Задания для подготовки к экзамену ТЭМ 2

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
ПО МАТЕМАТИКЕ, гр.ТЭМ 2-50
Тема: Дифференциальное исчисление функции одного аргумента.
Применение производной к исследованию функции.
Вопрос 1.
Производная функции у  ln x 2 равна:
а) y  
2
1
1
2
; б) y  
; в) y   ; г) y   2 .
2
x
2x
x
x
Вопрос 2.
Производная функции у  sin x 2 равна:
а) y   2 sin x cos x ; б) y   2 x sin x ; в) y   2 x  cos x 2 ; г) y   2 x cos x 2 .
Вопрос 3.
Вторая производная функции y  ln 2 x равна:
а) y   
1
1
2
1
; б) y    2 ; в) y   2 ; г) y   2 .
2
x
x
x
2x
Вопрос 4.
Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от
времени: s(t )  2t 2  4t  2 . Какова будет мгновенная скорость этой точки в момент
времени t 0  1 .
а) 1; б) 0; в) 2; г) 4.
Вопрос 5.
Известно, что для некоторой функции на интервале 0;  установлены следующие
свойства: y  0, y   0, y   0 . Какая из перечисленных элементарных функций
удовлетворяет всем этим условиям:
а) y  x 3 ; б) y  x ; в) y 
1
; г) y  ln x .
x
Вопрос 6.
Указать, чему равно приращение функции y  x 4 в точке x0  1 , соответствующее
приращению аргумента x  0,1 :
а) 0,1; б) 0,01; в) 0,001; г) 0,0001.
Вопрос 7.
Вторая производная функции y 
а) y   
1
равна:
ex
1
1
1
2
; б) y   4 õ ; в) y    х ; г) y    х .
2х
å
е
е
е
Вопрос 8.
Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от
времени: s(t )  2t 3  t  2 . Каково будет ускорение этой точки в момент времени t 0  1 .
а) 0; б) 12; в) 4; г) 6.
Вопрос 9.
Указать, чему равно наибольшее значение функции y  x 2  1 на отрезке 1; 3 :
а) 2 2 ; б)
2 ; в) 4; г) 8.
Вопрос 10.
Вторая производная функции y  sin 2 x равна:
а) y   4 sin 2 x ; б) y   4 cos 2 x ; в) y   2 sin 2 x ; г) y   4 sin 2 x .
Вопрос 11.
  3 
Указать, чему равно наибольшее значение функции y  sin x на отрезке  ;  :
4 4 
а) 0; б)
1
2
; в) 1; г)
3
.
2
Вопрос 12.
Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от
времени: s(t )  2t 2  4t  2 . Каково будет ускорение этой точки в момент времени t 0  1 .
а) 0; б) 1; в) 2; г) -4.
Вопрос 13.
Вторая производная функции y  ( x  5) 2 равна:
а) y   2 ; б) y   2 x ; в) y   2 ; г) y   10 .
Вопрос 14.
Производная функции y  sin 2 x равна:
а) y   2 sin x ; б) y   2 sin x ; в) y   2 cos x ; г) y   cos 2 x .
Вопрос 15.
Производная функции y  cos 2 x равна:
а) y   2 cos x ; б) y   2 sin x ; в) y    sin 2 x ; г) y    sin 2 x .
Вопрос 16.
Вторая производная функции y  2 x равна:
а) y   2 x ln 2 ; б) y   2  2 x ln 2 ; в) y   2 x ln 2 2 ; г) y   2 x ln 4 .
Вопрос 17.
Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от
времени: s(t )  t 3  2t 2  2t . Каково будет ускорение этой точки в момент времени t 0  1 .
а) -4; б) -3; в) -2; г) 0.
2
Вопрос 18
Производная функции у  ln 2 x равна:
а) y  
2 ln x
ln x
1
; б) y   2 ln x ; в) y  
; г) y  
2
x
2x
x
Тема: Интегральное исчисление функции одного аргумента.
Вопрос 1.
Первообразной для функции y 
1
на интервале  ; 0 является функция:
x
а) y  ln(  x) ; б) y  ln x ; в) y  ln x ; г) ни одна из перечисленных функций.
Вопрос 2.
Функция y  x является первообразной для функции y 
1
2 x
на интервале:
а) (; ) ; б) 0;   ; в) 0;  ; г) ни на одном из перечисленных интервалов.
Вопрос 3.
Неопределённый интеграл
а)
1
2 x
; б)
2
x
dx

x
; в) 2 x ; г) 
равен:
3
2
x
.
Вопрос 4.
Неопределённый интеграл
 xe
x
dx равен:
x  e x e x ; г)
а) x  e x  e x ; б) x  e x  x ; в)
x  ex  ex .
Вопрос 5.
Неопределённый интеграл  sin 2 x cos x dx равен:
а) 2 cos 2 x  sin 2 2 x ; б) 2 sin 2 2 x cos 2 x ; в)
1 3
2
sin 2 x ; г)  cos 3 x .
3
3
Вопрос 6.
Неопределённый интеграл
а)

3
x 2 dx равен:
33 x 5
33 x 5
35 x 3
53 x 5
; б)
; в) 
; г)
.
5
5
5
3
Вопрос 7.
1
на интервале  ; 0 является функция: а)
x
y  ln(  x) ; б) y  ln x ; в) y  ln x ; г) ни одна из перечисленных функций.
Первообразной для функции y 
3
. Вопрос 8.Неопределённый интеграл
а)
1
3
3 x
3
; б)
3
x
; в) 33 x ; г)  3
3
x

dx
3
x2
равен:
.
Вопрос 9.
Укажите среди перечисленных вариантов ответа общий вид первообразных функции
1
y  cos 2 x :
2
1
1
1
1
а) y   sin 2 x  C ; б) y   sin x  C ; в) y  sin x  C ; г) y  sin 2 x  C .
4
4
4
4
Вопрос 10.
Неопределённый интеграл  ln x dx равен:
а) x ln x  x ; б) x ln x  x ; в) x ln x  ln x ; г) x ln x .
Вопрос 11.
Среди предложенных вариантов ответа выберите значение площади фигуры,
ограниченной линиями y  0, x  0, y  cos x :
а) 0; б)

; в) 1; г)  .
2
Вопрос 12.
1
Определённый интеграл
 sin x dx равен:
1
а) 0; б) 
2
2
; в) ; г) 1.
3
3
Вопрос 13.
Среди предложенных вариантов ответа выберите значение площади фигуры,

ограниченной линиями y  0, x  0, x  , y  sin x :
2
а) 0; б)

; в) 1; г)  ..
2
Вопрос 14.
Неопределённый интеграл  e  x
а)  2 x 2 e  x
2
/2
; б)  2 x  e  x
2
/2
2
/2
; в) 
dx равен:
1 2  x2 / 2
x e
; г) не выражается в элементарных функциях.
2
4
Вопрос 15.Укажите среди перечисленных вариантов ответа общий вид первообразных
1
1
1
1
функции y  e  2 x :а) y   e 2 x  C ; б) y  e 2 x  C ; в) y   e  x  C ; г)
4
2
4
4
1
y  e 2 x  C .
2
Тема: Теория вероятностей и математическая статистика
Вопрос 1
Бросается две игральных кости. Известно, что вероятность выпадения любой стороны у
любой кости равняется 1/6.
Чему равняется вероятность события А: {выпадет в сумме 3 очка};
а) ½
б) 1/5
в) 1/3
г) 1/18
Вопрос 2
Бросается две игральных кости. Известно, что вероятность выпадения любой стороны у
любой кости равняется 1/6. Чему равняется вероятность события B: {выпадет в сумме 5
очка};
а) ¼
б) 1/5
в) 1/8
г) 1/9
Вопрос 3
Процесс изготовление детали состоит из нескольких операций. После первой и второй
операций производится контроль качества и при обнаружении брака деталь
отбрасывается. Вероятность детали оказаться бракованной после первой операции равна
0.02 ,а после второй - 0.1. Определить вероятность того, что деталь окажется отброшенной
до третей операции.
а) 0,00018
б) 0,001
в) 0,118
г) 0,018
Вопрос 4
Вероятность появления события A в каждом из 210 независимых испытаний равна 0,7.
Найти вероятность того, что событие A появится не менее 150 раз.
а) 0,3264
б) 0,23
в) 0,2
г) 2
Вопрос 5
Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8.
Найти такое положительное a, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина
отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала
a.
а) 0,06
б) 0,61
в) 0,05
г) 0,0516
Вопрос 6
Шесть рукописей раскладывают случайным образом в пять папок. Какова вероятность,
что ни одна папка не останется пустой.
а) ½
б) 1/3
в) 0,1152
г) 0,02
Вопрос 7
Ежедневно новая сделка совершается с вероятностью 0,2 (но не более одной в день).
Какова вероятность того, что за 5 дней будет совершено 3 сделки?
а) 0,1
б) 0,0512
в) 0,2
г) 1/2
5
Вопрос 8
В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 1/4.
Какова вероятность того, что из 10 визитов страхового агента 5 закончатся заключением
договора?
а) 0,058399200439453125
б) 1/3
в) 1,6
г) 0,08
Вопрос 9
Для вычислительной лаборатории приобретено 9 компьютеров, причем вероятность брака
для одного компьютера равна 0,1. Какова вероятность того, что придется заменить более
двух компьютеров?
а) 0,52
б) 0,152
в) 0,052972138
г) 0,252
Вопрос 10
Зачетная работа по предмету состоит из 6 задач, при этом зачет считается сданным, если
студент решил хотя бы три из них. Студент Иванов может решить каждую задачу с
вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что он сдаст зачет?
а) 0,8208
б) 0,3
в) 0,2
г) 0,04
Вопрос 11
Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9. Найти вероятность того, что он
поразит мишень два раза, сделав 5 выстрелов.
а) 0,0081
б) 0,07
в) 0,05
г) 1
Вопрос 12
Тест по теории вероятностей состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос в тесте
предлагается 4 варианта ответа, из которых нужно выбрать один правильный. Какова
вероятность того, что, будучи совершенно не готовым к тесту, студент угадает
правильные ответы по крайней мере на 6 вопросов?
а) 1
б) 0,0197277069091796875
в) 0,5
г) 0,7
Вопрос 13
Статистика аудиторских проверок компании утверждает, что вероятность обнаружения
ошибки в каждом проверяемом документе равна 0,1. Какова вероятность того, что из 10
проверенных документов большинство не будет содержать ошибки?
а) 1/9
б) 2/3
в) 2,4
г) 0,9983650626
Вопрос 14
Выберите правильное определение теории вероятностей:
а) это наука качественно выражающая своеобразную связь между случайным и
необходимым
б) это закономерность скрытой предопределенности
в) это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо
определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться
неограниченное число раз условиях, т. е. характеристика объективно существующей связи
между этими условиями и событием
6
г) это закономерность скрытой неопределенности
Вопрос 15
Как звучит первая теорема теории вероятностей:
а) вероятность достоверного события равна единице
б) вероятность невозможного события равна нулю
в) вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы
г) вероятность достоверного события больше единицы
Вопрос 16
Кубик брошен 5 раз. Найдите вероятность того, что не менее двух раз выпало четное
число очков
а) 13/16
б) 25/49
в) 12/43
г) 11/54
Вопрос 17
Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит
установленной нормы, равна 0.8. Найдите вероятность того, что в ближайшую неделю
расход электроэнергии не превысит установленной нормы в течение 5 дней
а) 0,5
б) 0,83
в) 0,28
г) 0,55
Вопрос 18
Какова вероятность появления хотя бы одного герба при подбрасывании двух монет?
а) 1/4
б) 1/2
в) ¾
г) 5/7
Вопрос 19
В ящике 7 белых и 9 черных шаров. Наудачу вынимают шар и возвращают. Затем снова
вынимают шарик. Какова вероятность, что оба шара белые
а) 25/49
б) 19/256
в) 16/489
г) 8/9
Вопрос 20
На прилавке 10 различных книг. Причем пять книг стоят по 100 рублей, три книги по 150
рублей и две книги по 200 рублей. Покупатель наудачу выбрал две книги. Найти
вероятность того, что их суммарная стоимость 300 рублей
а) 3/48
б) 13/45
в) 1/75
г) 2/89
Вопрос 21
Из полного набора домино произвольно берут две кости определить вероятность
того, что, следуя обычным правилам, вторую кость можно приставить к первой
а) 7/108
б) 16/103
в) 1/81
г) 0/55
Вопрос 22
Кто из русских ученых начал заниматься раньше всех теорией вероятностей
а) Чебышев
б) Сахаров
в) Колмогоров
г) Вейерштрасс
7
Вопрос 23 Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не
превысит установленной нормы, равна 0.8. Найдите вероятность того, что в ближайшую
неделю расход электроэнергии не превысит установленной нормы в течение 5 дней
а) 0,5
б) 0,83
в) 0,28
г) 0,67
Вопрос 24
В ящике 7 белых и 9 черных шаров. Наудачу вынимают шар и возвращают. Затем снова
вынимают шарик. Какова вероятность, что оба шара белые
а) 25/49
б) 19/256
в) 16/489
г) 8/9
Вопрос 25
На прилавке 10 различных книг. Причем пять книг стоят по 100 рублей, три книги по 150
рублей и две книги по 200 рублей. Покупатель наудачу выбрал две книги. Найти
вероятность того, что их суммарная стоимость 300 рублей
а) 3/48
б) 13/45
в) 1/75
г) 2/89
Вопрос 26
Из полного набора домино произвольно берут две кости определить вероятность
того, что, следуя обычным правилам, вторую кость можно приставить к первой
а) 7/108
б) 16/103
в) 1/81
г) 0/55
Вопрос 27
Кто из русских ученых начал заниматься раньше всех теорией вероятностей
а) Чебышев
б) Сахаров
в) Колмогоров
г) Вейерштрасс
Вопрос 28
Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит
установленной нормы, равна 0.8. Найдите вероятность того, что в ближайшую неделю
расход электроэнергии не превысит установленной нормы в течение 5 дней
а) 0,5
б) 0,83
в) 0,28
г) 0,67
Вопрос 29
В ящике 7 белых и 9 черных шаров. Наудачу вынимают шар и возвращают. Затем снова
вынимают шарик. Какова вероятность, что оба шара белые
а) 25/49
б) 19/256
в) 16/489
г) 8/9
Вопрос 30
На прилавке 10 различных книг. Причем пять книг стоят по 100 рублей, три книги по 150
рублей и две книги по 200 рублей. Покупатель наудачу выбрал две книги. Найти
вероятность того, что их суммарная стоимость 300 рублей
а) 3/48
б) 13/45
в) 1/75
г) 2/89
Вопрос 31
Шесть рукописей раскладывают случайным образом в пять папок. Какова вероятность,
что ни одна папка не останется пустой.
а) ½
б) 1/3
в) 0,1152
г) 0,02
Вопрос 32Ежедневно новая сделка совершается с вероятностью 0,2 (но не более одной в
день). Какова вероятность того, что за 5 дней будет совершено 3 сделки?а) 0,1
б)
0,0512
в) 0,2
г) 1/2
8
Вопрос 33
В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 1/4.
Какова вероятность того, что из 10 визитов страхового агента 5 закончатся заключением
договора?
а) 0,058399200439453125
б) 1/3
в) 1,6
г) 0,08
Вопрос 34
Для вычислительной лаборатории приобретено 9 компьютеров, причем вероятность брака
для одного компьютера равна 0,1. Какова вероятность того, что придется заменить более
двух компьютеров?
а) 0,52
б) 0,152
в) 0,052972138
г) 0,252
Вопрос 35
Зачетная работа по предмету состоит из 6 задач, при этом зачет считается сданным, если
студент решил хотя бы три из них. Студент Иванов может решить каждую задачу с
вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что он сдаст зачет?
а) 0,8208
б) 0,3
в) 0,2
г) 0,04
Тема: Комплексные числа
Вопрос 1
Вычислить (2 + 3i) + (5 + i)
а) 7 + 4i
б) 7 – 5i
в) 7i + 6
г) 7i - 6
Вопрос 2
Вычислить (– 2 + 3i) + (1 – 8i)
а) – 1 – 5i
б) -5i + 1
в) 1 + 5i
г) 1 – 6i
Вопрос 3
Вычислить (– 2 + 3i) + (1 – 3i)
а) – 1
б) 1
в) -3
г) 3
Вопрос 4
Вычислить (5 – 8i) – (2 + 3i)
а) 1 – 11i;
б) 3 + 6i
в) 8 – 6i
г) 9 + i
Вопрос 5
Вычислить (3 – 2i) – (1 – 2i)
а) 2
б) 4
в) 6
г) 3
Вычислить (– 1 + 3i)(2 + 5i)
а) – 17 + i
б) -18 + i
в) 16 – 2i
г) 12 – 3i
Вопрос 6
Вычислить (2 + 3i)(2 – 3i)
а) 13
б) 8i
в) 13i-1
г) 13i
9
Вопрос 7
Вычислить (2 + 3i)(2 – 3i)
а) 13
б) 8i
в) 13i-1
г) 13i
в) 7i+1
г) 6i-2
Вопрос 8
Вычислить 5i•3i
а) 6
б) 7i
Вопрос 9
Вычислить 5i•3i
а) 6
б) 7i
в) 7i+1
г) 6i-2
Вопрос 10
Найти (8 + i ) : ( 2 – 3i ) .
а) 1 + 2i
б) 5 – 4i
в) 8 + 4i
г) 9 – 4i
Вопрос 11
Запишите комплексное число в алгебраической форме.
z = (3 + 5i)/(3 - 5i) + (3 - 5i)/(3 + 5i).
а) -16/17
б) 16/17
в) 5/7
г) -5/7
Вопрос 12
Вычислить (– 1 + 3i)(2 + 5i)
а) – 17 + i
б) -18 + i
в) 16 – 2i
г) 12 – 3i
Вопрос 13
Вычислить (2 + 3i)(2 – 3i)
а) 13
б) 8i
в) 13i-1
г) 13i
Вопрос 14
Вычислить (2 + 3i)(2 – 3i)
а) 13
б) 8i
в) 13i-1
г) 13i
Вопрос 15
Вычислить 5i•3i
а) 6
б) 7i
в) 7i+1
г) 6i-2
Вопрос 16
Вычислить 5i•3i
а) 6
б) 7i
в) 7i+1
г) 6i-2
Вопрос 17
Вычислить (2 + 3i) + (5 + i)
а) 7 + 4i
б) 7 – 5i
в) 7i + 6
г) 7i – 6
10
Вопрос 18
Вычислить (– 2 + 3i) + (1 – 8i) а) – 1 – 5i
б) -5i + 1
в) 1 + 5i
г) 1 – 6i
Вопрос 19
Вычислить (– 2 + 3i) + (1 – 3i)
а) – 1
б) 1
в) -3
г) 3
Вопрос 20
Вычислить (5 – 8i) – (2 + 3i)
а) 1 – 11i;
б) 3 + 6i
в) 8 – 6i
г) 9 + i
Вопрос 21
Вычислить (3 – 2i) – (1 – 2i)
а) 2
б) 4
в) 6
г) 3
Тема: Теория пределов
Вопрос 1
Вычислите предел lim
x e
а)
1
e
б)
2
e
ln x  1
xe
в) e 2
г) e 3
Вопрос 2
 2x  3 
Вычислите предел lim 

x  
 x2 
а) 3
б) 2
в) 1
x
г) 0
Вопрос 3
Вычислите предел lim
3
x 0
а) 2/3
б) 2
1 x  3 1 x
x
в) 3
г) 3/2


Вопрос 4
Вычислите предел lim x x 2  1  x
x 
а) 1/2
б) 2/3
в) 3/4
г) 5/6
Вопрос 5
Вычислить предел, используя правило Лопиталя
lim
х0
а)
2
9
б)
5
2
в)
1
3
Вопрос 6 Найти предел lim
x 0
г)
е 3х  е 2 х  х
х sin х
3
8
1  cos 4 x
2 x  tg 2 x
11
а) 3
б) 4
в) 1
г) 2
Вопрос 7
sin 3x  x 2
x 0 sin 5 x  2 x 3
Вычислим предел lim
а) 3/5
б) 4/7
в) 1/2
г) 0
Вопрос 8
 7 29
2 n  5n
Вычислить пределы числовой последовательности lim  

n 10
100
10 n

а) 5/4
б) 1/4
в) 3/5
Вопрос 9
г) 1/5

Вычислите предел lim x x 2  1  x
x 
а) 1/2
б) 2/3



в) 3/4

г) 5/6
Вопрос 10
Вычислить предел, используя правило Лопиталя
lim
х0
а)
2
9
б)
5
2
в)
1
3
е 3х  е 2 х  х
х sin х
3
8
г)
Вопрос 11
Вычислить предел lim
x 1
а) 5
б) 4
3x  5
4x  2
в) 2
г) 3
Вопрос 12
x3 1
x 1 2 x 2  x  1
Вычислить предел lim
а) 1/3
б) 2/3
в) 2
г) 1
Вопрос 13
7 x  8x 7  4
x  4  4 x  5 x 7
Вычислить предел lim
а) 8/5
б) 5/8
в) 5/3
г) 3/5
Вопрос 14
sin 5 x
x 0
x
Вычислить предел lim
а) 1/25
б) 25
в) 1/5
г) 5
Вопрос 15
 1
Вычислить предел lim 1  
n 
 n
n 5
12
а) 1/e
б) e
в) e/2
г) 2/e
Вопрос 16
x
 4 3
Вычислить предел lim 1  
x 
 x
а) e
4
3
б) e
3
4
в) e
г) e
5
4
Вопрос 17
2 x  5x 5  6
x  4 x  6 x 5  4 x 3  7 x  5
Вычислить предел lim
а) 7/3
б) -6/5
в) -5/6
г) 6/5
Вопрос 18
Вычислите предел lim
3
x 0
а) 2/3
б) 2
1 x  3 1 x
x
в) 3
г) 3/2


Вопрос 19
Вычислите предел lim x x 2  1  x
x 
а) 1/2
б) 2/3
в) 3/4
г) 5/6
Вопрос 20
ln x  1
x e x  e
Вычислите предел lim
а)
1
e
б)
2
e
в) e 2
г) e 3
Вопрос 21
 2x  3 
Вычислите предел lim 

x  
 x2 
а) 3
б) 2
в) 1
x
г) 0
Вопрос 22
Вычислите предел lim
3
x 0
а) 2/3
б) 2
1 x  3 1 x
x
в) 3
г) 3/2


Вопрос 23
Вычислите предел lim x x 2  1  x
x 
а) 1/2
б) 2/3
в) 3/4
г) 5/6
13
Вопрос 24
x
x  0 arcsin x
Вычислить предел lim
а) 2
б) 1
в) 1,5
г) 2
Вопрос 25
sin 2 x
x  0 sin 3 x
Вычислить предел lim
а) 2/3
б) 3/2
в) 3/5
г) 5/6
Вопрос 26
t

Найти предел lim 1  
x 
x

а) 2e
б) e
t
t
2
t
в) e 2t
г) e t
Вопрос 27
 x 1 
Найти предел lim 

x  x  3


а)
1
e4
б) e 4
2 x 1
в) e 4  1
г) e 4  1
Вопрос 28
e 2 x  e 2 x
x 0
sin x
Вычислить предел: lim
а) 2
б) 4
в) 3
г) 6
14
15