РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных
технологий
Кафедра математического моделирования
САЛОВА Е.В.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления 010300.62
«Математика и компьютерные науки», профиль «Математическое
и компьютерное моделирование»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Салова
Е.В.
Вариационное
исчисление.
Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010300.62
«Математика и компьютерные науки», профиль «Математическое и
компьютерное моделирование», очная форма обучения. Тюмень, 2011
г., 19 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями
ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и
профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ:
Вариационное исчисление [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического
моделирования. Утверждено проректором по учебной работе
Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического
моделирования, д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011
© Е.В. Салова, 2011
1.
Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целью
курса
является
усвоение
основ
вариационного
исчисления, необходимых для решения теоретических и практических
задач; привитие навыков самостоятельного изучения специальной
литературы; формирование математической культуры студента.
Основной задачей курса является обучение студентов методам
решения вариационных задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Вариационное исчисление» – это дисциплина,
которая входит в вариативную часть профессионального цикла.
Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в
результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический
анализ»,
«Аналитическая
геометрия»,
«Дифференциальные
уравнения», «Уравнения в частных производных».
Освоение дисциплины «Вариационное исчисление» необходимо
для написания выпускной квалификационной работы.
1.3.
Компетенции
выпускника
ООП
бакалавриата,
формируемые в результате освоения данной ООП ВПО
Выпускник
должен
обладать
следующими
общекультурными
компетенциями (ОК):
способностью
профессиональной
применять
деятельности
в
научно-исследовательской
базовые
знания
в
и
области
фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК6);
значительными
навыками
исследовательской работы (ОК-7);
самостоятельной
научно-
способностью и постоянной готовностью совершенствовать и
углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК8);
умением быстро находить, анализировать и грамотно контекстно
обрабатывать
научно-техническую,
естественнонаучную
и
общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме
(ОК-10);
фундаментальной
подготовкой
в
области
фундаментальной
математики и компьютерных наук, готовностью к использованию
полученных знаний в профессиональной деятельности (ОК-11);
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен
обладать следующими профессиональными компетенциями:
умением понять поставленную задачу (ПК-2);
умением формулировать результат (ПК-3);
умением строго доказать утверждение (ПК-4);
умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать
результат (ПК-5);
умением самостоятельно увидеть следствия сформулированного
результата (ПК-6);
умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК7);
умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
знанием корректных постановок классических задач (ПК-9);
пониманием корректности постановок задач (ПК-10);
способностью
передавать
результат
проведенных
физико-
математических и прикладных исследований в виде конкретных
рекомендаций,
выраженной
в
терминах
изучавшегося явления (ПК-15);
4
предметной
области
выделением главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК16);
владением
методами
математического
и
алгоритмического
моделирования при анализе и решении прикладных и инженернотехнических проблем (ПК-20);
владением
проблемно-задачной
формой
представления
математических и естественнонаучных знаний (ПК-21);
умением увидеть прикладной аспект в решении научной задачи,
грамотно представить и интерпретировать результат (ПК-22);
умением
проанализировать
результат
и
скорректировать
математическую модель, лежащую в основе задачи (ПК-23);
умением точно представить математические знания в устной
форме (ПК-27);
возможностью преподавания физико-математических дисциплин и
информатики в общеобразовательных учреждениях и образовательных
учреждениях среднего профессионального образования (ПК-29).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
●
Знать: теоретические основы и практические приложения
разделов курса вариационного исчисления: вариационные задачи с
неподвижными
экстремума
границами,
функционала,
необходимые
задачи
на
и
достаточные
условный
условия
экстремум,
вариационные задачи с подвижными границами и некоторые другие
задачи, приближенные методы решения вариационных задач.
●
Уметь: формулировать и доказывать основные результаты
дисциплины, применять методы вариационного исчисления к задачам
техники, экономики и естествознания, использовать пакеты прикладных
программ при решении задач.
●
Владеть методами решения вариационных задач.
5
2. Структура и трудоемкость дисциплины
Дисциплина «Вариационное исчисление» читается в восьмом
семестре.
Форма промежуточной аттестации
– экзамен.
Общая
трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетных единицы (72 часа).
3. Тематический план
Таблица 1.
Виды учебной
работы и
Из
самостоятельн
2
час.
часов
по
них в
Итого
интер колич
актив ество
Лекции
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельн
ая работа
1
Итого
недели семестра
№ Тема
ая работа, в
3
4
5
6
7
8
9
1
2
2
1
5
1
0-10
теме
ной
балл
форм ов
е
Модуль 1
Основные понятия
вариационного
исчисления.
1
Необходимые условия
экстремума
функционала
6
Простейшая
задача
вариационного
2
исчисления.
2-3
4
4
1
9
2
0-10
4-5
4
4
1
9
2
0-10
10
10
3
23
5
0-30
6-7
4
4
1
9
3
0-10
8-10
6
6
2
14
2
0-10
10
10
3
23
5
0-30
11-12
6
6
2
14
2
0-20
13-18
2
2
2
6
2
0-10
2
2
2
6
1
0-10
12
12
6
26
5
0-40
Уравнение Эйлера.
Обобщения
простейшей задачи
3
вариационного
исчисления
Всего
Модуль 2
Достаточные условия
4 экстремума
функционала
Вариационная задача
5 на условный
экстремум
Всего
Модуль 3
Вариационные задачи
6 с подвижными
границами
Разрывные задачи.
7 Односторонние
вариации.
Приближенные
8 методы решения
вариационных задач
Всего
7
Итого (часов,
баллов):
30
30
7
8
из них в
интерактивной форме
12
72
0-100
15
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
решение задач
на практическом
занятии
выполнение
домашнего
задания
6
7
0-1
0-3
0-3
0-8
0-1
0-3
0-3
0-8
3
0-1
исчисления. 0-1
№ темы
Итого количество
баллов
контрольная
работа
5
2
1
Письменные
работы
4
ответ на
практическом
занятии
собеседование
Устный
опрос
Модуль 1
1. Основные понятия
вариационного исчисления.
Необходимые условия
экстремума функционала
2.
Простейшая
вариационного
задача
Уравнение Эйлера.
8
3. Обобщения простейшей
задачи вариационного
0-1
0-1
0-6
0-3
0-3
0-14
0-3
0-3
0-6
0-9
0-9
0-30
0-2
0-2
0-2
0-6
0-3
0-15
0-2
0-1
0-6
0-3
0-3
0-15
0-4
0-3
0-8
0-9
0-6
0-30
0-2
0-3
0-10
0-5
0-20
0-1
0-1
0-3
0-3
0-2
0-10
0-1
0-1
0-3
0-3
0-2
0-10
0-4
0-5
0-6
0-16
0-9
0-40
0-11
0-20
0-34
0-24
0-100
исчисления
Всего
Модуль 2
4. Достаточные условия
экстремума функционала
5. Вариационная задача на
условный экстремум
Всего
Модуль 3
6. Вариационные задачи с
подвижными границами
7. Разрывные задачи.
Односторонние вариации.
8. Приближенные методы
решения вариационных
задач
Всего
0-
Итого
11
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
Неде
Объ
Кол-
обязател
дополните
ля
ем
во
ьные
льные
семе
часо
бал
стра
в
лов
9
Модуль 1
1. Основные понятия работа
с
вариационного
литератур
исчисления.
ой,
Необходимые
решение
условия
дом.
экстремума
задания
1
1
0-2
2-3
1
0-4
4-5
1
0-4
3
0-10
1
0-4
функционала
2
Простейшая
работа
с подготовка
задача
литератур
вариационного
ой,
контрольн
исчисления.
решение
ой работе
к
Уравнение Эйлера. дом.
задания
3
Обобщения
работа
с подготовка
простейшей задачи литератур
к
вариационного
ой,
контрольн
исчисления
решение
ой работе
дом.
задания
Всего по модулю 1
Модуль 2
4. Достаточные
работа
с
условия
литератур
экстремума
ой,
функционала
решение
дом.
задания
10
6-7
5. Вариационная
работа
с подготовка
2
0-6
3
0-10
2
0-4
14
2
0-3
15
2
0-3
Всего по модулю 3
6
0-10
ИТОГО
12
0-30
задача
на литератур
8-10
к
условный
ой,
контрольн
экстремум
решение
ой работе
дом.
задания
Всего по модулю 2
Модуль 3
6.
Вариационные
задачи
работа
с подготовка 11-13
с литератур
к
подвижными
ой,
контрольн
границами
решение
ой работе
дом.
задания
7.
Разрывные задачи. работа
с подготовка
Односторонние
литератур к
вариации.
ой,
контрольн
решение
ой работе
дом.
задания
8.
Приближенные
методы
работа
с
решения литератур
вариационных
ой,
задач
решение
дом.
задания
11
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
Наименование
Темы
дисциплины
п/п
обеспечиваемых
необходимые
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых
для
изучения
(последующих) дисциплин
1
Выпускная
квалификационная работа
1
2
3
+
+
+
5. Содержание курса
Тема
1.
Основные
понятия
вариационного
исчисления.
Необходимые условия экстремума функционала.
Функционал.
Близость
кривых
Непрерывность
функционала.
Линейные функционалы в линейном нормированном пространстве.
Вариация функционала. Постановка задачи вариационного исчисления.
Слабый и сильный экстремум. Необходимые условия экстремума
функционала.
Тема
2.
Простейшая
задача
вариационного
исчисления.
вариационного
исчисления.
Уравнение Эйлера.
Постановка
простейшей
задачи
Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
Тема
3.
Обобщения
простейшей
задачи
вариационного
исчисления.
Функционалы, зависящие от производных высшего порядка.
Уравнение Эйлера-Пуассона. Функционалы, зависящие от нескольких
функций. Система уравнений Эйлера. Функционалы, зависящие от
функций нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-
12
Остроградского. Вариационная задача в параметрической форме.
Вейерштрассова форма уравнения Эйлера.
Тема 4. Достаточные условия экстремума функционала.
Поле экстремалей. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия
Вейерштрасса для простейшей задачи вариационного исчисления.
Достаточные условия Лежандра. Фигуратриса.
Тема 5. Вариационная задача на условный экстремум.
Постановка задачи на условный экстремум. Необходимые условия
экстремума. Задача Дидоны. Принцип взаимности изопериметрических
задач. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия.
Геодезические линии. Решение вариационных задач на условный
экстремум с использованием пакетов прикладных программ Maple,
MatCad, Matlab.
Тема 6. Вариационные задачи с подвижными границами.
Постановка
задачи
с
подвижными
границами.
Нахождение
экстремума функционала. Условия трансверсальности. Геодезическое
расстояние. Решение вариационных задач.
Тема 7. Разрывные задачи. Односторонние вариации.
Кусочно-гладкие допустимые кривые. Разрывные задачи первого
рода. Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Разрывные задачи второго
рода. Односторонние вариации.
Тема 8. Приближенные методы решения вариационных задач.
Прямые методы в вариационных задач. Конечно-разностный
метод Эйлера.
Планы практических занятий
Тема
1.
Основные
понятия
вариационного
Необходимые условия экстремума функционала.
13
исчисления.
Тема
2.
Простейшая
задача
вариационного
исчисления.
Уравнение Эйлера.
Тема
3.
Обобщения
простейшей
задачи
вариационного
исчисления.
1) Функционалы, зависящие от производных высшего порядка.
Уравнение Эйлера-Пуассона.
2) Функционалы, зависящие от нескольких функций. Система
уравнений Эйлера.
3) Функционалы,
независимых
зависящие
от
переменных.
функций
нескольких
Уравнение
Эйлера-
параметрической
форме.
Остроградского.
4) Вариационная
задача
в
Вейерштрассова форма уравнения Эйлера
Тема 4. Достаточные условия экстремума функционала.
Тема 5. Вариационная задача на условный экстремум.
1) Вариационные задачи с конечными уравнениями связи.
2) Вариационные задачи с дифференциальными уравнениями
связи.
3) Изопериметрическая задача
Тема 6. Вариационные задачи с подвижными границами.
Тема 7. Разрывные задачи. Односторонние вариации.
1) Разрывные задачи первого рода. Условия ВейерштрассаЭрдмана.
2) Разрывные задачи второго рода.
3) Односторонние вариации.
Тема 8. Приближенные методы решения вариационных задач.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной
работы студентов. Оценочные средства для текущего
14
контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины (модуля)
6.1.
Примерные задания для контрольной работы
1. Найти экстремали заданных функционалов J[y]
2. Найти семейства экстремалей заданных функционалов J[y,z]
3. Найти экстремум заданного функционал J[y,z] при наличии
конечного уравнения связи f(x,y,z)=0.
4. Решить изопериметрическую задачу.
5. Найти геодезические линии заданной поверхности.
6. Найти условие трансверсальности для заданных
функционалов J[y].
7. Найти кратчайшее расстояние от точки М(x0, y0 , z0 ) до
заданной поверхности.
8. Найти геодезическое расстояние от точки А(x1, y1 ) до точки
В(x2,y2), если это расстояние определяется с помощью
функционала.
6.2. Примерные вопросы для подготовки к экзамену
1. Функционал. Близость кривых Непрерывность функционала.
Линейные
функционалы
в
линейном
нормированном
пространстве.
2. Вариация функционала. Постановка задачи вариационного
исчисления.
3. Слабый
и
сильный
экстремум.
Необходимые
условия
экстремума функционала.
4. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления.
Основная лемма вариационного исчисления.
5. Уравнение Эйлера.
6. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
15
7. Функционалы, зависящие от производных высшего порядка.
Уравнение Эйлера-Пуассона.
8. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Система
уравнений Эйлера.
9. Функционалы,
зависящие
независимых
от
функций
переменных.
нескольких
Уравнение
Эйлера-
Остроградского.
10.
Вариационная
задача
в
параметрической
форме.
Вейерштрассова форма уравнения Эйлера.
11.
Поле
экстремалей.
Функция
Вейерштрасса.
Достаточные условия Вейерштрасса для простейшей задачи
вариационного исчисления.
12.
Достаточные условия Лежандра. Фигуратриса.
13.
Постановка
задачи
на
условный
экстремум.
Необходимые условия экстремума. Задача Дидоны.
14.
Принцип взаимности изопериметрических задач.
15.
Необходимые условия высших порядков и достаточные
условия. Геодезические линии.
16.
Постановка
задачи
с
подвижными
границами.
Нахождение экстремума функционала.
17.
Условия трансверсальности.
18.
Геодезическое расстояние.
19.
Кусочно-гладкие
допустимые
кривые.
Разрывные
задачи первого рода. Условия Вейерштрасса-Эрдмана.
7.
20.
Разрывные задачи второго рода.
21.
Односторонние вариации.
22.
Прямые методы вариационных задач.
23.
Конечно-разностный метод Эйлера.
Образовательные технологии
16
При
изучении
дисциплины
«Вариационное
исчисление»
используются следующие образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
–
внеаудиторные
занятия
(самостоятельная
работа,
индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных
видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Вариационное
исчисление» предусматривается использование в учебном процессе
следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
–
компьютерное
моделирование
и
практический
анализ
результатов;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических
занятиях.
8.
Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины (модуля)
8.1. Основная литература
1.
Андреева
Е.
А.
Вариационное
исчисление
и
методы
оптимизации / Е. А. Андреева, В. М. Цирулева. -М: Высш. шк., 2006 -584
с.
2.
Ахиезер H. И. Лекции по вариационному исчислению. -М,
1955 .-248 c..
3.
Буслаев В. С. Вариационное исчисление -Л: Изд-во ЛГУ, 1980
.-287 c.
4.
Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. –
М., Физматгиз, 1961. – 228 с.
5.
Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. – СПб, Лань ,
2009. 320 с
17
6.
Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное
исчисление - М: УРСС, 2004 .-160 с.
7.
Коша А. Вариационное исчисление. -М: Высш. шк, 1983 .-279
8.
Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселёв А. И. Вариационное
c.
исчисление. – М., УРСС, 2003. – 176 с.
9.
Эльсгольц
Л.
Э.
Дифференциальные
уравнения
и
вариационное исчисление -М: УРСС, 2002-320 c.
10.
Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные
уравнения СПб, : Лань, 2005 .-192 с.
8.2. Дополнительная литература
1.
Алексеев В. М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. – М., Физматлит, 2005. – 384 с.
2.
Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению-М: Иностр.
лит., 1950 .-347 c..
3.
Будылин
А.М.
Вариационное
исчисление[электронный
ресурс] / Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/121
4.
Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное
исчисление. – М., Высш. шк., 2005. – 335 с.
5.
Ванько В. И. Вариационное исчисление и оптимальное
управление / В. И. Ванько, О. В. Ермошина, Г. Н. Кувыркин. --М: Изд-во
МГТУ, 2001 .-488 c.;
6.
Васильев
О.
В.
Методы
оптимизации
в
задачах
и
упражнениях : учеб. пособие/ О. В. Васильев, А. В. Аргучинцев. -М:
Физматлит, 1999 .-208 c.
7.
Галеев Э. М. Оптимизация : теория, примеры, задачи : учеб.
пособие. -М: УРСС, 2002 .-304 с.
18
8.
Карташев
А.
П.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения и основы вариационного исчисления : / А. П. Карташев, Б. Л.
Рождественский. --М: Наука, 1986 , 200 с
9.
Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Основы вариационного
исчисления. М., 1935 http://lib.mexmat.ru/books/1993
10.
Сборник
задач
по
дифференциальным
уравнениям
и
вариационному исчислению : сборник задач/ В. К. Романко, Н. Х.
Агаханов, В. В. Власов [и др.]; Под ред. В. К. Романко. -Москва:
Физматлит, 2002 .-256 c.
11.
Янг Л. Ч. Лекции по вариационному исчислению и теории
оптимального управления. -М: Мир, 1974 .-488 c. :
8.3.
Программное обеспечение и Интернет – ресурсы
Интернет – ресурсы:
1.
Электронная библиотека Попечительского совета механико-
математического
факультета
Московского
государственного
университета http://lib.mexmat.ru
2.
eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва)
http://elibrary.ru
Для работы на практических занятиях необходим пакет программ
Maple.
9.
Технические средства и материально-техническое
обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционная
аудитория
с
мультимедийным
компьютерный класс для практических занятий.
19
оборудованием,
20