Общие подходы к решению задач Решение каждой последующей задачи зависит от предыдущей. Имеет ли задача решение? Разумно ли решать эту задачу самим? Можно ли воспользоваться способом решения? уже Нужно ли решать именно эту задачу? предложенным Требуется решить задачи Задача №1 Решить уравнение в целых числах: xyz(x3 - у3)(y3 - z3)(z3 - x3) + 200420052006=0 Задача № 2 Существуют ли натуральные числа х и у такие, что x1988 + у1988 =19881988 Задача №3 Лист бумаги разрезать на4 части. Затем каждый лист вновь разрезали на 4 части и т.д. Докажите, что после 26 таких разрезаний все полученные листы одного можно разделить поровну на 5 групп. Задача № 4 Укажите среди чисел вида (4k - 4) какие-нибудь три кратные 10 (к - натуральное число) Задача № 5 Найти последнюю цифру числа 320; 2748; 50863 Задача № 6 Доказать, что 2,6 * (26n -1) - целое при любом натуральном n необходимо; а) Догадаться, что число всегда оканчивается 26n (при натуральном n) на 6, а поэтому 26n - 1 оканчивается на 5; б) Заметить, что при умножении 2,6 на целое число, оканчивающееся нар получается целое число. В итоге решения задачи № 6 рекомендовать следующие: а) целое число m оканчивается цифрой 6. Какой цифрой будет оканчивается число • m2+1; • m8-4; • m112+25? б) назовите такие числа, любая I натуральная степень которых оканчивается той же цифрой, что и само число. в) найдите какие-нибудь значения, при котором число р2+1 делится без остатка на 5. Задача № 7 Верно ли, что при любом нечётном а число(100+а)5+1 всегда будет составным. Задача №3 Лист бумаги разрезать на 4 части. Затем каждый лист вновь разрезали на 4 части и т.д. Докажите, что после 26 таких разрезаний все полученные листы одного можно разделить поровну на 5 групп. Чтобы подвести обучающейся к выводу формулы 426-1, выражающей количество листов бумаги в пяти группа, полезно процесс деления данного листа представить наглядно Задача № 8 Верно ли утверждение: а) квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой; б) куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой; в) четвёртая степень натурального числа может оканчиваться только одной из цифр 0,1,5,6; г) пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число? Таблица степеней числа n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n2 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 n3 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0 n4 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0 n5 - - - - - - - - - - Задача № 9 Какими цифрами оканчиваются числа вида: а) 7 4k + 1; б) 8 4k + 3, где k натуральное число? Задача № 10. Какой цифрой оканчивается число: а)743; б)12109? Задача № 11. Существует ли способ позволяющий определить последнюю цифру степени целого числа с натуральным показателем не более, чем на 3 шага? Алгоритм: Найти остаток от деления показателя степени на 4, если остаток равен: а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания; в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания; г) 0, то для всех нечётных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра1, а для чётных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6. Задача № 1. Легко понять, что куб любого числа при делении на 7 даёт остатки 0,1 или 6. Кроме того проверкой можно убедиться, что число 200 420 052 006 не делится на 7, потому, если хотя бы одно из числе x, y, z делится на 7 то уравнение решения не имеет. Пусть теперь ни одно из этих чисел не кратно 7, но тогда, по принципу Дирихле, по крайней мере два при возведении в куб дают одинаковые остатки при делении на 7, но тогда снова выражение xyz(x3 - у3)(y3 - z3)(z3 - x3) делится на 7, а потому уравнение решений не имеет. Задача № 2. x1988 + y1988=19881988 Остаток от деления показателя степени 1988 на 4 равен 0. 1989 на равен 3, поэтому 19881988 оканчивается цифрой 8. Сумма х 1988+ y1988 может оканчиваться цифрой. а) 2 при x и y – чётных и нечетных(кроме чисел, оканчивающихся на 5). б) 6, если x и y – нечетные, но одно из них оканчивается цифрой 5. в)1, если одно из них четное, а другое – нечетное, оканчивается цифрой 6. Значит таких числе x и y не существует. Рекомендации к решению олимпиадных и творческих задач Не искать сложного в условии. Вычленить и отсечь лишнее в условии. Выделить главное. Смодерировать условие. Перевести условие на другой язык(чертеж, график, рисунок, математическая модель). Разбить на подзадачи. Учесть, что уже было сделано. Автор работы: Грибачева Вера Георгиевна, учитель математики высшей квалификационной категории. г. Ангарск, МБОУ «Гимназии №8», 2013