04-Глава-2-Введение-в

ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
2.1. Понятие множества. Числовые множества.
Логические символы
Множеством называют любую совокупность объектов, объединённых по определенному признаку. Объекты, составляющие множество, называются его элементами или точками. Множества принято
обозначать большими латинскими буквами A, B, …, X, Y, …, а их элементы – соответствующими малыми буквами a, b, …, x, y, … .
Если x есть элемент Х, то пишут x  X ( – принадлежит). В противном случае пишут x  X . Множество, не содержащее ни одного
элемента, называется пустым и обозначается .
Множество задают либо перечислением его элементов, заключенных в фигурные скобки, либо указанием общего свойства всех элементов. Например, A = {1, 3, 5, …, 2n – 1, …}, B = {x : 0  x  1}.
Если два непустых множества X и Y состоят из одних и тех же
элементов, то говорят, что X и Y совпадают и пишут X = Y. Множество
X называют подмножеством Y и пишут X  Y ( – содержится), если
каждый x  X является также элементом Y. Если Z состоит из элементов, входящих одновременно или в X или в Y, то Z называют объединением X и Y и пишут Z = X  Y (  – объединение). Если же Z состоит
из элементов, входящих одновременно и в X и в Y, то Z называют пересечением X и Y и пишут Z = X  Y (  – пересечение).
В дальнейшем нам придётся иметь дело с числовыми множествами, элементами или точками которых являются действительные числа.
Примерами числовых множеств являются: N = {1, 2, 3, …, n, …} –
множество натуральных чисел; Z = {0, ±1, ±2, …, ±n, ± …} – множество целых чисел; R = (– ∞; +∞) – множество действительных чисел;
отрезок [a, b] = {x  R : a  x  b }; интервал (a, b) = {x  R : a < x < b };
полуинтервалы [a, b) = {x  R : a  x < b } и (a, b] = {x  R : a < x  b }.
Для отрезка, интервала и полуинтервала используют общее название
промежуток. Если a и b, где a < b, есть конечные числа, то промежуток
называется конечным. Если a или b, или и a и b есть символы a = – ∞,
b = +∞, то промежуток называется полубесконечным или бесконечным.
В дальнейшем для сокращения записей часто повторяющихся
слов или выражений будем использовать некоторые простейшие логические символы:
 – логическое следствие, например, A  B;
 – логическая равносильность утверждений. Например, если
A  B и B  A, то пишут A  B;
43
 – означает «для любого», «для всякого», «для каждого»;
 – означает «существует» или «найдётся»;
: – означает «имеет место», «такое, что».
Например: ε > 0 δ > 0 : | x – a | < δ  | f (x) – l | < ε  f (x)  (l – ε; l + ε).
2.2. Определение функции. Основные способы её задания
Одним из основных понятий математики является понятие функции, которая устанавливает зависимость между элементами двух множеств.
О п р е д е л е н и е. Пусть даны два непустых множества X и Y.
Если х  Х по определённому правилу или закону  ставится в соответствие единственное значение y  Y, то говорят, что на X задана
функция  и пишут y = f (x). Множество Х называется областью определения функции ; множество Y называется множеством значений
функции ; x называется независимой переменной или аргументом
функции ; y называется зависимой переменной или значением функции в точке x.
Если элементами Х и Y являются действительные числа, то 
называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать только
числовые функции и называть их просто функциями. Иногда зависимость y от x пишут также в виде y = y (x), не вводя новой буквы .
Различают следующие основные способы задания функции.
1. Т а б л и ч н ы й с п о с о б. В этом случае значения y для ряда
значений x задают в форме простейшей таблицы (рис. 28). При этом
должен быть указан способ вычисления проx x1 x2 … xn
y y1 y2 … yn
межуточных значений y для промежуточРис. 28
ных значений x, не указанных в таблице.
2. Г р а ф и ч е с к и й с п о с о б. В этом случае в декартовой системе
координат Oxy зависимость y от x указывают в виде графика (рис.29).
Графиком функции y = (x), x  [a, b], назыy
y  f (x)
вается множество точек плоскости M(x,  (x)).
M ( x, f ( x)) Графический способ используется для задаf (x)
ния функции при геометрическом истолковании определений и теорем. Следует отмеx
b
x
0 a
тить, что к графику функции, как и к таблиРис. 29
це, не может быть непосредственно применён аппарат математического анализа.
44
3. А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. В этом случае зависимость y
от x задаётся либо формулой вида y = (x) – явное задание функции,
либо уравнением с двумя переменными вида F  x, y   0  неявное
задание функции.
4. П а р а м е т р и ч е с к и й с п о с о б. В этом случае зависимость
между x и y задают с помощью системы двух уравнений вида
x  x  t ,
y  y  t ,
t T .
(2.1)
Независимая переменная t  T называется параметром, а система
уравнений называется параметрическим заданием функции. Параметрический способ задания функции является более общим, чем явное
или неявное задание.
2.3. Основные элементарные, сложные и элементарные
функции
О п р е д е л е н и е 1. Основными элементарными называются
следующие функции:
1) постоянная y  C , где C – действительное число;
2) степенная функция y  x  , где  – действительное число, отличное от нуля;
3) показательная функция y  a x a  0; a  1 ;
4) логарифмическая функция y  log a x
a  0; a  1 ;
5) тригонометрические функции y  sin x , y  cos x , y  tg x ,
y  ctg x ;
6) обратные
тригонометрические
функции
y  arcsin x ,
y  arccos x, y  arctgx, y  arcctgx.
Основные элементарные функции, их свойства и графики изучаются в школьном курсе математики.
О п р е д е л е н и е 2. Пусть переменная y зависит от переменной
u , т. е. y  f u  , u U , а переменная u , в свою очередь, зависит от
переменной х, т. е. u   x  , х  Х. Тогда заданная на множестве Х
функция y = f   х  называется сложной функцией (или функцией от
функции), переменная u называется промежуточной переменной.
Указанную сложную функцию называют также суперпозицией
функций f и . Функцию  называют внутренней, а f – внешней.
П р и м е р ы. 1) y = sin u – тригонометрическая функция, u = x2 –
степенная функция. Тогда y = sin x2 – сложная функция.
45



2) y = sin lg 1 
1 
 можно рассматривать как суперпозицию сле
x
дующих пяти функций:
1
y  sin u , u  lg v , v  1  w , w  , t  x , x  0;  .
t
О п р е д е л е н и е 3. Функции, получаемые из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций, называются элементарными функциями.
2.4. Предел независимой переменной. Окрестность точки
Пусть независимая переменная х неограниченно приближается к
постоянному числу х = a. Это означает, что мы будем придавать х значения сколь угодно приближающиеся к a, но не равные a.
О п р е д е л е н и е 1. Постоянное число a называется пределом
переменной величины х, если для каждого наперед заданного сколь
угодно малого положительного числа  можно указать такое значение
переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству
x  a    a    x  a  .
Если число a есть предел переменной х, то говорят, что х стремится к пределу a, и пишут:
x  a  lim x  a .
Символ lim составляется из первых трёх букв латинского слова
lim еs , означающего «предел».
О п р е д е л е н и е 2. Произвольный интервал a  , a     0 ,
содержащий переменную величину х, будем называть -окрестностью
точки a, или окрестностью точки a радиуса  (рис. 30).
Постоянную величину часто рассматривают как величину переменную, все значения которой одинаковы: x  C . Очевидно, что предел постоянной будет равен самой постоянной, так как всегда выполняется неравенство
x C  C C  0  
при любом положительном .

a
x
a

a
x  N
x

–N
Рис. 30
0
Рис. 31
46

N
xN
x
О п р е д е л е н и е 3. Говорят, что переменная х стремится к бесконечности, если для каждого наперёд заданного сколь угодно большого положительного числа N можно указать такое значение х, начиная с которого все последующие значения переменой будут удовлетворять неравенству
 x  N,
x N
x  N.
Если переменная х стремится к бесконечности, то её называют
бесконечно большой и пишут x   . Говорят, что переменная х «стремится к плюс бесконечности», x    (или «стремится к минус бесконечности», x    ), если при произвольном N > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, будут удовлетворять
неравенству х > N (или х < – N ) (рис. 31).
2.5. Предел функции в точке. Односторонние пределы
Рассмотрим теперь понятие предельного значения функции
y  f x  в точке x = a. При x  a может оказаться, что соответствующие
значения f (x) неограниченно приближаются к некоторому числу l .
О п р е д е л е н и е 1. Пусть функция y  f x  определена в некоторой окрестности точки x = a, кроме, быть может, самой точки x = a.
Число l называется пределом функции f x  при x  a , если ε > 0
δ = δ(ε) > 0 такое, что из неравенства | x – a | < δ, x ≠ a, следует неравенство | f (x) – l | < ε.
Если такое число l существует, то пишут
(2.2)
lim f x   l , или f x   l при x  a .
x a
у
y  f x 
l+ 
l
l– 
0

a
a

a
Геометрический
с м ы с л предела в точке. Геометрически
существование
2
предела l в формуле (2.2)
означает, что для любого интервала (l   , l  ) на оси Oy
всегда можно построить интервал (a  , a  ) , δ = δ(ε),
x на оси Ox такой, что для всех
x  (a  , a  ) , x ≠ a , значения функции f (x)  (l   , l  ) .
Рис. 32
47
Из определения предела функции в точке следует, что функция f
не может иметь двух различных пределов l1 и l2 , l1  l2 , в одной
точке a, так как значения функции f x  не могут быть одновременно
сколь угодно близкими к двум разным постоянным числам l1 и l2 .
При изучении функции полезны также понятия односторонних
пределов.
О п р е д е л е н и е 2. Число l называется пределом слева (справа)
функции f x  в точке a, если   0     0 такое, что неравенство
f x   l  
выполняется
x  a  , a 
(соответственно
x  a, a   ).
Если такое число l существует, то пределы слева и справа
соответственно обозначают так:
l  lim
xa  0
f x   f a  0 ,
l  lim
xa  0
f x   f a  0 .
(2.3)
В случае a = 0 вместо x  0  0 (соответственно вместо
x  0  0 ) пишут просто x  0 (соответственно x  0 ).
Пределы слева и справа называются односторонними в отличие
от ранее определенного предела функции в точке, который называется
двусторонним пределом или просто пределом.
Связь между односторонними пределами и двусторонним пределом устанавливается следующей теоремой.
Т е о р е м а 1. Функция f имеет предел в точке тогда и только
тогда, когда в этой точке существуют пределы как слева, так и справа и
они равны. В этом случае их общее значение и является двусторонним
пределом функции f в точке a.
С л е д с т в и е. Если f a  0  f a  0, то lim f x  не существует.
xa
2.6. Предел функции в бесконечности. Односторонние
пределы в бесконечности
О п р е д е л е н и е. Пусть функция y = f x  определена на беско-
нечном интервале (–∞, +∞). Говорят, что функция y = f x  имеет конечный предел l при x   и пишут
lim f x   l или f x  

x
 l ,
x
(2.4)
если ε  0  число N  0 такое, что из неравенства |x|  N следует выполнение неравенства f x   l   .
48
Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л предела в бесконечности (рис. 33).
Геометрически существование предела функции l означает, что для
любого интервала (l – ε, l + ε) можно указать число N = N (ε)> 0 такое,
что при x < – N и x > N соответствующие значения f (x) принадлежат
интервалу (l – ε, l + ε).
y
y l 
yl
y l 
N
0
N
x
Рис. 33
Иногда пишут, что lim f x   l или
x
lim f x   l . Это означает,
x  
что: 1) lim f x   l и 2) x > 0 или x < 0 соответственно. Указанные преx 
делы называются односторонними пределами в бесконечности и имеют аналогичный геометрический смысл.
2.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции,
их основные свойства
О п р е д е л е н и е. Функция f x  называется бесконечно малой
при x  a , где a – фиксированное число или символ ∞, если
lim f x   0 ,
(2.5)
xa
и называется бесконечно большой при x  a , если
lim f x    .
(2.6)
x a
Аналогично определяются бесконечно малые функции и бесконечно большие функции при x  a  0 , x  a  0 , x   и x   .
З а м е ч а н и е 1. Из определения бесконечно малой функции
следует, что это понятие относится только к переменной величине,
имеющей пределом число 0. Никакое конечное число, кроме 0, даже
очень малое не является бесконечно малым. Аналогично бесконечно
большая функция может быть только переменной величиной, так как
бесконечный предел lim f x    означает не число, а такой характер
xa
49
изменения функции f x  , при котором её абсолютная величина f x
перерастает любое сколь угодно большое постоянное число. Иногда
также пишут, что lim f x    или lim f x    . Это означает, что:
xa
xa
1) lim f x    и 2) f x   0 или f x   0 , соответственно, при x  a .
xa
О с н о в н ы е с в о й с т в а бесконечно малых и бесконечно
больших функций:
1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций
есть бесконечно малая функция.
2. Произведение бесконечно малой функции на постоянное число или
другую бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция.
3. Сумма бесконечно большой функции и постоянного числа или бесконечно малой функции есть бесконечно большая функция.
4. Произведение бесконечно большой функции на постоянное число
есть бесконечно большая функция.
5. Если y = f x  есть бесконечно малая функция (бесконечно большая
функция) при x  a , где a – число или символ ∞, то обратная величина 1/ f x  является бесконечно большой (соответственно бесконечно малой) при x  a .
З а м е ч а н и е 2. То обстоятельство, что величина обратная бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот, делает естественной следующую, иногда употребляющуюся, символическую запись: для любого числа a > 0 пишут
a
a
a
a
a
a
,
  ,
  ;
0,
 0 ,
 0 .
0
0
0



2.8. Формулировки основных теорем о пределах функций
Т е о р е м а 1. Для того чтобы число l было пределом функции
f x  при x  a необходимо и достаточно, чтобы эта функция была
представлена в виде
(2.7)
f  x   l   x  ,
где lim x   0 , т. е. x  – бесконечно малая функция.
xa
Т е о р е м а 2. Если существует lim f x l , то предел l - единственный.
xa
Т е о р е м а 3. Предел постоянной величины C равен самой постоянной:
(2.8)
lim C  C.
xa
50
Т е о р е м а 4. Пусть lim f1 x   l1 и lim f 2 x  l2 , где l1, l2 – коxa
xa
нечные числа, a – число или символ ∞. Тогда
1) lim  f1 x  f 2 x    lim f1 x lim f 2 x   l1  l2 ,
xa
xa
xa
2) lim  f1 x  f 2 x   lim f1 x lim f 2 x  l1  l2 ,
xa
3) lim
xa
xa
xa
f1 x  l
f1 x  xlim
 a
 1 , при условии l2  0 .
f 2 x  lim f 2 x  l2
(2.9)
(2.10)
(2.11)
xa
С л е д с т в и я из теоремы 4:
1) lim C f x  C  lim f x, С – постоянное число.
xa
xa
n
2) Если n – натуральное число, то lim  f x  n   lim f x  , (2.12)


xa
 xa

n
в частности, lim x n   lim x   a n .
 xa 
x a
3) Если Pn (x) и Qm (x) – многочлены степени n и m, то
Pn x  Pn a 
где Qm a   0 .
lim

,
x  a Qm x  Qm a 
В а ж н ы е и с к л ю ч е н и я из теоремы 4:
1) Если lim f1 x   0 и lim f 2 x   0 , то отношение
xa
xa
(2.13)
f1  x 
при
f 2 x 
0
x  a называется неопределённостью вида   .
0
2) Если lim f1 x    и lim f 2 x    , то разность f1 x   f 2 x 
xa
xa
при x  a называется неопределённостью вида (  ) , а отношение
f1  x 

называется неопределённостью вида   .


f2 x

3) Если lim f1 x   0 и lim f 2 x    , то произведение f1 x   f 2 x 
xa
xa
при x  a называется неопределённостью вида (0  ) .
Нахождение пределов в указанных четырёх случаях называется
раскрытием неопределённости соответствущего вида. Основными
являются неопределённости (0/0) и (∞/∞), так как неопределённости
(  ) и (0  ) сводятся к ним с помощью преобразования их к виду
дроби. При раскрытии неопределённостей используются также две
следующие теоремы.
51
Т е о р е м а 5. Если две функции f1 x  и f 2 x  равны всюду,
кроме одной точки, т. е. f1 x   f 2 x  при x  a , то их пределы в точке
х = a равны: lim f1 x   lim f 2 x  .
xa
xa
Т е о р е м а 6. Если функция f x  имеет предел при x  a и в
точке х = a существует значение
n
f a  , то
lim n f x   n lim f x   n f a  .
xa
xa
(2.14)
2.9. Два замечательных предела. Понятие о натуральных
логарифмах и экспоненте
Для раскрытия неопределенностей вида (0/0) и 0    , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции,
используется первый замечательный предел.
Т е о р е м а. Предел отношения синуса бесконечно малого угла к
величине этого угла, выраженного в радианах, равен единице:
sin 
(2.15)
lim
1.
 0 
Равенство (2.15) называется первым замечательным пределом.
О п р е д е л е н и е. Вторым замечательным пределом называется
x
1

lim 1    e .
x  
x
(2.16)
Этот предел принято обозначать малой буквой е и называть числом е . Было доказано, что число е иррациональное, т. е. не выражается конечной дробью или периодической десятичной дробью, а представляет собой бесконечную непереодическую дробь вида
(2.17)
е  2,718281828459045...  2,72 .
С помощью замены переменной по формулам
1
1
  , x  ,  
 0
(2.18)
x 
x

второй замечательный предел можно записать в форме
1

lim 1     e .
(2.19)
 0
Число е принято за основание системы логарифмов, называемых натуральными логарифмами. Натуральные логарифмы имеют
специальное обозначение ln x  ln x  log е x , x  0 .
52
y
y  ex
y  ln x
1
0
1
e
Рис. 34
x
В высшей математике употребляются
почти исключительно натуральные
логарифмы, так как многие формулы
для них оказываются более простыми. Большую роль в математике и её
приложениях играет показательная
функция с основанием е : y  е x ,
которую часто называют экспонентой. Графики функций y = ln x и
y  е x представлены на рис. 34.
2.10. Точки непрерывности и точки разрыва функции
С понятием предела функции тесно связано другое понятие математического анализа – непрерывность функции. Это очень важное
свойство, которым одни функции обладают, другие – нет.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть функция y = f x  определена в некоторой окрестности точки x = a и в самой точке x = a. Говорят, что
функция f x  непрерывна в точке x = a, если выполняются три условия:
1)  lim f x  ; 2)  значение f a  ; 3) lim f x   f a  .
x a
x a
(2.20)
З а м е ч а н и я. 1) Так как lim x  a , то можно записать
x a
(2.21)
lim f x   f  lim x   f a  .
 x a 
Это означает, что если f x  непрерывна в точке x = a, то её предел
равен значению f a  в этой точке.
2) Если  lim f x   f a  , то говорят, что f x  непрерывна в
x a
xa0
точке x = a слева. Если  lim f x   f a  , то говорят, что f x  неxa0
прерывна в точке x = a справа.
Определение 1 можно сформулировать иначе в других терминах.
Для этого в равенстве (2.21) перенесём значение f a  в левую часть
равенства, внесём f a  под знак предела и заменим условие x  a
равносильным условием x – a  0. Получим равенство
lim  f x   f a   0 .
(2.22)
xa0
Разность x – a = Δ x назовём приращением аргумента x, а разность
f x   f a   y назовём приращением функции y = f x  в точке x = a.
53
В этих терминах получим второе определение непрерывности в
точке, равносильное первому определению.
О п р е д е л е н и е 2. Функция y  f x  называется непрерывной
в точке x = a, если она определена в некоторой окрестности этой точки
и в самой точке x = a, и если бесконечно малому приращению аргумента  x соответствует бесконечно малое приращение функции  y :
lim  y  0 .
(2.23)
 x 0
В дальнейшем мы будем использовать обе формулировки. Если
функция f x  непрерывна в точке x = a, то эту точку будем называть
точкой непрерывности функции.
Рассмотрим теперь другие точки, в которых определения 1 или 2
не выполняются.
О п р е д е л е н и е 3. Пусть функция y = f x  определена на интервале (a, b), кроме, быть может, точки x0 a, b  . Точка x 0 называет-
ся точкой разрыва функции f x  , если функция f x  не определена
в точке x 0 , или если она определена в этой точке, но не является в
ней непрерывной.
Различают точки разрыва трёх видов.
О п р е д е л е н и е 4. 1) Если x 0 – точка разрыва функции f x 
и существуют конечные пределы
f  x0  0   lim
x  x0 0
f  x  и f  x0  0  lim f  x  ,
x  x0 0
(2.24)
то точка x 0 называется точкой разрыва первого рода, а величина
f
 x0  0   f  x0  0  называется скачком функции
f x  в точке x 0 .
2) Точка x 0 разрыва первого рода, в которой
(2.25)
f  x0  0   f  x0  0  ,
называется точкой устранимого разрыва.
3) Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва
первого рода, называется точкой разрыва второго рода.
Очевидно, что в точках разрыва второго рода по крайней мере
один из пределов lim f  x  и lim f  x  равен бесконечности или
x x0 0
x x0  0
не существует.
П р и м е р. Исследовать на непрерывность в точке x  0 :
 x 2 при x  0,
 x  1 при x  0,
1
а) y  ; б) y  
в) y  
г) y  x 2 .
x
 x  1 при x  0;
 1 при x  0;
54
Р е ш е н и е. Построим для наглядности графики заданных функций (рис. 35).
у
0
у
у
1
1
0
x
а)
0
x
–1
у
0
x
г)
в)
б)
x
Рис. 35
а) Точка x  0 функции y  f x  (рис. 35 а) является точкой разрыва второго рода, так как в ней функция не определена и
lim f  x     , а lim f  x     .
x  0
x  0
б) Точка x  0 функции y  f x  (рис. 35 б) является точкой раз-
рыва первого рода. Хотя значение f 0  1 существует, но не существует предел lim f  x  , так как в точке x 0 существуют конечные
x 0
односторонние пределы
lim f  x   1 и
x  0
lim f  x   1 . Величина
x  0
скачка функции в этой точке равна 2.
в) Точка x  0 функции y  f x  (рис. 35 в) является точкой
устранимого разрыва, так как lim f  x  = lim f  x  = lim f  x   0 , но
x  0
x  0
x 0
f 0  1 и lim f  x   f 0 . Если же функцию видоизменить, положив
x0
f 0  lim f  x   lim f  x   0 , то получится непрерывная в точке
x 0
x  0
x  0 функция.
г) В точке x  0 функция y  f x  (рис. 35 г) непрерывна, так как
lim f  x   f 0  0 .
x0
2.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке
О п р е д е л е н и е. Функция y  f x  называется непрерывной
на множестве X, если она непрерывна в каждой его точке.
Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которым оперирует математический анализ, так как они обладают рядом
замечательных свойств, которых лишены разрывные функции.
55
В общих курсах анализа доказано, что все элементарные функции,
получаемые из основных элементарных с помощью конечного числа
арифметических действий и суперпозиций, непрерывны в области своего определения. Среди них выделяют функции, непрерывные на отрезке [a, b], так как они обладают дополнительными свойствами, выделяющими их из класса непрерывных функций. Ограничимся формулировками этих свойств.
Т е о р е м а 1. (Б о л ь ц а н о – К о ш и). Если функция f x  не-
прерывна на отрезке [a, b] и f  a   A , f  b   B , то для любого значения С, заключённого между А и В, существует точка x0 a, b  такая,
что f  x0   C .
y
B
y C
C
y  f (x)
x1
M
x2
a
c
0
A
x3
x0
b
x
m
Эта теорема геометрически
очевидна. Рассмотрим график
функции y  f x  (рис. 36).
Пусть f (a) = A, f (b) = B, A < B.
Тогда прямая y=C, где A < C < B,
пересечет график по крайней
мере в одной точке, абсцисса
которой равна x 0 . Иначе гово-
ря, непрерывная на отрезке
функция, принимая какие-либо
два значения, принимает и люРис. 36
бое промежуточное.
В частном случае, если непрерывная функция на концах отрезка
[a, b] принимает значения разного знака, то на интервале (а, b)
найдётся по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю.
На рис. 36 таких точек три: x1 , x 2 , x3 .
Т е о р е м а 2. (В е й е р ш т р а с с а). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то среди её значений есть наибольшее М и
наименьшее m, т. е. на отрезке [a, b] найдутся две точки  и  такие,
и m  f x   M x  a , b .
На рис. 36 такими точками являются   c и   b .
С л е д с т в и е. Функция f (x) принимает любые значения из отрезка [m, M] и только их, т. е. множество значений функции, непрерывной на отрезке, представляет собой также отрезок.
Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы 1, применённой к отрезку ,  , если    , или соответственно к отрезку
что f x   f    M ,
,  , если
f x   f    m
 .
56