Федорова Н.А._Барнаул_2013

УПРАВЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫМИ СТРУКТУРАМИ
АРМИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ
Н. А. Федорова
Сибирский Федеральный Университет
660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, Россия
feodorova.natalia@mail.ru
В работах [1,2,3] на основе структурной модели в рамках линейной неоднородной осесимметричной задачи упругости получена разрешающая система уравнений,
описывающая поведение армированной кольцевой пластины. Система сформулирована относительно перемещений u , u в полярной системе координат (, ) . Система и граничные условия представляют собой обобщенную двухточечную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Коэффициенты системы содержат полный набор структурных характеристик: число семейств
армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокна, интенсивность и тригонометрические функции углов армирования. Для численного решения разрешающая система сводилась к системе 4-х дифференциальных уравнений первого порядка, затем строилась разностная схема, аппроксимирующая систему дифференциальных уравнений и аппроксимировались краевые условия со вторым порядком точности. Полученная при этом система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей решалась методом ортогональной прогонки.
Проверка условий разрушения упруго армированного материала имеет свои
особенности [4]. Пусть материал изотропного связующего имеет различные пределы прочности при растяжении c и сжатии c . Тогда в случае плоского напряженного состояния условие прочности Мизеса-Баландина для неоднородного материала
через напряжения c , c , c в связующем для полярной системы координат
имеют вид
c 2
(c )2  (c )2  3(
)  (c )(c )  (c  c )(c  c )  c c
(1)
Для семейств армирующих волокон предполагаем, что пределы прочности
m  го семейства волокон при растяжении m и сжатии m различны. Армирующие семейства волокон остаются упругими, если выполняются неравенства
m  Emm  m
(2)
Таким образом, для проверки прочности армированного материала необходимо анализировать два условия: условие на прочность материала связующего (1) и
условие на прочность армирующих волокон (2).
На основании выше изложенного следует ввести понятие предельного упругого состояния в некоторой точке рассматриваемой конструкции. После достижения
этого состояния хотя бы в одной точке конструкции либо в связующем, либо в во-
 Федорова Н.А., 2013
локне, происходит выход за пределы упругости (напряжение превышает предел текучести). В данной точке может возникнуть микроразрушение.
Постановка исходной задачи свелась к реализации единой схемы, которая учитывает разнообразные механические формулировки задачи. Рассмотрены примеры
численного решения задачи для одного, двух и трех семейств армирующих волокон,
представляющих собой семейства алгебраических спиралей и им изогональных траекторий для различных материалов с разными типами нагружения.
В численном эксперименте рассмотрена кольцевая пластина со следующими
структурами армирования двумя семействами волокон: траекториями армирования
являются семейства спиралей Архимеда и логарифмических спиралей (рис.1), семейства спиралей и «спицы велоколеса», семейство изогональных траекторий (рис.
2) [2], семейство спиралей (логарифмических или Архимеда) c радиальными
направлениями армирования (рис. 3).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Для анализа рассматриваемых структур армирования вводится характеристика
P – «степень нагружения волокна», определяемая как отношение напряжений в
волокне к пределу прочности соответствующего материала, выраженное в процентах. Для различных амплитуд внешней нагрузки и начальных условий выхода арматуры ( 01 , 02 ) получены зависимости P для рассматриваемых структур армирования, представленные в таблице.
Таблица. Степень нагружения волокна
P,
выраженная в процентах
Структура
армирования
01  0,3 ;
02  0,3
01  0,0376
01  0,1;
01  0,318
Семейство спиралей Архимеда и
логарифмических
Семейство спиралей Архимеда и
«спицы велоколеса»
Семейство логарифмических спиралей и «спицы
велоколеса»
6
40
6
9
70
10
14
80
22
01  0, 05 ;
В рамках данного подхода, не решая задачи оптимизации, оцениваем предельную амплитуду внешней нагрузки.
За счет управления геометрическими параметрами пластины и криволинейной
укладкой семейств волокон, без использования часто дорогостоящих армирующих
волокон, можно получить армированную конструкцию с заранее заданными свойствами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов. Красноярск: СФУ, 2010. 136 с.
Федорова Н. А. Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат // Журнал Сибирского федерального университета, математика и физика, 2011 4(3). С. 400 – 405.
Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат. Материалы III международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара, 27 августа – 1 сентября 2012 г. С. 211-213.
Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов.
Новосибирск: Наука, 1986. 165 с.