ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ
Задания по курсу
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
И МОДЕЛИ В ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ»
Для студентов заочного отделения по направлению
080200 Менеджмент
Санкт-Петербург
2011 год
Задания по курсу «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ» Для студентов заочного отделения по направлению 080200 Менеджмент – 10 с.
Составитель: доц. Дорофеев В. Ю.
 Издательство
Санкт-Петербургского
государственного
университета
экономики и финансов
2011
Элементы высшей математики.
1. Векторы. Элементы аналитической геометрии.
Система координат. Расстояние между двумя точками. Понятие о векторе и действия над векторами. Базис. Запись вектора в базисе. Уравнение прямой на плоскости.
2. Понятие об определителе. Вычисление определителей.
3. Матрицы и действия над ними.
4. Система линейных уравнений. Матричная запись СЛУ.
5. Элементы теории вероятностей.
Случайное событие. Вероятность события. Условная вероятность. Закон распределения случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия.
Математические модели.
1. Линейное программирование.
Составление задачи линейного программирования. Графический метод. Представление о симплекс-методе.
2. Представление о транспортной задаче.
3. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности. Игра как математическая модель конфликта.
Основные понятия теории игр. Классификация игр. Антагонистические игры. Матричные игры. Смешанные стратегии. Графоаналитический метод решения игр.
Матричные игры и линейное программирование.
Вариант 0.
1. Даны три точки на плоскости A(5,6), B(-2,7), C(1,-3). Найти:
a). Уравнение высоты (AH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (BN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
2 5
7 1 
2. Решить матричное уравнение: AX=B, если A  
, B  

 36 
7  4
3. На столе разбросаны карточки, составляющие слово БАРАБАН. Берут без возврата по одной карточке. Найти вероятность того, что первые три буквы в порядке следования составят слово БАРАН.
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X
P
-1 4
5
8
9
0.2 0.1 0.2 0.3 0.2
5. Решить задачу графическим способом.
Для организации рекламной кампании фирма может использовать рекламу
по радио и в газете. Одна минута радиовещания стоит 4 условных денежных единицы (у. д. е.), а стоимость одной строки объявления в газете -- 7 у. д. е. Максимальное число строк в газетном объявлении равно 8. Финансовые интересы фирмы
позволяют израсходовать на рекламу от 20 до 60 у.д.е. на каждое объявление. По
оценкам экспертов каждая минута радиорекламы приносит доход в 20 у. д. е., а
каждая строка газетной рекламы -- в 30 у. д. е.
Определить объем радио и газетных рекламных обращений, приносящие
максимальный суммарный доход.
 2 7 3


9 5 8
6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей 
.
1 4 2 


Вариант 1.
1. Даны три точки на плоскости A(-5,8), B(4,7), C(1,3). Найти:
a). Уравнение высоты (CH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (AN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
2 5
7 1 
2. Решить матричное уравнение: XA=B, если A  
, B  

 36 
7  4
3. Вероятность попадания первым стрелком равна 0.7, вторым – 0.8. Найти вероятность того, что после одного выстрела каждым стрелком будет только одно попадание.
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X
P
2
3
5
6
9
0.1 0.1 0.3 0.3 0.2
5. Решить задачу графическим способом.
Для полноценного развития детей в их ежедневный рацион должно входить
не менее 1000 г белков, не менее 900 г жиров и не менее 2100 г углеводов.
Для питания группы детей можно использовать молочные смеси фирм
«Туттий» и «Фрутти». В одной упаковке смеси «Тутти» содержится
20 г белков, 20 г жиров и 60 г углеводов; а в упаковке смеси
«Фрутги» -- 25 г, 15 г и 30 г соответственно. Одна упаковка
«Тутти» стоит 5 рублей а – «Фрутти» -- 3 рубля.
Какое количество упаковок каждой смеси должно входить в дневной
рацион детей, чтобы их питание имело наименьшую стоимость?
 5 7 3


8 3 5

6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей
.
1 4 2 


Вариант 2.
1. Даны три точки на плоскости A(7,-8), B(-4,3), C(1,9). Найти:
a). Уравнение высоты (CH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (AN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
4 5
7 1 
2. Решить матричное уравнение: XA=B, если A  
, B  

 38 
7  4
3. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Взяли два шара. Найти вероятность того, что
это один белый и один чёрный
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X
P
4
5
7
8
10
0.4 0.1 0.2 0.1 0.2
5. Решить задачу графическим способом.
Для изготовления ведер и баков из жести мастерская использует два типа
технологического оборудования. При изготовлении одного ведра оборудование
первого типа используется 1 час, а второго типа – 2 часа; для изготовления одного
бака оборудование первого типа используется 1 час, второго типа также 1 час. В
течение недели оборудование первого типа может быть использовано не более 80
часов, а второго -- не более 120 часов.
Составить план недельного производства ведер и баков, максимизирующих
прибыль, если реализация одного ведра приносит 5 у. д. е. прибыли, а одного бака - 4 у. д. е.
4 1 3 


8 4 5
6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей 
.
1 3 2 


Вариант 3.
2. Даны три точки на плоскости A(3,2), B(-1,3), C(1,-2). Найти:
a). Уравнение высоты (BH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (BN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
3 5 
3 1 
2. Решить матричное уравнение: AX=B, если A  
, B  

 28 
7  4
3. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Взяли два шара. Найти вероятность того, что
это один белый и один чёрный
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X
P
-2 -1 3
4
7
0.4 0.1 0.1 0.1 0.3
5. Решить задачу графическим способом.
Мастерская изготовляет чехлы для сидений в автомобилях ВАЗ и «Волга»,
используя велюр и искусственную кожу. На один комплект чехлов для автомобиля
«Волга» требуется 2 м велюра и 1 м искусственной кожи, на один комплект для автомобиля ВАЗ -- по одному метру. Ежедневно мастерская может расходовать не
более 16 м велюра и не более 10 м искусственной кожи. Производственная мощность мастерской не позволяет выпускать в день более 6 чехлов для а/м «Волга» и
7 чехлов для ВАЗ.
Составить план работы мастерской, приносящий максимальную прибыль,
если комплект для а/м «Волга» приносит 40 у. д. е., а для ВАЗ -- 30 у. д. е. прибыли.
5 1 3 


8 4 2
6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей 
.
1 3 2 


Вариант 4.
3. Даны три точки на плоскости A(-1,2), B(4,3), C(1,-2). Найти:
a). Уравнение высоты (BH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (BN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
3 5 
3 1 
2. Решить матричное уравнение: XA=B, если A  
, B  

 28 
7  4
3. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Взяли два шара. Найти вероятность того, что
это один белый и один чёрный
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X
P
-2 -1 3
4
7
0.1 0.1 0.2 0.3 0.3
5. Решить задачу графическим способом.
Фермер разводит гусей и уток. В недельный рацион питания гуся должно входить 5 кг углеводов и 3 кг белков, а для утки 4 кг и 2 кг соответственно. На неделю
фермеру может быть доставлен корм, содержащий не более 320 кг углеводов и 180
кг белков. Доход от реализации одного гуся равен 55 у. д. е, а утки -- 40 у. д. е.
Сколько гусей и сколько уток должен разводить фермер, чтобы его доход
был максимальным.
5 1 3 


4 4 2

6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей
.
1 3 2 


Вариант 5.
4. Даны три точки на плоскости A(-1,2), B(4,8), C(1,-2). Найти:
a). Уравнение высоты (BH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (СN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
4 5
3 2 
2. Решить матричное уравнение: XA=B, если A  
, B  

 13 
 4  4
3. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Взяли два шара. Найти вероятность того, что
это один белый и один чёрный
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X
P
-2 -1 3
4
8
0.2 0.1 0.2 0.3 0.1
5. Решить задачу графическим способом.
Мастерская изготавливает телевизионные антенны, используя металлические трубы и металлические прутки. При изготовлении одной антенны метрового
диапазона используется 2 метра трубы и 1 м прутка, а при изготовлении одной антенны дециметрового диапазона -- 1,5 м и 1 м соответственно. В день мастерская
может расходовать не более 18 м трубы и 10 м прутка.
Составить план выпуска антенн, максимизирующий доход мастерской, если
одна антенна метрового диапазона приносит 95 у. д. е., а дециметрового диапазона
-- 90 у. д. е. прибыли.
5 1 3 


4 8 5

6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей
.
1 3 2 


Вариант 6.
5. Даны три точки на плоскости A(-1,2), B(4,2), C(1,-5). Найти:
a). Уравнение высоты (BH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (СN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
3 5 
3 2
2. Решить матричное уравнение: AX=B, если A  
, B  

 17 
1  4 
3. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Взяли два шара. Найти вероятность того, что
это один белый и один чёрный
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X
P
-2 -1 3
5
8
0.1 0.1 0.2 0.3 0.1
5. Решить задачу графическим способом.
Кандидату в депутаты местного самоуправления выделено 40 условных денежных единиц на предвыборную агитацию. Он может потратить их на печатание
агитационных брошюр и на радиообращение к согражданам. По условиям выборной компании эфирное время ограничено 5 минутами. Цена одной минуты 4
условные денежные единицы. Типография берется напечатать брошюры тиражом
не менее 3 тысяч экземпляров по 5 условных денежных единиц за каждую тысячу.
Статистические исследования показывают, что 1 минута радиообращения приносит
в среднем 300 голосов избирателей, а одна тысяча брошюр -- 250.
Как следует распределить средства на предвыборную агитацию, чтобы максимально увеличить число избирателей данного депутата?
3 1 3 


2
8
7
.
6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей 
1 3 2 


Вариант 7.
1Даны три точки на плоскости A(-1,6), B(4,7), C(1,-5). Найти:
a). Уравнение высоты (BH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (СN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
 4 5
3 2 
2. Решить матричное уравнение: AX=B, если A  
, B  

 11 
8  4
3. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Взяли два шара. Найти вероятность того, что
это один белый и один чёрный
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X
P
-6 -1 3
5
9
0.1 0.1 0.2 0.3 0.1
5. Решить задачу графическим способом.
Фирма изготавливает компрессоры двух типов K1 и K2. На изготовление
одного компрессора K1 идет 3 кг стали и 4 кг цветного металла, а на изготовление
одного компрессора K2 -- 4 кг и 3 кг соответственно.
Ежедневно фирма может использовать не более 24 кг стали и не более 24
кг цветного металла. Составить план производства компрессоров, максимизирующий прибыль фирмы, если известно, что один компрессор типа K1 приносит 20 у.
д. е., а один компрессор типа K2 – 30 у. д. е. прибыли.
 7 6 3


2 8 7
6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей 
.
1 3 6 


Вариант 8.
6. Даны три точки на плоскости A(-1,6), B(-3,2), C(1,-1). Найти:
a). Уравнение высоты (BH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (СN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
3 5 
3 2
2. Решить матричное уравнение: XA=B, если A  
, B  

 12 
 8 1 
3. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Взяли два шара. Найти вероятность того, что
это один белый и один чёрный
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X
P
-6 -4 3
5
9
0.1 0.2 0.2 0.2 0.3
5. Решить задачу графическим способом.
Предприятие выпускает простые и привилегированные акции, на приобретение пакета которых выделено 16 у. д. е. Простые акции продаются по цене 2 у. д.
е. за штуку и в приобретаемом пакете их должно быть не менее двух штук. По
условиям продажи в пакете может быть не более 10 привилегированных акций и их
цена -- 1 у. д. е. за штуку.
Сколько тех и других акций следует приобрести, чтобы максимизировать
годовой доход пакета, если простая акция приносит в год 1 у. д. е., а привилегированная -- 2 у. д. е. дохода.
1 5 3 


3 4 7

6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей
.
1 3 6 


Вариант 9.
7. Даны три точки на плоскости A(-1,4), B(-3,5), C(1,-2). Найти:
a). Уравнение высоты (BH) в треугольнике ABC;
b). Длину медианы (СN) в треугольнике ABC;
c). Координаты вектора AD  AB  AC
3 6 
3 2
2. Решить матричное уравнение: AX=B, если A  
, B  

 12 
 5 1 
3. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Взяли два шара. Найти вероятность того, что
это один белый и один чёрный
4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если задан
её закон распределения в виде таблицы
X -6 -4 -1 5
7
P 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1
5. Решить задачу графическим способом.
Кондитер, имея 96 рублей, закупает для реализации торты «Сказка» и «Фантазия» по цене 12 рублей и 8 рублей каждый соответственно. Общее число приобретенных тортов не должно превышать 9 штук.
Сколько тех и других тортов следует приобрести кондитеру, чтобы его выручка (сумма денег, полученных кондитером от покупателей тортов) была максимальной, если кондитер продает торт «Сказка» за 19 рублей, а торт «Фантазия» -за 12 рублей.?
1 5 3 


3 4 7

6. Найти смешанную стратегию и цену игры с матрицей
.
 2 7 6


Правила выполнения и оформления контрольной работы.
При выполнении контрольной работы необходимо придерживаться нижеследующих правил.
Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и возвращается
студенту для переработки.
Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета, кроме
красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы,
учебный номер (шифр), который соответствует номеру зачетной книжки (студенческого
билета), номер контрольной работы, адрес студента, дата сдачи контрольной работы на
проверку. В конце работы следует поставить дату её выполнения и расписаться.
Номер варианта выполненной контрольной работы должен соответствовать последней цифре в номере зачетной книжки (студенческого билета). В работу должны быть
включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту.
Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
Перед решением каждой задачи надо написать полностью её условие, подставляя
конкретные данные из решаемого варианта.
Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все
действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
После получения проверенной работы, как зачтенной, так и незачтённой, студент
должен исправить все указанные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента. Исправления следует присылать вместе с прорецензированной работой и рецензией. В связи с этим рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после её проверки запрещается.
В случае незачета работы и отсутствия прямого указания на то, что студент может
ограничиться исправлением отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
Контрольную работу следует высылать на проверку заблаговременно.
К экзамену допускаются студенты, получившие положительную оценку за работу.
Литература
1. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. - М.:
Наука,. 1985.
2. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. -- М.: Наука, 1987.
3. Кропотов А. И. Линейная алгебра. -- Л.: Изд-во ЛФЭИ, 1970.
4. Калихман И. Л. Линейная алгебра и математическое программирование. -- М.:
Высшая школа, 1967.
5. Ведина О. В., Десницкая В. Н., Варфоломеева Г. Б. Математический анализ для
экономистов. М:Лань, 2004.
6. Гмурман В. Е. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. -М: «Высшая школа», 1966.
7. Итенберг В. С., Ковбаса С. И., Кондратьев В. С. Теория вероятностей: Учебное
пособие для студентов вечернего и заочного факультетов. -- Л: ЛФЭИ, 1990.
8. Идельсон А. В., Кондратьев В.С., Заварзина И. А. Методические указания по
курсу «Математическое программирование» для студентов вечернего и заочного факультетов. -- СПб: Изд-во СПбГУЭФ, 1992.