Производная функции. 1. Определение производной, её геометрический смысл. 2.Производная сложной функции.

1
Производная функции.
1. Определение производной, её геометрический смысл.
2.Производная сложной функции.
3. Производная обратной функции.
4. Производные высших порядков.
5. Параметрически заданные функции и неявно.
6. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
Введение.
Источником дифференциального исчисления были два вопроса,
выдвинутые запросами науки и техники в 17 веке.
1)
Вопрос о вычислении скорости при произвольно заданном
законе движения.
2)
Вопрос о нахождении ( с помощью вычислений) касательной к
кривой произвольно заданной.
Задачу проведения касательной к некоторым кривым решил ещё
древнегреческий учёный Архимед (287-212 г.г. до н.э.), пользуясь методом
вычерчивания.
Но только в 17 и 18 веках в связи с прогрессом естествознания и техники
эти вопросы получили должное развитие.
Одним из важных вопросов при изучении любого физического явления
обычно является вопрос о скорости, быстроте происходящего явления.
Скорость с которой движется самолёт или автомобиль, всегда служит
важнейшим показателем его работы. Быстрота прироста населения того или
иного государства является одной из основных характеристик его
общественного развития.
Первоначальная идея скорости ясна каждому. Однако для решения
большинства практических задач этой общей идеи недостаточно.
Необходимо иметь такое количественное определение этой величины,
которую мы называем скоростью. Потребность в таком точном
количественном определении исторически послужила одним из основных
побудителей к созданию математического анализаю. Целый раздел
математического анализа посвящен решению этой основной задачи и
выводам из этого решения. К изучению этого раздела мы и переходим.
1. Определение производной, её геометрический смысл.
Пусть дана функция f x  определённая в некотором интервале (а,в) и
непрерывная в нём.
1. Дадим аргументу х приращение x , тогда функция получит
приращение  f x :
2
 f x = f x  x - f x 
 f x  f ( x  x )  f ( x )
2. Составим отношение
.

x
x
 f x 
3. Переходя к пределу в
при  x  0 и, предполагая, что предел
x
 f x 
существует, получим величину lim
, которую называют
x0
x
производной функции f x  по аргументу х.
Определение. Производной функции f x  в точке x a, b называется
предел отношения приращения функции  f x к
приращению аргумента x , когда x →0.
Значение производной очевидно зависит от точки х, в которой оно
найдено, поэтому производная функции y  f x  есть в свою очередь
некоторая функция от х. Обозначается f x , y ,
dy
.
dx
По определению имеем
 f x 
x
x0
f x   lim
или
y
x0 x
y   lim
(3)
Пример. Найти производную функции y  x 2 .
1. y  x 2 ; y   y  ( x   x) 2
2.  y  ( x   x) 2  x 2  x 2  2 x x   x 2  x 2  2 x x   x 2   x 2 x   x 
 y  x 2 x   x 

 2x  x
x
x
y

4. lim
 lim 2 x   x   2 x . Итак x 2  2 x .
x0 x
x0
3.
 
Механический смысл производной:
V t 0   lim
t  0
f t 0  t   f t 0 
 S t 0 
t
скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени
t0 есть производная пути по времени
Геометрический смысл производной:
tg  lim
x 0
f ( x0  x)  f ( x0 )
 f x0 
x
тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке с
абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x0
Уравнение касательной к кривой: y  y0  f ( x0 )( x  x0 )
(4)
Нормаль к кривой в точке М0 – прямая проходящая через точку М0,
перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.
3
Уравнение нормали к кривой: y  y 0  
1
( x  x0 ) .
f ( x0 )
(5)
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u  v) = u  v
2) (uv) = uv + uv

 u  u v  v u
3)   
, если v  0
v2
v
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций.
1)С = 0;
9) sin x   cos x
2)(xm) = mxm-1;
10) cos x    sin x
3)
11) tgx 
 x   2 1 x

1
1
4)     2
x
 x

5) e x  e x
12) ctgx  
 
13)

6) a x   a x ln a
14)
7) ln x  
15)
1
x

8) log a x  
1
cos 2 x
1
x ln a
16)
1
sin 2 x
arcsin x   1 2
1 x
arccos x    1 2
1 x
arctgx  1 2
1 x
arcctgx   1 2
1 x
2.Производная сложной функции.
Пусть задана функция y  f u , где u  g x . Тогда у есть сложная функция
от х, т.е. y  f [ g x ] , и переменная и – промежуточный аргумент. Тогда
справедлива теорема.
Теорема. Если функция u = g(x) имеет производную u x  g x  , а
функция y = f(и) имеет производную y u  f u  , то сложная функция
y  f [ g x ] имеет производную y x  f u   g x  , или y x  y u  u x .
4
Доказательство. Дадим аргументу х приращение  x , тогда u = g(x) и
y  f u получат соответственно приращения  u и  y .
Предположим, что если  x  0 и u  0 , тогда имеет
место тождество
y y u


x u x
Перейдём к пределу в последнем тождестве, получим:
lim
x  0
y
y
u
 lim
 lim
,

x

0

x

0
x
u
x
( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x)
– непрерывная функция), то lim
x0
y
y
u
 lim
 lim
,
x u 0 u x 0 x
откуда y x  y u  u x , что и требовалось доказать.
Из теоремы вытекает правило дифференцирования сложной функции:
производная сложной функции равна произведению производной функции по
промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по
независимой переменной.
3. Производная обратной функции.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что
обратная ей функция x=φ(y) имеет производную, отличную от нуля в
соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = φ(y) по х:

x x    y  x , следовательно 1   ( y )  y x , или 1    y  f x  , тогда
f  x  
1
1
или y x 
ч.т.д.
  y 
x y
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной
данной функции.
Пример. Найти формулу для производной функции arctgх.
Функция arctgх является функцией, обратной функции tgх, т.е. ее
производная может быть найдена следующим образом:
y  tgx;
Известно, что y   (tgx) 
x  arctgy;
1
;
cos 2 x
По приведенной выше формуле получаем:
y 
1
;
d (arctgy) / dx
d (arctgy)
1

dy
1 / cos 2 x
5
Т.к.
1
 1  tg 2 x  1  y 2 ; то можно записать окончательную формулу для
2
cos x
производной арктангенса:
(arctgy) 
1
;
1 y2
Таким образом получены все формулы для производных арксинуса,
арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице
производных.
4. Производные высших порядков.
Как уже отмечалось, производная f x  функции y  f x  сама является
некоторой функцией её аргумента х. Следовательно, по отношению к ней
снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.
Назовём f x  производной первого порядка функции f x  .
Производная от производной некоторой функции называется
производной второго порядка (или второй производной) этой функции.
Производная от второй производной называется производной третьего
порядка (или третьей производной) и т. д. Производные, начиная со второй,
называются производными высших порядков и обозначаются y , y ,  , y (n ) , 
Производная п-го порядка является производной от производной (п-1)
порядка, т.е. y n   ( y n 1 )  .
Пример. Найти производную п-го порядка от функции y  e 5 x .
y   5e 5 x , y   5 2 e 5 x , y   5 3 e 5 x ,  , y n   5 n e 5 x .
Производные высших порядков имеют широкое применение в физике.
Если функция S  f t  описывает закон движения материальной точки по
прямой линии, то первая производная f t  есть мгновенная скорость точки в
момент времени t , а вторая производная равна скорости изменения скорости,
т.е. ускорению движущейся точки в этот момент, т.е. V  f t  , a  f t  .
5. Параметрически заданные функции и неявно.
а) параметрически заданная функция
Пусть даны две функции x   t  и y  t  одной независимой
переменной t, определённые и непрерывные в одном и том же промежутке.
Если x   t  строго монотонна, то обратная к ней функция t  x
однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно
рассматривать как функцию, зависящую от переменной х, которая в свою
очередь зависит от переменной t, называемой параметром: y  [x].
6
В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с
 x   t 
помощью уравнений 
.
 y  t 
Параметрическое задание функции имеет важное значение при изучении
движения точки. Если точка движется на плоскости, то её координаты х,у
являются функциями времени t. Задав эти функции x   t  , y  t  , мы
полностью определим движение точки. Для каждого промежутка времени в
котором функция  t  строго монотонна, можно определить функцию
y  [x] , графиком которой является кривая, описываемая за этот
промежуток времени движущейся точкой, т.е. траектория движения.
б) неявно заданная функция
Если функция задана уравнением y  f x  , разрешенным относительно у,
то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде
уравнения F x, y   0 , не разрешённого относительно у.
Всякую явно заданную функцию y  f x  можно записать как неявно
заданную уравнением f x  y  0 , но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение
относительно у, например y  2 x  cos y  1  0 или 2 y  x  y  0 .
6. Дифференцирование функций, заданных параметрически и
неявно.
Предположим, что функции x   t  и y  t  имеют производные,
причём  t   0 на некотором промежутке. Отсюда вытекает строгая
монотонность функции x   t  и, следовательно, однозначность обратной
функции t  x . По теореме о производной обратной функции, функция
x  имеет производную   x  
1
, а функция y  [x] по теореме о
 t 
производной сложной функции имеет производную
Следовательно y x 
y
 t 
или y x  t .
 t 
x t
y x   [x ]   x  .
Выведенная формула даёт возможность находить производную y x от
функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной
зависимости у от х.
 x  t3
Пример. Пусть 
2
 yt
Найти y x .
Решение: имеем x t  3t 2 , y t  2t , следовательно y x 
2t
3t 2
, т.е. y x 
2
.
3t
7
В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.
Действительно, t  3 x . Тогда y  3 x 2 . Отсюда y x 
2
3
3 x
, т.е. y x 
2
.
3t
Если функция задана в неявном виде F x, y   0 , то для нахождения
производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно
у: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при
этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить
относительно y  .
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Пример. Найти производную функции, заданную уравнением x 3  y 3  3xy  0 .
Решение. Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство
x 3  y 3  3xy  0 . Из полученного соотношения
3x 2  3 y 2 y   3 y  xy   0
следует, что y 2 y   xy   y  x 2 , т.е. y  
y  x2
.
y2  x
Заключение.
Формулы и правила дифференцирования суммы, разности,
произведения, частного и правило дифференцирования сложной функции
являются основными формулами дифференциального исчисления. На основе
правил и формул дифференцирования можно сделать важный вывод:
производная любой элементарной функции также элементарная функция.
Таким образом, операция дифференцирования не выводит из класса
элементарных функций.