2012-2013 учебного года

АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Образец
Экзаменационная (письменная) работа по математике
итоговой аттестации выпускников старшей школы
Назарбаев Интеллектуальной школы
химико-биологического направления
2012-2013 учебного года
1. Структура письменной работы
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников старшей школы
используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная работа состоит из двух
частей и содержит 20 заданий, которые различаются по содержанию, сложности и количеству
заданий.
Часть 1 содержит 13 заданий базового уровня, они обозначены Б1, Б2, …, Б13.
Задания Б1-Б10 – тестовые задания с выбором одного верного ответа из пяти предложенных.
Задания Б11-Б13 – задания открытого типа с кратким ответом.
Часть 2 содержит 7 заданий открытого типа с развернутым ответом продвинутого уровня,
они обозначены П14, П15, П16, П17, П18, П19, П20.
2. Система оценивания письменной работы
Максимальный балл за всю работу – 44 балла.
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1-Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а заданий
Б11-Б13 оцениваются 2 баллами.
Критерии оценивания заданий части 2
Полное и правильное решение каждого из заданий П14-П20 оценивается 4 баллами. Общие
требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть
математически грамотным, с необходимыми пояснениями и обоснованиями, полным, в
частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его
записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно
получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ
при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Полнота и обоснованность
рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения.
3. Шкала перевода баллов в оценку
Оценка «5»
Оценка «4»
Оценка «3»
Оценка «2»
90 – 100%
75 – 89%
51 – 74%
50% и ниже
40 - 44 баллов
33 - 39 баллов
22 - 32 баллов
21 балла и ниже
4. Время выполнения работы – 300 минут или 5 часов.
1
Образец экзаменационной работы
Часть 1
Б1. Бассейн наполняется двумя трубами за 4 часа. Первая труба наполняет бассейн за
5 часов, тогда вторая труба наполняет бассейн:
A) за 15 часов
B) за 25 часов
C) за 10 часов
D) за 20 часов
E) за 30 часов
Б2. На рисунке 1 показан график функции 𝒚 = 𝟒𝒍𝒏(𝒙 − 𝒂). Выберите правильный ответ:
A) «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно х = 5»
B) «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно х = 6»
C) «Значение а равно 6, а уравнение асимптоты равно х = 5»
D) «Значение а равно 6, а уравнение асимптоты равно х = 6»
E) «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно у = 5»
у
0
х
6
Рис. 1
Б3. В треугольнике АВС, площадь которого равна 12, проведена медиана АМ. На медиане
взята точка К, АК:КМ = 1:2. Площади треугольников АВК и ВКМ соответственно равны:
A) 1,5 и 3
B) 2 и 6
C) 2 и 3
D) 2,5 и 4
E) 2 и 4
Б4. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из
трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобиля для каждого
перевозчика указана в таблице. Сколько тенге придется заплатить за самую дешевую
перевозку?
2
Перевозки
А
Б
В
А) 540800 тг
В) 520800 тг
С) 494000 тг
D) 485000 тг
E) 479700 тг
Стоимость перевозки одним
автомобилем
(тенге. на 100 км)
3200
4100
9500
Грузоподъемность
автомобилей
(тонн)
3,5
5
12
Б5. Пусть 𝒙𝟏 и 𝒙𝟐 – корни квадратного уравнения 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟓 = 𝟎. Значение выражения
𝒙𝟐𝟏 + 𝒙𝟐𝟐 равно:
A) 6 + 2√14
B) 6 + 4√14
C) 46
D) 36
E) 12 + 4√14
Б6. Угол правильного п-угольника равен 1350. Значение п равно:
A) 16
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
Б7. Значение выражения 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏𝟎 ∙ 𝒍𝒈𝟐𝟕 равно:
A) 3
B) 3√3
C) 𝑙𝑔3
D) 1
E) 9
𝒙𝟑
𝟕
Б8. К графику функции 𝒚 = 𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑 проведена касательная, параллельная прямой 𝒚 =
−𝒙. Сумма координат точки касания равна:
A) 1,8
B) 2
C) 3
D) 3,5
E) 12
Б9. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник АВС, ∠С = 900,
ВС = а, ∠А = 300. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 600. Высота
пирамиды равна:
A) а
B) 2а
C) а√2
D) а√3
E)
𝑎√3
2
3
Б10. Школьный оркестр состоит из учащихся средних и старших классов.
40% музыкантов мальчики, из них 30% из средних классов. 50% девочек также из
средних классов. Вероятность того, что наугад выбранный музыкант окажется учащимся
из средних классов, равна:
A) 0,41
B) 0,42
C) 0,43
D) 0,5
E) 0,53
Б11. В наклонной треугольной призме площадь двух граней равна 70 см 2 и 150 см2, а угол
между ними – 600. Боковое ребро равно 10 см. Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
Ответ: 350 см2.
Б12. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t секунд на угол
3t – 0,01t2 (рад). Найдите, в какой момент времени маховик остановится.
Ответ: 150 с или 2,5 мин.
Б13. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2 мин
быстрее другого и через час обошел его ровно на круг. За какое время каждый лыжник
проходил круг?
Ответ: 10 мин, 12 мин.
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1-Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а заданий
Б11-Б13 оцениваются 2 баллами.
Задания
Баллы
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Б6
Б7
Б8
Б9
Б10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
№ зада
Критерии оценивания
ния
Б11
Решение содержит переход к планиметрической
задаче
Получен верный ответ
Б12
Решение содержит переход к решению уравнения
Получен верный ответ
Б13
Решение содержит математическую модель
текстовой задачи и переход к решению
уравнения/системы уравнений.
Получен верный ответ
4
Баллы
1
1
1
1
1
1
Максимальный
балл
2
2
2
Часть 2
П14. Найдите множество значений функции 𝒚 = √𝒙 − 𝟐 + 𝟓.
Решение: Наименьшее значение, которое принимает выражение √𝑥 − 2 равно 0 при х = 2,
следовательно, наименьшее значение, которое принимает функция, равно 5.
Итак, 𝐸𝑦 = [5; +∞).
Ответ: [𝟓; +∞).
П15. Решите уравнение 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝟐, 𝟓.
Решение: 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2,5 ⇔ 2(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2,5 = 0 ⇔
1 2
1
1
2
⇔ 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 0,5 = 0 ⇔ (√2𝑠𝑖𝑛𝑥 − ) = 0 ⇔ √2𝑠𝑖𝑛𝑥 −
= 0 ⇔ 𝑠𝑖𝑛𝑥 = ⇔
2
√2
√2
𝜋
⇔ 𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
6
𝝅
Ответ: (−𝟏)𝒌 𝟔 + 𝝅𝒌, 𝒌 ∈ 𝒁.
⃗ (−𝟐; 𝟐𝒎; 𝟑) не превосходит длины вектора
П16. При каких значениях т длина вектора 𝒂
⃗𝒃(−𝒎; −𝟓; 𝟔)?
Решение: Решим неравенство |𝑎|2 ≤ |𝑏⃗|2 :
4 + 4𝑚2 + 9 ≤ 𝑚2 + 25 + 36 ⇔ 3𝑚2 ≤ 48 ⇔ 𝑚2 ≤ 16 ⇔ −4 ≤ 𝑚 ≤ 4.
Ответ: −𝟒 ≤ 𝒎 ≤ 𝟒.
П17. Решите неравенство 𝒍𝒐𝒈𝟏 (𝟐𝒙 − 𝟑) < 𝒍𝒐𝒈𝟏 (𝒙𝟐 − 𝟔).
𝟐
𝟐
Решение: 𝑙𝑜𝑔1 (2𝑥 − 3) < 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 2 − 6) ⇔
2
2
−1 < 𝑥 < 3,
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 < 0,
2
2𝑥 − 3 > 𝑥 − 6,
⇔{
⇔{
⇔ { 𝑥 > √6, ⇔ √6 < 𝑥 < 3.
𝑥 > √6,
[
[
𝑥2 − 6 > 0
𝑥 < −√6
𝑥 < −√6
Ответ: 𝒙 ∈ ( √𝟔; 𝟑).
П18. В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС точка О – точка пересечения диагоналей,
ВО:ОD = 3:4. Найдите отношение площадей треугольников АВС и АВD.
Решение. Треугольники ВОС и АОD
В
С
подобны по двум углам (углы ВОС и АОD
вертикальные, а углы ОСВ и ОАD
внутренние
накрест
лежащие
при
О
параллельных прямых ВС и АD и секущей
АС), поэтому ВО:ОD=ВС:АD. Так как у
треугольников АВС и АВD высоты,
А
D проведенные к сторонам ВС и АD, равны,
то отношение их площадей равно
Рис. 2
отношению этих сторон, т. е. 3:4.
Ответ: 3:4.
5
П19. Для каких значений а неравенство х2 – 2х + а ≥ 0 справедливо при всех х ≥ 2?
Решение: Пусть у = х2 – 2х + а, 𝑥0 – абсцисса вершины параболы, задаваемой этой функцией.
Для выполнения условия задачи достаточно рассмотреть следующую систему неравенств:
 у(2)  0, а  0,

 а  0.

1  2
 х0  2
Ответ: а ≥ 0.
𝟏
П20. Что больше: 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟓 или 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟖 𝟐𝟔?
𝟐
Решение: Приведем логарифмы к основанию 2:
1
1
1
1 −2
2 𝑙𝑜𝑔1 = 2 𝑙𝑜𝑔2−1 = −2 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔2 ( ) = 𝑙𝑜𝑔2 25 ;
5
5
5
25
1
3 𝑙𝑜𝑔8 26 = 3 𝑙𝑜𝑔23 26 = 3 ∙ 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 26 = 𝑙𝑜𝑔2 26.
Так как основание логарифма больше 1, то, очевидно, первое число меньше второго.
Ответ: первое число меньше второго.
Критерии оценивания заданий части 2
№
задания
П14
П15
П16
П17
П18
Критерии оценивания
Верно выделена часть функции
Верно найдено наименьшее значение выражения под корнем
Верно оценено наименьшее значение функции
Получен верный ответ
Проведены необходимые преобразования с применением
тригонометрических формул
Получены верные промежуточные значения
Верно решены простейшие тригонометрические уравнения
Получен верный ответ
Верно найдены абсолютные величины заданных векторов
Верно составлено неравенство
Верно решено неравенство
Получен и записан верный ответ
Записаны необходимые условия для решения данного
неравенства, правильно составлена система неравенств
Верно решены неравенства системы
Проведены сравнения значений конечных точек найденных
промежутков
Получен верный ответ
Верно записано условие задачи и выполнен чертеж по
условию задач
Верно найдены промежуточные элементы (дополнительные
элементы, необходимые для получения искомого элемента)
Грамотно и последовательно обоснованы этапы решения
Обоснованно получен верный ответ
6
Баллы
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Максималь
ный балл
4
4
4
4
1
1
1
4
1
1
П19
П20
Верно найдена абсцисса вершины параболы
Верно описаны необходимые свойства функции
Верно составлена и решена система неравенств
Получен верный ответ
Логарифмы приведены к одному основанию
Верно использованы свойства логарифмов
Верно проведены алгебраические преобразования и/или
вычисления
Обоснованно получен верный ответ
1
1
1
1
1
1
1
1
Ответы письменной работы по математике
Часть 1
№ задания
Ответ
№ задания
Ответ
Б1
D
Б8
B
Б2
A
Б9
D
Б3
E
Б10
B
Б4
Е
Б11
350 см2
Б5
C
Б12
150 с или 2,5 мин
Б6
E
Б13
10 мин, 12 мин
Б7
A
Часть 2
№ задания
П14
П15
П16
П17
П18
П19
П20
Ответ
[5; +∞)
𝜋
𝑘
(−1) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
−4 ≤ 𝑚 ≤ 4
𝑥 ∈ ( √6; 3)
3:4
а≥0
Первое число меньше второго
7
4
4