КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ Санкт-Петербургское государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Промышленно-экономический колледж» Заочное отделение Специальность 120714 Земельноимущественные отношения (номер КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 по дисциплине Математика (название) студента группы 32602 зачетная книжка № 136117 ФИО студента Белов Дмитрий Юрьевич Адрес Спб, Искровский пр.,д.20,кВ.328 E-mail: bd19791979@mail.ru телефон: +7950-020-35-50 2014 год название) ВАРИАНТ 7 Задание 1 Вычислить пределы функций: 1. lim x 5 4x x 2 5 x4 3 x4 5x 2 2 x 3 x 3 4 x 2 2 x 2. lim 3. lim x 0 sin 4 x 2 sin 5 x 3x 2 4. lim x 3x Решение 4 x x2 5 умножаем числитель и знаменатель на x 4 3 x 4 1. lim x 5 x 4 3 x 4 , числитель разложим на множители 4x x2 5 ( x 2 4 x 5)( x 4 3 x 4) lim x 5 ( x 4 3 x 4)( x 4 3 x 4) x 4 3 x 4 lim x 5 ( x 5)( x 1)( x 4 3 x 4) ( x 5)( x 1)( x 4 3 x 4) lim x 5 x 5 ( x 4 9( x 4)) ( x 4 9 x 36) lim ( x 5)( x 1)( x 4 3 x 4) ( x 5)( x 1)( x 4 3 x 4) lim x 5 x 5 (40 8 x) 8( x 5) lim lim x 5 ( x 1)( x 4 3 x 4) 6*(3 3) 6*6 9 8 8 8 2 5x2 2 x 3 x2 2. lim делим числитель и знаменатель на 2 x 3 4 x 2 x 5x2 2 x 3 2 3 5 2 2 5x 2 x 3 x x x 5 lim lim lim 2 2 x 3 4 x 2 x x 3 4 x 2 x x 3 2 4 4 2 x x x2 2 3. lim x 0 sin 4 x первый замечательный предел 2sin 5 x sin 4 x 5x 2 2 2 sin 4 x lim * * 1*1* x 0 2sin 5 x x 0 sin 5 x 5 5 5 4x lim 3x 2 4. lim второй замечательный предел x 3x x x 3 x 2 * *x 3x 2 x 1 3x 2 lim lim 1 x 3x x 3x 2 e lim x 2 x 3x e 2 3 Задание 2 Построить график функции, определив вид точек разрыва: ( х 4) 2 при х 3 x 1 f ( x ) при 3 х 0 2 2 1 при х 0 x Решение Находим односторонние пределы в точке х=-3 lim f ( x) lim ( x 4) 2 1; x 3 0 x 3 0 x 1 3 1 1; 2 2 f (3) (3 4) 2 1 lim f ( x) lim x 3 0 x 3 0 Так как односторонние пределы равны, и равны значению функции в точке х=-3, значит функция в точке х=-3 непрерывна. Найдем односторонние пределы в точке х=0 x 1 1 ; x 0 0 x 0 0 2 2 2 lim f ( x) lim 1 ; x 0 0 x 0 0 x lim f ( x) lim Так как один из пределов равен бесконечности, то х=0 – точка разрыва второго рода. Построим график у х Задание 3 Найти производные функций: 1) f ( x) 6 x 7 4) f ( x) 5 5 х 1 2х x 7х 2) f ( x) 2tg 2 x 1 x 3) f ( x) 3 cos 2 x 1tg sin x 2 ln x Решение 7 5 õ 1 7 5 1 1 32 5 3 5 1. f '( x) 6 x 7 õ 6 x x x 7 õ 42 x 6 x 2 x 2 7 2 2 2 4 2õ x 1 4sin x 2* *2*sin x cos x(2tg 2 x 1) cos x(2tg 2 x 1) 2 2 2tg 2 x 1 cos 2 x cos 2 x 2. f '( x) sin 2 x sin 2 x sin x x x 3. f '( x) 3cos 2 x 1 tg 6sin 2 xtg 3cos 2 x 1 * 4. f '( x) 5ln 2 x 5 ln x ln 5* 2 1 1 * 5ln x 2 x x ln 5* 1 2x 1 x 3cos 2 x 1 * 6sin 2 xtg x 2 x 2 cos 2 2 cos 2 2 2 1 Задание 4 4 x 3 y 2 z 7 Решить систему уравнений по формулам Крамера x 4 y 4 z 26 2 x 5 y z 8 Решение Составим из коэффициентов системы определитель 4 2 3 1 4 2 5 4 16 10 24 16 80 3 101 1 Меняем первый столбец на столбец свободных членов и находим определитель 7 3 1 26 4 8 5 2 4 28 260 96 64 140 78 202 1 Меняем второй столбец на столбец свободных членов и находим определитель 4 7 2 2 1 26 2 8 4 104 16 56 104 128 7 303 1 Меняем третий столбец на столбец свободных членов и находим определитель 4 3 7 3 1 4 26 128 35 156 56 520 24 303 2 5 8 По формулам Крамера получим: x 1 202 303 303 2; y 2 3; z 3 3 101 101 101 Ответ: (2;-3;3). Задание 5 Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f(x)= 0,3х4+0,4x3 – 1,2x2 +0,6. Решение 1. Область определения: x (; ) 2. Функция не является четная и не является нечетная так как f ( x) 0,3x 4 0, 4 x3 1, 2 x 2 0, 6 и не выполняются равенства: f ( x) f ( x); f ( x) f ( x) 3. Найдем точки пересечения с осями. Если х=0, то у=0,6. 4. Найдем производную f '( x) 1, 2 x3 1, 2 x 2 2, 4 x Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение. Таким образом, находим стационарные точки f '( x) 1, 2 x3 1, 2 x 2 2, 4 x 0; 1, 2 x( x 2 x 2) 0; x( x 1)( x 2) 0; x 0; x 1; x 2 Если x (; 2) (0;1) , то y ' 0 , значит, функция убывает Если x (2;0) (1; ) , то y ' 0 , значит, функция возрастает. f min f (2) 0,3*16 0, 4*8 1, 2*4 0,6 2,6; f max f (0) 0, 6 f min f (1) 0,3 0, 4 1, 2 0,6 0,1 5. Найдем производную второго порядка f ''( x) 1, 2 x3 1, 2 x 2 2, 4 x 3,6 x 2 2, 4 x 2, 4 Приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение, таким образом, находим точки перегиба 3, 6 x 2 2, 4 x 2, 4 0; 1, 2(3 x 2 2 x 2) 0; D 4 24 28; x1,2 2 28 1 7 6 3 Если x (; 1 7 1 7 ) ( ; ) , то y '' 0 ,значит, функция выпуклая 3 3 вниз Если x ( x1,2 1 7 1 7 ; ) , то y '' 0 , значит, функция выпуклая вверх. 3 3 1 7 - точки перегиба. 3 6. Найдем асимптоты. y kx b , где k lim x y ( x) ; b lim( y ( x) kx) . Получим: x x 0,3x 4 0, 4 x3 1, 2 x 2 0, 6 , значит, асимптот нет. x x k lim 7. Построим график. Найдем пару контрольных точек f (3) 0,3*81 0, 4* 27 1, 2*9 0, 6 3,3 f (2) 0,3*16 0, 4*8 1, 2* 4 0, 6 3,8 у х Задание 6 Найти интегралы: 2 tgx dx ; 3) 1 x dx 4 3х 1) 7 x 3 2 6 dx; 2) 0 1 4x 4 3 cos 2 x x x 2 Решение 1. 3 1 5 3 3 7 x 4 4 x 2 3x 2 3 4 3õ 2 2 7 x x2 x 6 dx 7 x 4 x 3x 6 dx 4 3 1 6 x C 2 2 3 2 1 7 x 8x 6x 2 6x C 4 3 4 2. 2 tgx 2 3cos 2 x dx 1 (2 tgx)3 2 (2 tgx ) d (2 tgx ) C 3 9 1 x 1 d (2 x 2 ) 1 1 1 arctg 2 3. dx arctg 2 x 2 arctg 2 arctg 0 4 4 1 4x 4 0 1 4x 4 4 4 0 4 0 1 1 Задание 7 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=sin0,5x, 3x –π=0, xπ=0, y=0. Сделать чертёж. Решение Построим фигуру у 3 Площадь равна: 1 x 3 S sin xdx 2cos 2(cos cos ) 2(0 ) 3 кв. ед. 2 2 2 6 2 3 3 х Задание 8 Найти сумму, разность, произведение и частное от деления комплексных чисел Z1 и Z2; изобразить заданные числа на координатной плоскости Z1=-3+i, Z2= 6-2i Решение Сумма чисел: z1 z2 3 i 6 2i 3 i Разность чисел: z1 z2 3 i 6 2i 9 3i Произведение чисел: z1 z2 (3 i)(6 2i) 18 6i 6i 2 16 12i Частное чисел: z1 3 i (3 i )(6 2i ) 18 6i 6i 2 20 1 . z2 6 2i (6 2i )(6 2i) 36 4 40 2 Изобразим заданные числа на плоскости Im z z1 Re z z2 Задание 9 Найти вероятность случайного события в задаче. Имеются электрические лампочки, среди которых 5 по 60 вт. и 3 по 75 вт. Наугад извлекают 2 лампочки. Найти вероятность того, что среди извлеченных 1 в 60 вт и одна в 75 вт. Решение Всего лампочек – 8. Извлечь из 8 лампочек две можно C82 8! 6!*7 *8 7 *8 28 способами. 2!*6! 2!*6! 2 Извлечь 1 в 60 вт и одна в 75 вт можно 5*3=15 способами. Значит, вероятность извлечь 1лампочку в 60 вт и одну в 75 вт равна: Ответ: 15 28 15 . 28 Задание 10 Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. xi -1 3 5 7 yi 0,3 0,4 0,2 0,1 Решение Воспользуемся формулами математического ожидания и дисперсии М(Х)=х1р1+х2р2, M ( X ) 0,3 1, 2 1 0, 7 2, 6 D(Х)=М(Х2)-(М(Х))2; D( X ) 0,3*1 0, 4*9 0, 2*25 0,1*49 2,62 13,8 6,76 7,04 Функция распределения: 0, x 1; 0,3, x 3; F ( x) 0, 7, x 5; 0,9, x 7; 1, x 7