Законы сохранения

МИФ-2: Математика, информатика и физика – школьникам Хабаровского края
ФИЗИКА, 8 класс
Горбанева Лариса Валерьевна, старший преподаватель кафедры физики ДВГГУ
Законы сохранения
Среди огромного числа разнообразных механических величин,
характеризующих тела, явления и процессы, есть величины, которые при
некоторых условиях обладают свойством сохраняться.
К таким величинам относится импульс тела. Импульс это векторная


величина, равная: р  mV .
Еще одной физической величиной, обладающей свойством сохранения
является механическая энергия. Механическая энергия движущегося тела
называется кинетической энергией. При поступательном движении тела его
кинетическая энергия равна: Екин
mV 2 p 2


2
2m
Если тело (или его части) взаимодействуют с другими телами, то
взаимодействующие тела обладают потенциальной энергией. Например,
потенциальная энергия тела, поднятого над Землей на высоту h<<R Земли, равна
kx2
Eп=mgh. Энергия деформированной пружины равна: Еп 
2
Свойством сохранения обладает и полная механическая энергия
Е=Екин+Еп невращающегося тела.
Закон сохранения импульса. Экспериментальные исследования
взаимодействий различных тел – от планет и звезд до атомов и элементарных
частиц – показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел
при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему,
или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов
тел остается неизменной.
В замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остается
постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.








`
`
`
`
Например для двух тел: m1V1  m2V2  m1V1  m2V2 или p1  p2  p1  p2 .
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения
импульса. Необходимым условием применимости закон сохранения импульса к
системе взаимодействующих тел является использование инерциальной
Хабаровск - 2012
МИФ-2, №1, 2012
системы отсчета.
Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в
эту систему, называется замкнутой системой.
Рассмотрим ситуации (исключения), при которых для незамкнутой
механической системы можно применять закон сохранения импульса.
1. Система не замкнута, но импульс сохраняется, когда равнодействующая
внешних сил равна нулю. FвнешΔt = 0, поэтому Δр= 0
2. Система не замкнута, но импульс сохраняется. FвнешΔt = 0, потому что время
взаимодействия пренебрежимо мало (Δt = 0) или внешние силы много меньше
внутренних сил в системе. В условиях Земли
практически не существует замкнутых систем
(внешние силы – силы тяжести, трения).
Однако закон сохранения импульса можно
применять только для момента взаимодействия, когда Δt→0 (при этом силы
трения мало влияют на изменение импульса системы). Например, в задачах о
поведении осколков снаряда при его взрыве.
3. Часто бывает так, что система замкнута только по одному направлению,
например ОХ (частично замкнутые системы):
Закон сохранения импульса справедлив только в инерциальных системах
отсчета.
При решении задач с применением закона сохранения импульса на рисунке
изображают векторы импульсов тел, а не скоростей.
Пример 1. Снаряд массой 200кг, имеющий скорость 300м/с, разрывается на
два осколка, больший из которых массой 120 кг полетел в прежнем
направлении со скоростью 600м/с. Определить скорость меньшего осколка.
Решение:
Примем
направление
движения
снаряда до разрыва за
положительное (рис. 1).
Тогда импульс снаряда до
взаимодействия равен mV.
После взаимодействия
импульс большего осколка стал равным m1V1. Считая систему изолированной,

`
`
примем закон сохранения импульса: mV  m1V1  m2V2 .
Направления скорости его не знаем, поэтому предположительно
принимаем за положительное, то есть в том же направлении, что и больший
ХКЦТТ
МИФ-2: Математика, информатика и физика – школьникам Хабаровского края
`
`
осколок: mV  m1V1  m2V2 . Откуда V2 
mV  m1V1
m2
Масса меньшего осколка равна m2=m – m1=200 – 120=80кг.
Подставив значения получаем: V2 
200  300  120  600
 150 м / с .
80
Знак «минус» указывает на то, что направление движения второго осколка
противоположно направлению выбранной положительной оси.
Закон сохранения импульса выполняется не только в тех случаях, когда
возможности движения тел ограничены некоторой прямой, но и при
произвольных направлениях скоростей тел системы.
Пример 2. Снаряд, летевший вверх, взорвался в верхней точке траектории.
При этом образовались три осколка. Два осколка разлетелись под прямым
углом друг к другу. Причем скорость первого осколка массой 9кг равна 60м/с, а
скорость второго массой 18 кг равна 40м/с. Третий осколок отлетел со
скоростью 200м/с. Определить массу третьего осколка и направление его
полета.
Механическая система, о которой говорится в задаче, состоит из трех
осколков, которые сначала составляли одно целое. Применим к этой системе
закон сохранения импульса.
  

p  p1`  p2`  р3
До взаимодействия (разрыва) скорость снаряда в наивысшей точке подъема
была равна нулю, следовательно, и импульс снаряда был
равен нулю.
После взаимодействия два осколка разлетелись под углом
90° друг к другу (рис.2). Направление и модуль импульса
третьего осколка неизвестны. В соответствии с законом
сохранения импульса суммарный импульс осколков должен



`
`
быть равен нулю. 0  p1  p2  р3 . Это означает, что сумма



`
`
векторов p1 и p2 должна быть уравновешена вектором р3
(рис.3). Запишем это математически:

 
p3  p1`  p2` .
Сумму
векторов найдем используя рисунок 4.
p32  p12  p22 или (m3V3 ) 2  (m1V1 ) 2  (m2`V2 ) 2
Хабаровск - 2012
МИФ-2, №1, 2012
(m1V1 ) 2  (m2`V2 ) 2
Тогда m3 
V32
Подставив значения величин получаем:
m3 
81  3600  324  1600
 4,5кг
40000
Масса третьего осколка равна 4,5кг, направление полета определена
рисунком 3.
Следует отметить, что границы применимости закона сохранения импульса
значительно шире, чем законов Ньютона. Это объясняется тем, что закон
сохранения импульса следует из фундаментального свойства пространства –
его однородности.
Закон сохранения импульса используется во всем интервале скоростей
движения тел, вплоть до скорости света. Он выполняется и при взаимодействии
космических объектов, и при взаимодействии элементарных частиц. Следует
только учесть, что закон сохранения импульса выполняется в инерциальных
системах отсчета.
На основе закона сохранения импульса можно объяснить многие явления.
На рисунке 5 представлены примеры явлений отдачи и реактивного движения.
При выстреле из ружья наблюдается явление отдачи. До взаимодействия
ХКЦТТ
МИФ-2: Математика, информатика и физика – школьникам Хабаровского края
суммарный импульс ружья и пули равен нулю. Таким же он должен остаться и
после вылета пули. Следовательно, ружье должно приобрести точно такой же
по модулю, но противоположно направленный импульс.
Реактивное движение – это единственный способ ускоренного
перемещения в космическом пространстве. Импульс ракеты с топливом до
старта равен нулю. Таким же он должен остаться и после старта. Именно это
обстоятельство объясняет движение корпуса ракеты в стороны,
противоположную движению продуктов горения топлива.
Пример 3. Орудие, не имеющее противооткатного устройства, стреляет
снарядом под углом α=60° к горизонту. Масса снаряда m1=10кг, его начальная
скорость V1=500м/с. Какова скорость отката орудия, если его масса
m2=500кг.
Решение: В момент выстрела сумма внешних сил, действующих на орудие, не
равна нулю, поэтому импульс системы тел «орудие-снаряд» не сохраняется: до
`
`
выстрела он был равен нулю, а после него – векторной сумме 0  m1V1  m2V2 .
Однако для горизонтального направления, вдоль которого на систему не
действуют внешние силы, может
быть применен закон сохранения
импульса.
Выбрав
за
положительное
направление оси ОХ направление
скорости отката орудия, запишем
закон
сохранения
импульса:
0  m2V2`  m1V1` cos  .
m1V1` cos 
Тогда V 
.
m2
`
2
`
Подставив значения величин, получаем: V2 
10  500  0,5
 5м / с
500
Закон сохранения энергии. Как было сказано в начале статьи, полная
механическая энергия также обладает свойством сохранения. При сохранении
полной механической энергии происходит взаимопревращение потенциальной
и кинетической энергий. Действительно, равенство Ек2+Еп2=Ек1+Еп1 можно
записать в виде: Ек2 – Ек1= –(Еп2 – Еп1). Это равенство означает, что изменения
кинетической и потенциальной энергий противоположны по знаку: увеличение
одной из них сопровождается уменьшением другой, и наоборот.
Хабаровск - 2012
МИФ-2, №1, 2012
Пример 4. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на
легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса
пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от
точки подвеса стержня до центра 1м. Найти скорость
пули, если известно, что стержень с шаром отклонился
от удара пули на угол 10°.
Для решения задачи необходим чертеж (рис. 7).
Найти скорость пули можно используя закон
сохранения импульса для системы «пуля-шар». Так как пуля застревает в шаре,
то такой удар называется неупругим. Запишем закон сохранения импульса для
неупругого удара в проекции на ось ОХ: m1V1  (m1  m2 )V2 , где V1 – скорость
пули до столкновения, V2 – скорость шара и пули после их столкновения, m1 –
масса пули, (m1+ m2) – масса пули и шара. Тогда из данного выражения можно
`
`
(m1  m2 )V2`
найти V1: V 
. В этом выражении неизвестна также скорость V2,
m1
`
1
которую можно найти по закону сохранения энергии.
Пусть в результате столкновения с пулей центр массы шара поднялся на
высоту h, тогда по закону сохранения энергии: полная механическая энергия в
замкнутой системе тел остается неизменной. В момент столкновения
потенциальная энергия пули и шара равна нулю, но так как скорость пули
максимальна, то кинетическая энергия в этот момент максимальна. При
отклонении система приобретает потенциальную энергия, но при этом скорость
уменьшается до нуля и соответственно до нуля уменьшается кинетическая
энергия. То есть кинетическая энергия переходит в потенциальную:
(m1  m2` )V22
 (m1  m2 ) gh . Из данного выражения найдем V2: V22  2 gh .
2
Высоту h найдем из рисунка: h=l – l∙cosα=l∙(1-cosα). Подставив h в
2
выражение для V2: V2  2 gl (1  cos  ) , откуда V2  2 gl (1  cos  ) .

sin( ) 
2
преобразования выражения для нахождения V2 найдем V1:
Используем
тригонометрическое
V1`  2
уравнение
(m1  m2 )

sin( ) gl .
m1
2
Подставив значения величин получаем:
ХКЦТТ
(1  cos  )
2
для
МИФ-2: Математика, информатика и физика – школьникам Хабаровского края
V1`  2
(m1  1000m1 )
0,09) 9,8  1  570 м / с .
m1
Условия применимости закона сохранения механической энергии. Закон
сохранения механической энергии выполняется в замкнутых системах, тела в
которых взаимодействуют потенциальными силами (силы упругости и
тяготения), а силы трения отсутствуют или можно пренебречь работой,
совершаемой ими. В качестве примера можно привести систему тел,
взаимодействующих с Землей. При отсутствии сопротивления воздуха
механическая энергия взаимодействующих с Землей тел сохраняется.
Пример 5. Груз массой 0,5кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1
кг, укрепленную на пружине жесткостью k=9,8∙102Н/м. Определить
наибольшее сжатие пружины, если в момент удара груз обладал скоростью
5м/с. Удар неупругий.
Решение. Согласно условиям задачи систему можно считать замкнутой. По
закону сохранения энергии, полная механическая энергия груза вместе с плитой
после удара равна потенциальной энергии сжатой пружины:
(m1  m2` ) 2
kx2
V2  (m1  m2 ) gx 
, где m1 – масса груза, m2 – масса плиты, х
2
2
– искомое сжатие пружины, V2 – скорость груза и плиты после удара, которую
можно найти по закону сохранения импульса для неупругого удара:
m1V1`
m V  (m1  m2 )V откуда V 
.
(m1  m2 )
`
1 1
`
2
`
2,
Подставляя полученное выражение в закон сохранения энергии получим:
(m1  m2` )
m12V12
kx2

 (m1  m2 ) gx 
, или
2
2
(m1  m2 ) 2
m12V12
kx  2 g (m1  m2 ) x 
 0.
m1  m2
2
Решая полученное квадратное уравнение получаем:
km12V12
g (m1  m2 )  g (m1  m2 ) 
(m1  m2 )
x
.
k
2
2
Хабаровск - 2012
МИФ-2, №1, 2012
9.8(0,5  1)  9,8 (0,5  1) 
2
x
2
9,8 10 2 0,5 2 5 2
(0,5  1)
 8,2 10 2 м .
9,8 10
Второй корень отрицательный и он не удовлетворяет условию задачи.
2
Закон сохранения механической энергии выполняется при действии
внешних потенциальных сил, если они не изменяются с течением времени. Это
связано с тем, что закон сохранения механической энергии – следствие
однородности времени. Именно поэтому даже потенциальные силы, зависящие
от времени, приводят к невыполнению закона сохранения механической
энергии.
Можно использовать закон сохранения энергии и при действии внешних
сил, если эти силы не совершают работу. Например, при колебании груза на
нити работа силы упругости нити равна нулю, и можно воспользоваться
законом сохранения механической энергии. Очень часто применение закона
сохранения энергии значительно упрощает решение задач. Изменение полной
механической энергии системы равно работе внешних сил: А=ΔЕ=Е2–Е1. При
этом удобно рассматривать начальное и конечное состояние тела. Если утечки
механической энергии не происходит, то ест сила трения отсутствует, то Е2 –
Е1=0, где Е1 – полная механическая энергия системы в первом состоянии, Е2 –
полная механическая энергия системы во втором состоянии.
Пример 6. Груз массой 2кг, падающий с высоты 5м, проникает в мягкий грунт
на глубину 5см. Определить среднюю силу сопротивления грунта.
Для решения задачи изобразим данные на рисунке (рис. 8).
Направим ось ОY вертикально вверх, начало оси выберем на
глубине h1 от поверхности земли. На участке СО действует
внешняя сила (сопротивление грунта), поэтому
А=ΔЕ или Е – Е0=А, где Е0 =mgh+mgh1 – механическая
энергия груза в точке В, Е – механическая энергия груза на
глубине h1 от поверхности земли. Так как в точке 0 y=0 и V=0, то
Е=0.
Работа внешних сил на участке С0 A= – Fh1. Учитывая
получаем: 0 – mgh – mgh1= – Fh1, откуда
h
5
F  mg  (  1) или F  2  9,8  (
 1)  1,98кН
h1
0,05
ХКЦТТ
МИФ-2: Математика, информатика и физика – школьникам Хабаровского края
Если в качестве внешней силы выступает сила трения (или сила
сопротивления движению), то закон приобретает вид Е2 – Е1=Атр. А так как
работа силы трения равна Атр=Fтр∙S∙cos180= – Fтр∙S, то можно записать это же
соотношение как Е2 – Е1= – Fтр∙S или Е1 – Е2= Fтр∙S.
Пример 7. Определить тормозной путь автомобиля, движущегося со
скоростью 36км/ч, если коэффициент торможения равен 0,4.
Полная механическая энергия автомобиля равна только кинетической
энергии, так как потенциальная энергия на поверхности земли равна 0.
В задаче рассматривается два состояния автомобиля: состояние 1 в момент
начала торможения и состояние 2 в момент окончания торможения (остановки).
В состоянии 1 полная механическая энергия Е1=Ек, а в состоянии 2 полная
механическая энергия равна 0: Е2=0. Тогда закон сохранения и превращения
энергии примет вид: Е2 – Е1=Атр или 0 – Е1=Атр
mV 2
 Fтр  S . Так как тело движется по горизонтальной поверхности и
2
сила тяжести его уравновешивается силой реакции опоры, то Fтр=µmg, тогда
V2
mV 2
 mg  S . Из полученного уравнения найдем S: S 
.
2g
2
Переведем все известные величины в СИ и подставим в полученную
10 2
 12,7 м .
формулу получаем: S 
2  0,4  9,8
Контрольная работа №2 для учащихся 8 классов
Приведенные ниже задания являются контрольной работой №2 для
учащихся 9 классов. Каждая задача оценивается в 5 баллов, для зачета нужно
набрать не менее 35 баллов.
Правила оформления работ:
Решения по каждому предмету оформляется отдельно. Каждое задание
имеет свой шифр (Ф.9.2.1 и т.д.), который указывается перед записью
решения. Переписывать текст задачи не надо, достаточно краткой записи,
если это необходимо. Оформлять решения в порядке следования заданий.
Хабаровск - 2012
МИФ-2, №1, 2012
Можно присылать нам столько решений, сколько удалось вам сделать, даже
если оказалось невозможным выполнить всю работу.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ
(ХКЗФМШ).
Подробнее познакомиться со школой, ее традициями можно на нашем сайте:
www.khspu.ru/~khpms/. Там же, на форуме, можно проконсультироваться по
вопросам, связанным с решением задач (и не только).
Ф.9.2.1. Летящий снаряд разорвался на два осколка с одинаковыми массами.
Модули скоростей V1=300м/с и V2=400м/с, угол между векторами скоростей
осколков равен 90°. Найдите модуль скорости снаряда до разрыва.
Ф.9.2.2. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль
железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком
массой 10 т и застревает в нем. Найти скорость вагона, если он двигался со
скоростью 36км/ч навстречу снаряду.
Ф.9.2.3. С судна массой М произведен выстрел пушки в сторону,
противоположную его движению, под углом 600 к горизонту. На сколько
изменилась скорость судна, если снаряд массой m вылетел со скоростью v
относительно судна? Скорость судна u.
Ф.9.2.4. Бильярдный шар, движущийся со
скоростью 10 м/с, ударил о покоящийся
шар такой же массы. После удара шары
разошлись так, как показано на рисунке.
Найти скорости шаров после удара.
Ф.9.2.5. Мяч массой 50 г, летевший со
скоростью 20 м/с, ударился о горизонтальную плоскость. Угол падения (угол
между направлением скорости и перпендикуляром плоскости) равен 600. Найти
изменение импульса, если удар абсолютно упругий, а угол отражения равен
углу падения.
Ф.9.2.6. Мальчик массой 1,6 m и девочка массой m стоят друг против друга на
роликовых коньках. Мальчик бросает девочке мяч массой 0,02m с горизонтальной скоростью v относительно земли. Какова скорость v1 мальчика
сразу после бросания мяча и скорость v2 девочки после того, как она поймает
мяч?
Ф.9.2.7. Сравнить работу силы тяжести для свободно
падающего тела за первую и вторую половину времени
падения.
Ф.9.2.8. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в вал
и проходит до остановки 0,5 м. Определить силу
сопротивления вала движению пули, если её масса 24 г.
Ф.9.2.9.
Оцените среднюю силу натяжения ремней
ХКЦТТ
МИФ-2: Математика, информатика и физика – школьникам Хабаровского края
безопасности, удерживающих человека в автомобиле, движущемся со
скоростью 36 км/ч и столкнувшегося со столбом, при этом у машины появилась
вмятина 35 см. Масса человека 70 кг.
Ф.9.2.10. Шар массой m = 3 кг удерживается на высоте h = 3м над столиком,
укрепленным на пружине. Найдите максимальное сжатие пружины при
свободном падении шарика на столик, если ее жесткость k = 500 Н/м. Массами
пружины и столика пренебречь. Удар абсолютно неупругий.
Ф.9.2.11. Падающим с высоты 1,5м грузом забивают сваю, которая от удара
уходит в землю на 2см. Определить среднюю силу удара и его
продолжительность, если масса груза 500кг, а масса сваи много меньше массы
груза.
Ф.9.2.12. Человек, находящийся в вагонетке, толкает другую вагонетку. Они
приходят в движение и через некоторое время останавливаются вследствие
трения. Определить отношение перемещений вагонеток до остановки, если
масса первой вагонетки с человеком в три раза больше массы второй вагонетки.
Ф.9.2.13. С какой высоты упала пружина жесткостью 50Н/см, если при ударе о
землю она сжалась на 4см? Масса пружины 100г. Ось
пружины при падении осталась вертикальной.
Ф.9.2.14. Определить минимальную высоту, скатившись
с которой тело сможет преодолеть «мертвую петлю»
радиусом 25м.
Хабаровск - 2012