Документ 612076

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (вопросы уровня «4» и «5» отмечены значком *)
1. Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка.
2. Частные производные f(x,y) второго порядка и теорема о совпадении смешанных частных производных.
3. Направляющие косинусы, определение производной функции f(x,y) по направлению и теорема о формуле для вычисления такой производной (*).
4. Градиент функции f(x,y) в точке, его величина и смысл, связь с производной функции по направлению(*).
5. Определение точек безусловного экстремума функции f(x,y). Стационарные точки.
6. Вывод и применение формулы наименьших квадратов (*) (образец задания – задача, разобранная в аудитории)
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ (вопросы уровня «4» и «5» отмечены значком *)
1. Уметь находить частные производные 1-го и 2-го порядка функции двух переменных.
2. Уметь находить дифференциалы 1-го порядка функции двух переменных.
3. Уметь находить градиент функции двух переменных, величину градиента, производную по направлению
(в указанной и произвольной точке).
4. Уметь проверить необходимые условия точки безусловного экстремума функции двух переменных
(найти стационарные точки).
5. Уметь проверить, выполняются ли для предложенной точки достаточные условия безусловного экстремума функции двух переменных.
6. Уметь найти точки безусловного экстремума функции двух переменных.
7. Уметь найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в заданной области. (*)
8. Уметь найти условный экстремум функции двух переменных в простейших случаях (подстановкой).
9. Уметь найти условный экстремум функции двух переменных с помощью функции Лагранжа (*) (например, найти экстремум функции f ( x, y )  2 xy при условии x 2  y 2  2, x  0, y  0 ).
10. Уметь найти производную сложной функции (*) (например, найти F ' x ( x, y) , F ' y ( x, y ) для функции
F ( x, y )  f (2 x  3 y, xy) ; найти F ' x ( x, y) , F ' y ( x, y ) в точке М(-1; 2) для функции
F ( x, y)  f ( x 2  2 y, x / y) ).
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА (критерии оценок: «3» - от 6 до 9 баллов по первой части; «4» - 10-13 баллов, «5» - 14-16 баллов.)
1. (2б) Найти градиент функции f ( x, y )  ln( xy  5 x  2 y ) в точке M(1;-1) и его величину
3
2
2. (2б) Для функции f ( x, y)  y 3 y  5 x найдите значение выражения
f x''2 
5 ''
f yx .
3
3. (3б) Найти и охарактеризовать точки безусловного локального экстремума функции
f ( x, y)  3x 3  2 xy  y 2  7 x
4. (2б) Найти экстремумы функции f ( x, y)  4  2 x  y при условии x  y  1 .
5. (1б) Сформулируйте теорему о совпадении смешанных производных второго порядка функции
2
2
f ( x, y) .
--6. (3б) С помощью метода наименьших квадратов найти линейную зависимость y=ax+b (найти коэффициенты a, b) по данным:
X
1
2
3
4
Y
6
8
10
2
7 (3б) С помощью функции Лагранжа найти экстремумы функции f ( x, y ) 
1 1
 при условии
x y
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Определения граничной точки множества, ограниченного множества, замкнутого множества, выпуклого
множества, выпуклой многогранной области и выпуклого многогранника.
2. Формулировка теоремы об области допустимых решений задачи линейного программирования.
3. Формулировка теоремы о целевой функции задачи линейного программирования.
4. Понятие о линиях уровня целевой функции и опорных прямых.
5. Основная теорема линейного программирования.
6. Основные понятия симплекс-метода: базисное решение, опорное решение, невырожденное опорное решение, базис опорного решения.
7. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи, две леммы. Балансовые и искусственные
переменные.
8. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи и признак оптимальности решения.
9. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи и признак несовместности системы ограничений.
10. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи и признак неограниченности целевой
функции.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Определение вида задачи линейного программирования (каноническая. Стандартная, стандартная симметричная) и переход от одной задачи к другой.
2. Составление математических моделей, сводящихся к задаче линейного программирования.
3. Графическое решение задач линейного программирования для разных областей допустимых решений (с
использованием опорных прямых или учитывающее замкнутость и ограниченность области)
4. Решение задач линейного программирования симплекс-методом (построение таблиц, определение опорного плана, проверка опорного плана на оптимальность, выбор разрешающего элемента и переход к новому
опорному плану).
5. Применение метода искусственного базиса.
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА(КРИТЕРИИ ОЦЕНОК: от 5,5 баллов – «3», от 7,5 - «4», от 9 – «5»)
1. Сформулируйте основную теорему линейного программирования (с пояснением всех терминов). (1 балл)
2 Составить математическую модель задачи (не решать!). Для подкормки почвы нужно внести на 1га не
менее 8 единиц азота, не менее 21 единицы фосфатов и 10
единиц нитратов. Хозяйство закупило комбинированные
удобрения вида A и B. Данные о содержании химических
веществ в 1 кг удобрений и цене удобрений приведены в
таблице. Составить план минимизации расходов по закупке удобрений в расчете на 1га.(1 балл)
3. Перейти к стандартному виду
(2балла)
f ( X )  2 x1  8 x2  3x3  4 x4  min,
 7 x1  2 x2  x3  4 x4  2

13x1  3x2  2 x3  7 x4  8

xi  0, i  1,2,3,4

5. Решить графически. (2балла )
f ( X )  x1  3x2  min,
  x1  x2  3
 x  x  11
 1
2

 4 x1  x2  0
 x1  0, x2  0
А
В
Азот,ед
1
54
Фосфаты, ед.
Нитраты, ед.
12
4
4
4
Цена 1 кг
3 у.е.
4 у.е.
4.Сформулировать признак оптимальности решения в методе искусственного базиса. Перейти к
расширенной задаче для метода
искусственного базиса. Указать
балансовые, искусственные, базисные переменные. (2балла)
f ( X )   x1  x2  2 x3  max,
 3x1  4 x2  2 x3  1
  2 x  3x  1

1
2

 x1  x2  x3  1
 xi  0, i  1,2,3
6. Решить симплекс-методом (2 балла)
f ( X )  x1  2 x2  5 x3  11x4  min,
 2 x1  6 x2  9 x4  26

 x1  x2  2 x3  5 x4  12

x i  0, i  1,2,3,4

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Основное неравенство теории двойственности.
2. Первая теорема двойственности.
3. Невязки и вторая теорема двойственности.
4 Цикл, означенный цикл (определения).
5 Теорема о свободной клетке для транспортной задачи.
6. Теорема об опорном решении транспортной задачи.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Построение задачи, двойственной к исходной (как симметричной, так и несимметричной). Решение одной
из задач любым способом (симплекс-метод, графический способ).
2. Определение оптимального плана одной из двойственных задач по известному оптимальному решению
второй с помощью первой или второй теорем двойственности.
3. Построение математической модели транспортной задачи.
4. Построение начального опорного плана транспортной задачи методами северо-западного угла и минимальной стоимости.
5. Проверка опорного плана транспортной задачи на оптимальность методом потенциалов.
6. Переход к новому опорному плану (сдвиг по циклу).
7. Решение транспортной задачи: закрытой и открытой,
8. Решение транспортной задачи с ограничениями на пропускную способность (доп., для «4» и «5»).
ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА
f ( X )  x1  4 x2  min
1 Записать задачу, двойственную к исходной (1б.). Зная, что
X*=(4,4) - оптимальное решение исходной задачи, определить оптимальные значения f(X*) и F(Y*) и найти оптимальное решение
Y* двойственной задачи с помощью второй теоремы двойственности (2б.). Сами задачи не решать
 x1  x2  3
 2 x  3x  6
1
2


3
x

2
x
 1
2 4
  x  x  8
 1 2

 x1,2  0
2. Сформулируйте теорему о свободной клетке для транспортной задачи (1б.)
3. Для предложенной транспортной задачи: выписать
начальные опорные решения методом северозападного угла и методом минимальной стоимости и
сравнить значения целевой функции (2б.)
4. Проверить оптимальность предложенного опорного
плана транспортной задачи методом потенциалов. В
случае неоптимальности перейти к новому опорному
плану (2б.). Значения целевой функции не находить
для обоих планов, второй опорный план на оптимальность не проверять.
В
А
500
300
400
В
220
380
240
350
7
9
8
4
3
13
6
11
5
5
12
7
160
А
150
80
6
80
3
160
4
4
8
4
150
1
160
2
10
80
2
170
70
7
3
10
5. Записать задачу, двойственную к исходной (1б.).
Решить исходную задачу симплекс-методом (1б.)
Найти опт. решение Y* и оптимальное значение F(Y*) с
помощью первой теоремы двойственности (2б.).
f ( X )  2 x1  x2  2 x3  10 x4  min
3 x1  x2  x3  4 x4  2

  x1  x2  x4  2

x1,2,3,4  0

В
6. Составить начальное опорное решение транспортной задачи с ограничениями на пропускную способность: x32  30, x33  30 . (2б.)
5
160
А
100
150
200
40
200
100
100
100
2
4
5
3
1
1
1
5
3
4
9
8
1
5
3
6