Производная и дифференциал функции. Опред: Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. f f ( x ) lim . x 0 x Физический смысл производной: Производная – это скорость изменения функции в фиксированной точке. S – путь, V – скорость. а – ускорение. Геометрический смысл производной: производная - это угловой коэффициент наклона касательной к графику функции в фиксированной точке. Основные правила дифференцирования: 1) 2) 3) 4) 5) с = 0 (сu) =сu (u v) = u v (uv) = uv + uv u u v v u , если v 0 v v2 Таблица производных основных элементарных функций. n 1 1. x n nx x 2 1 x 2. 4. e x e x 1 6. ln x x 1 1 x x2 5. a x a x ln a 3. 1 7. log a x x ln a 8. sin x cos x 9. cos x sin x 10 . tgx 11 . ctgx 1 cos 2 x 1 12 . arcsin x 1 x 2 1 14 . arctgx 1 x 2 1 sin 2 x 1 13 . arccos x 1 x 2 1 15 . arcctgx 1 x 2 Производная сложной функции. Теорема: Пусть y = f(u) и u = φ(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y= f(φ(x)) есть также дифференцируемая функция, причем y f ( (x)) ( x ) , т.е. Производная сложной функции равна произведению производной внутренней функции на производную внешней функции. Дифференциал функции. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х: f ( x ) y f ( x ) , x y f ( x ) x x . Тогда можно записать: y lim x 0 x где 0, при х0. Следовательно: Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у. Опред: Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Итак, dy = f(x)dx. Можно также записать: f ( x ) dy dx Свойства дифференциала. Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства: 1) d(u v) = (u v)dx = udx vdx = du dv 2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv 3) d(Cu) = Cdu u vdu udv 4) d v2 v Применение производной: 1. Для вычисления пределов. Правило Лопиталя: Пусть lim f ( x) lim g ( x) 0čëč . И пусть существуют f(x) и g(x) x a x a . Тогда lim x a f ( x) f ( x) lim g ( x) xa g ( x) Замечание: Правило Лопиталя можно применять повторно для вычисления одного и того же предела. 2. Для составления уравнения касательной к графику функции. Уравнение касательной: 3. Для исследования функций и построения их графиков. Схема исследования функции: 1) Найти область определения функции, область значения функции. 2) Проверить симметрию функции: четность, нечетность. 3) Найти точки пересечения графика с осями координат. Для этого решить уравнения: х=0; у=0. 4) Найти интервалы монотонности функции, её экстремумы. Для этого решить уравнение . Полученные корни уравнения являются точками возможного 5) 6) 7) a) экстремума и разбивают область определения на интервалы. Находим знак производной на каждом интервале – функция возрастает, – убывает. Найти точки максимума и минимума, максимальное и минимальное значение функции на ее области определения. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба графика функции. Для этого решаем уравнение . Полученные корни уравнения разбивают область определения на интервалы. Находим знак второй производной на каждом интервале – функция вогнута, – выпукла. Найти асимптоты графика – прямые, к которым неограниченно приближается график функции, но никогда их не пересекает. Вертикальная асимптота – это прямая х=а, где а – точка разрыва функции b) Наклонная асимптота y kx b, где k lim x f ( x) , b lim f ( x) kx. x ő c) Горизонтальная асимптота – это прямая y kx b при k 0 . 8) Построить график функции, используя полученные результаты исследования. Решение типовых заданий. 1. Найдите производные следующих функций: a) y 11x 2 x 3 3 2 3 x 0,95 2 y 11x 2 x 3 x 3 Запишем данную функцию следующим образом: y (11x 2 x 3 x 2 3 0,95) 2 11( x 3 ) 2( x 2 ) 3 x 3 (0,95) 3 2 5 2 11 3 x 2 2 x 3 x 3 0 3 2 33 x 2 4 x 3 5 x 3 b) y ( x 1) sin x y ( x 3 1) sin x ( x 3 1) sin x ( x 3 1) sin x 2 ( x 3 ) (1) sin x ( x 3 1) sin x (3x 2 0) sin x ( x 3 1) cos x 3x 2 sin x ( x 3 1) cos x 2 2 3 0,95 c) y 2x 3 3x 7 2 x 3 (2 x 3)(3x 7) (2 x 3)(3x 7) y (3x 7) 2 3x 7 2( x) (3)(3x 7) (2 x 3)3( x) (7) (3x 7) 2 2(3x 7) (2 x 3)3 6 x 14 6 x 9 (3x 7) 2 (3x 7) 2 5 (3x 7) 2 2. Найдите производные сложных функций: a) y (1 5 x) 3 Здесь внешней функцией является степенная функция, а внутренней функцией (1 5 x) – выражение y (1 5 x)3 3(1 5 x) 2 (1 5 x) 3(1 5 x) 2 5 15(1 5 x) 2 b) y sin 3x Здесь внешней функцией является функция sin, а внутренней функцией – выражение 3х. y (sin 3x) cos 3x (3x) 3 cos 3x 3. Решите задачу: В результате значительной потери крови содержание железа в ней уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа вследствие его восстановления с течением времени t уменьшается по закону мг/сут. Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент t=0 и через 7 суток. Решение: Вычислим скорость восстановления железа. Для этого воспользуемся физическим смыслом производной: . Знак «-» показывает на уменьшение недостачи железа. При t=0 При t=7 4. Вычислите дифференциал функции . 5. Вычислите предел функции, используя правило Лопиталя. a) 1 cos x 0 (1 cos x) lim lim 0 x 0 (2 ő2 ) x 0 2 ő2 . sin x 1 lim 4 x 4 x0 e x e x 2x 0 (e x e x 2 x) b) lim lim x 0 x sin x 0 x 0 ( x sin x) e x e x 2 0 (e x e x 2) lim lim x 0 1 cos x 0 x 0 (1 cos x) e x e x 0 (e x e x ) lim lim x 0 sin x 0 x 0 (sin x) e x e x 2 lim 2 x 0 cos x 1 6. Составьте уравнение касательной к графику функции точке Запишем общий вид уравнения касательной: . в 7. Исследуйте функции методом дифференциального исчисления, постройте их графики. a) . 1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть . 2) Функция общего вида. 3) Точки пересечения с осями координат: С осью ОХ: , , , С осью OY: . 4) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю: . Решая данное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки . Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выделяем промежутки монотонности и наличие экстремума: x -5 0 max + - -1 0 min + 5) ; . 6) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю: Итак, функция имеет одну критическую точку Разобьем область определения полученной точкой на части, на каждой из которых установим знак второй производной. x Значение точки -3 0 т.п. является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой 7) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y kx b воспользуемся формулами k lim x Имеем f ( x) , b lim f ( x) kx. x ő 1 3 ( x 9 x 2 15 x 9) 1 9 k lim 4 lim ( x 2 9 x 15 ) x x 4 ő x Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет. 8) Построим график функции.