Интегрированный урок по геометрии, биологии, географии и МХК

Интегрированный урок по геометрии, биологии, географии и МХК
Тема урока «Фрактальная геометрия»
Учитель математики: Харитонова В.В.
Учитель биологии: Шахова Ю.Ю.
Учитель географии и МХК: Макеева С.В.
Цель урока: Расширить знания о математических науках, описывающих и
изучающих реальные объекты в окружающем нас мире, показать взаимосвязь
математики с другими науками (географией, биологией) и отражение ее в
мировой художественной культуре.
Оборудование: Интерактивная доска, ПК, проектор, портреты геометров
(Евклид, Лобачевский Н.И., Риман Б., Мёбиус А.Ф., Мандельброт Б.),
микроскоп, исследуемые образцы тканей человека.
Учитель математики:
Слайд 1.
Ребята, вы знаете, что математика включает в себя различные разделы.
Только в школьном курсе мы изучаем алгебру, геометрию, комбинаторику и
теорию вероятностей, тригонометрию. Это - часть того многообразия
разделов, которые включает в себя математика.
Слайд 2
Например, в школьном курсе изучается геометрия Евклида, которая
образовалась как наука ещё в 3 веке до нашей эры… И это не единственная
геометрия, поскольку есть ещё геометрия Лобачевского, геометрия Римана,
раздел геометрии – топология (основатель Мёбиус), и новое направление в
науке – фрактальная геометрия. Согласно строгой аксиоматике геометрии
Евклида, основанной на свойствах элементарных фигур, таких как точка,
прямая и плоскость, был разработан и доказан определенный набор
математических утверждений, с помощью которых в практической
деятельности человек мог решать определенные задачи, при этом ещё и
стремиться к порядку, красоте и совершенству. (Слайды 3,4,5)
Конечно же, гладкие отполированные поверхности, пустое пространство,
совершенные по форме сферы, конусы и правильные углы евклидовой
геометрии эстетически привлекательны и даже элегантны, но они
совершенно не описывают тот грубый и ершистый мир, в котором мы живем.
И её успехи не впечатляют, когда дело приходится иметь с нелинейными
турбулентными (т.е. беспорядочными ), а также живыми системами. Слайд 6
Так, например, свод правил евклидовой геометрии неспособен описать
форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы –
не конусы, берега – не окружности и кора дерева не является гладкой, и
молния не движется по прямой…
Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем
другой уровень сложности объектов окружающего нас мира. Существование
этих объектов бросает математикам вызов, склоняя к изучению их форм.
Этого избежал Евклид, оставив в стороне вопрос о том, как быть с
бесформенным, как исследовать морфологию живого.
Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без
какой-либо попытки их систематизировать.
До середины 1970- х годов у нас не было достаточно мощных компьютеров
или другого оборудования, необходимых для математического и
функционального анализа нашего мировоззрения. Так называемая Теория
Хаоса - это первый подход, успешно моделирующий сложные формы (
живые и неживые ) и турбулентные (беспорядочные) потоки, в соответствии
со строгими канонами математики. Фрактальная геометрия, один из
инструментов Теории Хаоса, используется для изучения феноменов ,
которые являются хаотическими только с точки зрения евклидовой
геометрии и линейной математики.
(т.е, Евклидова геометрия – порядок, соразмерность)
Слайд 7,8
Мандельброт и другие ученые, нашли открытие этого нового подхода к
изучению поведения живого и неживого невероятным. Они обнаружили, что
на границе между конфликтами противоположных сил стоит не рождение
хаотических, беспорядочных структур, как считалось ранее, а происходит
спонтанное возникновение самоорганизации порядка более высокого уровня.
Всюду, где встречаются хаос, турбулентность, живые системы и беспорядок
применима фрактальная геометрия.
Попробуем понятие фрактала объяснить, как говорится на пальцах:
представьте, что вы смотрите на трехдюймовый моток шпагата с расстояния
в 200 ярдов. Он будет выглядеть точкой , а у точки - нулевое измерение .
Теперь вообразите , что вы приближаетесь к мотку шпагата и в какой то
момент вы видите просто круг – с двойным измерением. Подойдя ещё ближе,
вы замечаете, что в действительности это моток, и у него есть три измерения.
Если вы приближаетесь все ближе и ближе, то видите, что он на самом деле
состоит из одной длинной нити, свёрнутой своеобразным способом, которая
имеет только одно измерение. Используя лупу и рассматривая с более
высоким разрешением, вы увидите, что непосредственно сама нить
фактически трехмерная. Таким образом, в зависимости от расстояния до
объекта, вы видели нулевое измерение, затем два - три измерения, потом -
одно, а затем - опять три. Т.е. всё зависит от точки зрения наблюдателя,
разрешающей способности его глаз или прибора.
Слайд 9 (видео)
На прошлом уроке мы завершили тему «Движение в пространстве».
Основным видом движения является Симметрия – т.е. та идея, с помощью
которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и
совершенство», но она не в состоянии описать пространственные формы,
их самоподобие, симметрию в одних и тех, же объектах природы, динамизм
такой симметрии.
Слайд 10,11
Данный недостаток прежней геометрии был
преодолен фрактальной
геометрией, а установленный ею принцип фрактальности становится одним
из принципов постижения красоты природы. Эта геометрия подтверждает и
предположение В.И. Вернадского о
неевклидовой геометрии живых
организмов. Она открывает и новые направления познания красоты природы.
Слайд 12
Итак, основателем «Фрактальной геометрии» стал Бенуа Мандельброт французский и американский математик. Он ввел понятие фрактала как
математической модели познания окружающего нас мира.
«Фрактал» это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле
подобны целому. Слайд 13
Основное свойство фракталов – самоподобие, которое делится на точное и
приближенное. Точное самоподобие наблюдается в геометрических
фракталах, приближенное – в алгебраических. Слайд 1 4-18
Примерами геометрических фракталов служат: Кривая Коха, кривая
Минковского, кривая дракона, фрактал коробка, пятиугольник Дюрера,
треугольник Серпинского. Слайд 19-29
Все эти фигуры сложно построить с помощью общепринятых приемов:
циркулем и линейкой. Здесь применима компьютерная графика.
Геометрические Фракталы самые наглядные. В двухмерном случае их
получают с помощью некоторой ломаной, которая в дальнейшем является
генератором процесса построения. За один шаг алгоритма каждый из
отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой
процедуры, получается геометрический фрактал.
Фракталы находят всё большее и большее применение в науке. Основная
причина в том, что они описывают реальный мир, т.е. то, что создано
природой, а не человеком.
Давайте посмотрим, где фракталы встречаются в природе,
организмах, во вселенной и отражаются в творчестве художников.
живых
Учитель биологии:
Слайды 30-37
Фрактальная геометрия дала возможность сжатого математического
описания биологических структур и процессов, недоступных для описания
языком геометрии Эвклида. В 1983 году МАНДЕЛЬБРОТ сказал:
«Ученые (я уверен) будут удивлены и восхищены, обнаружив, что
немало форм, которые они были вынуждены называть зернистыми,
подобными гидре, бородавчатыми, изъязвленными, ветвистыми, похожими
на морские водоросли, странными, запутанными, извилистыми, волнистыми,
клочковатыми, морщинистыми и тому подобными, отныне могут
описываться строгим и точным количественным образом»
Действительно, как оказалось, живая природа наполнена разнообразными
фракталами, красота или невзрачность которых поддается простому и
компактному описанию.
Что общего у дерева и кровеносных сосудов у нас в руке? На первый
взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако,
на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем
перечисленным предметам: они самоподобны.
От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них –
еще меньшие, и т.д., то есть ветка подобна всему дереву.
Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий
отходят артериолы, а от них – мельчайшие капилляры, по которым кислород
поступает в органы и ткани.
Фрактальная геометрия уже провозглашена принципом дизайна
живых организмов и может стать универсальным языком для описания и
анализа биологических процессов.
Современные компьютерные технологии дали возможность развития
зрительных образов фрактальной геометрии и динамического хаоса.
Фрактальный подход все шире используется в биологии и медицине,
охватывая все уровни биологической организации: от молекул до экосистем.
Даже простое и далеко не полное перечисление тематики дает представление
о размахе , а вернее попытке исследований фракталов в биологии и
биомедицине.
Так на молекулярном уровне это изучение первичной и вторичной
структуры ДНК, РНК, белков, других макромолекул и их комплексов,
динамики окислительных процессов и т.д.
На клеточном уровне исследуются фрактальные свойства
пространственной организации мембран, цитоплазмы, ядер.
Тканевой уровень фрактальных исследований включает
морфологическую организацию и разнообразные процессы, происходящие в
тканях в норме и патологии, особенно при онкологических заболеваниях. На
уровне органов и организма изучается фрактальная организация
дыхательной, сосудистой и других систем животных и растений, множество
физиологических и поведенческих реакций организма в норме и патологии.
Словом, распределение исследований фракталов в биологии само
представляет собой быстро растущий и ветвящийся фрактальный кластер.
Организм многоклеточных животных заполнен фрактальными структурами.
Слайд 31
В большей мере учеными исследовалась и моделировалась
фрактальная организация ветвящихся структур, прежде всего бронхиального
дерева и сосудистой системы млекопитающих.
А чтобы увидеть фракталы на примере объектов живой природы, мы
проведем практическую работу
Практическая работа
Тема: «Знакомство с фракталами на примере объектов живой
природы»
Цель: познакомится с фракталами на примере объектов живой
природы;
Задание: 1. Рассмотреть фракталы в предложенных микропрепаратах
и гербариях при разных увеличениях. (Чтобы изменить увеличение
микроскопа, необходимо повернуть объектив)
Глоссарий
Лупа – линза, дающая увеличение в 2-25 раз.
Микроскоп – оптический прибор, дающий увеличение в тысячи раз.
Окуляр – система нескольких линз, вставленная в металлическую оправу
(тубус) сверху, обращенная к глазу наблюдателя.
Объектив – система нескольких линз, вставленная в металлическую оправу
(тубус) снизу, обращенная к объекту.
Тубус – металлическая трубка.
Винты регулировочные (макро-и микрометрические) – винты,
расположенные на штативе, изменяющие расстояние от объекта до объектива
для фокусировки изображения.
Постоянный препарат – микропрепарат, изготавливаемый для долгого
хранения с использованием специальных смолистых веществ; не смывается
водой.
Правила работы с микроскопом
При работе с микроскопом необходимо соблюдать операции в следующем
порядке:
1. Работать с микроскопом следует сидя;
2. Микроскоп установить перед собой, немного слева на 2-3 см от края стола.
Во время работы его не сдвигать;
3. Работу с микроскопом всегда начинать с малого увеличения;
4. Опустить объектив в рабочее положение, т. е. на расстояние 1 см от
предметного стекла, включить лампочку;
5. Положить микропрепарат на предметный столик так, чтобы изучаемый
объект находился под объективом. Глядя сбоку, опускать объектив при
помощи макровинта до тех пор, пока расстояние между нижней линзой
объектива и микропрепаратом не станет 4-5 мм;
6. Смотреть одним глазом в окуляр и вращать винт грубой наводки, плавно
поднимая объектив до положения, при котором хорошо будет видно
изображение объекта.
7. Передвигая препарат рукой, найти нужное место, расположить его в
центре поля зрения микроскопа;
8. Если изображение не появилось, то надо повторить все операции
вышеперечисленных пунктов;
9. Для изучения объекта при большом увеличении сначала нужно поставить
выбранный участок в центр поля зрения микроскопа при малом увеличении.
Затем поменять объектив на 40 х, поворачивая револьвер, так чтобы он занял
рабочее положение.
10. По окончании работы, поднять объектив, снять с рабочего столика
препарат, протереть чистой салфеткой все части микроскопа, микроскоп
убрать в коробку.
Результаты оформите в таблице
Название объекта
Наличие фракталов (+ или-)
Вывод: 1. Удалось ли обнаружить фракталы в предложенных образцах.
Ответ…………
2. Наблюдается ли абсолютная точность повторения ? Если да, то в
каких объектах?
Ответ………………
Итак, даже относительно простые фракталы неживой и живой природы
самоподобны, но отличаются от идеальных компьютерных фракталов
неполнотой и неточностью повторений структуры - это квазифракталы,
хаотические, или случайные фракталы. Множество процессов в природе и
обществе проявляют хаотическую фрактальную динамику - от космических и
планетарных до физиологических и биохимических явлений.
Фрактальной называется структура, состоящая из элементов, которые
во всем подобны структуре в целом и живые организмы не исключение.
Учитель географии:
Ребята, что такое фрактал? Слайд 38
Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую
фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из
нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком
Суть фрактала - самоподобие, то есть, одна часть фрактала каким-то образом
похожа на другую (не повторяет в точности, а похожа!). При этом, это
сходство не зависит или мало зависит от масштаба рассмотрения - то есть,
взгляните на фрактал в микроскоп или отодвиньте его от своих глаз - вы попрежнему будете видеть повторяющиеся формы. Это важное свойство
фрактала.
Фракталы во Вселенной. Слайд 39
С самого своего возникновения человек разумный интересовался
устройством окружающего его мира. Оно и понятно, наличие знаний
предполагало больше шансов на выживание в быстро меняющемся
окружающем мире. На протяжении истории понимание Вселенной, как мира
в котором мы существуем постоянно менялось.
Это привело к рождению новой науки - КОСМОЛОГИИ. Сейчас космологию
можно охарактеризовать как раздел астрономии, изучающий свойства и
эволюцию Вселенной в целом.
Космология имеет в своем арсенале довольно большое количество моделей
описывающих строение Вселенной. В настоящее время выделяется под
отрасль космологии, которая называется – ФРАКТАЛЬНАЯ КОСМОЛОГИЯ.
 Звездное небо.
 Гипотеза о происхождении планет. Слайды 40-41
Фракталы на Земле.
 Береговая линия. Слайды 42-43
Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы
увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты
птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь
представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под
ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в
воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении
масштаба остается похожей на саму себя.
 Метеорология. Слайд 44
Метеорологи научились определять по фрактальной размерности
изображения на экране радара скорость восходящих потоков в
облаках, что позволяет с большим упреждением выдавать
морякам и летчикам штормовые предупреждения.
Такого рода применений фракталов уже сейчас существует
великое множество, и число их все увеличивается.
 Горные хребты, облака. Слайд 45
Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности
разлома горных пород, облака) лишены геометрического
подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте
статистические свойства целого. Такое статистическое
самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы
среди множества природных объектов.
Задание: Какие фракталы можно увидеть на картинке? Слайд 46
Учитель МХК:
На рубеже XIX и XX веков живописцы отказались от натуралистического
воспроизводства видимой картины мира. Слайд 47
Наука находится в постоянном поиске истины
Ребята, рассмотрите знаменитую работу Пабло Пикассо - портрет Даниэля
Анри Канвейлера – 1910. Слайд 48
Что вы видите? Что хотел показать автор?
В 1910 году Пикассо создает несколько работ в новой, фактически созданной
им самим эстетике. Неутомимый в поиске моделей для портретов, автора
интересует именно этот жанр. В нем особенно ярко и необычно проявляются
новое видение человека и его внутреннего мира.
Двуцветное нагромождение геометрически точных фигур уже через секунду
начинает складываться в портрет. Зрителю нелегко удержать распадающиеся
на составляющие изображение, а также выстроить реальный образ модели.
Но уже через несколько минут каждый убеждается в том, что мужчина на
портрете улыбается, что поза его выдает некоторое смущение, скованность.
Невероятным образом публика начинает видеть аккуратно причесанную
голову, изысканный и безупречный костюм.
Слайд 49-50
Давайте рассмотрим произведения нидерландского художника – графика –
Эшера. Слайд 51
Произведение Эшера «Картинная галерея». Что вы видите? Что хотел
показать автор? Слайд 52
Произведения «Небо и вода», «День и ночь». Слайды 53-54
Учитель математики:
Мы с вами увидели применение фрактала в рукотворных картинах
художников. В настоящее время большой популярностью пользуются
фрактальные картины. Они производят совершенно фантастическое
впечатление. Фрактал кажется живым. Он горит, пылает, он завлекает, и Вы
не можете отвести от него глаз, изучая даже самые крохотные и
незначительные детали. Слайды 59-63
Заключение
Как сказал биолог Джон Холдейн, “мир устроен не только причудливей, чем
мы думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать”. Слайд 64
Фракталы – не изобретения Мандельброта. Они существуют объективно.
… Рассматривая фракталы,
можно сказать,
Как прекрасен мир математики,
и о том, что математика
является неким божественным языком,
который способен описать всё,
что существует во Вселенной и
чему только суждено появиться…
Учитель географии:
Итак, ребята, подведем итог нашего занятия.
Предлагаем вам составить синквейн по теме урока. Слайд 62,63
Синквейн представляет собой стихотворную форму из пяти строк.
1 строка-
тема синквейна - одно слово.
(существительное или местоимение, обозначающее объект, о котором
дальше пойдет речь.)
2 строка -
2 слова
(прилагательное или причастие, они описывают свойства или признаки
выбранного объекта.)
3 строка - 3 глагола или деепричастия,
(которые описывают действия, характерные для объекта.)
4 строка - фраза из 4 слов,
( в которой автор выражает свое личное отношение к объекту, о котором идёт
речь.)
5 строка - одно слово-резюме,
дающее характеристику объекту.
Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину,
но и несравненную красоту. Слайд 64.