Стереометрия для придания уверенности в себеx

Стереометрия для придания уверенности в себе
1. Точки А1, В1, С1, D1 - середины ребер SA, SB, SC и
SD пирамиды SABCD. Известно, что отрезки АС1,
ВD1, CA1, DB1 проходят через одну точку и имеют
равные длины. Доказать, что АВСD прямоугольник.
2. В пространстве расположены четыре попарно
скрещивающиеся прямые. Докажите, что
найдется полуплоскость, границей которой является одна из этих прямых, не
пересекающаяся с остальными тремя прямыми.
3. Назовём кубоподобным многогранник, имеющий шесть граней и восемь вершин,
в каждой из которых сходятся по три грани, каждая грань при этом –
четырёхугольник. Докажите, что если отрезки, соединяющие точки пересечения
диагоналей
противоположных
граней
кубоподобного
многогранника,
пересекаются в одной точке, то отрезки, соединяющие его противоположные
вершины (главные диагонали), также пересекаются в одной точке.
4. Прямая, проходящая через середины скрещивающихся ребер тетраэдра,
называется хорошей средней линией тетраэдра, если она образует равные углы с
четырьмя прямыми, содержащими остальные ребра тетраэдра. Докажите, что
тетраэдр – правильный, если хотя бы две его средние линии хорошие.
9. Пятигранник ABCA1B1C1 имеет две непараллельные треугольные грани ABC и A1B1C1
и три грани – выпуклые четырехугольники ABB1A1, BCC1B1, CAA1C1. Докажите, что
плоскость, проведенная через точки пересечения диагоналей четырехугольных
граней, содержит прямую пересечения плоскостей ABC и A1B1C1.
10. Основания трех высот треугольной пирамиды являются точками пересечения
медиан противоположных граней. Докажите, что все ребра пирамиды равны.
И посложнее
11. В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным
шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.
12. Существуют ли выпуклая n -угольная (n≥4) и треугольная пирамиды такие, что
трёхгранные углы треугольной пирамиды соответственно равны трёхгранным
углам при четырёх различных вершинах n-угольной пирамиды?
13. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Сфера S с центром на диагонали AC1
пересекает ребра AB, AD, AA1 в точках K, L, M соответственно, а ребра C1D1, C1B1, C1C
– в точках K1, L1, M1 соответственно. Оказалось, что плоскости KLM и K1L1M1
параллельны, но треугольники KLM и K1L1M1 не равны. Докажите, что диагональ AC1
образует равные углы с ребрами AB, AD и AA1.
5. На основании ABC треугольной пирамиды SABC, у которой все плоские углы при
вершине S больше 60, произвольно взята точка О. Докажите, что по крайней мере
один из углов SAO, SBO и SCO меньше 60.
14. Даны два правильных тетраэдра с рёбрами длины 2 , переводящихся один в
другой при центральной симметрии. Пусть Φ- множество середин отрезков, концы
которых принадлежат разным тетраэдрам. Найдите объём фигуры Φ.
6. Пусть ABCD – тетраэдр, w - сфера, касающаяся всех его ребер. Две точки касания
сферы w с ребрами тетраэдра ABCD соединим отрезком тогда и только тогда, когда
они лежат на одной грани тетраэдра. Доказать, что сумма всех таких отрезков
меньше, чем 3(AI+BI+CI+DI), где I – центр сферы w.
15. Многогранник описан около сферы. Назовём его грань большой, если проекция
сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших
граней не больше 6.
7. Пусть A1, B1, C1, D1 – соответственно середины ребер SA, SB, SC, SD четырехугольной
пирамиды SABCD. Известно, что пространственные четырехугольники ABC1D1,
A1BCD1, A1B1CD, AB1C1D являются плоскими и имеют равные площади. Докажите,
что ABCD – ромб.
8. Найдите геометрическое место точек P, лежащих внутри куба ABCDA'B'C'D', для
которых в каждую из шести пирамид PABCD, PABB'A', PBCC'B', PCDD'C', PDAA'D',
PA'B'C'D' можно вписать сферу.
16. Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров
радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?
17. Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера  касается грани ABC в точке T. Сфера
' касается грани ABC в точке T ' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите,
что прямые AT и AT ' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.
18. Дана треугольная пирамида ABCD. Сфера S1, проходящая через точки A, B, С,
пересекает ребра AD, BD, CD в точках K, L, M соответственно; сфера S2, проходящая
через точки A, B, D, пересекает ребра AC, BC, DC в точках P, Q, M соответственно.
Оказалось, что KL || PQ. Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP
совпадают.