Вычислительная математика - Томский государственный

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
ПРИМЕРНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине Вычислительная математика
Экономический факультет
Профилирующая кафедра ЭМИС
2009
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью данного учебного курса является изучение основ вычислительных методов и
приобретение студентами навыков применения численных методов к решению конкретных
задач. В результате изучения курса студент должен уметь осуществлять выбор численных
методов в соответствии с особенностями решаемой задачи, выполнять алгоритмизацию метода и оценить погрешность вычислений. Приобретенные студентами навыки и знания могут
быть использованы в процессе дальнейшего обучения при выполнении курсовых и дипломных проектов.
При изучении курса необходимо освоение студентами курсов «Математический анализ» и «Алгебраические языки и программирование».
Лабораторные работы должны помочь студенту получить практические навыки в
применении численных методов к решению различных задач с использованием пакета
Matlab.
2. Содержание дисциплины
2.1. ЛЕКЦИИ
Лекция 1. Введение
Предмет вычислительной математики. Использование компьютера для познания законов реального мира и применения познанных законов в практической деятельности. Примеры реальных процессов, математическое описание которых приводит к необходимости применения вычислительной математики. Требования, предъявляемые к алгоритмам (устойчивость, сложность). Роль компьютера в исследовании сложных математических моделей.
Диалоговый режим в вычислительном эксперименте. Математические программные системы.
Лекция 2. Вычислительные погрешности
Проблема погрешностей в вычислительной математике. Погрешность модели, алгоритма, входных данных, вычислительного процесса. Источники и классификация погрешностей. Относительная и абсолютная погрешности. Обратная задача теории погрешностей. Погрешность числа, заданного с верными знаками. Погрешность элементарных вычислительных операций. Общий подход к оценке погрешности вычислительного алгоритма.
Лекция 3-6. Приближение функций
Рассматриваются общие методы приближения функций, алгебраическое интерполирование, основные представления интерполяционного многочлена, многочлены Чебышева,
остаточный член многочлена, минимизация остаточного члена, приближение функций
сплайнами, метод МНК, многомерное интерполирование, равномерное приближение функций. Преобразование Фурье. Конечные разности и их свойства, интерполяционные многочлены для интерполирования в начале таблицы, конце таблицы и в средине таблицы. Остаточные члены интерполяционных формул, оценки погрешности метода и неустранимой погрешности. Вычисление производных с использованием интерполяционных многочленов.
Лекция 7-8. Численное интегрирование
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Погрешность методов. Принцип Рунге. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. Метод ячеек вычисления кратных интегралов.
Лекция 9-10. Решение нелинейных уравнений
Численные методы решения скалярных уравнений и систем нелинейных уравнений.
Метод простой итерации, метод Ньютона. Геометрические иллюстрации методов. Условия
сходимости итерационных процедур. Модификации основных методов решения уравнений.
Метод решения нелинейных уравнений путем сведения к оптимизационным задачам.
Лекция 11-12. Численные методы решения задач линейной алгебры
Обусловленность и устойчивость систем. Классификация методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса, выбор главного элемента. Алгоритмизация метода Гаусса. Метод прогонки. Метод простой итерации. Оценка погрешности. Вычисление определителей, вычисление обратной матрицы.
Лекция 13-14. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Классификация дифференциальных уравнений. Задача Коши и методы ее решения.
Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка. Геометрические иллюстрации методов. Оценки погрешностей. Автоматический выбор шага. Метод Адамса. Численное решение
задачи Коши для систем дифференциальных уравнений.
Лекция 15-16. Решение краевых задач
Граничные и краевые задачи. Классификация задач. Метод стрельбы. Методы конечных разностей. Проекционные методы. Метод коллокации и Галеркина. Погрешности методов.
2.2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
Лабораторная работа 1. Алгоритмизация вычислительных процессов с использованием интегрированного пакета прикладных программ Matlab на простейших примерах
Лабораторная работа 2. Метод наименьших квадратов.
Лабораторная работа 3. Численное дифференцирование.
Лабораторная работа 4. Численное интегрирование.
Лабораторная работа 5. Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения.
Лабораторная работа 6. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Лабораторная работа 7. Численное решение дифференциальных уравнений методом
Рунге-Кутта.
Лабораторная работа 8. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.
2.3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
1. Анализ погрешностей вычислений.
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
3. Интерполяционный многочлен Ньютона.
4. Анализ погрешностей при интерполировании
5. Методы интерполирования при равноотстоящих узлах.
6. Анализ устойчивости метода простой итерации для решения нелинейного уравнения.
7. Анализ устойчивости итерационных методов решения систем линейных
уравнений.
8. Исследование на устойчивость алгоритмов численного решения
уравнений параболического типа.
2.4. Самостоятельная работа
№№ Наименование работы
п.п
1.
Подготовка к лабораторным работам
2.
Подготовка к лекциям
3.
4.
Самостоятельное изучение темы:
Вычисление интегралов с помощью
методов Монте-Карло. Минимизация
погрешности вычисления интеграла.
Вычисление кратных интегралов.
Выполнение двух индивидуальных
заданий
Форма контроля
Защита отчетов
5 минутный опрос в начале
лекции, коллоквиумы
Конспект
Защита отчетов
3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Основная литература:
1.
2.
Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения).
М.: Высшая школа, 2000.
Вержбицкий В.М. Основы численных методов М.: Высшая школа, 2005.
Дополнительная литература:
1. Бабак Л.И. Вычислительные методы. Ч.1. Томск: ТУСУР, 2003.
2. Черкашин М.В., Бабак Л.И. Вычислительные методы. Ч.2. Томск: ТУСУР, 2003.
3. Домбровский В.В., Смагин В.И. Интерполирование. Учебно-методическое пособие.
Томск: Изд-во ТГУ, 2006.
4. Решетникова Г.Н., Смагин В.И. Вычисление интегралов. Учебно-методическое пособие. Томск: Изд-во ТГУ, 1999.
5. Смагин В.И., Решетникова Г.Н. Численные методы. Учебное пособие. Томск: Издво ТГУ, 2008.
6. Смагин В.И. Матлаб и система Simulink. Учебное пособие. Томск: ТУСУР, 2006.
БАЛЬНО-РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА
Максимальный рейтинг за семестр 100 балов.
Таб. 1. Пересчет итоговой суммы баллов в традиционную и международную оценку
Итоговая сумма баллов, учитывает
Оценка (ГОС)
Оценка (ECTS)
успешно сданный экзамен
5 (отлично)
А (отлично)
90 - 100
В (очень хорошо)
85 – 89
4 (хорошо)
С (хорошо)
75 – 84
70 - 74
D (удовлетворительно)
65 – 69
3 (удовлетворительно)
E (посредственно)
60 - 64
2 (неуд.)
F (неуд.)
Ниже 60 баллов
Таб.2. Дисциплина – Вычислительная математика (экзамен, лекции, практ. и лаб. занятия)
Элементы учебной деятельности
Посещение занятий
Тестовый контроль
Контрольные работы на практических занятиях
Выполнение и защита результатов лабораторных работ
Коллоквиумы
Компонент своевременности
Итого максимум за период:
Сдача экзамена (максимум)
Нарастающим итогом
Максимальный
балл на 1-ую КТ
с начала семестра
3
4
Максимальный
балл за период
между 1КТ и
2КТ
3
4
Максимальный
балл за период
между 2КТ и на
конец семестра
3
4
4
4
4
12
5
5
5
15
4
20
5
4
25
5
4
25
20
45
70
10
12
70
30
100
Всего за
семестр
9
12
Компонент своевременности – элемент, стимулирующий ритмичность работы в течение семестра. Выставляется только студентам, которые без опоздания отчитываются по предусмотренным элементам контроля.
Неудовлетворительной сдачей экзамена считается экзаменационная составляющая менее 10 баллов. При
неудовлетворительной сдаче экзамена (<10 баллов) или неявке по неуважительной причине на экзамен экзаменационная составляющая приравнивается к нулю (0). В этом случае студент обязан пересдать экзамен.
В исключительных случаях, когда студент в течение семестра набрал не менее 65 баллов, баллы экзаменационной составляющей могут быть выставлены по усмотрению преподавателя без сдачи экзамена. Основанием для этого являются: а) сделанный на конференции доклад по тематике дисциплины; б) опубликованная или
представленная к печати статья по тематике дисциплины; в) эффективное участие(занятие призового места) в
предметной олимпиаде; г) победа на конкурсе студенческих работ по тематике дисциплины.