1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1 Цели дисциплины:

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1 Цели дисциплины:
Познакомить студентов с общими положениями разделов математики:
ряды, теории вероятностей и математической статистики, необходимыми для
решения теоретических и практических задач.
1.2 Задачи дисциплины:
- овладение фундаментальными понятиями, законами ТВиМС и раздела
«Ряды»;
- развитие умения строить математические модели реальных процессов;
- умение подобрать методы оценки построенной модели;
- развитие математической интуиции;
- воспитание математической культуры.
Выпускники высших инженерно - технических учебных заведений
должны:
- уметь ставить математические задачи;
- уметь строить математические модели;
- уметь подбирать подходящие математические методы и алгоритмы
решения задач;
- уметь проводить качественные математические исследования;
- уметь на основе проведенного математического анализа вырабатывать
практические рекомендации.
1.3
Пререквизиты дисциплины: Знание курса Математика-1,
Математика-2.
1.4 Постреквизиты дисциплины:
Теоретическая механика, физика, математическое обеспечение САПР.
2. СИСТЕМА ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ
2.1 Распределение рейтинга в % по видам контроля
Вид итогового контроля
Виды контроля
%
Экзамен
Итоговый контроль
Рубежный контроль
Текущий контроль
100
100
100
2.2 Календарный график сдачи всех видов контроля по дисциплине
«Математика-3»
Недели
Недельное
количество
контроля
Виды
контроля
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
1
11
1
12
1
13
1
14
1
15
1
СР И
С ИД КР РК АТ
И СР И
СР КР РК АТ-1 ДЗ
Р- З-2 -1
-1 -1
ДЗ
3 ДЗ
-4 2 -2
2
-1
2
-3
-4
Виды контроля: СР - самостоятельная работа, РК – рубежный контроль, ИДЗ –
индивидуальное домашнее задание, КР - контрольная работа, АТ – аттестация.
3
2.3 Оценка знаний студентов
Оценка
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
Буквенный
эквивалент
А
АВ+
В
ВС+
С
СD+
D
F
В процентах %
Цифровой
эквивалент
4
3,67
3,33
3,0
2,67
2,33
2,0
1,67
1,33
1,0
0
95-100
90-94
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
0-49
3 СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИЛИНЫ
3.1 Распределение часов по видам занятий
№
1
1
2
3
4
5
6
7
Наименование
темы
2
Числовые ряды. Основные понятие. Свойства
рядов. Необходимый признак сходимости
числовой ряда
Достаточные признаки сходимости
знакопостоянных рядов. Признаки сравнения
рядов. Признаки Даламбера, радикальный
признак Коши, интегральный признак Коши
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Признак Лейбница. Абсолютная и условная
сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно
сходящихся рядов
Функциональные ряды. Основные понятия.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и
радиус сходимости степенного ряда. Свойства
степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды. Ряды
Тейлора и Маклорена. Условие разложения
функции в ряд Тейлора
Приложения степенных рядов. Приближённое
вычисление значений функции. Приближённое
вычисление определённых интегралов.
Приближённое решение дифференциальных
уравнений
Элементы комбинаторики. Классификация
событий. Классическое и статистическое
определение вероятности. Теоремы сложения и
умножения вероятностей.
4
Количество академических часов
Лекция Практиче СРСП СРС
ские
3
4
5
6
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
8
2
Условная вероятность. Формула полной
вероятности. Формула Байеса. Повторения
испытаний. Формулы Бернулли, Пуассона,
Лапласа.
9
Дискретные случайные величины. Закон
распределения дискретных случайных величин.
Числовые характеристики.
10 Функция распределения случайной величины.
Непрерывные случайные величины и их
характеристики. Плотность вероятности и её
свойства.
11 Основные законы распределения. Биномиальный
закон распределения. Равномерный закон
распределения. Нормальный закон
распределения.
12 Задачи математической статистики. Основные
понятия. Статистические совокупности. Полином
и гистограмма
13 Оценки неизвестных параметров. Точечные
методы оценок
14 Понятие интервального оценивания параметров.
Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения.
15 Метод наименьших квадратов.
Всего часов:
3
1
4
2
5
3
6
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
15
2
30
3
45
3
45
3.2 Содержание лекций
1-лекция. Числовые ряды. Основные понятие
Определение числового ряда. Свойства рядов. Необходимый признак
сходимости числовой ряда.
2-лекция. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
Признаки сравнения рядов. Признаки Даламбера, радикальный признак Коши,
интегральный признак Коши.
3-лекция. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
4-лекция. Функциональные ряды. Степенные ряды
Определение функционального ряда. Определение степенного ряда.
Основные понятия. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного
ряда. Свойства степенных рядов.
5-лекция. Разложение функций в степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена. Условие разложения функции в ряд Тейлора.
Разложение в ряд Маклорена основных функций.
6-лекция. Приложения степенных рядов
5
Приближённое вычисление значений функции. Приближённое
вычисление
определённых
интегралов.
Приближённое
решение
дифференциальных уравнений.
7-лекция. Элементы комбинаторики. Пространство элементарных
событий. Классическая вероятность
Правила умножения и сложения. Размещения, сочетания, перестановки.
Пространство элементарных событий. Случайные события. Виды событий.
Операции над событиями. Формула классической вероятности.
8-лекция. Условная вероятность. Повторения испытаний
Определение условной вероятности. Теорема умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Формула
Бернулли. Локальная теорема Муавра-Лапласса. Интегральная формула
Лапласса, формула Пуассона.
9-лекция. Дискретные случайные величины
Понятие случайной величины. Респределение вероятностей дискретных
случайных величин. Числовые характеристики дискретных величин:
математическое ожидание, дисперсия.
10-лекция. Функция распределения случайной величины. Непрерывные
случайные величины и их характеристики
Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины.
Свойства. Плотность вероятности. Числовые характеристики непрерывных
случайных величин: математическое ожидание, дисперсия.
11-лекция. Основные законы распределения
Биномиальный закон распределения. Равномерный закон распределения.
Нормальный
закон
распределения.
Определение
показательного
распределения. Примеры.
12-лекция. Задачи математической статистики. Основные понятия
Гинеральная
и
выборочная
совокупности.
Способы
отбора.
Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
13-лекция. Оценки неизвестных параметров. Точечные методы оценок
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные,
состоятельные оценки. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия.
14-лекция.
Понятие
интервального
оценивания
параметров.
Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Понятие об интервальной оценки числовой характеристики случайной
величины. Интервальные оценки параметров нормального распределения:
математического ожидания, дисперсии, вероятности события.
15-лекция. Метод наименьших квадратов
Понятие функциональной, коррелякционной зависимости. Функция
регрессии. Линейная функция регрессии. Коэффициент корреляции. Метод
наименьших квадратов. Линейное уравнение регрессии.
3.3 Содержание практических занятий
1-занятие. Числовые ряды. Основные понятия
6
Вычисление суммы числового ряда по определению. Геометрический
ряд.
2-занятие. Признаки сходимости
Исследование сходимости знакопостоянных рядов с помощью
необходимого признака и признаков сравнения.
3-занятие. Знакочередующиеся ряды
Исследование сходимости знакочередующихся. Абсолютная и условная
сходимость рядов.
4-занятие. Степенные ряды
Нахождение области сходимости функциональных рядов. Отыскание
радиуса сходимости степенного ряда.
5-занятие. Разложение функций в степенные ряды
Табличные разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных
функций.
6-занятие. Приложение степенных рядов
Вычисление приближённых значений функций. Приближённое
вычисление определённых интегралов.
7-занятие. Элементы комбинаторики. Классическая вероятность. Теорема
сложения и умножения
Правила суммы и произведения. Сочетания, размещения, перестановки
без повторений, с повторениями. Формула классической вероятности. Условия
применения формулы. Применение понятия сочетания, размещения,
перестановки в формуле классической вероятности. Применение формулы
произведения вероятностей. Зависимые и независимые события.
8-занятие. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные
испытания
Группа событий. Формула полной вероятности, формула Байеса, условия
их применения. Определение схемы Бернулли. Применение формул Бернулли,
Лапласа, Пуассона. Условия их применения
9-занятие. Дискретные случайные величины. Их характеристики
Распределение вероятностей дискретной случайной величины.
Математическое ожидание, дисперсия. Их свойства.
10-занятие. Функция распределения вероятностей. Характеристики
непрерывной случайной величины.
Определение функции распределения вероятностей. Определение
непрерывной случайной величины. Мат. ожидания, дисперсия. Их свойства.
11-занятие. Нормальное распределение. Неравенство Чебышева. Закон
больших чисел
Стандартная запись нормального распределения. Математическое
ожидание, дисперсия при нормальном распределении. Применение неравенство
Чебышева. Проверка условий теорем, объединенных названием «Закон
больших чисел».
12-занятие. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма.
Построение статистического, вариационного ряда. Построение полигона
и гистограммы.
7
13-занятие. Оценки мат. ожидания и дисперсии. Точечные оценки
Смешенные и несмешанные оценки мат.ожидания и дисперсия. Методы
их вычисления. Метод максимального правдоподобия. Метод интервалов.
14-занятие. Доверительные интервалы
Построение доверительных интервалов для математического ожидания,
дисперсии, вероятности нормального распределения.
15-занятие. Метод наименьших квадратов
Построение прямой регрессии. Коэффициент корреляции. Алгоритм
вычисления коэффицентов прямой регрессии.
3.4 Содержание самостоятельной работы студентов (СРС)
1. Основные понятия теории знакоположительных рядов
2. Достаточные признаки сходимости
3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
4. Функциональные ряды
5. Разложение функций степенные ряды
6. Приложение степенных рядов
7. Пространство элементарных событий. Определения на «интуитивном
языке», «на языке» теории множеств. Действия над событиями. Модели
вероятностных пространств. Геометрическая и статистическая вероятности.
8. Понятие повторение испытаний. Условия применения теорем в схеме
Бернулли.
9.
Виды
распределений:
биномиальное,
гипергеометрическое,
распределение Пуассона.
10. Применения нормального закона распределения. Применение закона
больших чисел.
11. Применения показательного распределения, распределения
Стьюдента.
12. Способы отбора случайных величин. Анализ построенных полигона и
гистограммы.
13. Обоснование метода наибольшего правдоподобия. Вывод формул для
нахождения доверительных интервалов нормального распределения.
14. Общая схема проверки статистических гипотез.
15. Построение теоретического закона распределения по опытным
данным. Проверка гипотез о законе распределения.
3.5 Содержание СРСП
1. Числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.
2. Исследование сходимости числовых знакопостоянных рядов.
3. Исследование сходимости числовых знакопеременных рядов.
4. Исследование области сходимости функциональных рядов.
5. Разложение некоторых функций в степенные ряды.
6. Приближённое решение дифференциальных уравнений способом
неопределённых коэффициентов.
8
7. Алгоритм применения правил суммы, произведения. Формулы
вычисления числа сочетаний, размещений, перестановок
8. Схема применения формулы классической вероятности.
9. Применение формул суммы и произведения вероятностей
10. Алгоритмы применения формул полной вероятности, Байеса
11. Формула Бернулли. Теоремы Лапласа и Пуассона.
12. Распределение вероятностей дискретных случайных величин.
Мат.ожидание, дисперсия дискретных случайных величин.
13. Интегральная функция распределения вероятностей случайной
величины.
14. Нормальный закон распределения.
15. Построения вариационного ряда, полигона чястот, гистограмм,
графика функции распределения.
3.6 График проведения занятий
№ Дата
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Время
3
Наименование тем
4
Лекции
Числовые ряды. Основные понятие. Свойства рядов. Необходимый
признак сходимости числовой ряда
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.
Признаки сравнения рядов. Признаки Даламбера, радикальный
признак Коши, интегральный признак Коши
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства
абсолютно сходящихся рядов
Функциональные ряды. Основные понятия. Степенные ряды.
Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Свойства степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Условие разложения функции в ряд Тейлора
Приложения степенных рядов. Приближённое вычисление значений
функции. Приближённое вычисление определённых интегралов.
Приближённое решение дифференциальных уравнений
Элементы комбинаторики. Классификация событий. Классическое
и статистическое определение вероятности. Теоремы сложения и
умножения вероятностей.
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула
Байеса. Повторения испытаний. Формулы Бернулли, Пуассона,
Лапласа.
Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретных
случайных величин. Числовые характеристики.
Функция распределения случайной величины. Непрерывные
случайные величины и их характеристики. Плотность вероятности и
её свойства.
Основные законы распределения. Биномиальный закон
распределения. Равномерный закон распределения. Нормальный
закон распределения.
Задачи математической статистики. Основные понятия.
9
Статистические совокупности. Полином и гистограмма
Оценки неизвестных параметров. Точечные методы оценок
Понятие интервального оценивания параметров. Доверительные
интервалы для параметров нормального распределения.
Метод наименьших квадратов.
Практические занятия
Числовые ряды. Вычисление суммы числового ряда по
определению
13
14
15
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
Исследование сходимости знакопостоянных рядов с помощью
необходимого признака и признаков сравнения
Исследование сходимости знакочередующихся
Нахождение области сходимости функциональных рядов.
Отыскание радиуса сходимости степенного ряда
Разложение функций в степенные ряды. Табличные разложения в
ряд Маклорена некоторых элементарных функций
Приложение степенных рядов. Вычисление приближённых
значений функций. Приближённое вычисление определённых
интегралов
Элементы комбинаторики. Классическая вероятность. Теорема
сложения и умножения
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные
испытания
Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретных
случайных величин. Числовые характеристики
Функция
распределения
вероятностей.
Характеристики
непрерывной случайной величины
Нормальное распределение. Неравенство Чебышева. Закон больших
чисел
Статистическое распределение. Полигон и гистограмма
Оценки мат. ожидания и дисперсии. Точечные оценки
Доверительные интервалы
Метод наименьших квадратов
4. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
4.1 Основная литература
1. А.Ф. Бермант. Краткий курс математического анализа для втузов. – М.:
ФМ, 1963-295с.
2. Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айрис
пресс, 2004-608c.
3. А.П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике. Ч3. –
М.: Высшая школа, 2006-288с.
4. Л.А. Кузнецов. Сборник заданий по высшей математике. – М.: Высшая
школа, 1999-126с.
5. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М: Наука, 1976 - 287с.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М:
Высшая школа, 2001 - 479 с.
10
7. Солодовников А.С. Теория вероятностей. - М: Просвещение, 1983 207с.
8. Севастьяков Б.А. Курс теории вероятностей и математической
статистики. - М: Наука, 1982 - 255 с.
9. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. - М: Высшая школа, 1979 - 400с.
10. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам, высшей
математики. - М: Высшая школа, 1983 - 126с.
11. Бугланова Н.А., Жанбырбаева У.Б., Калижанова А.У. Учебное
пособие к дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». М: Алматы, КазНТУ, 1997 – 77с.
12. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике.
Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математическая статистика. –
М: Высшая школа, 2006 – 336с.
4.2 Дополнительная литература
13. И.И. Лехолетов, И.П.Мацкевич. «Руководство к решению задач по
высшей математике, теории вероятностей и математической статистике». –
Издательство «Вышэйшая школа», Минск, 1969-256с.
14. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М: Дрофа,
2002 – 335с.
15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М: Наука, 1971- 446с.
16. Гусак. А.А. Высшая математика. - М: Минск, Тетра Системс, Ч2, 2003
- 447с.
17. Крамер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М:
ЮНИТИ, 2007 - 551с.
18. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и
математическая статистика. – М: Наука, 1982 – 526с.
19. Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории
вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. - М:
«Просвещение», 1979 – 111с.
20. Под ред. Свешникова А.А. Сборник задач по теории вероятностей и
математической статистике. - М: Наука, 1965 - 632с.
21. Под ред. Ефимова А.В. Сборник задач по математике. Специальные
курсы. - М: Наука, 1984 - 607с.
11
Содержание
1.
Цели
и
задачи
дисциплины……………………………………………….
1.1
Цели
дисциплины…………………………………………………………..
1.2
Задачи
дисциплины…………………………………………………………
1.3
Пререквизты………………………………………………………………….
1.4
Постреквиты…………………………………………………………………
2.
Система
оценки
знаний……………………………………………………..
2.1
Распределение
рейтинговых
баллов
по
видам
контроля…………………
2.2.
График
сдачи
всех
видов
контроля...............................................................
2.3.
Оценка
знаний
студентов…………………………………………………..
3.
Содержание
дисциплины..................................................................................
3.1.
Распределение
часов
по
видам
занятий........................................................
3.2.
Содержание
лекций........................................................................................
3.3.
Содержание
практических
занятий...............................................................
3.4.
Содержание
СРС.............................................................................................
3.5.
Содержание
СРСП..........................................................................................
3.6.
График
проведения
занятий...........................................................................
4.
Учебно-методические
материалы
по
дисциплине..........................................
0
4.1.
Основные
учебно-методические
материалы................................................
0
4.2.
Дополнительные
учебно-методические
материалы
12
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
6
8
8
9
1
1
1
...................................
1
13