Движение плоского слоя жидкости со свободной границей под действием термоконцентрационных сил. Собачкина Н. Л. 1. Постановка задачи Рассматривается осесимметрическое движение бинарной смеси. Пусть - компоненты вектора скорости, , - давление, - температура, - концентрация смеси, находящейся в условиях полной невесомости. Процесс описывается системой уравнений термодиффузии [5]. Решение задачи будем искать в виде: (1) , , , , Эти решения являются частично-инвариантными относительно четырехпараметрической подгруппы, порожденной операторами , , , [2]. Подстановка решения в систему уравнений термодиффузии и отделение переменной r приводит к системе: (2) , (3) , (4) , , (5) , (6) (7) , (8) , которую требуется решить при t> 0, 0< z < плотность, - кинематическая вязкость, коэффициенты диффузии и Соре. , где z = - свободная граница. Здесь - температуропроводность, - - Будем считать, что коэффициент поверхностного натяжения смеси линейно зависит от температуры и концентрации: некоторые постоянные. Краевые условия на неизвестной свободной границе z = [1]: , , где - для системы (2)-(8) имеют вид (9) (10) , (11) , , (12) , (13) , (14) , (15) где - давление и температура окружающего газа, теплопроводности теплообмена, Q – заданный поток тепла. - коэффициенты Таким образом, соотношение (9) – кинематическое условие, (10) и (11) – динамические условия, (12) и (13) – теплообмен с окружающим смесь газом, (14) и (15) – условия отсутствия потока массы через свободную границу. Предположим, что являются четными, а w - нечетной функцией переменной z. Тогда поверхность z = можно принять за вторую свободную границу, и к (9)-(15) следует добавить условия симметрии: (16) при Начальные условия: (17) 2.Точное решение Пусть в сформулированной выше задаче (2)-(17) функция u зависит только от времени t: , тогда из уравнения неразрывности (4) найдем уравнения (2) : , где . Из . Подставляя в граничное условие (9), получим уравнение на , которое легко интегрируется: Из уравнений (3) и (10) находим давление: Нетрудно увидеть, что Таким образом, решение имеет вид: . , , , , , (18) , Пусть теперь . Функции по методу Фурье решения краевых задач [3]: определяются , (19) , (20) Здесь , 3.Численный расчет. Можно видеть, что уравнения (2), (4), (5), (7) независимы от остальных. Они образуют замкнутую начально-краевую задачу для определения функций u(z,t), w(z,t), a(z,t), h(z,t) и l(t). После ее решения функция P(z,t) однозначно восстанавливается из (3) и (10). При этом Pz = 0 при z = 0выполняется автоматически. Если a(z,t), h(z,t) и l(t) известны, то функции b(z,t), g(z,t) определяются единственным образом как решения вторых краевых задач (5), (13), (16), (17) и (8), (15), (16), (17) для линейных параболических уравнений. Сведем задачу к отысканию только функций u(z,t),a(z,t), h(z,t) и l(t). Для этого проинтегрируем уравнение (4) с учетом w(0,t) = 0 и исключим функцию w в уравнениях (2), (5), (7). В полученной системе введем безразмерные переменные и функции равенствами: (21) , , , , , где T0 – характерная температура, С0 – характерная концентрация. , Получим задачу в фиксированной области 0 < y < 1: (22) (23) (24) В (22)-(24) введены обозначения: - число Пеле, - число Соре, - число Прандтля. На свободной границе y = 1 выполнены условия: (25) , (26) , (27) , (28) где - число Био, - тепловое число Марангони, концентрационное число Марангони. - Начальные условия при (29) , , При z = 0 выполнены условия симметрии: (30) Ay = Uy = Hy = 0 Решение задачи (22)-(30) определялось методом Галеркина. В качестве базисных функций были взяты полиномы Лагранжа [4]. Причем, как следует из условий симметрии, достаточно ограничиться четными полиномами, Pr m( y) = 0, m = 0,1,… Приближенное решение ищется в виде: (31) (32) (33) При этом положение свободной границы определяется для любых n из уравнения: (34) Функции приближений: находятся из системы галеркинских , , , (35) , , Систему (34), (35) можно преобразовывать к системе ОДУ первого порядка относительно 3 n+1 неизвестной функции Можно показать, что решение (18) является точным решением галеркинских приближений для любого n . В безразмерных переменных оно имеет вид: (36) Расчеты задачи Коши для системы 3 n+1 уравнений проводились методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности для n = 2 и n = 3 в галеркинских приближениях. А так же задача была решена конечно-разностным методом. Результаты расчетов совпадают с точностью до пятого знака. Если начальные значения компоненты температуры и концентрации равны нулю, то температура и концентрация равны нулю, а компонента скорости и граница монотонно убывают. Здесь точно воспроизводится текстовое решение. Пусть Agas = 0, начальные значения компоненты температуры и концентрации не равны нулю. Тогда толщина слоя, как и компонента скорости, уменьшаются. При переходе через нуль скорость меняет знак – жидкость меняет направление движения, начинает притекать вдоль поверхности к центру. Это объясняется тем, что поверхность натяжения сначала уменьшается, и жидкость оттекает от центра, потом увеличивается, и жидкость снова начинает притекать. Толщина слоя увеличивается. Концентрация растет. При этом, минимальные значения толщины слоя и концентрации наблюдаются при смене скорости. Пусть , начальные значения компоненты температуры и концентрации не равны нулю. Тогда скорость сначала уменьшается, затем увеличивается и стремится к бесконечности. Толщина слоя уменьшается и стремится к нулю. Если , то граница уменьшается и стремится к нулю. Если , то граница сначала убывает, а затем возрастает и выходит на стационарное значение. Рассматривалось влияние входящих в систему параметров на движение слоя. При увеличении числа Био, теплового числа Марангони и Соре интенсивность течения увеличивается. С ростом значений концентрационного числа Марангони, Прандтля и Пеле – уменьшается.