Компьютерный практ по мат анализу ПИ 14

НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины «Компьютерный практикум по математическому анализу» для направления 09.03.04. Программная инженерия подготовки бакалавра подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Нижегородский филиал
Федерального государственного автономного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет бизнес-информатики и прикладной математики
Программа дисциплины «Компьютерный практикум по математическому
анализу»
для направления 09.03.04. Программная инженерия
подготовки бакалавра
Автор программы: старший преподаватель Конюшков А.П. konyushkov@mail.ru
Одобрена на заседании кафедры ПМИ «___»____________ 2014 г.
Зав. кафедрой Калягин В.А._______________________
Рекомендована секцией УМС «Прикладная математика» «___»________ 2014 г.
Председатель Калягин В.А._______________________
Утверждена УМС НИУ ВШЭ – Нижний Новгород «___»_____________2014 г.
Председатель Петрухин Н.С.________________________
Нижний Новгород, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины «Компьютерный практикум по математическому анализу» для направления 09.03.04. Программная инженерия подготовки бакалавра подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 09.03.04. Программная инженерия, изучающих дисциплину «Математический анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 ОС ГОБУ ВПО ГУ-ВШЭ по направлению 09.03.04. Программная инженерия;
 Образовательной программой 09.03.04. Программная инженерия.
 Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 09.03.04. Программная инженерия, утвержденным в 2014г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Компьютерный практикум по математическому анализу» являются подготовка в области основ гуманитарных, социальных, экономических, математических и естественнонаучных знаний, получение высшего профессионально профилированного (на уровне бакалавра) образования, позволяющего выпускнику успешно работать в избранной сфере деятельности, обладать универсальными и предметно-специализированными
компетенциями, способствующими его социальной мобильности и устойчивости на рынке труда.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:



Знать основные определения и результаты (теоремы) математического анализа.
Уметь решать типовые теоретические и вычислительные задачи.
Иметь навыки (приобрести опыт) применения методов математического анализа в
смежных теоретических и прикладных областях.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Готовность выявить
ОНК-5 Студент способен к распознаванию естественнонаучных аспектов
естественнонаучную
широкого круга проблем профессущность проблем,
сиональной деятельности, обладавозникающих в ходе
ет необходимыми навыками припрофессиональной деяменения понятийного аппарата
тельности, привлечь их
для решения соответствующий физикоматематический аппарат
Способность понимать и ПК-2 Студент способен применять в
применять в исследоваисследовательской и прикладтельской и прикладной
ной деятельности современный
деятельности современматематический аппарат
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Чтение лекций, проведение практических занятий,
самостоятельная работа
Чтение лекций, проведение практических занятий,
самостоятельная работа
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины «Компьютерный практикум по математическому анализу» для направления 09.03.04. Программная инженерия подготовки бакалавра подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ный математический аппарат
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических дисциплин и блоку дисциплин,
обеспечивающих подготовку бакалавра по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика».
Для направления «Прикладная математика и информатика» настоящая дисциплина является
базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на предыдущих частях дисциплины «Математический анализ», а также дисциплины «Линейная алгебра».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин: «Эконометрика», «Дифференциальные и разностные уравнения», «Уравнения с частными производными», «Методы оптимальных решений».
5
Тематический план учебной дисциплины
Название темы
№
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
2.
2.1.
2.2.
Комплексный анализ
Комплексные числа
Функции комплексного переменного
Дифференцирование функции комплексного переменного
Элементарные функции комплексного переменного
Интегрирование функции комплексного переменного
Функциональные ряды
Фурье анализ
Ряд Фурье
Интеграл Фурье
Всего
Всего
часов
80
6
10
10
Аудиторные занятия
Семинары
и практиЛекции
ческие занятия
16
16
1
1
2
2
2
2
Самостоятельная
работа
56
1
15
15
22
5
5
9
20
4
4
8
12
82
46
36
162
2
12
6
6
28
2
12
6
6
28
8
50
34
16
106
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины «Компьютерный практикум по математическому анализу» для направления 09.03.04. Программная инженерия подготовки бакалавра подготовки бакалавра
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Контрольная работа
1-й
год
1 2
6
Домашнее задание
5
Экзамен
*
Параметры
Контрольная работа по части 1. Комплексный анализ
Контрольная работа по части 2. Анализ
Фурье
Устно-письменная работа
5.1 Критерии оценки знаний, навыков
Студент должен продемонстрировать хорошее владение определениями и основными теоремами
математического анализа, а также умение решать типовые задачи.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6
Содержание дисциплины
Часть 1. Комплексный анализ
Комплексные числа
Комплексные числа. Основные понятия. Действия над комплексными числами. Ком-
плексная плоскость. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.
Модуль и аргумент комплексного числа. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана.
Функции комплексного переменного
Множества на комплексной плоскости. Область. Разрезы. Однозначные функции. Однолистные и обратные функции. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
Дифференцирование функции комплексного переменного
Производная от функции комплексного переменного. Дифференциал. Условия КошиРимана в декартовых и полярных координатах. Аналитические функции. Особые точки. Гармонические функции. Сопряженные гармонические функции. Геометрический смысл модуля и
аргумента производной.
Элементарные функции комплексного переменного
Дробно – линейная функция. Степенная функция W  z n и корень W  n z . Показательная функция и логарифм. Свойства логарифма. Тригонометрические функции и обратные к
ним.
Интегрирование функции комплексного переменного
Интеграл от функции комплексного переменного. Существование интеграла. Свойства
интегралов. Параметрическая формула для вычисления интегралов. Интегральная теорема Коши для односвязной области. Обобщенная теорема Коши. Интегральная теорема Коши для конечносвязной области. Первообразная и ее свойства. Интегральная формула Коши. Теорема о
бесконечной дифференцируемости аналитической функции. Вычисление интегралов.
Функциональные ряды.
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины «Компьютерный практикум по математическому анализу» для направления 09.03.04. Программная инженерия подготовки бакалавра подготовки бакалавра
Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства суммы
равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства
степенных рядов. Ряды Тейлора. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора. Примеры.
Литература к части 1
Основная:
1.
И.И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного», СпБ., «Лань»,
2009.
2.
А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов «Теория функций комплексного переменного», М.,
«Физматлит», 2004.
Дополнительная:
1.
М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат «Методы теории функций комплексного переменного»
СпБ., «Лань», 2002.
Часть 2. Фурье анализ
Ряд Фурье
Периодические функции: определение, основные свойства. Периодическое продолжение
функции. Скалярное произведение двух функций. Система ортогональных функций. Функциональный ряд по системе ортогональных функций и выражение для его коэффициентов. Система
тригонометрических функций и их ортогональность. Ряд Фурье по системе тригонометрических функций. Ряд Фурье для четных и нечетных функции. Сходимость ряда Фурье к кусочногладкой функции. Примеры. Характеристическое свойство рядов Фурье. Неравенство Бесселя.
Полнота системы ортогональных функций. Равенство Парсеваля. Теоремы о малости коэффициентов Фурье. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Ряды Фурье для многомерных функций.
Интеграл Фурье
Дельта функция Дирака, основные свойства. Интегральная формула Фурье. Тригонометрическая форма записи интеграла Фурье. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.
Примеры. Преобразование Фурье и его свойства. Синус и косинус преобразование Фурье. Введение в теорию сигналов.
Характеристическая функция случайной величины
Характеристическая функция как Фурье преобразование от плотности распределения.
Свойства и примеры производящих функций для наиболее распространенных распределений
случайной величины. Производящая функция суммы независимых случайных величин. Вычисление моментов случайной величины с помощью производящей функции. Устойчивые распре-
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины «Компьютерный практикум по математическому анализу» для направления 09.03.04. Программная инженерия подготовки бакалавра подготовки бакалавра
деления. Распределение Леви. Нормальное распределение как частный случай распределения
Леви.
Литература к части 2
Основная:
1. Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» том 3, СпБ.,
«Лань», 2009
2. Кудрявцев Л. Д. математического анализа» т. 3, М. «Дрофа», 2006.
Дополнительная:
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б. Х. «Математический анализ» ТК Велби, 2007.
7
Образовательные технологии
При реализации учебной работы предполагается использовать разбор практических за-
дач.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1
Тематика заданий текущего контроля
Примерные задания для контрольных работ и домашнего задания:
1. Найти выражение для функций комплексного переменного.
2. Проверить выполнение условий Коши-Римана и найти производную функции комплексного переменного.
3. Проверить гармоничность функции действительного переменного и найти гармонически сопряженную.
4. Найти интеграл вдоль заданного контура от функции комплексного переменного.
5. Разложить периодическую функцию в ряд Фурье.
6. Разложить функцию в интеграл Фурье.
8.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.
o Скалярное произведение двух функций.
o Система ортогональных функций.
o Функциональный ряд по системе ортогональных функций и выражение для его
коэффициентов.
o Сфера Римана.
o Расширенная комплексная плоскость.
o Система тригонометрических функций и их ортогональность.
o Ряд Фурье по системе тригонометрических функций.
o Ряд Фурье для четных и нечетных функции.
o Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.
o Модуль и аргумент комплексного числа.
o Предел и непрерывность функции комплексного переменного
o Сходимость ряда Фурье к кусочно-гладкой функции. Интеграл фурье
o Производная от функции комплексного переменного.
o Условия Коши-Римана. Аналитические функции.
o Характеристическое свойство рядов Фурье.
o Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины «Компьютерный практикум по математическому анализу» для направления 09.03.04. Программная инженерия подготовки бакалавра подготовки бакалавра
o Гармонические функции. Сопряженные гармонические функции.
o Теоремы о малости коэффициентов Фурье
o Геометрический смысл модуля и аргумента производной
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов по правильности выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на практических занятиях. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная
оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным и итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Отекущий = 0.5*Ок/р + 0.5*Од/з
Онакопленная = 0.6*Отекущий + 0.2*Осам. работа + 0.2*Оаудитор.
Итоговая накопленная оценка за три года обучения вычисляется по формуле:
Онакопленная итоговая = (О промежут 1 курс + О промежут. 2 курс + О накопл.3 курс):3
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:
Одисциплина = 0.8*Онакопленная итоговая + 0.2*Оитоговый (экзамен)
При вычислении оценок Отекущий, Онакопленная, Оитоговый и Одисциплина используется округление в пользу студента.
Согласно новой методике формирования оценки по дисциплине, которая читается несколько этапов (модулей, лет), учитываются предыдущие результаты. Я попыталась это отразить в формулах. Коэффициенты можно проставить другие. В любом случае, ваша оценка решающая.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовая литература
[1]. И.И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного», СпБ.,
«Лань», 2009.
[2]. А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов «Теория функций комплексного переменного», М.,
«Физматлит», 2004.
[3]. Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» том 3,
СпБ., «Лань», 2009.
[4]. Кудрявцев Л. Д. математического анализа» т. 3, М. «Дрофа», 2006. Что-то потеряно.
10.2 Дополнительная литература
[5]. М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат «Методы теории функций комплексного переменного» СпБ., «Лань», 2002.
[6]. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б. Х. «Математический анализ» ТК Велби,
2007.
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины «Компьютерный практикум по математическому анализу» для направления 09.03.04. Программная инженерия подготовки бакалавра подготовки бакалавра
Автор программы
А.П. Конюшков