А1 - Физический факультет КемГУ
реклама
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО «КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра экспериментальной физики
Кафедра высшей математики
В помощь абитуриенту
Решение вариантов тестов по физике и математике
(методические рекомендации)
Кемерово 2006
В помощь абитуриенту. Решение вариантов тестов по физике и
математике
Методические рекомендации.
КемГУ. Кемерово 2006 г.- с..68
Утверждено методической
комиссией физического
факультета___________
«__»______________2006 г.
Методические
рекомендации
предназначены
для
абитуриентов,
поступающих на физический факультет КемГУ, сдающих вступительные
экзамены по физике и математике в форме тестов. Содержат подробное
решение двух вариантов тестов по физике и математике.
Составители: доцент кафедры экспериментальной
физики, к.ф.-м.н., доцент Сергеева И.А.,
доцент кафедры высшей математики
к.ф.-м.н., доцент Антропова Е.В.
Кемеровский государственный университет, 2006 г.
2
Предисловие
Вступительные экзамены на физический факультет КемГУ проводятся
в виде тестирования. В методических указаниях приведены подробные
решения вариантов тестов по физике и математике. При разборе решений
задач авторы предполагают, что абитуриенты имеют необходимый уровень
знаний в объеме курса средней школы. В конце методических рекомендаций
приведены основные определения и формулировки законов физики для
повторения.
3
Математика
Вариант 1.
Часть А
А1. Сократив дробь
m 5
5m 2 6mn n 2
, вычислите ее значение при .
2
2
n 7
5m 4mn n
Варианты ответов: 1) -2; 2) -3; 3) -4; 4) -5; 5) -6.
Решение: Разложим на множители числитель и знаменатель исходной дроби.
Для этого найдем корни квадратных уравнений
5m 2 6mn n 2 0
и
5m 2 4mn n 2 0 относительно, например, переменной m :
5m 2 6mn n 2 0
5m 2 4mn n 2 0
D 36n 2 4 5n 2 16n 2
D 16n 2 4 5n 2 36n 2
6n 4n
1
n
10
5
6n 4n
m2
n
10
4n 6n
n
10
4n 6n
1
m2
n
10
5
m1
m1
Тогда исходная дробь может быть представлена в виде:
m 1
(5m n)( m n) m n
n
(m n)(5m n) m n m 1
n
5 1
12
7
6 .
5 1 2
7
Правильный ответ под номером 5.
А2. Если а>0, b>0, то выражение 12ab
27a 3 64b 3
можно привести к виду
3a 4b
1) ab; 2) –(3a+4b); 3) 3a+4b; 4) 3a-4b; 5) 4b-3a.
Решение:
12ab
27a 3 64b 3
(3a 4b)(9a 2 12ab 16b 2 )
12ab
12ab 9a 2 12ab 16b 2
3a 4b
3a 4b
(3a 4b) 2 3a 4b
Правильный ответ под номером 3.
А3. Квадратное уравнение, корни которого равны 3x1 и 3x2, где x1, x2 – корни
уравнения x 2 4 x 1 0 , имеет вид x 2 bx c 0 . Найдите значение c b .
Варианты ответов: 1) -15; 2) -9; 3) 9; 4) 21; 5) 33.
Решение: По теореме Виета x1 x2 1; x1 x2 4 . Тогда 3x1 3x2 9; 3x1 3x2 12
и искомое уравнение имеет вид x 2 12 x 9 0 . Сравнивая с данным
4
уравнением, находим b 12; c 9. c b 9 (12) 21.
Правильный ответ под номером 4.
А4.
Составьте
уравнение
касательной
к
графику
функции
y 3x 3 4 x 2 5x 22 в точке с абсциссой x=2.
Варианты ответов: 1) y 10 x 15 ; 2) y 10 x 15 ; 3) y 15 x 10 ; 4) y 15 x 10 ;
5) y 15 x 10 .
Решение: Уравнение касательной имеет вид y y( x0 ) y ( x0 )( x x0 ) . Найдем
производную
и
значение
y (2) 9 4 8 2 5 15 ;
функции
в
точке
y 9 x 2 8x 5 ;
x 2:
y (2) 3 8 4 4 5 2 22 20 .
Подставим
полученные значения в уравнение касательной: y 20 15( x 2) . После
раскрытия скобок и приведения подобных, получаем уравнение касательной:
y 15 x 10 .
Правильный ответ под номером 4.
А5. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения
8 5 x 3 (5 x 3) 2 принадлежит промежутку
1) (-4,0;-3,0); 2) (-3,5;-2,5); 3) (-2,5;-1,5); 4) (-1,5;-1,0); 5) (-1,0;-0,5).
Решение: Возводим в квадрат обе части уравнения: 64(5x 3) (5x 3) 4 .
Переносим в одну сторону и выносим общую скобку: (5x 3)((5x 3) 3 64) 0 .
Раскладываем
по
формуле
сокращенного
(5x 3)(5x 3 4)((5x 3) 2 4(5x 3) 16) 0 .
умножения
сумму
кубов:
Неполный квадрат разности не
имеет вещественных корней, поэтому уравнение распадается на два
уравнения: 5 x 3 0, 5 x 7 0 . x1 0,6; x2 1,4 . Оба корня удовлетворяют
исходному уравнению, поэтому x1 x2 2,0 .
Правильный ответ под номером 3.
А6. Вычислите cos , если 2 sin 2 5 sin cos 0, .
2
Варианты ответов: 1)1/3; 2)2/3; 3)-1/3; 4)-2/3; 5)3/4.
Решение: Решаем уравнение: sin (2 sin 5 cos ) 0 , которое распадается на
5
два уравнения: sin 0 и 2 sin 5 cos 0 . Так как:
2
(третья
четверть), то sin 0 . Второе уравнение преобразуем следующим образом:
2 sin 5 cos ; 4 sin 2 5 cos 2 ;
2
cos .
3
4(1 cos 2 ) 5 cos 2 ; 9 cos 2 4;
В третьей четверти cos
2
3
отрицательный, поэтому cos .
Правильный ответ под номером 4.
А7. Выражение
ctg ctg
можно преобразовать к виду
tg tg
1) tg tg ; 2) ctg ctg ; 3) tg ctg ; 4) ctg tg ; 5) ctg( ) .
Решение: tg
1
1
1
1
ctg ctg
, tg
, tg tg
,
ctg
ctg
ctg ctg
ctg ctg
ctg ctg
ctg ctg
(ctg ctg )
ctg ctg .
tg tg
ctg ctg
Правильный ответ под номером 2.
А8. Вычислите ctg arcctg
1
3
5
.
4
Варианты ответов: 1) 1/2; 2) 2; 3) 3; 4)-1/2; 5)-2.
Решение:
Применим
формулу
ctg( )
ctg ctg 1
ctg ctg
и
учтем,
что
1
1
5
1 1
1 5 3
ctg 1 . Тогда: ctg arcctg
ctg arcctg , а ctg
2.
1
4
4
3 3
3 4
1
3
Правильный ответ под номером 2.
А9.
Найдите
( x 2 9)(3 x 3
3 x 1
среднее
арифметическое
всех
корней
уравнения
) 0.
1
3
Варианты ответов: 1)1/4; 2)-2; 3)-2/3; 4) 1 ; 5)-1/3.
Решение: Исходное уравнение распадается на два уравнения: x 2 9 0 и
3 x 3
3 x 1
0.
Первое
уравнение
имеет
корни:
x1 3, x2 3. Второе
6
уравнение:
3 x 3
3 x 1
0, 3 x 3
3 x 1
x 3 x 1,
,
3 x 1 x, 3 x 1 2 x x 2 , x 2 x 2 0, x3 2, x4 1 . Проверяем все корни
путем подстановки в оба уравнения. Корень x3 2 не удовлетворяет второму
уравнению, так как 32 3
3 2 1
. Находим среднее арифметическое корней:
3 (3) (1)
1
.
3
3
Правильный ответ под номером 5.
А10. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения
log x 3 (2 x 2 15 x 29) 2 .
Варианты ответов: 1) 1; 2) 9; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
Решение:
log x 3 (2 x 2 15 x 29) 2; 2 x 2 15 x 29 ( x 3) 2 ; 2 x 2 15 x 29 x 2 6 x 9; x 2 9 x 20 0;
x1 4; x2 5.
Подстановка найденных значений в исходное уравнение
приводит к обнаружению постороннего корня: x1 4, так как при этом
значении x основание логарифма равно 1, чего быть не может по
определению логарифма.
Правильный ответ под номером 5.
А11. Найдите область определения функции f ( x) log 0,5
2x 4
.
x 1
Варианты ответов: 1) (-1;5] 2) (-∞;-1) 3) (-1;2)U{5} 4) (2;5] 5) (-1;2).
Решение: Область определения квадратного корня: log 0,5
неравенство равносильно системе неравенств: 0
неравенство:
Решаем
2x 4
1 0;
x 1
2x 4
0 . Это
x 1
2x 4
1 . Решаем левое
x 1
2( x 2)
0 . По методу интервалов получаем: x (;1) (2;) .
x 1
правое
2x 4 x 1
0;
x 1
неравенство:
2x 4
1;
x 1
x5
0; x [1;5]. Объединение решений двух
x 1
неравенств дает область определения исходной функции: x (2;5] .
7
Правильный ответ под номером 4.
А12. Найдите все значения а, при которых функция y x 3 3(a 12) x 2 48x 11
не имеет точек экстремума.
Варианты ответов: 1) (-∞;-16)U(-8;+∞)
∞;8)U(16;+∞)
5) [8;16].
Решение:
точках
В
экстремума
2) [-16;-8]
производная
3) (-16;-8)
меняет
знак.
4) (Найдем
производную: y 3x 2 6(a 12) x 48 . График производной есть парабола,
ветви которой направлены вверх. Эта парабола не будет попадать в нижнюю
полуплоскость отрицательных значений (а значит, производная не будет
менять знак), если дискриминант квадратного многочлена не будет
положительным,
т.е.:
3x 2 6(a 12) x 48 0; x 2 2(a 12) x 16 0;
D 4(a 12) 2 4 16 0; (a 12) 2 16 0; (a 12 4)(a 12 4) 0; (a 8)(a 16) 0;
a [16;8] .
Правильный ответ под номером 2.
А13. Укажите уравнение, которое задает геометрическое место точек
плоскости, равноудаленных от двух точек А(-4;4) и В(4;-2).
Варианты ответов: 1) 4 x 3 y 3 0 ; 2) y 1 ; 3) 3x 4 y 4 0 ; 4) 2 x y 1 0 ;
5) x 2 y 2 0 .
Решение: Пусть любая точка С, равноудаленная от заданных точек, имеет
координаты (x;y). Тогда расстояние между точками А(-4;4) и С(x;y) равно:
d1 ( x 4) 2 ( y 4) 2 . Аналогично, расстояние между точками В(4;-2) и С(x;y)
равно: d 2 ( x 4) 2 ( y 2) 2 . Так как эти расстояния по условию должны
быть
равны,
имеем:
( x 4) 2 ( y 4) 2 ( x 4) 2 ( y 2) 2
,
x 2 8x 16 y 2 8 y 16 x 2 8x 16 y 2 4 y 4; 16 x 12 y 12 0; 4 x 3 y 3 0 .
Правильный ответ под номером 1.
А14. Материальная точка движется по оси ОХ по закону x(t )
t3
2t 2 5t 10
3
(x – координата в метрах, t – время в секундах). Через сколько секунд после
начала движения точка остановится?
8
Варианты ответов: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
Решение: Когда точка остановится, ее скорость станет равна нулю. Скорость
–
это
первая
производная
от
координаты
по
времени:
v(t ) x(t ) t 2 4t 5 0; t1 1; t 2 5. Время отрицательным быть не может,
поэтому t 1 секунда.
Правильный ответ под номером 1.
А15. В цилиндре периметр осевого сечения равен 56 см, диагональ этого
сечения образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем цилиндра
(в куб.см).
Варианты ответов: 1) 684π; 2) 686π; 3) 688π; 4) 690π; 5) 692π.
Решение: В общем случае осевое сечение цилиндра представляет собой
прямоугольник. Так как его диагональ образует с основанием угол 45°, то
прямоугольник является квадратом. Периметр квадрата равен учетверенной
стороне, т.е. 4a 56 см, откуда сторона квадрата равна 14 см. Таким образом,
мы имеем цилиндр с диаметром основания 14 см и высотой 14 см. Объем
цилиндра равен: V S осн h
D2
14 2
h
14 686 .
4
4
Правильный ответ под номером 2.
А16. Даны точки А(8;-7;-4), В(1;-2;-3), С(-1;-1;-7). Найдите сумму координат
точки D(x;y;z), если AB 2BC 3 AD 0 .
Варианты ответов: 1) 8; 2) 6; 3) -6; 4) 4; 5) -4.
Решение:
Вектор
AB
имеет
координаты:
(1-8;-2-(-7);-3-(-4))=(-7;5;1);
аналогично, вектор BC (-2;1;-4) и вектор AD( x 8; y 7; z 4) . Тогда, записывая
для каждой координаты данное в условии соотношение, получим систему
уравнений:
7 2 (2) 3 ( x 8) 0
;
5 2 1 3 ( y 7) 0
1 2 (4) 3 ( z 4) 0
x 9
y 8
z 7
Сумма координат точки D: x y z 9 8 7 6 .
Правильный ответ под номером 3.
9
Часть В
В1. Найдите наибольший общий делитель трех чисел 138, 276, 345.
Решение: Разлагаем на простые множители: 138=2·3·23;
276=2·2·3·23;
345=3·5·23. Видим, что все числа делятся на 23 и на 3. Поэтому наибольший
общий делитель равен 23·3=69.
Правильный ответ: 69.
В2. Найдите произведение корней уравнения
x 3 3x 2 11x 26
1.
x 2 2x 8
Решение: x 3 3x 2 11x 26 x 2 2 x 8; x 3 2 x 2 9 x 18 0; x 2 ( x 2) 9( x 2) 0;
( x 2)( x 3)( x 3) 0; x1 2; x2 3; x3 3.
Подставляем
найденные
значения в исходное уравнение и находим, что x1 2 обращает в ноль
знаменатель, поэтому корнями данного уравнения будут только 3 и -3. Их
произведение равно -9.
Правильный ответ: -9.
В3. Найдите сумму x0 8y0 , где x0 , y 0 - решение системы
6 x 3 y 6 x 2
y x 8
и x0 y 0 0 .
Решение: Из второго уравнения системы находим: y x 8 .
Подставляем в первое уравнение:
6 x 3( x 8) 6 x 2 ; x 2 9 x 18 0; x1 3; x2 6;
y1 5;
y 2 2 . Так как по
условию x0 y0 0 , то x1 3; y1 5. x0 8 y0 3 8 5 37 .
Правильный ответ: 37.
( x 2)( x 2 x 6)
0.
В4. Найдите наибольшее целое решение неравенства
x3 4x
Решение: Найдем корни уравнения: x 2 x 6 0 . x1 2; x2 3 . Перепишем
исходное неравенство в виде:
( x 2)( x 2)( x 3)
0 . Решаем его по методу
x( x 2)( x 2)
интервалов:
+ -3 -2
+
0
+
2
10
x [3;2) (0;2) . Наибольшее целое решение x 1.
Правильный ответ: 1.
В5. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения
x 11 2 x 19 .
Решение: Если x 11 0 , т.е. x 11, то уравнение имеет вид: x 11 2x 19 .
Откуда x 8 . Но так как x 11, то решений нет. Если x 11 0 , т.е. x 11, то
уравнение имеет вид: x 11 2x 19 . Откуда x 10 . Это единственный
корень уравнения.
Правильный ответ: 10.
2,5 x 10
В6. Найдите сумму всех целых решений системы неравенств
.
2
( x 8) 3
0 2,5 x 10
Решение: Исходная система равносильна системе:
x8 3
x 2,5
x 12,5
x 8 3
. Решение системы имеет вид:
x 2,5
x 12,5
x 8 3
или
x (12,5;11) (5;2,5) . Сумма
целых решений: -12+(-4)+(-3)=-19. Правильный ответ: -19.
В7. Найдите число решений уравнения 3 sin 2 x 8 cos x 0 , принадлежащих
отрезку [0;7π/2].
Решение:
3(1 cos 2 x) 8 cos x 0; 3 cos 2 x 8 cos x 3 0.
Решая
квадратное
1
3
относительно косинуса уравнение, находим: cos x . Другой корень, равный
трем, не подходит, так как cos x 1 . Решение уравнения cos x
1
имеет вид:
3
1
x arccos 2n, n Z . Решения лежат в первой и четвертой четверти круга.
3
Отрезок [0;7π/2] содержит два раза первую четверть и один раз четвертую
четверть, поэтому на этом отрезке находится три корня исходного уравнения.
Правильный ответ: 3.
11
В8. Вычислите log
Решение:
8
2
2 7
Перейдем
log 1 / 2
1
11 4 7
к
.
основанию
логарифма
2:
2
8
64(11 4 7 )
8
1
2 7
log 2 2 6 6 .
2 log 2
log 2
log 2
log 2
1
44 7 7
2 7
11 4 7
11 4 7
Правильный ответ: 6.
В9. Найдите сумму всех целых решений неравенства
25 5 x 1
1 / 6x10 6
0.
5 2 5 x 1 0
2 x 1
x 1
10 x
6 0
6
25 5 x 1
10 x 1 x 9
0
x [1;9) .
Решение:
2
x 1
1 / 6x10 6
5 5 0
2 x 1
x 1
10 x
10 x 1
x 9
6 0
6
Сумма всех целых решений неравенства: 1+2+3+4+5+6+7+8=36.
Правильный ответ: 36.
В10. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках А(-5;3), В(5;3) и
С(2;-2).
Решение: Для простоты решения нарисуйте треугольник по заданным точкам
на координатной плоскости. Так как точки А и В имеют одинаковую
координату y =3, то эту сторону будем рассматривать как основание
треугольника.
Площадь
треугольника
равна
половине
произведения
основания на высоту. Основание равно 10 см, высота равна 5 см. Площадь
треугольника равна 25 см.
Правильный ответ: 25.
В11. В окружности радиуса R
45
см вписанный угол φ=18° опирается на
дугу АВ. Найдите длину этой дуги (в см).
Решение: Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный,
вдвое больше, чем вписанный, т.е. равен 36°. Таким образом, дуге АВ
соответствует центральный угол, составляющий десятую часть от полного
круга в 360°. Значит и дуга АВ составляет десятую часть от полной длины
12
окружности, равной 2R 2
45
90 см. Длина дуги АВ равна 9 см.
Правильный ответ: 9.
В12. В арифметической прогрессии известны члены а17=189 и а43= -19.
Укажите номер К члена этой прогрессии, начиная с которого все ее члены
меньше 69.
Решение: Используем формулу для n – го члена арифметической прогрессии:
a17 a1 16d
189 a1 16d
или
.
an a1 (n 1)d , где d – разность прогрессии:
19 a1 42d
a43 a1 42d
Решая
систему,
находим:
a1 317; d 8 .
aK a1 ( K 1)d 317 8( K 1) 69 .
Составим
неравенство:
Решаем
его:
8( K 1) 317 69; 8K 248 8; K 32 . Таким образом, начиная с 33-его номера
все члены прогрессии меньше 69.
Правильный ответ: 33.
В13. Найдите количество точек максимума функции f (x) на отрезке [a;b],
если график ее производной f (x) на этом отрезке имеет вид
f’(x)
a
b
X
Решение: В точках максимума первая производная меняет знак с плюса на
минус. Таких точек на предложенном графике две.
Правильный ответ: 2.
В14. График функции y log 5 ( x p) t получается из графика функции
y log 5 ( x 2) 3 параллельным переносом на 5 единиц влево и на 5 единиц
вниз. Найдите p t .
Решение: Уравнение полученной после переноса кривой записываем в виде:
y 5 log 5 ( x 5 2) 3 или y log 5 ( x 7) 8 . Отсюда: p 7; t 8;
p t 1.
Правильный ответ: 1.
13
Вариант 2.
А1. Производительность труда на предприятии за октябрь увеличилась на
20%, а за ноябрь – на 10%. На сколько процентов увеличилась
производительность труда на предприятии за эти два месяца?
Варианты ответов: 1) 22; 2) 36; 3) 40; 4) 32; 5) 30.
Решение: Производительность труда в октябре стала 120%, в ноябре она
увеличилась на 10% от 120, т.е. на 12% и стала равна 120%+12%=132%. За
два месяца производительность выросла на 132%-100%=32%.
Правильный ответ под номером 4.
А2.
Если
многочлен
4 x 3 ax 2 bx c
можно
представить
в
виде
(2 x)( 4 x 2 1) , то сумма a b c равна
1) 8 2)9 3)10 4)11
5)12
Решение:
Раскроем
скобки:
предложенным
(2 x)( 4 x 2 1) 4 x 3 8 x 2 x 2
выражением.
Тогда
и
сравним
a 8, b 1, c 2 .
с
Сумма
a b c 8 1 2 9 .
Правильный ответ под номером 2.
А3. Если на рисунке изображен график обратно пропорциональной
зависимости y
k
b , то справедливы соотношения
xa
1)k 0, a 0, b 0
2)k 0, a 0, b 0
3)k 0, a 0, b 0
4)k 0, a 0, b 0
5)k 0, a 0, b 0
Решение:Так как вертикальная асимптота – ось абсцисс, то b 0 . Так как
14
вертикальная асимптота сдвинута влево от оси ординат, то a 0 . Так как
ветви гипербол лежат во второй и четвертой четвертях, то k 0 . Правильный
ответ под номером 4.
А4. Найдите множество значений функции y x 2 4 x
Варианты ответов: 1) (4; ) ; 2) [4; ) ;
3) [0; ) ;
4) (2; ) ;
5) [2; ) .
Решение:
График данной функции представляет собой параболу, ветви которой
направлены
x0
вверх.
b
4
2;
2a
2
Координаты
вершины
параболы:
y 0 (2) 2 4 (2) 4 8 4 . Тогда множество значений
функции y [4; ) .
Правильный ответ под номером 2.
А5. Найдите область определения функции y
Варианты ответов: 1) (;1) ;
2) [5;1] ;
15 x 2 2 x
x 1
3) [5;1) ;
4) (;5] ;
5)
(;5) (5;1)
Решение:
Область определения функции будет определяться системой неравенств:
15 x 2 2 x 0
( x 5)( x 3) 0
5 x 3
5 x 1
x 1
x 1
x 1 0
Правильный ответ под номером 3.
А6. Количество целых решений неравенства x 7 x 2 8 x 7 0 на промежутке
[6;1] равно
1) 6
2) 7
3) 3
4) 4
5) 5
Решение:
Так как неравенство строгое, то исключим точки, в которых левая часть
неравенства обращается в ноль. Это точки: x 0, x 1, x 7 . При всех
других значениях x модуль положителен, а значит исходное неравенство
равносильно неравенству x 0 . Решение неравенства, таким образом, может
быть записано в виде: x (;7) (7;1) (1;0) . На промежутке [6;1] имеем
15
следующие целые решения: -6; -5; -4; -3; -2. Этих решений – пять.
Правильный ответ под номером 5.
А7. Если A, B, C и D - внутренние углы четырехугольника ABCD и
A 80 , B 160 и ctg C
1)
5 36
;
3
2)
5 36
;
13
3)
1
, то ctg D равен
3
5 36
;
3
4)
5 36
;
13
5)
65 3
.
3
Решение:
Сумма
360°,
поэтому
С D 360 80 160 120 . Используем формулу: ctg( )
ctg ctg 1
.
ctg ctg
1
ctg D 1
.
ctg 120 3
1
ctg D
3
Обозначим
Тогда
углов
в
ctg( C D)
четырехугольнике
ctg C ctg D 1
,
ctg D ctg C
или
равна
1
x 1
3
3
3 3
x 3 ; x(1 3 ) 3
ctg D x и решим уравнение:
. 3x
;
1
3
3
3
x
3
x
9 3
3(1 3 )
(9 3 )(1 3 )
3(1 3 )(1 3 )
12 10 3 5 3 6
9 10 3 3
.
6
3
3(1 3)
Правильный ответ под номером 3.
А8. Решив графически уравнение x 3 log 3 (5 x) 0 , укажите промежуток,
содержащий его корень
Варианты ответов: 1) (-2;-1)
2) (-1;0)
3) (0;1)
4) (1;2)
5) (2;3)
Решение: Построим графики функций y x 3 и y log 3 (5 x) .
Y
-3
-2
-1
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
X
1
2
3
16
Точка пересечения графиков принадлежит промежутку (1;2) по оси абсцисс.
Правильный ответ под номером 4.
А9. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения
log 3 (2 x 2 2 x 3) 2 log x 1 2 3
Варианты ответов: 1)1
Решение:
log x 2 3
Перейдем
2) 7
во
3) 4
4) 6
втором
log 3 3
1
.
log 3 ( x 2) log 3 ( x 2)
Тогда
log 3 (2 x 2 2 x 3) 2 log 3 ( x 2) . Откуда
5) 5
логарифме
уравнение
к
основанию
перепишется
2 x 2 2 x 3 ( x 2) 2 , или
в
3:
виде:
x 2 6x 7 0 .
Корни этого уравнения: x1 7, x2 1. Проверим корни подстановкой в
исходной уравнение: второй корень не удовлетворяет уравнению, так как при
x 1
основание второго логарифма становится равным 1, что не
удовлетворяет определению функции log a x ( a 0, a 1 ).
Правильный ответ под номером 2.
2 x y 4 8
А10. Если ( x0 , y0 ) - решение системы x
, то произведение x0 y 0
121 111 y
равно
Варианты ответов: 1) 0,5
2) 0,125
3) 0,15
4) 0,25
5) 0,55
Решение:
3
x 1
x y
2 4 8
2 x y 2 4
x y 3 4
x 1 2x 3 4
4.
x
1 y
2
x
1
y
y1
121 11
2 x 1 y
y 1 2x
11 11
2
Тогда
x0 y 0 1 0,125
8
Правильный ответ под номером 2.
А11. Если x 0 наибольшее целое решение неравенства
243 (1 3) x
0 , то
x 2 12 x 36
значение выражения (3x0 1)( x0 2) равно
Варианты ответов: 1) 20
Решение:
2) 100
3) 68
4) 72
5) 98
35 3 x 0
5 x
x 5
243 (1 3) x
35 3 x
.
0
0
2
2
x
6
x
6
x 12 x 36
( x 6)
x
6
17
Наибольшее
целое
решение
неравенства
x0 7 .
Тогда
выражение
(3x0 1)( x0 2) 100 .
Правильный ответ под номером 2.
А12. Множество решений неравенства log 0,3 (7 x) log 0,3 ( x 1) 0 имеет вид
Варианты ответов: 1) (1;7)
2) (1;4)
3) (1;4]
5) (1;4) (4;7) .
4) [4;7)
7 x 0
x 7
Решение: log 0,3 (7 x) log 0,3 ( x 1) 0 x 1 0
x 1 x [4;7)
7 x x 1
x 4
Правильный ответ под номером 4.
А13. Укажите уравнение, которое задает геометрическое место точек
пространства, равноудаленных от двух точек А(-2;-4;-4) и В(-3;-1;4).
Варианты ответов: 1) x 3 y 8 z 5 0 ;
x y 1 0;
4) 2 x 4 y 5 z 8 0 ;
2) 10 x 10 y 8 z 15 0 ;
3)
5) 3x 5 y 10 z 10 0 .
Решение: Пусть любая точка С, равноудаленная от заданных точек, имеет
координаты (x;y;z). Тогда расстояние между точками А(-2;-4;-4) и С(x;y;z)
равно: d1 ( x 2) 2 ( y 4) 2 ( z 4) 2 . Аналогично, расстояние между точками
В(-3;-1;4) и С(x;y;z) равно: d 2 ( x 3) 2 ( y 1) 2 ( z 4) 2 . Так как эти
расстояния
по
условию
должны
быть
равны,
имеем:
( x 2) 2 ( y 4) 2 ( z 4) 2 ( x 3) 2 ( y 1) 2 ( z 4) 2 ,
x 2 4 x 4 y 2 8 y 16 z 2 8z 16 x 2 6 x 9 y 2 2 y 1 z 2 8z 16;
2 x 6 y 16 z 10 0 ; x 3 y 8 z 5 0 .
Правильный ответ под номером 1.
А14. Найдите наибольшее значение функции y
1
, если график этой
x ax 6
2
1
функции проходит через точку M 1;
3
Варианты ответов: 1)
25
47
2)
9
17
3)
1
2
4)
1
6
5)
Решение: Подставим координаты точки в функцию:
4
5
1
1
2
. Отсюда
3 1 a 1 6
18
найдем a 4 . Найдем наибольшее значение функции y
этого найдем производную y
1
. Для
x 4x 6
2
(2 x 4)
и приравняем ее к нулю. Тогда
( x 2 4 x 6) 2
2x 4 0 , или x 2 . В этой точке производная меняет знак с плюса на минус,
значит в этой точке функция имеет максимум. Его значение найдем,
подставив x 2 в функцию y
1
1
.
2 42 6 2
2
Правильный ответ под номером 3.
А15. Найдите (в градусах) угловую меру дуги окружности, ограничивающей
круг площадью
25
см2, если длина этой дуги равна 1
Варианты ответов: 1) 49
2) 50
3) 51
Решение: Площадь круга равна R 2
R
5
25
4) 52
5
см
12
5) 53
. Откуда радиус окружности равен
см. Длина окружности этого радиуса равна 2R 2
5
10 см. Составим
10см 360
17 360
51
пропорцию: 17
, откуда: x
12
10
см
x
12
Правильный ответ под номером 3.
А16. В усеченном конусе площади оснований равны 16 см2 и 36 см2,
образующая составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь
(в кв.см) боковой поверхности этого конуса
Варианты ответов: 1) 20
2) 30
3) 40
4) 50
5) 60
Решение: Усеченный конус представим как конус с основанием площадью
36 см2 с отрезанным сверху конусом с основанием площадью 16 см2.
Основание конуса это круг, площадь которого равна r 2 . Тогда радиус
большого конуса находим из равенства r 2 36 . Откуда он равен 6 см.
Аналогично, радиус основания отрезанного конуса равен 4 см. Так как
образующая составляет с плоскостью основания угол 60°, то радиус
основания является катетом в прямоугольном треугольнике, лежащим против
19
угла в 30°, тогда образующая, являясь гипотенузой, равна двум радиусам
основания. Таким образом, образующая большого конуса равна 12 см,
образующая отрезанного конуса равна 8 см. Развернем оба конуса, разрезав
их по образующей. Рассмотрим больший конус. В развернутом виде он
является сектором окружности радиуса 12 см, дуга этого сектора имеет
длину 2 6 см и составляет
равна
12 2
2
2 6 1
часть окружности. Значит его площадь
2 12 2
см2. Аналогично, площадь боковой поверхности отрезанного
конуса будет равна
82
2
см2. Окончательно, площадь боковой поверхности
усеченного конуса будет равна:
12 2
2
82
2
40 см2.
Правильный ответ под номером 3.
В1. Квадратное уравнение, корни которого на одну единицу меньше корней
уравнения x 2 3x 2 0 , имеет вид x 2 bx c 0 . Найдите значение 2b c .
Решение: Пусть x1 и x 2 - корни уравнения x 2 3x 2 0 , тогда по теореме
Виета x1 x2 2, x1 x2 3 . Так как корни уравнения x 2 bx c 0 на единицу
меньше, то по той же теореме: b x1 1 x2 1 ( x1 x2 ) 2 3 2 5 ,
c ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1 2 3 1 2 .
Теперь
находим
2b c 10 2 8 .
Правильный ответ:
-8
В2. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения
x2 7
8x
4
.
x7
x7
Решение: Приведем к общему знаменателю и отбросим его x 2 7 4 x 28 8 x .
Или x 2 12 x 35 0 . Корни этого уравнения 7 и 5. Подставляем найденные
значения в исходное уравнение и находим, что x1 7 обращает в ноль
знаменатель, поэтому корнем данного уравнения будет только 5.
Правильный ответ:
5
В3. Найдите число целых решений неравенства
3 3x 7 0
20
Решение:
3 3x 7 0
10
4
x
3
3
3 3x 7 7 3 3x 7 10 3x 4
. Целые решения, попадающие в данный интервал, : -1, 0, 1, 2, 3. Их число
равно пяти.
Правильный ответ:
5
В4. В арифметической прогрессии
значение n , при котором сумма
a2 256, a3 243 .
Укажите такое
S n a1 a2 ... an принимает наименьшее
возможное значение.
Решение:
Найдем
разность
арифметической
прогрессии:
d a3 a2 243 (256) 13 . Так как разность прогрессии больше нуля, то
начиная с какого-то номера члены прогрессии станут положительными.
Сумма S n будет уменьшаться, пока мы будем складывать отрицательные
члены прогрессии, но как только последнее слагаемое в этой сумме станет
положительным, сумма станет возрастать. Поэтому нам нужно найти номер
последнего
отрицательного
a1 a2 d 256 13 269 .
Тогда
члена
прогрессии.
Найдем
an a1 (n 1)d 269 13(n 1) 13n 282 .
Решим неравенство: an 0 , или 13n 282 0 , или 13n 282 , или n 21
9
. То
13
есть последний отрицательный член прогрессии a 21 .
Правильный ответ:
21
В5. Скорость шлюпки при движении по реке против течения составляет
9
16
от скорости шлюпки по течению. На сколько процентов скорость течения
меньше скорости шлюпки в стоячей воде?
Решение: Обозначим собственную скорость шлюпки через V1 , а скорость
течения реки через V2 . Тогда у нас есть уравнение: V1 V2
Определимся, что нам нужно найти:
9
(V1 V2 ) .
16
V
V1 V2
100 % 1 2 100 %. Поделим
V1
V1
21
уравнение V1 V2
V
9
9 V
(V1 V2 ) на V1 , получим: 1 2 1 2 . Обозначим
16
V1 16 V1
через x отношение
25x 7 ,
V2
9
. Решим уравнение: 1 x (1 x) , 16 16x 9 9x ,
16
V1
x 0,28 .
Тогда
искомая
величина
будет
равна:
V2
1 100 %= (1 0,28) 100 72 %.
V1
Правильный ответ:
72
В6. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения
5x 6
x
6
1
x
5x 6
6
5x 6
0 . Тогда уравнение примет вид: t 1 .
t
x
Решение: Обозначим: t
Решаем его: t 2 t 6 0 , t1 3, t 2 2 . Первый корень не удовлетворяет
условию
t 0.
Тогда
5x 6
2.
x
Решаем
это
уравнение:
5x 6
4, 5 x 6 4 x, x 6 .
x
Правильный ответ:
В7.
Найдите
6
сумму
целых
решений
неравенства
2 x (2 x 3) 0 ,
удовлетворяющих условию x 4
Решение:
2 x 0
x 2
2 x (2 x 3) 0
x (;1,5] {2} .
2 x 3 0
x 1,5
Найдем сумму целых решений, удовлетворяющих заданному условию: (4)+(-3)+(-2)+2=-7
Правильный ответ:
7
В8. Вычислите в градусах значение выражения
Решение:
1
3
arctg 0
arccos
2
2
1
3
1
arctg 0 150 0 75 .
arccos
2
2
2
Правильный ответ:
75
22
В9. Найдите в градусах корень, если он единственный, или сумму корней
уравнения cos 2 x 6 sin x 6 0 , принадлежащих промежутку [270;90]
Решение: cos 2 x 6 sin x 6 0 ,
Обозначим:
t sin x 1 .
1 sin 2 x 6 sin x 6 0 ,
Тогда:
t 2 6t 5 0 .
sin x 6 sin x 5 0 .
2
Корни этого уравнения:
t1 5, t 2 1 . Первый корень не удовлетворяет условию: t 1 . Тогда: sin x 1 .
Откуда x
2
n, n Z . Промежутку [270;90] принадлежат корни: -270°, -
90°, 90°. Их сумма равна -270°.
Правильный ответ:
270
В10. Вычислите log 14 2 log 14 98 log 142 7
Решение:
2
2
2
log 14 2 log 14 98 log 14
7 log 14 2 log 14 (14 7) log 14
7 log 14 2 (log 14 14 log 14 7) log 14
7
2
log 14 2 log 14 2 log 14 7 log 14
7 log 14 2 log 14 7 (log 14 2 log 14 7) log 14 2 log 14 7 log 14 14
log 14 2 log 14 7 log 14 14 1
Правильный ответ:
1
В11. Угловой коэффициент касательной к графику функции y( x) x 2 12 x 1
равен значению функции в точке касания. Найдите сумму абсцисс точек
касания
Решение: Угловой коэффициент касательной равен значению производной
функции в точке касания x 0 . Найдем производную: y 2 x 12 . Тогда по
условию
задания:
2 x0 12 x02 12 x0 1 .
Откуда:
x02 10 x0 11 0 ,
x01 11, x02 1 . Это и есть абсциссы точек касания. Их сумма равна -10.
Правильный ответ:
10
В12. Даны четыре точки А(0;-1), В(4;-3), С(2;1), D(3;-2). Найдите скалярное
произведение AC DB BC AD
Решение: Координаты каждого вектора находим, вычитая соответствующие
координаты начальной точки из соответствующих координат конечной
точки: AC (2;2), DB (1;-1), BC (-2;4), AD (3;-1). При сложении (вычитании)
23
векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются),
поэтому вектор AC DB имеет координаты: (1;3), а вектор BC AD - (1;3).
Скалярное
a b a x bx a y b y ,
произведение
поэтому:
AC DB BC AD 1 1 3 3 10 .
Правильный ответ:
10
В13. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А(-9;-4), В(2;-2), С(-2;5) и D(-9;7).
Решение: Нарисуйте по точкам четырехугольник. Четырехугольник АВСD
представляет собой трапецию. Площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, т.е. S
Правильный ответ:
11 7
7 63 .
2
63
В14. Найдите наибольшее целое значение а, при котором абсцисса всех
общих точек графиков функций f ( x)
a
13
и g ( x) 2
положительна
2x
2x 6x
Решение: Общие точки графиков найдем из равенства:
a
13
2
. Отсюда:
2x 2x 6x
2ax 2 6ax 26 x . Так как нас будут интересовать только x 0 , то на x можно
поделить,
x0
тогда:
x
13 3a
.
a
По
условию:
13
3 0 a 0; 13 . Наибольшее целое из этого
a
3
a
13 3a
0
a
интервала равно 4.
Правильный ответ:
4
24
Физика
Вариант 1.
Часть А
А1.Два лыжника стартуют с интервалом t=3 минуты. Скорость первого
лыжника v1=2м/с, скорость второго v2=2,5м/с. Второй лыжник догонит
первого через ….1) 6 мин 2) 7,5 мин 3) 12 мин 4) 15 мин 5) 24 мин
Дано:
t=3 м=180 с
v1=2м/с
v2=2,5м/с
Решение
запишем уравнение координаты 1-го лыжника, считая
движение равномерным. Х1=х0+v1 *t, где х0=v1 *t, отсюда
Х1 = v1*t+ v1 *t, уравнение координаты 2-го лыжника
Х2= v2*t. В момент встречи Х1=Х2, следовательно:
t-?
2,5*t=2*180+2*t; отсюда t=720 с=12 мин.
А2.Автобус движется прямолинейно и равноускоренно с ускорением а=2
м/с2. За время t=5 с скорость автобуса увеличилась от v1=3 м/с до …
1) 5 м/с 2) 10 м/с 3) 12 м/с 4) 13 м/с 5) 15 м/с
Дано:
Решение
а=2 м/с2.
v2=v1+a*t
v1=3 м/с
v2= 3+2*5=13 м/с
t= 5 c
v2-?
А3.Тело бросили с поверхности Земли под углом
=300 к горизонту с
начальной скоростью v0=5 м/с. Время полета составляет…
1) 0,3 с 2) 0,4 с 3) 0,5 с 4) 0,8 с 5) 0,9 с
Дано:
Решение:
V0=5 м/с
Х
=300
t-?
V0
VY
Из
рисунка
Vx
Vy=V0*sinVY=V0*cosпо
g
Y
горизонтали
движение
тела
равномерное, по вертикали равноускоренное, следовательно, скорость тела
25
по вертикали изменяется со временем по закону: VY=V0*sing*t, в высшей
точке траектории VY=0, tп=V0*sing, в отсутствие сопротивления воздуха
время подъема на максимальную высоту равно времени падения и,
следовательно общее время движения t=2*tп=2*V0*sing=0,5 c.
А4.Колесо катится без проскальзывания с постоянной скоростью по
горизонтальному участку дороги. Отношение скорости Va точки А на ободе
колеса к скорости VB на ободе колеса...1)
А
1
1
2)
3) 1 4) 2 5) 2
2
2
Решение
VA=2 V0 Cкорости в точках А и В на ободе колеса направле-
О V0 В
V0
V0
ны по касательной к окружности. Каждая точка
VB
колеса участвует в двух движениях вращается с
постоянной по модулю скоростью v0 вокруг оси и движется поступательно
вправо вместе с осью также со скоростью V0. Скорость любой точки обода
колеса, относительно Земли равна векторной сумме этих скоростей. Поэтому
скорость в точке А: VA=V0+V0=2V0, а скорость в точке В равна по модулю
длине диагонали квадрата со стороной V0 (см. рис.), отсюда получаем:
2V0
VA
2
VB
2V0
А5.Груз массой m=30 кг лежит на полу лифта, движущегося с ускорением
а=6м/с2, направленным вниз. Сила давления груза на пол равна…
1) 120 Н 2) 180 Н 3) 300 Н 4) 420 Н 5) 480 Н
Дано
Решение
m=30 кг
а=6м/с2
Р-?
N
а
Y
mg
При движении тела с ускорением выполняется 2-ой закон Ньютона:
m*a = N + mg, в проекции на ось Y: m*a=-N+mg, по 3-му закону Ньютона
сила давления тела на опору равна силе реакции опоры, следовательно:
P=N=m*(g-a)=120 Н.
26
А6.По круговым орбитам вокруг Земли летают два спутника. Если период
обращения Т1 первого спутника в восемь раз больше периода обращения Т2
второго, то скорость движения V1 первого спутника по отношению к
скорости движения V2 второго….
1) больше в 8 раз 2) больше в 4 раза 3) меньше в 2 раза 4) меньше в 4 раза
5) меньше в 8 раз
Решение
Период обращения тела по окружности равен
R2
отношению длины окружности к скорости
движения тела, тогда для спутника, движущегося
по орбитам разного радиуса, можно записать:
R1
T1
2R1
v1
T2
Кеплера
2R2
отсюда отношение скоростей равно: v1 R1T2 , из законов
v2
v 2 R2T1
известно,
v1
T2 T
1 4 1
3 12 2 3 64 ,
v2
8 8 2
T2 T1
что
T12 R13
T22 R23
,
отсюда
R1
T2
3 12
R2
T2
,
следовательно
т.е. в 2 раза меньше.
А7.При выстреле из пушки, находящейся на гладкой поверхности, вылетает
снаряд массой м1 =2 кг со скоростью v=600 м/с под углом =300 к горизонту.
За счет отдачи пушка массой м2= 400 кг, откатывается назад со скоростью
равной…
1) 1,2 м/с 2) 2,6 м/с 3) 3,7 м/с 4) 5,2 м/с 5) 6,8 м/с
Дано:
Решение
м1=2 кг
М1
м2=400 кг
v1 =600 м/с
v2
v1
М2
300
v2 ?
Х
Запишем закон сохранения импульса в векторной форме,
учитывая, что до выстрела пушка и снаряд находились в состоянии покоя:
0 m1v1 m2 v2 , в проекциях на ось Х: 0= m1v1 cos m2 v2
v2
m1v1 cos 2 600 3
2,6 м / с
m2
400 2
27
А8.Автомобиль при резком торможении уменьшает скорость с v1=45 м/с до
v2=5 м/с. Если коэффициент силы трения скольжения равен k=0,2, то время
торможения равно…
1) 5 с 2) 10 с 3) 15 с 4) 20 с 5) 30 с
Дано:
Решение
v1=45 м/с
v=5 м/с
k=0,2
Автомобиль при торможении движется с ускорением, следовательно выполняется второй закон Ньютона. Рассмотрим
силы, действующие на тело
t=?
N
a
X
Fтр
mg
Запишем 2-й закон Ньютона в векторной форме: ma Fт р mg N . В
проекциях на оси координат: Х: - ma Fт р ;У: 0 N mg , отсюда N = mg,
сила трения связана с силой реакции опоры (N) выражением Fтр=kN =kmg.
v v0
. Из полученных выражений
t
v v0
v v0
kg , отсюда t
5 45 20 с
следует –ma=kmg,
0,2 *10
t
kg
По определению ускорение равно: a
А9.Груз массой m=200 кг поднимается вертикально вверх с ускорением а= 2
м/с2 под действием постоянной силы в течение t=5 с. Работа этой силы по
подъему груза равна…
1) 3,6 кДж 2) 20 кДж 3) 50 кДж 4) 60 кДж 5) 100 кДж
Дано:
Решение
m=200 кг
а= 2 м/с2
t=5 с
А-?
Сделаем чертеж, и укажем силы, действующие
на тело:
У
F
a
mg
Работа силы определяется как A=F*S*cos
Так как тело поднимается с ускорением, выполняется 2-й закон Ньютона
28
ma F mg , в проекции на ось У: ma F mg , отсюда F m(a g ) ,
a *t2
найдем перемещение тела по формуле: S
, тогда работа постоянной
2
силы равна:
a *t2
2 * 52
A m( a g ) *
200(2 10)
60000 Дж 60кДж
2
2
А10. Канал шириной L=4 м перегорожен плотиной, причем глубина канала с
одной стороны h1, а с другой h2=2 м (h1>h2). Если сила давления
неподвижной воды на плотину равна F=1200 кН, то глубина канала h1
равна…
1) 3 м 2) 4 м 3) 6 м 4) 7 м 5) 8 м
Дано:
Решение
L=4 м
h2=2 м
F=1200 кН
h1
h2
h1-?
Сила давления воды на боковую стенку зависит от высоты столба жидкости и
меняется от 0 на поверхности до максимального значения на глубине h,
отсюда действующая на плотину сила равна:F=(p1*S1-p2S2)/2, где p1= gh1,
p2= gh2,
S1=L*h1,
S2=L*h2,
следовательно
F
gh1 Lh1 gh2 Lh2
2
,
отсюда 2F gL(h12 h22 ) , разрешая уравнение относительно h1, получаем
h1 ( 2 F gLh22 ) / gL 8 м
А11.Температура идеального газа понизилась от t1==7000C до t2=3500C. При
этом средняя кинетическая энергия движения молекул идеального газа…
1) уменьшилась в 2 раза 2) уменьшилась в 1, 56 раза 3) не изменилась 4)
увеличилась в 1,56 раза 5) увеличилась в 2 раза
Дано:
Решение
i
2
Т1=7000C =973 К
Т1=3500C =623 К
Ек1/Ek2-?
Ек1= kT1
Er2-=
i
kT2, где i- число степеней свободы
2
(i=3 для одноатомного газа, i=5 для двухатомного)
Ek1 T1
1.56 (уменьшилась в 1,56 раза).
Ek 2 T2
29
A12.Плотность кобальта =8,9 кг/м3, молярная масса М=59 10-3кг/моль.
Среднее значение объема, занимаемого одним атомом кобальта, равно…
1) 0,61 10-29 м3 2) 1,10 10-29 м3 3) 1,27 10-29 м3 4) 1,55 10-29 м3 5) 10-29 м3
Дано:
Решение
=8,9 кг/м3
Объем вещества V
m
, объем, занимаемый
М=59 10-3кг/ моль
V1-?
одной молекулой, в N раз меньше, где N-число
молекул. Число молекул можно определить, зная
молярную
и
V1
массу
число
Авогадро: N
Nam
,
M
отсюда
59 10 3
m
mM
M
1,1 10 29 м 3
3
23
N N a m N a 8,910 6,02 10
А13.В цилиндре при сжатии воздуха от объема V1=120 л до объема V2=70 л
давление возрастает в 5 раз. При этом отношение температур воздуха до и
после сжатия
T1
равно…
T2
1) 0,22 2) 0,34 3) 0,48 4) 0,52 5) 0,69
Дано:
Решение
V1=120 л
Воспользуемся уравнением Клапейрона
V2=70 л
для идеального газа:
p2
5
p1
T1
-?
T2
p1V1 p 2V2
, отсюда
T1
T2
T1 p1 V1 120
0,34
=
=
T2 p2 V2 70 5
А14.На рисунке представлен график некоторого процесса, происходящего с
идеальным газом, в координатах (р,Т). В координатах (р,V) график этого
процесса имеет вид…
р
2
3
1
Т
Для решения задачи необходимо описать процессы, происходящие с
идеальным газом по схеме: 1-2 изотермическое сжатие (температура не
изменяется, давление возрастает); 2-3 – изобарное нагревание (давление не
30
изменяется, температура увеличивается); 3-1 – изохорное охлаждение (при
постоянном объеме температура понижается). Зная процессы можно описать
их в координатах (р,V):
р
2
3
1
V
А15.Идеальному одноатомному газу изохорно передали Q=400 Дж тепла.
Внутренняя энергия идеального газа…
1) уменьшилась на 800 Дж 2) уменьшилась на 400 Дж 3) не изменилась 4)
увеличилась на 400 Дж 5) увеличилась на 800 Дж
Дано:
Решение
Q=400 Дж
По первому закону термодинамики
Q A U , при изохорном процессе
V=const
U -?
работа, совершаемая газом, равна 0 (объем не изменяется),
следовательно, изменение внутренней энергии равно количеству теплоты,
переданному газу. Т.е. внутренняя энергия газа увеличилась на 400 Дж.
А16.В идеальной тепловой машине абсолютная температура нагревателя в
пять раз больше абсолютной температуры холодильника. Если за один цикл
холодильнику было передано количество теплоты Q=100 Дж, то газ
совершил работу…
1) 20 Дж 2) 50 Дж 3) 100 Дж 4) 400 Дж 5) 500 Дж
Дано:
Решение
Q2=100 Дж
Воспользуемся формулами для расчета кпд тепловой
T1
5
T2
машины
А-?
Q1 Q2
совершенную газом A Q1 1
T1
T2
T1 T2
Q Q2
A
Отсюда находим Q1
, 1
,
T1
Q1
Q1
, а из первого и третьего равенства работу,
T
T2
T T
Q2 1 1 2 Q2 1 1 100(5 1) 400ж
T1
T2 T1
T2
31
А17.В сосуд, содержащий V1=2 литра воды при температуре t1=77ºС, долили
V2=1 литр воды при температуре t2=27ºС. Если теплоемкость сосуда С=70
Дж/К, то после установления равновесия температура в сосуде станет
равна… . Удельная теплоемкость воды с=4,2 кДж/кг·К, плотность воды ρ=1
кг/дм3.
1) 37оС 2) 55 оС 3) 58 оС 4) 60 оС 5) 65 оС
Дано:
Решение:
V1=2 л =2 10-3 м3
После установления теплового равновесия
V2=1 л = 1 10-3 м3
температура воды в сосуде t, следовательно
t1=77ºС
горячая вода и сосуд остывают, передавая
t2=27ºС
количество теплоты Q1=m1c(t-t1)+C(t-t1), воде,
С=70 Дж/К
которую доливают, при этом она поглощает
с=4,2 кДж/кг·К
количество теплоты Q2=m2c(t-t2). Из условия
ρ=1 кг/дм3
теплового равновесия Q++Q- -=0, массу
t-?
находим из выражения m=V, получаем
V1c(t t1 ) C(t t1 ) V2 c(t t 2 ) 0 , отсюда t
А18.Одинаковые
небольшие
V1ct1 Ct1 V2 ct 2
60 0 C
V1c C V2 c
проводящие
шарики,
заряженные
одноименными зарядами q1=10мКл и q2=40 мКл, находятся на расстоянии L1
друг от друга (L много больше радиуса шариков). Шарики привели в
соприкосновение и развели на расстояние L2. Если сила взаимодействия
между шариками не изменилась, то отношение расстояний
L2
равно…
L1
1) 0,5 2) 0,75 3) 1,25 4) 2,25 5) 6
Дано:
Решение
q1=10мКл
до соприкосновения сила взаимодействия
q2=40 мКл
между зарядами по закону Кулона равна:
L2
-?
L1
F1 k
q1 q 2
, после соприкосновения, вследствие
L12
закона сохранения электрического заряда, шарики приобретают одинаковый
заряд q’
q1 q2
q' 2
и сила взаимодействия: F2 k 2 , по условию задачи сила
L2
2
32
взаимодействия
L2
q' 2
=
q1 q 2
L1
q
q1 q 2
не
изменилась,
(10 40) / 2
10 40
следовательно:
q1 q 2 q ' 2
2 ,
L12
L2
отсюда
1,25
А19.В вершинах А и С квадрата ABCD со стороной а=15 см находятся
одноименные заряды q1=5 мкКл и q2=7 мкКл. Разность потенциалов между
точками B и D равна…
1)-3 В 2) -1,2 В 3) 0 В 4) 1,3 В 5) 5,8 В
Дано:
Решение
а=15 см=0,15м
Разность потенциалов, созданная системой
q1=5 мкКл
зарядов равна алгебраической сумме потенциалов
q2=7 мкКл
от каждого заряда. Точки В и D расположены
?
симметрично, относительно точек А и С, следователь-
но их потенциалы равны между собой, а разность потенциалов равна нулю.
А20.От верхней пластины горизонтально расположенного заряженного
плоского воздушного конденсатора падает дробинка массой m, несущая
положительный заряд q=2мкКл. Напряженность электрического поля внутри
конденсатора Е=400 В/м, а расстояние между пластинами d= 4 см. Если
скорость дробинки при подлете к нижней пластине равна v=4 м/с, то масса
дробинки равна…
1) 2 мг 2) 4 мг 3) 6 мг 4) 8 мг 5) 10 мг
Дано:
Решение
-6
E
q=2мкКл=210 Кл
Е=400 В/м
qE
d= 4 см=0,04 м
v=4 м/с
Дробинка падает под действием силы
m-?
Кулона (силой тяжести пренебрегаем), следовательно,
выполняется 2-й закон Ньютона: ma qE , найдем ускорение из формулы для
перемещения при равноускоренном движении, считая начальную скорость
v 2 v02
v2
, отсюда a
, подставляя ускорение получаем
2a
2d
qE qE 2d 2 10 6 400 2 0,04
m
4 10 6 кг 4 мг
2
a
16
v
равной нулю. d
33
А21.Два проводящих шара, радиусы которых R1 =20мм и R2=80мм,
находятся на большом расстоянии друг от друга. Заряд первого шара равен
q=20мКл, второй шар не заряжен. Если их соединить проводником, то заряд
первого шара станет равным…
1) 1 мКл 2) 2 мКл 3) 4 мКл 4) 10 мКл 5) 12 мКл
Дано:
Решение
Потенциал первого шара до взаимодействия k
R1 =20мм=0,02 м
R2=80мм=0,02 м
q
R1
После соприкосновения заряды шаров изменились,
.
а их сумма осталась равна заряду первого шара до
q=20мКл
q1-?
соприкосновения, вследствие закона сохранения
заряда. q=q1+q2, потенциалы шаров после соприкосновения соответственно:
1
kq1
q
; 2 2 ,
R1
R2
а
их
сумма
равна
потенциалу
первого
шара
соприкосновения.
следует:
до
Отсюда
1
q
q
q
q q1
qR1
kq
q
1 q
; q1
k 1 k 2 ;
1
; q1
4 мКл
R1
R1
R2 R1 R1
R2
( R1 R2 )
R1 R2 r2
А22.Вольтметр,
с
пределом
измерения
напряжения
Uпред=5В
имеет
внутреннее сопротивление r=1Мом. Чтобы увеличить предел измерения
напряжения до 1000В необходимо подключить резистор с сопротивлением…
1)1/199 Мом параллельно вольтметру 2) 1/200 Мом параллельно вольтметру
3) 200 Мом параллельно вольтметру 4) 1,200 последовательно с вольтметром
5) 199 Мом последовательно с вольтметром
Дано:
Решение
Uпред=5В
Для расширения пределов измерения
r=1Мом=106 Ом
к вольтметру подсоединяют последовательно
U=1000 В
дополнительный резистор. Считая, что сила
R-?
тока в цепи не изменяется, получим:
I
U пред
r
; I
U пред
U U пред
U
U
1000 5 6
;
; Rд
r
10 199МОм
r Rд
r
r Rд
U пред
5
А23. На резисторе с сопротивлением R1=10 Ом, подключенном к источнику с
ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением r=4 Ом, выделяется мощность Р1.
Если сопротивление R1 уменьшить в 2 раза, то выделяющаяся на нем
мощность Р2 возрастет в …раза.
34
1) 1,2 2) 1,41 3) 2 4) 2,5 5) 4
Дано:
R1=10 Ом
r=4 Ом
Е=12 В
Решение
Мощность в цепи постоянного тока определяется
выражением P=I2R, по закону Ома для полной цепи: I
следовательно P1
E
,
rR
R
E2
E2
R
;
P
R2 ; R2 1
1
2
2
2
2
( R1 r )
( R2 r )
P2 ( R1 r ) 2 2
, отсюда
1,2
P1
( R1 2r ) 2
P2
?
P1
А24.Контур с током в форме прямоугольного треугольника, один из катетов
и гипотенуза которого равны а=4 см и с=5 см, расположен в магнитном поле
с индукцией В=0,02 Тл. Гипотенуза треугольника перпендикулярна линиям
магнитной индукции поля, которые лежат в плоскости треугольника. Если в
контуре течет ток силой I=2 А, то сила, действующая со стороны поля на
меньший катет равна…
1) 0,24 10-3 Н 2) 0,48 10-3 Н 3) 0,72 10-3 Н 4) 0,24 Н 5) 0,72 Н
Дано:
Решение
а=4 см
с=5 см
В=0,02 Тл
с
I=2 А
а
I
В
F-?
В прямоугольном треугольнике, один из катетов которого равен 4, а
гипотенуза 5 (единиц длины), второй катет равен 3 (из геометрии). На
проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила Ампера:
F I B l sin , где
- угол между направлением вектора магнитной
индукции и направлением тока (см. рис.). Из рисунка видно, что
; sin 3 / 5 0,6 , отсюда F 2 0,02 0,03 06 0,72 10 3 H
А25.Протон движется по окружности радиуса r=80 cм в однородном
магнитном поле с индукцией В=0,3 Тл перпендикулярно линиям индукции.
Скорость протона равна…
1) 1,4 107 м/с 2) 2,3 107 м/с 3) 3,5 107 м/с 4) 5,7 107 м/с 5) 6,9 107 м/с
35
Дано:
Решение
r=80 cм=0,8 м
На заряженную частицу в магнитном поле действует сила Лоренца F q v B sin , под действием
В=0,3 Тл
90 0
которой частица движется с ускорением,
v-?
следовательно выполняется 2-й закон Ньютона:
ma q v B sin , т.к. направление скорости частицы перпендикулярно
линиям магнитной индукции, частица движется по окружности, ее ускорение
an
2
19
v2
, отсюда получаем m v q v B; v q B r 1,6 10 0,327 0,8 2,3 10 7 м / с
r
r
m
1,672 10
А26. В катушке с индуктивностью L=10 Гн при протекании тока силой I0
запасена энергия Е=20 Дж. Если при линейном увеличении силы тока в
катушке в семь раз за промежуток времени t величина ЭДС самоиндукции,
возникающая в катушке, будет равна 20 В, то время t равно…
1) 1 с 2) 2 с 3) 4 с 4) 6 с 5) 10 с
Дано:
Решение
L=10 Гн
Энергия магнитного поля, запасенная в катушке:
2
I0
2E
, ЭДС самоиндукции
, отсюда I 0
2
L
Е=20 Дж
EL
ES=20 В
I=7I0
определяется по закону:
t-?
ES L
I I0
7I I
6I
6I
6
L 0 0 L 0 , отсюда t L 0 L
t
t
t
ES
ES
2E
6 2 20
10
6c
L
20 10
А27.На рисунке приведена зависимость силы тока I в катушке от времени.
Отношение ЭДС самоиндукции, возникающей на участке АВ, к ЭДС
самоиндукции, возникающей на участке СD E AB равно…
ECD
1)-0,22 2) -0,33 3) -0,45 4) -0,56 5) -0,82
4
3
I,A
B
C
2 A
1
D
0
Исходя из данных графика: E AB L
1
2
3
4 t,c
I IC
IB IA
3 2
03
;
L
; ECD L D
L
t AB
1 0
t CD
3 2
36
E AB
1
0,33
ECD 3
А28.Период колебаний в колебательном контуре, емкость конденсатора
которого равна С=400 мкФ, равен Т. Чтобы период колебаний увеличить в
четыре раза, емкость конденсатора необходимо сделать…
1) 25 мкФ 2) 100 мкФ 3) 800 мкФ 4) 1600 мкФ 5) 6400 мкФ
Дано:
Решение
С=400 мкФ
Период колебаний в колебательном контуре
T1
4
T
определяется выражением: T 2 LC
С1-?
T1 2 LC1
C1
T2
4, отсюда С1 С 12 400 16 6400 мкФ
тогда T 2 LC
C
T
А29.Луч света падает из воздуха на стекло под углом 600. Если угол
преломления в 2 раза меньше угла падения, то показатель преломления
стекла n равен…
1) 1,21 2) 1,42 3) 1.56 4) 1,73 5) 2,24
Дано:
Решение
60 0
2
Согласно закону преломления света:
sin
32
n
1,73
sin
2 1
n-?
А30.На расстоянии L1=30 см от плоского зеркала находится точечный
источник света. Затем его переместили параллельно поверхности зеркала на
L2 =20 см и отодвинули от зеркала на L3 =10 cм в перпендикулярном к
зеркалу направлении. В результате расстояние между источником и
изображением стало равным…1) 40 см 2) 50 см 3) 60 см 4) 70 см 5) 80 см
Дано:
Решение
L1=30 см
Решим задачу графически
L2 =20 см
L3 =10 cм
L
S
L2
S’
L-?
L3
L1
37
Из геометрической оптики известно, что расстояние от плоского зеркала до
изображения равно расстоянию от источника до зеркала. Из рисунка видно:
расстояние от источника до зеркала L’=L1+L3, следовательно, L=80 см.
А31.Монохроматическое излучение падает нормально на дифракционную
решетку, имеющую 600 штрихов на миллиметр. Угол между максимумами
первого и минус первого порядков равен 600. Длина волны излучения
равна…
1) 600 нм 2) 833 нм 3) 945 нм 4) 1000 нм 5) 1441 нм
Дано:
Решение
N=600
l=1 мм=10-3м
-?
d
-1
1
Запишем формулу дифракционной решетки:
d sin k , постоянную решетки определим из выражения d
дифракции
2
, к=1 отсюда
l
, угол
N
d sin
l
10 3 1
sin 30 0
8,33 10 7 833нм
k
N
600 2
А32.Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, равна
кр =600 нм. Если при облучении фотокатода лучами с длиной волны
кинетическая энергия выбитых электронов оказалась равной работе
выхода, то отношение
1)
равно…
кр
1
1
2) 3) 1 4) 2 5)3
3
2
Дано:
кр =600 нм=6 10-7м
Ек=Авых
-?
кр
Решение
По закону фотоэффекта,
h Aв ых Е к ; Ав ых h кр ,
с
из полученных соотношений и условия задачи
38
hc
2
hc
rh
, отсюда
1
кр 2
А33.Лазер мощностью 1мВт испускает на длине волны 633 нм. Это означает,
что ежесекундно он испускает…фотонов
1)
1,2 1012 фотонов 2) 2,5 1012 фотонов 3) 3.2 1012 фотонов 4) 6,3 1012
фотонов 5) 8.2 1012 фотонов
Дано:
Решение
P=1 мВт=10-3Вт
Мощность лазера можно определить как
=633 нм
отношение энергии излучения ко времени
действия лазера. Энергия одного фотона
t=1 c
E h h
N-?
NE
c
, отсюда получаем
P
hc P
P
; N
;N
3,2 1015
t
t
hct
А34.Неподвижная ракета на Земле имеет длину L=150 м. При скорости
ракеты v=108м/с относительно Земли с точки зрения наблюдателя,
находящегося на ракете, ее длина будет…
1) 112 м 2) 124 м 3) 138 м 4) 146 м 5) 150 м
Так как наблюдатель находится в ракете, то ее длина не изменится,
следовательно, ответ 150 м.
А35.В процессе ядерной реакции ядро поглощает два фотона и испускает
альфа-частицу. В результате заряд ядра…
1) увеличится на 4 единицы 2) увеличится на 2 единицы 3) не изменится 4)
уменьшится на 2 единицы 5) уменьшится на 4 единицы
Запишем ядерную реакцию по условию задачи:
M
Z
Y 11p11p M Z2 X 24He , по закону сохранения заряда из уравнения видно, что
заряд ядра не изменился.
Часть В
В1.На горизонтальной поверхности лежит брусок массой m=0,6 кг. В него
попадает пуля массой m0, летящая горизонтально со скоростью v0=600 м/с и
застревает в нем. При коэффициенте силы трения скольжения, равном 0,2,
39
брусок до полной остановки пройдет путь L=12 м. Масса пули m0 равна …г.
(Ответ округлите до целых).
Дано:
Решение
v0=600 м/с
L=12 м
N
m=0,6 кг
a
v0
k=0,2
X
m0-?
Fтр
mg
Запишем 2-й закон Ньютона в векторной форме:
ma Fт р mg N , в проекциях на оси координат:
Х: ma Fтр
У: 0 N mg , отсюда N = mg, сила трения (Fтр) связана с
силой реакции опоры (N) выражением Fтр=kN = kmg. Подставляем
выражение для силы трения в уравнение проекции на ось Х, получим:
a kg . Найдем ускорение из формулы: L
v 2 v12
, где v1-скорость, с которой
2a
начинает двигаться брусок после взаимодействия с пулей. Учитывая, что
брусок останавливается v2=0, отсюда
ускорения, получим
v1 2Lkg
v12
a
. Подставляя выражение для
2L
Запишем закон сохранения импульса,
учитывая, что до взаимодействия брусок покоился, его импульс равнялся
нулю, импульс пули р0= m0v0, после взаимодействия брусок начинает
двигаться, его импульс p=mv1, пуля застревает и ее импульс равен нулю.
Поэтому
m0
m0v0=mv1,
отсюда:
mv1 m 2 Lkg 0,6 2 12 0,2 10
0,00693 кг 7 г
v0
v0
600
В2.Заряженный шарик массой m=20 г, подвешенный на невесомой нити
длиной L=1 м, совершает колебания в однородном электрическом поле с
напряженностью Е (линии напряженности направлены вертикально вниз).
40
Если заряд шарика положителен и равен q= 10мкКл, а период колебаний
шарика равен 1,4 с, то напряженность поля Е равна…В/м. (Ответ округлите
до десятков).
Дано:
Решение
m=20 г=0,02 кг
L=1 м
Е
g
q= 10мКл=0,01 Кл
Т=1,4 с
mg
Е-?
F=qE
Шарик, подвешенный на наитии представляет собой математический
маятник, период колебаний которого только в поле силы тяжести Земли
определяется
выражением:
T0 2
L
,
g
при
действии
дополнительной
сонаправленной силы (в данном случае силы Кулона) Период колебаний
L
, т.к. появляется дополнительное ускорение, величину
a
которого, определим из второго закона Ньютона: ma mg qE , отсюда
qE
ag
, тогда
m
mL
mL
T 2
, T 2 4 2
;
mg qE
mg qE
изменяется T 2
E
4 2 mL T 2 mg 4 9,86 0,02 1 1,96 0,02 10
0,0204 м 20 см
1,96 0,01
qT 2
В3.В сосуде находилось некоторое количество идеального газа. В результате
утечки давление газа уменьшилось в 3,3 раза. Если при этом его температура
уменьшилась в 1,3 раза, то масса газа уменьшилась в…раз. (Ответ
округлите до десятых).
Дано:
p1
3,3
p2
T1
1,3
T2
m1
?
m2
Решение
Считая, что объем сосуда V постоянный, воспользуемся
уравнением Клапейрона-Менделеева, для двух
состояний идеального газа:
41
m1
m
RT1 ; p2V2 2 RT2 , выразив из каждого уравнения массу газа, и
M
M
m
p T
1
поделив полученные соотношения, получим: 1 1 2 3,3 2,538 2,5
m2 p2 T1
1,3
p1V1
В4.При
подключении
к
источнику
ЭДС
внешнего
резистора
с
сопротивлением R1=90 Ом в цепи идет ток силой I1=0,8 А. Если
сопротивление резистора увеличить в четыре раза, сила тока станет равной
I2=0,22 А. ЭДС источника равна…В. (Ответ округлите до целых).
Дано:
R1=90 Ом
Решение
Воспользуемся законом Ома для полной цепи
I1=0,8 А
для обоих случаев: I 1
I2=0,22 А
выразим внутренне сопротивление из уравнений
R2 4R1
и приравняем их, получаем:
E I 1 R1 E I 2 R2
, отсюда
I1
I2
Е-:-?
E
E
E
; I2
R1 r
R2 r
I1 I 2 ( R2 R1 ) 0,8 0,22 3 90
81,93 В 82 В
I1 I 2
0,8 0,22
В5.Оптическая сила линзы D=11 дптр. Если изображение, даваемое линзой,
прямое, мнимое, и увеличенное в 7 раз, то расстояние от предмета до линзы
равно …м. (Ответ округлите до сотых).
Дано:
Решение
D=11 дптр
Запишем формулу линзы в общем случае
Г=7
d-?
1
1
1 1
D , слева знак «+» берется в
, где
F
F
d f
случае собирающей линзы. В случае действительного
источника перед d берется знак «+», в случае действительного изображения
перед f берется знак «+». Отсюда для условия задачи получаем:
D
1 1
f
1
1
Г 1 7 1
, Г ; D
; d
0,0779 м 0,08 м
d f
d
d Гd
DГ
11 7
42
Вариант 2
А1.Два грузовых автомобиля движутся вдоль одной прямой. Их координаты с
течением времени изменяются по законам: х1(t) = 375 – 10t, x2(t) = 12t + 125 (в
системе СИ). Скорость первого автомобиля относительно второго равна:
1) - 22 м/с
2)-2 м/с
3) 10 м/с
4) 12 м/с
5) 24 м/с
Решение: Скорость равна первой производной по времени от координаты,
поэтому скорость первого автомобиля равна v1=-10 м/с, второго – v2=12 м/с.
Скорость
первого
автомобиля
относительно
второго
равна
vотн v1 v2 10 12 22 м/с.
А2. На рисунке представлен график зависимости скорости автомобиля от
времени.
8
v,м/c
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t,c
Путь, пройденный автомобилем за промежуток времени от t1= 1 с до t2= 4 с, равен:
1) 5 м 2) 5,5 м 3) 15 м 4) 16,5 м 5) 22м
Решение:
На
пройденный
ограниченной
графике
путь
зависимости
определяется
вертикальными
как
скорости
от
времени
площадь
под
кривой,
прямыми,
соответствующими
временам t1= 1 с и t2= 4 с. Как видно из рисунка, эта площадь складывается из
площади трапеции (от 1 с до 2 с) и площади прямоугольника (от 2 с до 4 с):
S
3 6
1 6 2 16,5 м.
2
АЗ. Вертолет опускается вертикально вниз со скоростью
V
= 6 м/с. Когда он
находится на некоторой высоте Н, с него сбрасывают груз. Если время
падения груза на землю равно t= 6 с, то высота H равна
43
1)36м
2) 96м
3)124м
Дано:
v=6 v/c
4) 216 м
5) 324 м
Решение: Так как груз падает с движущегося
вертолета, то он имеет начальную скорость относительно земли,
t=6 c
равную скорости вертолета и направленную вниз. Уравнение
H-?
движения груза имеет вид: H v0t
gt 2
10 36
66
216 м.
2
2
А4. Автобус при прямолинейном равномерном движении за t = 6 с проезжает
расстояние s = 120 метров. Если его колеса вращаются без проскальзывания с
частотой п = 9 об/с, то их диаметр равен
1) 0,3 м
2) 0,4 м
3) 0,6 м
Дано:
4) 0,7 м
5) 0,8 м
Решение: Скорость поступательного движения
s
t
120
20 м/с. Так как ко6
t=6 c
автобуса равна: v
s=120 м
лёса вращаются без проскальзывания, то ско-
N=9 об/с
рость вращения колеса также равна 20м/с. С
другой стороны, за один оборот точка обода
D-?”
колеса проходит путь, равный длине окружности колеса πD, и скорость
вращения будет равна nπD. Имеем: 9 3,14 D 20 . Откуда: D
20
0,7 м.
9 3,14
А5.Лифт, двигаясь равноускоренно вниз, разгоняется за 3 с до скорости 0,6
м/с. Если вес человека в лифте составляет 784 Н, то его масса равна
1) 70 кг
Дано:
t=3 c
2) 73 кг
3) 77 кг
4) 80 кг
5) 85 кг
Решение: Вес – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. На человека в лифте
v=0,6 v/c
действуют сила тяжести, равная mg и направлен-
P=784 H
ная вниз, и сила реакции опоры, численно равная
m-?
(по третьему закону Ньютона) весу человека и
направленная вверх. Запишем второй закон Ньютона для человека:
ma mg N , N P (координатная ось направлена вниз). Откуда: m
P
.
ga
44
Найдем величину ускорения лифта и человека: a
Окончательно, масса человека равна: m
v v0 0,6
0,2 м/с2.
t
3
784
80 кг.
10 0,2
А6.На поверхности некоторой планеты на космический корабль действует
сила притяжения F=4000 Н. Радиус этой планеты равен радиусу Земли, а
плотность в 2 раза больше плотности Земли. На поверхности Земли на
корабль будет действовать сила притяжения, равная
1) 1000 Н 2) 2000 Н 3) 8000 Н 4) 16000 Н 5) 32000 Н
Дано:
Решение: По закону всемирного тяготения сила
Mm
. Масса планеты равR2
4
4 R 3
4 R
на: M V R 3 . Тогда: F G
.
G
2
3
3R
3
притяжения равна: F G
F=4000 H
Rп=Rз
ρп= ρз
F-?
Таким образом, сила притяжения пропорциональна
плотности и радиусу планеты. Так как радиус
планеты равен радиусу Земли, а плотность планеты в два раза больше
плотности Земли, то на поверхности Земли сила притяжения будет в два раза
меньше, чем на некоторой планете, т.е. 2000Н.
А7. Материальная точка массой 2 кг движется равномерно по окружности со
скоростью 2 м/с. Изменение ее импульса за шестую часть периода равно
1) 0 кг м/с 2) 0,15 кг м/с 3) 3,35 кг м/с 4) 4 кг м/с 5) 6,96 кг м/с
Дано:
Решение: Период движения точки по окружно-
M= 2 кг
сти соответствует ее обороту на 360°. Шестая
v = 2 м/с
часть периода означает, что материальная точка
t= T/6
прошла по дуге окружности расстояние, соот-
Δp -?
ветствующее центральному углу в 60°.
v v1 v0
v0
Из рисунка видно, что v v0 , а значит
v0
v1
p p1 p0
v
изменение импульса равно
mv0 2 2 4 кг·м/с.
45
А8.Тело тянут по горизонтальной плоскости с постоянно увеличивающейся
горизонтально направленной силой F. График зависимости ускорения,
приобретаемого телом, от приложенной к нему силы F приведен на рисунке.
a, м/с
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
F,H
Масса тела равна
1) 2 кг 2) 4 кг 3) 8,4 кг 4) 10 кг 5) 12,5 кг
Решение: Запишем второй закон Ньютона для горизонтального направления:
ma F Fтр . Это и есть зависимость, изображенная на графике. Возьмем две
точки на графике, например: 1) a 0, F 1H и 2) a 1м / с 2 , F 3H , и составим
0 1 Fтр
систему уравнений:
m 1 3 Fтр
. Решая систему, получаем m 2 кг.
А9.Тело массой 40 г взвешивают на весах с разными плечами. Когда тело
находится на левой чаше, его уравновешивают грузом массой 20 г. Если тело
положить на правую чашу весов, то его можно уравновесить грузом массой
1) 10 г 2) 40 г 3) 60 г 4) 80 г 5) 100 г
d1
d2
Дано:
Решение: Запишем условие равновесия систе-
M=40 г
мы, когда тело находится на левой чаше весов:
m= 20 г
Mgd1 mgd2 , где d1 и d 2 - соответствующие пле-
m1-?
чи сил тяжести (кратчайшие расстояния от оси
вращения до линии действия сил тяжести). Аналогично, для случая, когда
46
тело находится на правой чаше весов: m1 gd1 Mgd 2 . Поделим одно уравнение
на другое, получим:
M
m
M2
. Откуда: m1
80 г.
m1 M
m
А10. Объем плавающего в океане айсберга равен V = 5,1 км3. Если объем
надводной части айсберга равен V 1 =0,4км 3 , а плотность воды в океане
ρ=1,02 г/см3, то плотность льда равна
1)0,91 г/см3 2) 0,92 г/см3 3) 0,93 г/см3 4)0,94 г/см3 5) 0,95 г/см3
Дано:
Решение: Запишем условие плавания айсбер-
V=5,1 км3 =5,1 109м3
га: Fтяж FАрх . Распишем выражение для силы
V1=0,4 км3 =0,4109 м3
тяжести и силы Архимеда: льда gV g (V V1 ) .
ρ= 1,02 г/см3=1002 кг/м3
Отсюда: льда (V V1 ) 1,02 (5,1 0,94) 10
V
5,1 10
9
0,94
г/см3.
ρл-?
А11. При повышении температуры идеального газа на ΔT = 100 К
среднеквадратичная скорость движения молекул выросла с
V1
= 200 м/с до v2
= 600 м/с. Чтобы среднеквадратичная скорость уменьшилась с v2 = 600 м/с до
V3 =
400 м/с, температуру газа надо понизить на
1) 30 К 2) 42,5 К 3) 50 К 4) 52,5 К 5) 62,5 К
Дано:
Решение: Связь между кинетической энергией
ΔТ=100 К
v1=200м/с
движения молекул и температурой задается формулой:
mv22 mv12 3
mv 2 3
kT . Отсюда имеем:
kT .
2
2
2
2
2
v2 =600 м/с
mv22 mv32 3
kT1 . Решаем систе
Для второго случая:
2
2
2
v3=400 м/с
му этих двух уравнений, например, делим одно урав-
ΔТ-?
нение на другое, получим:
T1 T
v22 v12 T
. Находим:
v22 v32 T1
v22 v32
360000 160000
100
62,5 К.
2
2
v2 v1
360000 40000
А12. При температуре 80 К некоторое количество молекул азота N2 создает
давление 300 Па. Азот нагрели до 3000 К, в результате чего все молекулы
47
азота распались на атомы. Установившееся при температуре 3000 К давление
равно
1) 3,75 кПа 2) 12 кПа 3) 15,5 кПа 4) 18,2 кПа 5) 22,5 кПа
Дано:
Решение: Запишем основное уравнение молеку-
Т1 =80 К
лярно-кинетической теории газов для начальных
р1 =300 Па
условий: p1 n1kT1 , после того как все молекулы азо-
Т2=3000 К
та распались на атомы, концентрация частиц увели-
р2-?
чилась в 2 раза, выразив концентрацию из первого
уравнения и подставив в уравнение для второго состояния p2 n2 kT2 ,
получим: p2
2 p1T2 2 300 3000
22500 22,5 103 Па 22,5кПа
T1
80
А13. В комнате находится воздух массой 52,6 кг при температуре 19°С.
Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. Если объем комнаты равен 44 м3, то
давление равно
1) 90,9 кПа 2) 100 кПа 3) 110 кПа 4) 116,8 кПа 5) 121,5 кПа
Дано:
Решение: Используя уравнение состояния идеаль-
m=52,6 кг
ного газа pV
Т=19оС=292 К
p
m
RT , выразим давление:
mRT 52,6 8,31 292
105 Па 100кПа
3
V
29 10 44
V=44 м3
μ =29 г/моль
=29 10-3кг/моль
р-?
А14. На рисунке представлен график некоторого процесса, происходящего с
идеальным газом, в координатах (р, Т).
48
В
координатах
(р,
V)
график
Решение:
этого
в
процесса
координатах
имеет
(р,Т)
вид
процесс
представлен двумя изотермами и двумя изобарами. На изотерме произведение pV const . Только на графике под номером 5 в процессах 2-3 и 4-1 выполняется
это соотношение, т.е только на этом графике действительно изображены
изотермы.
А15. Идеальный газ расширяется, как изображено на диаграмме.
В ходе процесса A-D газ совершил работу
1) 1,005 Дж 2) 1,125 Дж 3) 1,75 Дж 4) 2,625 Дж 5) 4,5 Дж
Решение Работа газа равна площади фигуры , ограниченной графиком
процесса. Из графика видно, что площадь фигуры равна 3,5 площади
прямоугольника, отсюда A 3,5 0,05 15 103 2,625 Дж
А16. В плавильную печь было заложено некоторое количество стали, взятой
при температуре 30°С (температура плавления 1400°С, удельная теплоемкость 0,46
кДж/кг К, удельная теплота плавления 62 кДж/кг). При плавлении было
сожжено 75 кг каменного угля (теплота сгорания 25 МДж/кг). Если КПД печи
равен 33%, то масса расплавленной стали равна
1)
500 кг 2) 700 кг 3) 800 кг 4) 900 кг 5) 1200 кг
49
Дано:
Решение: воспользуемся уравнением теплового
Тн=30оС
баланса в виде Q1 Q2 Q3 , где Q1 qm у - теплота,
Тпл=1400оС
выделившаяся при сгорании топлива;
с= 460 дж/кг К
Q2 c mcт (Tпл Tн ) - количество теплоты, затра-
λ=62 103 Дж/кг
ченное на нагревание стали от начальной температуры до температуры плавления; Q3 mcm - коли-
mу=75 кг
q=25 106 Дж/кг
чество теплоты, затраченное на плавление. Учитывая,
η=33%
что на плавление стали израсходовано 33% энергии,
выделившейся при сгорании угля, получим
mст-?
0,33 q m у с mcm (Tпл Tн ) mcm ,
mcn
0,33 q m y
c (Tпл Tн )
отсюда:
0,33 25 106 75
900 кг
0,46 103 (1400 30) 62 103
А17. В ванну емкостью V = 6 0 0 л сначала налили V1 = 150 л холодной воды, а
затем долили горячую воду при температуре t2= 50°С. Плотность воды ρ = 1
г/см3. Если в результате ванна оказалась полностью заполненной водой при
температуре t0 = 40°С, то температура холодной воды была равна
1)10°С 2) 15°С 3) 20°С 4) 25°С 5) 30°С
Дано:
Решение: Составим уравнение теплового баланса
V=600 л
в виде Q1 Q2 0 , где Q1 c mх (t0 t х ) ;
V1 =150 л
Q2 c mг (t0 t г ) в котором учтем, что из условия
t2 =50oC
mв V и условия задачи следует, что масса го-
t0=40oC
tх-?
рячей воды равна 450 кг. Отсюда получаем:
с m x ( t 0 t x ) c mг ( t 0 t г ) 0 , и t x
m x t0 mг (t0 t г ) 150 40 450 10
10o C
mx
150
А18.Три точечных заряда q1, q2 и q3 расположены, как показано на рисунке,
при этом q1=q0, q2=14q0, q3=q0.
50
Если сила взаимодействия между зарядами q1 и q3 равна F13 = 4 Н, то сумма
сил, действующих на заряд q3 равна
1)4,1Н 2)4,6Н 3)5,2Н 4) 5,7 Н 5) 6,8 H
Решение: Так как сила является величиной векторной, то сумма сил,
действующих на заряд, находится по правилам сложения векторов. Укажем
силы и найдем вектор их суммы:
F F13 F23
F13
F23
Из рисунка найдем сумму сил по теореме Пифагора: F F132 F232 .
F13 k
q1 q3
q02
q02
2
k
x
k
,
отсюда
где х – размер одной клетки на чертеже.
x2
x2
F13
Найдем F23 k
q2 q3
k 14 q02 F13
2,24 Н . Тогда F 4 2 2,24 2 4,6 H
(5 x ) 2
25 k q02
А19. Проводящая сфера радиуса R имеет заряд q. Потенциал поля в
некоторой точке, находящейся вне сферы на расстоянии r= 64 см от ее центра, в 8
раз меньше потенциала поля в центре сферы. Радиус сферы равен
1)1
см 2) 2 см 3) 4 см 4) 8 см 5) 16 см
q
R
Решение: Потенциал поля в центре проводящей сферы: k , потенциал поля
q
r
вне сферы определяется выражением: 1 k , выражая из этого уравнения
величину заряда q, и учитывая, что 1
8
, получим: R
1 r r
8 см
8
51
А20. На концах цилиндрического медного проводника длиной 11,6м
поддерживается постоянная разность потенциалов (удельное сопротивление
меди ρ = 1,7 10-8 Ом м). По проводнику течет ток силой 2,3 А. Если радиус
проводника 0,2 мм, то разность потенциалов на его концах равна
1)1,1 В 2) 2,2 В 3) 3,6 В 4) 5,4 В 5) 7,2 В
Решение: разность потенциалов на концах проводника определяем по
закону Ома и учитываем, что сопротивление связано с характеристиками
выражением: R
проводника
U I
l
l
.
S
r2
Получим
l
2,3 1,7 10 8 11,6
3,6 B
r 2 3,14 (0,2 10 3 ) 2
А21. Если площадь обкладок плоского конденсатора уменьшить в п раз, а заряд
на обкладках увеличить в р раз, то его электрическая емкость
1) уменьшится в пр раз 2) уменьшится в п раз 3) не изменится 4) увеличится в
п раз 5) увеличится в пр раз
Решение: Геометрическая емкость конденсатора не зависит от сообщенного
заряда
и
прямо
пропорциональна
площади
пластин
конденсатора,
следовательно емкость уменьшится в n раз.
А22. Три резистора с одинаковыми сопротивлениями R1=R2=R3 =5 Ом
подключены к источнику ЭДС E= 3 В, как показано на рисунке.
Если внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю, то сила тока,
текущего через источник ЭДС, равна
52
1)0,1 А 2) 0,2 А 3) 0,4 А 4) 0,5 А 5) 0,8 А
,
Rr
Дано:
Решение: Согласно закона Ома для полной цепи: I
R1=R2=R3 =5 Ом
где r- внутреннее, а R -внешнее сопротивление. Из рисунка
E= 3 В
найдем внешнее сопротивление цепи, учитывая, что R2 и
соединены параллельно.
R3 R=0
R R1
I-?
R2 R3
25
E
3
5
7,5 Ом Отсюда I
0,4 A
R2 R3
10
R 7,5
А23. К источнику тока с внутренним сопротивлением r= 1 Ом подсоединили
лампочку сопротивлением R= 59 Ом. Если работа источника за 2 минуты равна А
= 288 Дж, то ЭДС источника равна
1)4 В2) 12 В 3) 16В 4) 20 В 5) 40 В
Дано:
r= 1 Ом
R= 59 Ом
t=2 мин=120 c
А=288 Дж
Решение: Работа электрического поля определяется
выражением: A I U t , с учетом того, что U I R, A I 2 R i .
,
Rr
E2 R t
подставляя в выражение для работы, получим : A
,
( R r)2
Определим силу тока из закона Ома для полной цепи: I
отсюда E ( R r )
A
288
60
12 B
Rt
59 120
Е-,
А24. Проводник с током расположен в однородном магнитном поле
(направления тока в проводнике и индукции магнитного поля показаны на
рисунке).
Вектор силы Ампера, действующей на
проводник, направлен
53
1)
4)
2)
3)
5) сила Ампера равна нулю
Решение: Для определения направления силы Ампера воспользуемся правилом
левой руки. Располагаем четыре пальца левой руки вдоль направления тока, таким
образом, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, отогнутый на 90о
большой палец указывает направление силы. Ответ 3).
А25. Плоская рамка площадью S= 0,02м2 расположена в однородном магнитном
поле с индукцией В = 200 Тл так, что нормаль к рамке совпадает с
направлением поля. Рамку поворачивают на 180° вокруг оси, перпендикулярной
к направлению поля. Модуль изменения магнитного потока, пронизывающего
рамку, равен
1)0Вб 2)4Вб 3)8Вб 4)16Вб 5) 32 Вб
Дано:
S= 0.02 м2
Решение: Модуль изменения магнитного потока в данном случае равен:
| Ф || B S (cos 2 cos 1 ) || 200 0,02 (cos 180o cos 0o ) | 8 Вб
В=200 Тл
ΔФ-?
А26. Источник с ЭДС E=60В и нулевым внутренним сопротивлением
подключен к катушке с индуктивностью L= 2 Гн и сопротивлением R1 = 50 Ом.
При подключении последовательно к катушке резистора с сопротивлением R2
энергия магнитного поля изменится на 0,8 Дж, а сила тока в цепи изменится на
1)0,1 А 2) 0,2 А 3) 0,4 А 4) 0,6 А 5) 1,2 А
Дано:
Решение: Энергия магнитного поля катушки определяется по
Е=60В
формуле: W
L=2 Гн
LI 2
2
. Силу тока определим из закона Ома для
полной цепи, учитывая, что внутреннее сопротивление
R1=50 Ом
источника равно нулю I1
ΔW=0,8 Дж
I2
ΔI-?
60
1,2 A - в первом случае,
R1 50
- во втором случае. Видим, что I1 I 2 , поэтому
R1 R2
энергия магнитного поля катушки уменьшилась, т.е.
LI
LI
L E2
Отсюда
найдем
второй
ток:
W
2 I 22 .
2
2
2 R1
2W
2 0,8
I 2 I12
1,44
0,8 A .. Тогда изменение силы тока в цепи:
L
2
I I1 I 2 1,2 0,8 0,4 A .
2
1
2
2
А27. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L= 8 0 мГн и
конденсатора емкостью С = 400 мкФ. В некоторый момент времени энергия
магнитного поля в контуре равна нулю. Минимальный промежуток времени,
через который она вновь станет равной нулю, равен
1)3 мс 2)6мс 3)18мс 4) 60 мс 5) 180 мс
Дано:
L=80 мГн
С=400 мкФ
t-?
Решение: период колебаний в колебательном контуре :
T 2 L C , сила тока в катушке изменяется по закону:
I I 0 cos t . Энергия магнитного поля прямо пропорциональна
квадрату силы тока, следовательно, энергия будет равна нулю
через половину периода : t L C 3,14 80 10 3 400 10 6 18 мс
А28. В металлическом стержне распространяется звуковая волна (скорость
распространения V = 4000 м/с), период которой равен T= 1 мс. Расстояние между
55
двумя ближайшими точками стержня, фазы колебаний в которых, отличаются на
Δφ =
3
, равно
2
1) 0,6 м 2) 1,8 м 3) 3 м 4) 4.8 м 5) 6 м
Рассмотрим любые две точки М и N, согласно уравнению колебаний:
YM A sin[ t 2 / xM ] A sin M YN A sin[ t 2 / x N ] A sin N
N M (2 / ) x; v T , отсюда x
vT 3 4 103 10 3
3м
2
2 2
А29. На рисунке показан ход луча света, проходящего из среды с показателем
преломления
n3
через
плоскопараллельную пластинку с показателем преломления n2 в среду с
показателем преломления п1. Укажите верное соотношение показателей
преломления.
1) n1>n2>n3 2) n1>n3>n2 3) n2>n1>n3 4) n2>n3>n1 5) n3>n2>n1
Известно, что при преломлении света, угол преломления для оптически более
плотной среды меньше, чем угол падения, следовательно, правильный ответ
(1).
А30. Первый человек стоит сбоку от плоского зеркала О\О2 в точке А Второй
человек идет к зеркалу по прямой ОБ, перпендикулярной плоскости зеркала и
56
проходящей через его середину. Если шаг сетки на рисунке равен 1 м, то в
момент, когда оба человека увидят друг друга в зеркале, расстояние от
зеркала до второго человека будет равно
1) 1м 2) 1,5м 3) 2м4) 2,5 м 5) 3,5 м
Решение: Изображение в плоском зеркале находится за зеркалом на
таком же расстоянии от зеркала, как и предмет. Поэтому первый
человек увидит изображение второго, когда оно будет в точке С, а сам
второй человек будет при этом находиться в точке С / ( CO CO ) . . Из
подобия треугольников ОСО 2 и DCA имеем:
OD 5 , DA 6 (из рисунка). Тогда:
СО СО ОD
, где ОО2 2 ,
ОО 2
DA
CO CO 5
. Решая это уравнение,
2
6
находим: CO 2,5 м.
А31.На дифракционную решетку с периодом 3 мкм нормально падает белый
свет. Угол между максимумами второго порядка для излучения с длиной
волны λ1= 750 нм и минус третьего порядка для излучения с длиной волны λ2 =
1000 нм равен
1) 30°2) 45° 3) 60° 4) 75° 5) 120°
Решение: Используем формулу дифракционной решетки: d sin k . В
первом случае: d sin 1 21 , во втором случае: d sin 2 32 . Подставляя
числовые значения, находим углы 1 и 2 : 3 10 6 sin 1 2 750 10 9 ;
57
sin 1 0,5 ; 1 30 ; 3 10 6 sin 2 3 1000 10 9 ; sin 2 1 ; 2 90 .
Тогда искомый угол будет равен: 1 2 30 (90) 120 .
А32. Фотоны с энергией E= 4,3 эВ вырывают электроны из металлической
пластины, при этом максимальная скорость вылетевшего электрона равна
419,3 км/с. Работа выхода электрона равна
1)3,5эВ 2)3,6эВ 3)3,8эВ 4) 4 эВ 5) 4,1 эВ
mv 2
A.
Решение: Используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: E
2
Отсюда: A E
mv 2
9,1 10 31 (419,3 10 3 ) 2
4,3
3,8 эВ. В знаменателе
2
2 1,6 10 19
множитель 1,6·10-19 переводит джоули в электрон-вольты.
АЗЗ. Рентгеновская трубка, работающая при напряжении U и потребляющая
ток I= 10 А, излучает ежесекундно п = 2 1020 фотонов частотой ν = 2,6 1017 Гц.
Если коэффициент полезного действия трубки равен 13,3%, то напряжение U
на трубке равно
1) 26 кВ 2) 28 кВ 3) 30 кВ 4) 33 кВ 5) 35 кВ
Решение: Энергия, вырабатываемая трубкой равна: W IUt , где t =1с.
Энергия излученных за 1 секунду фотонов равна: E nh . С учетом
коэффициента
полезного
действия
имеем
равенство:
W E ,
или
nh
2 10 20 6,626 10 34 2,6 1017
26 10 3 В
0,133IUt nh . Откуда: U
0,133 It
0,133 10 1
или 26 кВ.
А34. При скорости ракеты v=1,9
10 8 м/с относительно наблюдателя,
находящегося на Земле, ее длина для этого наблюдателя будет равна L=200 м.
Для наблюдателя, находящегося на ракете, ее длина увеличилась в … раз
1) 1,01 2) 1,11 3) 1,18 4) 1,29 5) 2
58
Решение:
Исходя
из
преобразований
Лоренца
(специальная
теория
относительности): L L0 1 2 , где v / c ( c -скорость света). Отсюда:
L0
1
1
1,29
2
8
8 2
L
1
1 (1,9 10 / 3 10 )
А35. В реакторе происходит ядерное превращение:'
207
82
Pb ?
208
82
Pb
Недостающая частица - это
1) электрон 2) протон 3) альфа-частица 4) нейтрон 5) позитрон
Решение: В результате реакции массовое число увеличилось на единицу, а
зарядовое число не изменилось, значит, недостающая частица – это нейтрон.
В1. Небольшое заряженное тело начинает скользить без трения по наклонной
плоскости с высоты Н=20 см. Масса тела m=60 г, его заряд положителен и
равен q1, угол α=30°. У основания наклонной плоскости закреплен точечный
отрицательный заряд q2=-1мкКл. Считать, что взаимодействие зарядов
происходит в вакууме. Когда тело оказалось на расстоянии L=10 см от заряда
q2, его кинетическая энергия стала равной W=360 мДж. Заряд q1 тела равен …
мкКл. (Ответ округлите до целых).
Решение: Запишем закон сохранения энергии для заряженного тела,
приравняв его энергию в верхней точке плоскости к его же энергии в точке, в
которой
задана
кинетическая
энергия:
1 q1q2
L
1 q1q2
. Здесь при определении расстояния
mgH
W mg
4 0 2 H
2 4 0 L
между зарядами и высоты, на которой находится тело, использован тот факт,
что в прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный
половине гипотенузы. Разрешая это уравнение относительно q1 , найдем:
59
1
L
1
q1q2
W mg mgH ,
4 0
2
2H L
1
L
mgH
360 10 3 0,06 10 0,05 0,06 10 0,2
2
q1
4 10 6 Кл
1
1
1
1
1
q2
9 10 9 10 6
4 0 2 H L
2 0,2 0,1
W mg
или 4 мкКл.
В2. При малых колебаниях математического маятника длиной L=1 м
максимальная скорость движения равна vО =0,8 м/с. В тот момент, когда
косинус угла отклонения маятника от вертикали равен 0,986, скорость
движения маятника равна ... м/с. (Ответ округлите до десятых).
Решение: Математический маятник представляет собой шарик массой m ,
подвешенный на невесомой нерастяжимой нити. Максимальную скорость
маятник имеет в тот момент, когда он проходит через равновесное
положение, при этом шарик находится в низшей точке траектории. Если за
нулевой уровень потенциальной энергии принять это положение, то в низшей
mv02
точке маятник будет обладать только кинетической энергией: E1
.В
2
тот момент, когда косинус угла отклонения маятника от вертикали равен
0,986, шарик поднимется на высоту h L L cos и будет иметь энергию:
mv 2
mv 2
E2
mgh
mgL(1 cos ) . По закону сохранения энергии:
2
2
mv02 mv 2
E1 E2 ,
mgL(1 cos ) ,
2
2
v v02 gL (1 cos ) 0,64 10 1 (1 0,986) 0,7 м/с.
ВЗ. Сосуд объема V= 2 л разделен перегородкой на две части. В одной
находится 32 г кислорода (молярная масса М1=32 г/моль), в другой некоторое количество гелия (молярная масса М2=4 г/моль). Температура
каждого из газов равна Т =290 К. Если убрать перегородку, то давление
получившейся смеси газов будет равно 3 МПа. Масса гелия равна ... г.
(Ответ округлите до целых).
Решение: По закону Дальтона давление смеси газов равно: P P1 P2 .
Парциальное давление каждой компоненты смеси найдем из уравнения
60
состояния Клапейрона-Менделеева: Pi
mi RT
. Таким образом, имеем:
M iV
m1 RT m2 RT m1 m2 RT
.
Откуда:
M 1V
M 2V M 1 M 2 V
3 10 6 2 10 3 32
PV m1
4
m2 M 2
6 г.
RT
M
8
,
31
290
32
1
В4. Амплитудное значение напряжения на конденсаторе емкостью С=0,2мкФ
P
в цепи переменного тока с частотой ν=6 кГц равно U=2 В. Действующее
значение силы тока в цепи равно ... мА. (Ответ округлите до целых).
Решение: Емкостное сопротивление равно: R
1
1
. Амплитудное
C 2C
значение силы тока по закону Ома равно: I
U
2CU . Действующее
R
значение
силы
тока
I
2CU 2 3,14 6 10 3 0,2 10 6 2
Iд
10,66 10 3 А.
1,414
2
2
равно:
В
ответ
запишем, округлив до целых, 11 мА.
В5. При помощи рассеивающей линзы получено уменьшенное в 3 раза
изображение предмета. Если фокусное расстояние линзы равно 60 см, то
изображение расположено от линзы на расстоянии ... см. (Ответ округлите
до целых).
Решение: Так как линза рассеивающая, то формула тонкой линзы запишется
следующим образом:
1
1
1
, где d1 - расстояние от предмета до
d1 d 2
f
линзы, d 2 - расстояние от линзы до изображения, f - фокусное расстояние.
Так как получено уменьшенное в три раза изображение предмета, то
Решая
d2
систему
из
двух
уравнений
2
f 40 см.
3
61
относительно
d2 ,
d1
3.
d2
находим:
Основные понятия и определения
Материальная точка- тело, размерами которого в данных условиях движения
можно пренебречь.
Траектория- линия, по которой движется тело.
Путь –длина траектории.
Перемещение- направленный отрезок прямой (вектор), соединяющий
начальное и конечное положение тела.
Система отсчета- тело отсчета, связанная с ним система координат и
указание начала отсчета времени.
Скорость- векторная величина, равная отношению перемещения ко времени.
Ускорение- отношение изменения скорости ко времени, за которое это
изменение произошло, быстрота изменения скорости a
v v0
.
t
Инерция- явление сохранения скорости тела постоянной, при отсутствии
внешнего воздействия или его скомпенсированности.
Масса- физическая величина, определяющая инертные и гравитационные
свойства материи. Мера инертности тела.
Сила- векторная физическая величина – мера взаимодействия тел, равна
произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение F ma .
Механическая работа- величина, определяющая изменение энергии тела и
показывающая количество энергии переданной от одного тела к другому или
превращенной из одной формы в другую. A F S cos
Энергия- скалярная физическая величина, характеризующая состояние тела
или системы тел, общая количественная мера движения и взаимодействия
всех видов материи.
Кинетическая энергия тела- энергия движения E
mv 2
.
2
Потенциальная энергия- энергия взаимодействия, зависит от взаимного
положения
взаимодействующих
тел.
62
Потенциальная
энергия
тела,
находящегося в поле тяготения E mgh . Потенциальная энергия упруго
деформированного тела E
kx 2
.
2
Мощность- Отношение работы, ко времени, в течение которого эта работа
совершена, работа в единицу времени N
A
t
Давление- отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности к
площади этой поверхности. p
F
; p gh .
S
Температура-
величина,
физическая
характеризующая
состояние
термодинамического равновесия макроскопической системы. Мера средней
3
2
кинетической энергии движения молекул. E k kT .
Теплота- форма беспорядочного (теплового) движения образующих тело
частиц.
Количество теплоты- энергия отдаваемая или получаемая системой при
теплообмене.
Внутренняя энергия- энергия движения (кинетическая) и взаимодействия
i
2
(потенциальная) молекул. U RT
Электрический
заряд-
связанный
материальным
с
источник
электромагнитного
носителем,
взаимодействия,
определяет
интенсивность
электромагнитного взаимодействия.
Электрическое поле- особый вид материи, действующий на электрические
заряды
Напряженность
электрического
электрического
поля.
Отношение
полясилы,
силовая
действующей
характеристика
на
пробный
электрический заряд, к величине этого заряда. Сила, действующая со
стороны
электрического
поля
на единичный
F
q
E
; Ek 2 .
q пр
r
63
положительный
заряд.
Потенциал- энергетическая характеристика электрического поля. Определяет
энергию взаимодействия электрического поля с единичным положительным
зарядом, равен отношению энергии электрического поля к бесконечно
удаленному заряду
W
q
; k .
q пр
r
Электрическое напряжение (разность потенциалов)- отношение работы эл.
поля по перемещению заряда из одной точки поля в другую к величине этого
заряда. Работа электрического поля по перемещению положительного
единичного точечного заряда. U
A
q
ЭДС (электродвижущая сила)- отношение работы сторонних сил по
перемещению положительного точечного заряда к величине этого заряда.
Работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда.
Электрическая емкость- способность проводника накапливать электрический
заряд. Отношение заряда, сообщаемого проводнику, к разности потенциалов.
Электрический ток- направленное движение заряженных частиц,.
Сопротивление- величина, характеризующая противодействие проводника
электрическому току. Отношение напряжения на концах проводника к силе
тока.
Магнитное поле- особый вид материи, существующий независимо от наших
ощущений, возникающий вокруг движущихся электрических зарядов (токов)
и действующий на токи.
Электромагнитное поле- особая форма материи, посредством которой
осуществляется взаимодействие между заряженными частицами. Единство
взаимосвязанных электрических и магнитных полей.
Магнитная индукция- силовая характеристика магнитного поля, равная
отношению момента сил. действующих на рамку с током к площади этой
рамки и силе тока в ней.
Магнитный поток- число линий магнитной индукции, пронизывающих
контур с током Ф B S cos .
64
Самоиндукция- явление возникновения ЭДС индукции в проводнике, по
которому протекает переменный электрический ток.
Индуктивность- величина, численно равная потоку самоиндукции при силе
тока в 1 А.
Колебания- периодически изменяющийся процесс.
Свободные колебания- колебания, проходящие под действием внутренних
сил системы.
Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием
внешней периодической силы.
Гармонические колебания- колебания, совершающиеся по закону синуса или
косинуса.
Автоколебания- колебания, совершающиеся в системе за счет внутреннего
источника энергии.
Резонанс
–
явление
резкого
возрастания
амплитуды
вынужденных
колебаний, при совпадении частоты внешней периодической силы с
собственной частотой колебаний системы.
Амплитуда- максимальное отклонение от положения равновесия.
Период- время одного полного колебания, время, в течение которого система
возвращается в исходное положение T
t
.
N
Частота- Отношение числа колебаний ко времени, в течение которого они
совершаются. Число колебаний в единицу времени. Величина обратная
периоду
1 N
.
T
t
Фаза колебаний- величина, определяющая состояние колебательной системы
при заданной амплитуде колебаний в любой момент времени. Аргумент
синуса или косинуса при гармонических колебаниях.
Волна- распространение колебаний в пространстве, в течение времени.
Электромагнитная
волна
-
возмущения
распространяющиеся в пространстве.
65
электромагнитного
поля,
Продольная волна- волна, направление колебаний в которой происходит в
направлении распространении волны.
Поперечная
волна-
волна,
в
которой
колебания
совершаются
перпендикулярно направлению распространения волны.
Длина
волны-
расстояние
между
двумя
ближайшими
точками,
колеблющимися в одной фазе.
Интерференция. Результат наложения когерентных волн, при котором
образуется постоянное во времени распределение амплитуды и фазы
результирующих колебаний.
Дифракция. Явление отклонения волн от прямолинейного направления при
огибании препятствия.
Дисперсия. Явление зависимости скорости света от длины волны.
Основные физические законы
Закон сложения скоростей (перемещений). Скорость (перемещение) тела
относительно неподвижной системы отсчета равна геометрической сумме
скорости (перемещения) тела относительно подвижной системы отсчета и
скорости
(перемещения)
подвижной
системы
отсчета
относительно
неподвижной.
1-й закон Ньютона. Существуют системы отсчета, относительно которых
тело движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют
другие тела или действие других тел скомпенсировано.
2-й закон Ньютона. Ускорение прямопропорционально отношению силы
действующей на тело к массе этого тела.
3-й закон Ньютона. Тела взаимодействуют с силами, равными по величине и
противоположными по направлению.
Закон всемирного тяготения. Сила, с которой тела притягиваются друг к
другу, пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна
квадрату расстояния между ними. F G
m1m2
r2
66
Закон
сохранения
импульса.
Геометрическая
сумма
импульсов
взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается
постоянной. m1v1 m2 v2 m1v1' m2 v2' .
Закон сохранения энергии. Полная механическая энергия замкнутой системы
тел, взаимодействующих силами тяготения или упругости, остается
неизменной.
Закон Паскаля. Давление, производимое на жидкость или газ, передается без
изменения в любую точку жидкости или газа.
Закон Архимеда. На тело, погруженное в жидкость или газ, действует
выталкивающая сила, равная весу жидкости в вытесненном телом объеме
F Vg .
Закон Бойля-Мариотта. Для газа данной массы произведение давления на
объем постоянно, при постоянной температуре.
Закон Гей-Люссака. Для газа данной массы отношение объема к температуре
постоянно, при постоянном давлении.
Закон Шарля. Для газа данной массы отношение давления к температуре
постоянно, при постоянном объеме.
1-й закон термодинамики. Количество теплоты, переданной системе, идет на
изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над
внешними телами. Q A U
2-й закон термодинамики. (Клаузиус) Невозможно перевести теплоту от
более холодной системы к более горячей при отсутствии
других
одновременных изменений в обеих системах или окружающих телах.
Закон сохранения электрического заряда. Алгебраическая сумма зарядов всех
частиц в замкнутой системе остается постоянной.
Закон Кулона. Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов
пропорциональна
произведению
модулей
зарядов
пропорциональна квадрату расстояния между ними. F k
67
q1q2
r2
и
обратно
Закон электромагнитной индукции. ЭДС индукции в замкнутом контуре,
прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через
поверхность, ограниченную контуром E
Ф
.
t
Закон отражения света. Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр,
восстановленный в точку падения, лежат в одной плоскости, при этом угол
падения равен углу отражения.
Закон
преломления
света.
Луч
падающий,
луч,
преломленный
и
перпендикуляр, восстановленный в точку падения, лежат в одной плоскости,
при этом отношения синуса угла падения к синусу угла преломления равно
абсолютному показателю преломления вещества.
Основные физические константы
Ускорение свободного падения g=9,81 м/с2
Гравитационная постоянная G=6,67 10-11 Н м2/кг2
Масса Земли МЗ =6 1024 кг
Радиус Земли RЗ =6370 км
Универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/моль К
Постоянная Авогадро NА=6,02 1023 моль-1
Постоянная Больцмана k=1,38 10-23 Дж/К
Электрическая постоянная 0 =8,85 10-12 Ф/м,
Элементарный заряд е=1,6 10-19 Кл
Масса электрона me=9,1 10-31 кг
Масса протона mp=1,672 10-27 кг
Масса нейтрона mn=1,674 10-27 кг
Скорость света в вакууме с=3 108 м/с
Постоянная Планка h=6,63 10-34 Дж с
68
1
4 0
=k=9 109 Н м2/Кл2
