32. Подобие фигур. Отношение длин и площадей. Метод подобия в задачах на построение. Задачи [13], [16], [2], [25], метод подобия теория [2], [24], [25]. Литература Задача 1. Трапеция разбивается диагоналями на 4 треугольника. Определить площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям трапеции, равны S1 и S 2. Решение. B h E C O h А F D Есть два способа решения [13,с.222]. Один из способов: 1) SABC= SDBC, SABO= SOCD (рис.) S OD S AOD 2 2) ODC ; S ODC S BOC S AOD ; S ODC S1 S 2 S BOC OB S ABO SABCD=S1+S2+2 S1 S 2 Второй способ основан на подобии ВОС и АОD. S1 S 2 2 Задача 2. Найти расстояния от точки пересечения медиан АВС до сторон ВС=а и АС=b, если известно, что сумма этих расстояний равна k. Решение Задача 3. Пятиугольник АВСDE правильный. Требовалось построить прямую BN, которая делит пятиугольник на части с отношением площадей 1:2. Школьник превратил пятиугольник в равновеликий ВКТ и отметил 1 точку М на КТ так, что КМ= КТ. Другой школьник обратил 3 внимание на то, что при этом пришлось несколько раз строить параллельные прямые. А можно ли было решить задачу, не проводя параллельных прямых? Решение Задача 4. Найдите основание трапеции, у которой боковые стороны равны 25см и 40см, а диагонали 51см и 74см. Решение Задача 5. В данный остроугольный АВС вписать квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две на боковых сторонах. Анализ. Квадрат должен удовлетворять условиям: 1) две вершины лежат на АВ; 2) одна вершина на АС; 3) одна вершина на ВС. Легко построить квадрат, удовл. первым двум условиям. Пусть это будет квадрат K'L'N'M'. При гомотетии с центром А и нек. коэффициентом квадрат K'L'N'M' преобразуется в квадрат K''L''N''M'', также удовлетворяющий этим условиям. Точка М'' окажется заведомо на прямой АМ . нужно среди квадратов K''L''N''M'' выбрать тот, у которого точка М'' лежит на ВС. М''=А М''n ВС. Построение. 1) Строим произвольный квадрат K'L'N'M', удовл. усл. 1, 2. 2) Строим прямую А М' и отмечаем точку М'' её пересечения с ВС. 3) Через М'' проводим прямую, параллельную М'N', и отмечаем точку N' , в которой она пересекает АС. 4) Из М'' и N'' опускаем на АВ перпендикуляры M''L'' и N''K''. Получаем искомый квадрат K''L''N''M''. Доказательство. Т.к. N'K'L=N''K''L'' (по построению N''K''= M''L'' и N''M''=K''L'' как отрезки параллельных между параллельными) фигуры AN'M'L' и AN''M''L'', подобны, ибо они состоят из подобных треугольников, поэтому N M N M (по построению) K''L''N''M'' удовлетворяет всем условиям. M L M L Исследование. Задача всегда однозначно разрешима. Задача 6. Провести треугольник по данному углу А = и длине биссектрисы bA, если известно, что высота ha делит основание а на части, пропорциональные т и п. Решение Содержание