Задания для студентов 2 курса №1 Материальная точка движется вдоль прямой. Вначале она двигалась в течение промежутка времени τ с ускорением а (без начальной скорости). После этого ускорение изменило знак на противоположный и стало равным по величине 2а. Через какое время точка снова окажется в начальном положении? Решение Искомое время складывается из двух интервалов: времени движения τ с ускорением а, времени движения t1 с ускорением -2а до остановки и времени движения t2 с ускорением -2а в обратном направлении до первоначального положения: t t1 t2 . В течение первого промежутка времени точка прошла путь a 2 / 2 и приобрела скорость v a . Тогда весь путь до остановки равен 2at 2 a 2 S (a )t1 1 . t1 легко найти из условия равенства 0 скорости в точке 2 2 3a 2 остановки: v a 2at1 0 t1 / 2. Тогда S . 4 Это же значение равно обратному пути мат. точки, поэтому можно записать: 3a 2 2at22 3 S t2 . 4 2 2 3 (3 3). Таким образом, t 2 2 2 Ответ: t (3 3). 2 ω №2 Астронавты высадились на планету массой М и радиуса R на широте θ. Для определения направления на центр планеты они решили воспользоваться отвесом. Однако оказалось, что линия отвеса параллельна оси вращения планеты. Определить угловую скорость вращения планеты. θ R Решение mω2Rcosθ T GmM/R2 θ Ответ: Параллельное оси планеты положение линии отвеса определяется совместным действием двух сил (в СК, связанной с планетой) – центробежной силой инерции Fц = mω2Rcosθ и силой гравитационного взаимодействия Fг = GmM/R2 (см. рисунок). Проекции этих сил на горизонтальное направление равны по модулю и противоположны по знаку: GmM GM cos m 2 R cos . 2 R R3 GM . R3 1 №3 Полый тонкостенный цилиндр скатывается с наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. 1). При каком коэффициенте трения качение будет происходить без проскальзывания? 2). С каким ускорением будет скатываться цилиндр при условии отсутствия проскальзывания? Решение Запишем уравнение поступательного движения в проекции на ось х: ma mg sin Fтр . Цилиндр заставляет N Fтр О x вращаться сила трения Fтр , поэтому уравнение вращательного движения имеет вид I Fтр R. Линейное ускорение а связано с угловым ε: a R – это и есть условие отсутствия проскальзывания. α Прибавив к этим уравнениям выражение для момента инерции тонкостенного цилиндра относительно его оси вращения I mR 2 , мы получаем все необходимые I Ia . Подставим в для решения задачи соотношения. Итак, I Fтр R Fтр R R2 уравнение поступательного движения и поделим на массу m: Ia 1 a g sin g sin a a g sin . 2 2 mR Сила трения скольжения определяется как Fтр.ск. kN , где k – коэффициент трения скольжения, N – реакция опоры. Поэтому качение без проскальзывания определяется условием Fтр kN . Подставив в это неравенство выражения для силы трения mg Fтр Ia 1 1 mg sin и реакции опоры N mg cos , получим k tg . 2 2 2 R 1 1 Ответ: k tg , a g sin . 2 2 №4 Идеальный газ сначала адиабатно расширяется, а затем изохорно нагревается до первоначальной температуры. Какую работу совершил газ при адиабатном расширении, если при изохорном нагревании газу передано количество теплоты, равное 400 Дж? Решение При адиабатическом процессе работа A равна изменению внутренней энергии ΔU, взятой с обратным знаком: A = –ΔU = –(U2 – U1). При изохорном нагревании работа не совершается, и все переданное количество теплоты идет на увеличение U: Q = ΔU. Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то в конце изохорного процесса U принимает свое первоначальное значение U1. Следовательно, работа газа при адиабатном расширении равна количеству переданной теплоты A = Q = 400 Дж. Ответ: A = 400 Дж. 2 №5 В тепловом двигателе, рабочим телом которого является одноатомный газ, совершается циклический процесс, изображенный на рисунке. Максимальный объем газа в этом процессе в n = 3 раза больше минимального объема. Найдите КПД двигателя η. P 2 1 3 V Решение Q1 Q2 . Теплота Q1 передается рабочему телу в процессе 1 2 . В процессах Q1 2 3 и 3 1 рабочее тело передает окружающей среде количество теплоты Q2 Q2,1 Q2,2 . Найдем эти величины. Рассмотрим процесс 1 2 . Как видно из рисунка, давление линейно зависит от объема: P V , где P1 . V1 V2 3 1 3 2 2 2 Q1 A U VdV R(T2 T1 ) PV 1 1 (n 1) PV 1 1 (n 1) 2 PV 1 1 (n 1), 2 2 2 V 1 3 3 3 2 Q2,1 R(T2 T3 ) RT1 (n 2 n) PV 1 1 ( n n), 2 2 2 3 3 5 Q2,2 P1 (V2 V1 ) R(T3 T1 ) P1 (V2 V1 ) P1 (V2 V1 ) PV 1 1 (n 1), 2 2 2 Q Q2 4(n 2 1) 3(n 2 n) 5(n 1) n 1 1 . 2 Q1 4(n 1) 4(n 1) Ответ: n 1 12,5%. 4(n 1) 3