modul_3

Модуль 3. "Неопределенные и определённые интегралы и их
приложения"
1. Аннотация модуля.
Учебный модуль "Неопределенные и определённые интегралы и их
приложения" является частью дисциплины "Математика" и входит в
содержание обучения по всем направления подготовки бакалавров и
специалистов на факультетах: ГФ, ФКГ, ФОИСТ, ФЭУТ, ФПКиФ, ФДФО.
1.1 Значимость и актуальность модуля в профессиональной подготовке
выпускника
Значимость и актуальность модуля обусловлена необходимостью решения
прикладных задач, связанных с интегрированием.
1.2 Трудоёмкость модуля
Общая трудоёмкость модуля составляет 32 академических часа и равна 3
зачётным единицам.
Трудоёмкость модуля по учебным единицам представлена в таблице 1.
Таблица 1
Трудоёмкость
(в ак. часах/ в з.е. )
Наименован СР
ие учебных (самостоятел
элементов
ьная работа)
Л
С
ПТ
(лекци (семинар (промежуточ
и)
ы)
ное
тестировани
е)
2
ПТ
ИТ итоговое
тестирова
ние
УЭ-1
Введение в
интегрирова
ние
4
УЭ-2
Неопределён
ный
интеграл
6
6
9
ИТ
УЭ-3
Определённы
й интеграл
6
6
9
ИТ
ВСЕГО
48 час., 3 з.е.
1.3. Критерии оценивания освоения содержания модуля
Критерии оценивания освоения содержания модуля, определяющие уровень
успеваемости студента, приведены в таблице 2.
Таблица 2
профиль
подготовки
критерий оценивания
неудовлетворительн удовлетворительн
о
о
хорошо
отлично
Модуль 3. "Неопределенные и определённые интегралы и их приложения"
УЭ (1-3)
бакалавры
и
специалист
ы ГФ,
ФОИСТ,
ФПКиФ,
ФКГ,
ФЭУТ,
ФДФО
Менее 50%
решённых заданий
ИТ
50%-70%
правильно
решенных
заданий ИТ
91%71%-90%
100%
правильн
правильн
о
о
решенны
решенны
х заданий
х заданий
ИТ
ИТ
1.4 Характер межпредметных связей
Характер межпреметных связей приведен в таблице 3.
Таблица 3
Межпредметные связи
Название модуля
Модуль 3.
"Неопределенные и
определённые
интегралы и их
приложения"
Перечень дисциплин
(модулей), которые
необходимо изучить до
освоения содержания
данного модуля (или
изучать параллельно)
Перечень дисциплин
(или их разделов), для
освоения которых
необходимо изучить
содержание данного
модуля
Изучение модуля
базируется на модуле 2
Производная.
Дифференциал.
Учебный элемент 1. Введение в интегрирование. Методические
рекомендации и разбор задач.
1.1.Выделение полного квадрата.
1.2.Разложение многочлена на множители.
1.3.Выделение целой части из неправильной дроби.
1.4.Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного
угла.
1.5.Подведение заданного выражения под знак дифференциала.
Задания для контроля знаний по учебному элементу 1.
Учебный элемент 2. Неопределенный интеграл.
Методические рекомендации и разбор задач.
2.1. Интегрирование с помощью свойства инвариантности формул
интегрирования.
2.2. Интегрирование по частям.
2.3. Интегрирование рациональной дроби.
2.4. Метод интегрирования подстановкой (замена переменной).
2.5. Выделение полного квадрата под знаком интеграла.
2.6. Интегрирование тригонометрических функций.
Вопросы и задания для самоконтроля.
Тестовые задания для контроля знаний по учебному элементу 2.
Учебный элемент 3. Определенный интеграл.
Методические рекомендации и разбор задач.
3.1. Непосредственное применение формулы Ньютона-Лейбница для
вычисления определенного интеграла.
3.2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
3.3. Замене переменной в определенном интеграле.
3.4. Площади плоских фигур.
3.5. Объем тела вращения.
3.6. Вычисление несобственных интегралов.
Вопросы и задания для самоконтроля.
Тестовые задания для контроля знаний по учебному элементу 3.
Литература.
Учебный элемент 1. (УЭ1)
Введение в интегрирование.
Аннотация. В этом учебном элементе предлагается повторение некоторых
разделов элементарной математики, необходимых при интегрировании, а
также прием подведения заданного выражения под знак дифференциала.
Методические рекомендации и разбор задач.
1.1. Выделение полного квадрата.
Этот прием необходим для приведения данного интеграла к табличному.
Пример: Выделить полный квадрат в выражении 1/2 x2 +4х-1
Решение: Полным квадратом называется выражение (х±а)2=х2±2ха+а2.
Для того, чтобы выделить это выражение, предварительно вынесем за скобку
коэффициент при х2:
1/2(х2+8х-2)=1/2[(х2+2×4×х+42)-42-2]=1/2[(х+4)2-18]=1/2(х+4)2-9.
1.2. Разложение многочлена на множители.
Многочлен приходится раскладывать на множители при интегрировании
рациональной дроби.
Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен 2х2+13х+20.
Решение: Решая квадратное уравнение 2х2+13х+20=0, найдем корни
х1,2=
 13  169  160  13  3
4

 5 / 2
4
4
Т.о. 2х2+13х+20=2(х+4)(х+5/2).
Пример 2. Разложить на множители 10х3-15х2+12х-18.
Решение: 10х3-15х2+12х-18=5х2(2х-3)+6(2х-3)=(2х-3)( 5х2+6)=2(х1,5)5(х2+1,2)=10(х-1,5)( х2+1,2).
1.3. Выделение целой части из неправильной дроби.
Пример: Выделить целую и дробную части неправильной дроби
 2 õ3  7 õ  5
õ 2
õ 2
Решение: -2х3+7х-5
 2 õ2  4 õ  1 
3
õ 2
(2 õ3  4 õ2 )
4х2+7х

(4 õ2  8 õ)
-х-5

( õ  2)
-3
Т.о. -2х3+7х-5=-2х2+4х-1-
3
õ 2
При этом выражение (-2х2+4х-1) является целой частью дроби, (-3)-остаток
от деления числителя на знаменатель, а -
3
-дробная часть.
õ 2
1.4. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного
угла.
Из элементарной математики известна так называемая универсальная
подстановка tg

2
 t , которая позволяет тригонометрические функции
представить в виде алгебраических, а это важно при интегрировании
тригонометрических функций.

2tg
Итак: sin  
2
1  tg
cos  
2

1  tg 2

2t
;
1 t2
   (2n  1)
2

2  1 t ;
 1 t2
1  tg 2
2
2tg
2
   (2n  1)


2t
tg 

;
1 t2
2 
1  tg
2
2

2
 k
    2n
Пример: Если ctg  5 , то значение выражения 6  7 sin 2 равно:
1)
107
65
65
113
2)
3)
4)
5)2
65
113
107
65
Решение: По условию tg 
6  7 sin 2

5
2tg
1
1
 , тогда sin 2 

ctg 5
1  tg 2
2
5
1
1
25

5
13
5
13  113 .
5
65
67
Ответ: 4)
1.5. Подведение заданного выражения под знак дифференциала.
Из дифференциального исчисления известно, что дифференциал функции
у=f(х) вычисляется по формуле dy=f(x)dx. Для использования табличных
интегралов очень важно узнавать дифференциал функции по заданному
выражению правой части.
Пример: Заданное выражение
функции.
õdõ представить в виде дифференциала
Решение:
3
2
2
2
õdx  x1 / 2 dx  ( x 2 )dx  d ( x 3 / 2 )  d ( x 3 / 2 )
3
3
3
Учебный элемент 2. (УЭ2).
Неопределенный интеграл.
Аннотация. В этом учебном элементе предлагаются основные приемы взятия
неопределенного интеграла.
Методические рекомендации и разбор задач:
2.1. Интегрирование с помощью свойства инвариантности формул
интегрирования.
Сформулируем это свойство: Всякая формула интегрирования сохраняет
свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой
дифференцируемой функции от неё, т.е.  f ( x)dx  F ( x)  C   f (u )du  F (u )  C ,
где u   (x) -любая дифференцируемая функция от х.
Пример: Используя свойство инвариантности формул интегрирования, найти
первообразную F(х), вычислить значение выражения F ( x1 )  F ( x2 ) в заданных
точках.
3

arctgx
dx , x1  3 , x2  0 .
1 x2
Решение: Перепишем интеграл в виде  (arctgx)1 / 3 d (arctgx). Это интеграл от
степенной функции, где вместо независимой переменной взята функция
u  arctgx.
1
3
4
3
(arctgc)
C
4
3
4
4
3
3  3
3
F ( x1 )  F ( 3 )  (arctg 3 )  ( )
4
4 3
F ( x2 )
 (arctgx)
d (arctgx) 
3  3
( )
4 3
4
F ( x1 )  F ( x 2 ) 
Для использования указанного свойства нужен навык, который
приобретается при решении большого количества задач.
Только усвоив этот прием можно переходить к изучению других методов
интегрирования.
Задачи для самостоятельного решения.

1)  cos(5 x  )dx ;
4
4
4)
7)
ln 3 x
dx ;
x


10)
x

e x dx
x
2x

xdx
4 x
2
;
8)  x 2 sin x 3 dx ;
;
e 5
xdx
13)  4
;
x 9
dx
16)
5)
x
5 dx
2)  e 2 x 3 dx ;
;
4  ln 2 x
11)

2
1 dx
;
x x2
dx
6)
 3  5x ;
9)

1  sin x cos dx ;
14)  (cos )
;
3)  xex dx ;
cos(ln x)
dx ;
x
12)

arcsin x  3
1 x2
15)  e 3x ln x dx ;
2
dx ;
Ответы:
1

5
4
44
ln 7 x  C ;
4)
7
2
5 x C ;
7)
ln 5
1
2
1 x2
e C;
2
1
6)  ln 5 x  3  C ;
5
2)  e 2 x 3  C ; 3)
1) sin( 5 x  )  C ;
5)  4  x 2  C ;
1
3
8)  cos x 3  C ; 9) sin(ln x)  C ;
2
(1  sin x) 3  C ;
3
2
arcsin x
1
x2
12)
 3 arcsin x  C ; 13) arctg
C;
2
6
3
1
1 2
ln x
C.
14)  sin  C ; 15) e 3 x  C ; 16) arcsin
x
6
2
10) ln( e x  e 2 x  5)  C ; 11) 
2.2 Интегрирование по частям.
Метод интегрирования по частям заключается в применении формулы
 udv  uv   vdu
в случаях, когда интеграл, записанный справа, проще для вычисления, чем
заданный. Обычно за «u» принимают такую функцию, у которой
производная дает алгебраическую функцию, например, u=arctgx, u=lnx и т.д.
За «dv» берут легко интегрируемую функцию, т.е. такую, интегрирование
которой сводится к табличному интегралу, как было показано выше.
Пример:   
ln x
5
x
dx
dx
u  ln x
du 
x
Решение:
dx │
1
4
dv  5

5
V   x 5 dx  x 5
x
4
Тогда по формуле интегрирования по частям получим:
4
4
4
1
4
4
5
5
dx 5 5
5 
5
25 5
  x 5 ln x   x 5
 x ln x   x 5 dx  x 5 ln x 
x C
4
4
x 4
4
4
16
Задачи для самостоятельного решения.
1)  x sin 2 xdx ;
5)  xarctgxdx ;
2)  xe x dx ; 3)  x3 x dx ; 4)  x n ln xdx(n  1) ;
6)

arcsin x
x 1
dx ;
arctge x
dx ;
7)  ln( x  1)dx ; 8) 
ex
2
x
3
9)  arccos xdx ; 10)  (  1)4 x dx .
Ответы:
1
1
3x
x
1) sin 2 x  x cos 2 x  C ; 2) C  e ( x  1) ; 3) 2 ( x ln 3  1)  C ;
4
2
ln 3
n 1
2
x
1
x 1
x
4)
(ln x 
)  C ; 5)
arctgx   C ; 6) 2 x  1 arcsin x  4 1  x  C ;
n 1
n 1
2
2
1
7) x ln( x 2  1)  2 x  2arctgx  C ; 8) x  ln( 1  e 2 x )  e  x arctg (e x )  C ;
2
x
x
4
1
9) x arccos x  1  x 2  C ; 10) (  1)

4x  C .
3
ln 4 3 ln 2 4
2.3. Интегрирование рациональной дроби.
Пример:   
x 2 dx
x 2  4x  3
Решение: Под знаком интеграла – неправильная рациональная дробь. Делим
числитель на знаменатель для выделения целой части.
x 2  4x  3
4x  3
( x 2  4 x  3) 1  2
x  4x  3
__
x2
4х-3
Тогда    (1 
4x  3
4x  3
4x  3
)dx   dx   2
dx  x   2
dx
x  4x  3
x  4x  3
x  4x  3
2
Под знаком последнего интеграла правильная рациональная дробь. Эту дробь
надо разложить на сумму простейших дробей, предварительно представив
знаменатель в виде произведения:
4x  3
A
B
A( x  1)  B( x  3)



( x  3)( x  1) x  3 x  1
( x  3)( x  1)
Приравнивая числители дробей, получим:
4 x  3  ( A  B ) x  A  3B
Чтобы это равенство было справедливо при любом х, необходимо
приравнять коэффициенты при х и свободные члены:
A  B  4
1
1 9
 2 B  1  B   ; A  4  B  4   ;

2
2 2
 A  3B  3
9 dx
1 dx
9
1
 
 x  ln x  3  ln x  1  C
Тогда   x  
2 x  3 2 x 1
2
2
Задачи для самостоятельного решения:
1)
x
 x  4 dx ; 2)
x
 2 x  1 dx ; 3)
x2 1
x4
dx
;
4)
 1  x dx ;
 x2 1
5)
x 4 dx
 x 2 1 ; 6)
x3  2x 2  4x  7
 x 2  x  2 dx ; 7)
x3  2
 x 3  4 x dx .
Ответы:
1) x  4 ln x  4  C ; 2)
1
1

x  ln 2 x  1   C ; 3) x  2arctgx  C ;

2
2

1
1
x3
 x  arctgx  C ;
3
2
3
1
3
5
x2
1
6)
 3x  ln ( x  2)( x  1) 2  C ; 7) x  ln x  ln x  2  ln x  2  C .
2
4
4
2
3
1
4
4) C  x 4  x 3  x 2  x  ln 1  x ; 5)
2.4. Метод интегрирования подстановкой (замена переменной).
Этот метод заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е.
подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу,
который является табличным, или к нему сводится ( в случае «удачной»
подстановки).
Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пример:
   x x  3dx .
Решение:
Известно, что рациональные функции легче интегрируются, поэтому
обозначим:
x  3  t  x  t 2  3.
dx  2tdt.
Тогда
5
3
t5
t3
2
   (t  3)t 2tdt  2 (t  3t )dt  2 t dt  6 t dt  2  6  C  ( x  3) 2  2( x  3) 2  C
5
3
5
2
4
2
4
2
Задачи для самостоятельного решения:
1)
dx
1
6
5)
1
x
x
3
x
; 2)
x
 x( x  1) dx ;
3)

dx
1 ex
; 4)

xdx
3x  2  1
;
dx ;
Ответы:
1) 2 x  ln( 1  x )  C ; 2) 2arctg x  C ; 3) ln
1 ex 1
1 ex 1
2
1
2
2
(3x  2) 3  (3x  2) 
3x  2  ln 3x  2  1  C ;
27
9
9
9
6
5) 6 x 5  2 x  66 x  6arctg 6 x  C .
5
4)
C ;
2.5. Выделение полного квадрата под знаком интеграла.
Выделение полного квадрата необходимо для привидения интеграла к
табличному.
Пример:
Вычислить неопределенный интеграл
dx

x  2x  5
2
. Найти значения С, при
котором график первообразной проходит через точку
(-1;0):
Решение: Преобразуем квадратный трёхчлен x 2  2 x  5  ( x  1) 2  4
Тогда заданный интеграл имеет вид
d ( x  1)
( x)  
( x  1)  4
2
 ln x  1  ( x  1) 2  4  C ;
По условию (1)  0 , учитывая его найдем С:
0  ln 2  C  C   ln 2.
Задачи для самостоятельного решения:
1)
x
5)

2
dx
;
 3 x  10
dx
5  2x  x
2
2)
x
; 6)

2
dx
;
 2x  3
3)
dx
9x  6x  2
2
dx
;
2
 2,5
dx
 xx
; 7)

4)
12 x  9 x 2  2

dx
4x  3  x 2
;
.
Ответы:
1)
2
1  2x
1 x2
1
x 1
C;
ln
 C ; 2)
arctg
 C ; 3) arctg
3
3
7 x5
2
2
4) arcsin( x  2)  C ; 5) C  ln 1  x  5  2 x  x 2 ;
1
3
1
3
6) ln 3x  1  9 x 2  6 x  2  C ; 7) arcsin
3x  2
2
C .
2.6. Интегрирование тригонометрических функций.
Интегралы вида
u  tg
dx
 a cos x  b sin x  C
с помощью универсальной подстановки
x
приводятся к интегралам от рациональной функции.
2
Пример 1:   
dx
3  5 cos x
x
x
1 u2
2
Решение: u  tg , тогда cos x 

.
2
1 u2
2 x
1  tg
2
1  tg 2
Найдем dx , для этого из подстановки сначала найдем х:
x
2du
 arctgu  x  2arctgu  dx 
2
1 u2
Тогда исходный интеграл:
x
2du
du
1 2u
1
2  C.


 ln
 C  ln
2
2
x
4
2

u
4
1

u
4

u
2  tg
(1  u 2 )(3  5
)
2
2
1 u
2  tg
Указанный прием всегда приводит к цели, но иногда удается избежать
громоздких преобразований, если подынтегральная функция с помощью
формул тригонометрии преобразуется к табличным:
Пример 2:    sin 3 xdx
Решение: Преобразуем интеграл следующим образом:
   sin 2 x(sin xdx)    (1  cos 2 x)d (cos x)    d (cos x)   cos 2 xd (cos x)   cos x 
cos 3 x
C
3
Пример 3:    sin 2 xdx
Решение: Применим формулу понижения степени:
sin 2 x 
1  cos 2 x
1  cos 2 x
1
1
x 1
x sin 2 x

dx   dx   cos 2 xdx    cos 2 xd (2 x)  
C
2
2
2
2
2 4
2
4
Задачи для самостоятельного решения:
1)  cos 2 xdx ; 2)
6)
dx
 1  cos x ;
3)
dx
 cos x ;
4)  sin 5 xdx ; 5)
dx
 1  sin x ;
dx
 5  4 sin x ;
Ответы:
x sin 2 x
x
2
1
 x

 C ; 2) C  ctg ; 3) ln tg (  )  C ; 4) C  cos x  cos 3 x  cos 5 x ;
2
4
2
3
5
4 2
x
5tg  4
2
2
2
 C ; 6) arctg
C .
5) 
x
3
3
tg  1
2
1)
Вопросы и задания для самоконтроля:
1. Что называется первообразной от данной функции? Как связаны
первообразная и неопределенный интеграл от функции?
2. Сформулировать и доказать простейшие правила интегрирования.
3. В чем состоят методы интегрирования по частям и замены
переменной?
4. Какая рациональная дробь называется правильной? Как она
интегрируется?
5. Как интегрируются простейшие иррациональные функции?
6. Указать общий метод вычисления интеграла от функции, рациональной
относительно тригонометрических функций.
7. Когда говорят, что функция не интегрируется в элементарных
функциях (в конечном виде)?
Учебный элемент 3. (УЭ3).
Определенный интеграл.
Аннотация. В этом учебном элементе предлагаются основные способы
вычисления определенных интегралов, использование их в геометрических
задачах, а также вычисление несобственных интегралов по определению.
Методические рекомендации и разбор задач:
3.1. Непосредственное применение формул Ньютона-Лейбница для
вычисления определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница дает основной способ вычисления
определенных интегралов. Она позволяет находить определенный интеграл
при помощи первообразных подынтегральных функций, т.е. при помощи
неопределенного интеграла. При этом надо следить за непрерывностью
подынтегральной функции.
e3
dx
Пример: Вычислить интеграл   
1 x 1  ln x
dx
 d (1  ln x) , перепишем заданный интеграл в виде
x
Решения: Учитывая, что
e3

1
2
   (1  ln x) d (1  ln x) .
1
Это табличный интеграл от степенной функции, где переменной
интегрирования является функция (1+lnx). Применяя формулу НьютонаЛейбница, получим:
e3

(1  ln x)
1
2
1
2
 2 1  ln x
e3
1
 2( 1  3  1)  2
1
Задачи для самостоятельного решения:
1
1)
xdx
0 (x 2  1) 2 ;
3
5)

0
1
2)  (e x  1) 4 e x dx ; 3)
0
3
dx
0 9  x 2 ; 4)
7

3 x  4dx ;
1
e2
dx
25  3x
; 6)
e
1
dx
sin(ln x )
ex
dx
;
7)
;
8)
e x ln x
1 x
0 1  e 2 x dx .
Ответы:
1)
1

248
2
; 2) 0,2(e  1) 5 ; 3) ; 4)
; 5)  ; 6) ln 2 ; 7) 1 cos1 ;
4
12
9
3

8) arctge  .
4
3.2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
В этом методе первообразная находится интегрированием по частям, а затем
применяется формула Ньютона-Лейбница, итак:
b
 udv  uv
b
b
a
  vdu
a
a

2a
Пример: Вычислить интеграл
 ( x  3) sin axdx
0
Решение: Пусть
u  x3
du  dx
1
dv  sin axdx v   sin axdx   cos ax
a
Тогда интеграл запишется в виде


x3
1
3 1
cos ax   cos axdx   2
a
a 0
a a
0
2a


2a
2a

3
 cos(ax)d (ax)  a 
0
sin ax
3 1 1  3a
  2  2
2
a a
a 0
a
2a
Задачи для самостоятельного решения:
1
3
1
2
2
0
0
1
1)  xe2 x dx ; 2)  ln( x  3)dx ; 3)  arcsin xdx ; 4)  x log 2 xdx ;
0
e
5)
2
ln xdx
x2
1

Ответы:
1)

3
3
3
e2  3
 1 ; 4) 2 
; 2) 3(ln 12  1) ; 3) 
; 5) 1  2 .
2
4 ln 2
12 2
e
4e
3.3. Замена переменной в определенном интеграле.
Замена переменной в определенном интеграле требует большого внимания,
формула выглядит так:
x2
t2
x1
t1
 f ( x)dx   f  (u) (u)du ,
Где
x1   (t1 )
x 2   (t 2 )
Часто замена производится не по формуле x   (t ) , а по формуле t   (x) ,
выражающей новую переменную через заданную. Тогда новые пределы t1 и
t 2 сразу определяются по формулам t1   ( x1 ) , t 2   ( x2 ) .
При этом надо следить за тем, чтобы функция t   (x) была бы монотонной
на отрезке x1 , x2  .
Пример: Вычислить интеграл
1

5
xdx
5  4x
Решение: Пусть 5  4 x  t , тогда 5  4 x  t 2  x 
t2 5
1
 dx  tdt
4
2
x1  5  t1  5  5  4  5
При
x2  1  t 2  3
Функция t  5  4 x на отрезке 1;5 монотонная. Тогда исходный интеграл с
новой переменной t запишется в виде
3

5
1 2
1
3
(t  5) tdt
3
1 5
1 t3
1
125
17
4
2
  (t  5)dt  (  5t )  (9  15 
 25)  
;
t
85
8 3
8
3
6
5
Задачи для самостоятельного решения:
0
1)
1
1
dx
3
x 1
8
; 2)

3
x 1 1
x 1 1
2
dx ; 3)
9
dx
 ( 2  x)
0
1 x
; 4)

4
dx
x (x  1)
Ответы:
1)
3
(ln 4  1) ;
2
2) 9  4 ln 2 ; 3)

;
6
3
2
4) ln .
3.4. Площади плоских фигур.
Если y  f (x) - уравнение линии, ограничивающей криволинейную трапецию,
то площадь трапеции S(в предположении, что y  0 ) равна:
b
S   f ( x)dx , где a и b – абсциссы начала и конца линии.
a
В более общем случае, если площадь ограничена двумя кривыми y  f1 ( x) и
y  f 2 ( x), где f1 ( x)  f 2 ( x) и прямыми x  a, x  b при a  x  b , будем иметь
b
S    f 2 ( x)  f1 ( x)dx .
a
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y   x; y  2 x  x 2
Решение: Находим точки пересечения параболы y  2 x  x 2 и прямой y   x .
2 x  x 2   x  x 2  3x  0 
x1  0, x 2  3
y1  0, y 2  3
Построим область, ограниченную этими линиями.
у
1
3
S
0


3
3x 2
(2 x  x )  ( x) dx   (3x  x )dx 
2
0
2
3
2
0
x3

3
3

0
9
;
2
Задачи для самостоятельного решения:
Найти площади областей со следующими границами:
1) y  x 2  1, x  3, x  0, y  0 ; 2) y  x 2 , y  2 x  3 ;
3) y  3  2 x  x 2 , y  0 ; 4) y  x 2  4 x, y  x  4 ;
5) y  4  x 2 , y  x 2  2 x ; 6) xy  1, x  2, y  x
Ответы:
2
3
1) 12; 2) 10 ; 3)
32
5
3
; 4) 20 ; 5) 9; 6)  ln 2 .
2
3
6
3.5. Объём тела вращения.
Если криволинейная трапеция, ограниченная линиями y  f ( x), x  a, x  b, y  0,
вращается вокруг оси Ох, то объём полученного тела вращения
2
b
V     f ( x) dx
0
Если криволинейная трапеция, ограниченная линиями
x  x( y ), y  C , y  d , x  0, вращается вокруг оси Оу, то объём полученного тела
2
d
вращения V    x( y ) dy .
c
Пример 1: Найти объём тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями y  x 3 , x  1, y  0, вокруг оси Ох.
Решение: На рисунке указана штриховкой плоская область, которая
вращается вокруг оси Ох.
у
1
0
1
-1
Объём вычисляется по формуле
1
x4
V    ( x ) dx  
4
0
3
1

2
0

4
.
х
Пример 2: Найти объём тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями x  3 y 2 , y  0, x  1 , вокруг оси Оу.
Решение: На рисунке указана штриховкой плоская область, которая
вращается вокруг оси Оу.
У
1
Х
Объём вычисляется как разность объёма цилиндра и объёма тела,
прилегающего к оси Оу. Тогда
1
V  Vö  V ó      (3 y 2 ) 2 dy    
0
3y
7
7 1
3

4
.
7
0
Задачи для самостоятельного решения:
1) Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади,
содержащейся между параболами y  x 2 и y  x .
2) Криволинейная трапеция, ограниченная линиями y  xex и прямыми
x  1, y  0 , вращается вокруг оси абсцисс. Найти объём тела, которое
при этом получается.
3) Найти объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции,
ограниченной линией y  arcsin x с основанием 0;1 , вокруг оси Ох.
4) Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат
криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми
x
x  0, x  2 и кривой y  e
Ответы:
1)
3

2
 ; 2) (e 2  1) ; 3)  (  2) ; 4) 3e 2  2 .
10
4
4
3.6. Вычисление несобственных интегралов.
В этом пункте необходимо использовать определения несобственных
интегралов. Так, несобственный интеграл с бесконечным верхним
пределом интегрирования является сходящимся, если существует
конечный предел в правой части определения:

b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx .
b
a
a
В противном случае интеграл расходится.
Пример 1: Вычислить несобственный интеграл или установить его
расходимость.

dx
 
x ln x
5

d (ln x)
b
 lim (ln l nx 5 )  lim (ln ln b  ln ln 5)  
b
b
ln x
5
Итак, заданный интеграл расходится.
Несобственные интегралы от разрывных функций вычисляются по
следующим определениям:
Решение:  

b
1) Если f (x) имеет разрыв при x  b , то
 f ( x)dx 
a
c
lim
c b 0
b
2) Если f (x) имеет разрыв при x  a , то
 f ( x)dx 
a
 f ( x)dx .
a
b
lim
c a  0
 f ( x)dx .
c
Пример 2: Вычислить несобственный интеграл или установить его
расходимость.
1

0
dx
1 x2
Решение: Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x  1, поэтому
c
dx

c
  lim 
 lim (arcsin x 0 )  lim (arcsin c  arcsin 0) 
2
c 10
c 10
c 10
2
0 1 x
Т.о. интеграл сходится и он равен

.
2
Задачи для самостоятельного решения:

1)
x
2
dx
ln 3 x
Ответы: 1)

xdx
2)  2
; 3)
2 x 1
;
2
ln 2


1
dx
3x  5
0
;
4)
xdx
1 x .
1
; 2) расходится; 3) расходится; 4) расходится.
Вопросы и задания для самоконтроля:
1) Сформулировать и вывести формулу Ньютона-Лейбница.
2) В чем состоит метод интегрирования по частям в определенном
интеграле?
3) В чем состоит метод замены переменной(подстановки) в определенном
интеграле?
4) Как вычисляется площадь плоской фигуры в системе декартовых
координат?
5) Как вычисляются объёмы тел вращения?
6) Что называется несобственным интегралом от данной функции по
бесконечному интервалу?
7) Что называется несобственным интегралом от разрывной функции по
данному конечному интервалу?
Литература:
1. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического
анализа.
2. П.Е.Данко., А.Г.Попов. Высшая математика в
упражнениях и задачах.
3. Д.Письменный. Конспект лекций по высшей математике.