АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная) работа по математике

АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Образец
Экзаменационная (письменная) работа по математике
итоговой аттестации выпускников старшей школы
Назарбаев Интеллектуальной школы
физико-математического направления
2012-2013 учебного года
1. Структура письменной работы
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников старшей школы
используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная работа состоит из трех
частей и содержит 20 заданий, которые различаются по содержанию, сложности и числу
заданий.
Часть 1 содержит 13 заданий базового уровня, они обозначены Б1, Б2, …, Б13.
Задания Б1-Б10 – тестовые задания с выбором одного верного ответа из пяти предложенных
Задания Б11-Б13 – задания открытого типа с кратким ответом
Часть 2 содержит 5 заданий открытого типа с развернутым ответом продвинутого уровня,
они обозначены П14, П15, П16, П17, П18.
Часть 3 содержит 2 задания открытого типа с развернутым ответом высокого уровня, они
обозначены В19, В20.
2. Система оценивания письменной работы
Максимальный балл за всю работу – 48 баллов.
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1-Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а заданий
Б11-Б13 оцениваются 2 баллами.
Критерии оценивания заданий части 2 и части 3
Полное и правильное решение каждого из заданий П14-П18 оценивается 4 баллами. Задания
В19 и В20 части 3 оцениваются 6 баллами каждое. Общие требования к выполнению заданий с
развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, с необходимыми
пояснениями и обоснованиями, полным, в частности, все возможные случаи должны быть
рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными.
За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное
количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода
решения.
3. Шкала перевода баллов в оценку
Оценка «5»
Оценка «4»
Оценка «3»
Оценка «2»
90 – 100 %
75 – 89 %
51 – 74 %
50 % и ниже
43 - 48 баллов
36 - 42 баллов
25 - 35 баллов
24 балла и ниже
4. Время выполнения работы – 300 минут или 5 часов.
1
Образец экзаменационной работы
Часть 1
Б1. Бассейн наполняется двумя трубами за 4 часа. Первая труба наполняет бассейн за
5 часов, тогда вторая труба наполняет бассейн:
A) за 15 часов
B) за 25 часов
C) за 10 часов
D) за 20 часов
E) за 30 часов
Б2. На рисунке 1 показан график функции 𝒚 = 𝟒𝒍𝒏(𝒙 − 𝒂). Выберите правильный ответ:
A) «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно х = 5»
B) «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно х = 6»
C) «Значение а равно 6, а уравнение асимптоты равно х = 5»
D) «Значение а равно 6, а уравнение асимптоты равно х = 6»
E) «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно у = 5»
у
0
х
6
Рис. 1
Б3. В треугольнике АВС, площадь которого равна 12, проведена медиана АМ. На медиане
взята точка К, АК:КМ = 1:2. Площади треугольников АВК и ВКМ соответственно равны:
A) 1,5 и 3
B) 2 и 6
C) 2 и 3
D) 2,5 и 4
E) 2 и 4
Б4. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из
трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобиля для каждого
перевозчика указана в таблице. Сколько тенге придется заплатить за самую дешевую
перевозку?
2
Перевозки
А
Б
В
А) 540800 тг
В) 520800 тг
С) 494000 тг
D) 485000 тг
E) 479700 тг
Стоимость перевозки одним
автомобилем
(тенге. на 100 км)
3200
4100
9500
грузоподъемность
автомобилей
(тонн)
3,5
5
12
Б5. Пусть 𝒙𝟏 и 𝒙𝟐 – корни квадратного уравнения 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟓 = 𝟎. Значение выражения
𝒙𝟐𝟏 + 𝒙𝟐𝟐 равно:
A) 6 + 2√14
B) 6 + 4√14
C) 46
D) 36
E) 12 + 4√14
Б6. Угол правильного п-угольника равен 1350. Значение п равно:
A) 16
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
Б7. Значение выражения 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏𝟎 ∙ 𝒍𝒈𝟐𝟕 равно:
A) 3
B) 3√3
C) 𝑙𝑔3
D) 1
E) 9
𝒙𝟑
𝟕
Б8. К графику функции 𝒚 = 𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑 проведена касательная, параллельная прямой 𝒚 =
−𝒙. Сумма координат точки касания равна:
A) 1,8
B) 2
C) 3
D) 3,5
E) 12
Б9. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник АВС, ∠С = 900,
ВС = а, ∠А = 300. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 600. Высота
пирамиды равна:
A) а
B) 2а
C) а√2
D) а√3
E)
𝑎√3
2
3
Б10. Школьный оркестр состоит из учащихся средних и старших классов.
40% музыкантов мальчики, из них 30% из средних классов. 50% девочек также из
средних классов. Вероятность того, что наугад выбранный музыкант окажется учащимся
из средних классов, равна:
A) 0,41
B) 0,42
C) 0,43
D) 0,5
E) 0,53
Б11. В наклонной треугольной призме площадь двух граней равна 70 см 2 и 150 см2, а угол
между ними – 600. Боковое ребро равно 10 см. Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
Ответ: 350 см2.
Б12. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t секунд на угол
3t – 0,01t2 (рад). Найдите, в какой момент времени маховик остановится.
Ответ: 150 с или 2,5 мин.
Б13. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2 мин
быстрее другого и через час обошел его ровно на круг. За какое время каждый лыжник
проходил круг?
Ответ: 10 мин, 12 мин.
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1-Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а заданий
Б11-Б13 оцениваются 2 баллами.
Задания
Баллы
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Б6
Б7
Б8
Б9
Б10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
№ зада
Критерии оценивания
ния
Б11
Решение содержит переход к планиметрической
задаче
Получен верный ответ
Б12
Решение содержит переход к решению уравнения
Получен верный ответ
Б13
Решение содержит математическую модель
текстовой задачи и переход к решению
уравнения/системы уравнений.
Получен верный ответ
4
Баллы
1
1
1
1
1
1
Максимальный
балл
2
2
2
Часть 2
П14. Найдите наименьшее значение функции 𝒚 = √𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟑.
Решение. Выделим полный квадрат: 𝑦 = √𝑥 2 − 6𝑥 + 13 = √(𝑥 − 3)2 + 4.
Отсюда имеем: 𝑦 = √(𝑥 − 3)2 + 4 ≥ √4 = 2.
Поэтому наименьшее значение функции достигается в точке 3, и оно равно 2.
Ответ: 2.
 2
 1
cos x   .
П15. Решите уравнение: cos 2 
 3
 4
Решение.
1
4
2
 2
 1
 4
 1
 4

cos 2  cos x    1  cos cos x    cos cos x     cos x    2n , n  Z 
2
3
3
 3
 4
 3
 2
 3

1

cos x   2 ,



1
x    k , k  Z,
1 3n


 cos x   
 cos x  , 
3

2

2 2
cos x  1
 x  m, m  Z;

cos x  1

x    k , k  Z ,
Ответ:
3
x  m, m  Z ;
⃗ | = 𝟐, |𝒄
⃗ ,𝒄
⃗ | = |𝒃
⃗ | = 𝟑, 𝒂
⃗ ⊥ ⃗𝒃, 𝒂
⃗ ⊥𝒄
⃗ , ∠(𝒃
⃗ ) = 𝟔𝟎𝟎 . Найдите угол между
П16. Пусть |𝒂
⃗ +𝒄
⃗ =𝒂
⃗ − 𝟑𝒃
⃗ и 𝒚
⃗ = ⃗𝒃 − 𝒄
⃗.
векторами 𝒙
Решение. Определим угол между заданными векторами с помощью скалярного произведения:
𝑥 ∙ 𝑦 = |𝑥| ∙ |𝑦| ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥^𝑦).
2
|𝑥|2 = 𝑥 2 = (𝑎 − 3𝑏⃗ + 𝑐) = 𝑎2 + 9𝑏⃗ 2 + 𝑐 2 − 6𝑎 ∙ 𝑏⃗ + 2𝑎 ∙ 𝑐 − 6𝑏⃗ ∙ 𝑐 =
2
= |𝑎|2 + 9|𝑏⃗ | + |𝑐|2 − 6|𝑎| ∙ |𝑏⃗| ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑎^𝑏⃗) + 2𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑎^𝑐 ) − 6𝑏⃗ ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑏⃗^𝑐) =
1
= 4 + 36 + 9 − 6 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 0 + 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 0 − 6 ∙ 2 ∙ 3 ∙ =
2
= 49 − 0 + 0 − 18 = 31,
|𝑥| = √31.
Аналогично, |𝑦| = √7.
𝑥 ∙ 𝑦 = (𝑎 − 3𝑏⃗ + 𝑐) ∙ (𝑏⃗ − 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏⃗ − 𝑎 ∙ 𝑐 − 3𝑏⃗ 2 + 4𝑏⃗ ∙ 𝑐 − 𝑐 2 = 0 − 0 − 12 + 12 − 9 = −9.
⃗
𝑥∙𝑦
𝑐𝑜𝑠(𝑥^𝑦) = |𝑥|∙|𝑦⃗| = −
9
√217
⇒ ∠(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (−
9
) или ∠(𝑥, 𝑦) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
√217
9
.
√217
Ответ: 𝛑 − 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
П17. Найдите количество целых решений неравенства:
(𝟗𝒙 − 𝟏𝟎 ∙ 𝟑𝒙−𝟏 + 𝟏) ∙ 𝒍𝒈𝟐 (𝟒𝒙 − 𝟏) < 0.
5
𝟗
√𝟐𝟏𝟕
Решение. (9𝑥 − 10 ∙ 3𝑥−1 + 1) ∙ 𝑙𝑔2 (4𝑥 − 1) < 0 ⇔
1
3 ∙ (3𝑥 )2 − 10 ∙ 3𝑥 + 3 < 0,
(3𝑥 )2 − 10 ∙ ∙ 3𝑥 + 1 < 0,
3
1
9𝑥 − 10 ∙ 3𝑥−1 + 1 < 0,
1
𝑥> ,
⇔
⇔⇔
𝑥> ,
4𝑥 − 1 > 0,
4
4
1
4𝑥 − 1 ≠ 1
1
𝑥
≠
{
𝑥≠
2
{
{
2
1
−1 < 𝑥 < 1,
< 3𝑥 < 3,
1
1
3
1
<
𝑥
<
,
1
𝑥> ,
4
2
⇔
⇔{
𝑥> , ⇔
4
1
4
1
< 𝑥 < 1.
1
2
{ 𝑥≠2
𝑥
≠
{
2
Таким образом, целых решений этого неравенства нет.
Ответ: целых решений нет.
П18. Углы при основании трапеции равны 400 и 500. Средняя линия трапеции равна 4, а
длина отрезка, соединяющего середины основании, равна 1. Найдите большее основание
трапеции.
Решение.
Известно,
что
середины
Р
оснований трапеции, точка пересечения
диагоналей трапеции и точка пересечения
К
В
С
продолжений боковых сторон трапеции
лежат на одной прямой. В таком случае
очевидно, что треугольники АРD и ВРС
(рис. 2) прямоугольные, а РК и РМ
соответственно – медианы, проведенные к
гипотенузам в этих треугольниках.
Пусть РК = х, тогда ВС = 2х, РМ = х + 1,
А
М
D
АD = 2х + 2.
Рис. 2
С другой стороны, сумма оснований
трапеции равна 8, а АD = 8 – 2х. Решим
получившееся уравнение:
2х + 2 = 8 – 2х,
х = 1,5.
Итак, АD = 5.
Ответ: 5.
Критерии оценивания заданий части 2
№
задания
П14
П15
Критерии оценивания
Верно выделен квадрат двучлена из квадратного трехчлена
Верно найдено наименьшее значение двучлена
Верно оценено наименьшее значение функции
Получен верный ответ
Проведены необходимые преобразования с применением
тригонометрических формул
Получены верные промежуточные значения
Верно решены простейшие тригонометрические уравнения
Приведен обоснованный отбор корней
6
Баллы
1
1
1
1
1
1
1
1
Максималь
ный балл
4
4
П16
П17
П18
Верно найдены абсолютные величины заданных векторов
Верно вычислено скалярное произведение векторов
Верно определен косинус угла между заданными векторами
Верно определен угол между заданными векторами
Верно решено первое неравенство и получен верный ответ
Записаны необходимые условия для решения данного
неравенства
Проведены сравнения значений конечных точек найденных
промежутков
Получен верный ответ
Верно записано условие задачи и выполнен чертеж по
условию
Верно найдены промежуточные элементы
(дополнительные элементы, необходимые для получения
искомого элемента)
Грамотно и последовательно обоснованы этапы решения
Обоснованно получен верный ответ
1
1
1
1
1
1
1
4
4
1
1
1
4
1
1
Часть 3
В19. При каких значениях параметра а уравнение 4х – (2а + 7)∙14х + 2а∙72х+1 = 0 имеет один
корень?
Решение:
Преобразуем данное уравнение:
2 2𝑥
4х – (2а + 7)∙14х + 2а∙72х+1 = 0⇔ (7)
2 𝑥
2 𝑥
− (2𝑎 + 7) ∙ (7) + 14𝑎 = 0.
Пусть (7) = 𝑡, 𝑡 > 0, имеем: t2 – (2а + 7)∙t + 14а = 0
(1).
Данное уравнение имеет один корень, во-первых, если дискриминант (1) уравнения равен нулю
(при этом значение t должно быть положительным), во-вторых, если корни (1) уравнения
имеют разные знаки, либо один из корней положительный, а другой равен нулю. Найдем
значения а и проверим знак t в первом случае: 4а2 – 28а + 49 = 0  (2а – 7)2 = 0 
7
а = ; t = 7 > 0. Во втором случае рассмотрим функцию f(t) = t2 – (2а + 7)∙t + 14а, причем
2
t1 ≤ 0 ≤ t2. Для этого решим следующее неравенство: f(0) ≤ 0  a ≤ 0. Итак,
7 
2
а  (;0]    .
7 
2
Ответ: а  (;0]    .
7
В20. Все члены геометрической прогрессии – различные натуральные числа,
находящиеся между числами 210 и 350.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов (обоснуйте ответ или приведите
пример)?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов (обоснуйте ответ)?
Решение:
а) Приведем пример геометрической прогрессии из четырех членов взяв
7
𝑏1 = 216 = 63 и 𝑞 = 6 получим 𝑏2 = 6 ∙ 6 ∙ 7 = 252, 𝑏3 = 6 ∙ 7 ∙ 7 = 294, 𝑏4 = 73 = 343.
б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует.
Предположим, такая последовательность есть. Пусть её знаменатель есть
𝑚
𝑞 = 𝑘 , где 𝑚 и 𝑘 взаимно простые натуральные числа. Тогда
𝑏
210 < 𝑏1 < 𝑏2 = 𝑏1 𝑞 < ⋯ < 𝑏5 = 𝑏1 𝑞 4 = 𝑘14 𝑚4 < 350.
Так как 𝑚 и 𝑘 взаимно простые, 𝑏1 делится на 𝑘 4 .
𝑚4 < 350, откуда 𝑚 ≤ 4.
𝑞 > 1, 𝑘 < 𝑚, но k натуральное, поэтому 𝑘 ≤ 𝑚 − 1 ≤ 3.
𝑚
𝑚
1
1 4
𝑞= ≥
=1+
≥1+ =
𝑘 𝑚−1
𝑚−1
3 3
44
256
4
Поэтому 𝑏5 = 𝑏1 𝑞 ≥ 𝑏1 4 > 210 ∙
> 350, что противоречит требованию задачи.
3
81
Ответ: а) да; б) нет.
Критерии оценивания заданий части 3
№
задания
В19
В20
Критерии оценивания
Проведены необходимые преобразования в данном
уравнении или неравенстве
Рассмотрено хотя бы одно условие, необходимое для
решения задачи
Рассмотрено второе условие, необходимое для решения
задачи
При составлении или решении условий, связанных с
параметром, в результате которых могут быть
приобретены посторонние значения, учитывает условие
задачи
Решение в целом верное, не содержит вычислительные
ошибки
Обоснованно получен верный ответ
Верно записано условие задачи и верно составлена
математическая модель задачи
Верно и обоснованно выполнен пункт а)
Сделано верное предположение в пункте б)
Частично приведено доказательство пункта б)
приведено полное доказательство пункта б)
Обоснованно получен верный ответ
8
Баллы
Максима
льный
балл
1
6
1
1
1
1
1
1
6
1
1
1
1
1
№ задания
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Б6
Б7
Ответы письменной работы по математике
Часть 1
Ответ
№ задания
Ответ
D
Б8
B
A
Б9
D
E
Б10
B
Е
Б11
350 см2
C
Б12
150 с или 2,5 мин
E
Б13
10 мин, 12 мин
A
Часть 2
№ задания
П14
П15
П16
П17
П18
Ответ
2

x    k , k  Z ,
3
x  m, m  Z ;
9
𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
√217
целых решений нет
5
Часть 3
№ задания
В19
Ответ
7 
2
а) да; б) нет
а  (;0]   
В20
9