Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса средних общеобразовательных учреждений На тему «Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости» Цель урока: Образовательная: ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве; доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; дать определение перпендикулярности прямой и плоскости; доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. Развивающая: способствовать развитию памяти, внимания, мышления, наблюдательности учащихся; Воспитательная: способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы, формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи. Тип урока: усвоение новых знаний. Методы обучения: индуктивно-репродуктивный, дедуктивно-репродукивный. Требования к ЗУН: учащиеся должны знать: - определение перпендикулярных прямых в пространстве; - лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; - определение прямой перпендикулярной плоскости; - теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. учащиеся должны уметь: - находить перпендикулярные прямые в пространстве; - доказывать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; - доказывать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. - применять полученные знания в процессе решения задач. Литература: 1. Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 256 с. 2. Саакян С. М. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб. : Кн. для учителя / В. Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 222 с. 3. Саранцев Г.И. Методика обучения геометрии: учеб. Пособие для студентов вузов по направлению «Педагогическое образование» / Г.И. Саранцев. – Казань: Центр инновационных технологий, 2011. – 288 с. Структура урока: I. Организационный момент (2 мин.) II. Актуализация знаний (5 мин.) III. Изучение нового материала (22 мин.) IV. Закрепление изученного материала (12 мин.) V. Подведение итогов и Д/З (4 мин.) Ход урока I. Организационный момент Приветствие учащихся, проверка отсутствующих и готовности помещения к уроку. II. Актуализация знаний Учитель: Ребята, сегодня мы начинаем изучение второй главы, которая называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей». А тема сегодняшнего урока «Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости». Но прежде чем перейти к новой теме, давайте вспомним материал изученный ранее. Какие прямые, на плоскости, называются перпендикулярными? Ученик: Если две прямые пересекаются под прямым углом, то они перпендикулярны. Учитель: Верно. Посмотрите на куб ABCDA1B1C1D1. Запись на доске 300 Итак, нам дано ABCDA1B1C1D1 – куб, ∠DAB=300. Найдите: 1) угол между прямыми AB и A1D1; 2) угол между прямыми A1B1 и AD; 3) угол между прямыми AB и B1C1. 1-й ученик: Угол между прямыми AB и A1D1 равен углу между прямыми AB и AD и равен 300. 2-й ученик: Угол между прямыми A1B1 и AD равен углу между прямыми AB и AD и равен 300. 3-й ученик: Угол между прямыми AB и B1C1 равен углу между прямыми AB и BC и равен (3600 – 2*300)/2=1500 (т.к. ABCD – параллелограмм). Учитель: Все верно. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то …? Ученик: И другая прямая пересекает эту плоскость. III. Изучение нового материала Учитель: Какие три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве вы знаете? Ученик: Прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо скрещиваются. Учитель: Верно. Теперь приступим к изучению новой темы. Откройте свои рабочие тетради и запишите число, классная работа и тему сегодняшнего урока. Запись на доске (в тетрадях) Дата. Классная работа Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Учитель: Посмотрите, пожалуйста, еще раз на куб, изображенный на доске. Как называются прямые AB и BC? Запись на доске Ученик: Перпендикулярными. Учитель: Найдите угол между прямыми AA1 и DC, BB1 и AD. Ученик: Угол между прямыми AA1 и DC равен углу между прямыми BB1 и AD и равен 900. Учитель: Что из этого следует? Ученик: Прямая AA1 перпендикулярна прямой DC, а прямая BB1 перпендикулярна прямой AD. Учитель: Верно. Итак, две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. Запишите определение в тетрадь. Запись в тетрадях Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. Учитель: Перпендикулярность прямых a и b обозначается так: a⊥b. Запись на доске (в тетрадях) a⊥b – обозначение перпендикулярных прямых. Учитель: Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей. Запись в тетрадях Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой. Запись на доске (в тетрадях) Дано: a||b, а⊥с. Доказать: b⊥с. Доказательство: 1) Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС параллельные соответственно прямым a и с, то ∠AMC=90°. 2) По условию b||a, а по построению a||MA, поэтому b||MA. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым MA и MC, угол между ними равен 90°. Учитель: Что это означает? Ученик: Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, то есть b⊥с. Запись на доске (в тетрадях) Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, то есть b⊥с. Лемма доказана. Учитель: Рассмотрим модель куба ABCDA1B1C1D1. Запись на доске Учитель: Найдите угол между прямой AA1 и прямыми плоскости (ABC): AB, AD, AC, BD, MN. Ученик: Все эти углы прямые. Учитель: Следовательно, прямая AA1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ABC). Запишем определение прямой перпендикулярной плоскости. Запись в тетрадях Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Учитель: Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается так: а⊥α. Говорят также, что плоскость α перпендикулярна к прямой а. Запись в тетрадях а⊥α – обозначение перпендикулярности прямой и плоскости. Учитель: Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосивщийся столб линий электропередач стоит прямо, т.е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т.д. Докажем две теоремы в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. Первая теорема звучит так: «Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости». Запишите формулировку в тетрадь. Запись в тетрадях Теорема Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Запись на доске (в тетрадях) Дано: а||а1, а⊥α. Доказать: а1⊥x. Доказательство: 1) x⊂α, x – произвольная прямая. Из условия а⊥α следует (по определению перпендикулярности прямой и плоскости), что а⊥x; так как а1||а (по условию) и а⊥x, то (согласно лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой) а1⊥x. 2) Итак, прямая а перпендикулярна к произвольной прямой x, лежащей в плоскости α. А это означает, что а1⊥α. Теорема доказана. Учитель: Справедлива и обратная теорема: «Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны». Запишите формулировку в тетрадь. Запись в тетрадях Теорема Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Учитель: Доказательство этой теоремы разберите самостоятельно. VI. Закрепление изученного материала Учитель: А теперь давайте приступим к решению задач. Первая задача №117. В тетраэдре ABCD BC⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где M и N - середины ребер AB и AC. К доске вызывается ученик. Запись на доске (в тетрадях) Дано: DABC – тетраэдр; M∈AB: AM=BM; N∈AB: AN=NC; BC⊥AD. Доказать: AD⊥MN. Доказательство: 1) MN – средняя линия ∆ABC, следовательно MN||BC; 2) по лемме, так как BC⊥AD, то AD⊥MN. Учитель: Верно. Переходим к следующей задаче. №120. Через точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки к до вершины квадрата, если ОК=b. К доске вызывается ученик. Запись на доске (в тетрадях) Дано: ABCD – квадрат; AB=a; AC∩BD=O; OK⊥(ABC); ОК=b. Найти: AK, BK, CK, DK. Решение: 1) AK=BK=CK=DK следует из равенства ∆AOK, ∆BOK, ∆COK, ∆DOK равны по двум катетам (прямая OK перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, OK⊥OC и OK⊥BD); 2) 𝐴𝑂 = 𝑅 = 𝑎 √2 2 ; 3) Из ∆AOK: 𝐴𝐾 = √𝐾𝑂2 + 𝑂𝐴2 , 𝐴𝐾 = √𝑏 2 + 2𝑎2 4 = √4𝑏2 +2𝑎2 2 . Учитель: Верно. Переходим к следующей задаче. №116(а). Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите что: DC⊥B1C1 и AB⊥A1D1, если ∠BAD=900. К доске вызывается ученик. Запись на доске (в тетрадях) Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед; ∠BAD=900. Доказать: DC⊥B1C1 и AB⊥A1D1. Доказательство: 1) ∠BAD=900, следовательно, ABCD – прямоугольник; DC⊥CB; DC⊥CC1, значит DC⊥(C1CB), следовательно, DC⊥B1C1. 2) AB⊥AD; AB⊥AA1, следовательно, AB⊥ (AA1D), значит AB⊥A1D1. V. Подведение итогов и Д/З Учитель: Что нового вы узнали на сегодняшнем уроке? Ученики: Определение перпендикулярных прямых в пространстве, лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказали теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. Учитель: Сформулируйте определение перпендикулярных прямых в пространстве. Ученики: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. Учитель: Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Ученики: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой. Учитель: Сформулируйте теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. Ученики: 1) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 2) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Учитель: Все правильно. Откройте свои дневники и запишите домашнее задание. Домашнее задание п.15-16, вопросы 1,2 (стр. 54) №116(б), №118. Выставление отметок. Учитель: Урок окончен. Можете быть свободны.