Тест 7 Нормальный закон распределения. Вероятность

Тест 7
Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормально
распределенной случайной величины (НРСВ) в заданный интервал.
Основные сведения из теории.
Нормальным
называют
распределение
вероятностей
случайной
величины (СВ) X, если плотность распределения определяется уравнением:
f  x 

1
  2
e
 x  a 2
2 2
, где a – математическое ожидание СВ X;  - среднее
квадратическое отклонение.
График f  x  симметричен относительно вертикальной прямой x  a . Чем
больше
,
тем больше размах кривой f  x  . Значения функции f  x 
имеются в таблицах.
Вероятность того, что СВ X примет значение, принадлежащее
x
2
x

1
  a
 a 
e 2 dx интервалу  ;   : p   x      

  
 , где   x  
2 0
  
  
функция Лапласа. Функция   x  определяется по таблицам.
При
a =0
кривая f  x  симметрична относительно оси ОУ - это
стандартное (или нормированное) нормальное распределение.
Так
как
функция
плотности
вероятности
НРСВ
симметрична
относительно математического ожидания, то можно простроить так
называемую шкалу рассеивания:
p   mx     x   mx      0, 6826
p   mx  2   x   mx  2    0,9544
p   mx  3   x   mx  3    0,9973
Видно, что с вероятностью 0,9973 можно утверждать, что НРСВ
примет значения в пределах интервала  mx  3  . Это утверждение получило
в теории вероятностей название “правила Трех сигм”.
1. Сравните величины
x
1)  1   2
2)
для двух кривых НРСВ.
1   2
2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения
вероятностей
  x  4 2 
1
f  x 
exp  
 . Тогда математическое ожидание


18
3 2


этой нормально распределенной случайной величины равно:
1) 3
2) 18
3) 4

1
f
x

e


3. НРСВ Х задана плотностью распределения:
5 2
4) 18
 x 12
50
.
Математическое ожидание mx и дисперсия этой СВ равны:
1) mx =1
Dx =25
2) mx =5
Dx =1
3) mx =5
Dx =25
4. Правило трех сигм означает, что:
1) Вероятность попадания СВ в интервал  a  3   0,9973 , то есть близка к
единице;
2) НРСВ не может выйти за пределы  a  3  ;
3) График плотности НРСВ симметричен относительно математического
ожидания
5. СВ Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 5 и
СКО, равным 2 единицы. Выражение для плотности распределения этой
НРСВ имеет вид:

1
e
1) f  x  
2 2

1
e
2) f  x  
5 2

1
e
3) f  x  
2 2
 x 5 2
8
 x  2 2
50
 x  2 2
50
6. Математическое ожидание и СКО НРСВ Х равны 10 и 2. Вероятность того,
что в результате испытания СВ Х примет значение, заключенное в интервале
[9; 11], составляет:
1) 0,1915
2) 0,3830
3) 0,6211
7. Деталь считается годной, если отклонение Х действительного размера от
размера на чертеже по абсолютной величине меньше, чем 0,7 мм.
Отклонения Х от размера на чертеже являются НРСВ со значением
 x =0,4
мм. Изготовлено 100 деталей; из них годных будет:
1) 92
2) 64
3) 71
8. Математическое ожидание и СКО НРСВ Х равны 10 и 2. Вероятность того,
что в результате испытания СВ Х примет значение, заключенное в интервале
[12; 14] составляет:
1) 0,1359
2) 0,8641
3) 0,432
9. Погрешность Х изготовления детали является НРСВ со значением a=10 и
 =0,1.
Тогда
с
вероятностью
0,9973
интервал
размеров
деталей,
симметричный относительно a=10 будет:
1) 9,7; 10,3
2) 9,8; 10,2
3) 9,9; 10,1
10. Взвешивают все изделия без систематических ошибок. Случайные
ошибки Х измерения подчинены нормальному закону со значением
 x =10 г.
Вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой не
превосходящей по абсолютной величине 15 г составляет:
1) 0,8664
2) 0,1336
3) 0,4332
11. НРСВ Х имеет математическое ожидание a=10 и СКО
 =5.
С
вероятностью 0,9973 величина Х попадет в интервал:
1) (5; 15)
2) (0; 20)
3) (-5; 25)
12. НРСВ Х имеет математическое ожидание a=10. Известно, что
вероятность попадания Х в интервал [10; 20] равна 0,3. Тогда вероятность
попадания СВ Х в интервал [0;10] будет равна:
1) 0,1
2) 0,2
3) 0,3
13. НРСВ Х имеет математическое ожидание a=25. Вероятность попадания Х
в интервал [10; 15] равна 0,2. Тогда вероятность попадания Х в интервал
[35;40] будет равна:
1) 0,1
2) 0,2
3) 0,3
14. Температура в помещении поддерживается нагревателем и имеет
нормальное распределение с mt  16 и  t  2 . Вероятность того, что
температура в этом помещении будет в пределах от 15 до 20 составляет:
1) 0,95
2) 0,83
3) 0,67
15. Для стандартизованного нормального распределения величина
1) 1
2) 2

равна:
3)  / 2
16. Эмпирическое нормальное распределение образуется в том случае, когда:
1) действует большое число независимых случайных причин, имеющих
примерно одинаковый статистический вес;
2) действует большое число сильно зависимых между собой случайных
величин;
3) объем выборки небольшой.
Значение
x
определяет
размах
кривой
плотности
1 распределения относительно математического ожидания. Для
кривой 2 размах больше, то есть
2
В
соответствии
с
(2)
1   2
уравнением
для
плотности
НРСВ
математическое ожидание a=4.
(3)
В соответствии с уравнением для плотности НРСВ имеем:
3
mx =1;  x =5, то есть
(1)
Dx   x  25 .
2
4 Верным является ответ (1).
(1)
Выражение для плотности распределении НРСВ имеет вид:
5

1
f  x 
e
 2
 x  a 2
2 2
. По условию:
 =2; a =5, то есть верным
(1)
является ответ (1).
По условию mx =10;
Тогда:
6
По
 x =2.
Интервал  ;   равен [9; 11].
  mx 11  10
  mx 9  10

 0,5 ;

 0,5 .
x
2
x
2
таблицам
функции
 (0,5)   (0,5)  0,1915 .
Тогда
Лапласа:
искомая
 (0,5)  0,1915 ;
(2)
вероятность:
p  9  x  11   (0,5)   (0,5)  0,1915  0,1915  0,383
По условию: mx =0; x  0,7 ;  x =0,4. Значит интервал  ;  
7 будет [-0,7; 0,7].
  mx 0, 7  0
  mx 0, 7  0

 1, 75 ;

 1, 75 .
x
0, 4
x
0, 4
(1)
 (1, 75)  0, 45995 ;
 (1, 75)  0, 45995
p( x  0,7)   (1,75)   (1,75)  0,9199 0,92 ,
то
есть
из
100
деталей наиболее вероятно будет годных 92 штуки.
По условию: mx =10 и
Тогда:
8
 x =2.
  mx 14  10

2;
x
2
Интервал  ;   равен [12;14].
  mx 12  10

 1.
x
2
По
таблицам
(1)
функции Лапласа:   2  0, 4772 ;  1  0,3413 ;
p 12  x  14    2   1  0, 4772  0,3413  0,1359
В интервал, симметричный относительно математического
ожидания a =10 с вероятностью 0,9973, попадают все детали,
9
имеющие размеры, равные a  3 , то есть a  3  10  3  0,1  10,3 ;
(1)
a  3  10  3  0,1  9, 7 . Таким образом: [9,7; 10,3]
По условию x  15 ,то есть mx =0, а интервал  ;   будет [-15;15]
Тогда:
10
  mx 15  0
  mx 15  10

 1,5 .

 1,5 ;
x
10
x
10
(1)
 (1,5)  0, 4332 ;  (1,5)   (1,5)  0, 4332
p  x  15    1,5     1,5   0, 4332  0, 4332  0,8664
С вероятностью
0,9973 НРСВ попадает в интервал 3
11 относительно своего математического ожидания. Значит:
a  3  10  3  5  5 ; a  3  10  3  5  25 ; Интервал будет [-5; 25]
(3)
По условию: a =10 и p 10;20  0,3 . Известно, что график
плотности
нормального
распределения
симметричен
12 относительно математического ожидания, то есть интервал
(3)
(0;10) симметричен интервалу (10;20) относительно числа 10.
Значит: p  x   0;10  p  x  10; 20  0,3
Интервалы [10;15] и [35;40] симметричны влево и вправо
13 относительно числа 25, то есть p x  35; 40  p x  10;15  0, 2

 

(2)
По условию: mt  16 и  t  2 , то есть   20 ;   15 , тогда:
  mt 20  16
  mt 15  16
1

2;

 ;
t
2
t
2
2
14
 1
(3)
1
  2  0, 4772 ;          0,1915
 2
2
 1
p 15  t  20     2        0, 4772  (0,1915)  0, 6687
 2
15 Для стандартизованного НРСВ значение
0, 67
 =1
(1)
Эмпирическое нормальное распределение образуется
16
случае,
когда
случайных
действует
причин,
статистический вес.
большое
имеющих
том
число
независимых
примерно
одинаковый
(1)