1. Предметная комиссия ЕГЭ по математике в Алтайском крае

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Алтайская государственная педагогическая академия»
И.В. КИСЕЛЬНИКОВ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ В АЛТАЙСКОМ КРАЕ:
МЕТОДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
2013 ГОДА
Учебно-методическое пособие
Барнаул
2013
1
УДК 373.5.016:51
ББК 74.262.21-28
К443
Кисельников, И.В. ЕГЭ по математике в Алтайском крае: методический анализ результатов 2013 года : учебно-методическое пособие
/ И.В. Кисельников. – Барнаул : АлтГПА, 2013. – 94 с.
Рецензенты: доктор педагогических наук. профессор АлтГПА
Э.К. Брейтигам;
кандидат физико-математических наук, АлтГУ
С.В. Ленюк
В учебно-методическом пособии представлен анализ информации, полученной в период подготовки и проведения Единого государственного экзамена в Алтайском крае в 2013 году, а также методические рекомендации для учителей общеобразовательных учреждений
по устранению и предотвращению типичных ошибок и недочётов при
подготовке обучающихся к экзамену по математике в форме ЕГЭ.
Представленная информация предназначена для широкого круга
специалистов в сфере образования. Методические рекомендации ориентированы на учителей математики общеобразовательных учреждений, могут быть использованы учащимися старших классов при
изучении математики.
© Алтайская государственная педагогическая академия, 2013
© И.В. Кисельников, 2013
2
Введение
Прошедший в 2013 г. Единый государственный экзамен (ЕГЭ)
по математике выявил ряд тенденций в развитии математического образования в Алтайском крае. Выявление типичных погрешностей в математической деятельности участников экзамена, проектирование действий по их предупреждению являются актуальными задачами в
первую очередь, для учреждений общего образования.
Предлагаемый вниманию читателей отчёт содержит анализ информации, полученной в период подготовки и проведения Единого
государственного экзамена в Алтайском крае в 2013 году, а также методические рекомендации для учителей общеобразовательных школ
по устранению и предотвращению типичных ошибок и недочётов при
подготовке обучающихся к экзамену по математике в форме ЕГЭ. В
данной публикации использованы материалы, накопленные в ходе работы Алтайской краевой предметной комиссии ЕГЭ по математике. В
подготовке отчёта наиболее активное участие приняли эксперты
Л.М. Бронникова (Алтайская государственная педагогическая академия), Г.В. Терновая (АКИПКРО).
Содержащаяся в отчёте информация предназначена для широкого круга специалистов в сфере образования. Методические рекомендации в первую очередь ориентированы на учителей математики общеобразовательных учреждений, могут быть использованы учащимися
старших классов при изучении математики.
Статистическая информация предоставлена сотрудниками Регионального центра обработки информации Единого государственного
экзамена в Алтайском крае.
3
1. Предметная комиссия ЕГЭ по математике в Алтайском
крае
Одной из важнейших составляющих процедуры ЕГЭ является
оценивание экзаменационных работ участников экзамена, осуществляемое региональными предметными комиссиями ЕГЭ (далее– РПК) по
проверке заданий с развернутыми ответами. От результатов работы
РПК в огромной степени зависит обеспечение принципов справедливого оценивания. Именно поэтому представляется крайне важным добиться максимальной согласованности в подходах к оцениванию экзаменационных работ, минимизировать вероятность несправедливого
оценивания.
В соответствии с действующей процедурой ЕГЭ оценивание работ происходит во время проверки работ (первая, вторая, третья проверки). Кроме того, итоговая оценка может измениться в процессе рассмотрения апелляций на результаты оценивания, т.е. в процессе работы региональной конфликтной комиссии (РКК). Таким образом, любые механизмы совершенствования работы РПК должны быть направлены на оптимизацию всего комплекса процедур, включая рассмотрение апелляций.
Состав предметной комиссии (подкомиссии) ГЭК по математике утверждён приказом Управления Алтайского края по образованию
и делам молодежи и насчитывает 103 человека, включая председателя
комиссии (кандидат педагогических наук, доцент Алтайской государственной педагогической академии И.В. Кисельников), заместителей
председателя (кандидат педагогических наук, доцент, заместитель директора института физико-математического образования Алтайской
государственной педагогической академии Л.М. Бронникова, старший
преподаватель АКИПКРО Г.В. Терновая).
Председатель предметной комиссии и его заместитель
(Г.В. Терновая) приняли участие в работе II научно-практической
конференции «Роль экспертного сообщества в формировании общероссийской системы оценки качества образования и вопросы совершенствования контрольных измерительных материалов» 22-25 октября
2012 года. Организаторами конференции явились федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Федеральный институт
педагогических измерений»; автономная некоммерческая организация
«Национальное агентство тестовых технологий»; государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального
образования г. Москвы «Московский институт открытого образова4
ния». Конференция проводилась при поддержке Федеральной службы
по надзору в сфере образования и науки. Обсуждённые на конференции проблемы совершенствования системы оценки качества образования и пути их решения привели к обновлению содержания мероприятий по повышению квалификации экспертов и учителей математики
образовательных учреждений.
Председатель предметной комиссии и его заместители приняли
участие в ряде проводимых в Алтайском крае мероприятий, направленных на решение задач совершенствования системы оценки качества
математического образования, в том числе следующих:
 Августовская педагогическая конференция «Проект модернизации системы образования Алтайского края как средство развития
муниципальной системы образования в контексте стратегических ориентиров национальной образовательной инициативы «Наша новая
школа»» (Организазаторы: Администрация г. Заринска Алтайского
края, отдел образования г. Заринск, форма участия: выступление с докладом, период проведения: август 2012);
 III научно-практическая конференция краевых профессиональных объединений педагогов «Задачи и перспективы развития
краевых профессиональных объединений педагогов в условиях модернизации образования»;
 Вебинары «Подготовка к ЕГЭ-2013» на базе ФГБОУ ВПО
«Алтайская государственная педагогическая академия» 7, 8 февраля
2013 г, 29 марта 2013 г.;
 Курсы повышения квалификации педагогических работников
государственных и муниципальных образовательных учреждений на
базах ФГБОУ ВПО «Алтайская государственная педагогическая академия», АКИПКРО (сентябрь 2012 г. -март 2013 г.);
 Заседания краевого научно-методического семинара учителей
математики «Актуальные проблемы математического образования в
современной школе» (руководитель: И.М. Шапиро- к.п.н., профессор
Института физико-математического образования ФГБОУ ВПО «Алтайская государственная педагогическая академия»)
К экспертам, привлекаемым для работы в составе предметной
комиссии по математике, предъявлялись требования: наличие высшего
профессионального образования, достаточного опыта работы в системе образования, повышения квалификации по вопросам оценивания
экзаменационных работ участников ЕГЭ, положительные результаты
испытаний, проводимых по единым измерительным материалам, и
единым требованиям к процедуре оценки; отсутствие отрицательной
статистики по проверке.
5
В состав комиссии включены опытные учителя общеобразовательных учреждений и учреждения НПО (46 человек), преподаватели
вузов (54 человека).
Стабильность состава экспертного корпуса обусловила специфику подготовки, повышения уровня профессиональной компетенции
экспертов. Необходимость ежегодного обучения экспертов вызвана
рядом причин, основными среди которых являются:
1) изменения в структуре и содержании ЕГЭ по математике (в
части С расширена тематика заданий);
2) содержательное совершенствование критериев оценивания
заданий части С, требующих развёрнутых ответов от участников экзамена;
3) необходимость учёта опыта работы экспертов в предыдущие
годы, обобщения позитивного опыта работы экспертов РПК Алтайского края и других регионов;
4) целесообразность детального анализа результатов выполнения учащимися экзаменационной работы в предыдущем году с целью
определения предупреждающих и корректирующих мероприятий по
преодолению типичных ошибок участников экзамена.
Для подготовки экспертов предметной комиссии по математике
применялся прототип интернет-системы дистанционной подготовки
экспертов (далее по тексту – Прототип), по материалам, разработанным Федеральным институтом педагогических измерений (г. Москва).
Основной целью подготовки явилось: формирование и развитие профессиональной компетентности специалистов в области проверки и
оценки выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных
работ ЕГЭ. Прототип позволяет автоматизировано решать следующие
виды задач:
 проведение дистанционной подготовки с использованием
заранее подготовленной информации о составе участников и учебных
материалов;
 обеспечение авторизации участников;
 контроль над ходом проведения дистанционной подготовки;
 подготовка информации о результатах дистанционной
подготовки.
Обучение экспертов приёмам оценивания ответов учащихся),
включая знакомство с критериями оценивания, прохождение
различных тренингов по оцениванию ответов учащихся, сравнение с
эталонными оценками осуществлено в феврале-апреле 2013 г.
6
Для обеспечения результативности, эффективности и гибкости
процесса оценивания на основном этапе проведения ЕГЭ по
математике было проведено инструктивное занятие в первый день
проверки экзаменационных работ, которое решало следующие
учебные задачи:
 способствовать формированию у экспертов знаний о содержании нормативных документов, регламентирующих разработку контрольных измерительных материалов ЕГЭ, процедуру проверки и
оценки ответов выпускников на задания с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ по математике;
 актуализировать умения экспертов: работать с инструкциями,
регламентирующими процедуру проверки и оценки ответов выпускников на задания с развернутым ответом; проверять и объективно оценивать ответы выпускников на задания с развернутым ответом; вести рабочую документацию эксперта.
В ходе инструктивного занятия проходил обмен мнениями экспертов по проблемам оценивания экзаменационных работ ЕГЭ, способствовавший выработке единых подходов к проверке и оцениванию
решений задач с развёрнутым ответом, достижению однозначности
толкования требований критериев оценивания, предотвращению разночтений при проверке решений, осуществлённых неотражёнными в
критериях оценивания способами.
Организация управления предметной комиссией осуществлялась председателем и его заместителями. Председателем комиссии
И.В. Кисельниковым выполнялась работа по уточнению состава комиссии, организации дистанционного обучения экспертов ЕГЭ и подготовке методических материалов к ней, составлению ведомостей, связи с РЦОИ, связи с Главным управлением образования и молодёжной
политики Алтайского края, связи с преподавателями вузов-экспертами
ЕГЭ, подготовке итогового отчёта о работе.
Заместитель председателя предметной комиссии Л.М. Бронникова участвовала в организации учёбы экспертов; во взаимодействии с
РЦОИ, связи с Главным управлением образования и молодёжной политики Алтайского края, анализе результатов ЕГЭ.
Заместитель председателя предметной комиссии Г.В. Терновая
организовывала взаимодействие с АКИПКРО, связь с муниципальными органами управления образованием; участвовала в организации
учёбы экспертов; принимала участие во взаимодействии с РЦОИ, анализе результатов ЕГЭ.
7
Работа комиссии на основном этапе ЕГЭ организовывалась 4-5
июня (день сдачи ЕГЭ по математике – 3 июня). На проверку явились
все приглашённые эксперты-члены предметной комиссии ГЭК по математике. Из 87 участников проверки 43– преподаватели вузов (из которых 19– преподаватели Алтайской государственной педагогической
академии, 12– Алтайского государственного университета, 8– Алтайского государственного технического университета, 4– Алтайского
государственного аграрного университета), 44– учителя математики
общеобразовательных учреждений.
Перед проведением третьей проверки экзаменационных работ
председателем предметной комиссии был проведён инструктаж, основной задачей которого являлась выработка согласованных подходов
к оцениванию «нестандартных» решений участников экзамена, разрешение спорных ситуаций оценивания работ участников экзамена.
2. Обеспеченность нормативной и методической документацией по организации деятельности предметной комиссии
На федеральном уровне все нормативные и методические материалы, связанные с ЕГЭ, располагаются на сайте Федерального института педагогических измерений http://www.fipi.ru.
Для слаженной работы всех членов комиссии и отработки единых подходов к оцениванию творческих работ учащихся предназначены рекомендуемые экспертам учебно-методические материалы для
председателей и членов региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных
работ ЕГЭ 2013 года «Методические рекомендации по оцениванию
выполнения заданий единого государственного экзамена с развёрнутым ответом: Математика», разработанных Федеральным институтом
педагогических измерений. Использование указанных материалов
может способствовать: пониманию концептуальной основы ЕГЭ 2013; обеспечению единства принципов и согласованности действий
при оценивании экзаменационных работ выпускников школы по математике; уяснению и осмыслению критериев оценивания заданий с развернутым ответом; обеспечению максимальной однородности результатов проверки; совершенствованию методики подготовки экспертов
ЕГЭ.
Для обеспечения работы предметной комиссии по математике в
день проведения экзамена на основном этапе ЕГЭ председателем
предметной комиссии, его заместителями с привлечением опытных
8
экспертов предметной комиссии были детально проанализированы
критерии оценивания экзаменационных работ и подготовлены оригинал-макеты методических материалов для осуществления оценочной
деятельности каждого эксперта. Подготовленные методические материалы позволили исключить дублирование информации, способствовали созданию комфортных условий для результативной работы экспертов, что явилось одним из факторов повышения качества оценивания работ участников экзамена.
С целью выявления типичных погрешностей участников экзамена при решении задач второй части экзаменационной работы были
разработаны задания и рекомендации для экспертов по осуществлению
анализа работ участников экзамена, подготовки выводов по осуществлению предупреждающих и корректирующих действий. Результаты
такого рода аналитической деятельности экспертов нашли отражения в
настоящем отчёте.
3. Взаимодействие с Главным управлением образования и
молодёжной политики Алтайского края и РЦОИ ЕГЭ
В течение года основные вопросы и проблемы ЕГЭ оперативно
решаются совместно с Главным управлением образования и молодёжной политики Алтайского края. Взаимодействие со специалистами, занимающимися вопросами ЕГЭ, позволяет своевременно решать возникающие проблемы, получать от них компетентные разъяснения и рекомендации по осуществлению деятельности, необходимую административную и методическую поддержку.
Отлаженное взаимодействие с отделом дошкольного и общего
образования Главного управления образования и молодёжной политики Алтайского края (начальник отдела - Дроздова Ирина Николаевна)
позволило оперативно решать организационно-методические вопросы,
актуальные в текущем году и касающиеся подготовки экспертов предметной комиссии, планирования и сопровождения на всех этапах деятельности членов предметной комиссии. Организованной работе
предметной комиссии способствовало чёткая постановка задач на проведённых в Главном управлении образования и молодёжной политики
Алтайского края рабочих совещаниях 21.03.2013, 24.05.2013.
19 апреля 2013 г. Главным управлением образования и молодёжной политики Алтайского края согласно приказу Заместителя Губернатора Алтайского края, начальника Главного управления №1219
от 19.03.2013 г. было организовано проведение репетиционного ЕГЭ
по математике в Алтайском крае. Проведение репетиционного экзаме9
на выступает фактором положительного влияния на качество подготовки выпускников образовательных учреждений по математике,
обеспечивает подготовку предметной комиссии к работе в условиях
ЕГЭ.
Следует отметить также хорошо организованную и чёткую деятельность Регионального центра по обработке информации Единого
государственного экзамена, что особенно важно при проведении процедуры проверки экзаменационных работ выпускников. Сотрудники
центра своевременно готовят и предоставляют в распоряжение предметной комиссии необходимую статистическую информацию по результатам ЕГЭ по математики, оперативно обрабатывают предоставляемую информацию. Заседания предметной комиссии проходили в обстановке взаимопонимания со стороны РЦОИ и представителей
Управления Алтайского края по образованию и делам молодёжи.
Заседания конфликтной комиссии проходили в обстановке доброжелательности по отношению к лицам, подавшим апелляции, при
взаимопонимании экспертов предметной комиссии, представителей
Главного управления образования и молодёжной политики Алтайского
края, образовательных учреждений Алтайского края.
Характеризуя взаимодействие с Главным управлением образования и молодёжной политики Алтайского края и РЦОИ ЕГЭ в целом,
следует отметить результативность, эффективность и гибкость в осуществлении процессов нормативного, организационного, технологического и методического обеспечения процедур, связанных с ЕГЭ по
математике.
4. Характеристика участников ЕГЭ по математике 2013 года
Единый государственный экзамен математике в 2013 году проводился во всех образовательных учреждениях Алтайского края.
В составе участников основного этапа ЕГЭ-2013 были1:
 выпускники
общеобразовательного
учреждения
–
12529(13888);
 выпускники учреждения начального профессионального
образования – 66(101);
 выпускники
учреждения
среднего
профессионального
образования – 171(233);
Здесь и далее по тексту в скобках для сравнения указаны соответствующие данные ЕГЭ-2012
1
10
 выпускники прошлых лет (не включая демобилизованных и не
прошедших ГИА) – 163(102);
 демобилизованные – 29(5);
 выпускники прошлых лет, не прошедшие ГИА– 25(10).
 прочие категории – 3(15).
Таблица 1
Соотношение числа сдававших ЕГЭ по математике и количества выполненных проверок
Год
Число участников
Количество
Доля провеЕГЭ по математике
выполненных
рок в перепроверок часчёте на одсти С, работ
ного участника экзамена С, %
Основной этап
2010
16409
19694
120,0%
2011
11794
15862
134,5%
2012
14374
18371
127,8%
2013
12529
16068
128,2%
Дополнительный этап
2010
429
377
87,9%
2011
461
408
88,5%
2012
459
341
74,3%
2013
438
303
69,2%
Данные таблицы 1 демонстрируют снижение количества выпускников образовательных учреждений в 2013 г. по сравнению с
предыдущим годом.
Анализируя данные таблицы 1, можно сделать вывод о стабилизации доли участников экзамена, приступивших к выполнению задач
части С на основном этапе ЕГЭ и снижении этого показателя на дополнительном этапе (69,2% в 2013 г. по сравнению с 74,3% в прошлом
году).
Распределение участников экзамена по типу учебного заведения
и количество баллов показаны в таблице 2.
11
Таблица 2
Распределение участников экзамена по типу учебного заведения
Не пре- Не преСредодолели
одолеУчастниний
Тип ОУ
минили миков
балл
мум
нимум
по ОУ
(чел.)
(%)
Средняя общеобразовательная школа
8975
46,01
215
2,4
Средняя общеобразовательная школа с
углубленным изучением отдельных предметов
456
55,38
1
0,2
Гимназия
1396
55,33
5
0,4
Лицей
1183
53,6
9
0,8
Лицей-интернат
135
63,56
0
0
Кадетская школаинтернат
56
50,59
0
0
Общеобразовательная
школа-интернат с первоначальной летной
подготовкой
93
49
0
0
Специальная (коррекционная) общеобразовательная школа
4
44
0
0
Специальная (коррекционная) школаинтернат
7
44
0
0
Вечерняя (сменная)
общеобразовательная
школа
39
33,87
7
17,9
Открытая (сменная)
общеобразовательная
школа
145
33,62
11
7,6
Техникум
40
40,4
0
0
12529
48,14
248
2
(14374)
(43,39)
(495)
(3,44)
По Алтайскому краю
12
По сравнению с 2012 годом значительно уменьшилась доля
участников экзамена, не набравших минимальный балл с 3,44% (в
2012 г.) до 2% (в 2013 г.). Произошло заметное увеличение среднего
балла по сравнению с прошлым годом с 43,39% в 2012 г. до 48,14% в
нынешнем 2013 г. При этом следует учитывать следующие факторы
(1-4), оказавшие влияние на положительную динамику результатов.
1. Отсутствие существенных изменений в содержании ЕГЭ2013 по сравнению с прошлогодним. Стабилизация содержания экзаменационной работы способствовала осуществлению планомерной подготовке участников экзамена. Результативными оказались рекомендации, сформулированные на основе результатов прошлогоднего экзамена. Незначительные изменения экзаменационной работы носили локальный характер и не оказывали существенного влияние на результаты выполнения экзаменационной работы в целом.
2. Расширение опыта планирования и осуществления корректирующих действий по результатам ГИА-2011, в которой принимало
участие подавляющее большинство участников нынешнего ЕГЭ-2013.
3. Проведение пробного ЕГЭ по математике в апреле 2013 г.
Применяемые в практике пробного ЕГЭ контрольные измерительные
материалы учитывали современное состояние математической подготовки школьников, тенденции совершенствования образовательного
оценивания.
4. «Утечка информации» в средствах массовой информации о
содержании контрольных измерительных материалов ЕГЭ-2013.
Важнейшим фактором, не позволившим добиться более высоких результатов ЕГЭ, по-прежнему остаётся следующий. Существенные недостатки в математической подготовке учащихся. Анализ
выполнения участниками экзамена решений задач свидетельствует о
следующих проблемах:
 имеет место негативная тенденция, связанная с недостаточной
отработкой обязательных результатов обучения: ошибки в выполнении
несложных арифметических операций; незнание формул сокращённого умножения; ошибки в применении свойств числовых неравенств;
незнание основных свойств логарифмов и формул решения простейших тригонометрических уравнений и др.;
 недостаточны усилия по преодолению формализма в освоении
теоретического содержания математических курсов и как следствие –
проблемы у учащихся в применении изученного в ситуациях, отличающихся от стандартных;
 проявляется отсутствие навыков «чтения» задачи, работы с
условием задачи: отсюда много ошибок, связанных с потерей данных
13
условия, изменение условия задачи в процессе решения; это приводит
к большому числу ошибок при решении «сюжетных задач» даже в
группе В, не говоря уже о подобных ошибках при решении задач
группы С;
 низкий уровень вычислительной культуры у многих учащихся,
проявляется слабое владение приёмами тождественных преобразований математических выражений и отсутствие навыков самоконтроля;
 отмечается, что при решении задач выпускники зачастую рассматривают только один из возможных случаев решения (задание С4),
то есть отсутствует полнота решения задачи.
Таблица 3
Средний балл и распределение оценок ЕГЭ по ОУ
Код
АТЕ
/ОУ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Район
Алейский
район
Алтайский
район
Баевский район
Бийский район
Благовещенский район
Бурлинский
район
Быстроистокский район
Волчихинский район
Егорьевский
район
Ельцовский
район
Завьяловский
район
Залесовский
Число
участников
Средний
балл
Мин.
балл
Мак
с.
балл
Не
преодолели
(чел.)
Не преодолели минимум
(%)
115
44,02
5
70
4
3,5
89
48,26
24
79
0
0
74
39,84
15
81
1
1,4
144
39,86
0
83
4
2,8
137
44,35
24
94
0
0
76
41,74
24
72
0
0
66
43,76
5
72
2
3
95
41,14
24
79
0
0
59
42,01
24
77
0
0
45
51,18
24
70
0
0
147
33
51,69
57,76
0
10
77
70
3
1
2
3
14
Код
АТЕ
/ОУ
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Район
район
Змеиногорский район
Заринский
район
Зональный
район
Калманский
район
Каменский
район
Ключевский
район
Косихинский
район
Красногорский район
Краснощековский район
Крутихинский
район
Кулундинский район
Курьинский
район
Кытмановский район
Локтевский
район
Мамонтовский район
Михайловский район
Немецкий
национальный
район
Число
участников
Средний
балл
Мин.
балл
Мак
с.
балл
Не
преодолели
(чел.)
Не преодолели минимум
(%)
140
48,55
5
85
1
0,7
96
48,05
20
66
2
2,1
82
47,24
20
79
1
1,2
76
49,28
28
85
0
0
82
55,55
20
72
1
1,2
92
45,09
5
81
2
2,2
56
55,46
5
77
1
1,8
111
51,78
10
90
1
0,9
123
44,84
0
77
1
0,8
73
44,02
24
90
0
0
151
48,26
24
74
0
0
57
39,84
24
70
0
0
81
39,86
24
74
0
0
177
44,35
5
87
9
5,1
136
41,74
5
81
10
7,4
129
43,76
10
72
2
1,6
117
41,14
0
83
10
8,5
15
Код
АТЕ
/ОУ
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
41
42
43
44
45
46
47
Район
Новичихинский район
Павловский
район
Панкрушихинский район
Первомайский
район
Петропавловский район
Поспелихинский район
Ребрихинский
район
Родинский
район
Романовский
район
Рубцовский
район
городской
округ ЗАТО
Сибирский
Смоленский
район
Советский
район
Солонешенский район
Солтонский
район
Суетский
район
Табунский
район
Число
участников
Средний
балл
Мин.
балл
Мак
с.
балл
Не
преодолели
(чел.)
Не преодолели минимум
(%)
66
42,01
0
72
3
4,5
204
51,18
0
85
28
13,7
75
51,69
24
74
0
0
177
57,76
15
87
2
1,1
80
48,55
24
74
0
0
151
48,05
5
87
4
2,6
116
47,24
24
77
0
0
120
49,28
0
70
3
2,5
59
55,55
24
81
0
0
83
45,09
24
72
0
0
73
55,46
24
92
0
0
130
51,78
5
70
4
3,1
113
44,84
24
74
0
0
69
44,02
24
85
0
0
47
48,26
28
77
0
0
54
39,84
20
70
1
1,9
57
39,86
28
70
0
0
16
Код
АТЕ
/ОУ
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
Район
Тальменский
район
Тогульский
район
Топчихинский район
Третьяковский район
Троицкий
район
Тюменцевский район
Угловский
район
УстьКалманский
район
УстьПристанский
район
Хабарский
район
Целинный
район
Чарышский
район
Шипуновский
район
Шелаболихинский район
г. Алейск
г. Барнаул
г. Белокуриха
г. Бийск
Число
участников
Средний
балл
177
44,35
59
Мак
с.
балл
Не
преодолели
(чел.)
Не преодолели минимум
(%)
15
83
2
1,1
41,74
5
70
5
8,5
111
43,76
10
87
7
6,3
71
41,14
10
74
6
8,5
123
42,01
0
74
4
3,3
81
51,18
5
68
2
2,5
106
51,69
24
77
0
0
77
57,76
24
68
0
0
80
48,55
5
63
4
5
104
48,05
0
92
6
5,8
96
47,24
20
74
1
1
102
49,28
24
70
0
0
189
55,55
0
90
5
2,6
87
165
3159
82
891
45,09
55,46
51,78
44,84
44,02
5
0
0
20
0
83
81
100
81
96
4
2
30
1
37
4,6
1,2
0,9
1,2
4,2
17
Мин.
балл
Код
АТЕ
/ОУ
Район
г. Заринск
г. Камень-на68 Оби
г. Новоал69 тайск
70 г. Рубцовск
71 г. Славгород
72 г. Яровое
81 Краевые ОУ
Негосудар82 ственные ОУ
В среднем по Алтайскому краю
67
Число
участников
Средний
балл
Мин.
балл
Мак
с.
балл
Не
преодолели
(чел.)
Не преодолели минимум
(%)
239
48,26
0
96
4
1,7
216
39,84
0
98
10
4,6
321
619
199
76
528
39,86
44,35
41,74
43,76
41,14
5
5
5
10
24
87
100
85
90
100
2
11
3
1
0
0,6
1,8
1,5
1,3
0
38
12529
42,01
48,14
24
0
81
100
0
248
0
2
5. Основные результаты экзамена по математике 2013 года
Основные результаты экзамена в сравнении за последние годы
представлены в таблице 4. В 2013 г. продемонстрированы самые высокие за последние 4 года показатели среднего балла и максимального
результата; самый низкий процент участников, не преодолевших минимального порогового значения.
Таблица 4
Результаты ЕГЭ 2013 года по математике
Год
Кол-во
Средний
Макс. балл Не преодолели
участников
балл
минимум (%)
2010
16409
41,89
100
7,89
2011
11794
45,26
98
3,05
2012
14374
43,39
98
3,44
2013
12529
48,14
100
2
Ниже в таблице 5 и наглядно на рис. 1 представлено распределение участников ЕГЭ 2012 года по тестовым баллам.
18
Таблица 5
Распределение участников ЕГЭ 2013 года (математика) по
полученным тестовым баллам
Шаг
Балл
Количество участников
1
000
26
1
005
50
1
010
57
1
015
52
1
020
63
1
024
674
1
028
817
1
032
928
1
036
1085
1
040
1048
1
044
963
1
048
988
1
052
963
1
056
1093
1
060
1224
1
063
593
1
066
528
1
068
309
1
070
236
1
072
185
1
074
115
1
077
114
1
079
88
1
081
66
1
083
54
1
085
58
1
087
41
1
090
31
1
092
27
1
094
20
1
096
14
1
098
11
19
Шаг
1
Балл
100
Количество участников
8
Рис. 1. Распределение числа участников по полученным тестовым баллам
6. Результаты выполнения заданий по основным содержательным разделам учебного предмета «Математика»
Экзаменационная работа по математике состоит из двух частей,
которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.
Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:
– часть 1 содержит задания с кратким ответом;
– часть 2 содержит задания с развернутым ответом.
Задания с кратким ответом части 1 экзаменационной работы
предназначены для определения математических компетентностей выпускников образовательных учреждений, реализующих программы
среднего (полного) общего образования на базовом уровне.
Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ зафиксирован в бланке ответов №1 в той форме, которая
предусмотрена инструкцией по выполнению задания. Ответом на задания части 1 является целое число или конечная десятичная дробь.
Часть 2 включает 6 заданий с развернутым ответом, в числе которых 4 задания повышенного и 2 задания высокого уровня сложности, предназначенные для более точной дифференциации абитуриентов вузов. При выполнении заданий с развернутым ответом части 2 эк-
20
заменационной работы в бланке ответов № 2 должно быть записано
полное обоснованное решение и ответ для каждой задачи.
Распределение заданий по основным содержательным разделам
учебного предмета «Математика» представлено в таблице 6.
Таблица 6
Распределение заданий по основным содержательным разделам
учебного предмета «Математика»
Содержательные
ЧисПроцент максимальНомера заразделы
ло
ного первичного балданий
зала за задания данного
дараздела от максиний
мального первичного
балла за всю работу,
равного 32
Алгебра
4
21,9%
B1, B4, B7,
C6
Уравнения и нера5
34,5%
B5,
B12,
венства
B13, C1, C3
Функции
2
6,2%
B2, C5
Начала математи2
6,2%
B8, B14
ческого анализа
Геометрия
6
28,1%
B3, B6, B9,
B11, C2, C4
Элементы комбина1
3,1%
B10
торики, статистики
и теории вероятностей
Итого:
20
100%
Таким образом, содержание экзаменационной работы охватывает учебный материал всех разделов образовательной области «Математика».
Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность достаточно полно проверить комплекс умений по предмету:
• уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;
• уметь выполнять вычисления и преобразования;
• уметь решать уравнения и неравенства;
• уметь выполнять действия с функциями;
21
№
В1
Уметь использовать приобретенные знания
и умения в практической деятельности и Проверяемые умения
повседневной жизни
Рациональные числа
Проверяемые элементы содержания
• уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами;
• уметь строить и исследовать математические модели.
Таблица 6 может служить основой для составления программы
факультатива в 10-11 классах по подготовке к ЕГЭ по математике или
программы подготовительных курсов в условиях довузовской подготовки.
Таблица 7
Результаты освоения разделов учебного предмета «Математика» (Часть В)
Характер задания
Факт
1 киловатт-час электроэнергии стоит 2
рубля 40 копеек. Счётчик электроэнергии 1 октября показывал 70301
киловатт-час, а 1 ноября показывал
70477 киловатт-часов. Какую сумму
нужно заплатить за электроэнергию за
октябрь? Ответ дайте в рублях.
86,34
%
22
Площадь треугольника, параллелограмма, трапе- График функции. Примеры функциональных зависиции, круга, сектора
мостей в реальных процессах и явлениях
В3
Уметь выполнять действия с геометрическими фи- Уметь использовать приобретенные знания и умения в
гурами, координатами и векторами
практической деятельности и повседневной жизни
В2
На диаграмме показано распределение
выплавки алюминия в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди
представленных стран первое место
по объёму выплавки занимал Бахрейн,
десятое место – Новая Зеландия. Какое место среди представленных
стран занимала Аргентина?
96,17
%
Найдите площадь параллелограмма,
изображённого на рисунке.
85,71
%
23
Преобразования выражений, включающих арифметические операции
Найдите
корень
log 2  3x  13  8 .
Уравнения
В5
Уметь решать уравнения и неравен- Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической
ства
деятельности и повседневной жизни
В4
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок. Либо
скидку 20% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 30% на звонки в другие регионы, либо скидку 15% на
услуги мобильного интернета. Клиент
посмотрел распечатку своих звонков и
выяснил, что за месяц он потратил 365
рублей на звонки абонентам других
компаний в своём регионе, 250 рублей
на звонки в другие регионы и 480
рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем
месяце затраты будут такими же, и,
исходя из этого, выбирает наиболее
выгодную для себя скидку. Сколько
рублей составит эта скидка, если
звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем объёме?
24
уравнения
76,07
%
82,94
%
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
Треугольник
Синус, косинус, тангенс и котангенс числа
В7
Уметь выполнять вычисления и преобразования
В6
В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол C равен 970, угол CAD равен 80. Найдите угол B. Ответ дайте в
градусах.
84,25
%
Найдите
значение
 12 tg 20  tg 70  7 .
0
25
0
выражения
70,00
%
Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в Понятие о производной функции, геометрический смысл
параллелепипеде
производной
В9
Уметь выполнять действия с геометрическиУметь выполнять действия с функциями
ми фигурами, координатами и векторами
В8
На рисунке изображены график функции
y  f (x)
и касательная к нему
x0 . Найдите значение производной функции f (x ) в
в точке с абсциссой
точке
x0 .
53,25
%
Высота конуса равна 16, а длина образующей равна 34. Найдите диаметр
основания конуса.
77,36
%
26
Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, Примеры использования вероятностей и статипирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
стики при решении прикладных задач
В11
Уметь выполнять действия с геометрическими Уметь строить и исследовать простейшие матефигурами, координатами и векторами
матические модели
В10
В сборнике билетов по математике
всего 30 билетов, в 9 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите
вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по неравенствам.
80,52
%
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A,
B, C, A1 правильной треугольной
призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро
равно 6.
50,93
%
27
Уметь строить и
исследовать
Уметь выполнять действия с функциУметь использовать приобретенные знания и умения
простейшие маями
в практической деятельности и повседневной жизни
тематические
Применение производной к исследо- модели
Уравнения
Применение математических методов для решения
ванию функций и
содержательных задач из различных областей науки и
построению графиков
практики. Интерпретация результата, учет реальных
ограничений
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся
в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником,
не совпадает с частотой исходного
сигнала
f 0  170 Гц и определяется
следующим
В12
f  f0 
cu
cv
выражением:
(Гц), где c – ско-
56,06
%
рость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 13 м/с и v = 8 м/с –
скорости приёмника и источника относительно среды соответственно.
При какой максимальной скорости c
(в м/с) распространения сигнала в
среде частота сигнала в приёмнике f
будет не менее 175 Гц?
В13
Десять одинаковых рубашек дешевле
куртки на 8%. На сколько процентов
пятнадцать таких же рубашек дороже
куртки?
56,59
%
Найдите наименьшее значение функ-
В14
ции
y  6 cos x  13 x  8
 3 
резке 0;
.
 2 
28
на от-
58,64
%
Анализ данных, представленных в таблице 7, позволяет сделать
ряд следующих выводов.
1. Положительным результатом экзамена традиционно является овладение значительной частью (96,17% – при решении задачи В2)
выпускников школ базовыми умениями использовать приобретённые
знания из курса алгебры и начал математического анализа в практической деятельности и повседневной жизни, что несколько превышает
планируемые показатели.
2. Показатели выше среднего (в пределах нормы) учащиеся
продемонстрировали при выполнении на базовом уровне действий с
геометрическими фигурами (в частности, при нахождении площади
параллелограмма – 85,71% – задача В3; нахождении угла в треугольнике – 84,25% – задача В6), при решении простейших логарифмических уравнений (82,94% – задача В5), при выяснении вероятности случайного события (80,52% – задача В10).
3. В пределах нормы показатели умения вычислять значение
тригонометрического выражения с использованием формул приведения (70% – задача В7), преобразовывать выражения, включающие
арифметические операции (76,07% – задача В4).
4. Показателей ниже нормы умений, проверяемых базовой частью, в 2013 году нет. Находившиеся ниже нормы в 2012 году показатели усвоения умения вычисления объемов многогранников и тел
вращения повысились с 29,00% до 50,93% (задача В11). Показатели
усвоения умения применять производную к исследованию функции
повысились с 34,48% до 58,64% (задача В14); показатели усвоения
умения строить и исследовать простейшие математические модели
(сюжетная задача В13) повысились с 38,20% до 56,59%; показатели
усвоения умения использовать при решении задач геометрический
смысл производной повысились с 45,60% до 53,25% (задача В8).
5. О некоторых проблемах качества математической подготовки учащихся свидетельствуют результаты, полученные при решении
задач, нацеленных на проверку умений:
 выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами (проверяемое при решении задачи на нахождение
объёма), к примеру, 15% участников экзамена при решении задачи B11
неверно указали в качестве ответа число 30, по-видимому, остановившись в ходе решения на вычислении объёма заданной призмы, не искомой пирамиды;
 выполнять действия с функциями (проверяемое при решении
задач на использование геометрического смысла производной при ре-
29
шении задач), к примеру, более 5% участников экзамена не решали задачу B8;
 строить и исследовать простейшие математические модели
(проверяемое на содержании сюжетной задачи, приводящей к составлению и решению уравнения);
 применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики;
 применять производную к нахождению наибольшего (или
наименьшего) значения функции, заданной на отрезке, к примеру, задачу В14 не решало более 16% участников экзамена.
Анализ веера ответов (для варианта 301 контрольного измерительного материала см. рис. 2), предложенных участниками экзамена,
показывает наличие определённых проблем при решении отдельных
задач (в частности, В1, B4, B5, B8, B12, B13), поскольку наличие
большого количества вариантов ответов может свидетельствовать, в
частности, о неустойчивости понимания учащимися соответствующего
учебного материала. Проявляется статистическая зависимость между
рядом количества вариантов ответов на задачи типа В и рядом количества не приступавших к решению таких задач (в частности, для варианта 301 коэффициент корреляции между этими данными равен 0,42).
Количество вариантов ответов,
предъявленных участниками
ЕГЭ-2013
150
100
125
60 67
65
36
50
70
38 46
44
31
49
61
38
7
0
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 В14
Рис. 2
30
С1
С2
урав- Проверяемые
элементы содержания
Сечение многогранника плоскостью. Площадь Тригонометрические
сечения
нения
№
Уметь выполнять действия с геометрическими Уметь решать уравнения и Проверяемые
фигурами, координатами и векторами
неравенства
умения
Таблица 8
Результаты освоения разделов учебного предмета «Математика» (Часть С)
Характер задания
а)
Решите
Факт
уравнение
 3

sin 2 x  3 cos
 x .
 2

б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие
отрезку
25,39 %
 3 ;  2 .
В правильной четырёхугольной
призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 6, а боковое ребро
AA1 =1. Точка F принадлежит ребру
C1D1 и делит его в отношении 2:1,
считая от вершины C1. Найдите
площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A,
C и F.
31
15,01 %
С4
Проверяемые
умения
Окружность. Касающиеся окружности. Тео- Системы неравенств с одной перемен- Проверяемые
рема синусов, теорема косинусов.
ной
элементы содержания
С3
Уметь выполнять действия с геометричеУметь решать уравнения и неравенства
скими фигурами, координатами и векторами
№
Характер задания
Факт
Решите систему неравенств

x  62  2;
log
 6 x
x2
 2
2
 x  x  14  x  8 x  3  2 x  3.
 x  4
x 8
10,43 %
Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C,
AO1 и BO2 – параллельные радиусы
этих окружностей, причём  AO1O2
= 600. Найдите AB.
9,84 %
32
С6
Использование свойств и графиков Проверяемые
функций при решении уравнений элементы содержания
Целые числа
С5
Уметь строить и исследовать простейшие матема- Уметь решать уравнения и нера- Проверяемые
тические модели
венства
умения
№
Характер задания
Найдите все значения
дом
из
которых
a,
Факт
при кажуравнение
x 2  a  7   x  7  a  x  a  7
2
3,36 %
имеет единственный корень.
Задумано несколько целых чисел.
Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа
2, 3, 5, то на доске будет выписан
набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор –8,
–5, –4, –3, –1, 1, 4. Какие числа были
задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном
на доске, число 0 встречается ровно
2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел
на доске выписан набор. Всегда ли
по этому набору можно однозначно
определить задуманные числа?
33
6,14 %
Данные, представленные в таблице 8, отражают следующие
факты.
1. Результат выполнения задания С1 свидетельствует о сформированности у больше четверти участников экзамена (25,39% при ожидаемых 10-50%) определённых умений решать тригонометрические
уравнения и отбирать корни уравнения, принадлежащие наперёд заданному промежутку. Однако, отмечается снижение результата решения задания С1 по сравнению с 2012 г., когда положительные баллы
получили 32,4% от участвовавших в экзамене.
2. По сравнению с 2012 годом существенно улучшились показатели освоения умений выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами при решении стереометрической задачи С2. Находящийся в 2012 году ниже нормы процент решивших задачу С2 на нахождение расстояния от точки до плоскости (3,1%), в
2013 году увеличился, и задачу на вычисление площади сечения многогранника плоскостью решили 15,01%; что соответствует норме (1050%).
3. Незначительно ниже нормы оказался показатель освоения
умений выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами при решении планиметрической задачи С4 о рассмотрении двух конфигураций касающихся окружностей. Он увеличился по сравнению с 2012 годом с 3,73% до 9,84% и стал близко к
норме 10-50%.
4. Результаты освоения разделов части С свидетельствует об
улучшении в 2013 году по сравнению с 2012 годом качества обучения
геометрии в школах Алтайского края.
На рис. 3-8 наглядно представлены результаты в первичных
баллах по задачам второй части экзаменационной работы.
34
Рис. 3. Результаты выполнения задания С1 в первичных
баллах
Рис. 4. Результаты выполнения задания С2 в первичных
баллах
35
Рис. 5. Результаты выполнения задания С3 в первичных
баллах
Рис. 6. Результаты выполнения задания С4 в первичных
баллах
36
Рис. 7. Результаты выполнения задания С5 в первичных
баллах
Рис. 8. Результаты выполнения задания С6 в первичных
баллах
37
7. Типичные ошибки, допущенные участниками экзамена
при решении задач второй части
Задача С1
Рассмотрим пример одного из возможных решений задачи С1
ЕГЭ по математике 2013 года.
Ошибки в решениях задачи С1
1. Нарушение равносильности преобразований: деление обеих частей уравнения на выражение с переменной, не принимая во
внимание возможность его равенства нулю при некотором значении переменной, что приводит к потере корней уравнения.
Эта ошибка была самой распространенной среди участников
ЕГЭ по математике в 2013 году.
38
Пример 1.
Рис. 9
Пример 2.
Рис. 10
39
Комментарий: На рисунках 9-10 изображены решения участников экзамена, содержащие самую распространенную ошибку: деление
обеих частей уравнения на тригонометрическую функцию без исследования случая ее равенства нулю при некотором значении переменной, что в данном случае приводит к потере корней. Учащиеся получают не все решения уравнения, что соответствует оценке – 0 баллов.
2. Невладение формулами приведения.
Пример 3.
Рис. 11
Комментарий: На рисунке 11 изображено решение участника
экзамена, содержащее типичную ошибку: незнание формул приведения. Учащиеся часто либо неверно определяют знак перед тригонометрической функцией в формуле приведения, либо ошибочно не меняют (или меняют) тригонометрическую функцию на кофункцию. Как
следствие, решают не то уравнение, что приводит к оценке – 0 баллов.
3. Незнание табличных значений обратных тригонометрических функций, табличных значений тригонометрических функций.
40
Пример 4.
Рис. 12
Комментарий: На рисунке 12 изображен фрагмент решения
участника экзамена, содержащий типичную ошибку: незнание табличного
значения
арккосинуса
(ошибочно
утверждая,
что
arccos
1 

2 6
). В результате уравнение решено неверно, что при-
водит к оценке – 0 баллов.
4. Незнание формул корней простейшего тригонометрического уравнения для общего и частного случаев.
Пример 5.
Рис. 13
41
Комментарий: На рисунке 13 изображен фрагмент решения
участника экзамена, содержащий типичную ошибку: невладение формулами частных случаев, в частности
cos x  0 , x 

2
 n ,
n Z , а не x  2n , n Z . Корни уравнения найдены неправильно. Кроме того, в решении содержится и логическая ошибка: вместо совокупности уравнений рассматривается система уравнений.
Оценка – 0 баллов.
Пример 6.
Рис. 14
Комментарий: На рисунке 14 изображено решение участника
экзамена, содержащее типичную ошибку: незнание формул корней
42
простейшего тригонометрического уравнения. При рассмотрении
частного случая
ся записал
x
cos x  0

2
вместо
x

2
 k , k  Z
учащий-
 2k , k  Z . В итоге, в качестве корней ис-
ходного уравнения указаны не все значения, что приводит к оценке – 0
баллов.
Пример 7.
Рис. 15
Комментарий: На рисунке 15 изображено решение участника
экзамена, содержащее типичную ошибку: незнание формулы корней
простейшего тригонометрического уравнения cos x  a (хотя значение обратной тригонометрической функции вычислено верно). Кроме того, в решении грубая ошибка – деление обеих частей уравнения
на выражение с переменной без обоснования, что оно не принимает
значение равное 0 ни при каких значениях переменной, о которой шла
речь выше. Оценка – 0 баллов.
43
5. Потери при отборе корней уравнения из указанного промежутка, в том числе вычислительные ошибки, неверное заключение о принадлежности значения отрезку.
Пример 8.
Рис. 16
Комментарий: На рисунке 16 изображено решение участника
экзамена, содержащее типичную ошибку: найдены не все корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку. Рассматривая серию

 n , n  Z , учащийся не определил целые числа
2
из отрезка 2;3 . Таким образом, осталась не найденными значения х
при n  2 и n  3 , что не позволило получить верный ответ в
корней
x
пункте б) задачи при правильном решении пункта а). Оценка – 1 балл.
44
Пример 9.
Рис. 17
Комментарий: На рисунке 17 изображено решение участника
экзамена, содержащее типичную ошибку: найдены не все корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку. Серия корней
x   1
n

4
 n , n  Z
осталась просто не рассмотренной, что
не позволило получить верный ответ в пункте б) задачи при правильном решении пункта а). Кроме того, решение пункта б) содержит отдельные неточности. В итоге, оценка – 1 балл.
45
6. Технические ошибки и описки при решении тригонометрического уравнения или отборе корней уравнения из указанного промежутка.
Пример 10.
Рис. 18
Комментарий: На рисунке 18 изображено решение участника
экзамена, содержащее описку (или техническую ошибку). Верно применив формулу приведения, учащийся, при переносе слагаемого
 3 sin x
из правой части равенства в левую, не меняет знак. Это
приводит его к неправильному решению исходного тригонометрического уравнения. Оценка – 0 баллов.
46
Пример 11.
Рис. 19
Комментарий: На рисунке 19 изображено решение участника
экзамена, содержащее описку при выписывании ответа. Верно найдя
корни уравнения, принадлежащие промежутку
7
2
7
x
6
x
и
и
x
x
5
6
5
2
,
в
.
47
ответ
 7 5 
 2 ; 2  ,
учащийся
выписывает
Пример 12.
Рис. 20
Комментарий: На рисунке 20 изображено решение участника
экзамена, содержащее описку (или ошибку) при решении простейшее
тригонометрического
уравнения
sin x 
1
,
2
записывая
n
n 
 n вместо x   1   n . Кроме того,
6
6
отсутствует условие n Z . Правильное решение уравнения не укаx   1 
зано. Оценка – 0 баллов.
Таким образом, на основе анализа типичных ошибок в решениях задачи С1 участников ЕГЭ по математике в 2013 году можно выделить предполагаемые причины их появления:
- незнание основных формул тригонометрии (формул приведения, формул корней простейших тригонометрических уравнений для
частного и общего случаев, табличных значений тригонометрических
и обратных тригонометрических функций и др.);
- непонимание, неосознание сути понятия «равносильность преобразования» при решении уравнений и, соответственно, допущение в
процессе решения неравносильных преобразований (в частности,
например, деление обеих частей уравнения на выражение с переменной без исследования возможности его равенства нулю при некотором
значении переменной);
- формализм при использовании формул тригонометрии, недостаточно развитые вычислительные навыки и навыки тождественных
преобразований.
48
Для предупреждения этих ошибок необходимо еще в основной
школе больше внимания уделять глубокому анализу и обоснованию
каждого шага при решении уравнения или неравенства, поднимая при
этом вопрос о равносильности преобразований. Кроме того, целесообразно рассматривать примеры уравнений и неравенств, в которых есть
ложный путь решения через:
- деление обеих частей уравнения на выражение с переменной
(потенциально возможно равное нулю при некотором значении переменной);
- деление или умножение обеих частей неравенства на выражение с переменной, которое может принимать положительные, отрицательные, неположительные, неотрицательные и равное нулю значения
в зависимости от значения переменной;
- сокращение дроби в уравнении или неравенстве на выражение
с переменной без учета области допустимых значений переменной;
- возведение в четную степень обеих частей уравнения или неравенства, содержащих переменную, без учета знака этих выражений
при допустимых значениях переменной;
- и др.
Кроме того, при изучении раздела «Тригонометрия» в основной
и старшей школе следует добиваться от учащихся абсолютного знания всех основных теоретических сведений этого раздела, так как это
служит основой успешного преобразования тригонометрического выражения, решения тригонометрического уравнения и неравенства,
присутствующих в КИМах ЕГЭ по математике.
Задача С2
Условие задачи С2. В правильной четырёхугольной призме
ABCDA1 B1C1 D1 сторона основания равна 6, а боковое ребро
AA1  1. Точка F принадлежит ребру C1 D1 и делит его в отношении
2:1, считая от вершины
C1 . Найдите площадь сечения этой призмы
A, C
плоскостью, проходящей через точки
и F.
Одно из возможных решений задачи С2.
49
Отрезок EF параллелен диагонали
жит ребру
AC
(точка E принадле-
A1 D1 ), следовательно, искомое сечение — трапеция
ACFE
(рис. 21). Плоскость сечения
пересекает нижнее основание по прямой
AC , параллельной A1C1 , значит, EF
параллелен A1C1 .
Треугольники
подобны,
ED1 F и A1 D1C1
следовательно,
D1 E : A1 D1  D1 F : C1 D1  EF : A1C1  1 : 3
.
Значит,
Рис. 21
AC  A1C1  6 2 , EF  2 2 .
В равных прямоугольных треугольниках
CC1 F и AA1 E
CF  AE  AA1  A1 E 2  17 , значит, трапеция ACFE рав2
нобедренная.
Пусть EH — высота трапеции
нию
AC
(рис. 22), тогда:
AH 
EH 
S ACFE
ACFE , проведённая к основа-
AC  EF
2 2
2
;
AE 2  AH 2  3 ;
AC  EF

EH  12 2
2
Ответ: 12 2 .
Рис. 22
Комментарии к решениям
задач С2.
Встретившиеся участникам экзамена геометрические задачи типа С2 допускают различные способы решения с применением поэтапно-вычислительного, координатно-векторного и комбинированного
методов. Успех их решения в значительной степени определяется развитием геометрической подготовки ученика, сформированностью
навыков применения геометрических фактов и методов. Анализ представленных на экзамене решений показывает «популярность» коорди50
натно-векторного метода решения. В методической литературе отмечались проблемы в применении такого метода. В частности,
П.И.Самсонов в 2012 г. (когда будущие участники ЕГЭ-2013 активно
готовились к экзамену), анализируя ошибки участников прошлогоднего экзамена в ведущем научно-методическом издании для учителей
математики, писал: «Ученики вводили систему координат и с большой
настойчивостью составляли уравнения плоскостей, высчитывая определители третьего порядка, решая системы линейных уравнений с
числом переменных большим, чем число уравнений, находили векторное произведение векторов и еще многое другое, в чем им могут позавидовать студенты первых курсов на высшей математике. Вот только
усилия эти во многом оказались бесплодными. Путаница в нахождении определителей на моменте нечётной суммы индексов, ошибки в
выборе «свободных коэффициентов», и в итоге - неверное уравнение
плоскости, неправильное определение координат нормали.» [Самсонов; c.20]. Есть свидетельства наличия подобных погрешностей и в
нынешнем году.
Основные ошибки в решениях.
51
1. Ошибки понимания условия задачи, по-видимому, связанные
с глубинной проблемой обучения- формализмом знаний учащихся о
сечении пространственной геометрической фигуры плоскостью. Многие учащиеся ограничиваются поиском площади треугольника ACF ,
возможно, полагая, что этот треугольник является сечением. Пример
работы участника экзамена приведён на рис.23.
2. Отдельные учащиеся ошибочно полагают, что рассматриваемая в задаче призма является кубом.
3. Ошибки понимания отношения длин отрезков. Встречается
ошибка D1 E : A1 D1  D1 F : C1 D1  EF : A1C1  1 : 2
4. Ошибки при анализе планиметрической конфигурации: неверное определение вида трапеции (прямоугольная), погрешности в
определении высоты трапеции, погрешности в применении Теоремы
Пифагора.
5. Ошибки, связанные с применением метода координат.
1) Неверное нахождение координат точек во введенной системе
координат и координат векторов.
2) Отсутствие смысла в записях координат векторов, уравнений.
3) Неверное составление уравнений.
4) Погрешности в вычислении определителей.
6. Ошибки в записи формул: площади трапеции, нахождения
гипотенузы прямоугольного треугольника по двум известным его катетам.
7. Вычислительные ошибки: неверное выполнение арифметических действий сложения, вычитания, возведения в степень, извлечения
квадратного корня; действий с обыкновенными и десятичными дробями и др.
Примеры решений задачи С2 учащимися.
Фрагмент решения задачи методом координат (рис. 4)
52
Рис. 24
Пример решения задачи координатно-векторным методом, содержащего ошибку в нахождении координат вектора (рис. 25).
53
Рис. 25
Решение с использованием алгебраического метода решения,
содержащее ошибку в геометрической интерпретации полученных
выводов (учащийся приходит к неверному выводу о том, что боковые
стороны трапеции параллельны)2 (рис.26).
2
Приведено решение задачи, аналогичной рассмотренной выше
54
Рис. 26
Задача С3
Условие задачи С3. Решите систему неравенств
2


x  6
 2,
log 6-x
x2
 2
2
 x  x  14  x  8 x  3  2 x  3.
 x  4
x 8
Возможные варианты решения.
1.
Решим первое неравенство системы:
x  62
 2;
x2
6  х  0

1.1. ОДЗ: 6  x  1  x  2;5  5;6
x  2  0

log 6-x
55
1.2. На основании свойств логарифмов и степени с четным показателем,
получим:
log 6-x
x  62
x2
2
log 6-x x  2  2  log 6-x x  2  0
Используя
log 6-x x  2  0

log 6-x 6  x  2
.
метод рационализации
на другое неравенство:
заменим
6  х  1
неравенство
х  2 1  0 ,

имеющее тот же знак. Решением получившегося неравенства является
объединение промежутков: х   ;3  5; .
1.3. Учитывая ОДЗ логарифмического выражения и решение
неравенства 6  х  1 х  2  1  0 , решение первого неравенства
исходной системы имеет вид:
 





х  2;3  5;6
Решим второе неравенство системы:
2.
x  x  14 x 2  8 x  3

 2 х  3;
x4
x 8
х 2  х  12
2
х 2  8х
3



 2х  3 

х4
х4
х 8
х 8
  х  3х  4
2
3
  х  х  8

 х  3  
 х   

0
 
х4
  х 8
 х  4 х  8

2
3
х4

0
 0.

х  4 х 8
х  4х  8
2
Решая получившееся неравенство методом интервалов, полу-
чим:
х   ;4  4;8.
3.
Пересечением множеств решений первого и второго
неравенств исходной системы является промежуток: х  5;6 .
 
 
4.
Ответ: 5;6 .
Вариант решения, верно выполненный учащимся
56
Рис.27
Основные ошибки и недочеты:
1.
Погрешности в понимании области допустимых
значений переменной (ОДЗ).
Из работы учащегося:
Рис. 28
57
Наряду с таким пониманием и определением ОДЗ, и во многих
других работах учащихся присутствуют различные неверные варианты
нахождения области допустимых значений логарифмических выражений.
Несмотря на то, что далее учащиеся использовали прогрессивный и мало используемый в школьной практике метод рационализации
или же традиционно приходили к решению простейшего неравенства,
содержащего логарифмическую функцию в левой части, неверное
нахождение области допустимых значений логарифмического выражения (умение базового уровня) привело всех к неверному ответу.
Напоминаем: Для нахождения ОДЗ логарифмического выражения необходимо учитывать, что выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.
 f x   0,

у  log f  x  g x  . ОДЗ:  f x   1,
 g x   0.

Комментарий: Изучение содержания «Допустимые значения
переменных» заключено в разделе «Алгебраические выражения» в основной школе. Рекомендуемые информационные ресурсы: Область
допустимых значений. [Электронный ресурс] / Электрон. дан. – Режим
доступа: http://ege-ok.ru/2012/01/13/oblast-dopustimyih-znacheniy/
2.
Переход от простейшего неравенства, содержащего логарифмическое выражение в левой части к линейному неравенству с одной переменной.
Из работы учащегося:
Рис. 29
Напоминаем:
Если в неравенстве содержится логарифмическая функция, содержащая неизвестное в основании, то обычно в школьной практике
рассматривают два случая: основание больше 1 и основание меньше
58
единицы, но больше нуля. То есть получившееся уравнение:
log 6- x  x  2  0
(после замены 0 на логарифм 1 по основанию
«6-х») равносильно совокупности двух систем:
log 6 - x  x  2  0
 log 6-x x  2  log 6 x 1 
0  6 - x  1,

x - 2  1;


6  x  1,
  x  2  1.

Другой способ решения неравенств вида
log 6- x  x  2  0 ,
который приобрёл популярность в последнее время, способ рационализации, описанный выше в предложенном решении.
Комментарий: Изучение содержания «Логарифмические неравенства» заключено в Главе 7 «Показательная и логарифмическая
функции»3 в старшей школе.
Рекомендуемые информационные ресурсы:
1.
Логарифмические уравнения и неравенства. [Электронный ресурс] / Электрон. дан. – Режим доступа: http://yourtutor.info
2.
Решение логарифмических неравенств [Электронный
ресурс] / Электрон. дан. – Режим доступа: http://egeok.ru/2012/02/10/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv/
3.
Выбор итогового промежутка в системе.
Из работы учащегося:
3
Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для об-
щеобразоват. учреждений [Текст]
2000 по наст время. – 336 с.
/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, с
59
Рис. 30
Досадная ошибка, часто встречающиеся в работах учащихся по
невнимательности или самоуверенности в умении устно определять
пересечение или объединение промежутков. В этом случае желательно
изображать данные промежутки на числовой прямой. Как, например,
проводится интерпретация решения на числовых промежутках в другой работе учащегося:
Рис. 31
60
Следует отметить, что во многих работах, в том числе и в приведенных решениях учащихся, присутствуют недочеты, связанных с
путаницей в использовании логической символики: некорректная запись при использовании знаков системы, совокупности, равенства; неверное использование знаков равносильности и следования; отсутствует обозначение числовой прямой и др.
4.
Выполнение алгебраических преобразований.
Из работы учащегося:
Рис. 32
Допущена типичная ошибка:
a - b 2  b  a 2 .
Верная за-
пись: a - b   b  a  .
Довольно часто учащиеся допускают ошибки при преобразовании алгебраических выражений не только при использовании свойств
степени, но и при сложении рациональных дробей, при приведении
подобных слагаемых и др..
Из работы учащегося:
2
2
61
Рис. 33
Верно преобразованное исходное дробно-рациональное уравнение имеет вид:
х
х  1х  5
0
Комментарий: Изучение содержания «Преобразования буквенных выражений на основе свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество. Степень с натуральным и целым показателем и её свойства. Формулы сокращенного умножения:
квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов» заключено в разделе «Алгебраические выражения» в основной школе.
Рекомендуемые информационные ресурсы:
Репетитор по математике. [Электронный ресурс] / Электрон.
дан. – Режим доступа: http://ege-ok.ru/
5.
Умножение неравенства на выражение, содержащее переменную.
Из работ учащихся:
62
Рис. 34
Напоминаем:
1.
При умножении неравенства на выражение, содержащее переменную, необходимо установить знак этого выражения. Если
знак неизвестен при заданных в задаче условиях, то решение дробнорациональных неравенств можно свести к решению рациональных неравенств методом интервалов.
2.
Корректно и конкретно использовать ОДЗ. В данном
случае, непонятно к какому неравенству определена область допустимых значений переменной. Если ко всей системе, то она недостаточна.
Если ко второму неравенству, то ОДЗ избыточна. Если к первому неравенству, то недостаточна и кроме этого, для первого неравенства
условие х  2 является лишним для ОДЗ.
3.
Целесообразнее отдельно решать каждое неравенство
системы. И только после получения ответов каждого неравенства,
найти общее решение исходной системы неравенств.
Комментарий:
63
1.
Изучение содержания «Допустимые значения переменных» заключено в разделе «Алгебраические выражения» в основной школе.
2.
Изучение содержания «Решение неравенств с одной
переменной» заключено в Главе 8 «Уравнения и неравенства. Системы
уравнений и неравенств»4 в старшей школе.
Рекомендуемые информационные ресурсы:
1.
Область допустимых значений. [Электронный ресурс]
/ Электрон. дан. – Режим доступа: http://ege-ok.ru/2012/01/13/oblastdopustimyih-znacheniy/
2.
Решение рациональных неравенств методом интервалов. [Электронный ресурс] / Электрон. дан. – Режим доступа:
http://ege-ok.ru/2012/01/05/reshenie-ratsionalnyih-neravenstv-met/
Задача С4
Условие задачи С4. Окружности радиусов 1 и 4 с центрами
и
O2
соответственно касаются внешним образом в точке
BO2
—
параллельные
радиусы
AO1O2  60 . Найдите AB .
этих
O1
C , AO1
окружностей,
и
причём
Одно из возможных решений задачи С4.
O O
Точки 1 , 2 и C лежат на одной прямой.
Возможны два случая. Первый случай: точки A и B лежат по
одну сторону от прямой
(рис. 35). Отрезок
отрезку
O1O2
лежит радиусу
тельно,
O1O2
AM параллелен
(точка M принад-
BO2 ),
O1O2 MA
следова-
— параллелоРис. 35
4
Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для об-
щеобразоват. учреждений [Текст]
2000 по наст время. – 336 с.
/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, с
64
O1 A  O2 M  1,
AM = O1O2 =5,
грамм:
О2 MA  AO1O2  60 .
В
AMB
треугольнике
AMB  120 ,
откуда
по
имеем
теореме
MB=3,
AM=5,
косинусов
име-
ем AB  AM  MB  2  AM  MB  cosAMB  7 .
Второй случай: точки A и B лежат по разные стороны от прямой
2
2
O1O2
(рис. 36). Отрезок AM параллелен отрезку
лежит на продолжении радиуса
BO2
тельно,
за точку
O 2 ),
O1O2 MA
лограмм:
O1O2
(точка M
следова-
— паралле-
AM = O1O2 =5,
O1 A  O2 M  1,
О2 MA  AO1O2  60
Рис. 36
.
В треугольнике AMB имеем MB=3, AM=5, AMB  60 ,
значит, треугольник AMB — правильный, откуда AB= 5.
Ответ: 5 или 7.
В качестве примера верного решения задачи другого варианта
способом, отличающимся от рассмотренного, можно привести следующее (Рис. 37).
65
Рис. 37
Комментарии к решениям задач С4.
При решении геометрической задачи, в частности, задачи типа
С4, целесообразно придерживаться следующего плана.

Построение изображения данной фигуры;

Краткая запись условия задачи;

Нахождение искомых величин (зависимостей)
или доказательство некоторого утверждения;

Исследование.
Для обеспечения подготовки к решению задачи С4 целесообразно осуществить обобщающее повторение и актуализацию знаний
элементарных и опорных теорем планиметрии (I-III). Подробную информацию можно получить в учебном пособии (Гусев В.А.; 2000).
I. Опорные теоремы планиметрии: Треугольники и четырёхугольники
 Теорема о равенстве углов со взаимно перпендикулярными
сторонами.
 Свойства средней линии треугольника и трапеции.
66
 Теоремы о точках пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника.
 Свойство медианы в прямоугольном треугольнике.
 Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.
 Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, в
параллелограмме.
 Теорема Пифагора.
 Теорема синусов.
 Теорема косинусов.
 Теорема об определении вида треугольника по его сторонам.
II. Опорные теоремы планиметрии: Окружности
 Свойства касательных к окружности
 Теоремы об измерении углов, связанных с окружностью
 Теоремы об окружностях и треугольниках (вписанных, описанных)
 Теоремы об окружностях и четырехугольниках (вписанных,
описанных)
 Метрические соотношения в окружности.
III. Опорные теоремы планиметрии: Площади
 Теорема об отношении площадей подобных фигур.
 Теоремы об отношении площадей треугольников с равными
высотами или основаниями.
 Формулы для нахождения площадей фигур
Основные ошибки в решениях.
1. Неполное решение задачи: в значительной части работ
участников экзамена рассматривается одна (чаще– когда точки A и B
OO
лежат по одну сторону от прямой 1 2 ) из двух возможных геометрических конфигураций.
2. Неверное толкование геометрической конфигурации: прямую
AB
отдельные учащиеся считали касательной к заданным
ACO
BCO
2 априори считали рав1 и
окружностям; треугольники
носторонними.
3. Непонимание смыла понятий о геометрических фигурах
(треугольник, окружность и др.), о чём свидетельствуют, например,
следующие записи: «равносторонний угол», «угол окружности», «высоты лежат на серединах радиусов», «продолжение прямой».
67
Ошибки в процессе
выполнения вычислений,
например,
AB  AM  MB  2  AM  MB  cosAMB  19 .
2
2
Задача С5
Рассмотрим пример одного из возможных решений задачи С5
ЕГЭ по математике 2013 года. Условие задачи отражено в таблице 8.
Ошибки в решениях задачи С5
1. Невладение понятием модуля, его определением, свойствами.
Пример
Комментарий: В примере, изображённом на рисунке 38, утверждение о единственности решения квадратного уравнения сделано
верно, но, к сожалению, не имеет отношения к исходному равнению.
Учащийся не владеет понятием модуля, знаки модуля просто «опускаются». Оценка – 0 баллов.
2. Неполнота или незавершенность решения задачи: рассмотрение не всех случаев раскрытия модуля, исследование не всех
случаев значений новой введенной переменной или параметра, отсутствие проверки найденных значений параметра.
68
Пример
Рис. 39
69
Комментарий: В примере, изображённом на рисунке, задача
верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей. Учащийся владеет понятием модуля. Обоснованно получены оба значения параметра, но в ответ включено одно постороннее значение параметра. Оценка – 3 балла.
Рис. 40
Комментарий: В примере, изображённом на рисунке, верно построен график функции и проведены рассуждения, связанные с графическим решением исходного уравнения. Учащийся владеет понятием
модуля. Обоснованно получены оба значения параметра, но решение
не полное, т.к. не рассмотрен случай t < 0. Оценка – 3 балла.
3. Вычислительные ошибки.
Вычислительные ошибки (чаще по невнимательности) или
описки зачастую не позволяют учащимся получить верный ответ при
правильных рассуждениях и верной идее решения задачи.
Таким образом, на основе анализа типичных ошибок в решениях задачи С5 участников ЕГЭ по математике в 2013 году можно выделить предполагаемые причины их появления:
- недостаточно глубокое, поверхностное понятие о модуле, незнание его свойств;
70
- несформированность четкого алгоритма решения задачи с параметром у многих учащихся, что приводит к потерям решений в связи
с исследованием не всех возможных ситуаций, зависящих от значений
параметра;
- формализм в построении идеи решения задачи, учет не всех
нюансов задания: в частности, например, условие, что «уравнение
должно иметь единственное решение» акцентирует все внимание учащихся, оставляя без учета другие компоненты условия (присутствие
модуля, симметричность корней и т.д.).
Для предупреждения этих ошибок необходимо еще в основной
школе больше внимания уделять простейшим случаям различных заданий с параметрами (например, линейным, квадратным, дробнорациональным уравнениям и неравенствам) с целью формирования
понятий «параметр», «уравнение с параметром», «неравенство с параметром», «задача с параметром», «решение уравнения (неравенства) с
параметром» и т.д., обсуждая особенности решения таких задач.
В старшей школе целесообразно активно использовать задания
на исследование свойств функций с модулем и параметром, построении их графиков, преобразованиях графиков таких функций. При изучении тем «Тригонометрические уравнения и неравенства», «Логарифмические уравнения и неравенства», «Показательные уравнения и
неравенства», «Иррациональные уравнения и неравенства» и др. рассматривать уравнения и неравенства с параметром или с несколькими
параметрами, формируя тем самым четкий алгоритм выполнения таких заданий.
Задача С6
Условие задачи. Задумано несколько целых чисел. Набор этих
чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на
доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5,
то на доске будет выписан набор 2,3,5,5,7,8,10.
а)
На доске выписан набор -8, -5, -4, -3, -1, 1,4. Какие
числа были задуманы?
б)
Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое
наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в)
Для некоторых задуманных чисел на доске выписан
набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Возможный вариант решения
а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно
71
быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или
меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит,
было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел.
Значит, положительное число одно, и это число - наибольшее число в
наборе, то есть 4. Наименьшее число в наборе -8 является суммой двух
отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только -5 и -3 дают в сумме -8. Значит, были задуманы числа -5, -3
и 4.
б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет
нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей.
Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно
2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, к нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных
чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если
среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.
Если на доске выписано ровно 2 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано три или меньше ненулевых числа. Нуль
получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных
чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных
чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы. Значит, среди
сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не
более одной. Таким образом, если было задумано не более трёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более одного нуля.
Если были задуманы числа -3; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно два нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 4.
в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел -3, 1, 2 и -2,
-1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор -3, -2, -1,0, 1,2, 3.
Ответ: а) -5, -3, 4; б) 4; в) нет.
72
Вариант решения, выполненного учащимся
Рис. 41
Основные ошибки и недочеты:
Задание С6 доступно ученикам основной школы, поскольку для
решения требовалась не столько формальная математическая образованность, сколько умение самостоятельно ориентироваться в математической ситуации, исследовать математические модели. Алгоритм
решения задачи С6 не отличается однотипностью, поэтому четко
73
обоснованного алгоритма нет и быть не может. Но, при этом обращаем внимание:
1. Ответ на вопрос в п.а) требовал обоснованного решения. Что
это означает? В данной задаче – были необходимы убедительные рассуждения: а) относительно возможного количества задуманных чисел
(например, с опорой на сумму числа сочетаний и оценку его суммы);
б) относительно принадлежности множеству чисел (целых, положительных, отрицательных и т. п.); в) относительно свойств суммы задуманных чисел.
Из работы учащегося:
Типичная ситуация: Решение состоит только из перебора чисел,
состав которого ничем не обоснован. В этой ситуации ученик не получает положительных баллов.
Рис. 42
2.
При ответе на вопрос в п б) «Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?» необходимо доказательство существующего «количества чисел» путем приведения других утверждений, истинность которых уже установлена. Задача доказательства в
этом пункте - исчерпывающе утвердить истинность о наименьшем количестве чисел, возможно путем оценки и приведения подтверждающего конкретного примера. Практически во всех представленных работах учащихся их рассуждения в приведенных решениях нельзя отнести к доказательным рассуждениям, а лишь к некоторым логическим
умозаключениям. Пример решения учащегося приведён на рис.43.
74
Рис. 43
3.
Наиболее распространенный ответ в задании С6:
«Нет, не всегда?» на вопрос п. в) «Всегда ли….?» - это опровержение
фактами, приведением конкретного примера (контрпримера). С этой
задачей справились практически все учащиеся, приступившие к решению С6, которые ответили: «Нет». Если же ответ предполагает утвердительный ответ, то см. рассуждения автора по п. б) относительно доказательства истинности.
Из работы учащегося:
Рис. 44
Данные рассуждения не являются убедительными в
правильности выдвинутого учащимся тезиса. Поэтому такой ответ соответствует 0 баллам.
8. Влияние на результаты экзамена в форме ЕГЭ используемого учебникам
Школьный учитель имеет возможность выбора той или иной
программы и соответствующего ей учебного комплекса, рекомендованных или утверждённых Министерством образования Российской
Федерации к внедрению в учебный процесс. Перечень таких учебников ежегодно утверждается и публикуется на информационных сайтах
75
(www.mon.gov.ru – сайт Министерства образования; www.edu.ru – портал Российского образования).
Практика показывает, что учитель в своей деятельности использует помимо основного учебника, дополнительную литературу, разнообразные сборники задач, собственные учебно-методические разработки, обращается к открытой базе тестовых заданий типа B. Влияние
выбора основного учебника на результаты ЕГЭ не является существенным. Статистические данные такого влияния в этом году не отслеживались РЦОИ ЕГЭ в Алтайском крае.
9. Участие в деятельности конфликтной комиссии
Информация о количестве поданных апелляций
таблице 9.
приведена в
Таблица 9
Количество подаваемых апелляций по математике по годам
Год
Математика
2003
114
2004
341
2005
272
2006
189
2007
107
2008
132
2009
62
2010
73
2011
52
2012
121
90
2013
В 2013 г. заметно уменьшилось по сравнению с прошлогодним
количество апелляций к результатам проверки экзаменационных работ
по математике.
Работа конфликтной комиссии проходила в спокойной и доброжелательной обстановке, была хорошо организована. В рассмотрении работ, поданных на апелляцию, участвовали опытные эксперты,
председатель предметной комиссии и его заместители.
76
Часть поданных апелляций часть (68,9%) рассматривались в
присутствии выпускников или их доверенных лиц. Из рассмотренных
в 2013 г. 90 апелляций удовлетворены 31.
ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Общие выводы и рекомендации
Анализ работ 2013 года позволил констатировать несколько
положительных результатов ЕГЭ по математике.
1. Показателей ниже нормы умений, проверяемых базовой частью, в 2013 году нет, чего не наблюдалось в последние годы. Это
свидетельствует о повышении уровня результатов математического
образования в крае.
2. Овладение значительной частью выпускников школ на
уровне выше нормы базовыми умениями использовать приобретённые
знания из курса алгебры и начал математического анализа в практической деятельности и повседневной жизни, умением решать простейшую задачу на нахождение площадей треугольника, параллелограмма,
трапеции, углов в треугольнике, а также умением решать логарифмические уравнения и находить вероятность случайного события, что
проявилось при решении задач первой части экзамена.
3. При решении задач второй части положительная тенденция
состоит в уверенном владении учащимися многими способами отбора
корней тригонометрического уравнения из указанного промежутка при
решении задачи типа С1: с помощью единичной окружности, с помощью графика тригонометрической функции, с помощью числовой
прямой, решая двойное линейное неравенство. Немало учащихся демонстрируют полное владение одним из наиболее рациональных (на
их взгляд) способов.
4. Значительно улучшились показатели освоения умений выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами при решении стереометрической задачи С2. Несмотря на то,
что активно использованные в прошлом году векторный, координатновекторный, координатный методы явно не являлись удачными в стереометрической задаче на нахождение площади сечения многогранника, учащиеся сумели актуализировать необходимые знания в новой ситуации.
5. Больше разнообразие способов решения задачи с параметром
С5 (функциональный, функционально-графический, аналитический)
среди работ участников экзамена позволяет сделать вывод о продвину-
77
том уровне готовности к экзамену многих учащихся, далеко выходящей за рамки базовой подготовки.
6. С заданиями базового уровня справились 72,51% участников
экзамена, что свидетельствует о положительной тенденции отработки
обязательных результатов обучения математике. Наиболее высокие результаты решения задач высокого уровня продемонстрировали выпускники образовательных учреждения, приведённых в таблице 10.
Таблица 10.
Процент
Коливыполнения
чество
Наименование ОУ
заданий выучастсокого уровников
ня
Краевая Государственная Бюджетная
Общеобразовательная Школа - Интернат
Алтайского края " Бийский лицейинтернат Алтайского края"
135
14,17
МБОУ "Средняя общеобразовательная
школа № 59" Октябрьского района г.
Барнаула
22
14,20
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение "Гляденская средняя
общеобразовательная школа" Благовещенского района Алтайского края
7
14,29
МБОУ Николаевская средняя общеобразовательная школа
6
14,58
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа № 114 с углубленным изучением отдельных предметов
(математики)
22
14,77
МБОУ "Лицей № 124"
102
15,32
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Гимназия № 42"
146
15,41
Муниципальное общеобразовательное
учреждение "Зятьково-Реченская средняя
общеобразовательная школа"
5
17,50
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Лицей", г. Рубцовск
26
29,33
Алтайский край
12531
2,16
78
Однако, предметная комиссия по математике, проанализировав результаты, выявила ряд недочетов в математической подготовке выпускников школы, отдельные из которых отмечались и в прошлые годы:
 непонимание, неосознание сути понятия «равносильность
преобразования» при решении уравнений или неравенств и, соответственно, допущение в процессе решения неравносильных преобразований (в частности, деление обеих частей уравнения на выражение с
переменной без исследования возможности его равенства нулю при
некотором значении переменной);

несформированность четкого алгоритма решения задачи с
параметром, что приводит к потерям решений. В результате учащихся
приводят неполное или незавершенное решение задачи с параметром
С5, рассмотрев не все случаи раскрытия модуля, исследовав не все
случаи значений новой введенной переменной или параметра, не проведя проверки найденных значений параметра;

формализм в построении идеи решения задачи, «узкий
взгляд» на условие задачи, учет не всех нюансов задания: в частности,
например, условие, что «уравнение должно иметь единственное решение» в задаче С5 акцентирует все внимание учащихся, оставляя без
учета другие компоненты условия (присутствие модуля, симметричность корней и т.д.);

недостаточная сформированность умений учащихся применять методы решения системы различных видов неравенств, неглубокое владение понятием логарифма, незнание свойств логарифмической и показательной функций. При решении логарифмических и показательных неравенств зачастую решение неравенства подменяется
решением уравнения, т.е. отсутствует шаг с использованием метода
интервалов или кривой знаков. Так же затруднения учащихся связаны
с обратной заменой при решении показательного или логарифмического неравенства с помощью метода введения новой переменной;

с заданиями повышенного уровня справилось 10,6% участников экзамена в Алтайском крае, а с заданиями высокого уровня–
2,16%. Причём, в отдельных муниципальных образованиях с заданиями высокого уровня не справился ни один участник экзамена: Алейский, Бурлинский, Ельцовский, Косихинский, Краснощёковский, Рубцовский, Табунский районы.
В этой связи в 2013-2014 учебном году необходимо концентрировать усилия на решении следующих первоочередных задач.
Обеспечить тенденцию повышения качества результатов ЕГЭ с
применением комплекса мер, в первую очередь организационно79
методического и методического характера, по выявлению потенциальных погрешностей в решении математических задач будущими участниками экзамена 2013 г. и осуществлению соответствующих корректирующих мероприятий.
В связи с наличием определённой доли учащихся, не преодолевших «порогового» значения, необходимо уделять этой группе учащихся большее внимание. С учащимися, имеющими слабую математическую подготовку, стоит сконцентрироваться на формировании их
базовых математических компетенций (умении читать и верно понимать условие задачи, решать практико-ориентированные задачи, выполнять арифметические действия, тождественные преобразования и
т.д.), определить наиболее успешно решаемые данными учащимися
типы задач и доводить, в первую очередь, их решение «до совершенства». Другими словами, для учащихся с разным уровнем подготовки
должны быть выстроены принципиально разные стратегии подготовки
к экзамену, необходима дифференциация обучения, разработка стратегии обучения и подготовки к выпускному экзамену с учетом уже имеющегося у выпускника уровня образовательной подготовки.
Введение новой формы экзамена повлекло за собой осознание
каждым учителем новых целей и задач общего образования, новых
критериев и новых форм внешней независимой оценки качества образования, новых средств обучения. Подготовиться к выполнению таких
заданий типа С наскоком нельзя. Нужна планомерная работа по развитию соответствующих качеств ума, сообразительности, творческих и
аналитических способностей в течение всего обучения и их систематизации при подготовки к ЕГЭ. Учителю математике рекомендуется
проявлять готовность к самообучению.
1. Прежде всего, учителю необходимо познакомиться со
структурой и содержанием КИМов, сравнить их с содержанием программного материала и того учебника, по которому учатся школьники.
Следует отметить, что в настоящее время учащиеся в разных школах и
у разных учителей изучают математику по разным учебникам, которые
сопровождаются своими дидактическими и контрольными материалами. Стили представления заданий, само содержание заданий у разных
авторов разнятся между собой. С другой стороны, у разработчиков
КИМов могут быть свои стилевые предпочтения в формулировках, характере заданий и пр. В связи с этим учитель должен понять, что ученик изучает математику, а не учебник. А потому при планировании
изучения каждой ключевой темы школьного курса математики учитель должен ориентироваться в действующих учебниках и достаточно
обширной методической литературы и самому проектировать учебные
80
модули, учитывая все достоинства и недостатки имеющегося учебника. Кроме того, использовать наряду с традиционной формой контроля
знаний — тестовую, причем использовать в своей работе различные
тесты разных авторов, чтобы ученики могли понимать разные стили и
типы заданий, а не привыкали бы к какому-то одному стилю (типу).
2. Учителю необходимо продумать специальную работу по
освоению учащимися техники тестирования. Тренаж именно по тестированию имеет большое значение, ведь эта форма отличается от привычных школьнику письменных и устных экзаменов. Центром тестирования РФ издаются сборники тематических тестов для учащихся с 5
по 11 класс. Кроме этого существуют различные ИНТЕРНЕТ-ресурсы:
«Репетитор
по
математике»:
на
сайте
http://egeok.ru/2012/02/10/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv/;
Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика Дмитрия Гущина
«Решу ЕГЭ» на сайте: http://reshuege.ru/; Математика ЕГЭ на сайте:
http://alexlarin.net/; Открытый банк заданий по математике на сайте
http://mathege.ru/or/ege/Main и др. С их помощью можно оценить уровень усвоения материала, отработать технику выполнения теста, что
способствует возможности повысить результат. Зная типовые конструкции тестовых заданий, ученик практически не будет тратить время на понимание инструкций. Во время таких тренировок формируются соответствующие психотехнические навыки саморегуляции и самоконтроля. Это может быть в форме домашнего задания, самопроверки,
взаимопроверки и др. Ученые считают, что психотехнические навыки
сдачи экзаменов не только повышают эффективность подготовки к экзаменам, но и позволяют более успешно вести себя во время экзамена,
мобилизовать себя в решающей ситуации.
При подготовке к ЕГЭ можно использовать диск «Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ. Математика», который содержит рекомендации по организации работы по подготовке к экзамену, методические и психологические рекомендации, кодификатор, теоретический
материал, задания с разобранным решением. В пособии представлены
конспекты уроков с заданиями для отработки навыков решения, домашним заданием и др. Определены принципы построения методической подготовки к ЕГЭ:

«правило спирали» – от простых типовых заданий до заданий со звездочками,

логическое выстраивание системы подготовки;

«тест скорости», с жестким ограничением времени.
81
3. Учителю необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых методов контроля знаний. При подготовке старшеклассников к ЕГЭ, необходимо учесть наличие в КИМах части С, требующей развернутого решения задания высокой сложности,
с необходимыми пояснениями всех логических ходов. Поэтому для
подготовки к экзамену следует уделять внимание грамотному применению теории в решении и оформлении решения сложных комбинированных заданий исследовательского характера части С (как например,
задания с параметрами, исследования простейших математических
моделей и др). Полезно обратиться к специальным выпускам библиотеки журнала «Математика в школе»: «Задачи письменного экзамена
по математике за курс средней школы» (с 1993 г. и далее), в которых
представлены условия и решения заданий такого типа, как, например,
задания с параметрами, задания на исследование поведения функции,
на решение уравнений и неравенств нестандартными способами. Таким образом, учитель сможет восполнить пробел в изучении многих
тем, не заявленных в школьной программе, однако же входящих в
КИМы.
4. Учителю необходимо планировать обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа, традиционно проводимое учителями в конце 11 класса, с учетом основных содержательных линий курса.
Кроме того, в связи с тем, что КИМы ЕГЭ проверяют и усвоение материала курсов математики 5 — 6 классов, алгебры 7 — 9 классов и геометрии 7 — 11 классов, необходимо при подготовке к сдаче ЕГЭ повторить некоторые разделы курса математики, алгебры и геометрии
основной и средней школы. Ориентиром в планировании могут послужить:
кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения единого государственного экзамена по математике;
кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения единого государственного экзамена по математике;
спецификация контрольных измерительных материалов
для проведения в текущем году единого государственного экзамена по
математике;
демонстрационный вариант контрольных измерительных
материалов единого государственного экзамена текущего года по математике.
82
Г.С. Ковалева в методическом письме «Об использовании результатов ЕГЭ» отметила, что, хотя болевые точки выявлены, но, как
показывает опыт, положительных результатов трудно ожидать в течение двух и даже трех лет, т.к. математика является таким предметом,
где невероятно сильна преемственность в обучении. Чтобы получить
высокие результаты в средней школе, нужно добиться успешного
овладения теми результатами, которые формируются в основной школе.
К таким важным результатам обучения математике в 5-6 классах и алгебре в 7-9 классах относятся умения:
–
выполнять вычисления с обыкновенными и десятичными
дробями,
–
преобразовывать многочлены, алгебраические дроби, степени с целыми показателями и квадратные корни,
–
решать линейные, квадратные и дробно-рациональные
уравнения и неравенства,
–
читать свойства функций по их графикам, исследовать отдельные свойства функций аналитически;
–
использовать свойства модуля и др.
Учителям математики, начинающим работу в 10 классе и готовящим выпускников к итоговой аттестации, необходимо в начале
учебного года получить достоверную информацию об уровне подготовки десятиклассников по основным разделам курса алгебры основной школы и своевременно организовать работу по ликвидации пробелов в знаниях учащихся. Этой цели служит организация вводного повторения материала курса алгебры 7-9 классов.
Исходя из результатов, получаемых ежегодно на едином экзамене по математике, можно разработать с учётом конкретных условий
состояния обученности учащихся тематику вводного повторения за
основную школу, например, по следующей схеме:
Таблица 11
Основные вопросы повторения
Вспомогательный материал
Преобразования
одночленов, – свойства степеней с одинакомногочленов,
алгебраических выми основаниями,
дробей и арифметических квад- – формулы сокращенного умноратных корней
жения,
– правила сложения (вычитания),
умножения многочленов,
–
свойства
арифметического
квадратного корня,
– действия с десятичными и
83
обыкновенными дробями
– теоремы о равносильных преобразованиях уравнений и неравенств,
– формула корней квадратного
уравнения,
– действия с десятичными и
обыкновенными дробями
– нахождение значений функции,
нулей функции, промежутков
знакопостоянства (аналитически
и графически),
– чтение по графику свойств
функций,
– действия с десятичными и
обыкновенными дробями
…………
Решение линейных и квадратных
уравнений и неравенств. Решение
дробно-рациональных уравнений
Линейная и квадратичная функции, их свойства и графики
Функции вида y 
k
и y x,
x
их свойства и графики
…………..
Очевидно, что решить проблему ликвидации пробелов в знаниях десятиклассников по курсу алгебры основной школы только с помощью организации вводного повторения не удастся. Поэтому целесообразно организовать еще и индивидуальное повторение, учитывающее пробелы в знаниях и умениях конкретного ученика, и с помощью
диагностических работ систематически фиксировать продвижение
старшеклассника по пути достижения уровня запланированных требований.
Итак, для успешной подготовки к итоговой аттестации в старших классах необходимо целенаправленное вводное повторение разделов курса алгебры 7-9 классов (математики 5-6 классов) и систематический мониторинг продвижения отдельных учеников по ликвидации пробелов за основную школу.
Вместе с тем не стоит забывать, что курс алгебры и начал анализа отличается не только преемственностью с курсом математики 5-6
классов и курсом алгебры 7-9 классов, но и преемственными связями
между различными разделами внутри самого курса. Поэтому для обеспечения прочного овладения всеми выпускниками основными элементами содержания, изучаемыми в старшей школе не только на базовом,
но и на повышенном уровне, нужно проводить систематическое повторение пройденного, органически «вплетая» в изучение нового. Во
многих учебниках, входящих в федеральный комплект учебников, такое повторение обеспечивается системой упражнений, рекомендован84
ных для домашней работы. Обычно эти упражнения достаточно объемны, трудоемки и требуют письменного выполнения.
Таким образом, учитель сможет связать учебный материал из
различных разделов курса, обеспечивая, с одной стороны, систематическое повторение, а с другой стороны, мотивируя более подготовленных учащихся к решению задач повышенной сложности.
Отдавая должное вводному и систематическому текущему повторению, нельзя переоценить важность и значение итогового повторения, в ходе которого осуществляется систематизация знаний по мере
изучения всего курса.
Ниже приводятся примерные темы такого повторения по геометрии и связанный с ними материал. (На заседаниях МО возможно
обсуждение содержания повторения к систематическим курсам алгебры и начал анализа).
Таблица12
Тема
Окружность
Треугольники
Произвольный
остроугольный
или тупоугольный
треугольник
Прямоугольный
треугольник
Основное содержание
Свойства касательных, положение центра по отношению к пересекающимся касательным, свойство хорды,
перпендикулярной радиусу, положение центра по отношению к хорде, свойства пересекающихся хорд и секущих, вписанные и центральные углы, длина окружности и дуги окружности, площадь круга и площади
сектора и сегмента
Равенство треугольников, сумма углов треугольника,
свойство точки пересечения медиан, свойство биссектрисы треугольника, высота в остроугольном и в тупоугольном треугольнике, подобие треугольников, площадь треугольника (формулы для вычисления площади
треугольника, площади подобных треугольников и треугольников с общей высотой, метод площадей), решение косоугольных треугольников, вписанные и описанные треугольники (положение центра окружности,
формулы, связанные с радиусами вписанной и описанной окружностей)
Равенство прямоугольных треугольников, решение
прямоугольных треугольников (теорема Пифагора и
определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника), пропорциональные
отрезки в прямоугольном треугольнике, свойство меди85
Тема
Основное содержание
аны, проведенной к гипотенузе.
Сумма углов в прямоугольном треугольнике, подобие
прямоугольных треугольников, формулы для вычисления площади, вписанные и описанные прямоугольные
треугольники (положение центра окружности, формулы, связанные с радиусами вписанной и описанной
окружностей)
Свойство углов при основании, свойство медианы, бисРавнобедсектрисы и высоты, проведенных к основанию, равенренный
ство двух медиан (биссектрис, высот), проведенных к
треугольбоковым сторонам. Положение центров вписанной и
ник
описанной окружности, решение косоугольных и прямоугольных треугольников для вычисления элементов
равнобедренного треугольника, подобие треугольников
Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника
Углы правильного треугольника, медианы, биссектрисы
Правильи высоты, положение центра правильного треугольника
ный треи вычисление его элементов и площади
угольник
Четырехугольники
Свойства сторон и углов параллелограмма, его признаПараллеки. Свойство диагоналей. Соотношение между квадралограмм и
тами диагоналей и сторон параллелограмма, метод
его виды
удвоения медианы треугольника. Формулы площади
(прямопараллелограмма. Свойство биссектрисы угла параллеугольник,
лограмма. Свойство диагоналей прямоугольника, приромб,
знаки прямоугольника. Свойство диагоналей ромба,
квадрат)
признаки ромба. Формулы для вычисления площади
ромба. Свойства и признаки квадрата. Вписанные в
окружность и описанные около окружности виды параллелограммов
Свойства средней линии трапеции, формула площади
Трапеция
трапеции, равнобедренная трапеция и ее свойства. Трапеция, вписанная в окружность и описанная около
окружности и их свойства
Сумма углов многоугольника, сумма его внешних угМноголов. Свойства правильных многоугольников
угольники
Многогранники
Призма (пра- Сечение призмы плоскостью. Площадь боковой и
вильная, пря- полной поверхностей призмы. Объем призмы.
86
Тема
мая, наклонная)
Основное содержание
Угол между прямой и плоскостью (диагональю призмы или грани и плоскостью основания, ребром основания и боковой гранью); угол между плоскостями
(плоскостью сечения и плоскостью основания, плоскостью диагонального сечения и плоскостью боковой
грани); угол и расстояние между скрещивающимися
прямыми (ребрами оснований, ребром основания и
диагональю грани)
Сечение пирамиды плоскостью. Усеченная пирамида.
Площадь боковой и полной поверхностей пирамиды.
Объем пирамиды.
Угол между прямой и плоскостью (боковым ребром
или высотой боковой грани и плоскостью основания,
ребром основания и плоскостью боковой грани); угол
между плоскостями (боковых граней и основания, сечения и основания, двух боковых граней с общим
ребром); угол и расстояние между скрещивающимися
прямыми (боковым ребром или высотой пирамиды и
ребром или диагональю основания)
Пирамида
(правильная, с
равными ребрами, с одинаковыми углами
между
плоскостями
боковых граней и плоскостью основания)
Тела вращения
Прямой кру- Сечение цилиндра плоскостью. Площадь боковой и
говой цилиндр полной поверхностей цилиндра. Объем цилиндра.
Угол между прямой и плоскостью (прямой в секущей
плоскости и плоскостью основания); угол между
плоскостями (сечения и основания); угол и расстояние между скрещивающимися прямыми (хордами
двух оснований)
Прямой кру- Сечение плоскостью. Усеченный конус. Площадь боговой конус
ковой и полной поверхностей конуса. Объем конуса.
Угол между прямой и плоскостью (образующей и
плоскостью основания); угол между плоскостями
(сечения и основания); угол и расстояние между
скрещивающимися прямыми (образующей и хордой
основания)
Шар и сфера
Сечение плоскостью. Площадь поверхности. Объем
шара. Свойства фигуры, вписанной в сферу. Касательная плоскость
При новой форме диагностики качества образования учителю
необходимо непрерывно повышать свой профессиональный академи87
ческий уровень. Если раньше (до ЕГЭ) учитель считал, что подготовка
выпускников к поступлению в вуз не является его задачей и задачей
школы и учитель не несет ответственности за поступление или не поступление в вуз, то сейчас каждый учитель (как основной так и старшей школы) заинтересован в получении высоких результатов ЕГЭ, так
как по ним могут судить о его профессионально - академическом
уровне. Здесь очень важно понимать, что учителя основной школы не
менее ответственны за подготовку учащихся к новой форме аттестации, как в области процедурной организации деятельности школьников, так и в подготовке учащихся по предмету. Учитель обязан дать
возможность каждому ученику освоить высокий уровень знаний. В
этих целях данное методическое пособие содержит достаточно обширный список источников в помощь учителю, подлежащих изучению,
особенно для тех, кто впервые сталкивается с подготовкой учащихся к
ЕГЭ.
Наличие в интернете открытого банка заданий части 1 КИМ
ЕГЭ по математике (http://mathege.ru) дает возможность постепенно
включать эти задания в учебный процесс, а на завершающем этапе
подготовки к экзамену эффективно проводить диагностику недостатков и их устранение в усвоении отдельных тем путем решения серии
задач конкретного типа. Всего открытый банк заданий содержит 88192
задачи типов В1-В14. Однако, в действительности основные типы задач представлены 1689 прототипами (моделями задач, на основе которых составлены остальные). Задания открытого банка помогают будущим выпускникам повторить (освоить) школьный курс математики,
найти в своих знаниях слабые места и ликвидировать их до экзамена.
Задачи В1–В14 представлены заданиями, покрывающими все требования Федерального компонента образовательного стандарта, содержат
все основные типы заданий базового уровня, представленные в школьном курсе математики. Доступ к заданиям открытого банка свободный
и для школьника, и для учителя, и для родителя.
Численность и состав предметной комиссии
Количественный состав экспертов в 2012-2013 учебном году
оставить без изменений, однако продолжить практику качественной
ротации кадров: активнее привлекать к проверке развёрнутых ответов
ЕГЭ учителей, работающих в старших классах; учителей высшей категории.
Продолжить в практике подготовки к экзамену проведение
обучающих семинаров для экспертов, расширить практику работы
88
экспертов с прототипом дистанционного обучения. Целью такой деятельности является выработка единых подходов к оцениванию работ,
позволяющая, во-первых, повысить качество проверяемых работ, вовторых снизить процент третьих проверок.
Обеспечить участие председателя предметной комиссии и его
заместителей в работе конференции «Роль экспертного сообщества в
формировании общероссийской системы оценки качества образования
и вопросы совершенствования контрольных измерительных материалов ЕГЭ и ГИА для выпускников IX классов», проводимой ФГБНУ
«ФИПИ» в октябре 2013 г.
Обеспеченность нормативной и методической документацией по
организации деятельности предметной комиссии
Необходимо осуществлять ознакомление учителей и преподавателей математики образовательных учреждений (в том числе, учреждений начального и среднего профессионального образования) с
нормативными документами и методическими материалами ЕГЭ по
математике. Такую деятельность можно осуществлять в следующих
формах:
 обсуждение демонстрационных вариантов, кодификаторов и
спецификаций ЕГЭ по математике нового учебного года на методических объединениях учителей в образовательных учреждениях, муниципалитетах, в районных методических объединениях с привлечением
учителей математики, работающих в 10-11 классах в текущем учебном
году;
 курсы повышения квалификации, организуемые с непосредственным участием представителей предметной комиссии по математике;
 выездные обучающие семинары в образовательных округах
Алтайского края для учителей, работающих в 11 классах в текущем
учебном году, включающие в программу вопросы нормативного и методического обеспечения ЕГЭ с непосредственным участием представителей краевой предметной комиссии по математике;
 своевременной размещение нормативной и методической документации ЕГЭ текущего года на сайтах РЦОИ ЕГЭ в Алтайском
крае, Главного управления образования и молодёжной политики Алтайского края;
 подготовка и распространение в образовательных учреждениях Алтайского края для обсуждения на методических комиссиях по
предмету «Анализа результатов Единого государственного экзамена в
89
текущем году», сформированного председателями предметных комиссий с участием РЦОИ.
Методическую помощь учителю и учащимся при подготовке к
ЕГЭ могут оказать материалы с сайта ФИПИ (www.fipi.ru ):
 документы, определяющие структуру и содержание КИМ (кодификаторы элементов содержания и требований, спецификация и демонстрационный вариант КИМ);
 открытый сегмент Федерального банка тестовых заданий;
 учебно-методические материалы для председателей и членов
региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий
с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ;
 аналитические отчеты о результатах экзамена и методические
письма прошлых лет;
 перечень учебных изданий, разработанных специалистами
ФИПИ или рекомендуемых ФИПИ для подготовки к ЕГЭ.
90
Библиографический список
1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.:
Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение.
2. Брадис В. M. , Минковский В. Л. , Харчева А. К. . Ошибки в
математических рассуждениях [Текст]. — М.: Учпедгиз, 1959. — 176
С.
3. Гусев В.А. и др. Практикум по элементарной математике.
Планиметрия.– М.: Вербум, 2000. – 112 с.
4. Далингер В.А. Начала математического анализа. Типичные
ошибки, их причины и пути их предупреждения. Омск: ООО «Издатель-полиграфист», 2002. 158 с.
5. Дорофеев Г.В. Оценка решений стандартных задач [Текст] //
Математика в школе.1999. № 3. С. 9— 12 [тригонометрия].
6. Дорофеев Г.В. Оценка решений стандартных задач [Текст] //
Математика в школе. 1999. № 4. С. 42—44 [начала анализа].
7. Дорофеев Г.В. Оценка решений стандартных задач [Текст] //
Математика в школе.1999. № 2. С. 2—6 [алгебра].
8. Дорофеев Г.В., Медведева О.С., Седова Е.А. Об оценивании
экзаменационных решений [Текст] // Математика в школе. 2002. № 4.
С. 5—11.
9. Иванов М.А. Математика без репетитора: 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. – М.: Вентана – Граф, 2002.– 320
с.
10. Методика и технология обучения математике. Курс лекций:
пособие для вузов/ под научной ред. Н.Л. Стефановой,
Н.С. Подходовой. — М.: Дрофа, 2005. — 416 с.
11. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. учеб.
для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина.
12. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина.
13. Самсонов П.И. Анализ ошибок выпускников на ЕГЭ-2012 по
математике. I часть [Текст] // Математика в школе. 2012. № 8 С. 14-21.
14. Самсонов П.И. Анализ ошибок выпускников на ЕГЭ-2012 по
математике. II часть [Текст] // Математика в школе. 2012. № 9 С. 3-10.
15. Семенко Е.А. Где и как можно использовать задания открытого сегмента //Оценка качества образования. 2008. №2.
16. Семенов П.В..- Алгебра и начала анализа: учеб. Пособие
(ЕГЭ шаг за шагом). /П.В.Семенов.- М.Мнемозина, 2007.
91
17. Стукалов В. А. , Стукалова Н. А. Методическое содержание
понятия ошибки в учебной математической деятельности // Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета». Выпуск 2006 [Электронный ресурс] Режим доступа http://www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-66.pdf
18. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ -2007г. / под ред.
Ф.Ф.Лысенко – изд. Легион, Ростов-на-Дону, 2007г., 256с (пособие для
самостоятельной подготовки учащихся)
19. Шамова Т.И., Подчалимова Г.Н., Худин А.Н., Ильина И.В.
Единый государственный экзамен, Технология подготовки ОУ к эксперименту.- М.:АПК и ПРО, 2003.-170с.
20. Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в вузы: Учеб.
пособие. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2000.
92
Оглавление
Введение ......................................................................... ......................3
1. Предметная комиссия ЕГЭ по математике в Алтайском крае ......4
2. Обеспеченность нормативной и методической документацией по
организации деятельности предметной комиссии ...... ......................8
3. Взаимодействие с Главным управлением образования и
молодёжной политики Алтайского края и РЦОИ ЕГЭ ....................9
4. Характеристика участников ЕГЭ по математике 2013 года .........10
5. Основные результаты экзамена по математике 2013 года ............18
6. Результаты выполнения заданий по основным содержательным
разделам учебного предмета «Математика» ............... ......................20
7. Типичные ошибки, допущенные участниками экзамена при
решении задач второй части ......................................... ......................38
Задача С1
38
Задача С2
49
Задача С3
55
Задача С4
64
Задача С5
68
Задача С6
71
8. Влияние на результаты экзамена в форме ЕГЭ используемого
учебника ......................................................................... ......................75
9. Участие в деятельности конфликтной комиссии .... ......................76
ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ................................. ......................77
Библиографический список .......................................... ......................91
93
Учебное издание
Кисельников Игорь Васильевич
ЕГЭ по математике в Алтайском крае: методический анализ
результатов 2013 года
Учебно-методическое пособие
Отв. за выпуск – Л.В. Скорлупина
Подписано в печать 31.10.2013 г.
Объём 5,9 п.л. Формат 60х84/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Таймс. Тираж 500 экз. Заказ № 130.
Отпечатано в типографии «Концепт»
656049, пр-т Социалистический, 85
Тел. 36-82-51
94