4. Системы линейных уравнений

§ 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Основные понятия
Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные
только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. есa1x 1  a2 x 2    an x n  b ,
ли оно имеет вид
где ai ( i  1,2,n ), b – числа. ai называются коэффициентами уравнения, b называется свободным членом. Если b  0 , то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднороным.
В этом параграфе мы будем рассматривать систему m линейных
уравнений с n неизвестными, т.е. систему вида
 a11x1  a12 x 2    a1n x n  b1
a x  a x    a x  b
22 2
2n n
2
(1)
 21 1










am1x1  am 2 x 2    amn x n  bm
Обозначим через A и A* следующие матрицы:
 a11 a12  a1n b1 
 a11 a12  a1n 


a

a

a
a
a

a
b
21
22
2
n
21
22
2
n
2
*
.
A
 и A 
      
   
 am1 am 2  amn 
 am1 am 2  amn bm 
Матрицу A называют основной матрицей системы (1), а матрицу A* –
расширенной матрицей системы (1).
Пусть X – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов, т.е.
 x1 
 b1 
x 
 
X   2  и B   b2  .


x
 n
 bm 
Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения
A  X  B . Его называют матричной формой системы (1).
Упорядоченный набор чисел c1, c2 ,, cn называется решением системы (1) если он обращает в тождество каждое уравнение системы. Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Система линейных уравнений, не имеющая решений,
называется несовместной.
Если система совместна, то она имеет либо одно решение, либо множество решений. Система, имеющая единственное решение, называется
определенной. Система, имеющая множество решение, называется неопределенной.
1
Критерии совместности и определенности системы дают следующие
две теоремы
ТЕОРЕМА (Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений (1)
совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен
рангу ее расширенной матрицы, т.е.
r( A )  r( A* ) .
ТЕОРЕМА (критерий единственности решения). Система линейных
уравнений (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е.
r( A )  r( A* )  n .
2. Методы решения систем линейных уравнений
1) Матричный метод.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной к матрице A называется матрица,
обозначаемая A 1 , такая, что A  A 1  A 1  A  E .
СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
1) Если матрица A имеет обратную, то A и A 1 – квадратные одного
порядка.
Действительно, чтобы существовали произведения A  A 1 и
A 1  A необходимо, чтобы матрицы A и A 1 имели соответственно
размеры n  m и m  n . Тогда матрица A  A 1 будет иметь размер
n  n , а матрица A 1  A – размер m  m . Но для равенства
A  A 1  A 1  A необходимо, чтобы размеры матриц A  A 1 и A 1  A
совпадали, т.е. n  m .
2) Если обратная матрица существует, то она единственная.
Действительно, если предположить, что существует две матрицы
B и C обладающие свойством
A B  B A  E и A  C  C  A  E,
то будет существовать и произведение B  A  C , причем
B  A  C  (B  A)  C  E  C  C
B  A  C  B  ( A  C)  B  E  B .
и
BC.
Следовательно,
3) Если матрица A имеет обратную, то определитель матрицы A отличен от нуля.
2
Действительно, так как E  1 и для любых квадратных матриц A
и B AB  A  B , то
A  A 1  A  A 1  1
и, следовательно, A  0 и A 1  0 .
Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.
Условие невырожденности матрицы A оказалось не только необходимым для существования ее обратной матрицы, но и достаточным. Т.е.
справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Пусть A – квадратная матрица порядка n . Матрица
A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель A
отличен от нуля. Причем обратная матрица A 1 может быть найдена
по формуле:
1
 ST ,
A 1 
A
где S – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы A ,
т.е.
 A 11 A 12  A 1n 


A
A

A
21
22
2
n
.
S 
   
A

 n1 A n2  A nn 
Матрица ST называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы A .
ПРИМЕР. Найти матрицу, обратную к матрице
3 5  2 
A  1  3 2 .
6 7  3


Так как определитель матрицы A  10  0 , то матрица имеет обратную. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A . Получим:
A11  ( 1)2  3 2  5 , A12  ( 1)3 1 2  15 , A 13  ( 1)4 1  3  25 ,
7 3
6 3
6 7
A21  ( 1)3 5  2  1 ,
7 3
A22  ( 1)4 3  2  3 ,
6 3
A31  ( 1)4 5  2  4 ,
3 2
A32  ( 1)5 3  2  8 , A33  ( 1)6 3 5  14 .
1 2
1 3
3
A23  ( 1)5 3 5  9 ,
6 7
  5 15 25 
S  1 3
9 
 4  8  14 


Следовательно,
и
T
  0,5 0,1 0,4 
1   5 15 25 
A   1 3
9
  1,5 0,3  0,8  .




10  4  8  14 
 2,5 0,9  1,4 
1
Рассмотрим теперь систему линейных уравнений, в которой число
уравнений m и число неизвестных n совпадает и A  0 . Тогда:
1) r( A )  r( A* )  n и, следовательно, такая система имеет единственное
решение.
2) Матрица A имеет обратную матрицу A 1 .
Покажем, как можно найти решение этой системы с помощью обратной матрицы A 1 . Запишем систему в матричной форме:
(2)
AX  B
1
Умножим обе части равенства (2) на A слева. Получим:
A 1  ( A  X )  A 1  B ,

( A 1  A )  X  A 1  B ,


E  X  A 1  B ,
X  A 1  B .
(3)
Таким образом, если в системе линейных уравнений m  n и
A  0 , то система имеет единственное решение, которое можно найти по
формуле (3). Нахождение решения по формуле (3) называют матричным методом решения системы.
ПРИМЕР. Решить матричным методом систему
3 x 1  5 x 2  2 x 3  0 ,

 x1  3x 2  2 x 3  0,
6 x 1  7 x 2  3 x 3  5 .
Матрица системы имеет вид
3 5  2 
A  1  3 2 .
6 7  3


Эта матрица невырожденная ( A  10  0 ), и, следовательно, решение может быть найдено матричным методом. Имеем (см. предыдущий пример):
T
  0,5 0,1 0,4 

5
15
25


1 
1

A   1 3
9
  1,5 0,3  0,8 




10  4  8  14 
 2,5 0,9  1,4 
4
  0,5 0,1 0,4   0   2 

X  A  B  1,5 0,3  0,8    0     4  .

    
 2,5 0,9  1,4   5    7 
Таким образом, получили x 1  2 , x 2  4 , x 3  7 .
и
1
2) Метод Крамера.
Также как и матричный метод, этот метод применятся для решения
систем линейных уравнений, в которых число уравнений m и число неизвестных n совпадают и матрица A системы – невырожденная. Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число
уравнений m и число неизвестных n совпадает и A  0 , то система
совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено
по формулам
Di
( i  1,2,n ),
(4)
D
где D  A , а D i – определитель, получаемый из определителя D заменой его i -го столбца на столбец свободных членов.
xi 
Формулы (4) называются формулами Крамера.
ПРИМЕР. Решить методом Крамера систему:
2 x 1  3x 2   1
3x  4 x   1
 1
2
Так как число уравнений и число неизвестных в системе совпадают, и
определитель матрицы системы D  2 3  8  9  1  0 , то решение си3 4
стемы может быть найдено по формулам Крамера. Имеем:
D 1   1 3  1, D2  2  1  1 .
1 4
3 1
D1  1
D
1
x1 

1, x2  2 
Следовательно,
 1.
D 1
D 1
5