УДК 621.1:536.24 Чарин А.В., Лагун И.М., Тульский гос. ун-т О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Операционным методом решена задача теплопроводности в плоской полубесконечной стенке при граничных условиях третьего рода с изменяющимся во времени по экспоненциально-степенному закону коэффициентом теплоотдачи. Получены простые и удобные для инженерной практики зависимости для расчета температуры нагреваемой поверхности. Известно [1], что нестационарность процессов тепло- и массообмена характерна не только для периодов пуска, остановки, но также и для основных режимов работы тепловых машин. Переходные и неустойчивые режимы рабочих процессов при переменном количестве рабочего тела приводят к сложным закономерностям изменения коэффициента теплоотдачи между рабочим телом и конструкцией. Задача по определению температурного поля в элементах конструкции при переменном во времени коэффициенте теплоотдачи представляется весьма сложной [2]. Существуют различные подходы к определению коэффициента теплоотдачи [3,4], кроме того, в зависимости от режима работы теплового двигателя эта величина может как расти, так и падать с различной скоростью. Выбранный экспоненциально-степенной закон A nec позволяет путем вариации коэффициентов A, n, c (1) получать различный характер кривых изменения коэффициента теплоотдачи во времени . При резких изменениях коэффициента теплоотдачи во времени и при малой продолжительности переходных или неустойчивых режимов работы важно проследить изменение температурного поля в конструкции у поверхности. Поведение температурного поля представляет интерес для определения работоспособности двигателя. В связи с отмеченным рассмотрим процесс теплопередачи в полубесконечной стенке 0 x при принятом законе изменения коэффициента теплоотдачи (1). Считая, что теплофизические параметры материала не зависят от температуры и принимая постоянным начальное распределение температуры в стенке TH , поставленная задача в прямоугольной системе координат может быть записана в виде: T x, 2T x, a x2 при 0 x , 0, T x,0 TH при 0 x , 0, при x 0, 0, при x , 0, T 0, A nec TГ T 0, 0 x T , 0, x T , TH (2) где T , TГ – температура стенки и среды; ,a – коэффициенты тепло- и температуропроводности соответственно. Применяя преобразование Лапласа, перейдем от системы уравнений (2) к изображениям. В результате имеем d 2t x, s d x2 s T t x, s H 0, a a T t x,0 H , s (3) n d t 0, s ATГ n! A n d t 0, s c 1 0, n dx s c n 1 ds d t , s 0, dx T t , s H , s где t x, s – изображение функции T x, . Из системы уравнений (3) получаем решение: s x a T A a e n t x, s H n ! TГ 1 TH s s c n 1 s (4) При переходе от изображения к оригиналу для каждого слагаемого отдельно общее решение приводится к виду: T x, TH A a c n e TГ 1 TH 0 k2 c n 4 d e (5) Интеграл, стоящий в правой части равенства (5), может быть вычислен с заданной точностью по формулам приближенного интегрирования. Если показатель степени n известен, то указанный интеграл дает простые зависимости при разложении в подинтегральном выражении функции n – в биномиальный, а экспоненты – в степенной ряды. Анализ экспериментальных данных [3,4] по изменению коэффициента теплоотдачи в ряде тепловых двигателей показывает, что достаточно удовлетворительная аппроксимация может быть получена при n 1...4 . Принимая n 4 и раскрывая интеграл в правой части равенства (5), выражение для определения температуры поверхности теплообмена (при x 0 и k 0 ) можно привести к виду 1 m cm 2 A a c T 0, TH e TГ TH 4 1 m ! m 0 m 2 c 4 3 m m 3 2 3 m 0 m ! m 2 c m m c 6 2 m m 5 2 5 m 0 m ! m 2 c 4 m m 7 2 7 m 0 m ! m 2 9 2 9 m ! m 0 m 2 (6) n 1 , соответственно получим Полагая в общем решении T 0, TH A 1 m m 1 a c c 2 e TГ TH m 0 m ! m 1 2 3 m m c 2 1 m 0 m ! m 3 (7) . 2 Зависимости (6) и (7) могут быть упрощены, если учесть соотношения: cm m 1 2 c Bm , 1 m 0 m ! m m 0 2 c m m 3 2 m c Bm , 3 m ! m 0 m 0 m 2 и так далее. m где Bm где Bm 1 1 m ! m 2 1 3 m ! m 2 ; После простых преобразований для определения температуры поверхности теплообмена получим T 0, TH TГ TH где для n 1 : для n 4 : A n a c m e c Bm , (8) m 0 1 1 1 Bm , m ! m 1 m 3 2 2 1 1 4 6 4 1 Bm , m ! m 1 m 3 m 5 m 7 m 9 2 2 2 2 2 m 0, 1, 2, 3 ... Следует заметить, что с возрастанием m коэффициент Bm быстро уменьшается и для практических расчетов обычно можно ограничиться 5 – 7 значениями. Сравнение результатов расчета температуры поверхности теплообмена по зависимости (8) и методом численного интегрирования показало удовлетворительное совпадение: расхождение не превышало 5%. Библиографический список 1. Кузьмин М.П., Лагун И.М. Нестационарный тепловой режим элементов конструкций двигателей летательных аппаратов.- М.: Машиностроение, 1988.- 240с. 2. Лыков А.В. Теория теплопроводности.- М.: Высшая школа, 1967.- 597с. 3. Нестационарный теплообмен // В.К. Кошкин, Э.К. Калинин, Г.А. Дрейцер, С.А. Ярхо / М.: Машиностроение, 1973.- 327с. 4. Лагун И.М. Нестационарный конвективный теплообмен // Из- вестия РАН. Энергетика.- 1994. №2.- С.141-146.