Динамические системы (маг. АПР, Романов)x

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Динамические системы»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т Б и з н е с - и н фо р м а т ик и
отд. Прикладной математики и информатики
Программа дисциплины
Динамические системы
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика»
подготовки магистра
для магистерской программы «Математическое моделирование»
Специализация «Анализ и принятие решений»
Автор программы: Романов Игорь Викторович
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 25.02.2013
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель
[Введите И.О. Ф.]
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
[Введите И.О. Ф.]
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Динамические системы»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
1 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 010400.68 «Прикладная математика», обучающихся по магистерской программе «Математическое моделирование» по специализации
«Анализ и принятие решений» изучающих дисциплину «Динамические системы».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория
«Национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета подготовки магистра по направлению
010400.68 «Прикладная математика», магистерская программа «Математическое
моделирование», специализация «Анализ и принятие решений», утвержденным в
2011 г.
2 Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Динамические системы» являются:
 ознакомление студентов с основами методов решения дифференциальных уравнений;
 формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
 знакомство с прикладными задачами дисциплины.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основы теории дифференциальных уравнений, необходимые для дальнейшего изучения последующих дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим
учебными планами;
 Уметь применять методы дисциплины для решения задач, возникающих в дисциплинах, использующих соответствующие методы;
 Владеть навыками применения современного инструментария дисциплины.
Выпускник по направлению подготовки 010400.68 «Прикладная математика и информатика» с квалификацией (степенью) магистр в соответствии с задачами профессиональной деятельности и целями основной образовательной программы должен обладать следующими компетенциями.
Системные (СК):
№
Код
СК6
СК-М6
Описание
Способен анализировать, верифицировать, оценивать полноту информации в
ходе профессиональной деятельности, при необходимости восполнять и синтезировать недостающую информацию.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Динамические системы»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Профессиональные (ПК)
А) Социально-личностные (СЛК):
№
Код
ПК2 СЛК-М2 Способен задавать, транслировать правовые и этические нормы в профессиональной и социальной деятельности.
ПК3 СЛК-М3 Способен использовать социальные и мультикультурные различия для решения проблем в профессиональной и социальной деятельности.
ПК4 СЛК-М4 Способен определять, транслировать общие цели в профессиональной и социальной деятельности.
ПК5 СЛК-М5 Способен к осознанному выбору стратегий межличностного взаимодействия.
ПК6 СЛК-М6 Способен анализировать и разрешать для себя мировоззренческие, социально
и личностно значимые проблемы.
ПК7 СЛК-М7 Способен строить профессиональную деятельность, бизнес и делать выбор,
руководствуясь принципами социальной ответственности.
ПК8 СЛК-М8 Способен порождать принципиально новые идеи и продукты, обладает креативностью, инициативностью.
Б) Инструментальные (ИК):
№
Код
Способен осуществлять целенаправленный многокритериальный поиск инПК13
формации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и в других источниках.
Способен описывать проблемы и ситуации профессиональной деятельности,
ИКПК14
используя язык и аппарат прикладной математики при решении междисципМ5.1пми
линарных проблем.
ИКСпособен строить и решать математические модели в соответствии с направПК17
М7.2пми лением подготовки и специализацией.
Способен применять в исследовательской и прикладной деятельности совреИКменные языки программирования и языки манипулирования данными, опеПК20
М7.5пми рационные системы, электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые
технологии и т.п.
ИКМ4.1
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Для специализаций «Анализ интернет-данных», «Анализ и принятие решений», «Интеллектуальные системы» и «Технологии моделирования в сложных системах» настоящая дисциплина является адаптационной дисциплиной, которая согласно пункту 5.5 «Регламента планирования и организации дисциплин по выбору и факультативов», утвержденным ученым советом НИУ ВШЭ 24 июня 2011 года (http://www.hse.ru/docs/33592234.html), является дисциплиной по выбору для выпускников НИУ ВШЭ по данному направлению обучения и обязательной
дисциплиной для прочих студентов.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ;
 Геометрия и алгебра.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Динамические системы»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
 Навыками решения типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Дополнительные главы дифференциальных уравнений;
 Компьютерное моделирование.
5 Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название темы
Аудиторные занятия
Лекции Семинары
Самост.
работа
3
Введение, основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными.
Задача Коши. Теоремы существования
и единственности. Теорема о выпрямлении.
Линейные системы.
4
Теория устойчивости.
24
3
3
18
5
Автономные системы.
24
3
3
18
Итого
108
12
12
84
1
2
20
2
2
16
20
2
2
16
20
2
2
16
6 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
1 год
Форма контроля
1
Текущий
(3-я неделя)
Итоговый
Параметры
2
Контрольная работа
2
Письменная контрольная работа
Зачет
2
Письменный зачет
6.1 Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные
на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.2 Порядок формирования оценок по дисциплине
Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Итоговый
контроль осуществляется в виде письменного зачета.
Преподаватель также оценивает работу студентов на семинарских и практических заняти-
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Динамические системы»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
ях: оценивается правильность ответов на вопросы и правильность решения задач. Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость.
Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед итоговым контролем - Оаудиторная.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Онакопленная= 0,7* Отекущий + 0,3* Оаудиторная,
где Отекущий рассчитывается, как оценка за выполнение задач (в том числе и задач повышенной
сложности), которые были даны для самостоятельной подготовки в течение курса.
Округление текущей оценки производится до целого по правилам округления.
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
Орезульт = 0,4* Онакопл + 0,6 *·Озач .
Округление результирующей оценки производится до целого по правилам округления.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
7 Содержание дисциплины
Тема I. Введение. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Основные определения теории дифференциальных уравнений, фазовые пространства, векторные
поля, интегральные траектории, касательные пространства. Метод разделения переменных,
примеры. Линейные уравнения. Существование и единственность решения линейных уравнений.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
Дополнительная литература
1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Тема II. Задача Коши. Теоремы существования и единственности. Теорема о выпрямлении. Задача Коши для дифференциального уравнения. Метод последовательных приближений.
Применение метода последовательных приближений для доказательства теоремы существования и единственности для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных. Теорема о выпрямлении векторного поля.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Динамические системы»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Дополнительная литература
4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
5. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
6. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Тема III. Линейные системы. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы. Основная теорема теории линейных
уравнений с постоянными коэффициентами. Формулировка теоремы о жордановой нормальной
форме матрицы (ЖНФ). Практическое вычисление матрицы экспоненты в случае кратных собственных значений, рассмотрение различных случаев, когда ЖНФ содержит одну или несколько жордановых клеток. Вывод формул решения для систем второго и третьего порядков.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Тема IV. Теория устойчивости. Устойчивость положения равновесия по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Функция Ляпунова, теорема об устойчивости по первому приближению. Классификация положений равновесия линейной однородной системы второго порядка.
Нелинейные автономные системы второго порядка, линеаризация систем, применение теоремы
Ляпунова об устойчивости по первому приближению для определения поведения решения в
окрестности положения равновесия нелинейной системы.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Дополнительная литература
1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Тема V. Автономные системы. Общие понятия. Теорема о трех видах траекторий автономной
системы. Предельное поведение траекторий, предельные циклы. Теория индексов. Теорема Боля – Брауэра о неподвижной точке и ее приложения.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
Дополнительная литература
1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Динамические системы»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
8 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Примеры заданий текущего и итогового контроля
Решить следующие дифференциальные уравнения и системы:
(𝑥 + 1)
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑥𝑦 = 0.
2.
𝑥𝑦 𝑑𝑥 − √𝑦 2 + 1 = 0.
3.
(𝑥 2 − 1)
4.
𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 + 1 = 0.
𝑑𝑦
𝑑𝑦
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
+ 2𝑥𝑦 2 = 0, 𝑦(0) = 1.
𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 = 4.
2
𝑥 𝑦 = 𝑦′ .
2
𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′′ = 0.
2
𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ + 𝑦 ′ = 0.
𝑦 ′′′ − 6𝑦 ′′ + 9𝑦 ′ = 𝑥𝑒 3𝑥 + 𝑒 3𝑥 cos 2𝑥.
𝑥 3 𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑦 ′′ + 2𝑥𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑥 3 .
𝑑𝑡
{𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
13.
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑦 2 𝑒 𝑥 .
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥 2 𝑑𝑥 +
2 ′′
𝑑𝑥
12.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧
= 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑡𝑒 𝑡
= 5𝑥 − 𝑦 − 3𝑡𝑒 𝑡 .
= 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧
= 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧
{ 𝑑𝑡 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧.
Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории
линеаризованных систем в окрестности положения равновесия автономных систем:
14.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
15.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑒 2𝑥+2𝑦 + 𝑥
𝜋
= arccos(𝑥 − 𝑥 3 ) − 2 .
= ln(𝑥 + 𝑦)
= 𝑥 3 + 𝑦 3 − 1.
9 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
9.1
Базовый учебник
Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
9.2
Основная литература
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Динамические системы»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
9.3
Дополнительная литература
1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.