Теоретические вопросы. 1. Дайте понятие температурного поля. Назовите характеристики

Теоретические вопросы.
1. Дайте понятие температурного поля. Назовите характеристики
температурного поля. Приведите примеры.
Процессы теплопроводности принято описывать с помощью температурных полей T(x,y,z,t).
[T]= градус Кельвина(Цельсия). Поле температур обладает свойствами скалярного поля, т.е линии
равной температуры не могут пересекаться. Процессы теплопроводности могут протекать только
если есть неравномерность в распределении температур. Мерой неравномерности является
gradT. В соответствии с приближением феноменологической теории считается, что поле
температур является непрерывной функцией (имеет производную в каждой точке). Поля
температур могут быть как стационарными, так и не стационарными. Пример: распределение
температуры по толщине стенки, обогреваемой с одного конца и охлаждаемой с другого.
11. Сформулируйте закон теплоотдачи Ньютона-Рихмана. Дайте
пояснение к величинам, входящим в аналитическое выражение закона;
приведите размерности величин.
Тепловой поток 𝑞𝐹 , проходящий через единицу поверхности охлаждаемого жидкостью(газом)
тела, пропорционален разности температур стенки 𝑡𝐹 и жидкости(газа) 𝑡ж ), помноженной на
коэффициент теплоотдачи 𝛼.
𝑞𝐹 = 𝛼(𝑡𝐹 − 𝑡ж )
𝑞𝐹 − удельный тепловой поток на единицу площади. [𝑞𝐹 ] =
Вт
м2
𝑡𝐹 − температура стенки тела. [𝑡𝐹 ] = ℃, К
𝑡ж − температура охлаждающей жидкости(газа). [𝑡ж ] = ℃, К
𝛼 − коэффициент теплотдачи. [𝛼] =
Вт
м2 К
22. Что такое критический диаметр изоляции? В каких случаях
диаметр наружного слоя изоляции не должен превышать критический
диаметр?
На примере критического диаметра изоляции стенки трубы(граничные условия третьего рода).
Линейный тепловой поток
𝑞𝑙 =
𝑅=
𝑇1 − 𝑇2
𝑅
1
𝑑2
1
𝑙𝑛
+
− термическое сопротивление
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝜆 𝑑1 𝛼 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑2
Термическое сопротивление зависит от внешнего диаметра изоляции d2, причем имеет минимум.
Точке, в которой достигается минимальное термическое сопротивление, соответствует
критический диаметр d2кр. При увеличении внешнего диаметра изоляции до величины, равной
d2кр, теплоотдача улучшается (теплоизоляция становится менее эффективной). Физически, при
увеличении внешнего диаметра изоляции начинают действовать два противоборствующих
процесса: ухудшение теплоотдачи за счет увеличения толщины слоя плохо проводящего
вещества, и улучшение теплоотдачи за счет увеличения площади поверхности теплосъема. То
бишь для наиболее лучшей теплоотдачи, слой изоляции(например электрических проводов),
должен иметь внешний диаметр d2кр.
Найдем значение d2кр из условий экстремума функции:
𝜕𝑅
=0
𝜕𝑑2
𝑑2кр =
2𝜆
𝛼
33. Покажите, к какому виду приводится оператор Лапласа в случае
одномерного плоского, одномерного цилиндрического и одномерного
сферического полей.
Общий вид стационарного уравнения теплопроводности:
𝜆∆𝑇 + 𝑞𝑣 = 0
∆ − оператор Лапласа
Для одномерного плоского поля:
∆𝑇 =
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Для одномерного цилиндрического:
∆𝑇 =
1 𝑑 𝑑𝑇
𝑟
𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟
Для сферического поля:
∆𝑇 =
1 𝑑 2 𝑑𝑇
𝑟
𝑟 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟
44. Объясните влияние числа Фурье на величину перепада температур
между центром и поверхностью тела в условиях нестационарного
нагрева.
Число Фурье
𝐹𝑜 =
𝜆∙𝑡
𝜌 ∙ 𝐶𝑝 ∙ 𝑟 2
При увеличении числа Фурье разность температур стенка-центр уменьшается.
Задачи.
1. Определить потери тепла через кирпичную стенку толщиной 250
мм, высотой 3 м и шириной 1.8 м со средний коэффициентом
теплопроводности 0.6
Вт
мК
, если температура на внутренней и
наружной поверхностях соответственно равна 170 и 55 °𝐶.
Согласно закону Био-Фурье, тепловой поток на единицу поверхности, равен:
𝑞𝐹 = −𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇
Для случая плоской геометрии (пластина, стенка) градиент можно заменить на производную:
𝑞𝐹 = −𝜆
𝑑𝑡
𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2
𝛿
=𝜆
=
,𝑅 =
𝑑𝑥
𝛿
𝑅
𝜆
T1, T2-температуры стенок, 𝛿 - толщина пластины. R – термическое сопротивление пластины.
𝑞𝐹 =
170 − 55
Вт
= 276 2
0.25
м
0.6
Потеря тепла:
𝑄 = 𝑞𝐹 ∙ 𝑆, 𝑆 − площадь поверхности
𝑄 = 276 ∙ 3 ∙ 1.8 = 1490.4 Вт
11. Труба с наружным диаметром 30 мм покрыта слоем изоляции
толщиной 50 мм с коэффициентом теплопроводности 0.07
Вт
мК
.
Температура трубы 180 °𝐶, окружающей среды 20 °𝐶. Определить
температуру поверхности изоляционного слоя, если коэффициент
теплоотдачи к окружающей среде равен 12
Вт
м2 К
𝑇1 = 180℃, 𝑇ж = 20℃, 𝑑1 = 0.03м, 𝑑2 = 0.05м, 𝜆 = 0.07
Вт
Вт
, 𝛼 = 12 2 , 𝑇2−?
мК
м К
Линейный тепловой поток
𝑞𝑙 =
Для слоя изоляции
(𝑇1 − 𝑇2)
, 𝑅 − термическое сопротивление участка.
𝑅
𝑞𝑙 =
𝑇1 − 𝑇2
1
𝑑2
𝑙𝑛
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝜆 𝑑1
Для границы изоляция – окружающая среда
𝑞𝑙 = 𝛼 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑2(𝑇2 − 𝑇ж)
Откуда
𝑇1
+ 𝛼 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑇ж
1
𝑑2
𝑙𝑛
𝑇2 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝜆 𝑑1
1
𝛼 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑2 + 1
𝑑2
𝑙𝑛
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝜆 𝑑1
𝑇2 = 70.2℃
22. Графитовый стержень диаметром 2 см нагрет проходящим
электрическим током. Сила тока 300 А, на среднем участке стержня
длиной 10 см падение напряжения равно 1 В. Определить среднюю
объемную плотность выделяющегося в секунду джоулева тепла, а
также разность температур на оси и поверхности графитового
стержня, если его коэффициент теплопроводности равен 50
Вт
мК
..
По закону Ома, электрическое сопротивление стержня:
𝑅=
𝑈
1
=
= 0.00333 Ом
𝐼 300
Связь удельного электрического сопротивления, с полным:
𝑅=
𝜌=
𝜌∙𝑙
, 𝑆 − площадь поперечного сечения
𝑆
𝑅 ∙ 𝑆 𝑅 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑2 0.00333 ∙ 𝜋 ∙ 0.022
=
=
= 0.000010471 Ом ∙ м
𝑙
4∙𝑙
4 ∙ 0.1
Объемная плотность выделившегося теплового потока:
𝑞𝑣 =
𝜌 ∙ 𝐼 2 0.000010471 ∙ 3002
МВт
=
= 9.549 3
2
2
𝜋 ∙ 0.02 2
𝑆
м
(
)
4
Уравнение теплопроводности для стержня с внутренним тепловыделением имеет следующий
вид:
−𝜆
1 𝑑 𝑑𝑡
𝑟
= 𝑞𝑣
𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟
𝑟
𝑑𝑡
𝑞𝑣
= − 𝑟2
𝑑𝑟
2𝜆
𝑇ст
∫
𝑅
𝑑𝑡 = − ∫
𝑇ц
0
𝑇ц − Тст =
𝑇ц − Тст =
𝑞𝑣
𝑟𝑑𝑟
2𝜆
𝑞𝑣 𝑟 2
2𝜆 2
9.549 ∙ 106 ∙ 0.012
= 4.77°𝐶
4 ∙ 50
33. Стальной вал диаметром 600 мм охлаждается в среде с постоянной
температурой 200°𝐶. Температура вала до начала охлаждения была
600 °𝐶. Коэффициент теплоотдачи в процессе охлаждения вала
оставался постоянным и равным 140
Вт
м2 К
. Коэффициент
теплопроводности и удельная теплоемкость соответственно равны
55
Вт
мК
. и 0,44
кДж
кг К
плотность стали 7840
кг
м3
. Определить количество
тепла, выделившееся при охлаждении на участке 1 пог.м вала за 2 часа.
𝑟 = 600мм = 0.6м, 𝑡𝑜 = 2ч = 7200с, 𝛼 = 140
Вт
Вт
кДж
кг
, 𝜆 = 55
, 𝐶𝑝 = 0.44
, 𝜌 = 7840 3 ,
2
м К
мК
кг К
м
𝑙 = 1м
𝑇0 = 600°С, 𝑇ж = 200°С
Определение начальной мощности:
𝑞𝑙 = 2 ∙ 𝛼 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟(𝑇0 − 𝑇ж)
𝑄0 = 𝑙 ∙ 𝑞𝑙 = 2 ∙ 𝑙 ∙ 𝛼 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟(𝑇0 − 𝑇ж) = 2 ∙ 1 ∙ 140 ∙ 𝜋 ∙ 0,6 ∙ (600 − 200) = 0.211МВт
Определение конечной мощности:
По определению, числа Био и Фурье для цилиндра:
𝐵𝑖 =
𝛼∙𝑟
𝜆 ∙ 𝑡𝑜
, 𝐹𝑜 =
𝜆
𝜌 ∙ 𝐶𝑝 ∙ 𝑟 2
Для исходных данных:
𝐵𝑖 =
Избыточная температура:
140 ∙ 0.6
55 ∙ 7200
= 1.53, 𝐹𝑜 =
= 0.32
55
7840 ∙ 440 ∙ 0.6 ∙ 0.6
𝜃(𝑟, 𝑡) =
𝑇0 − 𝑇(𝑟, 𝑡)
𝑇0 − 𝑇ж
Находим избыточную температуру на поверхности цилиндра при фиксированных значениях чисел
Био и Фурье по таблицам из справочника (Лыков А.В. «Теория теплопроводности», изд. «Высшая
школа»,1967г, стр. 246-249):
𝜃пов ≈ 0.6
𝑇пов = 𝜃пов (𝑇0 − 𝑇ж) = 0.6(600 − 200) = 240°С
Конечная мощность:
𝑄к = 2 ∙ 𝑙 ∙ 𝛼 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟(𝑇пов − 𝑇ж) = 0.0211МВт
𝑄к ≈ 0.1𝑄0
Найдем примерную зависимость мощности от времени. Пусть
𝑄(𝑡) = 𝐴𝑡 + 𝐵
𝑄0 = 𝐴 ∙ 0 + 𝐵
→
𝐵 = 𝑄0
𝑄к = 𝐴 ∙ 𝑡𝑜 + 𝑄0 = 0.1𝑄0 → 𝐴 =
𝑄(𝑡) = 𝑄0(1 − 0.9
−0.9𝑄0
𝑡𝑜
𝑡
)
𝑡𝑜
Выделившееся тепло:
𝑡𝑜
𝑡𝑜
𝑊 = ∫ 𝑄(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑄0 ∫ (1 − 0.9
0
0
𝑡
) 𝑑𝑡 = 0.55 ∙ 𝑄0 ∙ 𝑡𝑜 = 835.6 МДж
𝑡𝑜