010102PK04 - Санкт-Петербургский государственный

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
УТВЕРЖДАЮ
Принята на заседании
кафедры прикладной кибернетики
Декан факультета,
профессор
Зав. кафедрой,
профессор
Г.А.Леонов
Г.А. Леонов
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
"Теория динамических систем"
Специальность – 01.01.02 «Дифференциальные уравнения,
динамические системы и оптимальное управление»
Санкт – Петербург
2013
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Основная задача курса — дать аспиранту общее представление о задачах и
методах теории динамических систем.
Целью курса является формирование понимания основ современной теории
динамических систем и развитие навыков самостоятельного научного исследования в
области теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем.
Слушатели курса должны овладеть теоретическими основами современных
методов исследования математических моделей, описывающих проблемы естествознания
и техники в виде систем дифференциальных уравнений и динамических систем.
Построение курса подразумевает постоянное акцентирование внимания аспирантов
на
общекультурном,
историческом
и
социальном
контексте
формирования
и
использования изучаемых математических понятий и методов. Курс теории динамических
систем дает аспиранту комплекс качественных и аналитических методов, позволяющих
создавать и исследовать динамику математических моделей в естествознании.
2. ОБЪЕМ КУРСА
Продолжительность обучения
Общая трудоемкость
Всего аудиторных занятий
из них: лекции
практические занятия
2 семестра (1-2 семестры)
40 часа
30 часа
20 часов
10 часов
Изучение дисциплины, формы контроля:
1 семестр:
лекции – 10 ч., экзамен;
2 семестр:
лекции – 10 ч., практические занятия – 10 ч.,
2 контрольные работы, зачет.
3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
РАЗДЕЛ 1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. АВТОНОМНЫЕ
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пространства динамических систем. Гиперболичность, структурная устойчивость
(грубость). Системы Морса-Смейла. Аксиома A.
Некоторые сведения из теории автономных систем дифференциальных уравнений.
Определение общей динамической системы.
Основная классификация движений и траекторий. Предельные множества
траекторий. Устойчивость по Лагранжу. Классификация траекторий по свойствам
предельных множеств.
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ-БЕНДИКСОНА
Векторное
поле,
индуцированное
динамической
системой
на
гладком
многообразии. Теория трансверсалей. "Прямоугольник" траекторий и его свойства.
Контур Бендиксона. Отсутствие замкнутых устойчивых по Пуассону траекторий на
жордановых многообразиях. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
Принцип кольца. Сосуществование замкнутых траекторий и точек покоя. Теорема
о еже.
Поведение траекторий в окрестности изолированной точки покоя (общая теория).
Классификация точек покоя. Продолжение траектории за состояние равновесия.
Уточнение структуры предельных множеств, содержащих незамкнутые траектории.
Теория циклов. Функция последования Пуанкаре. Связь неподвижных точек
функции последования с замкнутыми траекториями. Характеристический показатель
замкнутой траектории. Критерий ее устойчивости. Критерий Бендиксона отсутствия
замкнутых траекторий.
РАЗДЕЛ 3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение Льенара. Поведение и устойчивость его предельного цикла при
воздействии параметра. Уравнение Левинсона-Смита.
РАЗДЕЛ 4. ТРАЕКТОРИИ НА ТОРЕ
Число вращения. Зависимость природы числа вращения от наличия замкнутой
траектории. Поведение траекторий при рациональном и иррациональном числах
вращения. Теорема Данжуа.
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу
1. Пространства динамических систем.
2. Системы Морса-Смейла. Аксиома A.
3. Предельные множества траекторий.
4. Устойчивость по Лагранжу.
5. Классификация траекторий по свойствам предельных множеств.
6. Векторное
поле,
индуцированное
многообразии. Теория трансверсалей.
динамической
системой
на
гладком
7. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
8. Классификация точек покоя.
9. Теория циклов. Функция последования Пуанкаре.
10. Характеристический показатель замкнутой траектории.
11. Критерий Бендиксона отсутствия замкнутых траекторий.
12. Уравнение Льенара. Поведение и устойчивость его предельного цикла при
воздействии параметра.
13. Уравнение Левинсона-Смита.
14. Траектории на торе. Число вращения.
15. Зависимость природы числа вращения от наличия замкнутой траектории.
16. Поведение траекторий при рациональном и иррациональном числах вращения.
17. Теорема Данжуа.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория
динамических систем второго порядка. М.: Наука. 1967.
2. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций
динамических систем на плоскости. М.: Наука. 1967.
3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. 1984.
4. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.,
1954.
5. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая
школа. 1991 (с грифом Мин-ва).
6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. 1967.
7. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. М., 1958.
8. В.В.Немыцкий, В.В.Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений.
М. 1949.
9. З.Нитецки. Введение в дифференциальную динамику. М. 1975.
10. Ж.Палис, В. ди Мелу. Геометрическая теория динамических систем. М. 1986.
11. Пилюгин С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений. Л.
1988.
12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.
13. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с
периодическими коэффициентами. М. 1972.
Дополнительная
1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Наука. 1978.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
М. 1979.
3. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: «Лань»,
2011.
4. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации.
Монография. Издательство Ленинградского университета. Л. 1991.
5. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л. 1950.
6. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л. 1964.
7. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных
уравнений. М. 1977.
8. А.Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.
1947.
9. Рейзинь Л.Э. Локальная эквивалентность дифференциальных уравнений. Рига,
1971.
СОСТАВИТЕЛЬ:
Ю. В. Чурин,
доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных
уравнений.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Г.А.Леонов, член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий
кафедрой прикладной кибернетики;
А.Х.Гелиг, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической
кибернетики.