09-13-02

Тема 13. Теоремы и доказательства
09-13-02. Высказывания и предложения с переменными
Теория
2.1.* Изучая математику, мы имеет дело с математическими утверждениями.
Некоторые математические утверждения называют высказываниями.
Под высказыванием в математике понимают повествовательное предложение,
которое должно быть либо только верным, либо только неверным.
Иногда верное высказывание называют истинным высказыванием, а неверное
высказывание — ложным высказыванием.
Высказывание можно рассматривать как величину, которой приписывается только
одно из двух значений:
либо И (истина), либо Л (ложь).
Пример 1. Число 10000 больше числа 9456. Это истинное высказывание.
Пример 2. Число 100001 меньше числа 6549. Это ложное высказывание.
Пример 3. Все три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке. Это
истинное высказывание.
Пример 4. Найдется треугольник, у которого все три медианы пересекаются в одной
точке.
Это также истинное высказывание.
Пример 5. Все три высоты и все три медианы любого треугольника пересекаются в
одной точке.
Это ложное высказывание.
2.2.* Всякое высказывание либо является истинным высказыванием, либо является
ложным высказыванием. При этом совершенно не важно, знаем ли мы на данный момент,
истинно оно или ложно. Имеется много примеров математических утверждений, при
которых до сих пор неизвестно, истинны они или ложны.
Пример 6. Великая теорема Ферма.
Для каждого натурального n  2 уравнение
xn  y n  z n
не имеет решений в натуральных числах.
Приведенная теорема является высказыванием. Она либо верна, либо неверна.
Однако до сих пор неизвестно ни доказательства ее истинности, ни опровержения.
Известно только следующее: для некоторых конкретных очень больших показателей
степени n теорема Ферма доказана, но для всех показателей доказательства нет. Поэтому
утверждение Ферма остается до сих пор гипотезой или предположением.
2.3.* Приведем примеры повествовательных предложений, которые не являются
высказываниями, так как их трудно отнести к истинным или ложным.
Пример 7. Треугольник ABC красивее треугольника MNK .
Пример 8. Теорема 11 проще теоремы 2.
Пример 9. Число 10000 удобнее числа 9456.
Пример 10. Теорему 2 можно доказать, используя теорему 1.
Пример 11. Угол A более похож на прямой угол, чем угол B .
Несмотря на то, что в каждом из примеров говорится о некоторых математических
понятиях, это не высказывания. В самом деле, у каждого конкретного человека
относительно любого из приведенных высказываний может быть свое собственное
мнение, отличное от мнения другого человека.
Пример 12. n — простое число.
Это предложение не является высказыванием, так как оно зависит от переменной n ,
принимающей натуральные значения, и при одних значения n оно истинно, а при других
значениях n ложно.
2.4.* Наряду с конкретными высказываниями, в математике используют
предложения, которые зависят от одной или нескольких переменных. При каждом
конкретном значении переменной такое предложение становится высказыванием.
Пример 13. Предложение n 2  1 - – нечетное число для натурального n зависит от
переменной n , принимающей натуральные значения. При каждом четном значении n
получается истинное высказывание, а при каждом нечетном значении n нечетных –
ложное высказывание.
Таким образом, предложение n 2  1 –нечетное число, которое рассматривается для
натуральных значений n , истинно только при каждом четном значении n .
Пример 14. Выражение x 2  1  0 можно рассматривать как предложение, зависящее
от переменной x . Оно истинно, при любом значении x таком, что 1  x  1 , и ложно при
других значениях x .
Пример 15. Уравнение x 2  y 2  1 определяет предложение, зависящее от двух
переменных x и y . Это предложение истинно только для таких пар действительных
чисел ( x y ) , которые на координатной плоскости являются координатами точек
единичной окружности с центром в начале системы координат.
Предложения, зависящие от переменных удобно обозначать A( n ) , B ( x ) , C ( x y ) и
так далее. В математике такие предложения называются предикатами.
2.5.* Всякий предикат P ( x ) , заданный для переменной x из множества D , можно
рассматривать как функцию с областью определения D , принимающую для каждого
x  D только одно из двух значений: либо значение И (истина), либо значение Л (ложь).
Множество тех значений x из D , для которых P ( x )  И , называется областью
истинности предиката P ( x ) .
Пример 16. Пусть множество D — это множество всех треугольников плоскости.
Рассмотрим для x  D предикат P ( x ) , заданный предложением: в треугольнике x есть
две равные между собой стороны. Областью истинности этого предиката является
множество всех равнобедренных треугольников.
Наряду с предикатами от одной переменной можно рассмотреть предикаты от двух,
от трех переменных, и так далее. Для предиката P( x y ) от двух переменных областью
истинности называется множество таких пар ( x y ) из области определения этого
предиката, для которых P( x y )  И .
Пример 17. Пусть y  x 2 — квадратичная функция, заданная на множестве всех
действительных чисел. Рассмотрим для всех пар ( x y ) точек координатной плоскости
предикат P( x y ) , заданный предложением: число y равно числу x 2 . Областью
истинности этого предиката является множество всех точек графика функции y  x 2 .
2.6.* Два предиката P ( x ) и Q ( x) , заданные на одном и том же множестве D ,
называются равносильными, если они имеют одну и ту же область истинности.
Пример 18. Пусть A( n ) — предложение n 2  1 — нечетное число и B ( n ) —
предложение n 2  1 — нечетное число. Предикаты A( n ) и B ( n ) равносильны, так как
областью истинности каждого из предикатов является множество четных натуральных
чисел. Действительно, при n  2k число n 2  1  4k 2  1 нечетное, и число n 2  1  4k 2  1
нечетное, а при n  2k 1 число n2  1  4k 2  4k  1  1  4(k 2  k ) четное и число
n2  1  4k 2  4k  1  1  2(2k 2  2k  1)
также четное.
Пример 19. Пусть P ( n ) — предложение число n 2  1 делится на 4 и Q (n) —
предложение число n 2  1 делится на 4. Эти предикаты уже не равносильны. Так,
Q (n)  Л при любом натуральном n , что видно из предыдущего примера. В то же время
при n  2k 1 число n2  1  4k 2  4k  1  1  4k (k  1) делится на 4 и поэтому P ( n)  И .
Значит, область истинности предиката Q ( x) — это пустое множество, а область
истинности предиката P ( x ) — это множество всех нечетных чисел. Так как области
истинности предикатов P ( x ) и Q ( x) различны, то эти предикаты не равносильны.
2.7.* Предикат P ( x ) можно обратить в следующее высказывание:
“для всех x предикат P ( x ) истинен”.
Это высказывание записывают кратко (x) P( x) (читается для всех икс P от икс).
Символ  — перевернутая латинская буква A , происходит от немецкого слова alle —
все.
Высказывание (x) P( x) считается истинным только для тождественно истинного
предиката P ( x ) , то есть для предиката, который истинен для любого значения x из
области определения.
Символ (x ) (читается для всех x , для всякого x , для любого x ) называется
квантором всеобщности по x .
Пример 20. Пусть P ( x ) — предложение модуль действительного числа x больше
нуля, x  R . Областью истинности этого предиката является множество всех
действительных чисел, отличных от нуля. Область истинности предиката P (q ) не
совпадает с областью его определения R , а поэтому высказывание (x) P( x) ложно.
Пример 21. Пусть Q ( x) — предложение  x  1  0 , x  R . Область истинности этого
предиката есть множество всех действительных чисел и совпадает с областью его
определения R . Поэтому высказывание (x) P( x) истинно.
2.8.* Предикат P ( x ) можно обратить также в следующее высказывание:
“существует такое x , что P ( x ) истинно“.
Это высказывание кратко записывается в виде
(x) P ( x)
(читается существует такое x , что P ( x ) ).
Символ  — перевернутая латинская буква E и происходит от немецкого слова
existieren — существовать.
Высказывание (x) P ( x) истинно только в том случае, если в области определения
предиката P ( x ) существует такое a , что высказывание P (a ) истинно.
Символ (x ) (читается существует x , можно найти такое x , что) называется
квантором существования по x .
Пусть P ( x ) — предложение действительное число x удовлетворяет равенству
2
x  1  0 . Область истинности этого предиката — пустое множество. Поэтому
высказывание (x) P ( x) ложно.
Пример 22. Пусть предикат P ( x ) определен на непустом множестве D . Как
доказать, что если (x) P( x) — истинное высказывание, то (x) P ( x) также истинное
высказывание?
Контрольные вопросы
1. Приведите пример истинного высказывания.
2. Приведите пример ложного высказывания.
3. Приведите пример высказывания, истинность или ложность которого в настоящее
время еще не установлена.
4. Приведите пример предложения, которое не является высказыванием.
5. Как называют предложения с переменными?
6. Что такое область определения предиката от одной переменной?
7. Что такое область истинности предиката?
8. Как описать предикат, используя понятие функции?
9. Какие предикаты называются равносильными?
10. Что такое квантор всеобщности?
11. В каком случае высказывание (x) P( x) истинно?
12. Что такое квантор существования?
13. В каком случае высказывание (x) P ( x) ложно?
Задачи и упражнения
1.* Определите истинность или ложность высказывания:
а) число 1995 — простое;
б) существует треугольник с тремя равными углами;
в) сумма цифр числа 1995 делится на 3;
г) всякое натуральное число рационально;
д) в любой четырехугольник можно вписать окружность;
е) около любого прямоугольника можно описать окружность;
ж) 1000  23  53 ;
з) для любого числа x выполняется равенство x2  x ;
и) площадь квадрата со стороной 5 см равна 2500 мм 2 ;
к) 1  (5)  1  (6) .
2.* Какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие нет:
а) 2  33  66 ;
б) 2  33  166 ;
в) из каждых двух отрезков один прямее другого;
г) из каждых двух отрезков один длиннее другого;
д) чем больше основание треугольника, тем больше его площадь;
е) у каждой окружности имеется центр;
ж) у каждой окружности, имеется не более шести центров;
з) эллипс менее круглый, чем круг;
и) теорема 21 короче теоремы 22;
к) теорема 21 истинна?
3.* Укажите значения переменных, для которых истинно предложение:
а) число n 2  1 делится на 3, где n  N ;
б) число n 2  1 делится на 3, где n  N ;
в) число ( n 1)(3 n  2) — целое, где n  N ;
г) ( x 2  x  1)  0 , где x y  R ;
д) xy  0 , где x y  R ;
е) xy  0 , где x y  R ;
ж) в треугольнике ABC медиана AM равна половине стороны AC ;
и) окружность S радиуса 1 см;
к) параллелограмм ABCD , у которого AC  BD ;
л) четырехугольник ABCD , у которого AB CD ;
м) точка с координатами ( x y ) принадлежит графику функции y  1x .
4.* Укажите область истинности предиката:
а) число n 2  1 делится на 6, где n  N ;
б) натуральное число n больше 8, но меньше 18;
в) натуральное число n не больше 7;
г) 2n  7  3n 1 , где n  N ;
д)  x    y  1 , где x y  R , x  0 и y  0 .
5.* Определите, равносильны ли предикаты:
а) A( n ) — предикат сумма цифр числа n делится на 3, B ( n ) — предикат число n
делится на 3, где n  N ;
б) A( n ) — предикат число 5n  7 делится на 6, B ( n ) — предикат число n нечетно и
2n  1 делится на 3, где n  N ;
в) P ( n ) — предикат число n 2  1 оканчивается на цифру 0, Q (n) — предикат число
n оканчивается на цифру 1, где n  N ;
г) P ( x ) — предикат x2  x , Q ( x) –предикат x  0 , где x  R ;
д) A( x ) — предикат ( x  1)2  0 , B ( x ) –предикат x  1 , где x  R ;
е) P ( x ) — предикат  x  2 , Q ( x) –предикат 4  x 2  0 , где x  R .
6.* Определите истинность или ложность высказывания (x) P( x) , где:
а) P ( x ) — предикат число 6 x  3 нечетно, x  N ;
б) P ( x ) — предикат число x ( x 1)(6 x  2) целое, x  Z ;
в) P ( x ) — предикат число 2 x  5 больше x  3 , x  R ;
г) P ( x ) — предикат число 2x 2 больше числа x 2  x  1 , x  R ;
д) P ( x ) — предикат  x 4  x 4 , x  R .
7.* Определите истинность или ложность высказывания (x) P ( x) , где:
а) P ( x ) — предикат число x 2  1 делится на 5, x  N ;
б) P ( x ) — предикат число x ( x31) целое, x  N ;
в) P ( x ) — предикат число
x 2  x 3
2
2
целое, x  N ;
г) P ( x ) — предикат число 2x меньше числа x 2  x  1 , x  R ;
д) P ( x ) — предикат числа
x и
x  2 целые, x  R ;
е) P ( x ) — предикат числа
x и
x  3 целые, x  R .
Ответы и указания
Задача 5  . Определите, равносильны ли предикаты:
а) A( n ) — предикат "сумма цифр числа n делится на 3", B ( n ) — предикат "число n
делится на 3", где n  N ;
б) A( n ) — предикат "число 5n  7 делится на 6", B ( n ) — предикат "число n нечетно и
2n  1 делится на 3", где n  N ;
в) P ( n ) — предикат "число n 2  1 оканчивается на цифру 0", Q (n) — предикат "число n
оканчивается на цифру 1", где n  N ;
г) P ( x ) — предикат " x2  x ", Q ( x) — предикат " x  0 ", где x  R ;
д) A( x ) — предикат " ( x  1)2  0 ", B ( x ) — предикат " x  1 ", где x  R ;
е) P ( x ) — предикат "  x  2 ", Q ( x) — предикат " 4  x 2  0 ", где x  R .
Указание.
а) Равносильны, как это следует из признака делимости на 3;
б) равносильны, так как область истинности каждого
предиката есть множество n  N таких, которые при
делении на 6 дают остаток 1; в) не равносильны, так как,
например, P (9) истинно, а Q (9) ложно; г) не равносильны,
так как P (0) истинно, а Q (0) ложно;
д) равносильны;
е) равносильны.