Методика начального образования

Материалы представлены Хопрениновой В.А.,
кпн, ст.пре. каф.ДиЧМ
Тема: Методика обучения созданию высказывания
Количество часов – 2.
Цель: совершенствование умений слушателей курса организовывать процесс
обучения младших школьников отбору и организации содержания высказываний с
учетом условий общения, темы, замысла; расширению запаса используемых детьми
языковых средств, обогащению лексического и грамматического строя их речи.
Предполагаемый
результат:
овладение
методами
и
приемами,
способствующими повышению культуры речевого поведения учащихся начальных
классов на уроках русского языка.
Основные понятия: а) в области организации содержания высказывания: тема
текста и ее раскрытие; основная мысль текста и ее развитие; сбор и
систематизация материала с учетом темы, главной мысли, стиля и типа речи
высказывания;
б) в области использования языковых средств: нормы литературного языка —
орфоэпические,
лексические,
грамматические
(правильность
речи);
коммуникативная целесообразность (точность, богатство и выразительность
речи).
Задание. Изучив типологию упражнений, предложенных ниже, приведите
примеры заданий и текстов к ним (к каждому виду упражнений по одному заданию)
Методические рекомендации по выполнению задания
Работа по развитию речи должна пронизывать собой весь процесс обучения
языку, хотя объем ее может быть различным. Обязательной является органичность
сочетания речевой подготовки с изучением основного материала.
Представим обобщенно типологию упражнений, помогающих младшим
школьникам учиться формулировать мысли в соответствии с требованиями
культуры речи.
1. Н а б л ю д е н и е за у п о т р е б л е н и е м с р е д с т в я з ы к а в о б р а з ц о в о м
т е к с т е . Место этого упражнения — на уроке чтения, при подготовке к изложениям,
при проведении диктанта, списывания и т. д.,— везде, где мы имеем дело с хорошим,
выразительным текстом. «Найдите слова, помогающие нам увидеть, представить...,
слово, рисующее..., точно называющее..., подчеркивающее...» и т. п. — вот некоторые
из предлагаемых заданий. Например:
1. Что самое главное хотел сказать автор? Почему в его рассказе все голубое?
Какое настроение создает повторение этого слова? (лексический повтор)
Голубой месяц март. Голубое небо, снега голубые На снегах тени, как синие
молнии. Голубая даль, голубые льды. Голубые перелески, голубые канавы. Первые
голубые лужи и последние голубые сосульки. А на горизонте – синяя полоска
далекого леса. Весь мир голубой!
Н. Сладков.
Весьма эффективным приемом проведения наблюдений за употреблением средств
языка может быть лингвистический (стилистический) эксперимент, при котором текст
«портится» (в нем заменяются, опускаются слова, перестраиваются предложения и т.
1
д.) для того, чтобы путем сопоставления убедить учащихся в точности,
выразительности авторского варианта.
Не менее эффективным приемом является сопоставление двух текстов –
обогащенного и «бедного» в языковом отношении. Например:
1. Прочитай тексты, в которых описывается боровик. К какому тексту – Саши
или Коли – легче нарисовать точный, живой рисунок? Какой из текстов передает
чувства автора, помогает увидеть боровик по-новому? Посчитай количество слов в
каждом тексте. У кого речь богаче – у Саши или у Коли?
Саша: 1.В траве растет боровик. 2. Ножка у боровика белая. 3. Шапка у
боровика коричневая. 4. Сам боровик маленький. 5. Мне очень понравился боровик.
Коля: 1. В высокой траве спрятался боровик. 2. Маленький грибок стоит на
толстой ножке. 3. Сдвинул коричневую шапку набекрень, ждет не дождется
человека с корзинкой. 4.Чудо! 5. Так бы и съел!
2. Р е д а к т и р о в а н и е в ы с к а з ы в а н и я с т о ч ки з р е н и я и с п о л ь з о в а н и я в
н е м я з ы к о в ы х с р е д с т в . Для подготовки подобного упражнения незаменимую помощь может оказать учителю картотека детских речевых ошибок. Он
обращается к той или иной ее рубрике в зависимости от грамматикоорфографической темы урока, от того, какие именно погрешности считает нужным
предупреждать при подготовке или анализе данного изложения, сочинения. Ученикам
для правки могут предлагаться отдельные слова («учувствовали», «тихота»,
«осинновик», «упорность»), если предупреждаются словообразовательные ошибки;
формы слов («санка», «яблоков», «хотит», «к ему»), если работа идет над морфологией; словосочетания, если ведется наблюдение над лексической сочетаемостью или
отрабатываются нормы согласования, управления; предложения и тексты, если
обсуждаются вопросы выбора слова, порядка слов, синтаксического и лексического
разнообразия использованных средств языка.
3. К о н с т р у и р о в а н и е е д и н и ц из з а д а н н ы х э л е м е н т о в б о л е е н и з к о г о
у р о в н я : словосочетаний и предложений из слов, слов из морфем. Это упражнение
часто присутствует на уроках русского языка, но далеко не всегда учителям удается
сохранять «изюминку» данного вида работы: прежде чем что-то конструировать, надо
уточнить конечную цель, что мы хотим получить, т. е. какое значение выразить, в
каком контексте потом это слово или словосочетание употребить, для решения какой
задачи составить предложение и т. п. Без выполнения этого условия снижается
обучающая ценность задания. (Вспомним еще раз слова Л. В. Щербы: если правила
для упражнения неизвестны, то и упражняться не в чем.)
4. Т р а н с ф о р м а ц и я к о н с т р у к ц и й , например изменение порядка слов,
замена слов, их пропуск, соединение двух предложений в одно и др. Это упражнение
может дополнять собой, продолжать два предыдущих. Чтобы ребенок научился в
своем собственном тексте выбирать оптимальный вариант слова, конструкции, он
должен тренироваться в этом на специально предназначенном материале.
5. П о д б о р с л о в , с о с т а в л е н и е с л о в о с о ч е т а н и й , п р и д у м ы в а н и е
предложений с з а д а н н ы м предметом речи, для выражения
определенной
мысли
и т. д. Отличие этого упражнения от предыдущих в том, что при его выполнении ученик сам ищет средства для решения
2
речевой задачи, а не опирается на готовые (например, глядя на картину (за окно и т.
п.), подобрать такие слова, которые помогли бы передать...).
7. ЛИТЕРАТУРА:
1. Русский язык в начальных классах. Теория и практика обучения / Под ред.
М.С. Соловейчик. - М., 1993 г.
2. Лосева. Как строится текст?
3. Речь, речь, речь / Под. Ред. Т.А. Ладыженской, - М., 1990.
4. Речевые секреты / Под. Ред. Т.А. Ладыженской, - М., 1992
5. Львов М.Р. Школа творческого мышления. –М., 1993.
6. Литература и фантазия./ Сост. Л.Е. Стрельцова. –М., 1992.
7. Львов М.Р. Методика развития речи младших школьников. –М.,1993.
8. Политова Н.И. Развитие речи учащихся начальных классов. –М., 1984.
9. Словарь юного филолога. –М., 1986.
10. Ж/л «Начальная школа»: 1991, №12, с. 16; 2005, №5, с.63.
Материалы представлены Виноградовой Е.П.
к.п.н., доцент кафедры ДиЧМ
Тема: Методические основы решения комбинаторных задач
Количество часов – 4.
Цель: познакомить слушателей со способами решения комбинаторных задач с
применением формул и бесформульным методом.
План.
1. Составление комбинаций
2. Подсчет вариантов с помощью графов
3. Непосредственное применение комбинаторных правил произведения
(умножения) и суммы
4. Размещения. Формула для числа размещений
5. Перестановки. Формула для числа перестановок
6. Сочетания. Формула для сочетаний
7. Комбинированные задачи
Основные понятия: перебор вариантов, полный перебор вариантов, составление
комбинаций, граф, граф-дерево дерево решений,факториал
Предполагаемый результат: сформированность практических умений в решении
элементарных комбинаторных задач
1.
Задача 1. Подсчитать число однобуквенных слов русского языка.
Решение:
Однобуквенные слова русского языка:
а – союз;
б – сокращенная форма частицы «бы»;
в – предлог;
ж – сокращенная форма союза «же»;
и – союз;
3
к – предлог;
о – предлог;
с – предлог;
у – междометие и предлог;
э – междометие;
я – местоимение.
Ответ: 11 слов.
З а м е ч а н и е. Смысл этого упражнения в том, чтобы
показатьпреимущества организованного, систематического перебора вариантов. Не
нужно перечислять однобуквенные слова произвольно, по принципу «что придет на
ум». Нужна система: берем алфавит, просматриваем буквы одну за другой и
анализируем, употребляется ли данная буква как самостоятельное слово или нет.
Задача 2. Подсчитать, сколько среди изображений букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И, К
найдется букв, имеющих: а) вертикальную ось симметрии; б) горизонтальную ось
симметрии.
Решение.
а) буквы с вертикальной осью симметрии:
А; Д; Ж – 3 буквы (не учитываем утолщение некоторых элементов букв А и Д
справа).
б) буквы с горизонтальной осью симметрии:
В; Е; Ж; 3; К – 5 букв.
Ответ: а) 3 буквы; б) 5 букв.
Задача 3. Важен или нет порядок в следующих выборках:
а) капитан волейбольной команды и его заместитель;
б) три ноты в аккорде;
в) «шесть человек останутся убирать класс!»;
г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма.
Решение.
Порядок в выборке не важен, если все места в комбинации «одинаковые»,
«равноправные».
Порядок в выборке важен, если места в комбинации «неодинаковые»
неравнозначные, поэтому оказывается не все равно, на какое место в выборке
поместить извлеченный из исходной совокупности элемент.
а) Порядок важен: поставить игрока на место капитана команды или его
заместителя – не одно и то же.
б)Аккорд – это сочетание нескольких звуков различной высоты, воспринимаемых
как звуковое единство, поэтому порядок нот в аккорде не важен.
в) Из класса выбирают шестерых учащихся для уборки; все отобранные
равноправны, все будут убирать класс, без указания каких-либо особых функций
для кого-либо из них. Порядок не важен.
г) Выбранные серии будут просматриваться не одновременно, а одна за другой.
Первой следует просмотреть ту серию, которая предшествует второй отобранной в
содержании всего фильма. Порядок важен.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да.
4
Задача 4. Сколько различных по комплектации парфюмерных наборов из двух
предметов можно составить, если в наличии имеются одинаковые флаконы одеколона
и одинаковые куски мыла?
Решение.
Порядок расположения предметов в парфюмерном наборе не важен, а
одинаковые флаконы одеколона, как и одинаковые куски мыла неразличимы между
собой, поэтому возможны следующие варианты наборов:
- одеколон, одеколон;
- одеколон, мыло;
- мыло, мыло.
В варианте «одеколон, мыло» мы не различаем, какой из двух одеколонов и
какой из двух кусков мыла включен в набор.
Ответ: 3 набора.
Задача 5. Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D. Укажите все возможные
способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой.
Сколько таких способов?
Решение.
Из условия ясно, что при выборе пар входов порядок выбора имеет значение:
АВ означает, что посетитель вошел через А и вышел через В, а В А означает, что
вошел через В и вышел через А.
Чтобы перечислить все варианты выбора двух входов, будем придерживаться
следующего правила.
Запишем обозначения всех входов в ряд: А, В, С, D. Берем первый вход и
дописываем к нему поочередно каждый из остальных входов, получаем 3 пары: АВ,
AC, AD.
Берем второй вход и дописываем к нему поочередно каждый из остальных
входов, кроме него самого, начиная с начала ряда, то естьс первого входа: ВА, ВС,
BD.
Выбирая третий, а затем четвертый вход, получаем: СА, СВ, CD; DA, DB, DC.
Общее количество способов выбора: 4 ∙ 3 = 12 (к каждому из 4 входов мы
дописывали по 3 других).
Ответ: 12 способов.
З а м е ч а н и е . Подсчитать количество способов выбора, не составляя сами пары,
можно по правилу произведения: первый выбор (через какой вход войти) можно
сделать 4 способами {А, или В, или С, или D); после этого второй выбор (через
какой вход выйти) можно сделать 3 способами (любой вход, кроме того, через
который вошли). Общее число способов выбора равно 4 ∙ 3 = 12.
Заметим, что, применяя комбинаторное правило произведения при многократном
выборе из одной и той же совокупности, мы всегда будем получать количество
вариантов выбора, учитывающих и порядок выбора элементов.
Задача 6. Анна (А), Белла (Б) и Вера (В) купили билеты в кинотеатр на 1, 2 и 3-е
места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут
занять эти три места.
Решение.
5
Количество различных способов равно числу перестановок из трех элементов:
Р3 = 3! = 6.
Перечислим эти способы:
АБВ,БАВ,ВАБ,
АВБ, БВА, ВБА.
Ответ: 6 способов.
Задача 7. Имеются 3 предмета: карандаш, тетрадь и линейка. Сколькими
способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать: а) один предмет;
б) 3 предмета; в) 2 предмета?
Решение.
Упорядочим данные нам 3 предмета: карандаш (к), тетрадь (т), линейка (л).
- Один предмет можно выбрать тремя способами: либо (к), либо (т), либо (л).
- Три предмета можно выбрать одним способом: ктл – все три сразу.
- Два предмета можно выбирать так: берем поочередно один предмет из ряда
(кроме последнего) и добавляем к нему по одному предметы, следующие за ним в
ряду: к, т; к, к; т, л.
Получаем 3 разных варианта (без учета порядка выбора).
Задача 8. Перечислить все возможные варианты разложения по двум вазам
одного яблока (я), одной груши (г) и одного апельсина (а).
Решение.
Перечислим все возможные варианты в таблице 1:
Таблица 1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
Первая
ваза
-
я
г
а
я, г
я, а
г, а
я, г, а
Вторая
ваза
я, г, а
г, а
я, а
я, г
а
г
я
-
Мы перебирали варианты заполнения первой вазы; все, что остается, помещали
во вторую.
Ответ: 8 вариантов.
Задача 9. Ашот (А), Марат (М) и Сергей (С) могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые
места в соревнованиях. Перечислить все возможные последовательности из имен
мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому
мальчиком месту в соревнованиях. Подсчитать их количество.
Решение.
Нужно подсчитать количество способов расположения трех юношей на трех
призовых местах; эти способы будут отличаться только порядком расположения
юношей (перестановки).
Сначала выбираем одного на первое место, а двух других меняем местами, потом
берем на первое место другого, и т. д.:
АМС;
МАС; САМ;
6
АСМ;
МСА; СМА.
Всего 6 вариантов расположения.
Ответ: 6 вариантов.
Задача 10. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с
каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
Решение.
Поскольку каждая пара участников играла между собой только один раз,
порядок выбора не имеет значения (когда Иванов играл с Петровым, это то же самое,
что Петров играл с Ивановым).
Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго – 8
оставшимися способами; по правилу произведения всего можно образовать 9 ∙ 8 = 72
пары, но в это число каждая пара входит дважды: сначала Иванов – Петров, затем
Петров – Иванов. Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее
количество 9 ∙ 8 партий равно
98
 36 партий.
2
Ответ: 36 партий.
Задача 11. С помощью цифр 2 и 3 записать все возможные двузначные числа, в
которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться.
Решение.
а) с помощью цифр 2 и 3 можно записать одно из двух двузначных чисел,
если цифры не повторяются: 23; 32.
б) если цифры могут повторяться, то возможны четыре варианта:
22; 23; 32; 33.
Ответ: а) два числа; б) четыре числа.
Задача 12. С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа,
в которых цифры: а) должны быть разными;
б) могут повторяться.
Решение.
а) если цифры не повторяются, то можно записать 3 ∙ 2 = 6 различных
двузначных чисел:
78,
87,
97,
79,
89,
98.
б) Если цифры могут повторяться, то можно записать 3 ∙ 3 = 9 различных
двузначных чисел:
77,
87,
97,
78,
88,
98,
79,
89,
99.
Ответ: а) 6 чисел; б) 9 чисел.
Задача 13. Перечислить все двузначные числа, в записи которых встречаются
только цифры 0, 1 и 2, если: а) одинаковых цифр в числах не должно быть; б)
цифры в числах могут повторяться.
Решение.
Особенность задачи заключается в том, что при формировании двузначного
числа на первую позицию мы не можем ставить 0.
а) выбор без повторений (запись по столбцам):
7
10; 20;
12; 21.
Всего 4 варианта.
б) выбор с повторениями:
10; 20;
11; 21;
12; 22.
Всего 6 вариантов.
Ответ: а) 4 числа; б) 6 чисел.
Задача 14. Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются
только цифры 8 и 9.
Решение.
Задачу можно рассматривать как задачу о размещении элементов двух типов на
трех местах; количество размещений (с повторениями) равно 23 = 8.
Можно рассуждать, опираясь на правило произведения: первую цифру в числе
можно выбрать 2 способами, вторую тоже 2 способами, третью – тоже 2 способами.
По правилу произведения количество трехзначных чисел равно 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.
Перечислим эти числа:
888,
988,
889,
989,
898,
998,
899,
999.
Ответ: 8 чисел.
Задача 15. Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трехзначные
числа, в которых цифры не повторяются.
Решение.
Д ано: 0 ,2,4 ,6 .
Составляем трехзначные числа. На первую позицию нельзя выбрать ноль; на
вторую и третью позицию выбираем любые цифры из оставшихся после
предыдущих выборов (повторения не допускаются):
204, 206, 240, 246, 260, 264;
402, 406, 420, 426, 460, 462;
602, 604, 620, 624, 640, 642.
Всего 18 разных трехзначных чисел.
Ответ: 18 чисел.
2.
Задача 1. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал
каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было: 1) трое; 2) четверо;
3) пятеро?
Решение.
Задача решается с помощью полных графов.
1) Встретились трое:
8
Рисунок 1
Количество рукопожатий равно количеству ребер, то есть 3.
2) Встретились четверо:
Рисунок 2
Количество ребер 6; возможно 6 рукопожатий.
3) Встретились пятеро:
В графе 10 ребер; возможно 10 рукопожатий.
Рисунок 3
Ответ: 1) 3; 2) 6; 3) 10.
Задача 2. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными
карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных
карточек было роздано, если во встрече участвовали: 1) 3 человека; 2) 4 человека; 3)
5 человек?
Решение.
Используем полные направленные графы; стрелки на каждомребре обозначают
передаваемую визитную карточку.
1) Во встрече участвовали 3 человека:
Рисунок 4
3 ребра, 6 стрелок. Передано 6 визитных карточек.
2) Во встрече участвовали 4 человека:
9
Рисунок 5
6 ребер, 12 стрелок. Передано 12 визитных карточек.
3) Во встрече участвовали 5 человек.
Рисунок 6
10 ребер, 20 стрелок. Передано 20 визитных карточек.
Ответ: 1) 6; 2) 12; 3) 20.
Задача 3. Маше на день рождения подарили три букета цветов: из роз (р), астр
(а) и гвоздик (г). В доме было две вазы – хрустальная (х) и керамическая (к).
Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислить все
полученные сочетания букета с вазой.
Решение.
Нарисуем граф-дерево:
Рисунок 7
Ответ: 6 сочетаний.
Задача 4. Перечислить все возможные варианты обедов из трех блюд (одного
первого, одного второго и одного третьего блюда), если в меню столовой имеются
два первых блюда: щи (щ) и борщ (б); три вторых блюда: рыба (р), гуляш (г) и плов
(n); два третьих: компот (к) и чай (ч).
Решение.
Нарисуем граф-дерево:
10
Всего 12 вариантов.
Ответ: 12 вариантов.
Рисунок 8
Задача 5. Перечислить все возможные цветовые сочетания брюк, свитера и
ботинок, если в гардеробе имеются брюки трех цветов: серые (с), бежевые (б) и
зеленые (з); свитера двух расцветок: песочный (n) и малиновый (м); ботинки двух
цветов: черные (ч) и коричневые (к).
Решение.
Нарисуем граф-дерево:
11
Рисунок 9
Всего 12 сочетаний.
Ответ: 12 сочетаний цветов.
Задача 6. Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы
Н, N, О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется
выбирать ответ.
б) Сколько имеется вариантов, в которых индекс равен двойке?
в) Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?
г) Как изменится дерево вариантов, если Вова помнит, что на первом месте
точно стоит буква Н, а порядок остальных букв забыл?
Решение.
а) Вова должен сделать два выбора: выбрать индекс и выбрать
место для индекса:
б) вариантов, в которых индекс равен двойке, – 3 (левое ответвление дерева
см. рис. 10).
12
Рисунок 10
в) вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте, – 4 (по два в каждой
ветви).
г) если Вова забыл, в каком порядке пишутся буквы N и О, то добавится еще
один выбор (выбор порядка букв) с двумя вариантами и общее количество вариантов
формулы удвоится (см. рис.11)
Рисунок 11
Ответ: а) Дерево с двумя уровнями, шестью вариантами; б) 3; в) 4; г) дерево с
тремя уровнями, двенадцатью вариантами.
Задача 7. Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На
должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на
должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его
помощью число различных исходов.
б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?
в) В скольких вариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность
префекта состоят из разного числа букв?
г) Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть еще кандидата «против
всех»?
Решение.
а) Дерево возможных вариантов голосования (см. рис. 12)
13
Рисунок 12
Возможны 9 различных исходов выборов.
б) Кандидатура Эшкина будет в трех вариантах.
в) Фамилии кандидатов состоят из разного числа букв в 6 вариантах (два правых
ответвления).
г) Если учесть кандидата «против всех», то количество вариантов при каждом
выборе будет 4, а не 3. При этом:
– общее число исходов будет 16;
– кандидатура Эшкина будет в четырех вариантах.
Ответ: а) дерево с двумя уровнями, 9 вариантами; б) 3; в) 6.
Задача 8. У Аси есть любимый костюм, в котором она ходит в школу. Она
надевает к нему белую, голубую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки»
берет босоножки или туфли. Кроме того, у Аси есть три разных бантика (№ 1, 2, 3),
подходящих ко всем блузкам.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов Асиной одежды.
б) Сколько дней Ася сможет выглядеть по-новому в этом костюме?
в) Сколько дней она будет ходить в туфлях?
г) Сколько дней она будет ходить в красной блузке и босоножках?
Решение.
а) Дерево возможных вариантов Асиной одежды:
Блузки: Б – белая, Г – голубая, Р – розовая, К – красная;
обувь: БН – босоножки, Т – туфли;
банты – по номерам.
Всего возможно 24 варианта одежды.
б) 24 дня;
в) 12 дней (половина вариантов);
г)3 дня (предпоследнее справа ответвление дерева).
Дерево возможных вариантов – на рисунке 13.
14
Рисунок 13
Ответ: а) дерево с тремя уровнями, 24 вариантами; б) 24;
в) 12; г) 3.
Задача 9. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту
Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антонова в Борисово можно
сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисова во Власово можно дойти пешком
или доехать на велосипедах. Из Власова в Грибово можно доплыть по реке, доехать
на велосипедах или дойти пешком.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.
б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?
в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?
г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы
на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?
Решение.
а) Дерево возможных вариантов похода (рис. 14):
Рисунок 14
б) Всего возможно 12 вариантов похода.
в) Полностью не пеших вариантов – 2 (первые слева).
г) Вариантов похода, в которых хотя бы на
маршрута используются велосипеды, восемь.
одном
из
участков
15
1) АрБвВрГ
2) АрБвВвГ
3) АрБвВпГ
4) АрБпВвГ
5) АпБвВрГ
6) АпБвВвГ
7) АпБвВпГ
8) АпБпВвГ
Заглавные буквы – первые в названии населенных пунктов;
строчные буквы – способ передвижения: р – по реке; п – пешком;
в – на велосипеде.
Ответ: а) дерево с тремя уровнями; б) 12; в) 2; г) 8.
Задача 10. Пользуясь таблицей вариантов, перечислить все двузначные числа,
записанные с помощью цифр: а) 3, 4, 5; б) 7, 8, 9.
Решение.
а) Составляем таблицу вариантов для цифр 3, 4, 5:
Таблица 2
б) Составляем таблицу вариантов для цифр 7, 8, 9:
Таблица 3
Ответ: 2 таблицы вариантов.
Задача 11. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она
решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора
подруг. Сколько таких вариантов?
Решение.
Из условия ясно, что порядок выбора значения не имеет (для Ирины все равно:
пойдет
она
в
кино
с
Верой
и
Зоей,
или
с
Зоей
и
Верой). Поэтому для перечисления всех возможных вариантов выбора подруг
построим треугольник вариантов:
Таблица 4
Вера
Зоя
Вера
Зоя
Х
З–В
В–3
Х
Марина
В – М
3–М
Полина
В – П
З–П
Светлана
В – С
3–С
16
Марина
Полина
Светлана
М–В
П–В
С–В
М–З
П–З
С–З
Х
П–М
С–М
М–П
Х
С–П
М – С
П – С
Х
Будем
рассматривать
только
варианты,
расположенные
над
диагональю
таблицы,
отмеченной
крестиками
(легко
видеть,
что
под диагональю стоят те же самые варианты выбора подруг, отличающиеся только
порядком выбора). Всего в таблице 5 ∙ 4 = 20 вариантов; без учета порядка выбора
54
получаем
= 10 вариантов.
2
Можно использовать следующее правило для выбора всех пар из т элементов,
отличающихся только составом элементов, без учета их порядка.
Запишем все т элементов в ряд и пронумеруем их:
1, 2, 3, ... k, . . . т – 1 , т.
Берем первый элемент и добавляем к нему поочередно все последующие
элементы; получаем т – 1 пару:
1 – 2, 1 – 2, ... 1 – k, ... 1 – (т – 1), 1 – т.
Берем второй элемент и добавляем к нему поочередно все последующие
элементы; получаем т – 2 пары:
2 – 3 , 2 – 4 , . . . 2 – k , . . . 2 – ( m – 1 ), 2 – m.
Затем в качестве первого берем третий, четвертый и так далее элементы, добавлять к
каждому будем только следующие за ним элементы. Последним будет элемент номер
п – 1, он образует только одну пару: (т – 1) – т. Общее количество пар найдем как
сумму членов убывающей арифметической прогрессии с а1 = т – 1, d = – l, п = т –
1;
Ответ: 10 вариантов.
3.
Задача 1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью
цифр: а) 1 и 2; б) 0 и 1?
Решение.
а)Составляем трехзначные числа из цифр 1 и 2: первую цифру можно выбрать 2
способами, вторую – 2 и третью – тоже 2, всего можно составить: 2 • 2 • 2 = 2 3 = 8
различных трехзначных чисел.
б) Составляем трехзначные числа из цифр 0 и 1: первую цифру можно выбрать
1 способом (ноль нельзя), вторую – 2 и третью – тоже 2, всего можно составить:
1 ∙ 2 ∙ 2 = 4 различных трехзначных числа.
Ответ: а) 8; б) 4.
17
Задача 2. Сколько различных трехзначных чисел, в записи которых цифры
могут повторяться, можно записать с помощью цифр:
а)1, 2, 3, 4; б)0, 1, 2, 3?
Решение.
а) Составляем трехзначные числа из цифр 1, 2, 3, 4 с повторениями:
- первую цифру можно выбрать 4 способами, вторую и третью тоже 4
способами, всего можно составить 4 ∙ 4 ∙ 4 = 43 = 64 различных трехзначных числа.
б) Составляем трехзначные числа из цифр 0, 1, 2, 3 с повторениями:
- первую цифру можно выбрать 3 способами (ноль нельзя), вторую и третью – 4
способами каждую; всего можно составить 3 ∙ 4 ∙ 4 = 48 различных трехзначных
чисел.
Ответ: а) 64; б) 48
Задача 3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью
цифр 6, 7, 8, 9, 0 при условии, что цифры в числе: а) могут повторяться; б) должны
быть различными?
Решение.
а) Составляем трехзначные числа из пяти цифр 6, 7, 8, 9, 0 с повторениями:
первую цифру выбираем 4 способами (ноль нельзя); вторую и третью цифры – 5
способами каждую, всего можно составить 4 ∙ 5 ∙ 5 = 100 различных трехзначных
чисел.
б) Составляем трехзначные числа из пяти цифр 6, 7, 8, 9, 0 без повторений:
первую цифру можно составить 4 способами (ноль нельзя), вторую – тоже 4
способами (из пяти данных цифр, включая ноль, но исключая цифру, выбранную на
первую позицию), третью цифру – 3 способами, всего можно составить: 4 ∙ 4 ∙ 3 = 48
различных трехзначных чисел.
Ответ: а) 100; б) 48.
Задача 4. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры
в числах могут повторяться?
Четырехзначное число кратно 10, если его первая цифра не ноль, а последняя –
только ноль.
Задачу проще всего решить прямым применением правила произведения: первую
цифру можно выбрать 9 способами, вторую – 10, третью – 10 (выбор с
повторением), четвертую – 1. По правилу произведения количество чисел равно: 9 ∙
10 ∙ 10 ∙ 1 = 900.
Ответ: 900 чисел.
Задача 5. Из села Дятлова в село Матвеевское ведут три дороги, а из села
Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть
из Дятлова в Першино через Матвеевское?
Решение.
Для проезда из Дятлова в Матвеевское можно выбрать одну из трех дорог; после
этого для проезда из Матвеевского в Першино можно выбрать одну из четырех
дорог. Каждый вариант первого выбора может сочетаться с каждым вариантом
второго выбора, поэтому по правилу произведения общее количество вариантов
равно: 3 ∙ 4 = 12.
Ответ: 12 способами.
18
Задача 6. Чтобы попасть из города А в город В, нужно по дороге доехать до
реки, а затем переправиться на другой ее берег. До реки можно доехать на
мотоцикле, на автобусе, на автомобиле или дойти пешком. Через реку можно
переправиться либо вплавь, либо переплыть на лодке, либо на пароме. Сколько
существует различных способов добраться из города А в город В?
Решение.
Первый выбор – способ добраться до реки – может быть сделан из 4 вариантов;
после этого второй выбор – способ переправиться через реку – может быть сделан из
3 других вариантов; по правилу произведения количество способов добраться из
города А в город В равно 4 ∙ 3 = 12.
Ответ: 12 способов.
Задача 7. Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов.
Сколько различных (по сочетанию видов овощей) вариантов салатов можно
приготовить?
Решение.
Если считать, что порядок выбора овощей для салата важен и должен
учитываться (что кажется странным), то можно приготовить: 6 ∙ 5 ∙ 4 = 120
вариантов салата. Если порядок выбора значения не имеет, то это число нужно
разделить на количество различных перестановок из трех элементов, равное 1 ∙ 2 ∙
3 = 3! = 6;
тогда получим С 6 
3
120
 20 различных вариантов салатов.
6
Ответ: 120 или 20.
Задача 8. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В
ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы:
пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных
карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?
Решение.
В задаче 4 последовательных выбора, каждый из своего множества вариантов.
Общее количество различных карнавальных костюмов по правилу произведения
равно:
5 ∙ 6 ∙ 3 ∙ 2 = 180.
Ответ: 180 различных костюмов.
Задача 9. В ларьке продается пять видов мороженого (не менее двух брикетов
каждого вида). Оля и Таня покупают по одному брикету. Сколько существует
вариантов такой покупки?
Решение.
Оля может выбрать брикет любого из 5 видов; Таня также может выбрать
брикет любого из 5 видов (в том числе и такой, какой купила Оля); общее число
вариантов покупки равно (по правилу произведения): 5 ∙ 5 = 25.
Ответ: 25 вариантов.
Задача 10. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня
берут по одному мелку. Сколько существует различных вариантов такого выбора
двух мелков?
Решение.
19
В данном случае порядок выбора имеет значение (один цвет может попасться
Гене или Тане).
Гена может выбрать один из 8 мелков, а Таня – один из 7 остающихся; общее
количество вариантов выбора по правилу произведения равно 8 ∙ 7 = 56.
Ответ: 56 вариантов.
Задача 11. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых
можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе: а) могут повторяться;
б) должны быть различными.
Решение.
а) если цифры в числе могут повторяться, то цифру на первую позицию можно
выбрать 6 способами, после этого цифру на вторую позицию – также 6 способами,
всего возможно составление 6 · 6 = 36 различных двузначных чисел.
б) если цифры должны быть различными, то первый выбор имеет 6
вариантов, а второй – 5 остающихся; всего возможно составление 6 · 5 = 30
различных двузначных чисел.
Ответ: а) 36; б) 30.
Задача 12. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?
б) Сколько среди них чисел, кратных 5?
в) Сколько среди них чисел, кратных 11?
г) Сколько среди них чисел, кратных 3?
Решение.
а) Цифру на первую позицию в составленном числе мы можем выбрать 5
разными способами; после этого на вторую позицию цифру можно выбрать
также 5 способами (предполагается, что цифры могут повторяться); всего по
правилу произведения есть 5 ∙ 5 = 25 разных способов выбора и соответственно 25
разных двузначных чисел.
б) Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5, поэтому на второй позиции
фиксируем цифру 5, а на первую позицию можем выбрать любую из 5 данных цифр
(один выбор). Получаем 5 разных двузначных чисел, кратных 5.
в) Двузначное число кратно 11, если обе его цифры равны, поэтому для
составления такого числа достаточно сделать один выбор и выбранную цифру
записать на обоих позициях. Одну цифру из 5 данных можно выбрать пятью
разными способами, поэтому получаем 5 разных двузначных чисел, кратных 11.
г) Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Чтобы подсчитать
количество таких чисел, нужно узнать, сколько среди всевозможных пар,
отличающихся составом, но не учитывающих порядка расположения цифр в паре,
можно составить из 5 данных цифр, а затем подсчитать, сколько среди этих пар
таких, сумма цифр которых делится на 3 (фактически мы используем при этом метод
полного перебора).
Составим все возможные пары цифр из 1, 3, 5, 7, 9 (без учета порядка):
1-1 3 - 3 5 - 5 7 - 7 9 - 9
1-3 3-5 5-7 7-9
1-5 3 - 7 5 - 9
1-7 3-9
1-9
20
Таких пар 15. Среди них 5 пар (1 – 5, 3 – 3, 3 – 9, 5 – 7 и 9 – 9), сумма цифр
которых делится на 3, причем три пары (1 – 5, 3 – 9 и 5 – 7) допускают
перестановку, то есть могут образовать по два разных числа.
Таким образом, из данных 5 цифр можно составить 5 + 3 = 8 различных
двузначных чисел, кратных 3.
Ответ: а) 25; б) 5; в) 5; г) 8.
4.
Задача 1. Из трех стаканов сока – ананасового (а), брусничного (б) и
виноградного (в) – Иван решил последовательно выпить два. Перечислить все
варианты, которыми это можно сделать.
Решение.
Это задача о выборе двух элементов из трех с учетом порядка выбора.
Перечислим эти варианты:
аб,
ба,
ва,
ав,
бв,
вб.
2
Формула для числа размещений: А3 = 3 ∙ 2 = 6 вариантов.
Ответ: 6 вариантов.
Задача 2. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье
места (по одному человеку на место) на соревнованиях, в которых участвуют: а) 5
человек; б) 6 человек?
Решение.
Это задача о выборе трех элементов из 5 или 6 с учетом порядка выбора.
а) по правилу произведения 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 способов.
б) по правилу произведения 6 ∙ 5 ∙ 4 = 120 способов.
Формула для числа размещений:
3
А5 = 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60;
= 6 ∙ 5 ∙ 4 = 120.
Ответ: а) 60 способов; б) 120 способов.
Задача 3. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в
четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Решение.
Пронумеруем места в купе (с № 1 по № 4) и будем «выдавать» каждому из трех
членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по
3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в
ней элементов (кто именно и на каком месте поедет). Число способов равно числу
размещений из 4 по 3:
А
3
6
А
3
4
 4  3  2  24 способа.
Можно рассуждать, непосредственно применяя правило произведения: для
первого члена семьи можно выбрать любое из 4 мест, для второго – любое из 3
оставшихся, для третьего – любое из двух оставшихся, всего 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24 способа
рассадить семью в купе.
Ответ: 24 способа.
21
Задача 4. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение.
Из 30 элементов выбираем 2, причем порядок выбора имеет значение.
Количество способов выбора равно
 30  29  870 способов.
А
2
30
Ответ: 870 способов.
Задача 5. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8
участниц финального забега на дистанцию 100 м?
Решение.
Выбор из 8 по 3 с учетом порядка:
А
 8  7  6  336 способов.
А
 7  6  5  4  840 способов.
А
 12  11  10  9  11 880 способов.
А
 15  14  13  2 730 способов.
А
 6  5  30 способов.
3
8
Ответ: 336 способов.
Задача 6. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить
на них 4 поезда?
Решение.
Выбираем из 7 запасных путей 4 пути для размещения на них поездов; порядок
выбора имеет значение:
4
7
Ответ: 840 способов.
Задача 7. На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12
спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них
побежит в эстафете 4 x 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
Решение.
Выбор из 12 по 4 с учетом порядка:
4
12
Ответ: 11880 способов.
Задача 8. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и
третья премии между 15 участниками конкурса?
Решение.
Выбираем 3 призеров из 15 участников конкурса с учетом порядка (кому какая
премия):
3
15
Ответ: 2 730 способов.
Задача 9. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими
способами можно вложить в свободные места:
а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий?
Решение.
а) выбираем 2 места для фотографий из 6 свободных мест в альбоме:
2
6
б) выбираем 4 места для фотографий из 6:
22
А
4
6
 6  5  4  3  360 способов.
в) выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):
А
6
6
 Р6 = 6! = 720 способов.
Ответ: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.
Задача 10. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими
буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?
Решение.
Выбираем 5 букв для обозначения точек из 26 букв в алфавите; порядок выбора
имеет значение (какую точку какой буквой обозначим):
5
А26  26  25  24  23  22  7 893 600 способов.
Ответ: 7 893 600 способов.
Задача 11. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр,
можно составить из цифр: а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8?
Решение.
а) выбираем 4 цифры из 5 данных; порядок выбора имеет значение:
4
А5  5  4  3  2  120 чисел.
б) выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноль.
Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран
ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем
3
А4  4  3  2  24 «нулевых» комбинаций, которые недопустимы. Количество
четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел, равно:
А А
4
3
5
4
 120  24  96 чисел.
Можно рассуждать, непосредственно используя правило произведения: первый
выбор – 4 варианта, второй выбор – 4 варианта (включая ноль), третий выбор – 3
варианта, четвертый выбор – 2 варианта. Всего 4 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 = 96 чисел.
Ответ: а) 120 чисел; б) 96 чисел.
Задача 12. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:
а) не встречаются цифры 6 и 7;
б)цифра 8 является последней?
Решение.
а) выбираем 3 цифры из 7 (без 6 и без 7) с учетом порядка выбора; число
вариантов:
А
3
7
 7  6  5  210 чисел.
б) фиксируем цифру 8 на последнем месте; на остальные два места перед ней
можно выбрать любые 2 цифры из 8 оставшихся (с учетом порядка выбора).
Количество вариантов:
А
2
8
 8  7  56 чисел.
Ответ: а) 210 чисел; б) 56 чисел.
23
Задача 13. Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв,
взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трех различных цифр. Сколько машин можно
обеспечить такими номерами?
Решение.
Выбираем (без повторений) 2 буквы из 5 и 3 цифры из 10; порядок выбора
учитывается (номера 012 КТ и 102 ТК – разные).
Количество способов:
 5  4  20 ;
 10  9  8  720 .
10
А
выбор цифр: А
выбор букв:
2
5
3
Каждый вариант выбора букв может сочетаться с каждым вариантом выбора
цифр, поэтому по правилу произведения общее число способов равно:
А5  А10  20  720  14 400 способов.
2
3
Ответ: 14 400 способов.
Задача 14. Сколько команд участвовало в финале первенства, если известно, что
каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по
одной игре на поле соперника, причем всего было сыграно 30 игр?
Решение.
Поскольку каждая пара команд сыграла между собой по две игры (на своем и на
чужом поле), то выбор пары осуществляется с учетом порядка, то есть составляются
всевозможные размещения из п по 2. По условию задачи
6 ∙ 5, п = 6.
Ответ: 6 команд.
А
2
т
 30 , отсюда п∙(п – 1) =
5.
Задача 1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: а) 3
человека; б) 5 человек?
Решение.
Различные варианты расположения п человек в очереди отличаются один от
другого только порядком расположения людей, то есть являются различными
перестановками из п элементов.
а) три человека могут встать в очередь Р3 = 3! = 6 различными способами.
б) пять человек могут встать в очередь Р5 = 5! = 120 различными способами.
Ответ: а) 6 способов; б) 120 способов.
Задача 2. У Вовы на обед – первое, второе, третье блюда и пирожное. Он
обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке.
Найдите число возможных вариантов обеда.
Решение.
После пирожного Вова может выбрать любое из трех блюд, затем – из двух и
закончить оставшимся. Общее число возможных вариантов обеда: 3  2  1 = 6 .
Ответ: 6.
24
Задача 3. Сколько различных правильных (с точки зрения русского языка) фраз
можно составить, изменяя порядок слов в предложении: а) «Я пошел гулять»; б) «Во
дворе гуляет кошка»?
Решение.
а) В первом предложении каждое слово может стоять на любом из трех мест,
поэтому из этих слов можно составить Р3 = 3! = 6 различных предложений, причем
все они допускаются грамматикой русского языка.
б) Во втором предложении предлог «во» должен всегда стоять перед
существительным «дворе», к которому он относится. Поэтому, считая пару «во
дворе» за одно слово, можно найти количество различных перестановок трех
условных слов: Р3 = 3! = 6.
Таким образом, и в этом случае можно составить 6 правильных предложений.
Ответ: а) 6; б) 6.
Задача 4. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола: а) 6 гостей
на 6 стульях; б) 7 гостей на 7 стульях?
Решение.
Будем считать, что стулья, стоящие вокруг стола, пронумерованы. Тогда
варианты расположения п человек на п стульях будут отличаться один от другого
только порядком расположения людей на п пронумерованных местах, то есть будут
являться перестановками из п элементов.
а) Шестерых гостей можно расположить: Р6 = 6! = 720 различными способами.
б) Семерых гостей можно расположить: Р7 = 7! = 5 040 различными способами.
Ответ: а) 720 способов; б) 5 040 способов.
Задача 5. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но
забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов,
которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
Решение.
Три последних цифры телефонного номера могут быть расположены в одном из
Р3 = 3! = 6 возможных порядков, из которых только один верный. Ольга может сразу
набрать верный вариант, может набрать его третьим и т.д. Наибольшее число
вариантов ей придется набрать, если правильный вариант окажется последним, то
есть шестым.
Ответ: 6 вариантов.
Задача 6. Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым
становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько
существует способов построения?
Решение.
После капитана и вратаря третий игрок может выбрать любое из 9 оставшихся
мест, следующий – из 8 и т. д. Общее число способов построения по правилу
произведения равно:
1  9  8  7  6  5  4  3  2  1 = 362 880, или 1  Р9 = 9! = 362 880.
Ответ: 362 880.
Задача 7. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых
5 книг – это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом?
Решение.
25
Из 12 элементов 5 элементов можно «склеить» Р5 = 5! = 120 различными
способами.
Число различных перестановок из 8 элементов (7 элементов + «склейка») равно
Р8 = 8! = 40 320.
Общее число способов расставить 12 книг, из которых 5 должны стоять рядом,
равно 120  40 320 = 4 838 400.
Ответ: 4 838 400 способов.
Задача 8. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в
театре в одном ряду места с 1 по 10?
Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на
нечетных местах, а девочки – на четных?
Решение.
а) 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10
Р10 = 10! = 3 628 800 различными способами.
б) Если мальчики могут сидеть только на нечетных местах, а девочки только на
четных, то мы можем менять местами только мальчиков с мальчиками (Р5 = 5! = 120
вариантов для мальчиков), а девочек с девочками (Р5 = 5! = 120 вариантов для
девочек).
Каждый вариант расположения мальчиков может сочетаться с каждым из
вариантов расположения девочек, поэтому по правилу произведения общее число
способов рассадить детей в этом случае равно 120  120= 14 400.
Ответ: 3 628 800 способов; 14 400 способов.
6.
Задача 1. У лесника 3 собаки: Астра (А), Вега (В) и Гриф (Г). На охоту лесник
решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары
собак.
Решение.
Это задача о выборе двух элементов из трех без учета порядка.
Перечислим варианты выбора из А, Б, В по два:
А, Б; А, В; Б, В.
Если учащиеся знают формулу для числа сочетаний, то количество вариантов
равно:
2
3 2
1
С 3  С 3  С 3  3.
Ответ: 3 варианта.
Задача 2. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими
способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Решение.
Выбираем 2 учащихся из 7, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных
пойдут на олимпиаду как полностью равноправные);
количество способов выбора равно числу сочетаний из 7 по 2:
26
С7 
2
76
 21 способ.
1 2
Ответ: 21 способ.
Задача 3. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок,
посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3
набора?
Решение.
Выбор из 8 по 3 без учета порядка:
С8 
3
876
 56 способов.
1 2  3
Ответ: 56 способов.
Задача 4. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать
во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Решение.
Выбор 6 из 10 без учета порядка:
10  6
С10  С10  С10 
6
4
10  9  8  7
 210 способов.
1 2  3  4
Ответ: 210 способов.
Задача 5. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников,
надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать,
если:
а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;
б) заведующий лабораторией должен остаться?
Решение.
Из 11 человек 5 должны поехать в командировку.
а) заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся:
С10 
4
10  9  8  7
 210 способов;
1 2  3  4
б) заведующий остается, нужно выбрать 5 из 10 сотрудников:
С
5
10

10  9  8  7  6
 252 способа.
1 2  3  4  5
Ответ: а) 210 способов; б) 252 способа.
Задача 6. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории
требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это
можно сделать?
Решение.
4
Нужно сделать два выбора: 4 мальчиков из 16 (всего С 16 способов) и 3 девочек
из 12 (всего С 12 способов); порядок выбора значения не имеет (все идущие на уборку
равноправны). Каждый вариант выбора мальчиков может сочетаться с каждым
выбором девочек, поэтому по правилу произведения общее число способов выбора
равно:
3
27
С С
4
16

12
3
16  15  14  13 12  11  10

 400 400 способов.
1 2  3  4
1 2  3
Ответ: 400 400 способов.
Задача 7. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений
10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2
журнала?
Решение.
Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 ( С 10 способов) и 2 журнала из 4 ( С 4
способов); порядок выбора не имеет значения. Каждый выбор книг может сочетаться
с каждым выбором журналов, поэтому общее число способов выбора по правилу
произведения равно:
3
С10  С 4 
3
2
2
10  9  8 4  3

 720 способов.
1 2  3 1 2
Ответ: 720 способов.
Задача 8. Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех
из них надо отправить на четвертый этаж, а четырех – на пятый этаж. Сколькими
способами это можно сделать?
Решение.
Два выбора: сначала из 12 рабочих выбираем троих (без учета порядка), затем из
оставшихся 9 рабочих выбираем четверых (также без учета порядка). Количество
способов:
12  11  10
 220 способов;
1 2  3
987 6
4
 126 способов.
второй выбор: С 9 
1 2  3  4
первый выбор:
С
3
12

Каждый вариант первого выбора может сочетаться с каждым вариантом второго
выбора, поэтому по правилу произведения общее число способов равно:
3
4
С12  С 9  220  126  27 720 способов.
Ответ: 27 720 способов.
Задача 9. Из группы туристов четырех дежурных можно выбрать в 13 раз
большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?
Решение.
В группе п туристов. Выбрать из них четырех дежурных можно
разными способами, а двух дежурных
разными способами. По условию задачи:
28
(Решение квадратного уравнения относительно п излишне.)
Ответ: 15 туристов.
Задача 10. На плоскости отметили точку. Из нее провели 9 лучей. Сколько
получилось при этом углов?
Решение.
Каждые два луча, исходящие из одной точки, образуют угол, a
лучей можно образовать
количество углов равно:
Из 9
пар (порядок не имеет значения), поэтому общее
улов.
Ответ: 36 углов.
Задача 11. Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на две
группы: а) по 4 и 8 человек; б) по 5 и 7 человек?
Решение.
Количество способов разбиения множества на две части равно количеству
способов формирования одной из частей (любой). Поскольку порядок расположения
элементов не учитывается, имеем:
способов разбиения на 4 и 8 элементов.
способов разбиения на 5 и 7
элементов.
Ответ: а) 495 способов; б) 792 способа.
Замечание.
Задача
иллюстрирует
свойство
биноминальных
коэффициентов:
Задача 12. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите:
а) число всех возможных вариантов выбора;
б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть 4 туза;
в) число вариантов, при которых все полученные карты – пики;
г) число вариантов, при которых все полученные карты – одной масти.
Решение.
а) пять карт вынимают без учета порядка их расположения и без учета их вида,
поэтому число всех возможных вариантов выбора равно
29
б) Сформировать выборку из 5 карт с 4 тузами можно следующим образом:
выбираем из 4 тузов всех четырех (число способов выбора равно
а
затем выбираем еще одну карту из 32 оставшихся карт (без тузов); по правилу
произведения число вариантов равно
в) в колоде 4 масти, количество пиковых карт равно 36 : 4 = 9. Выбираем из 9
пиковых карт 5 любых карт без учета порядка:
г) количество мастей в колоде – 4, количество способов выбрать 5 карт одной
(любой) масти –
по правилу произведения выбор: «масть, затем 5 карт этой
масти» имеет 4 ∙ 126 = 504 различных вариантов осуществления.
Ответ: а) 376 992; б) 32; в) 126; г) 504.
Задача 13. По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать
двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать:
а) при условии, что пару обязательно должны составить мальчик и девочка;
б) без указанного условия?
Решение.
а) выбираем 1 мальчика из 13 и 1 девочку из 15; общее число способов выбора
пары:
б) выбрать 2 дежурных из
можно
учащихся класса (без учета порядка)
Ответ: а) 195; б) 378.
7.
Задача 1. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами
тренер может выбрать из них для предстоящего турнира:
а) команду из четырех человек;
б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет
играть на первой, второй, третьей и четвертой досках?
Решение.
а) выбираем 4 шахматистов из 16 без указания порядка; количество способов
б) выбираем 4 шахматистов из 16 с указанием порядка их расположения в
команде; количество способов
30
Ответ: а) 1 820 способов; б) 43 680 способов.
Задача 2. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно
выбрать: а) двух дежурных; б) старосту и помощника старосты?
Решение.
а) При выборе двух дежурных порядок выбора не имеет значения (дежурные
неразличимы), поэтому общее количество способов выбора равно:
б) При выборе старосты и помощника порядок выбора имеет значение
(Иванов – староста, Петров – помощник и Петров – староста, Иванов – помощник
– это разные выборы), поэтому общее количество способов выбора равно
Ответ: а) 276; б) 552.
Задача 3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (с
повторением цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна: а) 3; б) 4;
в) 6?
Решение.
Для каждой из данных сумм цифр нужно выбрать наборы из трех цифр,
входящих в перечень 1, 2, 3, 4, 5; при этом допускается повторение цифр.
После этого в каждой тройке сделаем все возможные перестановки и найдем
общее число трехзначных чисел с данной суммой цифр (по правилу суммы).
а) Сумма цифр равна 3. Такую сумму имеет единственный трехзначный
набор 111, в котором перестановки невозможны, так как все три цифры одинаковые.
В этом случае получаем 1 число.
б) Сумма цифр равна 4. Такую сумму имеет единственный трехзначный
набор 112, но в этом наборе возможны 3 перестановки (2 может стоять на первом,
втором или третьем месте).
В этом случае получаем 3 числа.
в) Сумма цифр равна 6. Такую сумму имеют следующие трехзначные наборы:
114; 123 и 222
В первом наборе возможны 3 перестановки, во втором – Р3 = 3! = 6
перестановок, в третьем – ни одной. По правилу суммы в этом случае получаем
3 + 6 + 1 = 10 различных чисел.
Задача 4. «Вороне как-то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика
и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась,
да призадумалась»:
а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать;
б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков;
в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких
вариантов придется выбирать;
г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек все-таки бросить Лисе, а
потом ответить на вопрос пункта «а»?
Решение.
Вороне Бог послал кусочки 5 разных видов.
31
а) Есть все кусочки по очереди – это значит выбирать только порядок их
расположения, то есть образовывать разные перестановки из 5 элементов.
Количество вариантов:
б) Делать бутерброды из двух кусочков – это значит выбирать разные пары из
5 данных кусочков; при этом порядок выбора не важен; количество вариантов:
в) Спрятать какие-то два кусочка – это значит выбрать пару из 5 данных
кусочков без учета порядка, а остальные три съесть сразу; количество вариантов то
же:
г) Если бросить Лисе кусочек, то останутся 4 кусочка, которые можно съесть
одним из Р4 = 4! =24 способов (меняется только порядок поедания). Но Лисе можно
бросить любой из 5 имеющихся кусочков, при этом в каждом случае будет
оставаться 4 разных набора кусочков, каждый из которых можно съесть 24
способами. Поэтому общее число вариантов по правилу умножения будет равно:
Ответ: а) 120; б) 10; в) 10; г)120.
Задача 5. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли
сыграть квартет». Сколькими способами они могут:
а) по одному сесть за выбранные четыре инструмента;
б) выбрать 5 инструментов из 12 данных;
в) по одному сесть за какие-то 4 из выбранных 5 инструментов из 12 данных;
г) выгнать одного, не имеющего слуха, и потом сыграть на каких-то 3 из
выбранных 5 инструментов из 12 данных?
Решение.
а) Четыре «музыканта» могут сесть за 4 выбранные инструмента Р4 = 4! = 24
различными способами (меняется только порядок расположения «музыкантов»; это
перестановки).
б) выбрать 5 инструментов из 12 данных без учета порядка выбора можно
разными способами.
в) выбрать 4 инструмента из 5 можно
различными способами;
после этого рассесться за 4 инструментами можно Р4 = 4! = 24 различными
способами; общее число вариантов по правилу произведения равно
г) выгнать одного из четырех музыкантов можно одним из
разных
способов; после этого выбрать какие-то 3 из выбранных пяти инструментов можно
разными способами. Далее в условии задачи не говорится о
том, что оставшиеся 3 музыканта будут рассаживаться за выбранными 3
32
инструментами; они «сыграют на каких-то трех из выбранных 5 инструментов»,
видимо, каким-то одним, произвольным способом разобрав инструменты. При таком
толковании условия задачи общее число способов по правилу произведения будет
равно:
Ответ: а) 24; б) 792; в) 120; г) 40.
Задача 6. Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не
смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три
вопроса.
а) Сколько существует вариантов билетов?
б) Сколько из них тех, в которых Вова знает все вопросы?
в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?
г) Сколько из них тех, в которых Вова выучил большинство вопросов?
Решение.
а) Для составления билета выбираются 3 вопроса из 20 имеющихся, при этом
порядок выбора значения не имеет. Общее число вариантов билетов равно:
б) Вова выучил 12 вопросов; из этих вопросов можно составить
разных билетов.
в) Количество билетов, в которых есть вопросы всех трех типов, равно: 12
вариантов выбора вопроса, который выучил, умножить на 5 вариантов выбора
вопроса, который совсем не смотрел, и умножить на 20 – 12 – 5 = 3 варианта выбора
вопроса, в котором кое-что знает, всего 12 ∙ 5 ∙ 3 = 180 разных билетов.
г) Билеты, в которых Вова выучил большинство вопросов, это билеты, в
которых он знает два или все три вопроса. Билетов, в которых Вова выучил все 3
вопроса – 220 (см. пункт б). Найдем, сколько есть билетов, в которых Вова
С
2
выучил 2 вопроса: выбрать 2 вопроса из 12 изученных можно
12 разными
способами; третий вопрос можно выбрать из 8 остальных вопросов (8 вариантов
выбора). По правилу произведения количество билетов, в которых Вова выучил два
вопроса, равно
Таким образом, количество билетов, в которых Вова выучил большинство
вопросов, по комбинаторному правилу сложения равно 220 + 528 = 748.
Ответ: а) 1 140; б) 220; в) 180; г)748.
33
Самостоятельная работа
Задание 1. О каких комбинациях идет речь в следующих задачах:
а) Сколько всего двузначных чисел?
б) Сколько всего трехзначных чисел, в записи которых цифры не повторяются?
в) На прямой взяли 5 точек. Сколько получилось отрезков, концами которых
являются эти точки?
Задание 2. Сколькими способами можно выбрать председателя и секретаря
собрания из 42 человек?
Задание 3. В библиотеке имеется 15 различных книг Пушкина, 10 различных
книг Чехова, 6 различных книг Тургенева. Сколькими способами можно сделать
выбор трех книг так, чтобы среди них была одна книга Пушкина, одна – Чехова, одна
– Тургенева?
Задание 4. Сколькими способами 5 человек могут разместиться в очередь в
кассу?
Задание 5. В классе 8 предметов. Сколькими способами можно составить
расписание на среду, если в этот день 5 уроков?
Задание 6. На одной из боковых сторон треугольника взято k точек, а на другой
– m. Каждая из вершин при основании треугольника соединена отрезками с точками,
взятыми на противоположной стороне. Сколько точек пересечения этих прямых
образуется внутри треугольника?
Проверочная работа №1
Правило суммы. Правило произведения
№
1.
2.
3.
Задания
Сколькими способами можно присудить три призовых места
в соревновании, если число соревнующихся n и каждая премия
присуждается только одному лицу?
Сколькими способами можно составить обед из трех блюд,
если в меню первых блюд m, вторых – n, а третьих – k?
Баллы
1 балл
а) Вычислить значение выражения
б) Упростить выражение
2 балла
Итого:
Вариа
нт
1
В-1
1 балл
4 балла
Задание 1
Задание 2
Задание 3
2
3
4
n  13
m2
n3
k 3
14! 21!11!
10! 22!12!
(k  3)!
б)
k!
а)
34
Вариа
нт
В-2
Задание 1
Задание 2
n  14
m4
n 1
k 3
В-3
n  15
m5
n2
k2
В-4
n  16
m2
n3
k4
В-5
n  17
m4
n4
k2
В-6
n  18
m3
n3
k 3
В-7
n  19
m2
n2
k2
В-8
n  20
m4
n2
k2
В-9
n  21
m3
n3
k4
Задание 3
(16! 15!)  5
15!
( z  2)!
б)
( z  3)!
20! 21!
а)
:11!10!
20!
( p  4)!
б)
p!
18! 11!
9!
а)

19!10! 7! 9 19
(m  1)!
б)
(m  2)!
а)
20!10! 22!
18!11!19
(k  1)!
б)
k!
35! 24! 36 75!
а)


25! 36! 74!
(m  3)!
б)
(m  3)!
11! 9  9! 7!
а)
7! 9  8
(m  3)!
б)
(m  5)!
1000!
а)
998! 333  4  5
(a  2)!
б)
(a  1)!
5! 5!
а)
 424
25
(k  2)!
б)
(k  2)!
а)
35
Вариа
нт
В-10
Задание 1
n  22
Задание 2
Задание 3
m5
n3
k2
8! 7! 7  6  6!
5!
( p  1)!
б)
( p  1)!
а)
Проверочная работа №2
Комбинаторные задачи
№
1.
Задания
Из n кандидатов в губернаторы N-й области во второй тур
голосования выйдут только двое. Сколько вариантов
попадания кандидата во второй тур существует.
Студенту нужно сдать k зачетов за m дней. Сколькими
всевозможных вариантов сдачи зачетов существует?
Баллы
2 балла
3.
Сколько любых n-значных чисел можно составить из k
имеющихся цифр?
2 балла
4.
Сколькими способами можно развесить в гардеробе n курток
на n свободных мест?
2 балла
Итого:
8 баллов
2.
Вари
ант
1
В-1
В-2
В-3
В-4
В-5
В-6
В-7
В-8
В-9
В-10
2 балла
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
2
3
4
5
n5
n6
n7
n8
n9
n  10
n  11
n  12
n  13
n  14
m  7, k  5
m  6, k  4
m  9, k  7
m  8, k  6
m  7, k  4
m  6, k  3
m  9, k  5
m  8, k  5
m  7, k  4
m  6, k  3
n  3, k  7
n  4, k  8
n  3, k  10
n  4, k  5
n  5, k  6
n  2, k  7
n  3, k  6
n  3, k  8
n  2, k  10
n  4, k  9
n4
n5
n6
n7
n8
n3
n2
n9
n  10
n  11
Список литературы
I. Основная литература
36
1. Виленкин Н. Я., Пышкало А. М., Рождественская В. Б., Стойлова Л. П. Математика. – М.
Просвещение, 1977.
2. Виленкин Н. Я. и др. Задачник-практикум по математике. –М.: Просвещение, 1977.
3. Лаврова Н. Н., Стойлова Л. П. Задачник-практикум по математике. – М.: Просвещение,
1985.
4. Стойлова Л. П., Виленкин Н. Я. Целые неотрицательные числа. – М.: Просвещение, 1985.
5. Стойлова Л. П., Пышкало А. М. Основы начального курса математики. – М.:
Просвещение, 1988.
6. Стойлова Л. П. Математика. – М.: Изд. центр "Академия", 1997.
7. Стойлова Л. П. Математика. – М.: Изд. центр "Академия", 1999.
II. Дополнительная литература
1. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. Основные понятия современного школьного курса
математики. – М.: Просвещение, 1974.
2. Математика / Под ред. А. А. Столяра. – Минск: Высшая школа, 1976.
3. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 8 класс. – М. Просвещение, 1989 – 1999.
4. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Советская
энциклопедия, 1988.
5. Пышкало А. М. и др. Теоретические основы начального курса математики. – М.:
Просвещение. 1974.
6. Пышкало А. М., Стойлова Л. П., Лаврова Н. Н., Ирошников Н. П. Сборник задач по математике.
– М.: Просвещение, 1979.
7. Столяр А. А., Лельчук М. П. Математика. Минск, Высшая школа, 1975.
8. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н. Н. Математика. – Часть I. – М.: Просвещение,
1990.
III. Учебно-методическая литература
1. Истомина Н. Б., Виноградова Е. П. Учимся решать комбинаторные задачи. 1-2 класс. – М.:
LINKA PRESS – 2003.
2. Истомина Н. Б., Виноградова Е. П. Учимся решать комбинаторные задачи. 3 класс. – М.:
LINKA PRESS – 2004.
3. Истомина Н. Б., Виноградова Е. П. Учимся решать комбинаторные задачи. 4 класс. – М.:
LINKA PRESS – 2004.
Материалы разработаны:
старшим преподавателем кафедры дидактики
и частных методик ИПКиППРО ОГПУ
Ю.В.Ворониной
Введение (информация о дистанционных материалах)
Дистанционные
материалы
предназначены
для
учителей
начальных
общеобразовательных школ, претендующих на высшую квалификационную категорию.
Срок обучения: 2 часа.
Форма обучения: дистанционная
Категория
слушателей:
учителя
начальных
классов,
претендующие
на
квалификационную категорию.
классов
высшую
Рекомендации учителям начальных классов по изучению дистанционных материалов
Дистанционные материалы предназначены для самообразования в области методики
преподавания учебного предмета «Окружающий мир» в начальной школе. Содержание
дистанционных материалов позволит вам:
1) осмыслить полученную на первой (очной) сессии информацию об особенностях современного
естествознания и методики его преподавания в начальной школе;
37
2) проверить, насколько полно вы освоили курс, и укажет основные затруднения в вашей
профессиональной деятельности;
3) подготовиться к диагностическим и аттестационным процедурам третьей (очной) сессии
(сдаче экзамена по предметно-методическому модулю программы и защите аттестационной
работы на высшую квалификационную категорию).
Обсуждение полученных результатов дистанционного обучения предполагается на
третьей сессии (очной) курсов повышения квалификации, совмещенных с аттестацией на
высшую категорию.
Для получения консультации по интересующему Вас вопросу дистанционных материалов
необходимо связаться с тьютором (Ворониной Юлией Владимировной):
Адрес: г. Оренбург, ул. Советская, 2, ИПК и ППРО ОГПУ, кафедра дидактики и частных
методик.
Телефон: (3532) 77-71-79
Е-mail: voronina_yuliya@list.ru
Кроме того, можно задать вопрос тьютору на форуме.
Тема: «Методика преподавания учебного предмета «Окружающий мир» в
начальной школе»
Рекомендуемые для изучения информационные ресурсы:
1. Внеклассные занятия в начальной школе [Электронный ресурс]. - Режим доступа:
http://www.vneklassa.narod.ru/karta_saita.htm
2. Гордин В.Э. Использование кейс-метода в производственной и преддипломной
практике
студентов
[Электронный
ресурс].
Режим
доступа:
http://ejournal.finec.ru/view/?id=12
3. Дерябина О.А. Методы менеджмента проекта [Электронный ресурс]. - Режим доступа:
http://novgorod.fio.ru/projects/Project1219/index.htm
4. Метод проектов как педагогическая технология [Электронный ресурс]. - Режим
доступа: http://rc.asu.ru/docs/db/school/_444.doc
5. Окно в ситуационную методику [Электронный ресурс]. - Режим доступа:
http://www.casemethod.ru/
6. Полат
Е.С.
Метод
проектов
[Электронный
ресурс].
Режим
доступа:
http://www.iteach.ru/metodika/a_2wn3.esp
7. Примеры применения метода проектов [Электронный ресурс]. - Режим доступа:
http://informatica.osu.ru/heading5/best/Sharipova/proect/
8. Урбан, М. А. Обучение с помощью конкретных ситуаций [Электронный ресурс]. - Режим
доступа: http://www.p-shkola.by/journal/2005/01/m_07.htm
9. Яшунина Т.Г., Кравцун Н.В., Гагиева Н.Б. Использование технологии проектного
обучения в практике учителей МОУ лицея №6 [Электронный ресурс]. - Режим доступа:
http://pedsovet.org/forum/index.php?s=d41c167985b6a78eb0a967c64bac724c&act=Attac
h&type=post&id=357
Задание 1
1 .1. Составьте 2-3 кейса по предмету «Окружающий мир».
Рекомендуемая последовательность работы:
- определите тематическое поле кейса (класс, раздел курса, тема);
- сформулируйте цель и задачи кейса;
- выделите содержательные сегменты для кейса (термины, ключевые понятия,
цифровой материал и т.д.);
- составьте кейс и определите технологическую модель занятия;
- подготовьте задание для организации исследовательской деятельности
учащихся (если необходимо – глоссарий, дополнительный информационный
материал);
- разработайте критерии оценивания решения кейса.
1.2. Оформите результаты работы по следующему алгоритму:
a) Название кейса:
например, «Использование кейс-метода в процессе обучения (контроля) знаний учащихся по
теме …»
b) Цель кейса
c) Кейс
d) Задание учащимся
e) Примерный ход размышления учащихся
38
f) Критерии оценивания ответов учащихся
g) Перевод критериев в 5-балльную систему
Задание 2
Какие современные образовательные технологии целесообразно применять для достижения
нового качества естественнонаучного образования в начальной школе? Оформите результаты в
виде таблицы:
№
п/п
Название
технологии
Концептуальная
часть
описание
руководящих
принципов технологии)
(краткое
идей,
Возможности
использования
в
преподавании
предмета
«Окружающий
мир»:
•
Целевые установки и ориентации
•
Позиция ребенка в образовательном
процессе
•
Категория учащихся
•
Программно-методическое
обеспечение
•
Организационные формы
•
Содержание
•
Этапы урока
1.
2.
…
назад во введение
39
40