Методические рекомендации по теме «Теория вероятностей»

Методические рекомендации по теме «Теория
вероятностей»
Трудность изучения теории вероятностей связана со спецификой этой
математической дисциплины. Решение задач по теории вероятностей требует
определенного навыка, так как они формулируются не в математических
терминах, а в бытовых. Таким образом, приходится каждый раз выбирать
соответствующую вероятностную модель, которую следует применить для
решения поставленной задачи.
Прежде чем приступать к решению задачи данного раздела, как и при
решении задач других разделов, нужно повторить формулировки теорем,
правила и формулы, относящиеся к данной теме.
Проиллюстрируем все сказанное на ряде примеров.
Задача 1. Сколькими способами можно расставить на полке 8 различных
книг?
Решение.
Очевидно, что существует столько способов расставить 8 книг, сколько
существует перестановок из 8 элементов, то есть количество способов равно
8! = 12345 678= 40320.
Ответ. 40320.
Задача 2. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных
книг так, чтобы 2 данные книги стояли рядом?
Решение.
"Склеим" эти две книги. Тогда у нас получится 4 книги и их можно
переставить 4! способами. Но склеить две книги можно двумя способами,
поэтому существует
2 4! = 212 34 = 48
способов расстановки книг.
Ответ. 48.
Задача 3. Сколькими способами можно занумеровать числа 1,2,3,4,5,6,7,8
так, чтобы все нечетные числа имели четные номера?
Решение.
Среди данных чисел нечетных – 4. Их можно нумеровать только четными
номерами (2,4,6,8). А это можно сделать столькими способами, сколько можно
составить перестановок из 4 элементов, то есть – 4! способами. Аналогично
остальные 4 числа мы должны нумеровать числами 1,3,5,7. Здесь тоже будет 4!
вариантов. А чтобы получить общее количество вариантов надо взять
произведение 4!4! = 2424 = 576.
Ответ. 576.
Задача 4. Сколько существует способов расставить на шахматной доске 8
ладей так, чтобы они не били друг друга?
Решение.
Очевидно, ладьи должны стоять по одной в каждой "строке" и по одной в
каждом "столбце", то есть эта задача такая же, как предыдущая. Следовательно,
их можно расставить 8! способами: 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320.
Ответ. 40320.
Задача 5. Вычислить вероятность выпадения четного количества очков
при однократном бросании игральной кости.
Решение:
Всего элементарных исходов 6 (1;2;3;4;5;6), благоприятствующих
исходов 3 (2;4;6). Следовательно
P ( A) 
Ответ.1/2.
m 3 1
  .
n 6 2
Задача 6. Сколько различных вариантов существует для того, чтобы
рассадить 5 человек на одной скамейке?
Решение:
P5 =5!=120.
Ответ. 120
Задача 7. Сколько семизначных чисел, кратных пяти, можно составить из
цифр 1,2.3,4,5.6.7 при условии, что в числе цифры не повторяются?
Решение:
Для того чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы
цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные шесть цифр могут стоять на
оставшихся местах в любом порядке. Следовательно, искомое число
семизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из шести
элементов: 6!=720.
Ответ. 720.
Задача 8. Сколько различных вариантов существует для того, чтобы 5
человек, вошедших в лифт на первом этаже семнадцатиэтажного дома, вышли
по одному на разных этажах, начиная со второго этажа?
Решение:
A165  16  15  14  13  12  524160 .
Ответ. 524160.
Задача 9. Сколько различных перестановок можно образовать из букв
слова «задача»?
Решение:
Для решения задачи необходимо каким-то образом расположить буквы «
з », « д » и « ч », а остальные места заполняются буквами « а ». Количество
способов расположения трех различных букв на шесть мест равно числу
размещений
A63  120 .
Ответ. 120
Задача 10.Сколькими способами можно выбрать три шарика из корзины,
в которой 20 шаров?
Решение:
C 20 
3
20! 18 19  20

 1140 .
3!17!
23
Ответ. 1140.
Задача 11. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых
нечетны?
Решение:
m
Нечетных цифр пять: 1, 3, 5, 7 и 9. Используя формулу A n  n m , получаем
6
A 5  5 6  15625 .
Ответ. 15625.
Задача 12. Сколькими способами можно составить букет из 7 цветов,
если в наличии есть цветы пяти сортов?
Решение:
Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то число
букетов равно числу сочетаний с повторениями из пяти элементов по 7 в
m
7
каждом. Используя формулу C n  C nm m1 , получаем C 5  C117  330 .
Ответ. 330.
Задача 13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из
цифр 2, 2, 4, 7, 7?
Решение:
Применим формулу
Pn (n1 , n2 ,..., nk ) 
n!
.
n1!n2 !...nk !
Здесь n = 5, n1 = 2, n2 = 1, n3 =2.Число различных пятизначных чисел,
содержащих цифры 2, 4 и 7, равно
P5 (2,1,2) 
5!
 30 .
2!1!2!
Ответ. 30
Задача 14. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя
буквы в слове «мама»?
Решение.
Число различных слов равно числу перестановок с повторениями из n= 4
элементов, среди которых k=2 различных. Один элемент («м») входит n1=2 раза,
другой элемент (буква «а») − n2 = 2 раза (n1 + n2 = n = 4). Следовательно,
различных слов будет
4!
~
P4 (2,2) 
 6.
2!2!
Это слова: «ммаа», «мама», «маам», «амма», «амам», «аамм».
Ответ. 6.
Задача 15. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из
цифр 3, 3, 5, 7, 7?
Решение.
Здесь n = 5, k=3, n1=2, n2 = 1, n3=2 (n1 + n2 + n3= n). Следовательно, число
различных пятизначных чисел:
~
P5 (2,1,2) 
Ответ. 30.
5!
 30.
2!1!2!
Задача
16.
В
первенстве
по
футболу
участвуют
15
команд.
Разыгрываются золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими
способами они могут быть распределены?
Решение.
Эта задача связана с размещениями, так как сначала мы выбираем трех
призеров, а потом среди них распределяем 1, 2 и 3-е места. Таким образом,
всего вариантов
A153  15  14  13  2730.
Ответ. 2730.
Задача 17. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими
способами можно назвать ребёнка, если общее число имен равно 300 и дают
ему не более трех имен?
Решение.
Назвать ребенка с помощью трех имен, выбрав три различных имени в
3
определенном порядке, можно A300
 300  299  298 способами; назвать ребёнка,
2
используя два имени, можно A300
 300  299 способами и, наконец, для одного
имени будет 300 вариантов. Таким образом, всего будет
300 + 300299 + 300299298 = 26820600
различных имен.
Ответ. 26820600.
Задача 18. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр
{1,2,3,4,5}, если: a) ни одна цифра не повторяется; b) цифры могут
повторяться?
Решение.
a) Если все цифры числа различные, тогда всевозможных трехзначных
чисел, состоящих из пяти цифр, столько, сколько размещений из 5-ти по 3, то
есть A53  5  4  3  60.
b) Если цифры в числе могут повторяться, тогда различных трехзначных
чисел, состоящих из цифр множества {1, 2, 3, 4, 5}, столько, сколько
размещений из 5-ти по 3 с повторениями, то есть
~
A53  5  5  5  125.
Ответ. a) 60; b) 125.
Задача 19. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя
цифры 0, 1, 2?
Решение.
Если пятизначные числа состоят из цифр 0, 1, 2, то первую цифру слева
можно выбрать двумя способами (1 или 2, так как если возьмем первой цифру
0, получим не пятизначное число). Каждую из оставшихся четырех цифр можно
выбрать тремя способами. Следовательно, таких чисел будет
~
2·3·3·3·3=162 (или 2  A34  162 ).
Ответ. 162.
Задача 20. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек
для соревнований по бегу, если имеется 7 бегунов.
Решение.
Задача связана с подсчетом количества различных подмножеств из
четырех элементов, которые можно выбрать из 7 элементов, следовательно, это
количество равно
C 74 
7!
765

 35.
4!3! 1  2  3
Ответ. 35.
Замечание.
Если бы команда выбиралась для эстафетного бега, то число способов
выбора было бы равно A74  7  6  5  4  840, так как играл бы роль порядок выбора
спортсменов.