09-13-03

Тема 13. Теоремы и доказательства
09-13-03. Логические связки
Теория
3.1.* По определенным правилам высказывания соединяют в новые, более сложные
высказывания.
В разговорном языке соединения высказываний выражают словами “и”, “или”, “не”,
“влечет”, “если-то” и некоторыми другими. В математике соединению высказываний
придают точный смысл, а для записи сложных высказываний вводят специальные значки,
каждый из которых называется логической связкой.
В этом пункте рассмотрим высказывания, которые образуются с помощью союза и.
Обозначим через A и B некоторые высказывания. Символом
A B
(читается: A и B) обозначается высказывание, которое истинно только в том случае, когда
оба высказывания A и B одновременно истинны.
Пример 1. Пусть A — предложение число 5 больше 2, и B — предложение число 5
меньше 10. Эти предложения являются истинными высказываниями. Высказывание A  B
в данном примере — это предложение число 5 больше 2 и число 5 меньше 10. По
определению такое высказывание истинно.
Пример 2. Пусть A — предложение число 6 нечетно, и B — предложение число 6
делится на 3. Высказывание число 6 нечетно и число 6 делится на 3 — это ложное
высказывание по определению.
Истинность или ложность сложного высказывания удобно определять при помощи
специальных таблиц, называемых таблицами истинности. В этой таблице записываются
не сами высказывания, а их истинностные значения:
И — если данное высказывание истинно;
Л — если данное высказывание ложно.
Таблица истинности для логической связки и имеет вид
A B
ИИИ
ЛИЛ
ИЛЛ
ЛЛЛ
Таким образом, логическая связка и соответствует союзу и в разговорной речи.
3.2.* Пусть P ( x ) и Q ( x) — предикаты, заданные на одном и том же множестве D . С
помощью логической связки И можно составить новый предикат P( x)  Q( x) ,
определенный на множестве D .
Предикат P( x)  Q( x) истинен для тех и только тех значений x , для которых оба
предиката P ( x ) и Q ( x) истинны. Таким образом, область истинности предиката
P( x)  Q( x) равна пересечению областей истинности предикатов P ( x ) и Q ( x ) .
Пример 3. Пусть P ( x ) — предложение целая часть действительного числа x равна
нулю, а Q ( x) — предложение действительное число x является дробью, знаменатель
которой в несократимом виде равен 4. Область E истинности предиката P ( x ) есть
промежуток [0;1) числовой прямой. Область F истинности предиката Q ( x) есть
множество всех чисел вида 2 k41 , где k — любое целое число. Предикат P( x)  Q( x)
задается предложением целая часть действительного числа x равна нулю и число x
является дробью, знаменатель которой в несократимом виде равен 4. Этот предикат
принимает истинное значение только при двух значениях x : при x  14 и при x  34 .
Нетрудно видеть, что в этом примере E  F   14  43 .
3.3.* Пусть A и B некоторые высказывания.
Символ A  B читается: A или B ) обозначает высказывание, которое ложно только
в том случае, когда оба высказывания A и B одновременно ложны.
Пример 4. Пусть A — предложение число 28 делится на 7, и B – - предложение
число 28 делится на 2. Тогда высказывание A  B является предложением число 28
делится на 7 или число 28 делится на 2. Это высказывание по определению считается
истинным. В рассмотренном примере высказывание A  B иногда записывают в
сокращенном виде: число 28 делится на 7 или делится на 2. В таком виде сложное
высказывание A  B тоже истинно.
Таблица истинности для высказывания A  B имеет вид
A B
ИИИ
ЛИИ
ИЛИ
ЛЛЛ
В разговорной речи союз или употребляется в двух смыслах: разделительном и
неразделительном.
При разделительном союзе или в предложении каждый день или снег, или дождь
обычно подразумевают, что в каждый конкретный день идет либо снег, либо дождь, но
одновременно и снег и дождь идти не могут.
При неразделительном или в предложение каждый день снег или дождь имеют в
виду, что в каждый конкретный день либо снег, либо дождь, либо снег и дождь вместе.
Таким образом, логическая связка  соответствует неразделительному союзу или в
разговорной речи.
3.4.* Пусть P (q ) и Q ( x) — предикаты, заданные на одном и том же множестве D .
С помощью логической связки “или” можно составить новый предикат P( x)  Q( x) ,
определенный на множестве D .
Предикат P( x)  Q( x) истинен лишь для тех значений x , для которых истинен хотя
бы один из предикатов P ( x ) или Q ( x) . Следовательно, область истинности предиката
P( x)  Q( x) равна объединению областей истинности предикатов P ( x ) и Q ( x ) .
Пример 5. Пусть на множестве всех треугольников заданы предложения: P( X ) –
предложение треугольник X  ABC остроугольный, и Q( X ) - – предложение треугольник
X  ABC тупоугольный. В этом случае предикат P( X )  Q( X ) задается предложением
треугольник X  ABC остроугольный или тупоугольный. Полученный предикат ложный
только для прямоугольных треугольников X , а областью истинности предиката
P( X )  Q( X ) является объединение множества всех остроугольных треугольников и
множества всех тупоугольных треугольников.
3.5.* Пусть A некоторое высказывание.
Символом A (читается: не A обозначают отрицание высказывания A , то есть
высказывание неверно, что A . Высказывание A истинно, если A ложно, и A ложно,
если A истинно.
Пример 6. Пусть A — предложение число 5 самое большое однозначное
натуральное число в десятичной системе счисления. Тогда высказывание A является
предложением неверно, что число 5 самое большое однозначное натуральное число в
десятичной системе счисления. Это же высказывание можно записать следующим
предложением: число 5 не является самым большим однозначным натуральным числом в
десятичной системе счисления. В данном примере высказывание A ложно, а
высказывание A истинно.
Таблица истинности для логической связки не имеет вид
ИЛ
ЛИ
По таблице видно, что логическая связка не соответствует понятию отрицания, как
это следует из правил русского языка при использовании частицы не?
3.6.* Пусть P ( x ) — предикат, заданный на множестве D . С помощью логической
связки не можно составить новый предикат P( x) , заданный на множестве D –
отрицание предиката P ( x ) .
Предикат P( x) истинен лишь для тех значений x , для которых предикат P ( x )
ложен.
Пример 7. Пусть P ( x ) — предложение действительное число x представимо в виде
бесконечной периодической десятичной дроби. Как следует из §6 одиннадцатой главы,
предикат P ( x ) имеет истинное значение лишь для рациональных чисел x . Поэтому
предикат P( x) имеет истинное значение только для иррациональных значений x .
Следовательно, областью истинности предиката действительное число x не представимо
в виде бесконечной периодической десятичной дроби является множество всех
иррациональных чисел.
3.7.* Пусть A и B некоторые высказывания.
Символом A  B (читается: если A , то B ) обозначается высказывание, которое
ложно только в том случае, когда A истинно, а B ложно.
Логическая связка  соответствует словам “если-то”, “влечет”, “следует” в
разговорной речи.
Пример 8. Пусть A — предложение число 18 делится на 6, и B — предложение
число 18 делится на 2. Тогда высказывание A  B является предложением если число 18
делится на 6, то число 18 делится на 2. Так как A и B в данном примере истинные
высказывания, то по определению высказывание A  B истинно.
Таблица истинности для высказывания A  B имеет вид
AB
ИИИ
ЛИИ
ИЛЛ
ЛЛИ
Подчеркнем еще раз, что высказывание A  B , то есть высказывание если A , то B ,
ложно в единственном случае: когда A истинно, а B ложно.
Из таблицы для A  B мы видим, что если A истинно и высказывание A  B тоже
истинно, то B истинно. В этом случае пишут A  B и говорят, что из A следует B . Это
классическое правило вывода постоянно используется в математике.
3.8.* Пусть P ( x ) и Q ( x) — предикаты, заданные на одном и том же множестве D . С
помощью логической связки “если-то” можно составить новый предикат P( x)  Q( x) ,
определенный на множестве D .
Предикат P( x)  Q( x) ложен лишь для тех значений x , для которых P ( x ) истинно,
а Q ( x) ложно.
Пример 9. Пусть на множестве всех треугольников заданы предложения: P( X ) –
предложение треугольник X  ABC имеет равные стороны AB и BC , и Q( X ) –
предложение треугольник X  ABC имеет равные углы BAC и BCA .
В этом случае предикат P(Q)  Q( X ) задается предложением если треугольник
X  ABC имеет равные стороны AB и BC , то он имеет равные углы BAC и BCA . Если
для некоторого треугольника X  ABC предикат P( X ) принимает истинное значение, то
это значит, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC . Отсюда следует,
что углы BAC и BCA при основании треугольника ABC равны, то есть предикат Q( X )
также имеет истинное значение. Значит, нет таких треугольников X , для которых
P (Q )  И . а Q( X )  Л . Поэтому нет таких треугольников X , для которых предикат
P( X )  Q( X ) имеет ложное значение. Следовательно, областью истинности предиката
P( X )  Q( X ) является вся область определения. В результате приходим к тому, что
высказывание (x)( P( x)  Q( x)) истинно, то есть истинна теорема:
для любого треугольника ABC : если AB  BC , то BAC  BCA .
Известные из геометрии определения позволяют эту теорему записать в следующей
формулировке.
В любом равнобедренном треугольнике углы при его основании равны.
3.9.** Сложные высказывания, образованные из данных высказываний A B C
при помощи логических связок, можно записывать в виде формул. Например, A  B  C ,
A  B  C , A  B и так далее. Для каждой такой формулы можно составить таблицу
истинности. Формулы, которые имеют одинаковые таблицы истинности, называются
равносильными. Равносильные выказывания соединяют знаком равенства =.
Пример 10. Покажем, что (A)  A .
Составим таблицы истинности сначала для не A, а потом для не A :
(A)
ИЛ И
ЛИ Л
Мы видим, что столбец значений для (A) такой же, как и для A . Следовательно,
(A) и A равносильны, то есть (A)  A .
Пример 11. Покажем, что ( A  B)  A  B .
Составим таблицы истинности для левой и правой части равенства:
A  B ( A  B )
A  B
ИИИ
Л
Л Л
Л
ЛИИ
Л
И Л
Л
ИЛИ
Л
Л И Л
ЛЛЛ
И
И И И
Мы видим, что столбец значений для  (A B ) такой же, как и для A B .
Поэтому ( A  B)  A  B .
Пример 12. Докажем, что A  B  A  B . Составим таблицы истинности
AB
A  B
ИИИ
Л И
ЛИИ
И И
ИЛЛ
Л Л
ЛЛИ
И И
Из таблицы видно, что столбцы значений для A  B и A  B совпадают. Поэтому
( A  B )  A  B .
Контрольные вопросы
1.* Как определяется истинность или ложность высказывания A  B ?
2.* Как находить область истинности предиката P( x)  Q( x) ?
3.* Как определяется истинность или ложность высказывания A  B ?
4.* Как находить область истинности предиката P( x)  Q( x) ?
5.* Как определяется истинность или ложность высказывания A ?
6.* Как находить область истинности предиката P( x) ?
7.* Как определяется истинность или ложность высказывания A  B ?
8. ** Как находить область истинности предиката P( x)  Q( x) ?
9.** Какие высказывания называются равносильными?
Задачи и упражнения
1.* Перечислите натуральные числа от 1 до 20, которые:
а) делятся на 3 или на 5;
б) делятся на 3 и на 5;
в) не делятся на 3 или на 5;
г) не делятся на 3 и на 5.
2.* Какие из следующих высказываний истинны и какие ложны:
а) если число 18 делится на 7, то оно делится на 4;
б) если число 18 делится на 7, то оно делится на 6;
в) если число 18 делится на 6, то оно делится на 7?
3.* Истинно или ложно высказывание 15  2  7 14  2  7 ?
4.* Истинно или ложно высказывание A , если известно, что высказывание A  B
ложно?
5.* Для высказываний A , B и C докажите формулы:
а) A  B  B  A ; б) A  B  B  A ;
в) A  ( B  C )  ( A  B)  C ;
г) A  ( B  C )  ( A  B)  C ;
д) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) ;
е) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) .
6.* Истинно или ложно высказывание ( A  B)  ( B  C ) , если высказывания B и C
истинны?
7.* Пусть A( n ) — предикат, заданный предложением « n — простое число».
Истинно или ложно высказывание (n)( A(n) ?
8.* Пусть A( n ) — предложение «натуральное число n — четное» и B ( n ) —
предложение «число n( n  2) делится на 8».
Истинно или ложно высказывание
(n)( A(n)  B(n)
9.* Пусть P ( n ) — предикат « n - – простое число». Проверить истинность
высказывания
(n) P(n2  n  1)
10.* Даны два предложения A( x ) и B ( x ) , заданные неравенствами
A( x)  ( x  1)( x  1)  1 B( x)  ( x  2) x  0
и зависящие от переменной x , принимающей действительные значения. Найдите
множества истинности предикатов:
а) A( x)  B( x) ; б) A( x)  B( x) ;
в) A( x)  B( x) ; г) B( x)  A( x) ;
д) A( x)  B ( x) ; е) B ( x)  A( x) .
11.* Докажите, что:
а) ( A  B)  A  B ; б) ( A  B)  B  И ;
в) ( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C ) ;
г) ( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C ) ;
д) ( A  B)  C  ( A  C )  (B  C ) .
12.* Пусть A( n ) — предикат « n — четное число». Докажите истинность
высказывания
(m)(n)( A(m  n)  A(mn)
13.* Используя терему Евклида о бесконечности множества простых чисел,
докажите, что для всякого натурального числа n существует такое простое число p , что
p n.
14.** При помощи логических связок и кванторов записать, что число a есть предел
последовательности
a1 a2  a3  an 
15.** С помощью логических символов записать, что нуль не является пределом
последовательности a1 a2  a3  an  .
Ответы и указания
Задача 8  . Пусть A( n ) — предложение "натуральное число n — четное" и B ( n ) —
предложение "число n( n  2) делится на 8".
Истинно или ложно высказывание
(n)( A(n)  B(n))
Указание. Обозначив n  2m , получаем n  (n  2)  4  m  (m  1) , откуда следует, что такое
число при любом натуральном m делится на 8.
Задача 9  . Пусть P ( n ) — предикат " n — простое число". Проверить истинность
высказывания (n) P(n2  n  1) .
Указание. Уже при n  2 получаем n 2  n  1  7 , а поэтому P(n2  n  1) истинно при этом
значении n .
Задача 14  . При помощи логических связок и кванторов запишите, что число a есть
предел последовательности
a1 a2  a3  an 
Указание. Следуя по тексту определения предела, последовательно заменяем "для всех" и
"существует"
на
соответствующие
кванторы
и
получаем:
(  0)(M )(n  N )(n  M  an  a   ) .
Задача 15  . С помощью логических символов запишите, что нуль не является пределом
последовательности a1 a2  a3  an  .
Указание. Один из способов — это записать, что неверно утверждение, по которому число
0 является пределом последовательности ( an ) . Однако, чтобы обойтись без знака
отрицания, приходится последовательно использовать, что ((a) P(a))  (a)(P(a)) и
((a )( P (a ))  (a )(P (a )) . В итоге получаем следующее:
(  0)(M )(n  N )((n  M )  ( an  a   ))