂x
τ
∂u2
∂P (ρ1 , ρ2 )
ρ2 (u1 − u2 )
∂u2
ρ2
+ u2
=
,
+ m2
∂t
∂x
∂x
τ
описывающую течение смеси газа и мелких частиц [1]. В предположении конечности объемной концентрации дискретных частиц и отсутствия температурных
эффектов данная система состоит из уравнений сохранения массы и импульса
ρ2 (u1 − u2 )
отвечает за силу вязкого трения межкаждой из фаз. Правая часть
τ
ду фазами. Кроме того ρi = mi ρii — средняя плотность i-й фазы, mi , ρii , ui —
объемная концентрация, истинная плотность, скорость i-й фазы, P — давление,
общее для смеси в целом. Первая фаза соответствует газу, вторая — частицам.
Данная система рассматривается как класс систем, поскольку параметр
P может принимать различные значения. Для каждой конкретной функции
P (ρ1 , ρ2 ), так называемой спецификации свободного элемента P , можно найти
все однопараметрические допускаемые группы преобразований (иначе говоря,
симметрии) этой системы. Инфинитезимальные генераторы таких групп, соответствующие заданной функции P , образуют алгебру Ли [2] системы. Пересекая
алгебры Ли, полученные при всевозможных P , найдем основную алгебру Ли
системы. Помимо нахождения основной алгебры Ли рассматриваемой системы
уравнений стоит задача нахождения спецификаций произвольного элемента P ,
дающих расширение основной алгебры Ли системы, т. е. задача групповой классификации данной системы уравнений.
Групповая классификация системы уравнений механики двухфазной среды
39
Задача групповой классификации играет большую роль в прикладных вопросах, позволяя оптимизировать выбор аналитической формы экспериментальных зависимостей, входящих в математические модели физических процессов [2].
Кроме того, зная симметрии системы, можно найти ее точные решения, выражающие важные физические свойства системы [2–4].
В работе найдена основная алгебра Ли рассматриваемой системы и показано, что спецификации произвольного элемента, при которых у системы появляются дополнительные симметрии, отсутствуют. Для полученной алгебры Ли
найдены оптимальные системы одномерных и двумерных подалгебр.
1. Основная алгебра Ли
Для сокращения количества индексов и удобства вычислений переобозначим u = u1 , v = u2 , ρ = ρ1 , σ = ρ2 , b = τ −1 , a = ρ−1
22 . Далее, используя основное
равенство механики гетерогенных сред m1 + m2 = 1 и равенство m2 = ρρ222 = aσ,
выразим m1 , m2 . Разделив два последних равенства системы на ρ и σ соответственно, получим
ρt + ρx u + ux ρ = 0,
(1.1)
σt + σx v + vx σ = 0,
(1.2)
ut + uux + ρ−1 (1 − aσ) (Pρ (ρ, σ)ρx + Pσ (ρ, σ)σx ) + bρ−1 σ(u − v) = 0,
vt + vvx + a(Pρ (ρ, σ)ρx + Pσ (ρ, σ)σx ) − b(u − v) = 0.
(1.3)
(1.4)
Будем искать инфинитезимальные генераторы групп, допускаемых системой (1.1)–(1.4), в виде
X=τ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+ξ
+α
+β
+δ
+γ ,
∂t
∂x
∂ρ
∂σ
∂u
∂v
где функции τ , ξ, α, β, δ, γ зависят от переменных t, x, ρ, σ, u, v. Продолжение оператора X на расширенное пространство переменных, включающее первые
производные зависимых переменных ρ, σ, u, v, имеет вид
X = X + ϕt
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+ ϕx
+ ψt
+ ψx
+ Ut
+ Ux
+Vt
+Vx
.
∂ρt
∂ρx
∂σt
∂σx
∂ut
∂ux
∂vt
∂vx
При этом коэффициенты ϕt , ϕx , ψ t , ψ x , U t , U x , V t , V x зависят не только от t, x,
ρ, σ, u, v, но и от переменных ρt , ρx , σt , σx , ut , ux , vt , vx . Они вычисляются по
формулам продолжения [2]. Например,
ϕt = Dt (α) − ρt Dt (τ ) − ρx Dt (ξ),
Dt =
∂
∂
+ ρt ,
∂t
∂ρ
ϕt = αt + ρt αρ − ρt τt − ρ2t τρ − ρx ξt − ρt ρx ξρ .
В пространстве независимых переменных t, x, ρ, σ, u, v, ρt , ρx , σt , σx , ut , ux ,
vt , vx систему (1.1)–(1.4) будем рассматривать как некоторое дифференциальное
многообразие [F ], задаваемое с помощью вектор-функции F уравнением
F (t, x, ρ, σ, u, v, ρt , ρx , σt , σx , ut , ux , vt , vx ) = 0.
40
А. В. Панов
Подействуем оператором X на вектор-функцию F , а результат действия сузим
1
. Получим систему уравнений
на [F ], т. е. вычислим величину X F
1
[F ]
ϕt + uϕx + ρx δ + ρU x + ux α
= 0,
(1.5)
= 0,
(1.6)
[F ]
ψ t + vψ x + σx γ + σV x + vx β
[F ]
U t + uU x + ux δ − ρ−2 (1 − aσ) (Pρ ρx + Pσ σx )α − aρ−1 (Pρ ρx + Pσ σx )β+
+ρ−1 (1 − aσ) Pρ ϕx + ρ−1 (1 − aσ) Pσ ψ x + ρ−1 (1 − aσ) Pρρ ρx α+
+ρ−1 (1 − aσ) Pρσ ρx β + ρ−1 (1 − aσ) Pρσ σx α + ρ−1 (1 − aσ) Pσσ σx β−
−bρ−2 σ(u − v)α + bρ−1 (u − v)β + bρ−1 σ(δ − γ)
= 0,
(1.7)
[F ]
V t + vV x + vx γ + aPρ ϕx + aPσ ψ x + aPρρ ρx α + aPρσ ρx β + aPρσ σx α+
+aPσσ σx β − b(δ − γ)
= 0.
(1.8)
[F ]
Подставим формулы продолжения в уравнения (1.5)–(1.8) и получим систему
уравнений
αt + ρt (αρ − τt ) − ρ2t τρ − ρx ξt − ρt ρx ξρ + u (αx + ρx (αρ − ξx )−
−ρt τx − ρt ρx τρ − ρ2x ξρ + ρx δ + ρ (δx + ux (δu − ξx ) − ut τx −
−ut ux τu − u2x ξu + ux α
= 0,
βt + σt (βσ − τt ) − σt2 τσ − σx ξt − σt σx ξσ + v (βx + σx (βσ − ξx ) − σt τx −
−σt σx τσ − σx2 ξσ + σx γ + σ (γx + vx (γv − ξx ) − vt τx −
−vt vx τv − vx2 ξv + vx β
(1.9)
[F ]
= 0,
(1.10)
[F ]
δt + ut (δu − τt ) − u2t τu − ux ξt − ut ux ξu + u (δx + ux (δu − ξx ) − ut τx −
−ut ux τu − u2x ξu + ux δ − ρ−2 (1 − aσ) (Pρ ρx + Pσ σx )α − aρ−1 (Pρ ρx + Pσ σx )β+
+ρ−1 (1 − aσ) Pρ (αx + ρx (αρ − ξx ) − ρt τx − ρt ρx τρ − ρ2x ξρ ) + ρ−1 (1 − aσ) Pσ ×
× βx + σx (βσ − ξx ) − σt τx − σt σx τσ − σx2 ξσ + ρ−1 (1 − aσ) Pρρ ρx α+
+ρ−1 (1 − aσ) Pρσ ρx β + ρ−1 (1 − aσ) Pρσ σx α + ρ−1 (1 − aσ) Pσσ σx β−
−bρ−2 σ(u − v)α + bρ−1 (u − v)β + bρ−1 σ(δ − γ)
= 0,
(1.11)
[F ]
γt + vt (γv − τt ) − vt2 τv − vx ξt − vt vx ξv + v (γx + vx (γv − ξx ) − vt τx − vt vx τv −
41
Групповая классификация системы уравнений механики двухфазной среды
−vx2 ξv + vx γ + aPρ (αx + ρx (αρ − ξx ) − ρt τx − ρt ρx τρ − ρ2x ξρ ) + aPσ (βx +
+σx (βσ − ξx ) − σt τx − σt σx τσ − σx2 ξσ )+
+aPρρ ρx α + aPρσ ρx β + aPρσ σx α + aPσσ σx β − b(δ − γ)
= 0.
(1.12)
[F ]
Из уравнений (1.1)–(1.4) выразим производные по t через остальные величины:
ρt = −ρx u − ux ρ,
σt = −σx v − vx σ,
ut = −uux − ρ−1 (1 − aσ)(Pρ ρx + Pσ σx ) − bρ−1 σ(u − v),
vt = −vvx − a(Pρ ρx + Pσ σx ) + b(u − v).
Сделаем соответствующую замену в уравнениях (1.9)–(1.12) и, получив искомые
сужения, запишем систему уравнений
αt − (ρx u + ux ρ)(αρ − τt ) − (ρ2x u2 + u2x ρ2 + 2ρuρx ux )τρ − ρx ξt + (ρx u + ux ρ)ρx ξρ +
+u(αx + ρx (αρ − ξx ) + (ρx u + ux ρ)τx + (ρx u + ux ρ)ρx τρ − ρ2x ξρ ) + ρx δ+
+ρ(δx + ux (δu − ξx ) + uux + ρ−1 (1 − aσ)(Pρ ρx + Pσ σx ) + bρ−1 σ(u − v) τx +
+ uux + ρ−1 (1 − aσ)(Pρ ρx + Pσ σx ) + bρ−1 σ(u − v) ux τu − u2x ξu ) + ux α = 0,
βt − (σx v + vx σ)(βσ − τt ) − (σx2 v 2 + vx2 σ 2 + 2σvσx vx )τσ − σx ξt + (σx v + vx σ)σx ξσ +
+v(βx + σx (βσ − ξx ) + (σx v + vx σ)τx + (σx v + vx σ)σx τσ − σx2 ξσ ) + σx γ+
+σ(γx + vx (γv − ξx ) + (vvx + aPρ ρx + aPσ σx − b(u − v))τx +
+(vvx + aPρ ρx + aPσ σx − b(u − v))vx τv − vx2 ξv ) + vx β = 0,
δt − (uux + ρ−1 (1 − aσ)(Pρ ρx + Pσ σx ) + bρ−1 σ(u − v))(δu − τt )−
− u2 u2x + ρ−2 (1 − aσ)2 (Pρ2 ρ2x + Pσ2 σx2 + 2Pρ Pσ ρx σx ) + b2 ρ−2 σ 2 (u − v)2 +
+2ρ−1 (1 − aσ)uux (Pρ ρx + Pσ σx ) + 2bρ−1 σ(u − v)uux +
+2bρ−2 (1 − aσ) σ(u − v)(Pρ ρx + Pσ σx )) τu − ux ξt + (uux + ρ−1 (1 − aσ)(Pρ ρx + Pσ σx )+
+bρ−1 σ(u − v))ux ξu + u(δx + ux (δu − ξx ) + (uux + ρ−1 (1 − aσ)(Pρ ρx + Pσ σx )+
+bρ−1 σ(u − v))τx + (uux + ρ−1 (1 − aσ)(Pρ ρx + Pσ σx ) + bρ−1 σ(u − v))ux τu − u2x ξu )+
+ux δ − ρ−2 (1 − aσ) (Pρ ρx + Pσ σx )α − aρ−1 (Pρ ρx + Pσ σx )β+
+ρ−1 (1 − aσ) Pρ (αx + ρx (αρ − ξx ) + (ρx u + ux ρ)τx + (ρx u + ux ρ)ρx τρ − ρ2x ξρ )+
+ρ−1 (1 − aσ) Pσ (βx + σx (βσ − ξx ) + (σx v + vx σ)τx + (σx v + vx σ)σx τσ − σx2 ξσ )+
+ρ−1 (1 − aσ) Pρρ ρx α + ρ−1 (1 − aσ) Pρσ ρx β+
+ρ−1 (1 − aσ) Pρσ σx α + ρ−1 (1 − aσ) Pσσ σx β − bρ−2 σ(u − v)α + bρ−1 (u − v)β+
42
А. В. Панов
+bρ−1 σ(δ − γ) = 0,
γt − (vvx + a(Pρ ρx + Pσ σx ) − b(u − v))(γv − τt ) − (v 2 vx2 + a2 (Pρ2 ρ2x +
+Pσ2 σx2 + 2Pρ Pσ ρx σx ) + b2 (u − v)2 + 2avvx (Pρ ρx + Pσ σx ) − 2bvvx (u − v)−
−2ab(Pρ ρx + Pσ σx )(u − v))τv − vx ξt + (vvx + a(Pρ ρx + Pσ σx ) − b(u − v))vx ξv
+v(γx + vx (γv − ξx ) + (vvx + a(Pρ ρx + Pσ σx ) − b(u − v))τx + (vvx + a(Pρ ρx + Pσ σx −
−b(u − v))vx τv − vx2 ξv ) + vx γ + aPρ (αx + ρx (αρ − ξx ) + (ρx u + ux ρ)τx + (ρx u + ux ρ)
ρx τρ − ρ2x ξρ ) + aPσ (βx + σx (βσ − ξx ) + (σx v + vx σ)τx + (σx v + vx σ)σx τσ − σx2 ξσ )+
+aPρρ ρx α + aPρσ ρx β + aPρσ σx α + aPσσ σx β − b(δ − γ) = 0.
Получилось равенство нулю четырех многочленов от свободных переменных ρx , σx , ux , vx . Приравняем к нулю коэффициенты этих многочленов и получим переопределенную систему линейных дифференциальных уравнений первого
порядка относительно функций τ , ξ, α, β, δ, γ, зависящих от переменных t, x, ρ,
σ, u, v:
αt + uαx + ρδx + bσ(u − v)τx = 0,
uτt − ξt − uξx + u2 τx + δ + (1 − aσ)Pρ τx = 0,
(1.13)
−ραρ + ρτt + 2ρuτx + ρδu − ρξx + bσ(u − v)τu + α = 0,
−ρτρ + uτu − ξu = 0,
−uτρ + ξρ + ρ−1 (1 − aσ)Pρ τu = 0,
Pσ τx = 0,
Pσ τu = 0;
(1.14)
βt + vβx + σγx − bσ(u − v)τx = 0,
vτt − ξt − vξx + v 2 τx + γ + aσPσ τx = 0,
(1.15)
−σβσ + στt + 2σvτx + σγv − σξx − bσ(u − v)τv + β = 0,
−στσ + vτv − ξv = 0,
−vτσ + ξσ + aPσ τv = 0,
Pρ τx = 0,
Pρ τv = 0;
(1.16)
δt − bρ−1 σ(u − v)δu + bρ−1 σ(u − v)τt − b2 ρ−2 σ 2 (u − v)2 τu + uδx +
+bρ−1 σu(u − v)τx + ρ−1 (1 − aσ)Pρ αx + ρ−1 (1 − aσ)Pσ βx − bρ−2 σ(u − v)α+
+bρ−1 (u − v)β + bρ−1 σ(δ − γ) = 0,
uτt − bρ−1 σu(u − v)τu − ξt + bρ−1 σ(u − v)ξu − uξx +
+u2 τx + δ + (1 − aσ)Pρ τx = 0,
(1.17)
−(1 − aσ)Pρ δu + (1 − aσ)Pρ τt − 2bρ−1 σ(1 − aσ)Pρ (u − v)τu + 2(1 − aσ)Pρ uτx −
−ρ−1 (1 − aσ)Pρ α − aPρ β + (1 − aσ)Pρ αρ − (1 − aσ)Pρ ξx + (1 − aσ)Pρρ α+
43
Групповая классификация системы уравнений механики двухфазной среды
+(1 − aσ)Pρσ β = 0,
−(1 − aσ)Pσ δu + (1 − aσ)Pσ τt − 2bρ−1 σ(1 − aσ)Pσ (u − v)τu +
+(1 − aσ)Pσ uτx − ρ−1 (1 − aσ)Pσ α − aPσ β + (1 − aσ)Pσ βσ −
−(1 − aσ)Pσ ξx + (1 − aσ)Pσ vτx + (1 − aσ)Pρσ α + (1 − aσ)Pσσ β = 0,
Pρ −ρ−1 (1 − aσ)Pρ τu + uτρ − ξρ = 0,
Pσ −ρ−1 (1 − aσ)Pσ τu + vτσ − ξσ = 0,
Pρ Pσ τu = 0,
Pρ (−uτu + ξu + ρτρ ) = 0,
Pσ (−uτu + ξu ) = 0,
Pσ τx = 0,
Pσ τσ = 0;
(1.18)
γt + b(u − v)γv − b(u − v)τt − b2 (u − v)2 τv + vγx − b(u − v)vτx −
−b(δ − γ) + aPρ αx + aPσ βx = 0,
vτt + b(u − v)vτv − ξt − b(u − v)ξv − vξx + v 2 τx + γ + aσPσ τx = 0,
(1.19)
−Pρ γv + Pρ τt + 2bPρ (u − v)τv + Pρ (u + v)τx + Pρ αρ − Pρ ξx + Pρρ α + Pρσ β = 0,
−Pσ γv + Pσ τt + 2bPσ (u − v)τv + 2Pσ vτx + Pσ βσ − Pσ ξx + Pρσ α + Pσσ β = 0,
Pρ (aPρ τv − uτρ + ξρ ) = 0,
Pσ (aPσ τv − vτσ + ξσ ) = 0,
Pρ Pσ τv = 0,
Pρ (ξv − vτv ) = 0,
Pσ (ξv − vτv + στσ ) = 0,
Pρ τx = 0,
Pρ τρ = 0.
(1.20)
Уравнения называются определяющими, поскольку служат для непосредственного вычисления упомянутых функций, а значит, и генераторов допускаемых
исходной системой уравнений групп преобразований.
Упростим систему определяющих уравнений. Используя уравнения (1.14),
(1.16), (1.18), (1.20), а также подстановку уравнений (1.13) и (1.15) в уравнения
(1.17) и (1.19) соответственно, получим систему
αt + uαx + ρδx + bσ(u − v)τx = 0,
uτt − ξt − uξx + u2 τx + δ = 0,
−ραρ + ρτt + 2ρuτx + ρδu − ρξx + bσ(u − v)τu + α = 0,
−ρτρ + uτu − ξu = 0,
−uτρ + ξρ + ρ−1 (1 − aσ)Pρ τu = 0,
Pσ τx = 0,
Pσ τu = 0;
(1.21)
44
А. В. Панов
βt + vβx + σγx − bσ(u − v)τx = 0,
vτt − ξt − vξx + v 2 τx + γ = 0,
−σβσ + στt + 2σvτx + σγv − σξx − bσ(u − v)τv + β = 0,
−στσ + vτv − ξv = 0,
(1.22)
−vτσ + ξσ + aPσ τv = 0,
Pρ τx = 0,
Pρ τv = 0;
δt − bρ−1 σ(u − v)δu + bρ−1 σ(u − v)τt − b2 ρ−2 σ 2 (u − v)2 τu +
+uδx + bρ−1 σu(u − v)τx + ρ−1 (1 − aσ)Pρ αx + ρ−1 (1 − aσ)Pσ βx −
−bρ−2 σ(u − v)α + bρ−1 (u − v)β + bρ−1 σ(δ − γ) = 0,
−uτu + ξu = 0,
(1.23)
−(1 − aσ)Pρ δu + (1 − aσ)Pρ τt − 2bρ−1 σ(1 − aσ)Pρ (u − v)τu −
−ρ−1 (1 − aσ)Pρ α − aPρ β + (1 − aσ)Pρ αρ − (1 − aσ)Pρ ξx + (1 − aσ)Pρρ α+
+(1 − aσ)Pρσ β = 0,
−(1 − aσ)Pσ δu + (1 − aσ)Pσ τt − ρ−1 (1 − aσ)Pσ α − aPσ β+
+(1 − aσ)Pσ βσ − (1 − aσ)Pσ ξx + (1 − aσ)Pρσ α + (1 − aσ)Pσσ β = 0,
Pρ −ρ−1 (1 − aσ)Pρ τu + uτρ − ξρ = 0,
Pσ ξσ = 0,
Pσ ξu = 0,
(1.24)
(1.25)
Pσ τσ = 0;
γt + b(u − v)γv − b(u − v)τt − b2 (u − v)2 τv + vγx −
−b(u − v)vτx − b(δ − γ) + aPρ αx + aPσ βx = 0,
vτv − ξv = 0,
(1.26)
−Pρ γv + Pρ τt + Pρ αρ − Pρ ξx + Pρρ α + Pρσ β = 0,
−Pσ γv + Pσ τt + 2bPσ (u − v)τv + Pσ βσ − Pσ ξx + Pρσ α + Pσσ β = 0,
Pρ ξρ = 0,
(1.27)
Pσ (aPσ τv + ξσ ) = 0,
(1.28)
Pρ ξv = 0,
(1.29)
Pρ τρ = 0.
Из уравнения (1.23) следует, что (1.21) имеет вид τρ = 0, а из (1.22), (1.26),
что τσ = 0. В силу (1.24), (1.27), (1.29) Pρ τu = 0, из (1.25) и (1.28) следует, что
Pσ τv = 0.
Учитывая все вышесказанное, получим систему уравнений
τρ = 0,
τσ = 0,
ξρ = 0,
ξσ = 0,
(1.30)
Pρ τx = 0,
Pρ τu = 0,
Pρ τv = 0,
Pρ ξv = 0,
(1.31)
Pσ τx = 0,
Pσ τu = 0,
Pσ τv = 0,
Pσ ξu = 0,
(1.32)
Групповая классификация системы уравнений механики двухфазной среды
ξu − uτu = 0,
ξv − vτv = 0,
45
(1.33)
αt + uαx + ρδx + bσ(u − v)τx = 0,
(1.34)
uτt − ξt − uξx + u2 τx + δ = 0,
(1.35)
−ραρ + ρτt + 2ρuτx + ρδu − ρξx + bσ(u − v)τu + α = 0,
(1.36)
βt + vβx + σγx − bσ(u − v)τx = 0,
(1.37)
vτt − ξt − vξx + v 2 τx + γ = 0,
(1.38)
−σβσ + στt + 2σvτx + σγv − σξx − bσ(u − v)τv + β = 0,
(1.39)
ρδt − bσ(u − v)δu + bσ(u − v)τt − b2 ρ−1 σ 2 (u − v)2 τu +
+ρuδx + bσu(u − v)τx + (1 − aσ)Pρ αx + (1 − aσ)Pσ βx −
−bρ−1 σ(u − v)α + b(u − v)β + bσ(δ − γ) = 0,
(1.40)
−Pρ δu + Pρ τt − ρ−1 Pρ α − a(1 − aσ)−1 Pρ β + Pρ αρ −
−Pρ ξx + Pρρ α + Pρσ β = 0,
(1.41)
−Pσ δu + Pσ τt − ρ−1 Pσ α − a(1 − aσ)−1 Pσ β + Pσ βσ −
−Pσ ξx + Pρσ α + Pσσ β = 0,
(1.42)
γt + b(u − v)γv − b(u − v)τt − b2 (u − v)2 τv + vγx −
−b(u − v)vτx − b(δ − γ) + aPρ αx + aPσ βx = 0,
(1.43)
−Pρ γv + Pρ τt + Pρ αρ − Pρ ξx + Pρρ α + Pρσ β = 0,
(1.44)
−Pσ γv + Pσ τt + Pσ βσ − Pσ ξx + Pρσ α + Pσσ β = 0.
(1.45)
Если Pρ2 + Pσ2 6= 0, то в силу (1.30)–(1.33) τ = τ (t), ξ = ξ(t, x). Вычтем из
(1.42) равенство (1.45), если Pσ 6= 0, и получим, что
γv − δu − ρ−1 α − a(1 − aσ)−1 β = 0.
(1.46)
Если Pσ = 0, то Pρ 6= 0 и равенство (1.46) получится после вычитания из равенства (1.41) равенства (1.44). Из (1.35) и (1.38) следует, что δu = γv = ξx − τ ′ ,
(1 − aσ)α + aρβ = 0.
Из (1.36), (1.39) вытекает, что α = ρC(t, x, u, v, σ), β = σD(t, x, u, v, ρ).
Тогда (1 − aσ)C(t, x, u, v, σ) + aσD(t, x, u, v, ρ) = 0. Следовательно, Dρ = 0
и D = D(t, x, u, v), −aC + (1 − aσ)Cσ = 0 и C = (1 − aσ)−1 E(t, x, u, v). В этом
случае E(t, x, u, v) + aσD(t, x, u, v) = 0. Таким образом, E = D = α = β ≡ 0.
Из (1.34) и (1.35) следует, что 0 = δx = ξtx + uξxx , ξtx = ξxx = 0. Поэтому
ξ(t, x) = Ax + B(t), δ = B ′ (t) + u(A − τ ′ (t)), γ = B ′ (t) + v(A − τ ′ (t)).
Из (1.44) при Pρ 6= 0 или из равенства (1.45) в противном случае следует, что τ ′ = ξx = A, τ = At + C, δ = γ = B ′ (t). Тогда равенство (1.43) влечет B ′′ (t) − b(u − v)A = 0, поэтому A = 0, B = Dt + E, τ = C, ξ = Dt + E,
δ = γ = D. Оставшиеся равенства будут выполняться автоматически. Таким образом, решение определяющей системы уравнений не зависит от вида функции
P = P (ρ, σ) при условии, что она непостоянна.
46
А. В. Панов
Выбирая одну из констант полученного решения системы определяющих уравнений равной единице, а остальные равными нулю, получим базис
{X1 , X2 , X3 } основной алгебры Ли системы (1.1)–(1.4). Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 1. При любой непостоянной функции P = P (ρ, σ) операторы
X1 =
∂
,
∂t
X2 =
∂
,
∂x
X3 = t
∂
∂
∂
+
+
∂x ∂u ∂v
образуют базис алгебры Ли L3 системы уравнений (1.1)–(1.4).
2. Оптимальные системы подалгебр основной алгебры Ли
В групповом анализе дифференциальных уравнений важную роль играют
оптимальные системы подалгебр алгебры Ли. Например, для поиска существенно
различных инвариантных решений необходимо знать данные системы подалгебр
[2; 4].
Найдем оптимальные системы одномерных и двумерных подалгебр основной алгебры Ли L3 .
Любой элемент X алгебры Ли L3 может быть записан в виде
X = e1 X1 + e2 X2 + e3 X3 ,
где операторы X1 , X2 , X3 из теоремы 1, а e1 , e2 , e3 — координаты вектора X
в данном базисе. Посчитаем коммутаторы базисных элементов [Xα , Xβ ] = cγαβ Xγ ,
α, β = 1, 2, 3, (здесь и далее суммирование повторяющихся в выражении индексов предполагается по умолчанию) и получим таблицу коммутаторов
[Xα , Xβ ]
X1
X1
0
X2
0
X3
X2
X2
0
0
0
X3
−X2
0
0
Используя, например, классификацию из [5], получим следующий результат.
Утверждение. Алгебра L3 является трехмерной нильпотентной неразложимой алгеброй A3.3 (в классификации разрешимых алгебр).
Не равны нулю только структурные константы c213 = 1, c231 = −1. Применяя
формулу
∂
Eα = cγβα eβ γ ,
∂e
построим инфинитезимальные генераторы внутренних автоморфизмов:
E1 = −e3
∂
1 ∂
,
E
=
e
.
3
∂e2
∂e2
Групповая классификация системы уравнений механики двухфазной среды
47
Данные генераторы порождают следующие два семейства однопараметрических
преобразований координат:
ē1 = e1 , ē2 = e2 − a1 e3 , ē3 = e3 , a1 ∈ R,
(2.1)
ē1 = e1 , ē2 = e2 + a2 e1 , ē3 = e3 , a2 ∈ R.
(2.2)
Для того чтобы найти оптимальную систему Θ1 одномерных подалгебр,
разложим векторы e = (e1 , e2 , e3 ) на классы эквивалентности, соответствующие заданному формулами (2.1) и (2.2) отношению эквивалентности. Из вида
преобразований ясно, что если e1 = e3 = 0, то вектор с координатами (0, e2 , 0)
не изменится. С другой стороны, когда хотя бы одна из координат, первая или
последняя, не равна нулю, мы не сможем получить вектор (0, e2 , 0). Значит, одномерная подалгебра с базисным вектором (0, 1, 0) входит в систему оптимальных
подалгебр.
Пусть e1 6= 0, e3 = 0, тогда вектор с координатами (e1 , e2 , 0) можно преобразовать в вектор (e1 , 0, 0) с помощью преобразования (2.2). Поэтому подалгебра
с базисом (1, 0, 0) также будет представителем класса подобных подалгебр.
В случае e1 = 0, e3 6= 0 мы получим еще один класс, представителем которого в силу преобразования (2.1) можно взять подалгебру с базисным вектором
(0, 0, 1).
Когда e1 6= 0, e3 6= 0, вектор (e1 , e2 , e3 ) можно перевести в вектор с координатами (e1 , 0, e3 ) и взять в данном случае подалгебру с базисным вектором
e3
(1, 0, c), c = 1 .
e
Теорема 2. Оптимальная система Θ1 одномерных подалгебр основной алгебры
Ли L3 состоит из подалгебр с базисными векторами
X2 ,
X3 ,
X1 + cX3 ,
c ∈ R.
При построении оптимальной системы двумерных подалгебр берется базисный вектор из системы Θ1 и ищутся векторы, с точностью до преобразований
(2.1), (2.2) образующие в совокупности с данным вектором базисы двумерных
подалгебр [2].
Возьмем вектор X1 и произвольный вектор X = e2 X2 + e3 X3 , рассмотрим
два случая: e3 = 0 и e3 6= 0. Пусть e3 = 0, тогда коммутатор [X1 , e2 X2 ] = 0
и векторы X1 , X2 образуют двумерную подалгебру < X1 , X2 >. Пусть e3 6= 0,
тогда в векторе X можно сделать e2 = 0, при этом вектор X1 перейдет в X1 −e2 X2
и коммутатор [X1 − e2 X2 , e3 X3 ] = e3 X2 . Для того чтобы векторы образовывали
подалгебру, должны существовать α, β ∈ R такие, что e3 X2 = α(X1 − e2 X2 )+
+βX3 . Но в силу линейной независимости векторов X1 , X2 , X3 имеем α = β = 0
и, следовательно, e3 X2 = 0. Чего не может быть, т. к. e3 6= 0. А значит, пара
векторов X1 , X подалгебры не образует.
Возьмем следующий вектор X2 из системы Θ1 , тогда [X2 , e1 X1 + e3 X3 ] = 0.
В данном случае множество двумерных неподобных подалгебр можно записать
в виде hX2 , X3 i, hX2 , X1 + cX3 i, рассмотрев случаи e1 = 0 и e1 6= 0. Заметим при
48
А. В. Панов
этом, что последнему случаю при c = 0 соответствует найденная выше подалгебра hX1 , X2 i.
Возьмем векторы X3 , e1 X1 +e2 X2 , тогда [X3 , e1 X1 +e2 X2 ] = −e1 X2 . Для того
чтобы эти векторы образовывали базис подалгебры, необходимо, чтобы −e1 X2 =
αX3 + β (e1 X1 + e2 X2 ). Отсюда α = 0, βe1 = 0, βe2 = −e1 . Если β = 0, то
e1 = 0, и получим подалгебру hX2 , X3 i. Иначе, если β 6= 0, получим e1 = 0
и, следовательно, e2 = 0. Поэтому двумерная подалгебра данному случаю не
соответствует.
Рассмотрим подространства с базисными векторами X1 + cX3 , e2 X2 + e3 X3 .
Коммутатор [X1 + cX3 , e2 X2 + e3 X3 ] = e3 X2 должен быть равен выражению
α (X1 + cX3 ) + β (e2 X2 + e3 X3 ) при некоторых константах α, β. Получим α = 0,
βe3 = 0, βe2 = e3 . Если β = 0, то e3 = 0 и получена найденная выше подалгебра
hX2 , X1 + cX3 i. В противном случае двумерных подалгебр не будет.
Теорема 3. Оптимальная система Θ2 двумерных подалгебр основной алгебры
Ли L3 состоит из подалгебр
hX2 , X3 i,
hX2 , X1 + cX3 i,
c ∈ R.
3. Заключение
В работе проведен групповой анализ одномерной по пространственным переменным системы уравнений механики двухфазной среды. Исследование показало, что алгебра Ли данной системы при любом значении свободного элемента
P не меняется и является трехмерной. Ее базисным элементам соответствуют
две тривиальные группы переноса вдоль координатных осей и одна группа галилеевских преобразований. Для упомянутой алгебры Ли найдены оптимальные
системы одномерных и двумерных подалгебр.
В дальнейшем результаты работы будут использованы для поиска инвариантных и частично инвариантных решений исследуемой системы уравнений.
Список литературы
1. Яненко, Н. Н. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной
неравновесности частиц / Н. Н. Яненко [и др.]. — Новосибирск : Наука, 1980. —
160 с.
2. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 399 с.
3. Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. — М. : Наука, 1983.
4. Аннин, Б. Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности /
Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенашов. — Новосибирск : Наука, 1985.
5. Лагно, В. И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа / В. И. Лагно, C. В. Спичак, В. И. Стогний. — М. ; Ижевск : Ин-т компьютер. исслед.,
2004.
