Элементы дифференциального исчисления

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Элементы дифференциального исчисления
Вопросы I уровня.
Задача о вычислении мгновенной скорости движения тела по заданному уравнению
движения. Механический смысл производной.
Докажите, что ускорение гармонического колебания x  A sin(  t   ) пропорционально
отклонению х от положения равновесия.
Задача о линейной плотности стержня.
Определение производной функции. Пользуясь определением, найти производную функции
у=3х2+2.
Запишите таблицу производных основных элементарных функций.
Геометрический смысл производной.
Дайте определение касательной к графику функции y=f(x) в точке (хо, f(xо)) и напишите ее
уравнение.
Составьте уравнение касательных к графикам функций y=f(x) в точках пересечения с осью
Ох: f(x)=4х–х2; f(x)=ln 2х.
Найти углы наклона к оси Ох касательных к параболе
y
4x  x 2
в точках (0; 0), (2; 1),
4
(4; 0).
10. Справедливы ли утверждения:
«Всякая дифференцируемая функция непрерывна»,
«Всякая непрерывная функция дифференцируема».
11. Дифференцируемы ли функции в точке хо=1:
f ( x) 
1
1
1
( x  1); f ( x) 
; f ( x)  ( x  1) 2 ; f ( x)  1  2 x  x 2 ?
2
2( x  1)
2
12. Докажите теоремы о производной суммы, произведения, частного двух функций.
13. Пользуясь правилами дифференцирования, докажите формулы для производной функций:
y  tgx, y  arcsin x, y  log a x; y  x  .
14. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.
15. Закон движения тела задан уравнением S=3+5t+8t2. Показать, что действующая сила
постоянна.
16. Сформулируйте правила Лопиталя. Вычислите
lim
x2
e x  e sin x
;
x 0 x  sin x
lim
 1

lim  2  ctg 2 x ;
x 0 x


ln( x 2  3)
.
x 2  3x  10
17. Применимо ли правило Лопиталя для вычисления следующих пределов:
x 2  sin x
x 
x2
lim
18. Дифференциал функции. Найдите приращение и дифференциал функции у=х3-х2+1 в точке
хо=1 и вычислите их значение при х=0,1 и х=1.
19. Постройте график функции y=ln(1+x) и изобразите на графике dy при х=0, dx=1.
20. Дайте определение возрастающей (убывающей) на промежутке функции.
21. Докажите необходимое условие возрастания (убывания) функции.
22. Сформулируйте теоремы Ролля и Лагранжа, дайте их геометрическую и механическую
интерпретацию.
23. Докажите достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке.
24. Докажите, что функции а) возрастают на R:
f ( x)  x 3  4 x; f ( x)  x  sin x; f ( x)  x 5  6 x 3 .
б) убывают на R:
f ( x)  arctgx  x; f ( x)  sin x  2 x  c.
25. По графику функции определите промежутки, на которых а) f /(x)>0;
б) f  (x)<0; точки, в которых в) f  (x)=0, г) 
 f  f (x).
26. Дайте определение экстремумов функции, приведите примеры (в том числе, графические).
27. Докажите теоремы Ферма и достаточное условие экстремума.
28. Исследуйте
f ( x) 
на
экстремумы
функции
f ( x)  x 4  2 x 2 , f ( x)  x 3  3x  2,
1 3 5 2
x  x  6x .
3
2
29. Интервалы выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости на промежутке.
Примеры (стр. 195).
30. Точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условие точек перегиба.
Примеры.
31. Асимптоты графика функции. Условия отыскания уравнений вертикальных и наклонных
асимптот. Примеры (стр. 196).
32. Дан график функции y=f(x). Определите знаки f  (x) и f  (x) в указанных точках.
33. Наименьшее и наибольшее значения функций на промежутках. Примеры (стр. 200).
34. Комплексные числа: определение, действия над комплексными числами, модуль, аргумент,
алгебраическая, тригонометрическая форма записи. Решение квадратных уравнений на
множестве комплексных чисел.
35. Функции двух переменных: определение, область определения, множество значений,
график, предел, непрерывность.
36. Частные производные и дифференциал функции двух переменных.
37. Экстремум функции двух переменных. Примеры (стр. 337).
1.
2.
3.
4.
Вопросы II уровня.
Пользуясь определением производной, выведите формулы для производных функций у=ех,
у=sinx.
Профиль автомобильного моста имеет форму параболы с осью, проходящей вертикально
через середину моста, длина основания которого равна 120 м, высота центральной части 10
м. Каким должен быть наклон насыпи на обоих концах моста?
Докажите необходимое условие существования производной.
Приведите пример непрерывной функции, не дифференцируемой в некоторой точке.
Дифференцируемы ли функции в точке хо=1:
f ( x) 
1
1
2
x  1; f ( x)  x  1 ;
2
2
 x 2  1, x  1,
f ( x)   3
 x  1, x  1.
 x 2  1, x  1,
f ( x)  
 x  1, x  1,
5.
Докажите теоремы о производной сложной, обратной и параметрически заданной функций.
6.
Для функций 
 x  a cos t
;
 y  b sin t
 x  e  t
dy
d2y
найдите
. Изобразите траекторию
и

dx
dx 2
 y  e 3t
точки, движение которой задается этими формулами.
7.
Вычислите
yx
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
x
dy
,
dx
, y  sin x 
cos x
предварительно
прологарифмировав
функции
.
Постройте функцию y=f(x), дифференцируемую во внутренних точках [а; b],
удовлетворяющую условию f(а)= f(b), но такую, что для нее нет точки с(а; b) | f  (с)=0.
Постройте функцию y=f(x), непрерывную на [а; b], удовлетворяющую условию f(а)= f(b), но
такую, что для нее нет точки с(а; b) | f  (с)=0.
Постройте функцию y=f(x), непрерывную на [а; b], дифференцируемую на (а; b), но такую,
что для нее нет точки с(а; b) | f  (с)=0.
Докажите, что уравнение х3+3х-6=0 имеет только один действительный корень.
На кривой у= х2+3х+1 найдите точку, в которой касательная к кривой параллельна хорде,
соединяющей точки А(-1; -1) и В(1; 5).
Докажите теоремы Ролля и Лагранжа.
Какой знак имеют на [а; b] угловые коэффициенты касательных к графику функции f(x),
если: а) f(x) возрастает на [а; b]; б) f(x) убывает на [а; b]? Могут ли угловые коэффициенты
обратиться в нуль в отдельных точках
[а; b]? Приведите примеры.

Дан график производной f (х). Определите для функции f(x): 1) промежутки убывания; 2)
промежутки возрастания; 3) точки минимума и максимума.