Документ 530046

Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: zakaz@reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru, Дмитрий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Задание 1. Дана выборка: 1; 1; 2; 3; Найти несмещенную оценку дисперсии.
Решение:
Согласно определению, исправленной выборочной дисперсией называется
произведение выборочной дисперсии на величину
S *2 
где M
n
, т.е.
n 1
2
n
1 n

 *2 
X i  M 1*  ,

n 1
n  1 i 1
1 n
  X i - среднее арифметическое полученных по выборке
n i 1
*
1
значений.
M 1* 
1
1  1  2  3  7  1,75
4
4
S 2 
1
1  1,752  1  1,752  2  1,752  3  1,752  2,75  0,917
4 1
3


Ответ: 0,917.
Задание 2. Исследуемая величина распределена равномерно на отрезке [a; b] .
Дана выборка: 1; 1;
2; 3. Методом моментов найти оценки для концов
отрезка [a; b] .
Решение:
Для отыскания двух неизвестных параметров необходимо иметь два
уравнения. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка v1
к начальному эмпирическому моменту первого порядка М 1* и центральный
теоретический момент второго порядка  2 к центральному эмпирическому
моменту второго порядка m2* :
v1  M 1* ,  2  m2* .
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: zakaz@reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru, Дмитрий
Учитывая, что v1  M ( X ), M 1*  xв 
2
1 n
1 n
*
*2

X
,


D
(
X
),
m



X i  M 1*  ,


i
2
2
n i 1
n i 1
имеем:
1 n

M
(
X
)

 Xi

n i 1


n
 D( X )  1
X i  M 1*


n i 1


2
Если случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке
[а;b], то ее математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) находятся по
формулам:
M (X ) 
ab
(b  a) 2
, D( X ) 
2
12
Т.о. получаем систему для определения неизвестных концов отрезка:
a  b 1 n
 2  n  Xi

i 1

2
n
 (b  a)  1
X i  M 1*

 12
n i 1


2
1 n
 X i  1,75
n i 1
2
1 n
2,75

X i  M 1*  
 0,6875

n i 1
4
a  b
 2  1,75
a  b  3,5
a  b  3,5
2a  0,63 a  0,315





2
2
 (b  a)  0,6875 (b  a)  8,25 b  a  2,87 2b  6,37 b  3,185
 12
Ответ: a=0,315; b=3,185.
Задание 3. В результате наблюдений значений случайной величины X
получены 300 значений, по ним построена гистограмма частот. К какому
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: zakaz@reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru, Дмитрий
типу распределений скорее всего относится закон распределения случайной
величины X ?
a) равномерное на некотором отрезке распределение
b) показательное распределение
c) нормальное распределение
d) распределение «хи-квадрат»
e) другое распределение, отличное от перечисленных типов
Ответ: а).
Задание 4. Исследуемая случайная величина распределена по нормальному
закону. По выборке объема 16 найдена выборочная средняя 20,2 и
исправленное стандартное отклонение 0,8 .
Построить доверительный
интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.
Решение:
Доверительный интервал для математического ожидания а генеральной
совокупности, имеющей нормальное распределение при неизвестной
дисперсии имеет вид:

S*
S* 
,
a   x в  t  1 
; x в  t  1 
n
n 
2
2

где x в - выборочная средняя; S * - исправленное стандартное отклонение.
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: zakaz@reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru, Дмитрий
Вычисляем квантиль t  1 t –распределения (распределения Стьюдента) с
2
числом
v  n 1
степеней
свободы,
используя
функцию
СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы) из EXCEL, при этом
аргумент «вероятность» данной функции полагаем равен удвоенному
уровню значимости, а аргумент «степени_свободы» - равным n  1 :
  1
 1
2
 1
0,95  1
 0,025
2
v  16  1  15
t  1 =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;15)=2,1315
2

0,8
0,8 
a   20,2  2,1315 
;20,2  2,1315 
  19,77;20,63
16
16 

Ответ: 19,77;20,63 - доверительный интервал для математического ожидания
с надежностью 0,95.
Задание 5. Исследуемая случайная величина распределена по нормальному
закону. По выборке объема 25 найдено исправленное стандартное
отклонение 0,8. Построить доверительный интервал для параметра
 с
надежностью 0,95.
Решение:
Найдем сначала доверительный интервал для дисперсии D(X)=σ2.
Доверительный
интервал
для
дисперсии
генеральной
совокупности,
имеющей нормальное распределение при неизвестном математическом
ожидании строится по формуле:
 n  1 S 2   2   n  1 S 2 ,
r1
2
r1
2
где r — квантиль уровня   2 –распределения с n  1 степенью свободы.
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: zakaz@reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru, Дмитрий
Вычисляем квантили r 1 и r1-  2 –распределения с n  1 степенью свободы,
2
2
используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL,
при этом аргумент «вероятность» данной функции полагаем равным уровню
значимости, а аргумент «степени_свободы» равен n :
r 1  r0,975  ХИ2ОБР (1-0,975;25)= ХИ2ОБР (0,025;25)=40,65
2
r1  r0,025  ХИ2ОБР (1-0,025;25)= ХИ2ОБР (0,975;25)=13,12
2
(25  1)  0,8 2
(25  1)  0,8 2
2 
40,65
13,12
0,3779   2  1,1707
   2  0,3779    1,1707  0,61    1,08 .
Ответ: 0,61    1,08 - доверительный интервал для параметра
надежностью 0,95.

с