термокапиллярная конвекция в плоском слое жидкости с

На правах рукописи
Мазунина Екатерина Сергеевна
ТЕРМОКАПИЛЛЯРНАЯ КОНВЕКЦИЯ В ПЛОСКОМ СЛОЕ
ЖИДКОСТИ С КОНЦЕНТРАЦИОННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
ТЕПЛА
(01.02.05 – Механика жидкости газа и плазмы)
Автореферат
диссертации на соискание ученой
степени кандидата физико-математических наук
Пермь 2011
Работа выполнена на кафедре теоретической физики и компьютерного моделирования Пермского государственного педагогического университета
Научный руководитель:
доктор физ.-мат. наук, профессор
Бирих Рудольф Вольдемарович
Официальные оппоненты:
доктор физ.-мат. наук, доцент
Смородин Борис Леонидович
кандидат физ. – мат. наук, доцент
Перминов Анатолий Викторович
Ведущая организация: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского
отделения РАН, г. Новосибирск
Защита состоится 25 октября 2011 г. в 1515 час. на заседании диссертационного совета Д.212.189.06 при ФГБОУ ВПО "Пермский государственный национальный исследовательский университет" по адресу: 614990,г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета ПГНИУ.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета; электронная версия автореферата
доступна на сайте Пермского государственного национального исследовательского
университета по адресу: http://www.psu.ru.
Автореферат разослан «____» сентября 2011 г.
Ученый секретарь
совета кандидат физ.-мат. наук
доцент
Г.В. Гилев
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. На физические процессы, протекающие в жидкости со
свободной поверхностью, существенное влияние оказывает движение жидкости, связанное с термо- и концентрационно-капиллярными эффектами. Особенно сильный
эффект наблюдается в условиях невесомости. Кроме того, проблема конвективной устойчивости привлекала заметное внимание исследователей всю вторую половину XX
и начало нового века в связи с теоретической важностью проблемы. Поэтому новые
исследования, определяющие пороги возникновения движения и структуру движения,
являются актуальными для теории конвективной неустойчивости.
В большинстве ранее проведенных исследований по термокапиллярной неустойчивости предполагалось, что в состоянии механического равновесия температура
меняется с поперечной координатой линейно или квадратично. Безусловно, представляет интерес анализ влияния на пороги конвекции более сложных законов изменения
температуры. В слое с концентрационными источниками тепла и возникает такое
разнообразие профилей температуры.
Целью работы является численное исследование термокапиллярной неустойчивости механического равновесия плоского слоя жидкой бинарной смеси с концентрационными источниками тепла в условиях невесомости и анализ формы возникающих
конвективных движений.
Для достижения названной цели необходимо было решить следующие задачи:
 описать стационарное состояние системы для случая выгорания активной
компоненты смеси;
 определить границу устойчивости системы относительно малых возмущений;
 методом конечных разностей рассчитать форму надкритического конвективного течения и распределения температуры и концентрации активной компоненты
жидкости;
 исследовать характеристики надкритического движения для разных граничных условий и скорости выгорания активной компоненты.
Научная новизна работы
Автором впервые
 сформулирована задача и найдены стационарные решения в плоском слое
жидкости с концентрационными источниками тепла с выгоранием;
 определена граница устойчивости равновесия плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла при различных значениях безразмерных параметров (число Био, параметр выгорания) по отношению к нейтральным монотонным
и колебательным возмущениям в случае изотермической твердой границы;
определена граница устойчивости равновесия плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла при различных значениях безразмерных параметров (число Био, параметр выгорания) по отношению к нейтральным монотонным
и колебательным возмущениям в случае теплоизолированной твердой границы;
 получены зависимости интегральных характеристик надкритических движений в слое бинарной жидкости от параметра Марангони для различных значений параметров задачи;
изучена эволюция надкритических режимов движения жидкости в случае изотермической твердой границы; обнаружены переходы от стационарной конвекции к
колебательной, а затем в режим «бегущей» волны;
3
в случае изотермической нижней твердой границы изучен колебательный режим конвекции при отрицательных значениях числа Марангони;
построены карты изолиний и определены периоды колебаний для ячейки плоского слоя со свободными поперечными границами и при моделировании ячейки с использованием периодических условий;
 для теплоизолированной нижней границы надкритическое движение обнаружено в виде стационарной конвекции.
 для прямоугольной области с твердыми вертикальными стенками изучены переходы от стационарной термокапиллярной конвекции с одним волновым числом к
стационарной конвекции с вдвое меньшим волновым числом при положительных
значениях числа Марангони; при отрицательных значениях числа Марангони получен
режим колебательной конвекции.
Автор защищает
 результаты численных расчетов по исследованию устойчивости механического равновесия плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла в
условиях невесомости для случаев изотермической и адиабатической твердой горизонтальной границы при выгорании активной компоненты;
 результаты численного исследования нелинейных режимов термокапиллярной конвекции жидкости с концентрационными источниками тепла в ячейке плоского
слоя со свободными вертикальными границами с изотермической твердой границей и
адиабатической твердой границей в случае убывания концентрации активной компоненты;
 результаты численного исследования надкритических режимов термокапиллярной конвекции жидкости с концентрационными источниками тепла в ячейке слоя
с периодическими условиями на вертикальных границах в случае убывания концентрации активной компоненты;
 результаты численного исследования надкритических режимов термокапиллярной конвекции жидкости с концентрационными источниками тепла в канале с
твердыми вертикальными границами в отсутствии выгорания;
Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; соответствием данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов; соответствием численных и аналитических результатов в предельных случаях и с результатами других авторов в тех случаях, где возможно сравнение.
Научное и практическое значение работы. Результаты данной работы могут
быть использованы при проведении теоретических и экспериментальных исследований термокапиллярных течений с внутренним тепловыделением. Результаты исследований устойчивости могут быть также использованы исследователями как основа
для сравнения. В нелинейном расчете использованы две модели выделения ячейки в
плоском слое. Отмечены недостатки и достоинства этих моделей. Показаны возможные переходы между режимами конвекции при увеличении мощности тепловыделения для различных тепловых граничных условий. Результаты работы могут быть полезны при изучении различных явлений, где важную роль играет неоднородное тепловыделение, которое может моделироваться концентрационными источниками тепла.
Работа выполнена при поддержке РФФИ по гранту № 06-01-00221.
4
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, из них 1 статья в научном журнале из перечня ВАК [15].
Личный вклад автора. Во всех работах, кроме [1], представлены результаты
численных расчетов, выполненных автором. Соавтором работ [2-15] является научный руководитель соискателя, участвующий в постановке исследуемых задач и обсуждении полученных результатов. Работа [1] выполнена совместно с В.И. Якушиным.
Здесь соискателем был выполнен расчет надкритических режимов движения жидкости, постановка задачи и анализ результатов проводились совместно с соавтором.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на “Advanced Problems
in Thermal Convection” (Perm, November, 2003), Зимней школе по механике сплошных
сред (Пермь, 2005, 2007, 2009), XII Всероссийской конференции студентов физиков и
молодых ученых (Новосибирск, март, 2006), 15-й Всероссийской школе-конференции
молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь,
октябрь, 2006), VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому
моделированию и информационным технологиям (Красноярск, ноябрь, 2006), XXXV
Summer School-Conference “Advanced Problem in mechanics” St. (Petersburg, June,
2007), 16-й Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Математическое
моделирование в естественных науках» (Пермь, октябрь, 2007), VIII Всероссийской
конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. (Новосибирск, ноябрь, 2007), Международной конференции
«НЕЗАТЕГИУС- 2008» (Москва, февраль, 2008), 3-й Всероссийской конференции с
участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, июнь, 2008), а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, содержащего обзор литературы, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы
из 60 наименований. Общий объем диссертации 137 страниц, включая 93 рисунка.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении представлен обзор литературы по тематике диссертационной работы, приводится ее общая характеристика, и формулируются основные цели работы.
Делается вывод об актуальности темы диссертации и новизне решаемых задач.
В первой главе излагаются результаты исследования устойчивости механического равновесия плоского слоя бинарной жидкой смеси с концентрационными источниками тепла при изотермической твердой границе в условиях невесомости. В состоянии механического равновесия распределения температуры Т0 и концентрация
активной компоненты С0 имеют вид
T0 = 
z  Bi 
1  1 ch ( N  Nz )
1


,

+
N 2 (Bi +1)  chN  N 2
N 2chN
C0 =
ch ( N  Nz )
.
chN
5
(1)
где z – поперечная координата с началом на твердой границе, коэффициент N2 задает
скорость выгорания активной компоненты и показывает во сколько раз характерное
время выгорания меньше времени релаксации диффузионного процесса, число Био
(Bi = h/k) характеризует интенсивность теплообмена на свободной поверхности
жидкости. Еще одним параметром задачи является число Марангони
(Ма=1Q0Csh3/к), определенное по мощности тепловыделения концентрационными источниками (Q0 – удельная мощность внутренних источников тепла, Cs – концентрация на твердой границе), характеристиками жидкости и толщиной слоя h.
Исследована устойчивость механического равновесия системы со стационарными распределениями температуры и концентрации (1) относительно малых возмущений. Рассмотрены периодические вдоль осей x и y возмущения скорости, температуры
и концентрации.
Однородная краевая задача для
амплитуд возмущений имеет нетривиальное решение только при определенных значениях параметров. Для
системы линейных дифференциальных
уравнений методом пошагового интегрирования
Рунге-Кутты-Мерсона
строились четыре линейно независимых решения, удовлетворяющих условиям при z = 0. Граничные условия при
z = 1 определяли число Марангони,
при котором существуют нетривиальные решения с ωi = 0, и частоту ωr. Поскольку в исследуемой системе имеются два молекулярных процесса переноса, следует ожидать как монотонной,
так и колебательной неустойчивости.
Значение числа Прандтля во всех расчетах принималось равным 1.
Получены нейтральные кривые для
Рис. 1. Нейтральные кривые (а) и частоты
различных значений числа Био, панейтральных колебаний (b). Цифры у кривых
раметра выгорания и числа Льюиса
соответствуют значениям параметра выгорания N. Le = 0.1, Bi = 1
(Le = D/χ), характеризующего отношение температурного и диффузионного времени. Обнаружено, что в такой системе могут существовать нейтральные монотонные и колебательные возмущения при положительных и отрицательных числах
Марангони. Критическое число Марангони оказывается сильно зависящим от соотношения времен релаксации температурных и концентрационных возмущений. На
рис. 1. представлены нейтральные кривые и частоты нейтральных колебаний при
числе Льюиса равном 0.1 и числе Био равном единице для разных значений параметра выгорания. Для малых значений N характерно наличие двух ветвей нейтральной
кривой монотонной неустойчивости с общей вертикальной асимптотой. Однако, ситуация быстро меняется с увеличением скорости выгорания активной компоненты.
При N > 0.31 отрицательной монотонной ветви уже нет. Исчезновение отрицательной
6
ветви нейтральной кривой монотонной неустойчивости происходит с появлением
третьей монотонной положительной ветви.
Нейтральные колебания в широком диапазоне параметра выгорания представлены “мешками” в области положительных и отрицательных чисел Марангони с общей
асимптотой и единой дисперсионной кривой. Низкочастотная ветвь (до точки на кривой) соответствует нейтральной кривой для отрицательных значений числа Марангони. После асимптоты дисперсионный закон дает частоту колебаний для Ma > 0. Любопытно, что длинноволновые колебания при положительных значениях числа Марангони имеют практически одинаковую частоту для разных коэффициентов выгорания.
Анализ структуры нейтральных возмущений показывает, что в поставленной задаче возможны два механизма поддержки возмущений: пирсоновский механизм, связанный с выносом на свободную поверхность нагретой жидкости, и механизм, обусловленный выносом на свободную поверхность жидкости с повышенной концентрацией тепловыделяющей компоненты смеси, и изменением в связи с этим температуры
поверхности. Проведено сравнение нейтральных кривых для двух задач (задача для
слоя с концентрационными источниками тепла и задача для слоя, где отсутствует перенос активной компоненты), имеющих одинаковый профиль температуры. Обнаружено, что чем меньше значение числа Льюиса, тем существеннее влияние механизма,
связанного с выносом на свободную поверхность активной компоненты.
Во второй главе изучаются надкритические термокапиллярные конвективные
движения в плоском слое с концентрационными источниками тепла при изотермической твердой границе. Для исследования нелинейных режимов конвекции рассмотрены двумерные движения в плоскости (x, z) и использован метод конечных разностей.
Решение уравнений конвекции в переменных функция тока Ψ, вихрь скорости φ, температура Т и концентрация активной компоненты С строилось в прямоугольной области 0  x  l, 0  z  1, с использованием явной схемы. Пространственные производные аппроксимировались центральными разностями. Уравнение Пуассона решалось методом верхней релаксации. Ячейка слоя моделировалась с помощью периодических условий на боковых границах и как ячейка со свободными боковыми границами. Была исследована конвекция в ячейках слоя с различными геометрическими
размерами l = 2.5 и 5 для значений числа Льюиса Le = 0.1 и l = 1, 2 и 3 для Le = 1.0.
Построены амплитудные кривые, приведены карты изолиний функции тока, температуры и концентрации.
Диаграмма режимов конвекции, полученная для расчетной области l = 2.5
(k = 2.5) cо свободными вертикальными границами при Pr = 1, Bi = 1, Le = 0.1, N = 1
показана на рис. 2 а. Сплошные линии показывают зависимость максимального значения функции тока от числа Марангони при стационарной конвекции. Кривые, обозначенные кружками и треугольниками – зависимость максимального значения
функции тока от числа Марангони при колебательной конвекции. На оси чисел Марангони «звездочками» указаны критические значения числа Марангони для монотонных возмущений с длиной волны  = 1.25,  = 2.5 и  = 5. На вставках рис. 2 a показана типичная структура течения в конвективной ячейке для данного режима конвекции и фазовый портрет движения на плоскости функция тока - температура в точке с координатами x = 0.48, z = 0.77.
7
8
Рис.2. Амплитудные кривые, изолинии функции тока и фазовые портреты для конвективных режимов при положительных значениях
числа Марангони и λ = l = 2.5 (Pr = 1, Le = 0.1, Bi = 1, N = 1) (a – область со свободными вертикальными границами; b – область с периодическими условиями на вертикальных границах).
В случае Ма меньшем некоторого критического значения движение в ячейке отсутствует, все начальные возмущения со временем затухают.
Нелинейный режим, который должен возникать с λ = 5 при Ма* = 376, получен в
расчетной области с l = 2.5 при Ma1* = 374. При Ma1* от равновесия ответвляется
стационарное движение, в ячейке возникает один вихрь (половина длины волны, режим Iа). По мере увеличения надкритичности увеличивается максимальное значение
функции тока.
При увеличении числа Марангони (Ма  4180) стационарная конвекция с длиной
волны λ = 5 переходит в режим периодических колебаний (режим IIа, линия с треугольниками). В случае Ма < 4280 в ячейке происходят колебания только одного вихря. Колебания представляют собой периодическое движение центра вихря вдоль
ячейки. При Ма  4280 вблизи свободной границы на некоторое время появляется
еще один вихрь противоположного знака.
При Ма  4440 дополнительный вихрь в течение периода не исчезает и постепенно, с увеличением числа Марангони, разрывает один большой вихрь, таким образом, в расчетной области происходит колебания трех вихрей. Период колебаний с
увеличением числа Марангони убывает. Диапазона значений числа Марангони вблизи Ма = 4180, где бы одновременно существовали колебательный (режим IIа) и стационарный (режим Iа), режимы конвекции не обнаружено.
Задавая в качестве начального возмущения два симметричных вихря, при
Ма  528 можно получить стационарную конвекцию, имеющую двухвихревую структуру (режим I). По мере увеличения надкритичности увеличивается максимальное
значение функции тока. При больших значениях параметра Марангони (Ма/Ма* > 5)
центры вихрей смещаются к свободной границе и к боковым границам ячейки. При
Ma > 4550 стационарная конвекция становится неустойчивой по отношению к колебательному режиму (режим II, линия с кружками). В ячейке наступают периодические колебания двух неодинаковых вихрей. Вихрь с большей интенсивностью, в данном случае положительный, движется от центра ячейки к боковой границе, при этом
его интенсивность сначала уменьшается, а затем увеличивается. В это же время вблизи центра ячейки формируется центр нового положительного вихря, который затем
снова начинает двигаться к боковой границе. Интенсивность отрицательного вихря
также сначала уменьшается, а затем увеличивается.
При дальнейшем увеличении числа Марангони на границе между вихрями вблизи свободной границы появляются в некоторые моменты времени еще два дополнительных вихря. С увеличением числа Марангони период колебаний уменьшается. Режим II продолжается до Ма = 7110.
Если взять за начальное состояние Режим II с Ма = 6000 и уменьшать число Марангони, то удается продвинуться до Ма = 4320. При этом значении Ма колебательная конвекция переходит в стационарную (Режим I).
При 4800  Ма  5500, задавая возмущение в виде двух вихрей на фоне равновесного распределения температуры и концентрации, можно получить движение с
длиной волны  = 1.25 с Ма* = 2306 (две длины волны в расчетной области, режим
Ib). Квадратиками на рис. 2 а обозначена область значений числа Марангони, для которых удается получить такой режим в области 2.5:1 (две длины волны), штриховой
линией обозначен режим, который был получен в области 1.25:1 (одна длина волны).
При значениях числа Марангони меньших 4800 и больших 5500 режим Ib переходит в
режим II.
Теперь рассмотрим область с периодическими условиями на вертикальных границах при тех же значениях безразмерных параметров. Диаграмма режимов конвек9
ции представлена на рис. 2 b. Сплошные линии показывают зависимость от числа
Марангони максимального значения функции тока для стационарной конвекции (режим I) и регулярных колебаний (режим II, линия с треугольниками). Квадратиками
отмечены полученные в численном эксперименте максимальные значения функции
тока нерегулярных колебаний (режим III), а закрашенными кружочками показано изменение максимального значения функции тока для режима бегущих волн (режим
IV). Штриховые линии разделяют области чисел Марангони, в которых наблюдались
разные режимы конвекции. На вставках рис. 2 b показана типичная структура течения
в конвективной ячейке для данного режима конвекции и фазовый портрет движения
на плоскости функция тока - температура в точке с координатами x = 0.48, z = 0.77.
Нелинейный режим с длиной волны λ = 2.5, который согласно линейной теории
должен возникнуть при Ma*= 526, устанавливался при Ma1*≈ 528. При Ma1* от равновесия ответвляется стационарное движение, имеющее двух вихревую структуру c
симметричными вихрями, которые имеют одинаковую интенсивность и локализованы
в верхней части ячейки. Границы ячейки строго вертикальны. По мере увеличения
надкритичности увеличивается максимальное значение функции тока. Режим стационарной конвекции при λ = 2.5, полученный в случае вертикальных свободных границ
(рис. 2 a, режим I), полностью идентичен режиму I на рис. 2 b. В ячейке с периодическими условиями на вертикальных границах могут возникать только режимы с целыми длинами волн. Режим Ia на рис. 2 a (λ = 5, в области с l=2.5 возникает один вихрь)
получить в такой ячейке было нельзя, а режим Ib (в области с l=2.5 укладывается две
волны с λ = 1.25) не был обнаружен.
При увеличении числа Марангони с Ма = 4460 стационарная конвекция становится неустойчивой по отношению к колебательному режиму. В ячейке устанавливается движение, образованное двумя вихрями противоположных знаков, интенсивность которых изменяется со временем в одинаковых пределах (режим II). Анализ
структуры колебательной конвекции показывает, что данный вид колебаний представляет собой пульсации около стационарного состояния (режима I). В первую половину периода происходило уменьшение интенсивности положительного вихря, интенсивность отрицательного вихря увеличивалась. Во вторую половину периода положительный вихрь увеличивался, а отрицательный вихрь уменьшался. Интенсивность обоих вихрей изменялась одинаково со сдвигом на полпериода.
При развитом движении (больших числах Марангони) в областях восходящего и
нисходящего потоков вблизи свободной поверхности образуется еще пара небольших
вихрей, которые, эволюционируя, сливаются с большим вихрем того же знака, при
этом центр вихря перемещается в точку, где когда-то был центр меньшего вихря. С
увеличением числа Марангони период колебаний уменьшается.
При переходе через значение числа Марангони 5100 колебательное движение
перестает быть регулярным, и в расчетной области наблюдаются периодические колебания сложной формы, содержащей одновременно до четырех вихрей (режим III).
В диапазоне чисел Марангони 5100 < Ma < 5500 амплитуда колебаний максимального
значения функции тока монотонно растет.
При дальнейшем увеличении числа Марангони в области 5760 < Ma < 6000 возникает новый режим, который представляет собой «бегущую волну» (режим IV). В
ячейке возникало два вихря, интенсивность которых на протяжении периода различна. Центр большего вихря находится на одной и той же поперечной координате, у
меньшего вихря при движении волны центр смещается поперек слоя. С увеличением
10
числа Марангони скорость волны уменьшается. Для точки с координатами x = 0.48,
z = 0.77 на плоскости функция тока, температура был построен фазовый портрет конвективного движения. Фазовая траектория в процессе движения наматывается на фигуру близкую к двумерному тору с переменными радиусами кривизны (см. вставку на
рис. 2 b для режима IV).
Переходы между рассмотренными режимами при движении по числу Марангони
в разных направлениях происходят с гистерезисом, т.е. границы области существования режимов перекрываются.
В области со свободными вертикальными границами и области с периодическими условиями на свободных границах результаты для стационарной конвекции одинаковы. Возможность к деформации и движению границы ячейки для периодических
условий на вертикальных границах приводит к появлению дополнительных колебательных режимов.
Для отрицательных значений числа Марангони (Le = 0.1) в ячейке слоя с l = 5
при надкритичности Ma/Ma*  1.4 воспроизведена колебательная конвекция с длиной
волны  = 5. Интерполяция на нулевое значение квадрата амплитуды функции тока
дает результат, который хорошо согласуется с линейной теорией по значениям критических чисел и частот колебаний.
В третьей главе излагаются
результаты исследования устойчивости механического равновесия и надкритических режимов
движения жидкости с концентрационными источниками в плоском слое с теплоизолированной
твердой границей. В рамках линейной теории получены нейтральные кривые для различных
значений чисел Био, Льюиса и параметра выгорания. Выявлено,
что в такой системе возникают
только монотонные возмущения
при положительных значениях
числа Марангони. На рис.3. представлены нейтральные кривые для
значений числа Льюиса равных
0.01, 0.1, 1 при Bi = 1.
В нелинейной задаче исслеРис. 3. Кривые нейтральной устойчивости при дована стационарная конвекция в
Bi = 1 и Le = 0.01 (штриховые линии), 0.1 (штрих- прямоугольной ячейке с l = 3 и 1.5
пунктирные линии) и 1 (сплошные линии). Числа у
при надкритичности до 9, на веркривых задают значение параметра выгорания N.
тикальных границах, как и во второй главе, были использованы оба типа условий. Построены амплитудные кривые и
приведены карты изолиний функции тока, температуры и концентрации. На рис. 4
представлены амплитудные кривые и изолинии функции тока, температуры и концентрации при N = 1, Bi = 1 числе Льюиса равном 0.1 и 1.
11
Le = 0.1, Ма = 800,  = 3
Рис. 4. Зависимость максимальной функции тока от числа Марангони при N = 1 и  = 3 (1 Le = 0.1; 2 - Le = 1.0) и  = 1.5 (3 - Le = 0.1; 4 –Le = 1.0) и изолинии функции тока, температуры и концентрации при Ма = 800.
Четвертая глава посвящена анализу термокапиллярной конвекции бинарной
жидкой смеси с концентрационными источниками тепла в канале с твердыми стенками. Рассмотрен случай, когда выгорание активной компоненты отсутствует и на горизонтальных границах фиксирована ее концентрация. Методом продольно-поперечной
прогонки численно решается система уравнений Навье-Стокса, теплопроводности и
диффузии. В случае теплоизолированной и изотермической нижней твердой границы
для достаточно широкого канала l = 4 получена диаграмма возможных стационарных
решений (одно- и двухвихревых движений разной симметрии) и определены области
их устойчивости для величины надкритичности до 5. На рис 5. представлена амплитудная кривая при Pr = 0.05, Le = 0.05, Bi = 1 для теплоизолированной твердой границы. Для этих решений построены карты изолиний тока, температуры и концентрации.
Как показали численные эксперименты, решения, соответствующие режимам I и III
устойчивы в исследуемом интервале числа Марангони. Решения, принадлежащие режиму II устойчивы только в интервале 50 < Ma < 123. Для значений 123 < Ma < 189
двухвихревое течение II переходит также в двухвихревое течение с противоположным вращением жидкости, соответствующее режиму I (в движение с меньшей амплитудой!). В интервале значений числа Марангони 190 < Ma < 492 это решение переходит в одновихревое решение, соответствующее режиму III. Звездочкой на рис. 5. отмечено критическое значение числа Марангони для бесконечного слоя с  = 8.
Решения, соответствующие режиму II, для 123 < Ma < 492 являются метастабильными с большим «временем жизни», в несколько десятков единиц вязкого времени. Для Ма > 492 такого рода метастабильные состояния в численном эксперименте не наблюдались. Это значение числа Марангони является своего рода концевой
точкой (точка В на рис. 5.).
12
1.00
0.50
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
3.00
3.50
4.00
3.00
3.50
4.00
I – Ma=100
1.00
0.50
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
II – Ma=100
1.00
0.50
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
III – Ma=300
Рис. 5. Амплитудные кривые для разных режимов движения жидкости: I, II - двухвихревые; III – одновихревой. Пунктиром для сравнения показана зависимость максимального
значения функции тока по абсолютной величине от числа Марангони при режиме II
(Pr = 0.05, Le = 0.05, Bi = 1).
Для изотермической твердой границы при положительных значениях числа Марангони построена аналогичная бифуркационная диаграмма до величины надкритичности равной 5. При этой надкритичности в системе существуют только двухвихревые движения, отличающиеся направлением вращения и положением центров вихрей.
При отрицательных значениях числа Марангони конвекция возникает мягко и имеет
колебательный характер. В системе происходит периодическое изменение интенсивности и направления вращения вихрей, а также их расположения. Возникающий режим подобен колебаниям при отрицательных значениях числа Марангони в ячейке со
свободными боковыми границами.
В заключении приводятся основные результаты работы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
- Анализ линейной термокапиллярной неустойчивости механического равновесия
смеси с концентрационными источниками тепла в плоском слое показал, что при
изотермической твердой границе имеет место неустойчивость относительно монотонных и колебательных возмущений при положительных и отрицательных значениях числа Марангони. Для адиабатической твердой границы обнаружена только
монотонная неустойчивость, которая возникает при положительных значениях числа Марангони.
- Обнаружен новый механизм поддержки малых возмущений, обусловленный выносом на свободную поверхность жидкости с повышенной концентрацией тепловыделяющей компоненты смеси и изменением в связи с этим температуры поверхности.
13
- Исследование надритических режимов движения методом сеток для числа
Льюиса, равного 1 и 0.1, показало, что вблизи положительного критического значения числа Марангони мягко возникает стационарная конвекция. При увеличении
значения числа Марангони обнаружено существование нескольких разных режимов
колебательной конвекции, которые возникают в результате неустойчивости режимов, существующих при меньшем значении числа Марангони. При каждой бифуркации колебательного режима движение усложняется, однако при некотором значении числа Марангони в ячейке слоя возникает бегущая волна с достаточно регулярным движением.
- Для отрицательных значений числа Марангони в ячейке слоя 5:1 получена колебательная конвекция, которая возникает мягко. Интерполяция на нулевое значение
квадрата амплитуды функции тока дает значение критического числа Марангони и
частоты, которые хорошо согласуются с линейной теорией.
- В принятых двух моделях ячейки плоского слоя результаты для стационарной
конвекции одинаковы. При периодических условиях на вертикальных границах
возможность к деформации границы ячейки приводит к появлению колебательных
режимов, которые не наблюдались в другой модели.
- Анализ надкритических режимов движения жидкости в канале с твердыми боковыми стенками при изотермической и теплоизолированной нижней границе показал, что твердые стенки приводят к возникновению асимметрии движения. Конвективное движение с восходящим потоком у границ оказывается меньшей интенсивности, чем движение с восходящим потоком на оси канала. Однако при больших
значениях числа Марангони устойчивым оказывается режим с меньшей интенсивностью.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Yakushin V.I., Bratchikova E.S. Thermocapillary instability and finite amplitude convection in a plane liquid layer with a concentrated heat sources // Proc. Int. Conf. “Advanced Problems in Thermal Convection”, Perm, 24-27 November, 2003. Perm: Perm
State University, 2004. P. 237-242.
2. Братчикова Е. С. Устойчивость термокапиллярной конвекции бинарной жидкости
с концентрационными источниками тепла в горизонтальном слое//XIV Зимняя
школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН.
2005. C. 42.
3. Братчикова Е. С. Термокапиллярная устойчивость и конечно-амплитудные режимы
конвективного движения бинарной смеси с концентрационными источниками тепла в
горизонтальном плоском слое//Двенадцатая Всероссийская конференция студентов
физиков и молодых ученых (ВНКСФ-12, Новосибирск): Материалы конференции, тезисы докладов/ Новосиб. гос. ун-т Новосибирск, 2006. C. 662.
4. Братчикова Е. С. О конвективных колебаниях в слое бинарной смеси с концентрационными источниками тепла// Математическое моделирование в естественных
науках. Тезисы докладов 15-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых. Издательство ПГТУ. 2006. C. 18.
5. Братчикова Е. С. О термокапиллярной конвекции в слое бинарной смеси с концентрационными источниками тепла//VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Тезисы докладов. Красноярск. 2006. C. 39.
14
6. Братчикова Е. С. Конечно-амплитудные конвективные движения в слое с концентрационными источниками тепла// XV Зимняя школа по механике сплошных сред
. Сборник статей. Часть 1. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. C. 142– 145.
7. Birikh R., Bratchikova E. Thermocapillary convection in the layer of binary mixture
with concentrated heat sources. XXXV Summer School-Conference “Advanced Problem
in mechanics” June 20 – June 28, 2007, St. Petersburg (Repino), Russia, Book of abstracts. P. 33-34.
8. Бирих Р. В., Братчикова Е. С. Термокапиллярная конвекция в слое жидкости с
концентрационными источниками тепла при фиксированном тепловом потоке через твердую границу//Математическое моделирование в естественных науках. Тезисы докладов 16-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых Издательство ПГТУ. 2007. C. 13-14.
9. Братчикова Е. С. Структура нелинейных колебаний в слое с концентрационными
источниками тепла//Конвективные течения… :сб.науч.тр. Вып 3. Перм. гос.пед.унт.-Пермь. 2007. С. 7 – 19.
10. Мазунина Е. С. Конвекция Марангони в слое жидкости с концентрационными источниками тепла//VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Тезисы докладов. Новосибирск, 27-29 ноября. 2007 . C. 57-58.
11. Мазунина Е.С. Нелинейная Марангони неустойчивость слоя жидкости с концентрационными источниками тепла //Международная конференция «НЕЗАТЕГИУС2008», Москва. Тезисы докладов. 2008. С. 56.
12. Бирих Р.В., Мазунина Е.С. Два механизма термокапиллярной неустойчивости в
слое с концентрационными источниками тепла. Задачи со свободными границами:
теория, эксперимент и приложения//Тезисы докладов 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых. 28 июня – 3 июля. 2008, Бийск. С. 23.
13. Мазунина Е.С. Конечно-амплитудная термокапиллярная конвекция в слое с концентрационными источниками тепла//Неравновесные процессы в сплошных средах. Материалы всероссийской конференции молодых ученых НПСС 2008. Пермь.
2008. С. 223-226.
14. Мазунина Е.С. Нелинейные колебательные режимы Марангони-конвекции в слое
с концентрационными источниками тепла//Механика сплошных сред как основа
современных технологий (XVI Зимняя школа по механике сплошных сред),
Пермь, 24-27 февраля 2009 г.). Тезисы докладов. Пермь-Екатеринбург. 2009. С.
248.
15. Бирих Р.В., Мазунина Е.С. Термокапиллярная конвекция в плоском слое жидкости с концентрационными источниками тепла//Изв. РАН Механика жидкости и газа. 2009. № 1. С. 3-12. (Английский перевод: Birikh, R.V., Mazunina, E.S.
Thermocapillary convection in a plane liquid layer with concentration heat sources //
Fluid Dynamics, Vol: 44, Issue: 1, Date: February 2009, Pages: 1-9.)
15