Параллелограмм — это четырёхугольник, у

1
Параллелограмм
— это четырёхугольник, у которого противолежащие
стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых (от греч.
parallelos — параллельный и gramme — линия).
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма равны
2. Противоположные углы параллелограмма равны
3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам
4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его
четырёх сторон
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из
следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны
2. Противоположные углы попарно равны
3. Две противоположные стороны равны и параллельны
Частные случаи параллелограммов
2
Параллелограммы можно найти среди четырехугольников. Из всех
возможных параллелограммов часто рассматриваются такие, у которых все
углы прямые. Их называют прямоугольниками.
Бывают такие параллелограммы, у которых все стороны равны. Их называют
ромбами. Термин образован от греческого romboz - “бубен”.
Кроме того, среди прямоугольников есть такие, у которых все стороны
равны. То есть некоторые прямоугольники в то же время являются ромбами. А
у некоторых ромбов все углы прямые и потому они - прямоугольники.
Параллелограммы, у которых все углы прямые и все стороны равны,
называют квадратами.
Свойства и признаки прямоугольников, ромбов,
квадратов
Поскольку прямоугольники, ромбы, квадраты являются параллелограммами,
то они обладают всеми свойствами параллелограммов.
Но, частные случаи параллелограммов обладают особыми свойствами, не
присущими другим параллелограммам.
Особые свойства прямоугольника
1. Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны.
2. Если параллелограмм является прямоугольником, то около него можно
описать окружность.
Особые свойства ромба
1. Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны и
делят углы ромба пополам.
2. Если параллелограмм является ромбом, то в него можно вписать
окружность.
3
Квадрат
Так как квадрат является прямоугольником, то обладает всеми свойствами
прямоугольников. Квадрат является ромбом, потому обладает всеми
свойствами ромбов.
Своих собственных особых свойств у квадрата нет.
Признаки, позволяющие установить, является ли
параллелограмм прямоугольником, ромбом или
квадратом
1. Если диагонали параллелограмма равны, то он прямоугольник.
2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он ромб.
3. Если обе диагонали параллелограмма делят его противоположные углы
пополам, то он ромб.
Площадь параллелограмма
Если четырехугольник параллелограмм, то его площадь S равна
произведению стороны на высоту параллелограмма, проведенную к этой
стороне.
Например, высота МА и МВ. Тогда S = MA LN
S = MB KL
4
Задачи
1. Сторона параллелограмма равна 21 см, а высота, проведённая к ней, 15
см. Найдите площадь параллелограмма.
2. В параллелограмме КМРТ диагональ МТ перпендикулярна стороне МК,
КМ=13 см, МТ=5см. Найдите площадь параллелограмма и его высоту,
если МР= 14.
3. Площадь параллелограмма равна 48 см2, а его периметр 40 см. Найдите
стороны параллелограмма, если высота, проведённая к одной из них, в 3
раза меньше этой стороны.