Дифференциальное и интегральное исчисление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по учебной работе
___________________
«___» __________2014 г.
Учебно-методический комплекс
дисциплины
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Дифференциальное и
интегральное исчисление»
Направление подготовки
050100.62 «Педагогическое образование»
(код и наименование направления подготовки)
Профиль подготовки
«Математика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Тобольск 2014
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
_______________________________________________________________________
Дисциплина:
Дифференциальное и интегральное исчисление_
Учебный план: 050100 Педагогическое образование Профиль «Математика»
Автор:
Кушнир Таисья Ивановна__________________________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
Кушнир Таисья Ивановна, доцент кафедры физики,
математики и методик преподавания
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
_____________
дата
Содержание
Рабочая программа дисциплины ………………………………...…………….................. 3
Руководство по организации обучения дисциплине ……………………………………13
Приложения ……………………………………………………………………………..….. 16
Приложение 1. Лекционные материалы ………………………………………………..…..16
Приложение 2. Практические занятия ………………………………………………….….19
2.1. Планы практических занятий ……………………………………………………….…..19
2.2. Методические указания к практическим занятиям ……………………………….….. 22
Приложение 3. Самостоятельная работа студентов ……………………………….….…... 23
3.1. Задания для самостоятельной работы …………………………………………………. 23
3.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы ……………………26
Приложение 4. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине 27
4.1. Технологическая карта ………………………………………………………………..... 27
4.2. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине …………………. 28
4.3. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине ………………….28
4.4. Вопросы к зачету ……………………………………………………………................... 30
Приложение 5. Глоссарий ……………………………………………………………..…..... 31
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по учебной работе
___________________
«___» __________2014 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
Дифференциальное и
интегральное исчисление»
Направление подготовки
050100.62 «Педагогическое образование»
(код и наименование направления подготовки)
Профиль подготовки
«Математика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Тобольск 2014
Рабочая
программа
дисциплины
«Математический
анализ:
дифференциальное и интегральное исчисление» /сост. Т.И. Кушнир –
Тобольск: 2014. –
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой
части профессионального цикла студентам заочной формы обучения по
направлению подготовки 050100.62 в 3 и 4 семестрах.
Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по
направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» профиль
«Математика», утвержденного приказом Министерства образования и науки
Российской Федерации от «___» _____ 20__ г. № ___
Составитель ____________________ Т.И. Кушнир
СОДЕРЖАНИЕ
1
2
3
4
4.1
4.2
5
6
7
7.1
7.2
7.3
8
9
Ст
р
Цели и задачи освоения дисциплины………………………………… 4
Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......……………………..
4
Требования к результатам освоения содержания дисциплины.......... 5
Содержание и структура дисциплины ……….......………………….
7
Структура дисциплины..........................................................................
7
Содержание разделов дисциплины....................................................... 8
Образовательные технологии................................................................ 10
Самостоятельная работа студентов…………………………………... 11
Компетентностно-ориентированные оценочные средства………… 12
Оценочные средства диагностирующего контроля………………… 12
Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая 12
технология оценивания работы студентов…………………………..
Оценочные средства промежуточной аттестации ..………………… 14
Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение 18
дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины………………. 19
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Цель дисциплины - формирование систематических знаний в области
математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук,
приложениях в естественных науках.
Задачи дисциплины:
- выработать умения и навыки вычисления пределов, нахождения производных и
интегралов, доказательства свойств и теорем, относящихся к основным понятиям
математического анализа;
- научить применять методы математического анализа для решения задач,
нахождения геометрических и физических величин;
- познакомить с современными направлениями развития математического анализа
и его приложениями;
- дать научное обоснование школьного курса «Алгебра и начала анализа».
Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный и научно-методический виды
профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых
задач профессионально деятельности:
в области учебно-воспитательной деятельности:
- осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой;
- планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов
программы и в соответствии с учебным планом;
- использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств
обучения;
- использование технических средств обучения, информационных и компьютерных
технологий;
- применение современных средств оценивания результатов обучения;
воспитание учащихся как формирование у них духовных, нравственных ценностей
и патриотических убеждений на основе индивидуального подхода;
в области научно методической деятельности:
- выполнение научно-методической работы, участие в работе научно-методических
объединений;
- анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и повышения
своей квалификации.
Выпускник должен быть готов к выполнению основных видов профессиональной
деятельности учителя математики, решению типовых профессиональных задач в
учреждениях среднего общего (полного) образования, использовать знания по математике
для эффективной организации содержания учебного материала по другим предметам.
Курс математики имеет также общеобразовательное, общекультурное и
прикладное значение, способствует формированию научного мировоззрения студентов.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Дифференциальное и интегральное исчисление» относится к базовой
части профессионального цикла. Для освоения дисциплины используются знания, умения
и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предметов «Математика»,
«Информатика» на предыдущем уровне образования. Дисциплина «Математический
анализ», наряду с дисциплинами «Алгебра» и «Геометрия», является фундаментом
высшего математического образования. Знания и умения, формируемые в процессе
изучения дисциплины «Математический анализ», будут использоваться в дальнейшем при
освоении дисциплин вариативной части профессионального цикла: «Теория функций
действительного переменного», «Теория функций комплексного переменного»,
«Дифференциальные уравнения», «Физика» и др.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению
подготовки (специальности):
а) общекультурных (ОК):
- способностью использовать знания о современной естественнонаучной картине
мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы
математической обработки информации, теоретического и экспериментального
исследования (ОК 4);
б) профессиональных (ПК):
- готов применять современные методики и технологии, в том числе и
информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на
конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК – 2)
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные понятия математического анализа;
- основные свойства и теоремы математического анализа;
- основные методы математического анализа;
уметь:
- вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы;
- используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями;
- применять методы математического анализа к доказательству теорем и решению задач;
владеть:
- современными знаниями о математическом анализе и его приложениях;
- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».
Приобрести опыт деятельности: готов к выполнению основных видов
профессиональной
деятельности
учителя
математики,
решению
типовых
профессиональных задач в учреждениях среднего общего (полного) образования,
использовать знания по математике для эффективной организации содержания учебного
материала по другим предметам.
4. Структура и содержание дисциплины
Дисциплина «Математический анализ: дифференциальное и интегральное
исчисление» изучается на 2 курсе. Общая трудоёмкость 6 зачётных единиц (216 часов), из
них 32 аудиторных: 14 часов лекций и 18 часов практических занятий, самостоятельная
работа студентов – 173 часа. Изучение предусматривает зачет в 3 семестре и экзамен в 4
семестре.
4.1. Структура дисциплины
№
1
2.
3.
Наименование раздела
дисциплины
Дифференциальное
исчисление для функций
одной переменной
Интегральное исчисление
для функций одной
переменной
Дифференциальное
исчисление для функций
нескольких переменных
Семестр
3
Таблица 1
Виды учебной работы
(в академических часах)
аудиторные занятия
СР
ЛК
ПЗ
ЛБ
2
4
22
3
4
6
4
4
4
-
24
30
Интегральное исчисление
для функций нескольких
переменных
Итого
4.
4
4
4
40
14
18
173
4.1 Содержание разделов дисциплины
№
Наименование
раздела
раздела
1
2
1.
Дифференциальное
исчисление для
функций одной
переменной
2.
Интегральное
исчисление для
Содержание раздела
Таблица 2
Форма текущего
контроля
3
Дифференцируемость
функции.
Производная и дифференциал.
Дифференцируемость
функции.
Производная и дифференциал, их
геометрический и механический
смысл.
Непрерывность
дифференцируемой
функции.
Дифференцирование
суммы,
произведения
и
частного.
Производная
и
дифференциал
композиции функций. Производная
обратной функции. Производные
основных элементарных функций.
Производные и дифференциалы
высших порядков.
Параметрически заданные функции
и
их
дифференцирование.
Параметрически заданные кривые.
Векторнозначные
функции
действительной переменной и их
дифференцирование. Касательная и
нормаль к кривой.
Основные
теоремы
дифференциального исчисления, их
применение.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
Правило
Лопиталя.
Формула
Тейлора. Признак постоянства,
возрастания и убывания функции в
точке и на промежутке. Максимум
и минимум. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия
максимума
и
минимума.
Нахождение
наибольших
и
наименьших значений функции.
Выпуклые
функции.
Точки
перегиба. Асимптоты. Применение
дифференциального исчисления к
построению графиков функций.
Неопределенный интеграл, методы
интегрирования.
4
функций одной
переменной
3.
Задача восстановления функции по
ее производной. Первообразная
функции
и
неопределенный
интеграл.
Основные
свойства
неопределенного
интеграла.
Таблица основных интегралов.
Интегрирование
заменой
переменной. Интегрирование по
частям.
Интегрирование
рациональных
функций.
Интегрирование иррациональных и
трансцендентных функций.
Определенный интеграл и его
приложения. Задачи, приводящие к
понятию определенного интеграла.
Интегрируемость
функций
и
определенный интеграл. Нижние и
верхние
суммы
ограниченной
функции.
Необходимое
и
достаточное
условие
интегрируемости. Интегрируемость
непрерывной
и
монотонной
функций.
Основные
свойства
определенного интеграла. Теорема о
среднем. Определенный интеграл с
переменным верхним пределом.
Существование
первообразной
функции.
Формула
НьютонаЛейбница.
Интегрирование
по
частям и заменой переменной.
Интегральное
определение
логарифма.
Вычисление площадей плоских
фигур в декартовых и полярных
координатах. Принцип Кавальери.
Вычисление объема тела вращения.
Вычисление
длины
дуги.
Вычисление площади поверхности
вращения.
Приложения
определенного
интеграла в физике.
Несобственные
интегралы,
их
сходимость.
Понятие
несобственного
интеграла
с
бесконечным верхним пределом и
от
неограниченной
функции.
Несобственные
интегралы
от
положительных
функций.
Абсолютная
сходимость.
Несобственные
интегралы,
зависящие от параметра.
Дифференциальное Функции нескольких переменных.
исчисление
функций
нескольких
переменных
4.
для Действительная
функция
n
действительных переменных как
функция точки пространства Rn.
График функции двух переменных.
Линии уровня. Скалярные поля.
Поверхности уровня функции трех
переменных.
Векторные
поля.
Предел и непрерывность функций
нескольких переменных.
Дифференцируемость
функции
нескольких
переменных.
Дифференцируемость,
частные
производные
и
полный
дифференциал функции нескольких
переменных. Достаточное условие
дифференцируемости. Касательная
плоскость. Геометрический смысл
дифференциала
функции
двух
переменных. Дифференцирование
сложной функции. Инвариантность
формы первого дифференциала.
Производная
по
направлению.
Градиент. Теорема о существовании
и дифференцируемости неявной
функции. Вычисление частных
производных
неявно
заданной
функции.
Частные
производные
высших
порядков. Равенство смешанных
производных.
Дифференциалы
высших
порядков.
Формула
Тейлора
для
функции
двух
переменных.
Экстремумы функций нескольких
переменных.
Определения
максимума
и
минимума.
Необходимое условие экстремума.
Достаточные условия максимума и
минимума
функции
двух
переменных.
Нахождение
наибольших
и
наименьших
значений. Условные экстремумы.
Интегральное
Кратные
интегралы
и
их
исчисление
для применение. Квадрируемые фигуры
функций
и их площади. Понятие двойного
нескольких
интеграла.
Интегрируемость
переменных
непрерывной функции. Основные
свойства
двойного
интеграла.
Вычисление двойного интеграла
повторным
интегрированием.
Замена переменных в двойном
интеграле. Двойной интеграл в
полярных
координатах.
Кубируемые тела и их объемы.
Понятие
тройного
интеграла.
Замена переменных в тройном
интеграле. Тройной интеграл в
цилиндрических и сферических
координатах.
Вычисление
объемов
тел.
Вычисление площадей гладких
поверхностей.
Применение
в
физике.
Криволинейные интегралы. Задача
о работе плоского силового поля.
Криволинейный интеграл и его
основные свойства. Вычисление
криволинейных
интегралов.
Формула Грина. Криволинейные
интегралы, зависящие только от
начала
и
конца
пути
интегрирования.
Применение
криволинейных интегралов.
5. Образовательные технологии
Таблица 3
№
№
занятия раздела
Тема занятия
Виды образовательных
технологий
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Лекция-визуализация
Кол-во
часов
7.
2
Дифференцирование
функций, основные правила
8
2
Дифференцирование
функций
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
2
Дифференцирование
сложных и параметрически
заданных функций
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Дифференцирование
сложных и параметрически
заданных функций
Производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Групповое обсуждение
(Интерактивные
технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Касательная и нормаль к
кривой. Основные теоремы
дифференциального
исчисления, их применение
Групповое обсуждение,
дискуссия (Интерактивные
технологии)
Лекция-беседа
(Интерактивные
технологии)
9
10
2
11
2
12
2
13.
2
4
4
2
2
2
14.
15
16
17.
2
Касательная и нормаль к
кривой.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Исследование функций
Применение
дифференциального
исчисления к построению
графиков функций.
Построение графиков
функций
Практическое занятие в
форме презентации
(Интерактивные
технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
3
18
3
19
3
20
3
21
3
22
3
23
3
24
3
33
5
34
5
35
5
36
5
Первообразная функции и
неопределенный интеграл,
вычисление
Первообразная функции и
неопределенный интеграл,
вычисление.
2
4
2
6
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
6
Определенный интеграл
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Определенный интеграл
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Вычисление площадей
плоских фигур, объемов тел
и площадей поверхностей в
декартовых и полярных
координатах.
Вычисление площадей
плоских фигур, объемов тел
и площадей поверхностей в
декартовых и полярных
координатах.
Несобственные интегралы
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Практическое занятие в
форме презентации
(Интерактивные
технологии)
6
6
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Функции нескольких
переменных. График
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
Функции нескольких
переменных. График
Дифференцируемость
функции нескольких
переменных
Дифференцируемость
функции нескольких
переменных
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Несобственные интегралы
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
4
4
37
6
38
6
39
6
40
6
Понятие двойного
интеграла. Интегрируемость
непрерывной функции.
Основные свойства
двойного интеграла.
Вычисление двойного
интеграла
Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
4
Практическое занятие в
форме презентации
(Интерактивные
технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
4
4
6. Самостоятельная работа студентов
№
1
2
3
4
Наименование раздела
дисциплины
Дифференциальное
исчисление для функций
одной переменной
Интегральное
исчисление для функций
одной переменной
Дифференциальное
исчисление для функций
нескольких переменных
Интегральное
исчисление для функций
нескольких переменных
Вид самостоятельной работы
Изучение
предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
Изучение
предложенной
литературы; решение задач
Таблица 4
Трудоемкость
(в академических
часах)
20
Конспектирование предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
Конспектирование предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
32
12
20
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
1) Входящий контроль в форме теста;
2) Текущий контроль в форме мониторинга результатов лекционных и
практических занятий, а так же домашних работ;
3) Промежуточная аттестация в форме зачета.
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая
технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Раздел 1. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
1 Определения.
1. Возрастающая на интервале функция f(x).
2. Убывающая на интервале функция f(x).
3. Точка максимума функции f(x).
4. Точка минимума функции f(x).
5. Критические точки I рода функции f(x).
6. Выпуклая на интервале функция f(x).
7. Вогнутая на интервале функция f(x).
8. Точка перегиба функции f(x).
9. Критические точки II рода функции f(x).
10. Точка максимума функции f(x, y).
11. Точка минимума функции f(x, y).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2.Вопросы без доказательства.
Первое достаточное условие экстремума функции f(x).
Достаточное условие существования точки перегиба функции f(x).
Признак существования вертикальной асимптоты.
Признак существования горизонтальной асимптоты.
Признак существования наклонной асимптоты.
Необходимое условие экстремума функции f(x).
Достаточное условие экстремума функции f(x).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
3. Вопросы с доказательством.
Достаточное условие возрастания функции f(x) на интервале.
Достаточное условие убывания функции f(x) на интервале.
Необходимое условие экстремума функции f(x). Следствие.
Второе достаточное условие экстремума функции f(x).
Достаточное условие выпуклости функции f(x) на интервале.
Достаточное условие вогнутости функции f(x) на интервале.
Раздел 2. Интегральное исчисление для функций одной переменной
1. Определения
1.Первообразная функция.
2.Неопределенный интеграл.
3.Рациональная дробь.
4.Правильные рациональные дроби.
5.Неправильные рациональные дроби.
6.Определенный интеграл.
7.Интеграл с переменным верхним пределом.
2. Вопросы без доказательства.
1. Теоремы о первообразной функции.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла и основные
функции, которые интегрируются по частям.
4.Основные свойства определенного интеграла.
5.Теоремы об оценке определенного интеграла. Геометрический смысл теоремы 1.
6.Теорема о среднем для определенного интеграла.
7.Геометрический смысл определенного интеграла.
8.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат.
9.Вычисление площадей фигур, ограниченных параметрически заданной кривой.
10. Вычисление длины дуги (плоской и пространственной),
параметрически.
11. Вычисление длины дуги, заданной в полярной системе координат.
заданной
3. Вопросы с доказательством.
1. Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.
2. Формула Ньютона-Лейбница.
3. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.
4. Вычисление объема тела вращения вокруг оси Ox.
5. Вычисление длины дуги в декартовой системе координат.
Раздел 3,4. Дифференциальное исчисление для функций нескольких переменных.
Интегральное исчисление для функций нескольких переменных.
1. Действительная функция n действительных переменных как функция точки
пространства Rn.
2. График функции двух переменных.
3. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
4. Дифференцируемость, частные производные и полный дифференциал функции
нескольких переменных.
5. Касательная плоскость.
6. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
7. Дифференцирование сложной функции.
8. Вычисление частных производных неявно заданной функции.
9. Частные производные высших порядков.
10. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух
переменных.
11. Экстремумы функций нескольких переменных.
12. Понятие двойного интеграла.
13. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием. Замена
переменных в двойном интеграле.
14. Двойной интеграл в полярных координатах.
15. Кубируемые тела и их объемы.
16. Понятие тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной
интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
17. Вычисление объемов тел. Вычисление площадей гладких поверхностей.
18. Криволинейный интеграл и его основные свойства. Вычисление криволинейных
интегралов.
19. Криволинейные интегралы, зависящие только от начала и конца пути
интегрирования.
7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Контрольная работа № 1
Тема: "Дифференциальное исчисление функций одной переменной"
1. Пользуясь определением производной вычислить производную функции
y
2. Найти производную функции:
1
2x 3
tg
x
а) y  2 ;
б) y  arcsin
.
1 x2
3x  5 .
3. Найти производную функции, заданной параметрически:
 x  2t 3  9t 2  12t  1

y  t2  t 1

4. Найти производную функции, пользуясь методом
дифференцирования: y  ( x ) ln x .
логарифмического
5. Составить уравнение касательной к параболе y  x 2  2 x  5 , параллельной хорде,
соединяющей точки x1  1 и x 2  2 .
Контрольная работа № 2
Тема: "Неопределенный и определенный интеграл"
1. Вычислить интегралы:
x3  1
 3x  2
dx
3 x
а) 
;
б)
;
в)
;
г)
.
dx
dx
x

e
dx
3
2



3  sin x  cos x
x x
4  x2
5
dx
2. Вычислить интеграл: 
.
5  4x  x 2
2
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми: y 2  4 x , x 2  4 y .
4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейно
трапеции, ограниченной сверху y  x 2  1 , с боков x  1 и x  1 .
5. Найти длину кривой r  2  sin  .
Контрольная работа № 3
Тема: "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных"
1
1. Найти и изобразить область определения функции z 
.
y x
2.
Показать,
что
функция
y
u  arctg x
удовлетворяет
уравнению
Лапласа
 u  u

 0.
x 2 y 2
2
2
3. Вычислить частные производные
z
и
x
z
неявно заданной функции, если
y
x 2  2 y 2  3z 2  yz  y  0 .
4. Исследовать на экстремум функцию u  x y  x 2  y  6x  3 .
5. Найти полный дифференциал функции v  sin 2 t  cos2 x .
Контрольная работа № 4
Тема: "Интегральное исчисление функций нескольких переменных"
1. Изменить порядок интегрирования в интеграле
0
1 x 2
1
x 1
 dx  f  x, ydy .
2. С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной кривыми
y  2 x , y  2 2 x , y  4 .
3. Найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверхностью 2 y  x 2 и
плоскостями y  z  1 , 2 y  z  2 .
4. Вычислить интеграл
 r
2
ddr , где D ограничена кривой r  a sin 2 .
D
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. –
СПб.: Профессия, 2003.
2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов / А.Ф.
Бермант, И.Г. Араманович. - 11-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2005.
3. Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Кн.1:
Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной: Учеб.
пособие. – М.: Высшая школа, 2002.
4. Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Кн.2:
Ряды, несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы: Учеб. пособие. –
М.: Высшая школа, 2002.
5. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Математический анализ. – Минск: Вышейшая
школа, 1990.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу:
Учеб. пособие. – М.: АСТ, 2002.
7. Ильин В.А. Математический анализ: Учебник : в 2 ч. / В.А. Ильин, В.А.
Садовничий и др. - 3-е изд.,пер. и доп. - М.: Проспект, 2006.
8. Никольский С.Н. Курс математического анализа: Учеб. для вузов. - 6-е изд.
стер. - М.: Физматлит, 2002.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2т.: Учебник
для втузов. – М.: Интеграл-Пресс, 2002.
10. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. – СПб.: Лань, 2001.
11. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 2. – СПб.: Лань, 2001
б) дополнительная литература:
1. Акилов Г.П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа. -. Новосибирск,
Наука, 1980.
2. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение
в теорию интеграла. - М.: Наука, 1973.
3. Доброхотов П.А. и др. Ряды. - М., Просвещение, 1980.
4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1966.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. - М., Наука, 1982.
6. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ. – М.: Наука,
1984.
7. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических
функций. - М.: Просвещение, 1977.
8. Сидоров Ю.В. и др. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976.
9. Тихонов А.Н. и др. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1998.
в) периодические издания:
Квант, Математика в школе.
г) мультимедийные средства:
проектор, экран
д) Интернет-ресурсы:
1. http://www.bymath.net/stadyguide/fun/sec/fun9.htm – элементарная математика.
2. http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=14 – функции в школьной программе.
3. http://graphfunk.narod.ru/parabola.htm – графики элементарных функций.
4. http://www.math.ru – математический сайт.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки
материалов для учебного процесса).
2. Аудитории с мультимедийным обеспечением.
3. Программное обеспечение: 1) MS Excel 2) Power Point.
Руководство по организации обучения дисциплине
Программа курса рассчитана на два семестра. В конце семестра проводится
экзамен.
Объём самостоятельной работы студентов – 173 часа.
Примерный перечень заданий для самостоятельных и контрольных работ приведён
выше. Предусмотрено проведение самостоятельных работ.
Отчётность по дисциплине осуществляется в форме экзамена. Приём экзамена
складывается из трёх компонент: отсутствие долгов по самостоятельным, контрольной
работе, знание основных понятий и утверждений изученной теории, умение
иллюстрировать их примерами.
Еженедельно проводятся индивидуальные занятия, на которых студенты
консультируются у преподавателя по самостоятельно изучаемым темам, сдают
задолженности, коллоквиумы и т. п.
На каждом практическом занятии проверяется и оценивается выполнение
домашнего задания, выясняются проблемы.
При выставлении рейтингового балла учитывается:
а) посещение занятий;
б) выполнение домашних заданий;
в) активность работы на практических занятиях и лекциях;
г) результат написания контрольной работы;
д) успехи в самостоятельном изучении тем курса.
Экзамены завершают изучение курса, проводятся вне расписания в каждой группе
отдельно. Заранее студентам известны теоретические вопросы и примерные практические
задания, выносимые на зачёт или экзамен. Чтобы получить зачёт, достаточно вполне
удовлетворительно ответить по теории и решить с незначительными погрешностями
уравнение (задачу).
По данному курсу можно предложить достаточное количество тем для курсовых
работ, которые указаны выше.
Для работы над курсовым проектом нужно: подобрать литературу по теме, изучить
её, составить план, подобрать и прорешать упражнения по теме, консультироваться у
научного руководителя, познакомиться с оформлением работы и составлением
библиографии и т. д. Защита курсовой работы проходит во внеурочное время в течение 710 минут перед всеми студентами научного руководителя. На защиту выносятся основные
моменты, суть работы, использование её.
Преподавателю, читающему дисциплину «Математический анализ», важно знать
структуру дисциплины, умело выделяя в разделах основные, базовые понятия. Организуя
учебные занятия, учитывать их порядок, последовательность и технологические приемы,
отражая научно-методические основы дисциплины.
Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, самостоятельную
работу.
Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами
изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу
теоретического обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине,
раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и
техники, концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных)
вопросах.
Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение
основных математических методов и показывается их применение для обработки и
исследования информации. На лекциях преподаватель дает теоретические основы,
примеры, показывает основное направления для подготовки к зачету. Посещение лекций,
а также ведение конспектов лекций (фиксирование основных положений, свободное
изложение и т.п.) и их проверка являются обязательными. Необходимо показывать
приемы успешной работы с текстом лекции: использование кратких общепринятых
символов, совращений, правильная обработка текста, исправление неточностей и внесение
дополнительных сведений.
Темы практических занятий соответствуют теме прочтенной лекции, поэтому в
учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий
рекомендовано проведение небольшой самостоятельной работы, математического
диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых
на данном занятии. Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия,
осуществляя систематический контроль за успеваемостью (рейтингом) студентов, но и
воспитательную, требуя от обучающихся дисциплинированности, активности,
трудолюбия.
Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы
которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий.
- самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к
практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной
литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому
занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не
только базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной
работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы,
сборники задач;
- домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради,
проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания
оцениваются баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов.
- выполнение других заданий, которые представлены в программе и технологической
карте.
Дисциплина завершается экзаменом в 1,4 семестрах.
Аннотация по дисциплине «Математический анализ: дифференциальное и
интегральное исчисление»
Цель дисциплины - формирование систематических знаний в области
математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук,
приложениях в естественных науках.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина относится к базовой части профессионального цикла. Для освоения
дисциплины используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в
процессе изучения предметов «Математика», «Информатика» на предыдущем уровне
образования. Дисциплина «Математический анализ», наряду с дисциплинами «Алгебра» и
«Геометрия», является фундаментом высшего математического образования. Знания и
умения, формируемые в процессе изучения дисциплины «Математический анализ», будут
использоваться в дальнейшем при освоении дисциплин вариативной части
профессионального цикла: «Теория функций действительного переменного», «Теория
функций комплексного переменного», «Дифференциальные уравнения», «Физика» и др.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению
подготовки (специальности):
а) общекультурных (ОК):
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
б) профессиональных (ПК):
- готов применять современные методики и технологии, в том числе и
информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на
конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК – 2)
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные понятия математического анализа;
- основные свойства и теоремы математического анализа;
- основные методы математического анализа;
уметь:
- вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы;
- используя определения, проводить исследования, связанные с основными
понятиями;
- применять методы математического анализа к доказательству теорем и
решению задач;
владеть:
- современными знаниями о математическом анализе и его приложениях;
- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».
Приобрести опыт деятельности: готов к выполнению основных видов
профессиональной
деятельности
учителя
математики,
решению
типовых
профессиональных задач в учреждениях среднего общего (полного) образования,
использовать знания по математике для эффективной организации содержания учебного
материала по другим предметам.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц (216
часов).
5. Разработчики: к.п.н., доцент
Т.И. Кушнир
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЛЕКЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Раздел 4 «Дифференцируемые функции»
Лекция 9. Тема 1 «Производная»
Содержание: Задачи, приводящие к понятию производной (о вычислении скорости
материальной точки, о построении касательной к кривой). Понятие производной функции,
ее обозначение. Пример вычисления производной по определению. Односторонняя
производная. Правила дифференцирования (формула производной произведения с
выводом). Таблица производных элементарных функций.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 3, §1-7, 15].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.шк.,
1990. [Гл. 5, § 1-2, 4].
Лекция 10. Тема 2 «Производная сложной и обратной функции»
Содержание: Теорема о производной обратной функции. Правило дифференцирования
сложной функции. Примеры. Параметрическое задание функции и ее
дифференцирование. Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 3, § 12-14, 16].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 5, § 6-9, 11].
Лекция 11. Тема 3 «Дифференциал функции»
Содержание: Дифференцируемость функции. Связь между дифференцируемостью и
существованием производной. Понятие дифференциала, примеры. Приближенные
вычисления с помощью дифференциала. Геометрический и физический смыслы
дифференциала функции. Правила вычисления дифференциала. Формула для
приближенных вычислений, пример на ее применение. Понятия производной второго и nго порядков, примеры. Понятия дифференциала второго и n-го порядков, примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 3, § 20-24].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990.
[Гл. 5, § 3, 10].
Раздел 5 «Применение дифференциального исчисления к исследованию функции
одной переменной»
Лекция 12. Тема 1 «Основные теоремы дифференциального исчисления»
Содержание: Теорема Ферма (с доказательством), геометрическая иллюстрация. Теорема
Роля и ее геометрический смысл. Теорема Лагранжа (с доказательством), её
геометрический смысл. Теорема Коши. Правило Лопиталя и его применение при
раскрытии неопределенностей, примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 4, § 1-5].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 6, § 1-2].
Лекция 13. Тема 2 «Теорема Тейлора»
Содержание: Теорема Тейлора, формула Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых
элементарных функций по формуле Маклорена (разложение функции у=sin x с выводом).
Применение разложений элементарных функций к приближенным вычислениям.
Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 4, § 6].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 6, § 3].
Лекция 14. Тема 3 «Применение дифференциального исчисления к исследованию
функции»
Содержание: Признаки монотонности (возрастания, убывания) и постоянства функции.
Экстремумы функции. Теорема о необходимом и достаточном условии существования
экстремума (с доказательством). Понятия стационарных и критических точек. Примеры на
нахождение экстремумов и промежутков монотонности функции. Понятия выпуклой,
вогнутой кривой, точек перегиба графика функции, примеры. Примеры исследования
функции на выпуклость, вогнутость, нахождение точек перегиба. Понятие асимптоты
кривой. Вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты и их нахождение.
Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 5, § 1-6, 9,10].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 5, § 4].
Лекция 15. Тема 4 «Полное исследование функции и построение графика функции»
Содержание: Схема полного исследования функции. Примеры на построение графиков
функции с помощью полного исследования по схеме.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 5, § 11-12].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 6, § 4].
Раздел 7 «Неопределённый интеграл»
Лекция 16. Тема 1 «Первообразная, неопределённый интеграл»
Содержание: Определение первообразной
для функции, примеры. Понятие
неопределенного интеграла, примеры. Свойства неопределенного интеграла. Таблица
основных интегралов, некоторые формулы из таблицы с выводом. Непосредственное
интегрирование (вычисление некоторых интегралов используя таблицу интегралов и
основные свойства) решение примеров. Примеры нахождения первообразных для
функции с помощью таблицы. Интегрирование способом замены переменной, суть метода
замены переменной в неопределенном, решение примеров.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 10, § 1-4].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 7, § 1-4].
Лекция 17. Тема 2 «Основные методы интегрирования»
Содержание: Интегрирование по частям. Выделить три группы функций, к которым
применяется метод интегрирования по частям, решение примеров. Интегрирование
элементарных дробей. Интегрирование функций, содержащих квадратичный трехчлен.
Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей. Четыре типа
элементарных дробей и их интегрирование. Интегрирование иррациональных и
тригонометрических функций. Интегрирование различных тригонометрических функций
( sin n x, cos n x, tg n x, ctg n x , универсальная тригонометрическая подстановка), примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 10, § 6-10].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 7, §4-6].
Раздел 8 «Определённый интеграл. Несобственные интегралы»
Лекция 18. Тема «Определённый и несобственные интегралы, их вычисление»
Содержание: Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл. Основные
свойства интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой
переменной в определённом интеграле, примеры. Интегралы с бесконечными пределами
(несобственные интегралы 2-рода), интегралы от разрывной функции (несобственные
интегралы 1- рода), примеры на их вычисление. Сходимость и расходимость
несобственных интегралов.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 11, § 1-8].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 8, § 1-9].
Лекция 19. Тема «Геометрические и физические приложения определенного
интеграла»
Содержание: Площадь плоской фигуры, вывод формулы. Решение примеров на
вычисление площади фигуры ограниченной функцией: заданной в декартовых координат,
параметрически и в полярных координатах. Вывод формулы для вычисления длины
кривой, объема тела вращения. Примеры на вычисление работы переменной силы, центра
тяжести, координаты центра масс.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 12, § 1-9].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 8, §10].
Раздел 11 «Функции нескольких переменных»
Лекция 23. Тема 1 «Основные понятия функции нескольких переменных»
Содержание: Определение функции нескольких переменных (ФНП), понятие линии
уровня, график. Область определения ФНП и изображение ОДЗ на плоскости, примеры.
Определение предела, непрерывности ФНП, провести аналогию с функцией одной
переменной. Свойства ФНП, непрерывных в области. Применение данной теории в
картографии, пример.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 8, § 1-4].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 11, § 1-4].
Лекция 24. Тема 2 «Дифференцируемость функции нескольких переменных»
Содержание: Понятия частного и полного приращения, геометрическая иллюстрация
этих понятий. Определение частной производной ФНП, производная от функции,
заданной неявно. Понятие полного дифференциала, применение полного дифференциала
к приближенным вычислениям, рассматривается на примере. Производная сложной
функции, инвариантность полного дифференциала. Частные производные и
дифференциала высших порядков, примеры на вычисление частной производной и
дифференциала второго порядка.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 8, § 5-12].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 12, § 1-4].
Лекция 25. Тема 3 «Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких
переменных»
Содержание: Определение максимума и минимума функции нескольких переменных.
Теорема о необходимом условии экстремума с доказательством. Теорема о достаточном
условии экстремума. Примеры на исследование функции на экстремум, заданной явно и в
неявном виде. Примеры на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в
области.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 8, § 17-18].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 12, § 8].
Раздел 12 «Интегральное исчисление функции нескольких переменных»
Лекция 26. Тема «Кратные и криволинейные интегралы»
Содержание: Определение двойного интеграла, его геометрический смысл. Свойства
двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения к повторному.
Замена переменной в двойном интеграле. Полярная система координат, вычисление
двойного интеграла с помощью перехода к полярной системе координат, решение
примеров. Определение криволинейного интеграла 1-рода, примеры их вычисления.
Определение криволинейного интеграла 2- рода, примеры их вычисления.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл. 14, §1-7, гл15].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 13, § 1-7].
Использованная литература
1. Балк М. Б. и др. Математический анализ: Теория аналитических функций. – М.:
Просвещение, 1985.
2. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. II.
3. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. – М.: Просвещение, 1981.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002.
5. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб.для немат.спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
Приложение 2
Содержание практических (семинарских) занятий и методические указания для
студентов
Тема «Функции, основные характеристики функции»
Центральным вопросом всего математического анализа является понятие функции.
Поэтому необходимо, чтобы первоначальные сведения о функциях были правильно
восприняты и прочно усвоены.
План:
1. Теоретический опрос для проверки знаний усвоенных на лекции и самостоятельной
работе.
2. Решение примеров на вычисление значения функции, определение ОДЗ функции,
множества значений, определение четности, нечетности функции, периодичности,
ограниченности и монотонности.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. § 6-10.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк.,
1990. Гл. 4, § 1.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. – М.,
Просвещение, 1979. Гл. 2, § 1-3.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл 6, § 1-3.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-2. – Спб.: Лань, 2001. Гл. 2, §
1, п. 45-51.
Методические указания.
В начале занятия проводится теоретический опрос по основным понятиям функции. При
ответе на вопросы преподаватель обращает внимание на необходимость пересмотра
школьного представления о функции, в нужных местах вносятся необходимые поправки,
уточнения и обобщения.
Вопросы для обсуждения, уточнения и обобщения.
1. Как определяется числовая функция?
2. Что называется множеством значений функций?
3. В каком случае таблица задает функцию?
Тема: «Числовая последовательность. Предел числовой последовательности»
План:
1. Теоретический опрос для проверки знаний усвоенных на лекции и самостоятельной
работе по теме занятия.
2. Решение примеров на вычисление предела последовательности и предела функции.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2., § 1-11.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк.,
1990. Гл. 2, § 1-4; гл. 4, § 2-6.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. – М.,
Просвещение, 1979. Гл. 2, § 3; гл. 3, § 1-4.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 3, § 1-13.
Методические указания.
Теория пределов вместе с понятием функции составляет основу математического анализа.
С пределами придется встречаться не только при изучении всех разделов курса
математического анализа, но и при изучении других наук, таких, например, как геометрия
и физика. Кроме того, пределы составляют важную часть школьной программы по
математике. Поэтому будущий учитель информатики должен изучать эту главу с особым
вниманием и тщательностью.
Ответьте на следующие вопросы:
1. Что такое числовая последовательность?
2. Что является графиком числовой последовательности?
3. Способы задания числовой последовательности (аналитический, указание
нескольких первых членов последовательности, графический, рекуррентный);
4. Понятие предела числовой последовательности (записать определение с
помощью кванторов), его геометрическая интерпретация.
5. Понятие предела функции в точке и его геометрическая интегрпретация.
6. Основные теоремы о пределе последовательности и пределе функции.
7. Неопределенности и приемы их раскрытия..
Тема «Дифференцирование функций с помощью таблицы и правил»
План:
1. Повторение теоретической части по теме дифференцирование функций.
2. Обработка практических навыков при решении примеров на вычисление производной
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 3, § 1-4.
2. Сборник задач по математике для втузов. В ; частях. Ч. 2.: Учебное пособие для втузов
/ Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во Физико-математической
литературы, 2004. Гл. 6, § 1
Методические указания.
По первому вопросу необходимо выучить и осмыслить определение производной,
уточнить геометрический и физический смысл производной (обратите внимание на тот
факт, что если касательная к кривой образует острый угол, то производная
положительная, тупой угол – отрицательная), выучить правила дифференцирования и
таблицу производных. Производится устный опрос:
Что такое производная? В чем ее геометрический и физический смысл?
Что такое односторонняя производная?
Может ли функция иметь одностороннюю производную и не являться
дифференцируемой?
Правила дифференцирования (записать на доске).
С помощью определения производной найдите производную следующих функций:
y=lnx, y=x2+2x+2.
Решите примеры: Сборник задач по математике для втузов. В ; частях. Ч. 2.:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во
Физико-математической литературы, 2004. Гл. 6,№№ 6.15, 6.16.
Для отработки практических навыков на вычисление производной желательно
решить следующие примеры: Сборник задач по математике для втузов. В ; частях. Ч. 2.:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во
Физико-математической литературы, 2004. Гл. 6,№№ 6.21, 6.24, 6.28, 6.38, 6.48, 6.50, 6.68,
6.70,стр. 54-55.
Домашнее задание. 1. Решить примеры:
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 767-774,
780-785.
2. Подготовка к самостоятельной работе по разделу «Дифференцируемые
функции».
Тема «Вычисление пределов, интегралов, значений функций с помощью степенных
рядов»
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
Вычислить: 2000 с точностью до 0,0001; sin27о с точностью до 0,001.
Вычислить предел, интеграл, пользуясь разложением функции в степенной ряд::
1
arctgxdx
x cos x  sin x
.
0 x с точностью до 0,01; lim
x 0
x 2 e x  1
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие. – СПб., издво Профессия, 2003. Т. 2, с. 266-269.
Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. – М.:
Просвещение, 1981. Ч.2. - с.79-84.
Тема «Разложение в ряд Фурье различных функций»
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
Разложить в ряд Фурье функцию y  x в интервале (  ; ) .
 x
в интервале (0; ) .
2
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие. –
СПб., изд-во Профессия, 2003. Т. 2. – С. 415, 422, 425.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. – М.: Наука, 1976. Кн. 2. – с. 615-647.
Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций.
– М.: Просвещение, 1981. Ч.2. - С. 93-100.
Разложить в ряд по синусам функцию y 
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Раздел 4 «Дифференцируемые функции»
Тема 1: «Производная»
Задание. Вывод формул производных элементарных функций.
Методические указания. Выучите определение производной функции. Уточните
что такое приращение функции и каков геометрический смысл приращения функции и
производной. Сформулируйте теорему о производной обратной функции. Используя
определение производной, выведите формулы для производной следующих элементарных
функций: y  cos x , y  ctgx , y  arcsin x , y  log a x .
Тема 2: «Производная сложной обратной функций и функции, заданной
параметрически».
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 767-774, 780-785.
Методические указания. Приступая к выполнению заданий необходимо:
- выучить таблицу производных и правила дифференцирования;
- предварительно проанализировать решение примеров Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 735-736.
- Выполнить домашнее задание.
Подготовка к самостоятельной работе по разделу «Дифференцируемые
функции»
Методические указания. Самостоятельная работабудет проводиться на
практическом занятии индивидуально, по карточкам, рассчитана на 15-20 минут.При
подготовке к самостоятельной работе необходимо повторить таблицу производных,
правила вычисления производных и дифференциала, вычисление производной от
показательно-степенной функции и функции, заданной параметрически. На
самостоятельной работе будет предложено 4 задания, например:
sin x  cos x
1. Вычислить производную функции: 1) y 
, 2) y  x cos x .
sin x  cos x
2. Найти производную от функции, заданной параметрически: y=cos2t, x=sin2t.
Найти y .
3. Найти dy, еси y  e x arcsin x .
Тема 4: «Производные и дифференциалы высших порядков»
Домашнее задание: Балк М. Б. и др. Математический анализ: Теория
аналитических функций. – М.: Просвещение, 1985. №№ 809, 831, 834, 842, 859, 968, 972.
Методические указания. Приступая к выполнению заданий, необходимо: вывести
формулу второй производной, функции, заданной параметрически; повторить по
лекционному материалу или по учебнику Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 3, § 20-26
определение производной и дифференциалы высших порядков; проанализировать
решение примеров: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 904, 909, 932, 961-964, 966, 967. Особенно обратить внимание на применение
дифференциала к приближенным вычислениям.
Литература а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 3, § 1-26.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 5, § 1-12.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 706, 710,
712, 716, 718.
б) дополнительная:
1. Балк М. Б. и др. Математический анализ: Теория аналитических функций. – М.:
Просвещение, 1985.
Раздел 5. «Приложение дифференциального исчисления функции одной
переменной».
Тема 1: «Основные теоремы дифференциального исчисления».
Тема 2: «Теорема Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций по
формуле Тейлора и их применение к приближенным вычислениям».
Домашнее задание. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. №№ 996, 998, 1010, 1019, 1024, 1029.
Методические указания. При подготовке к выполнению задания необходимо:
- прочитать и изучить материал по учебнику Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 4, § 1-7.
- выучить основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Роля,
Лагранжа, Коши и правило Лопиталя(теоремы Лопиталя);
- выучить разложение в ряд Маклорена элементарных функций;
Проанализировать решение заданий в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 990, 991, 1001, 1003, 1007, 1009 и выполнить
домашнее задание.
Тема 3. «Применение дифференциального исчисления к исследованию функции».
Домашнее задание. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 1043, 1052, 1056, 1069-1071, 1077.
Методические указания. Предварительно изучите материал по учебнику: Пискунов
Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.:
Интеграл-Пресс, 2002. Гл 5, § 1-12. Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко
П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II:
Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1031, 1036, 1037, 1039,
1082 и выполните домашнее задание.
Тема 4. «Полное исследование функции и построения графика».
Задание Индивидуальное домашнее задание на исследование функции и
построение графика.
Методические указания. Требуется провести полное исследование функции по
схеме, и, используя это исследование, построить график функции. Каждому студенту
дается функция, он выполняет это задание на двойном листе и сдает на проверку. Задания
выполняются индивидуально на карточках, повторяющихся функций нет.
Схема полного исследования функции:
1. Найти область определения и множество значений функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Найти экстремумы функции и промежутки возрастания, убывания.
5. Найти точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.
6. Найти асимптоты.
7. Построить график функции, используя исследование.
Это задание выполняется дома и сдается на проверку перед коллоквиумом. В
процессе сдачи коллоквиума преподаватель может попросить прокомментировать
отдельные этапы исследования функции.
Подготовка к коллоквиуму по теме «Дифференциальное исчисление функции
одной и нескольких переменных
Методические указания. По всем темам разделов 4-5 будет проходить в конце
семестра коллоквиум № 2. На коллоквиуме студенту предлагается два вопроса: первый по
дифференцированию функции одной переменной и второй по дифференцированию
функции нескольких переменных. Студент должен знать основные определения и
теоремы теории дифференциального исчисления. Знать таблицу производных и умело ее
применять. Знать геометрический и физический смысл производных и дифференциала,
уметь находить наибольшее и наименьшее значение функции. Коллоквиум проводится в
виде индивидуального собеседования.
После сдачи коллоквиума студенты выполняют контрольную работу № 2.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 3, § 1-26; гл. 4, § 1-7; гл. 5; гл.6.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 6, § 1-6.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 5, § 1-9; гл. 6; гл. 7.
Раздел 6. «Функции нескольких переменных»
Методические указания. Основным содержанием этого раздела является:
1) предел и непрерывность функции нескольких переменных;
2) дифференцирование функции нескольких переменных, в том числе сложных
функций и заданных неявно;
3) различные приложения дифференциального исчисления.
Из-за трудоемкости материала наибольшее количество времени потребует работа
над пунктами 2 и 3.
Тема 1: «Основные понятия функции нескольких переменных».
Тема 2: «Частные производные, дифференциал, дифференцируемость сложной
функции».
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 1161, 1171, 1186, 1193, 1236, 1239.
Методические указания. При подготовке к выполнению домашнего задания
повторите лекционный материал или по литературе: Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 8, № 1-8.
Ответьте на вопросы:
1. Что называется областью определения функции?
2. Что называется пределом функции f(x, y) в точке?
3. Дайте определение непрерывности.
4. Дайте определение частной производной и в чем ее геометрический смысл?
Проанализируйте решение примеров по учебнику Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1155-1159, 1179-1182. Выполните домашнее
задание.
Тема 3: «Приложение дифференциального исчисления функции нескольких
переменных».
Задание. Самостоятельное изучение тем «Производная по направлению. Градиент».
«Касательная плоскость и нормаль».
Методические указания. Изучите материал по литературе: Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. Гл. 8, § 14-15.
В письменном виде ответьте на вопросы:
1. Что называется градиентом функции?
2. Выведите формулу для нахождения производной по направлению.
3. Какая плоскость называется касательной к поверхности?
4. Что называется нормалью к поверхности?
5. Выведите уравнение касательной к поверхности.
Решите следующие примеры: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.:
Высш. школа, 1980. № 1246, 1249, 1275, 1276, предварительно проанализировав примеры
гл. 8. №№ 1242-1244, 1273, 1274.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 8, § 1-12, 17-18.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 11, § 1-4; гл. 12, § 8.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл.8.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 14-16.
Контрольная работа № 1
После сдачи коллоквиума № 2, студенты готовятся к выполнению контрольной
работы № 1.
Раздел 7. «Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования»
Методические указания. Основным содержанием этого раздела является:
1) понятие неопределенного интеграла, его свойство;
2) различные способы и приемы интегрирования.
Наибольшее количество времени потребуется работа над пунктом 2, так как
необходимо хорошо отработать технику интегрирования.
Тема 1: «Первообразная, неопределенный интеграл»
Задание 1. Выполнить упражнения:
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для
втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во физикоматематической литературы, 2004. №№ 7.83, 7.88, 7.93, 7.98, 7.95, 7.103.
Методические указания. Изучение материала необходимо начать с проработки
теоретического материала, причем усвоение данного материала должно быть доведено до
такого состояния, чтобы можно было безошибочно ответить на вопросы:
1. Что такое первообразная?
2. Что называется неопределенным интегралом?
3. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
4. Выведите формулы таблицы интегралов.
Проанализируйте решение заданий: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.М.: Высш. школа, 1980. № 1308-1310.
Задание 2. Подготовка к математическому диктанту по таблице интегралов.
Методические указания. Выучите все формулы из таблицы интегралов. На
математическом диктанте будут предлагаться задания, в которых требуется записать
первообразную некоторой функции из таблицы или, наоборот, указать функцию,
первообразная которой дана. Математический диктант проводится по двум вариантам и
рассчитан на 10 минут.
Тема 2: «Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной.
Интегрирование по частям».
Тема 3: «Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.
Задание 3. Выполнить упражнения:
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для
втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Изд-во физикоматематической литературы, 2004. №№ 7.163, 7.167, 7.177, 7.184, 7.187, 7.189.
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал и
ответьте на вопросы:
1. В чем состоит метод интегрирования заменой переменной?
2. Когда пользуются методом интегрирования по частям?
3. Как вычисляются интегралы от рациональной функции?
4. Запишите 4 типа интегралов, к которым приходим при вычислении интеграла
от правильной дроби.
Проанализируйте решение подобных примеров из учебника. Решите следующие
примеры: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1330-1334,
1380-1385, 1396, 1397.
Тема 4. «Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций»
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал и
ответьте на вопросы:
1. Как вычисляются интегралы от иррациональной функции.
2. Какие тригонометрические формулы используются при вычислении
интегралов от тригонометрических функций, выпишите их.
3. Как вычисляются интегралы от радикалов и какие тригонометрические
подстановки, в каких случаях применяются.
Проанализируйте решение подобных примеров из учебника. Решите следующие
примеры: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1146-1461.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 10, § 1-10.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.
шк., 1990. Гл. 7, § 1-6.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 8, 1-8.
Раздел 8. «Определенный интеграл. Несобственные интегралы»
Методические указания. Основным содержанием этого раздела является:
1) определение, существование и свойства определенного интеграла;
2) методы вычисления определенного интеграла;
3) Понятие несобственного интеграла и его вычисление.
Особенно тщательно проанализируйте пункт 1, который требует глубокого
осмысления.
Тема 1: «Определенный интеграл. Интегрирование по частям и заменой
переменной в определенном интеграле».
Домашнее задание: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2004. №№ 7.332, 7.340, 7.343, 7.392,
7.395, 7.405, 7.408.
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал по теме
и ответьте на вопросы:
1. Что такое определенный интеграл?
2. Сформулируйте и докажите основные свойства определенного интеграла.
3. Чем отличается метод замены переменной определенного интеграла от
неопределенного?
4. Какие условия должны выполняться для функции, чтобы метод замены
переменной не привел к ложному результату.
5. В чем геометрический смысл идеи приближенного вычисления определенных
интегралов?
Проанализируйте решение подобных примеров из учебника: Данко П.Е., Попов
А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб.
пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. №1512-1519.
Тема 2: «Несобственные интегралы»
Задание: решить упражнения: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях.
Ч. 2: Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2004. №№ 7.417, 7.422, 7.434, 7.4737,
7.447.
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал по теме
и ответьте на вопросы:
1. Дайте определение несобственного интеграла 1-го рода.
2. Дайте определение несобственного интеграла 2-го рода.
3. Какая точка называется особой?
Раздел 9. «Приложения интегрального исчисления функции одной
переменной»
Тема 1. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Домашнее задание: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2004. №№ 7.457, 7.464, 7.480, 7.484,
7.491.
Методические указания. Предварительно изучите теоретический материал по теме.
Обратите внимание на широкие возможности использования аппарата интегрирования
при решении большого числа задач практического значения, универсальность
интегрального метода; ответьте на вопросы:
1. Как определяется площадь плоской фигуры.
2. Как вычисляется площадь плоской фигуры, в случае, если функция,
ограничивающая фигуру, задана в параметрическом виде?
3. Как вычисляется площадь криволинейного сектора?
4. Что понимается под длиной дуги?
5. Получите формулу для вычисления длины дуги, заданной в прямоугольных и
полярных координатах.
6.
Что понимается под площадью поверхности вращения?
Домашнее задание: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2:
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2004. №№ 7.494, 7.509, 7.520, 7.525.
Методические указания. Предварительно самостоятельно изучите тему
«Механические приложения определенного интеграла по учебнику: Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. Гл. 12, § 7-9. В письменном виде ответьте на вопросы:
1. Выведите формулу для вычисления работы переменной силы.
2. Получите формулу для вычисления координат центра тяжести плоской
материальной фигуры.
3. Как вычисляется момент инерции линии, круга и цилиндра?
Проанализируйте решение примеров в конце гл. 12 § 7-9 учебника Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. И решите домашнее задание.
Раздел 10. «Интегральное исчисление функции нескольких переменных»
Тема 1. Двойной интеграл и его вычисление.
Задание : Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное
пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Издательство
Физико-математической литературы, 2004. №№ 9.31, 9.36, 9.47, 9.57.
Методические указания. При подготовке к выполнению упражнений необходимо
прочитать материал лекции или по учебнику Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 14, § 110.И ответить на вопросы:
1. Что такое двойной интеграл?
2. В чем состоит правило замены переменной в двойном интеграле?
3. Как преобразуется двойной интеграл в прямоугольных координатах к
полярным координатам?
4. Как используется двойной интеграл для вычисления площади плоской фигуры?
Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 1-5, стр. 23-25 и выполните указанные
задания.
Тема 2. Криволинейные интегралы и их вычисление.
Задание: Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное
пособие для втузов / Под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.: Издательство
Физико-математической литературы, 2004. №№ 9.60, 9.63, 9.84.
Методические указания. При подготовке к выполнению упражнений необходимо
прочитать материал лекции или по учебнику Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 15, § 1-4.
И ответить на вопросы:
1. Как определяется криволинейный интеграл по длине дуги?
2. Как определяется криволинейный интеграл по координатам?
3. Сформулируйте правило для вычисления криволинейного интеграла по
координатам.
4. Сформулируйте и докажите теорему Грина?
5. Что означает факт независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования?
Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 173-176, стр. 192-194, 204 и выполните
указанные задания.
Задание: Подготовка к коллоквиуму № 3 по теме «Интегральное исчисление
функции одной и нескольких переменных».
Методические указания: Коллоквиум будет проходить в форме индивидуальной
беседы по интегральному исчислению функции одной и нескольких переменных. Из
данного раздела особо следует уделить внимание на практику вычисления двойных,
перехода к полярным координатам при вычислении двойного интеграла и вычисление
криволинейных
Применение двойного интеграла в геометрии (для вычисления площади плоской
фигуры, объема тела) и физике, при вычислении массы пластины, координаты центра
тяжести. На коллоквиуме студенту будет предложен пример на вычисление двойного или
криволинейного интеграла с пояснениями его вычисления.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 14, § 1-10, гл. 15, § 1-4.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.
шк., 1990. Гл. 13, § 1-7.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл 1, § 1-3.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 17, § 1-10.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
3.1. Какое из ниже перечисленных предложений определяет производную функции (когда
приращение аргумента стремится к нулю)?
а) Отношение приращения функции к приращению аргумента;
б) Предел отношения функции к приращению аргумента;
в) Отношение функции к пределу аргумента;
г) Отношение предела функции к аргументу;
д) Предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
3.2. Первая производная функции показывает
а) скорость изменения функции;
б) направление функции;
в) приращение функции;
г) приращение аргумента функции.
3.3. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в некоторой
точке, равен
а) отношению значения функции к значению аргумента в этой точке;
б) значению производной функции в этой точке;
в) значению дифференциала функции в этой точке;
г) значению функции в этой точке;
д) значению тангенса производной функции в этой точке.
3.4. На рисунке 3.1 изображен график функции
. Тогда производная
...
Рисунок 3.1
а) TK/МК; б) NK/МК; в) NК; г) MK/ТК; д) MN/МК; е) MN.
3.5. На рисунке 3.2 изображен график функции
Рисунок 3.2
. Найдите значение f / (1,5).
это
3.6. Укажите функции, для которых существует конечная производная в каждой точке
числовой оси:
а) y = lnx; б) y = |sinx|; в) y = x3; г) y = 3x ; д)
.
3.7. Укажите ВСЕ верные утверждения: если функция дифференцируема в некоторой
точке, то в этой точке …
а) функция не определена;
б) можно провести касательную к графику функции;
в) нельзя провести касательную к графику функции;
г) функция непрерывна;
д) функция имеет экстремум.
3.8. Дифференциал функции равен
а) отношению приращения функции к приращению аргумента;
б) произведению приращения функции на приращение аргумента;
в) произведению производной на приращение аргумента;
г) приращению функции;
д) приращению аргумента.
3.9. Дифференциал постоянной равен…
а) этой постоянной;
б) произведению данной постоянной на величину x;
в) бесконечно большой величине;
г) нулю;
д) невозможно определить.
3.10. На рисунке 3.3 изображен график функции
соответствует дифференциалу dy?
. Какой отрезок на этом рисунке
Рисунок 3.3
а) TK; б) NK; в) NT; г) MK; д) MN; е) другой ответ.
3.11. Какое из следующих утверждений верно для любой линейной функции?
а) дифференциал функции равен приращению функции;
б) дифференциал функции равен приращению аргумента;
в) дифференциал функции – это постоянная величина;
г) дифференциал функции равен производной этой функции.
3.12. Какое из следующих утверждений верно для нелинейной функции?
а) дифференциал функции равен производной этой функции;
б) дифференциал функции равен приращению аргумента;
в) дифференциал функции равен части приращения функции;
г) дифференциал функции – это постоянная величина.
3.13. Если функция у(х) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b) и y(a) = y(b), то на
(a;b) можно найти хотя бы одну точку, в которой
а) функция не определена;
б) производная функции не существует;
в) нельзя провести касательную к графику функции;
г) производная функции обращается в ноль.
3.14. Функция у = х3+х …
а) возрастает на ( – ∞; 0), убывает на (0; +∞);
б) убывает на ( – ∞; 0), возрастает на (0; +∞);
в) всюду убывает;
г) всюду возрастает;
д) другой ответ.
3.15. Функция
убывает на
а) (3; +∞); б) (0; 1/3); в) ( – ∞; 0)(0; +∞); г) ( – ∞; +∞); д) нигде; е) другой ответ.
3.16. Сколько точек перегиба имеет функция у = х4 + 4х?
а) ни одной; б) одну; в) две; г) три; д) больше трех.
3.17. Какой из графиков на рисунке 3.4 соответствует функции y = f(x), удовлетворяющей
условиям f '(x) < 0; f ''(x) > 0?
Рисунок 3.4
3.18. Какому условию удовлетворяет функция, график которой изображен на рисунке 3.5?
а) f '(x) > 0 и f ''(x) > 0 ;
б) f '(x) > 0 и f ''(x) < 0 ;
в) f '(x) < 0 и f ''(x) > 0 ;
г) f '(x) < 0 и f ''(x) < 0 .
Рисунок 3.5
3.19. Укажите точки экстремума непрерывной на всей числовой прямой функции у(х),
если
:
а) х = 2 – точка max; б) х = 2 – точка min; в) х = –1 – точка max; г) х = –1 – точка min; д)
точек экстремума нет.
3.20. Укажите точки на (a; b), в которых функция, изображенная на рисунке 3.6, не
дифференцируема.
3.21. Укажите точки, в которых функция, изображенная на рисунке 3.6, имеет максимум.
3.22. Укажите точки на [a; b], в которых функция, изображенная на рисунке 3.6,
принимает наименьшее значение.
3.23. Укажите точки на (a; b) в которых производная функции, изображенной на рисунке
3.6, обращается в ноль.
Рисунок 3.6
3.24. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное
условие убывания:
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
; е)
.
3.25. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное
условие выпуклости (выпуклости вверх):
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
е)
.
3.26. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите
необходимое условие точки перегиба:
а)
; б)
; в)
; г)
.
3.27. Найти f (–1), если f(x) = x(x+1)(x+2)…(x+10).
а) 18; б) –18; в) 9!; г) –9!; д) 0.
4. Функции нескольких переменных
; д)
4.1. На каком из рисунков изображена область определения функции
а)
б)
в)
; е)
?
г)
д)
4.2. Функция нескольких переменных является дифференцируемой, если
а) существует полное приращение функции;
б) существует полный дифференциал функции;
в) функция непрерывна по всем аргументам;
г) частная производная по одной из переменных равна нулю;
д) частная производная по одной из переменных не существует.
4.3. Укажите полное приращение функции f(x; y) :
а) f(x+Δx;y) – f(x;y);
б) f(x;y+Δy) – f(x;y);
в) f(x+Δx;y+Δy) – f(x;y);
г) f(x+Δx;y+Δy) ;
д) f 'x Δx;
e) f 'yΔy .
4.4. Укажите частное приращение функции f(x; y) по переменной у:
а) f(x+Δx;y) – f(x;y);
б) f(x;y+Δy) – f(x;y);
в) f(x+Δx;y+Δy) – f(x;y);
г) f(x+Δx;y+Δy);
д) f 'x Δx;
e) f 'yΔy .
4.5. Найти
, если
а)
; б)
.
; в)
; г) 0; д)
; е) другой ответ.
4.6. Найти
, если
.
а) yexy; б) exy+xyexy; в) xyexy; г) exy; д) xexy; е) другой ответ.
4.7. Зная, что
, найти
.
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
; е) другой ответ.
4.8. Чтобы найти стационарную точку функции z = f(x,y), надо решить систему:
а)
;
б)
;
в)
г)
;
;
д)
.
4.9. Стационарной точкой функции z = x2+xy+y2+3y+4 является
а) (0; 0); б) (1; 2); в) (1; –2); г) (2; –1); д) (–2; 1); е) (2; 1); ж) другой ответ.
4.10. В стационарной точке Р функции нескольких переменных u = f(x1, …, xn) ее полный
первый дифференциал du удовлетворяет условию
а) du(Р) = 0; б) du(Р) > 0; в) du(Р) < 0; г) du(Р) не существует.
4.11. Если для функции f(x;y) справедливо f 'x (x0; y0) = f 'y (x0; y0) = 0, то можно утверждать,
что
а) (х0; у0) – точка экстремума функции;
б) (х0; у0) – стационарная точка функции;
в) (х0; у0) – точка разрыва функции;
г) (х0; у0) – граничная точка функции.
4.12. Если точка М0 (х0; у0) является точкой экстремума функции z = f(x,y), то верно что
а) f 'x (x0, y0 ) = f 'y (x0, y0 ) = 0 ;
б) f 'x (x0, y0 ) = f 'y (x0, y0 ) = 1;
в) f 'x (x0, y0 ) < f 'y (x0, y0 ) < 0;
г) f 'x (x0, y0 ) > f 'y (x0, y0 ) > 0;
д) f 'x (x0, y0 )  f 'y (x0, y0 ).
4.13. Если непрерывная в замкнутой области D функция z=f(М) принимает в точке Р
наибольшее значение, но Р не является точкой максимума функции, то можно утверждать,
что
а) Р – точка экстремума функции;
б) Р – внутренняя точка функции;
в) Р – точка разрыва функции;
г) Р – граничная точка функции.
4.14. Для отыскания условного экстремума функции нескольких переменных можно
применять … (указать ВСЕ варианты)
а) правило Лопиталя;
б) метод множителей Лагранжа;
в) метод Рунге-Кутта;
г) метод логарифмического дифференцирования;
д) метод сведения к безусловному экстремуму (метод подстановки).
5. Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл и его свойства
5.1. Среди перечисленных функций укажите ВСЕ, которые являются первообразными для
функции
:
а) tg 2x ; б) ctg 2x ; в) – tg 2x ; г) – ctg 2x ; д) 2tg 2x ; е) 2ctg 2x ; ж) tg 2x + 2 ; з) 2 – ctg 2x ;
5.2. Среди перечисленных функций укажите ВСЕ, которые являются первообразными для
функции y = lnx:
а) 1/x ; б) xlnx – x ; в) xlnx + x ; г) xlnx + 3 ; д) 2 + xlnx – x ; е) (1/x) + C.
5.3. Если F(x) – первообразная для f(x) , то
равен
а) 2F(3x)+C ; б) 6F(3x)+C ; в) (2/3)F(3x)+C ; г) (3/2)F(3x)+C ; д) F(6x)+C .
5.4. Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ, которые вычисляются с помощью
формулы интегрирования по частям:
а)
;б)
e)
; ж)
; в)
; г)
; д)
;
.
5.5. Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ, которые вычисляются методом
«внесения под знак дифференциала»:
а)
; б)
e)
; ж)
; в)
; г)
; б)
после подстановки
; в)
; г)
.
5.7. Если f(x) – первообразная для g(x) , то
равен
а) f(x)g(x)+C ; б) f 2(x) +C ; в) (1/2)g2(x)+C ; г) g2(x)+C ; д) 0 .
Определенный интеграл и его свойства
5.8. Зная, что
=3, вычислить
5.9. Зная, что
5.10. Зная, что
;
.
5.6. К какому виду преобразуется интеграл
а)
; д)
.
, вычислить
,
=3 и f(x) – четная, вычислить
5.11. Вычислить 1)
;
2)
.
.
.
?
5.12. Вычислить
.
5.13.* Вычислить
.
5.14.* Вычислить
, если
а) π ; б) –π ; в) π/2 ; г) –π/2 ; д) π/8 ; е) –π/8 ; ж) другой ответ.
.
5.15. Найти Ф/(х), если
.
2
2
2
2
а) 2xsin(x ) ; б) 2xcos(x ) ; в) sin(x ) ; г) cos(x ) ; д) sin(x2)dx ; е) cos(x2) – 1 .
5.16. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из них имеет наибольшее значение:
а)
;
б)
; в)
; г)
.
5.17. Если на [1;4] 2 < f(x) < 3, то выполняется неравенство
а) 6 <
< 9 ; б) 2 <
< 3 ;в) 8 <
< 12 ; г) 0 <
< 12 ;
д) 10 <
< 15 ; е) другой ответ.
5.18. Функция f(x) непрерывна на [1;4] и на этом отрезке ее наибольшее значение fнаиб = 5
и наименьшее значение fнаим = 2. Из предложенных неравенств выберите ВСЕ верные:
а)
< 15 ; б)
д)
> 0.
> 6 ; в)
< 5 ; г)
> 20 ;
Геометрические приложения определенного интеграла
5.19. Если на рисунке 5.1 дуга АВ – это график функции y = f(x), то площадь
заштрихованной фигуры вычисляется по формуле
а)
; б)
д)
; в)
; г)
; е)
;
.
5.20. Если на рисунке 5.1 дуга АВ – это график параметрически заданной функции y = f(t);
x = g(t), t[ta; tc], то длина этой дуги вычисляется по формуле
а)
; б)
д)
; в)
; г)
; е)
;
.
Рисунок 5.1
Несобственные интегралы
5.21. Среди перечисленных интегралов укажите ВСЕ расходящиеся:
а)
; б)
; в)
5.22. Известно, что
да, то вычислить его.
6. Кратные интегралы
; г)
; д)
.
. Выяснить, сходится ли интеграл
. Если,
6.1. Укажите ВСЕ формулы, которые применяют для вычисления объема тела V в
различных системах координат:
a)
г)
; б)
; в)
; д)
;
; е)
.
6.2. В какой системе координат при вычислении тройного интеграла элемент объема
dv =  d d dz ?
а) в декартовой; б) в цилиндрической; в) в сферической; г) в полярной;
д) в гармонической.
6.3. Как записывается уравнение сферы радиуса а с центром в начале координат в
сферической системе координат?
а) x2 + y2 + z2 = a2 ; б) r2 + z2 = a2 ; в) r = a ; г) r = a2 ; д) r2sin = a .
6.4. Если плотность  = x+y+z , то масса пирамиды, ограниченной координатными
плоскостями и плоскостью x+y+z = 4, вычисляется по формуле:
а)
; б)
в)
;
; г)
;д)
6.5. В цилиндрической системе координат
поверхностями z = x2+y2 и z = 4 , равен
а)
; б)
.
объем
; в)
параболоида,
ограниченного
;г)
.
6.6. Укажите ВСЕ формулы, которые применяют для вычисления площади плоской
фигуры в различных системах координат:
а)
; б)
; в)
; г)
;д)
.
6.7 На рисунке 6.1 заштрихована область D: x2+y2 < 4 ; y > –x ; y > 0.
Площадь области D (в полярной системе координат) равна
Рисунок 6.1
а)
д)
; б)
; е)
; в)
;г)
;
.
6.8. На рисунке 6.1 заштрихована область D: x2+y2 < 4 ; y > –x ; y > 0.
Если плотность плоской пластинки D задается формулой (х,у) = у, то масса этой
пластинки (в полярной системе координат) равна
а)
; б)
д)
; е)
6.9. Вычислить
а) 1 ; б) –1 ; в) 5 ; г) е ;
; в)
; г)
.
, если область D: y > x2 ; y < 1.
;
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ГЛОССАРИЙ
Понятие
Производная
Определение
конечный предел отношения приращения функции к
вызвавшему его приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю, т.е.
f
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
 f ( x0 )
x
x
множество F x  всех первообразных для функции
f x  , т.е. F x   c , где c произвольная постоянная
lim
x0
Неопределенный
интеграл
Определенный
интеграл
Числовой ряд
предел интегральной суммы
n
S   f  i x i
i 1
для
функции f (x) на отрезке a, b при max xi  0 ,
который не зависит ни от способа разбиения отрезка
a, b на частичные отрезки, ни от выбора точек в них
ряд,
членами
которого
являются
числа:

a1  a 2  a 3  ...  a n  ...   a n
n 1