369статьяx

УДК 544.15; 544.174.3; 544.18; 548.4
Колебательные моды димера SeH- в кристалле KCl
Е.А. Штейнер, А.Д. Афанасьев
Иркутский Государственный Технический Университет, 664074, г. Иркутск, ул.
Лермонтова, д. 83
В работе исследуются колебательные моды двухатомного иона SeH-, а также его
комплексов в кристалле KCl, изучаются его оптические и механические свойства,
взаимодействие с окружающей матрицей. Эта задача имеет фундаментальное значение
с точки зрения интерпретации спектроскопических данных. Обоснования результатов
проводятся квантово-механическим методом с помощью теории возмущений, а также
квантово-химическим методом. Устанавливается, что аномальное распределение
интенсивностей в колебательном спектре обусловлено электрооптической
ангармоничностью дефектов. Выявляется фундаментальная роль функции дипольного
момента при интерпретации всех видов колебательных спектральных линий.
Доказывается, что форма парных линий, принадлежащих димерам дефектов,
определяется диполь-дипольным взаимодействием между его мономерами.
1. Литературный обзор
Задача о динамике ассоциаций примесей и дефектов в кристаллах приходит на
смену хорошо изученной и решенной для многих приложений задаче об
изолированных дефектах. Поэтому особый интерес представляют системы, где такие
ассоциации реализуются в наиболее простом виде и, вместе с тем,
хорошо
регистрируются измерительными приборами. В этом отношении ионный кристалл с
примесными двухатомными ионами является идеальной системой для изучения
ассоциаций, представленных в первую очередь, димерами и тримерами примесных
ионов. В данной работе будет рассмотрен димер иона SeH- в кристалле KCl.
В работе [1] было выдвинуто предположение, что линии-спутники линий
изолированных ионов в спектре кристаллов относятся к димерам, а в работах [2] c
помощью формул резонанса Ферми во втором порядке теории возмущений было
рассчитано расщепление энергетических уровней димера SeH- под воздействием
диполь-дипольного взаимодействия для фундаментальной области спектра. Метод
расчета резонансного взаимодействия был модифицирован с помощью формализма
полиномов квантовых чисел в статье [3], в которой точно решается секулярное
уравнение для димера во втором порядке теории возмущений. Кроме того, в ней
рассчитаны расщепления для первых двух обертонов димера 80SeH--80SeH-.
2. Эксперимент
Нами были измерены колебательные спектры кристаллов KCl:SeH- на фурье
спектрометре IFS-125 с разрешением 0,01см-1 при температуре 2 К (рисунок 3).
Использовались два криостата: криостат на откачке паров жидкого гелия, который
охлаждал образец до 2К, и криостат на замкнутом цикле, охлаждающий до 4К. Было
обнаружено, что при понижении температуры от 4К до 2К не наблюдается
существенного изменения полуширины линий. При переходе от первой гармоники ко
второй наблюдается увеличение полуширины пиков парных и изолированных линий в
2-3 раза. Мы связываем это с увеличением относительной скорости движения атомов
примеси при колебательном возбуждении дефекта.
1
В работе также использовались экспериментальные данные, приведенные в
работе [3]. Образцы измерялись при температуре 5-17K на фурье-спектрометре IFS-80
с разрешением 0,1-0,05 cм-1.
3. Динамика ионов OH-, SH-, SeH- в кристалле KCl
3.1 Теоретический обзор
Изолированные ионы
Энергетические уровни и состояния системы двухатомного примесного иона
находятся с помощью теории возмущений. Гамильтониан двухатомного иона
представляется в виде суммы гармонического члена и малых ангармонических поправок
𝐻(λ) = 𝐻 0 + ℏω ∑ 𝜆𝑝 𝑎𝑝 𝜉 𝑝+2
(1),
𝑝>0
где H0 – гармонический гамильтониан с собственными функциями, отвечающими
состояниям гармонического осциллятора и собственными значениями En(0),
отвечающими его энергиям. ω – частота гармонических колебаний, ξ – вибрационная
переменная, λ – квантово-механическая амплитуда, характеризующий порядок
возмущения, ap – безразмерные силовые ангармонические постоянные. Ангармониеские
постоянные характеризуют механическую ангармоничность системы. Такое
представление гамильтониана введено в работе [3]. Введем также точное состояние
системы |𝑛) = ∑𝛼 λ𝛼 |𝑛, 𝛼⟩ (2), где |𝑛, 𝛼⟩ – поправка порядка 𝛼 к состоянию
гармонического осциллятора |𝑛, 0⟩ = |𝑛⟩. Продифференцировав уравнение
на
(λ)|𝑛)
собственные значения 𝐻(λ)|𝑛) = 𝐸𝑛
(3) по параметру λ мы получим формулы
для нахождения энергий и состояний системы любых порядков. В виде полиномов
квантовых чисел эти формулы запишутся следующим образом [3]:
𝐸𝑛 = 𝐸𝑛0 + ∑ 𝐸𝑛𝛼 , 𝐸𝑛𝛼 =
𝛼
3𝛼
1
𝑗
∑ 𝑝 ∑ 𝛼𝑗 П(𝛽𝛾)𝜈 (0)
𝛼
(𝑝𝜈)𝛼
(4),
(𝑗)𝑝+2
3𝛼
|𝑛, 𝛼⟩ = ∑ √𝑔𝑛−𝑘,𝑛 П0𝛼 (𝑛 − 𝑘, 𝑛)|𝑛 − 𝑘⟩ + ∑ √𝑔𝑛,𝑛+𝑘 П𝛼0 (𝑛, 𝑛 + 𝑘)|𝑛 + 𝑘⟩ (5),
𝑘=0
𝑘=1
где α – порядок величины, 𝑔𝑚,𝑛 = (𝑚 + 1)(𝑚 + 2) … (𝑚 + 𝑛). Если в уравнении (4)
ограничиться вторым порядком малости, то его можно переписать как
1
1 2
𝐸𝑛 = ℏ𝜔е (𝑛 + ) − ℏωе 𝑥е (𝑛 + ) , 𝑥е = 30𝑎12 − 6𝑎2 (6),
2
2
где xе – параметр ангармоничности.
Интенсивность колебательных переходов выводится из золотого правила Ферми.
Интенсивность дипольного поглощения равна:
4𝜋 2
𝐼𝑛𝑚 =
𝜔 𝑁(𝜔𝑛𝑚 )𝐾|(𝑛|𝒅|𝑚)|2 (7),
3𝑐 𝑛𝑚
Здесь 𝑁(𝜔𝑛𝑚 ) - число падающих квантов за единицу времени на единицу площади,
(𝑛|𝒅|𝑚)– матричный элемент дипольного момента, K – концентрация поглощающих
частиц. В общем случае дипольный момент нелинейно зависит от межъядерного
расстояния:
2
𝑑(𝑞) = 𝑑 0 + 𝑑′ 𝑞 +
𝑑′′ 2 𝑑′′′ 3
𝑞 +
𝑞 +⋯
2
6
(8),
ξ
где q = – нормальная координата. В этой формуле все производные имеют размерность
√2
[D], потому что единицей длины выбрана квантово-механическая амплитуда λ. Переход
к размерности [D/An] осуществляется посредством формулы 𝑑 (𝑛) /(√2𝜆)𝑛 . Эффект
нелинейности функции дипольного момента называется электрооптической
ангармоничностью системы. Как будет показано в работе, это разложение функции
дипольного момента имеет фундаментальную роль при интерпретации колебательных и
либрационных линий. При взятии функции дипольного момента в обкладки
колебательных волновых функций (2) получим соответствующие матричные элементы.
Для первых четырех переходов матричные элементы дипольного момента будут равны,
соответственно:
𝑔𝑛,𝑛+1 ′
1
1
5
[𝑑 + (31𝑎2 − 14𝐴)𝑑′′′ + [ (11𝑎2 − 6𝐴)𝑑′ − 𝑎𝑑′′ +
2
32
4
2
(𝑛|𝑑|𝑛 + 1) = √
1
1
+ 𝑑′′′ ] (𝑛 + 1) + (173𝑎2 − 34𝐴)𝑑′′′ (𝑛 + 1)2 ],
4
32
1
3
(𝑛|𝑑|𝑛 + 2) = √𝑔𝑛,𝑛+2 [2𝑎𝑑′ + 𝑑′′ + [ (𝑎2 − 10𝐴)𝑑′′ − 2𝑎𝑑′′′ ] (𝑛 + )],
4
2
и т.д. Здесь 𝑎 = 2√2𝑎1 , 𝐴 = 4𝑎2 .
Как видно из этих формул, интенсивности переходов существенно зависят от
производных функции дипольного момента.
Кристаллическая решетка будет взаимодействовать с примесным ионом только
статически, по причине существенного различия их колебательных частот. Такое
взаимодействие сдвигает спектр целиком на величину порядка нескольких обратных
сантиметров [1].
Димеры
Теория расчета изолированного иона естественным образом распространяется на
случай димеров в кристалле. Гамильтониан системы будет равен сумме гамильтонианов
для мономеров (1) и энергии их диполь-дипольного взаимодействия W (10):
𝑊=
(𝒅𝟏 𝒅𝟐 )𝑅 2 − 3(𝒅𝟏 𝑹)(𝒅𝟐 𝑹)
𝑅5
(10),
где 𝒅𝟏 и 𝒅𝟐 –дипольные моменты мономеров, R – вектор расстояния между
взаимодействующими
мономерами.
Состояние
системы
с
выключенным
взаимодействием мономеров между собой в нулевом приближении будет выражаться в
виде произведения собственных состояний мономеров (2):
|Ф𝑗 ⟩ = |𝑛1 ) |𝑛2 )
(11) .
Состояния системы (11) вырождены по причине эквивалентности мономеров димера,
однако, при включении диполь-дипольного взаимодействия это вырождение снимается.
В этом случае состояние системы в нулевом приближении будет представлять собой
линейную комбинацию состояний (11): |𝛹⟩ = ∑𝑗 𝐶𝑗 |Ф𝑗 ⟩ (12), а уравнение на
собственные значения (𝐻 0 + 𝑊)|𝛹⟩ = 𝐸|𝛹⟩ (13) сведется к секулярному уравнению:
det(𝑊𝑖𝑗 − 𝐸𝛿𝑖𝑗 ) = 0 (14).
3
Матричный элемент 𝑊𝑖𝑗 с учетом ортонормированности сферических гармоник можно
записать как: 𝑊𝑖𝑗 = 𝑓(𝑛1 |𝑑1 |𝑚1 )(𝑛2 |𝑑2 |𝑚2 ) + 𝐸𝑗0 𝛿𝑖𝑗 (15) , 𝐸𝑗0 – энергия димера в
нулевом приближении,
(𝒆𝟏 𝒆𝟐 )𝑅 2 − 3(𝒆𝟏 𝑹)(𝒆𝟐 𝑹)
(16),
𝑓=
𝑅5
где 𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 – орты вдоль осей мономеров. Решение секулярного уравнения (14) и даст
нам искомые уровни димера. Формула для интенсивности (7) остается справедливой,
однако дипольный момент системы теперь будет суммой дипольных моментов
мономеров в димере и дипольного момента кристаллического окружения, а состояние
изолированного иона |𝑛) заменится на состояние димера |𝛹⟩. Уравнение (7)
преобразуется к виду:
𝐼0𝑛 =
4𝜋2
3𝑐
2
2
2 (0|𝑑 |𝑛)
𝜔0𝑛 𝑁(𝜔0𝑛 )𝐾(𝐶12 (0|𝑑1 |𝑛) + 𝐶𝑛+1
+ 2𝐶1 𝐶𝑛+1 (0|𝑑1 |𝑛)(0|𝑑2 |𝑛)𝑐𝑜𝑠𝜗)
2
(17),
где 𝜗 – угол между осями мономеров, Сn – коэффициенты разложения состояния |𝛹⟩
(12). Они находятся из уравнения (13), которое распадается на систему (18).
Концентрацию димеров K мы предполагаем пропорциональной произведению
концентраций мономеров (в общем случае это не так).
∑𝑛+1
𝑗=1 𝐶𝑗 (𝑊𝑖𝑗 − 𝐸𝛿𝑖𝑗 ) = 0,
2
𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 + 1, (18) ,при условии ∑𝑛+1
𝑘=1|𝐶𝑘 | = 1
(19).
Таким образом, между мономерами димера имеют место как статическое, так и
динамическое диполь-дипольное взаимодействие. Статическое взаимодействие
изменяет гармоническую частоту димера на величину порядка десяти обратных
сантиметров. Также незначительно меняется параметр ангармоничности. Что
происходит с другими электрооптическими параметрами будет показано в разделе 3.3.
3.2 Квантово-механическая модель двухатомного иона в кристалле
Для начала приведем спектроскопические данные для кристалла KCl c примесью
SeH (таблица 1). Для краткости ограничимся самым распространенным изотопом
селена. Значения параметров 𝜔𝑒 и 𝑥𝑒 легко определить по формуле (6).
-
Таблица 1. Оптические параметры изолированных ионов OH-, SH-, SeH- в
кристалле KCl. 𝜔0𝑛 –частоты колебательных переходов, I0n - их интенсивности.
KCl [1]
SeH-
 01
 02
 03
e
 e xe
I 02 / I 01 I 03 / I 01
2322.78
4558.89
6709.43
2409.45
43.34
6.810-2
1.310-3
Таблица 2. Разложения функции дипольного момента. А – амплитуда колебания.
KCl [1]
d’’, D/A2 d’’’, D/A3 A, A
d0, D
d’, D/A
SeH-
0,9
-1,46
-1,7
6,7
0,253
Зная интенсивности гармоник и обертонов, по формулам (7, 9) можно
определить разложение функции дипольного момента дефекта, удовлетворяющее
экспериментальным данным для первых четырех гармоник. Разложение, правильно
описывающие эксперимент, было найдено. Оно приведено в таблице 2. В таблице
4
также приведено значение амплитуды колебаний двухатомного иона, рассчитанное по
формуле 𝐴 = √⟨𝑛|𝑥 2 |𝑛⟩ = 𝜆√2𝑛 + 1, где 𝑥 = 𝜆𝜉. Значения статического дипольного
момента и первой производной функции дипольного момента были получены
квантово-химическим методом (пункт 3.3).
3.3 Расчет электронной структуры изолированных ионов
Расчет элекиронной структуры исследуемых систем производился методом
функционала плотности с использованием гибридного функционала BHHLYP и
многоконфигурационным методом CASSCF. Оба метода дали схожие результаты.
Первым этапом мы построили модели свободных ионов, чтобы оценить границы
применимости методов квантовой химии. В результате измерений были получены
значения для межъядерных расстояний и статических дипольных моментов, сравнимые
с табличными [1]. Следующим шагом мы построили модель KCl:SeH-, использовав
метод встроенного кластера [4]. В этом методе ион помещается в центр квантового
кластера, состоящего из 27 ионов решетки, а кластер, в свою очередь, окружается
классической оболочкой. Классическая оболочка состоит из катионов и анионов.
Потенциал ядер катионов заменяется на эффективный псевдопотенциал, с учетом
экранировки, наводимой остовными электронами. Для учета эффектов поляризации
каждый анион состоит из положительного остова и отрицательной оболочки, связанной
с остовом посредством пружины, характеризуемой коэффициентом жесткости.
Оптимизация геометрии дала нам основные геометрические характеристики
системы. Наиболее энергетически выгодной оказалась ориентация в направлении
<111>, что подтверждается литературными данными для таких ионов [5]. Построив
полную энергию основного состояния в зависимости от межъядерного расстояния, мы
рассчитали гармоническую частоту ионов и некоторые другие параметры, которые
оказались сравнимы с табличными данными (таблица 1). Наконец, мы построили
зависимость дипольного момента систем от межъядерного расстояния иона (рисунок
1). На этих же графиках приведена функция дипольного момента (8), найденная
квантово-механически (таблица 2).
2
b) Функция дипольного момента KCl:
SeHкв.-хим. расчет
кв.-мех. расчет
Дипольный момент, D
1.5
1
0.5
0
0.4
0.9
1.4
1.9
2.4
Межъядерное расстояние, А
Рисунок
1.
Функция дипольного момента системы KCl:SeH-,
рассчитанные квантовохимическим и квантовомеханическим методами..
Пунктирными
линиями
показаны
равновесные
межъядерные расстояния
и амплитуда колебаний.
3.3
Построение
квантово-механической
модели димера
Перейдем
к
рассмотрению
димеров.
Парные линии отстоят от линии изолированного иона на несколько десятков обратных
сантиметров в низкочастотную область. Построенные нами концентрационные
зависимости интенсивностей линий-спутников (рисунок 3) имеют квадратичный
характер. Этот факт указывает на то, что линии-спутники являются парными линиями,
то есть линиями, принадлежащими димерам. Димеры мы будем рассматривать на
5
примере димера SeH--SeH-. Этот выбор обусловлен тем, что атом Se имеет 6 изотопов, а
димер nSeH--mSeH- 21 изотоп, соответственно. Поэтому в спектре мы получаем
сложную структуру линий, изменение которой можно легко наблюдать и которую
можно использовать как индикатор адекватности применяемой квантово-механической
модели. В полосе димера расщепление между двумя наиболее интенсивными пиками
отличается от расщепления для полосы изолированного иона (рисунок 3). Это
указывает на наличие в димерах резонансных эффектов.
Рисунок
2.
Схематическое
изображение
антипараллельной ориентации димера SeH--SeH- в
кристалле KCl.
Зная геометрию изолированного иона
(раздел 3.2), зададим геометрию димера. Для
начала введем предположение, что ионы SeHнаходятся строго в соседних анионных узлах
решетки, вдоль оси <110>. Оси ионов расположим
антипараллельно (рисунок 2), в направлении
<111>, поскольку, как показал квантовохимический расчет, параллельная ориентация не
стабильна. Далее, использовав данные таблиц 1, 2,
а также формулы (14, 17), найдем разложение (8), которое будет удовлетворять
эксперименту для первых двух гармоник (поскольку другие гармоники парных линий в
спектре не наблюдаются). При расчете интенсивностей мы будем считать, что
концентрация димеров пропорциональна произведению процентных содержаний
изотопов, составляющих димер. Процентное содержание изотопов: 74Se (0.87%), 76Se
77
(9.02%),
Se (7.58%), 78Se (23.52%), 80Se (49.82%), 82Se (9.19%). В выражении для
концентраций димеров nSeH--nSeH-, появится множитель 0,5, так как каждый мономер в
этом случае будет учитываться два раза.
Чтобы сопоставить полученные результаты с экспериментальными данными,
необходимо представить рассчитанный спектр линий в виде суммы лоренцевых
контуров. На рисунках 3a, 3b приведены полученные теоретические контуры для
первых двух гармоник, а также соответствующие экспериментальные контуры.
Оптические параметры подбирались таким образом, чтобы теория наилучшим образом
описывала эксперимент. Как видно из таблицы 3, полученные параметры разложения
для димеров существенно отличаются от разложения для изолированных ионов, хотя
отношение интенсивностей для димера сопоставимо с отношением интенсивностей для
изолированного иона. На рисунке видно, что несмотря на сложную структуру парной
полосы, содержащую в случае первой гармоники 21 линию, а в случае первого
обертона 42 линии, эксперимент описывается разложением довольно точно.
Ион
KCl:SeH- KCl:SeH-SeHd0, D
0,9
d’, D/A
-2,5
-1,46
d’’, D/A2 -1,7
4
3
d’’’, D/A 6,7
6,5
0,08
I 02 / I 01 0,067
Таблица 3. Разложение функции дипольного
момента димера SeH--SeH-, рассчитанноеквантовомеханическим методом.
6
0.15
теоретический контур
эксперимент
0.1
0.05
2309.7
2309.2
2308.7
2308.2
Волновое число, см-1
0
2307.7
Коэффициент поглощения
Рис.3a Первая гармоника, KCl:SeH--SeH-
-0.05
Как
показал
квантово-механический
расчет, первая гармоника
димера
имеет
две
компоненты расщепления,
поскольку состояние димера
в этом случае описывается
суперпозицией
состояний
|01⟩ и |10⟩ , а секулярное
уравнение
(14)
имеет
степень 2. При решении
секулярного уравнения мы
получаем два состояния
1
1
(|10⟩ − |01⟩),
(|10⟩ +
√2
√2
Коэффициент поглощения
|01⟩), отличающиеся по энергии на несколько см-1. В экспериментальном спектре
наблюдается только одна компонента расщепления (рисунок 3a), следовательно, вторая
компонента является запрещенной. Как показал квантово-механический расчет, это
возможно только при параллельной или антипараллельной ориентации мономеров в
димере (рисунок 2). Любое изменение угла между мономерами приводит к появлению
в спектре второй компоненты расщепления. Исходя из этого, можно сделать вывод об
антипараллельной ориентации мономеров.
Первый
обертон
0.01
димера
имеет
три
Рис.3b Первый обертон, KCl:SeH--SeHкомпоненты
расщепления,
0.008
эксперимент
поскольку состояние димера в
этом случае описывается
теоретически
суперпозицией
состояний
0.006
й контур
|02⟩,
|20⟩
|11⟩,
и
а
секулярное уравнение (14)
0.004
имеет
степень
3.
При
решении
секулярного
0.002
уравнения мы получаем для
эквивалентных димеров nSeH0
1
(|20⟩ −
-nSeH- состояния:
4536
4534
4532
4530
|02⟩),
1
√2
√2
(|20⟩ + |02⟩), |11⟩, а
Волновое число, см-1
-0.002
для неэквивалентных димеров nSeH--mSeH-: |20⟩, |02⟩, |11⟩. Энергия первых двух
состояний практически совпадает, энергия третьего отстоит на 100 cм-1 в
высокочастотную область. Из квантово-механических расчетов следует, что это
состояние является запрещенным при любых углах между мономерами в димере. Это
хорошо соотносится с экспериментальными данными: в спектре не наблюдается третья
компонента расщепления, а первые две перекрываются в общей полосе (рисунок 3b).
Изменение параметра f (16) отвечает изменению расстояния между мономерами.
Изменение этого параметра не влияет на отношение интенсивностей гармоник димера
(таблица 3), однако может существенно изменить структуру парной полосы и величину
параметра ангармоничности. Параметр f, отвечающий положению мономеров точно в
соседних узлах решетки, хорошо вписывается в квантово-механическую модель
димера. Тем не менее, сложно сказать, как ведут себя мономеры в реальной системе.
Вполне вероятно, что они будут притягиваться друг к другу, тогда расстояние между
7
мономерами сократится. Более детально изучить геометрию димера позволит квантовохимическое моделирование системы.
4
Заключение
В работе был исследован изолировыанный ион SeH- в кристалле KCl, а также
димеры SeH--SeH-. Были изучены колебательные спектры этих систем, содержащие
изолированные, парные линии. Был произведен расчет электрооптических и
геометрических
параметров
исследуемых
систем.
При
интерпретации
спектроскопических данных использовались методы квантовой механики, а именно,
новые методы теории возмущений, основанные на применении полиномов квантовых
чисел. Эти методы позволяют получить функциональную зависимость между
частотами колебательных переходов и их интенсивностями с одной стороны и
электрооптическими параметрами с другой.
Наряду с квантово-механическим
методом, был использован квантово-химический метод для компьютерного
моделирования дефектов в кристаллической матрице. Измерения проводились на
суперкомпьютере с пиковой мощностью 1,493 терафлопс. С помощью этого метода
были получены равновесная геометрия дефектов, функция дипольного момента
системы и функция полной энергии систем примесных дефектов. Сопоставление этих
двух методов позволило получить всю информацию, необходимую для интерпретации
спектроскопических данных. При этом было обнаружено полное соответствие
теоретической модели экспериментальным данным.
В работе показано, что аномальное распределение интенсивностей в
колебательном спектре обусловлено электрооптической ангармоничностью дефектов.
Выявлена фундаментальная роль функции дипольного момента при интерпретации
всех видов колебательных и либрационных спектральных линий. Доказано, что форма
парных линий, принадлежащих димерам дефектов, определяется диполь-дипольным
взаимодействием.
5 Список литературы
1. Afanasiev A.D., Luty F. Defect-Pairs of OH-, SH- and SeH- Ions in Alkali-Halides //
Bulletin of the American Physical Society (APS) March 1994 / Pittsburgh USA. 1994.
V.39. No.1. P.72.
2. Afanasiev A.D., Mysovsky S.N. Electronic Structure of OH- Defects in Potassium
Chloride Crystals // Proceedings of the 13th International Conference on Defects in
Insulating Materials (ICDIM-96) July 15-19, 1996 / Editors G.E. Matthews and R.
Williams. Wake Forest Univ. 1996. P.457-460.Afanasiev A. D., Ivanov A. A., Luty
F., Melikova S. M., Shchepkin D. N. Resonance interaction of SeH- ions in
alkalihalides // Programme and abstracts EURODIM98 6-11 July, 1998 / Keele UK.
1998.
3. Казаков К.В. Формализм полиномов квантовых чисел // Известия вузов. Физика,
48, №9, 58-68 (2005); Russian Physics Journal, 48, 954-965 (2005)
Казаков К.В., Афанасьев А.Д., Обертонные переходы двухатомных димеров XH-XH- в ионных кристаллах//Опт. И спектр., 95, №1, 61-66(2003)
4. Jenson Introduction to computational chemistry //1999 Odense University, Odense,
Denmark
5. Otto J. Electric Field Induced Splitting of the Streching Vibration Lines of SH-, SeH-,
and TeH- Centers in Alkali Halides // Phys. Stat. Sol. (B), 1989. V.151. P.363-373.
8
9